1. 2
x = 4 em N
RACIOCÍNIO LÓGICO E
MATEMÁTICO A única raiz natural da equação é 2, assim:
1.Modelagem de situações-problema
por meio de equações do 1º e 2º
graus e sistemas lineares.
Na resolução das equações, podemos nos valer de
algumas operações e transformá-las em equações
1.1 Introdução equivalentes, isto é, que apresentam o mesmo
conjunto solução, no mesmo universo.
Consideremos as três igualdades abaixo:
Vejamos algumas destas propriedades:
a P1 ) Quando adicionamos ou subtraímos um mesmo
1 )2+3=5
a número aos dois membros de uma igualdade, esta
2 )2+1=5
a permanece verdadeira.
3 )2+x=5
Dizemos que as duas primeiras igualdades são
sentenças matemáticas fechadas, pois são
definitivamente falsas ou definitivamente
verdadeiras. No caso, a primeira é sempre Conseqüência
verdadeira e a segunda é sempre falsa.
Dizemos que a terceira igualdade é uma sentença Observemos a equação:
matemática aberta, pois pode ser verdadeira ou x+2=3
falsa, dependendo do valor atribuído à letra x. No
caso, é verdadeira quando atribuímos a x o valor 3 e
falsa quando o valor atribuído a x é diferente de 3. Subtraindo 2 nos dois membros da igualdade, temos:
Sentenças matemáticas desse tipo são chamadas de
equações; a letra x é a variável da equação, o
número 3 é a raiz ou solução da equação e o x+2=3 x + 2 -2 = 3 - 2
conjunto S = {3} é o conjunto solução da equação,
também chamado de conjunto verdade. Assim:
x+2=3 x=1
Exemplos
o
1 ) 2x + 1 = 7
1.2 Equação do 1o Grau
3 é a única raiz, então S = {3} o
Chamamos de equação do 1 grau as equações do
o
2 ) 3x – 5 = –2 tipo:
1 é a única raiz, então S = {1}
2. Resolução de uma Equação onde a e b são números conhecidos com a 0.
Resolver uma equação é determinar todas as raízes Exemplo
da equação que pertencem a um conjunto
previamente estabelecido, chamado conjunto 3x – 5 = 0 (a = 3 e b = –5)
universo.
o
Para resolvermos uma equação do 1 grau, devemos
Exemplos isolar a incógnita em um dos membros da igualdade,
o
usando as propriedades P1 e P2 do item anterior.
1 ) Resolver a equação:
2
Exemplo
x = 4 em R
Resolver em R a equação:
As raízes reais da equação são –2 e +2, assim: 3x – 5 = 0
3x - 5 3x - 5 + 5 = 0 + 5
o
2 ) Resolver a equação:
1
2. têm-se as idades e os tempos de dois técnicos
3x - 5 = 0 3x = 5 judiciários do Tribunal Regional Eleitoral de uma
certa circunscrição judiciária.
3x = 5
3x = 5
Assim: 3x - 5 = 0
De modo abreviado, fazemos:
Esses funcionários foram incumbidos de digitar as
laudas de um processo. Dividiram o total de laudas
entre si, na razão direta de suas idades e inversa de
QUESTÕES DE CONCURSOS RESOLVIDAS III seus tempos de serviço no Tribunal. Se João digitou
27 laudas, o total de laudas do processo era:
Obs.: É importante que o estudo das questões seja a) 40
feito de forma que as soluções não sejam vistas e
que o estudante tente fazer apenas com os b) 41
conhecimentos adquiridos anteriormente.
c) 42
* Questões
d) 43
1) (Fundação Cesgranrio/Banco do Brasil -
Escriturário) – Uma geladeira é vendida á vista por e) 44
R$ 1.000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira
como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda, dois Uma razão é uma divisão entre duas grandezas.
meses após, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa Exemplo: a velocidade é uma razão determinada
mensal de juros simples utilizada? pela divisão entre a grandeza distância e a grandeza
tempo.
a) 6%
Na questão proposta na prova, exige-se do
b) 5% candidato o conhecimento do que é uma divisão
proporcional.
c) -4%
É preciso conhecer, portanto, o que são grandezas
d) 3% diretamente ou inversamente proporcionais.
e) 2% Recapitulando:
Analisando a questão: Uma pessoa vai de SP a MG (percorrendo uma
distância hipotética de 800 km) em 8h, fazendo a
O valor do bem: R$ 1.000,00 velocidade média de 100 km/h.
