4. σ -àëãåáðà
Îïðåäåëåíèå. Ω íåêîòîðîå ìíîæåñòâî, A ⊆ 2Ω. A íàçûâàåòñÿ
σ -àëãåáðîé, åñëè:
• Ω∈A
• Äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {An }n∈N, åñëè ∀n ∈ N, An ∈ A, òî
n∈N An ∈ A è n∈N An ∈ A.
• A ∈ A ⇐⇒ A = Ω A ∈ A.
Îïðåäåëåíèå. Ω íåêîòîðîå ìíîæåñòâî, A σ-àëãåáðà.
Âåðîÿòíîñòíîé ìåðîé íà A íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå
p : A → [0, 1]:
• p(Ω) = 1;
• Äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ
ìíîæåñòâ {An }n∈N âûïîëíÿåòñÿ
p( n∈N An ) = n∈N P(An ).
4 / 27
7. Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè
,
• p(∅) = 0 p(Ω) = 1 ;
• p(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ) ≤ n
i=1 p(An ) ;
• (ôîðìóëà âêëþ÷åíèé-èñêëþ÷åíèé) p(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ) =
n
i=1 p(An ) − ij p(Ai Aj ) + · · · + (−1)n p(A1 A2 . . . An )
n
• p(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ) ≥ i=1 p(An ) − ij p(Ai Aj )
7 / 27
8. Random subsum principle
Îïðåäåëåíèå.nÄëÿ x, y ∈ {0, 1}n îïðåäåëèì
x, y = i=1 xi yi (mod2).
Ëåììà. Ðàññìîòðèì Ω = {0, 1}n , A = 2Ω, p(x) = 2−n äëÿ âñåõ
x ∈ Ω. Èçâåñòíî, ÷òî y = 0n . Ïóñòü A = {x| x, y = 1}, òîãäà
p(A) = 2 (èíà÷å Prx∈{0,1} { x, y = 1} = 1 ).
1
n
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü yk = 1, êàæäîìó x ∈ Ω ìîæíî
2
ñîïîñòàâèòü x (k), ó êîòîðîãî k -é ýëåìåíò èíâåðòèðîâàí,
y , x = 1− y , x (k) .
8 / 27
22. Äèñïåðñèÿ
Îïðåäåëåíèå. Äèñïåðñèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ
âåëè÷èíà D ξ = E(ξ − E ξ)2.
D ξ = E(ξ − E ξ)2 = E[ξ 2 − 2ξ E ξ + (E ξ)2 ] = E ξ 2 − (E ξ)2 ≥ 0.
Ëåììà. (Íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà). D ξ = σ2 , òîãäà
1
Pr{|ξ − E ξ| ≥ kσ} ≤ .
k2
Äîêàçàòåëüñòâî. η = (ξ − E ξ)2, E η = σ2.
(íåð-âî Ìàðêîâà) 1
2 2
Pr{|ξ − E ξ| ≥ kσ} = Pr{η ≥ k σ } ≤ k2
.
22 / 27
23. Ëèíåéíîñòü äèñïåðñèè
Òåîðåìà. Åñëè ξ1, ξ2, . . . , ξn ïîïàðíî íåçàâèñèìû, òî
D(ξ1 + ξ2 + · · · + ξn ) = D ξ1 + D ξ2 + · · · + D ξn .
Äîêàçàòåëüñòâî.
D( ξi ) = E[( ξi − E ξi )2 ] =
i i i
2
E[( ξi ) − 2( ξi )( E ξj ) + ( E ξi )2 ] =
i i j i
E ξi2 +2 E ξi E ξj −2 2
(E ξi ) − 4 E ξi E ξj
i ij i ij
+ (E ξi )2 + 2 E ξi E ξj =
i ij
= E ξi2 − (E ξi )2 = D[ξi ].
i i i
23 / 27
24. Îöåíêè ×åðíîâà
âçàèìíî íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå
• X1 , X2 , . . . , Xn
âåëè÷èíû, ïðèíèìàþùèå çíà÷åíèÿ èç {0, 1};
• X = n Xi , m = E X ;
i=1
• Õî÷åòñÿ ïîëó÷èòü Pr{X ≥ (1 + δ)m} ≤ ÷òî-òî ìàëåíüêîå
• E e tX = (1 − pi ) + e t pi ;
i
E e tX = E e t i Xi
=E e tXi = E e tXi = (1+pi (e t −1)) ≤
i i i
(1+x≤e x ) t −1) pi (e t −1) t −1)
≤ e pi (e =e i = e m(e
i
24 / 27
25. Îöåíêè ×åðíîâà
t −1)
• E e tX = e m(e
t
• Pr{X ≥ (1 + δ)m} = Pr{e tX ≥ e (1+δ)mt } ≤ E e tX e m(e −1)
e (1+δ)mt
≤ e (1+δ)mt
• t = ln(1 + δ)
e δ
• Pr{X ≥ (1 + δ)m} ≤ (
(1+δ)(1+δ)
)m ≤ e (δ−(1+δ) ln(1+δ))m ≤
2 /2))m 2 /2+δ 3 /3)m 2 m/6
e (δ−(1+δ)(δ−δ = e (−δ ≤ e −δ
−δ 2 m/2
• Pr{X ≤ (1 − δ)m} ≤ ( e (1−δ) )m ≤ e −δ
(1−δ)
25 / 27
26. Îöåíêè ×åðíîâà
îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå âçàèìíî
• X1 , X2 , . . . , Xn
íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.
• Pr{Xi = 1} = p, Pr{Xi = 0} = 1 − p .
E Xi = p, E X = E n Xi = np ;
i=1
2
Xi ε − ε6pn
• Pr{| n − p| ≥ ε} = Pr{|X − np| ≥ np p )} ≤ 2e
• 10000 ðàç áðîñàëè ìîíåòêó. Îöåíèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
âûïàëî áîëüøå 5500 îðëîâ?
≤ 0.00025.
( 10000 )2 ·10000
500
• e− 3
26 / 27
