Η ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΚΑΙ ΟΙ ΑΛΛΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ

LOG
O
Η ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ
ΚΑΙ ΟΙ ΑΛΛΕΣ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
ΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
«Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί»

LOGO
YourYour site herehere
ΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
1. ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ
2. ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΗ
3. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΗ
3. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΗ

Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ
Ο Ευκλείδης από την
Αλεξάνδρεια (~ 325 -265
π.Χ.), ήταν Έλληνας
μαθηματικός, που δίδαξε και
πέθανε στην Αλεξάνδρεια της
Αιγύπτου, περίπου κατά την
διάρκεια της βασιλείας του
Πτολεμαίου Α.

Η ΕΥΚΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Είναι γνωστός ως ο «πατέρας» της
Γεωμετρίας.
Ο Ευκλείδης δεν ήταν ακριβώς ένας
μεγάλος καινοτόμος αλλά κυρίως
οργανωτής που συστηματοποίησε και
έθεσε σε στέρεες θεωρητικές βάσεις
τα συμπεράσματα στα οποία έφτασαν
ο Θαλής, ο Εύδοξος και άλλες
προσωπικότητες της εποχής.

Ο Ευκλείδης είχε την ικανότητα να ανασυντάξει
τις αποδείξεις των θεωρημάτων σε σύντομους
αυστηρούς όρους. Το πιο γνωστό έργο του είναι
τα Στοιχεία, που αποτελείται από 13 βιβλία
(330π.χ).
.
LOGO
Eκεί, οι ιδιότητες των
γεωμετρικών αντικειμένων και
των ακεραίων αριθμών
προκύπτουν από ένα σύνολο
αξιωμάτων, εμπνέοντας την
αξιωματική μέθοδο των
μοντέρνων μαθηματικών

Τα στοιχεία:
Τα πρώτα 6 πραγματεύονται την γνωστή μας Επιπεδομετρία
τα επόμενα 3 αναφέρονται στη Θεωρία Αριθμών
το 10ο βιβλίο αναφέρεται στη θεωρία των Ασύμμετρων
λόγων
τα τελευταία 3 αναφέρονται στην Στερεομετρία
Σε αυτά αναφέρονται;
•23 όροι (ορισμοί)
•5 αιτήματα
•9 κοινές έννοιες
και μέσω αυτών αποδεικνύονται
•465 προτάσεις (που αντιστοιχούν σε σημερινά θεωρήματα,
προτάσεις, λήμματα και πορίσματα)
LOGO

ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Το αντικείμενο της Ευκλείδειας
Γεωμετρίας είναι η μελέτη του χώρου
και των σχημάτων που μπορούν να
νοηθούν μέσα σε αυτόν.
Πρωταρχικές έννοιες (ή αλλιώς,
θεμελιώδεις έννοιες) στη Γεωμετρία
είναι το σημείο (χωρίς καμία διάσταση),,
η ευθεία γραμμή, η γραμμή, (με μία
διάσταση) το επίπεδο και η επιφάνεια
(με δύο διαστάσεις).
LOGO

Η Ευκλείδεια Γεωμετρία θεμελιώνεται πάνω
σε κάποιες προτάσεις που δεχόμαστε ως
αληθινές: τα αξιώματα.
Κάθε άλλη πρόταση (διαφορετική από τα
αξιώματα) την θεωρούμε ώς αληθή μόνο εάν
έχουμε καταλήξει σε αυτή αποδεικνύοντας την
με βάση τα αξιώματα (κατά συνέπεια κάθε
αποδεδειγμένη πρόταση μπορεί να
χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη μίας άλλης
πρότασης).
LOGO

Τα θέματα περιλαμβάνουν:
το πυθαγόρειο θεώρημα, αλγεβρικές
ταυτότητες, κύκλοι, εφαπτομένες,
επίπεδη γεωμετρία, η θεωρία των
αναλογιών, η μέθοδος της απαγωγής
σε άτοπο, πρωταρχικοί αριθμοί,
τέλειοι αριθμοί, ιδιότητες των θετικών
ακέραιων αριθμών, των άρρητων
αριθμών, των τρισδιάστατων αριθμών,
των εγγραμμένων και περιγραμμένων
αριθμών, της κατασκευής των
κανονικών στερεών κ.α.
LOGO

