Este documento describe el método de mínimos cuadrados, que es la técnica más efectiva para determinar los parámetros de una ecuación lineal a partir de datos experimentales. El método implica minimizar la suma de los cuadrados de los residuos entre los valores medidos y los calculados por la ecuación propuesta. Se ilustra con un ejemplo del cálculo de las ventas proyectadas de una empresa para los próximos años.
BIOMETANO SÍ, PERO NO ASÍ. LA NUEVA BURBUJA ENERGÉTICA
Método de mínimos cuadrados
1. MÉTODOS DE MÍNIMOS CUADRADOS
Existen numerosas leyes físicas en las que se sabe de
antemano que dos magnitudes x e y se relacionan a través de
una ecuación lineal .
y = ax + b
donde las constantes b (ordenada en el origen) y a (pendiente)
dependen del tipo de sistema.
El método más efectivo para determinar los parámetros a y b
se conoce como técnica de mínimos cuadrados.
Consiste en someter el sistema a diferentes condiciones,
fijando para ello distintos valores de la variable independiente
x, y anotando en cada caso el correspondiente valor medido
para la variable dependiente y.
2. Supongamos que una empresa con información desde el año 2000 a 2010, quiere
conocer cuál sería la tendencia para el 2011, 2012 y 2013.
Ventas por $
Periodo (x ) Año 1000 (y) x●y x2
1 2000 408 408 1
2 2001 701 1402 4
3 2002 803 2409 9
4 2003 929 3716 16
5 2004 230 1150 25
6 2005 1100 6600 36
7 2006 1160 8120 49
8 2007 965 7720 64
9 2008 1050 9450 81
10 2009 1118 11180 100
11 2010 720 7920 121
3. Supongamos que una empresa con información desde el año 2000 a 2010, quiere
conocer cuál sería la tendencia para el 2011, 2012 y 2013.
Ventas por $
Periodo (x) Año 1000 (y) x●y x2
11 ∑ 66 ∑ 9184 ∑ 60075 ∑ 506
12 2011
13 2012
14 2013
y=mx+b
54681
m=
1210
11 (60075) - 66(9184)
m= m = 45, 2
11 (506) - 66 (66)
660825 - 606144
m = 5566 - 4356
4. Supongamos que una empresa con información desde el año 2000 a 2010, quiere
conocer cuál sería la tendencia para el 2011, 2012 y 2013.
Ventas por $
Periodo (x) Año 1000 (y) x●y x2
11 ∑ 66 ∑ 9184 ∑ 60075 ∑ 506
12 2011
13 2012
14 2013
y=mx+b
682154
b =
1210
9184 (506) - 66 (60075)
b = b = 563,8
11 (506) - 66 (66)
b = 4647104 - 3964950
5566 - 4356
5. Supongamos que una empresa con información desde el año 2000 a 2010, quiere
conocer cuál sería la tendencia para el 2011, 2012 y 2013.
Ventas por $
Periodo (x) Año 1000 (y) x●y x2
∑ 66 ∑ 9184 ∑ 60075 ∑ 506
12 2011 1105,4
13 2012 1151,4
14 2013 1196,6
y=mx+b
m = 45, 2 b = 563,8 y = 45,2 x + 563,8
y = 45,2 (12) + 563,8 y = 45,2 (14) + 563,8
y = 45,2 (13) + 563,8
6. Supongamos que una empresa con información desde el año 2003 a 2012, quiere
conocer cuál sería la tendencia para el 2013, 2014 y 2015.
Periodo (x) Año Ventas (y) x●y x2
1 2003 11000 11000 1
2 2004 16000 32000 4
3 2005 18000 54000 9
4 2006 19000 76000 16
5 2007 13000 65000 25
6 2008 15000 90000 36
7 2009 12000 84000 49
8 2010 18000 144000 64
9 2011 26000 234000 81
10 2012 23000 230000 100
11 2013 1020000 385
12 2014
13 2015
