O capítulo introduz a abordagem euleriana para estudar fluidos em movimento, focando no fluido como um contínuo e nas propriedades em diferentes pontos no mesmo instante. Discute-se o regime permanente para simplificar problemas e a noção de campos de velocidade. Exemplos ilustram conceitos como tubo de corrente e cinemática de fluidos.
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Resolução do capítulo 3 franco brunetti
1. Capítulo 3
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
Neste capítulo pretende-se, implicitamente, estabelecer a visão euleriana do estudo dos fluidos
em movimento. É interessante lembrar que o estudante, acostumado com a visão lagrangeana
estabelecida pela Mecânica Geral e pela Física, tem muita dificuldade para focalizar o fluido
como um contínuo e observar as suas propriedades em diversos pontos no mesmo instante.
Insiste-se na idéia do regime permanente, já que a eliminação da variável tempo simplifica o
estudo e a solução dos problemas e, de certa forma, resolve a maioria dos problemas práticos.
Procura-se fixar as idéias de campos de propriedades e de diagramas de velocidades, típicas
do estudo de fluidos. Evita-se propositadamente a denominação “volume de controle”, porém
seu conceito está utilizado implicitamente quando se trata de tubo de corrente. O
aprofundamento do estudo será feito no Capítulo 10, quando o leitor já tiver uma melhor
compreensão do assunto, com as limitações impostas nos primeiros capítulos.
Exercício 3.1
∫=
A
m vdA
A
1
v
Mostrar claramente a facilidade de se utilizar uma coordenada polar quando se trabalha com
seções circulares. Mostrar que a área elementar é calculada por 2πrdr.
( )
máxm
44
4
máx
m
R
0
422
4
máxR
0
32
4
máx
m
R
0 2
22
2
máx
m
2
R
0 máx2m
v5,0v
4
R
2
R
R
v2
v
4
r
2
rR
R
v2
drrrR
R
v2
v
rdr
R
rR
R
v2
v
rdr2
R
r
1v
R
1
v
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
π
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
π
=
∫
∫
∫
Exercício 3.2
( )
dxdr;xRr;rRx:iávelvardeMudança
rdrrR
R
v2
rdr2
R
r
1v
R
1
v
vdA
A
1
v
R
0
7
1
7
15
máx7
1
R
0 máx2m
m
−=−=−=
−=π⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
π
=
=
∫∫
∫
3. s
m
267
1010
1067,2
A
Q
v
s
N
24,0104,210gQQ
4
2
2
2
2
2
mG
=
×
×
==
=××==
−
−
−
Exercício 3.7
Supondo o regime permanente, já que o enunciado não dá nenhuma indicação de variação
com o tempo, pode-se utilizar a Equação da Continuidade correspondente.
3
2211
3
332211
Q
QQ
QQQ
ρ+ρ
=ρ
ρ=ρ+ρ
Sendo os fluidos incompressíveis e o reservatório rígido, pode-se utilizar também a equação
para fluido incompressível.