Δε σώζεται κανένα αντίγραφο των Στοιχείων από
την εποχή του ίδιου του Ευκλείδη. Όλες οι
σύγχρονες εκδόσεις στηρίζονται σε μια επανέκδοση
που έκανε ο Θέων (πατέρας της Υπατείας) από την
Αλεξάνδρεια, ένας Έλληνας σχολιαστής που έζησε
εφτακόσια περίπου χρόνια μετά τον Ευκλείδη. Μόνο
στις αρχές του 19ου αιώνα ανακαλύφθηκε στη
βιβλιοθήκη του Βατικανού ένα αντίγραφο των
Στοιχείων από έκδοση προγενέστερη από του
Θέωνος. Η μελέτη όμως αυτής της παλιότερης
έκδοσης αποκάλυψε δευτερεύουσες μόνο διαφορές
από τον Θέωνα.. LOGO

"Τα στοιχεία" μεταφράστηκαν και σε λατινικά και
σε Αραβικά και αυτή είναι η πρώτη εργασία για να
επιζήσουν, από τις καταστροφές που έγιναν
αργότερα, όπως η καταστροφή της βιβλιοθήκης της
Αλεξάνδρειας
. Το πρώτο τυπωμένο αντίγραφο βγήκε το 1482
και ήταν το εγχειρίδιο γεωμετρίας από το 1700.
Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου ο Ευκλείδης
ηταν ιδιαίτερα σεβαστός και τα «στοιχεία»
θεωρήθηκαν μια από τις καλύτερες μαθηματικές
εργασίες όλων των χρόνων.
LOGO

BIBΛION Ι
ΟΡΟΙ
α´ Σηµείον εστίν, ου µέρος ουθέν.
β´ Γραµµή δε µήκος απλατές.
γ´ Γραµµής δε πέρατα σηµεία.
δ´Ευθεία γραµµή εστίν, ήτις
εξ ίσου τοις εφ΄εαυτής σημείοις
κείται.
ε΄Επιφάνεια δε εστίν ο μήκος και πλάτος
μόνον έχει.
ς΄ πιφανείας δ πέρατα γραμμαίἘ ὲ .
LOGO
ΑΝΟΙΞΕ: ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΑΙΤΗΜΑΤΑ.gsp

BIBΛION Ι
ΑΙΤΗΜΑΤΑ
 α΄ Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν
γραμμήν αγαγείν.
 β΄ Και πεπερασμένην ευθείαν κατά το συνεχές επ΄
ευθείας εκβάλειν.
 γ΄ Και παντί κέντρω και διαστήματι κύκλον γράφεσθαι.
 δ΄ Και πάσας τας ορθάς γωνίας ίσας αλλήλαις είναι.
 ε΄ Και εάν εις δυο ευθείας ευθεία εμπίπτουσα τας επι τα
αυτά μέρη γωνίας δυο ορθών ελάσσονας ποιή,
εκβαλλόμενας τας δυο ευθείας επ΄άπειρον συμπίπτειν,
εφ΄α μέρη εισίν αι των ορθών ελάσσονες.
LOGO

Στα στοιχεία, υπάρχουν
ελλιπείς περιοχές που
συμπλήρωσαν οι επόμενοι
μαθηματικοί. Επιπλέον
έχουν βρεθεί κάποιες
αμφισβητήσιμες ιδέες. Οι
πιο γνωστή είναι αυτά
στο πέμπτο αξίωμα του,
επίσης γνωστό ως
παράλληλο αξίωμα.
LOGO

Το προβληματικό 5ο
αίτημα όπως το
διατύπωσε ο Ευκλείδης: (σε μετάφραση Σταμάτη)
Αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες και σχηματίζει
με αυτές ένα ζεύγος εντός και επί τα αυτά
γωνιών με άθροισμα μικρότερο από δύο
ορθές, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το
μέρος που βρίσκονται οι γωνίες αυτές.
•
LOGO

