1. Nome: Colégio: Data:
1. TRIÂNGULO RETÂNGULO 3. EXEMPLOS RESOLVIDOS
TRIÂNGULO RETÂNGULO é aquele que possui um 01. Determine as medidas a, h, m e n no triângulo
ângulo reto (90º). Dizemos que o triângulo a seguir é retângulo ABC a seguir:
retângulo em A, veja:
A
A 4
3
h
C m n B
b c a
h
Resolução:
Aplicamos o TEOREMA DE PITÁGORAS (RELAÇÃO
m n 01) para calcular a hipotenusa a.
C B
a2 = b2 + c 2
a
a2 = 32 + 42
Onde: a2 = 9 + 16
a é a hipotenusa (maior lado);
a2 = 25
b e c são os catetos (formam o ângulo reto);
h é a altura relativa à hipotenusa; a = 25
m é a projeção ortogonal do cateto b sobre a a=5
hipotenusa;
n é a projeção ortogonal do cateto c sobre a Aplicando a RELAÇÃO 03, calculamos as projeções
hipotenusa. ortogonais m e n.
b2 = a.m c 2 = a. n
2. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO 2
3 = 5.m 42 = 5. n
RETÂNGULO 5.m = 9 5.n = 16
No TRIÂNGULO RETÂNGULO ABC são válidas as e
9 16
seguintes RELAÇÕES MÉTRICAS (entre as medidas m= n=
5 5
mencionadas acima): m = 1,8 n = 3,2
RELAÇÃO 01: TEOREMA DE PITÁGORAS – O
quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados Outra maneira de calcular as projeções m e n é
dos catetos. utilizando a RELAÇÃO 05, veja:
a = m+n a = m+n
a2 = b2 + c 2
5 = m + 3,2 5 = 1,8 + n
RELAÇÃO 02: O produto entre a hipotenusa e a m = 5 − 3,2 ou n = 5 − 1,8
altura relativa à hipotenusa é igual ao produto entre os m = 1,8 n = 3,2
catetos.
a.h = b.c Para calcular a altura h, aplicamos a RELAÇÃO 02.
a.h = b.c
RELAÇÃO 03: O quadrado de um cateto é igual ao 5.h = 3.4
produto entre a hipotenusa e a projeção ortogonal do 5.h = 12
cateto sobre a hipotenusa.
12
h=
b2 = a. m c 2 = a.n 5
h = 2,4
RELAÇÃO 04: O quadrado da altura relativa à
hipotenusa é igual ao produto entre as projeções Outra maneira de calcular a altura h é utilizando a
ortogonais dos catetos. RELAÇÃO 04.
h2 = m. n h2 = m.n
RELAÇÃO 05: A hipotenusa é igual à soma das h2 = 1,8.3,2
projeções ortogonais dos catetos. h2 = 5,76
a = m+n h = 5,76
h = 2,4
Portanto a = 5 ; m = 1,8 ; n = 3,2 e h = 2, 4 .
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2. 02. No triângulo retângulo ABC a seguir, calcule a 02. (UFRN) Uma escada de 13,0 m de comprimento
mediada da projeção ortogonal do cateto AC sobre a encontra-se com a extremidade superior apoiada na
hipotenusa. parede vertical de um edifício e a parte inferior apoiada
A
no piso horizontal desse mesmo edifício, a uma distância
de 5,0 m da parede. Se o topo da escada deslizar 1,0 m
12 para baixo, o valor que mais se aproxima de quanto a
parte inferior escorregará é:
B C a) 1,0 m b) 1,5 m c) 2,0 m d) 2,6 m
H
5 03. (PUC-SP) Uma estação de tratamento de água (ETA)
Resolução: localiza-se a 600 m de uma estrada reta. Uma estação de
Para calcular a medida da projeção ortogonal HC do rádio localiza-se nessa mesma estrada, a 1000 m da
ETA. Pretende-se construir um restaurante, na estrada,
cateto AC sobre a hipotenusa, aplicamos a RELAÇÃO que fique à mesma distância das duas estações. A
04. distância do restaurante a cada uma das estações deverá
h2 = m.n ser de:
122 = 5.HC a) 575 m b) 600 m c) 625 m d) 700 m e) 750 m
144 04. (FATEC) Se os catetos de um triângulo retângulo T
5.HC = 144 ⇒ HC = ⇒ HC = 28,8
5 medem, respectivamente, 12 cm e 5 cm, então a altura
de T relativa à hipotenusa é:
A projeção ortogonal do cateto AC mede 28,8.
12 5 12 25 60
a) m b) m c) m d) m e) m
5 13 13 13 13
03. No triângulo retângulo ABC a seguir, AM é a
mediana relativa à hipotenusa, e AH é a altura. Calcule a 05. (UFRS) O lampião, representado na figura, está
suspenso por duas cordas perpendiculares presas ao
medida do segmento HM .
A 1 6
teto. Sabendo que essas cordas medem e metros,
2 5
8
6 a distância do lampião ao teto é:
a) 1,69 m
b) 1,3 m
B C c) 0,6 m
H M
Resolução: 1
d) m
Aplicando o TEOREMA DE PITÁGORAS (RELAÇÃO 2
01), obtemos a medida da hipotenusa BC . 6
e) m
a2 = b2 + c 2 13
2
BC2 = AB2 + AC2 ⇒ BC = 36 + 64 ⇒ BC = 100 06. (U.E. LONDRINA) Em um triângulo retângulo ABC,
BC2 = 100 BC = 10
BC2 = 62 + 82 as medidas das projeções dos catetos AB e BC sobre a
Aplicando a RELAÇÃO 03, calculamos a projeção hipotenusa são, respectivamente, m e n. Se a razão entre
36 1
b 2 = a .m
⇒ 6 = 10.BH ⇒ BH = 10
2 AB e BC, nessa ordem, é , então m:n é igual a:
BH . 2
AB 2 = BC.BH 10.BH = 36 BH = 3,6
5 2 1 5 1
Como AM é mediana, BM é metade da hipotenusa a) b) c) d) e)
2 2 2 4 4
BC , isto é, BM = 5 . Da figura temos:
07. (U.F. UBERLÂNDIA) Num triângulo ABC, o ângulo
BM = BH + HM HM = 5 − 3,6
⇒
5 = 3,6 + HM HM = 1, 4 A é reto. A altura hA divide a hipotenusa a em dois
segmentos m e n (m>n). Sabendo que o cateto b é o
4. EXERCÍCIOS (DESTRUIÇÃO TOTAL) dobro do cateto c, podemos afirmar que
m
:
01. (FUVEST-SP) No jogo de bocha, disputado num n
terreno plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de a) 4 b) 3 c) 2 d) 7 e) 5
raio 8 o mais próximo possível de outra menor, de raio 4. 2
Num lançamento, um jogador conseguiu fazer com que
as duas bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a
figura a seguir. A distância entre os pontos A e B, em que GABARITO
as bolas tocam o chão, é: 01 02 03 04 05 06 07
a) 8
C C C E E E A
b) 6 2
c) 8 2
d) 4 3
e) 6 3
A B
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