s/m10
1030
1030
A
Q
v
m/kg933
30
1080020000.1
QQQ
4
3
3
3
3
3
3
213
=
×
×
==
=
×+×
=ρ
+=
−
−
Exercício 3.8
s500
1010
552,0
Q
hA
Q
V
t
s
m
104
55
1010
A
Q
v
3
tan
4
3
tan
=
×
××
===
×=
×
×
==
−
−
−
Exercício 3.9
s
m
14,4
1
25,34
D
Q4
v
s
m
25,3
500
10
100
5
t
V
t
V
Q
22
333
2
2
1
1
=
×π
×
=
π
=
=+=+=
Exercício 3.10
s
m
01,0
2
02,0
2
v
v
D
DvDv
v
4
D
v
4
D
v
4
D
v
1máx
1
2
3
2
22
2
11
3
2
3
3
2
2
2
2
1
1
===
−
=
π
+
π
=
π
4. s
m
064,0
5
5,2106,01501,0
v
s
m
106,013,0
60
49
v
60
49
v
2
22
2
3máx2
=
×−×
=
=×==
Exercício 3.11
Seja: Qe = vazão de entrada
QF = vazão filtrada
QNF = vazão não filtrada
∫=
+=
ANF
NFFe
vdAQ
QQQ
Por semelhança de triângulos: ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=→
−
=
R
rR
vv
rR
v
R
v
máx
máx
( )
( )
s
L
8,82,110QQQ
s
L
2,1
s
m
102,1
3
1014,63,0
Q
cm14,620tg105,2R
3
Rv
3
R
2
R
R
v2
3
r
2
Rr
R
v2
Q
drrRr
R
v2
rdr2
R
rR
vQ
NFeF
3
3
22
NF
o
2
máx
33
máx
R
0
32
máx
NF
R
0
2máxR
0 máxNF
=−=−=
=×=
×××π
=
=×+=
π
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
π
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
π
=
−
π
=π⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
−
−
∫∫
Aproveitar este exercício para mostrar que a vazão coincide geometricamente com o volume
do diagrama de velocidades. No caso do diagrama cônico, o volume do cone é:
3
vR
3
alturaBase máx
2
×π
=
×
Exercício 3.12
s
m
8,02,01QQQ
s
m
1111AvQ
s
m
2,0
5
1
t
V
Q)b
s
m
1
3
y3
dyy3bdyy3
11
1
v
vdA
A
1
v)a
3
Bcalha
3
mcalha
3
B
B
B
3
1
0
21
0
2
m
m
=−=−=⇒=××==
===
===
×
=
=
∫∫
∫
5. s
m
86,1332,11
49
60
v
49
60
v104,3
10
3,032,11
Re
s
m
32,11
3,0
8,04
D
Q4
v
vD
Re)c
mmáx
6
6
22
=×=⇒×=
×
=
=
×π
×
=
π
=→
ν
=
−
Exercício 3.13
( )
( )
( )
m099,0
10810
624,04
Re
Q4
D
D
D
Q4
Re
D
Q4
v
Dv
Re
s/m624,0
09,1
68,0Q
Q
s/kg68,073,441,5QQQ
s
m
021,5
942,0
73,4Q
Qs/kg73,4
4
8,0
10942,0
4
D
vQ
s/m10
8,0
10108
D
Re
v
Dv
Re
s/kg41,55,4201,1QQ
m
kg
201,1
27317287
10100
RT
p
m
kg
942,0
27397287
10100
RT
p
m
kg
09,1
27347287
10100
RT
p
s
m
5,4
3600
1
h
m
16200Q
55
1
1
1
1
2
1
1
12
1
1
1
11
1
3
1
1m
1
2m0m1m
3
2
2m
2
22
2
222m
55
2
2
2
22
2
000m
3
3
0
0
0
3
3
2
2
2
3
3
1
1
1
33
0
=
×××π
×
=
νπ
=
νπ
=→
π
=→
ν
=
==
ρ
=
=−=−=
==
ρ
=→=
×π
××=
π
ρ=
=
××
=
ν
=→
ν
=
=×=ρ=
=
+×
×
==ρ
=
+×
×
==ρ
=
+×
×
==ρ
=×=
−
−
Exercício 3.14
h
0
32
h
0
2
m
2
3
0y
0y
1
0y
1
cm2y
2
3
52
5
2
3
y
2
y30
h
1
bdy)yy30(
bh
1
vdA
A
1
v)c
m
N
189,030103,6
dy
dv
s30
dy
dv
)b
s262230
dy
dv
y230
dy
dv
)a
m
s.N
103,6
10
900107
gs
m
107
s
cm
ouSt7,0cSt70
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=−==
=××=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
μ=τ→=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=×−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⇒−=
×=
××
=
νγ
=μ⇒×==
∫∫
−
=
=
−
=
−
=
−
−
−