ή ισοδύναμα…
Ο Πρόκλος (410-485 μ.χ) έδωσε τον
ακόλουθο ορισμό, ο οποίος, όπως απέδειξε με
εις άτοπον επαγωγή, είναι ισοδύναμος με το 5ο
θεώρημα του Ευκλείδη:
‘‘Έχοντας μια ευθεία και ένα σημείο που δεν
βρίσκεται στην ευθεία, μπορεί να χαραχθεί μόνο
μια ευθεία που να περνάει από το σημείο και να
είναι παράλληλη στην αρχική ευθεία.’’
(Αλλιώς αξίωμα του Playfair)
LOGO

Το πρόβλημα….
Το αντίστροφο του πέμπτου αιτήματος
αποδεικνύεται από τα άλλα τέσσερα Αν δυο
ευθείες τέμνονται από τρίτη και σχηματίζουν
τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες
παραπληρωματικές, τότε είναι παράλληλες.
Όμως το ευθύ αντιστέκεται και
αμφισβητείται… οπότε έχουμε
την γέννηση νέων γεωμετριών.
LOGO

Αξίζει τον κόπο εδώ να κάνουμε μία
επισήμανση:
Ο Ευκλείδης διατύπωσε το
θεώρημα με άρνηση, όχι
κατάφαση. Είπε δηλαδή πότε δύο
ευθείες δεν είναι παράλληλες.
Γιατί άραγε; Τι είχε στο μυαλό
του; Αυτό κανείς δεν το ξέρει.
Αλλά ίσως πρόκειται για μία
συνέπεια της λογικής επαγωγής.
Είναι πιο εύκολο κάποιος να
αποδείξει κάτι ότι ισχύει, παρά
ότι δεν ισχύει
LOGO

Οι συνέπειες της αμφισβήτησης…
Χωρίς να το δεχθούμε ως αξίωμα δε μπορούμε να
αποδείξουμε :
Ότι δυο ευθείες που είναι παράλληλες στην ίδια
ευθεία είναι και μεταξύ τους παράλληλες
Ότι από σημείου εκτός ευθείας άγεται μία μόνο
παράλληλη
 Ότι ευθείες που ενώνουν τα άκρα δυο ίσων και
παράλληλων ευθειών είναι ίσες και παράλληλες
Ότι δυο παράλληλες ευθείες ισαπέχουν.
 Ότι το άθροισμα των τριών γωνιών ενός τριγώνου
ισούται με δύο ορθές.
LOGO

Προσπάθειες για την απόδειξη ή
αντικατάσταση του 5ου αιτήματος.
Ποσειδώνειος (135 - 51 π.X.):
Eναλλακτικός ορισμός της έννοιας των παραλλήλων:
Παράλληλες είναι δυο συνεπίπεδες ευθείες που ισαπέχουν.
(H απόσταση οποιουδήποτε σημείου της μιας από την άλλη
είναι σταθερή).
Γέµινος ο Ρόδιος (110-40 π.Χ.).
Το κυριότερο µαθηµατικό έργο του Γεµίνου είναι το
«Μαθηµατικών ∆όγµα»
LOGO

Πρόκλος (410 – 485 μ.χ.)
Όταν το αντίστροφο ενός θεωρήματος μπορεί να
αποδειχθεί είναι αδύνατο το ίδιο το θεώρημα να μη
μπορεί να αποδειχθεί
Iμπν Aλ Xαϋτάμ (Αλχαζέν) (965- 1039 μ.χ)
Αποδεικνύει: Υπάρχουν τετράπλευρα που έχουν
τουλάχιστον τρεις ορθές γωνίες.
Oμάρ Kαγιάμ (1014 – 1123 μ.χ)
Τετράπλευρο με δυο πλευρές ίσες και κάθετες στη βάση.
Οι άλλες δύο γωνίες;
Είναι ορθές αφού αν είναι οξείες ή αμβλείες συγκλίνουν
και άρα τέμνονται" (ισοδύναμο με το 5ο αίτημα)
LOGO