Entrada: R$ 200,00 Se ao invés de ir para MG, resolvesse aumentar
minha viagem para outra cidade mais distante, ou
Segunda Parcela: R$ 880,00 seja, crescendo a quilometragem percorrida para
1600 km, será que o tempo de viagem seria menor
Pagamento Total: R$ 1.080,00 ou maior ? Considerando uma mesma velocidade?
Calculando juros simples: De fato, levaria mais tempo, e ainda é possível
afirmar que se a distância aumentou para o dobro
Juro total 60 dias = R$ 80,00 em 02 meses (de 800 para 1600), o tempo também irá aumentar
(de 8horas para 16 horas) e isto é possível verificar
Juro total 30 dias = R$ 40,00 em 01 mês através das seguintes expressões:
Calculando percentual de juros mensal = R$ 40,00 / D = V/T
R$ 800,00 = 0,05 * 100 = 5%
(SP => MG) 800 = 100/T, logo T = 8 horas
Resposta: Letra “b”
(MG => Outra Cidade) 1600 = 100/T, logo T = 16
2) (Prova Técnico Judiciário – Área horas
Administrativa – 4ª Região) - No quadro abaixo,
2
3. É possível afirmar que distância e tempo são c) 150%
grandezas diretamente proporcionais.
d) 200%
Se diminuir a velocidade do carro pela metade será
que eu vou levar mais ou menos tempo para viajar, e) 400%
considerando a mesma distância?
Analisando:
Se velocidade do carro diminuir, torna-se claro que
vou levar menos horas para viajar, e portanto, quanto Esta questão cobra do candidato o conhecimento
menos rápido for o carro mais tempo eu levo. das relações de juros compostos. Em Matemática
Financeira, boa parte das questões se resolve da
Desse modo é possível afirmar que a velocidade e o seguinte forma:
tempo são grandezas inversamente
proporcionais. 1) Dados e pedidos do problema
Se duas grandezas são diretamente proporcionais, 2) Formulação Matemáticas
então quando uma aumenta a outra aumenta
proporcionalmente e entre elas existe uma relação 3) Conclusões
direta de proporcionalidade (m), desta forma:
Colhendo os dados:
A/B = m
Montante (M) = 4 Capital (C)
Assim, se duas grandezas são inversamente
proporcionais, então quando uma aumenta a outra n (período de tempo) = 2 meses
diminui proporcionalmente e posso afirmar que entre
elas existe uma relação inversa de proporcionalidade C (capital)
(m), desta forma:
Pede-se a taxa de juros (i).
A.B = m
A fórmula matemática que relaciona as seguintes
No problema, as laudas devem ser divididas na grandezas (M, C, n, i) e que resolve este problema é:
relação direta das idades de João e Maria, e na
relação inversa de seus tempos de serviço no M = C (1+i)n
Tribunal:
Substituindo os dados na fórmula tem-se:
Logo:
4C = C (1+i)2
Para x = 27
Mas “C” aparece dos dois lados da igualdade e por
isso poderá ser simplificado, é como se dividíssemos
os dois lados da igualdade por “C” que entendemos
ser um número diferente de zero, na Matemática não
se aceita a divisão por zero.
4 = (1+i)2
Substituindo x = 27
22 = (1+i)2
2y/5 = 6
Em uma igualdade entre quadrados perfeitos, é
y = 30/2 = 15 possível tirar a raiz quadrada dos dois lados e não
alterar a igualdade, assim:
O número total de laudas é dado pela soma das
laudas de João (x=27) com as de Maria (y=15) (1+i) = 2 e i = 2 – 1 = 1 = 100%
perfazendo o total de 42 laudas
ou
Resposta: Letra “c”
(1+i) = - 2 e i = - 2 – 1 = -3 (valor a ser
3) (AFR/SP) O capital que quadruplica em 2 meses, desconsiderado uma vez que a taxa de juros não
ao se utilizar de capitalização composta, deve estar deve ser negativa).