Nαζίρ αλ Nτιν αλ Tούσι (1201-1274)
Girolamo Saccheri (1667 - 1733)
G.S. Klugel
1763: Διδακτορικό με θέμα τον εντοπισμό των
λαθών σε 28 «αποδείξεις» του 5ου αιτήματος.
LOGO

ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
(Lobatchevsky – Bolyai)
ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
LOGO
ΟΙ ΝΕΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
(Riemann)

Το 1830 βγήκαν στην
δηµοσιότητα σχεδόν ταυτόχρονα τα
δύο πρώτα ολοκληρωµένα έργα
µη ευκλείδειας γεωµετρίας. Οι
συγγραφείς του, ο Ρώσος
Lobatchevsky, καθηγητής στο
πανεπιστήµιο του Καζάν και ο
Ούγγρος στρατιωτικός Bolyai,
(ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο)
ξεκίνησαν µε σκοπό και αυτοί να
αποδείξουν το 5ο
αίτηµα του
Ευκλείδη.
Nikolai I. Lobachevsky
(1792-1856)
János Bolyai
(1802 – 1860)

Η ευφυής ιδέα τελικά ηταν να αναπτύξουν μια
Γεωμετρία, στην οποία το 5ο αυτό Αξίωμα να μην
ήταν απαραίτητο αλλα το αντικατεστησαν με την
προταση
 "Υπάρχουν δύο ευθείες παράλληλες προς μία άλλη
ευθεία, που διέρχονται από ένα σημείο έξω από
την ευθεία"
LOGO

Η μεγαλύτερή εργασία του
Lobachevsky με τιτλο
"Geometriya",
ολοκληρώθηκε το 1823,
αλλά δεν εκδόθηκε στην
αρχική της μορφή, παρά
μόνο δεκαετίες αργότερα, το
1909. Η εργασία του για τη
Μη Ευκλείδια Γεωμετρία και
ιδιαίτερα για την
"Υπερβολική Γεωμετρία"
τυπώθηκε το 1929.
LOGO

Η ΣΦΑΙΡΙΚΗ ή
Ο Riemann πήρε μαθήματα
μαθηματικών από τον Moritz
Stern και τον Gauss στο
πανεπιστήμιο του Gottingen. Ο
Riemann μετακόμισε το 1847 στο
πανεπιστήμιο του Βερολίνου.
Εκεί πέρασε μια σημαντική εποχή
για την επιστημονική του
διαμόρφωση. Ο καθηγητής που
τον επηρέασε περισσότερο ήταν
ο Dirichlet.
.
LOGO
Georg Friendrich Riemann
(1826-1866)

Η ΣΦΑΙΡΙΚΗ ή
Το 1849 ξαναγύρισε στο
Gottingen και αυτή τη φορά
κέρδισε και την προσοχή του
Gauss. Ο Gauss του
εμπιστεύτηκε μια διάλεξη για
τη Γεωμετρία. Η ομιλία του
εκείνη (On the hypotheses
that lie at the foundations
of geometry) που έδωσε τον
Ιούνιο του 1854 έγινε
κλασική στα μαθηματικά
LOGO

Υπήρχαν δύο μέρη στη διάλεξή του
Στο πρώτο μέρος έθετε το πρόβλημα του τρόπου
με τον οποίο μπορούμε να προσδιορίσουμε ένα χώρο
διαστάσεων και τελείωνε δίνοντας έναν ορισμό
αυτού που σήμερα αποκαλούμε χώρο Riemann. O
Riemann μπόρεσε να ξεφύγει από τα στενά πλαίσια
της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και να αποδείξει ότι
υπάρχει και μια άλλη Γεωμετρία εξίσου αληθινή,
όπου ο χώρος είναι καμπύλος. Σε αυτόν το
γεωμετρικό χώρο αλλάζει τελείως το 5ο Αξίωμα
του Ευκλείδη.
LOGO

Η σφαιρική ή ελλειπτική γεωμετρία
Στη νέα Γεωμετρία
του Riemann
«από ένα σημείο έξω
από μια ευθεία δε
διέρχεται καμία
παράλληλη προς την
ευθεία».
Σε αυτήν τη σφαιρική
Γεωμετρία όλες οι
ευθείες συναντώνται
κάπου.
ΑΝΟΙΞΕ : σφαιρικη.ggb

γαιωδεσια
Στο δεύτερο μέρος της
διάλεξης έθεσε πιο βαθιά
ερωτήματα σχετικά με τη
γεωμετρία και τον κόσμο
που ζούμε. Έθεσε το
ζήτημα ποια ήταν η
διάσταση του αληθινού
χώρου και ποια γεωμετρία
περιγράφει τον πραγματικό
χώρο.
LOGO

Από όλο το ακροατήριο μόνο ο
Gauss μπόρεσε να αντιληφθεί το
βάθος και την πρωτοπορία των
θέσεων του Riemann. Οι θέσεις
αυτές του Riemann ήταν τόσο
πρωτοποριακές που μόνο μετά
από 60 χρόνια μπόρεσαν να
αποδειχτούν πόσο θεμελιώδεις
είναι για την ίδια την φύση και
τη δομή του σύμπαντος μέσα
από τη «Γενική Θεωρία της
Σχετικότητας» του Αϊνστάιν.
LOGO

Στη Γεωμετρία του Riemann βρήκε ο Αϊνστάιν το
πλαίσιο για να θέσει τις δικές του ιδέες, την
κοσμολογία του και την κοσμογονία του, και έτσι το
πνεύμα του Riemann βρήκε επιτέλους τη Φυσική που
του ταίριαζε.
LOGO

Σύγκριση των τριών γεωμετριών
LOGO
Επίπεδο:
Σημείο:
Ευθεία:
σύστημα αναφοράς:

Σύγκριση των τριών γεωμετριών
Επίπεδο:
Θεωρούμε ένα επίπεδο για την ευκλείδεια, μία σφαίρα για τη σφαιρική και ένα
σελοειδές σχήμα για την υπερβολική. Η κάθε επιφάνεια είναι το επίπεδο της
γεωμετρίας στην οποία αντιστοιχεί και πανω του σχεδιαζουμε όλα τα σχήματα.
Σημείο:
Και για τις τρεις γεωμετρίες ένα σημείο πάνω στο επίπεδό τους θεωρείται
σημείο της αντίστοιχης γεωμετρίας.
Ευθεία:
Η ευθεία της ευκλείδειας γεωμετρίας είναι ευθεία, στη σφαιρική είναι μέγιστος
κύκλος της σφαίρας. Και στις τρεις γεωμετρίες από κάθε ευθεία υπάρχει
τουλάχιστον ένα σημείο εκτός ευθείας. Στην ευκλείδεια γεωμετρία από σημείο
εκτός ευθείας διέρχεται μόνο μία παράλληλος, στη σφαιρική καμιά παράλληλος,
ενώ στην υπερβολική πολλοί παράλληλοι.
Σύστημα αναφοράς:
Στην ευκλείδεια γεωμετρία εφαρμόζεται συνήθως το ορθοκανονικό σύστημα
συντεταγμένων, ενώ στη σφαιρική το σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων.
LOGO

Έτσι ένας ευκλείδειος χώρος έχει καμπυλότητα ε=0. Ένας
χώρος Lobatschewski έχει αρνητική καμπυλότητα (ε<0), ενώ
ένας χώρος Riemann παρουσιάζει θετική καμπυλότητα (ε>0).
LOGO