vinculado a uma taxa mensal de:
É bom que, nesses tipos de provas, o candidato
a) 50% cheque se a resposta encontrada é coerente,
poderíamos então fazer a seguinte pergunta:
b) 100%
3
4. Será que uma taxa de juros de 100% ao mês fará um a) X < 1.100,00
capital quadruplicar em 2 meses?
b) 1.100,00 ≤ X < 1.170,00
Dados:
c) 1.170,00 ≤ X < 1.190,00
Taxa de juros (i = 100%a.m.)
d) 1.190,00 ≤ X < 1.220,00
n = 2 meses
e) X ≥ 1.220,00
C = capital
Analisando a questão:
Pede-se o montante (M) :
2 . Noção de função; análise gráfica;
M = C (1+i)n
funções afim, quadrática, exponencial
M = C (1+ 1)2 = C (2)2 = 4C e logarítmica.Aplicações
Dessa forma, o capital que quadruplica em 2 meses,
ao se utilizar de capitalização composta, deve estar Função – Apresentação e Definição
vinculado a uma taxa mensal de 100%.
1. Relação Binária
Resposta: Letra “b”
A. Par Ordenado
1.4 SISTEMAS LINEARES Quando representamos o conjunto {a, b} ou {b, a}
estamos, na verdade, representando o mesmo
Definição conjunto. Porém, em alguns casos, é conveniente
distinguir a ordem dos elementos. Para isso, usamos
a idéia de par ordenado. A princípio, trataremos o
É todo sistema que pode ser definido em que se par ordenado como um conceito primitivo e vamos
têm “m” equações a “n” incógnitas do tipo a utilizar um exemplo para melhor entendê-lo.
seguir: Consideremos um campeonato de futebol em que
desejamos apresentar, de cada equipe, o total de
pontos ganhos e o saldo de gols. Assim, para uma
equipe com 12 pontos ganhos e saldo de gols igual a
18, podemos fazer a indicação (12, 18), já tendo
combinado, previamente, que o primeiro número se
refere ao número de pontos ganhos, e o segundo
número, ao saldo de gols. Portanto, quando tivermos
para uma outra equipe a informação de que a sua
situação é (2, –8) entenderemos, que esta equipe
apresenta 2 pontos ganhos e saldo de gols –8. Note
que é importante a ordem em que se apresenta este
par de números, pois a situação (3,5) é totalmente
diferente da situação (5,3). Fica, assim, estabelecida
a idéia de par ordenado: um par de valores cuja
Exemplos de ordem de apresentação é importante.
QUESTÕES DE CONCURSOS II Observações
a
1 ) (a, b) = (c, d) se, e somente se, a = c e b = d
Obs.: É importante que o estudo das questões seja
feito de forma que as soluções não sejam vistas e a
2 ) (a, b) = (b, a) se, e somente se, a = b
que o estudante tente fazer apenas com os
conhecimentos adquiridos anteriormente.
B. Produto Cartesiano
* Questões
1) (CESPE) – Uma empresa admitiu um funcionário Exercícios Resolvidos
no mês de outubro deste ano, sabendo que, já em
janeiro, ele terá 25% de aumento de salário. A 01.
empresa deseja que o salário desse funcionário, a a) Sendo A = {1,2} e B = {–1, 0, 1}, calcule A × B (A
partir de janeiro, seja de R$ 1.500,00. Assim, a cartesiano B) e desenhe seu gráfico.
empresa admitiu-o com um salário de X reais. Então b) Considerando os mesmos conjuntos anteriores,
o X satisfaz à condição: calcule B × A (B cartesiano A) e desenhe seu gráfico.
4
5. (Observe que A × B B × A) Função – Apresentação e Definição
Resolução
03. (FGV-SP) São dados os conjuntos A = {2, 3, 4},
a) A × B = {(1, –1), (1, 0), (1, 1), (2, –1), (2,0), (2, 1)} B = {5, 6, 7, 8, 9} e a relação R = {(x, y) A × B / x e y
sejam primos entre si}. Um dos elementos dessa
relação é o par ordenado:
a) (9, 4) d) (3, 6)
b) (5, 4) e) (2, 8)
c) (4, 7)
Resolução
Exercícios Resolvidos
b) B × A = {(–1, 1), (–1, 2), (0,1), (0,2), (1,1), (1,2)}
01. Esboçar o gráfico e determinar o conjunto
imagem das funções abaixo.