ΟΜΟΙΟΤΗΤΕΣ - ΔΙΑΦΟΡΕΣ
LOGO

Συντεταγμένες
 Για παράδειγμα σ’ ένα Ευκλείδειο επίπεδο μερικές από τις
δυνατές μετρικές είναι:
ds2
=dx2
+dy2
(Καρτεσιανές συντεταγμένες)
ds2
=dr2
+r2
dθ2
(Πολικές συντεταγμένες με τη γωνία θ σε
rad).
Από την άλλη μεριά η μετρική πάνω στην επιφάνεια μιας
σφαίρας έχει τη μορφή:
ds2
=dr2
+sin2
r.dθ2
(Πολικές συντεταγμένες στη σφαιρική
γεωμετρία).
Η τελευταία γεωμετρία δεν είναι Ευκλείδεια αλλά για πολύ
μικρές περιοχές μπορεί να θεωρηθεί προσεγγιστικά
Ευκλείδεια. Για παράδειγμα αν r είναι πολύ μικρό sinr~r και
η μετρική καταλήγει Ευκλείδεια.
LOGO

επίσης στις μη ευκλείδειες…
 Η περίμετρος του κύκλου δεν ισούται με 2πR, όπου R η
ακτίνα του.
 Δεν ισχύει το Πυθαγόρειο Θεώρημα
LOGO

Πρότυπο klein
Σε ένα Ευκλείδειο επίπεδο, θεωρούµε κύκλο (Ο,R).
Τότε ως:
 Υπερβολικό επίπεδο, θεωρούμε
τα εσωτερικά σημεία του κύκλου.
 Υπερβολικές ευθείες, θεωρούμε
τις χορδές του κύκλου χωρίς τα
άκρα τους.
 Υπερβολικό σημείο, θεωρούμε
κάθε σύνηθες ευκλείδειο σημείο
του υπερβολικού επιπέδου.
 Παράλληλες ευθείες είναι αυτές
που δεν έχουν κοινό σημείο.
LOGO

Πρότυπο του Πουανκαρε
LOGO

Ο δίσκος του Πουανκαρε
Στο πρότυπο του Klein κανουµε
στερεογραφική προβολή η οποία
διατηρεί το επίπεδο Α, Β,Γ και τις
γωνίες. Έτσι όπως φαίνεται και
από το σχήμα, έχουµε πάλι ως
«επίπεδο» έναν ανοικτό δίσκο και
ως «ευθείες» τις προβολές των
ευθειών του δίσκου του Κlein,
οι οποίες θα είναι είτε διάµετροι
του κύκλου, είτε τόξα κάθετα στον
κύκλο. Και σε αυτό το πρότυπο
έχουμε περισσότερες παράλληλες
από σημείο εκτός ευθείας σε ευθεία.
LOGO

Σημείο Lemoine
Θεώρημα
Οι τρεις συμμετροδιάμεσοι ενός τριγώνου
συντρέχουν, αντίστοιχα στην Ευκλείδεια και
σε μη Ευκλείδειες γεωμετρίες.
Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ, ΑΕ
διχοτόμος και διάμεσος αντίστοιχα του
τριγώνου. Αν Μ είναι το συμμετρικό
σημείο του Ε ως προς το Δ, τότε το
τμήμα ΑΜ ονομάζεται συμμετροδιάμεσος του τριγώνου
από τη κορυφή Α.
Αυτό φαίνεται στις επόμενες διαφάνειες
LOGO

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία
LOGO

Στη μη Ευκλείδεια Γεωμετρία
LOGO

ΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΗΝ
ΤΕΧΝΗ
LOGO

Maurits Cornelis Escher
LOGO

V. Vasarely

V. Vasarely
LOGO

ΟΠΥ ΖΟΥΝΗ
LOGO

Ποια είναι η αληθινή γεωμετρία;
Poincaré :
Η ερώτηση είναι το ίδιο παράλογη με την
ερώτηση αν το μετρικό σύστημα είναι πιο
αληθινό από τα παλιότερα, αν οι καρτεσιανές
συντεταγμένες είναι πιο αληθινές από τις
πολικές. «Μια γεωμετρία δε μπορεί να είναι
πιο αληθινή από την άλλη. Μπορεί να είναι
μόνο πιο βολική »

Η ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΚΑΙ ΟΙ ΑΛΛΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Η ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΚΑΙ ΟΙ ΑΛΛΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ

Similar to Η ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΚΑΙ ΟΙ ΑΛΛΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ (20)

More from ΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ

More from ΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Η ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΚΑΙ ΟΙ ΑΛΛΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