2
a) f(x) = x – 6x + 8
2
b) f(x) = –x + 2x + 3
c)
Resolução
2
a) f(x) = x – 6x + 8
02. Trabalhando ainda com os mesmos conjuntos, Concavidade: a = 1 > 0 para cima
considere as seguintes relações de A em B.
raízes =
2
R1 = {(x, y) A × B / y = x – 2} o
Função do 2 Grau – Apresentação
R2 = {(x, y) A × B / y = x – 1}
Represente R1 e R2 utilizando diagramas de flechas. Vértice :
Resolução
Intersecção com o eixo 4: c = 8
Resposta
Imagem : Im = { y R/ y –1 }
Esboço
5
6. 2
b) f(x) = –x + 2x + 3
Concavidade: a = –1 < 0 para baixo; raízes:
B. Definição da Área de uma Região Poligonal
Vértice: A cada região poligonal é associado um número real
não-nulo chamado área, que deve satisfazer os
Intersecção com o eixo y: c = 3 postulados.
Resposta Postulado 1: polígonos congruentes têm regiões
poligonais de mesma área.
10 - Métrica: áreas e volumes; Postulado 2: se uma região poligonal é a união de
duas ou mais regiões poligonais, sem ponto interior
estimativas. Aplicações comum, então sua área é a soma das áreas dessas
outras.
Áreas das Regiões Elementares
Exemplo
1. Conceitos Básicos
Sendo R1, R2 e R3 três regiões triangulares que não
têm ponto interior comum, a área da região R
A. Noção Intuitiva de Área formada pela união das três regiões é a soma das
áreas de R1, R2 e R3.
Intuitivamente, a área de uma região é um número
que mede a sua “extensão”, ou seja, a porção do
plano ocupada por ela.
Quando fixamos uma unidade de medida, encontrar
a área de uma região plana é determinar o número
de unidades que “cabem” nessa região.
Exemplo
Considerando a região plana da figura e unidade de
medida indicada, vamos determinar a área da região.
Postulado 3: se uma região quadrada é limitada por
2
quadrado de lado a, então a sua área é a .
6
7. C. Regiões Poligonais Equivalentes
Duas regiões
SOLUÇÃO:
Ora, a única condição da soma acima ser nula é que:
(2x+6y+a) = 0
(x+by-7) = 0
Logo, teremos:
2.x + 6.y = - a
1.x + b.y = 7
Para o sistema de equações do 1º grau acima
3 – Numa árvore pousam pássaros. Se pousarem
dois pássaros em cada galho, fica um galho sem
pássaros. Se pousar um pássaro em cada galho,
fica um pássaro sem galho. Determine o número
de pássaros e o número de galhos.
SOLUÇÃO:
Sendo g o número de galhos e p o número de
pássaros, poderemos escrever:
2(g – 1) = p
g=p–1
Resolvendo o sistema de equações acima,
encontraremos:
P = 4 e g = 3. Portanto, são 4 pássaros e 3 galhos.
32 - Quantas soluções inteiras e não negativas
podemos encontrar resolvendo a equação x+y+z+w
= 5?
Por exemplo, (1,2,1,1) é solução pois
1+2+1+1=5.Anàlogamente, (2,1,1,1), (0,1,2,2),
(5,0,0,0) etc são soluções.
Raciocínio: Temos que dividir 5 unidades em 4
partes ordenadas, ou seja, das formas:
|| . | . | .. | . || ou || . | .. | . | . || ou || ... | . | . | || , etc.
Temos então 8 símbolos (5 pontos[.] e 3 traços[ | ] )
que devem ser permutados, porém com repetição.
Logo, teremos:
PR = 8! / 5!.3! = 56
Portanto, a equação dada possui 56 soluções
inteiras e não negativas.
Teremos:
Onde n é o número de incógnitas e b é o termo
independente. No caso, n = 4 e b = 5.
Logo, substituindo, vem:
Y = (4 + 5 -1)! / 5!.(4 - 1)! = 8! / 5! . 3! = 8.7.6.5! /
5!.3.2.1 = 8.7.6 / 3.2.1 = 56
7
