1. Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat

2. Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat

3. Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Часть 2. Десятая проблема Гильберта
Третья лекция
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat

4. Теорема Куммера
m+n
m
= Cm
m+n

5. Теорема Куммера
m+n
m
= Cm
m+n
=
(m + n)!
m!n!

6. Теорема Куммера
m+n
m
= Cm
m+n
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . .

7. Теорема Куммера
m+n
m
= Cm
m+n
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . .
Теорема (Ernst Eduard Kummer [1852]). Запишем числа m
и n в позиционной системе счисления с основанием p и сложим
их «в столбик»;

8. Теорема Куммера
m+n
m
= Cm
m+n
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . .
Теорема (Ernst Eduard Kummer [1852]). Запишем числа m
и n в позиционной системе счисления с основанием p и сложим
их «в столбик»; αp (m, n) равно количеству переносов из
разряда в разряд при этом сложении.

9. Теорема Куммера
m+n
m
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . .

10. Теорема Куммера
m+n
m
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . .
k! = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .

11. Теорема Куммера
m+n
m
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . .
k! = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .
αp (m, n) = βp (m + n) − βp (m) − βp (n)

12. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .

13. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .
p, 2p, 3p, . . . ,

14. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .
p, 2p, 3p, . . . ,
k
p
p

15. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .
Имеется
k
p
чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . ,
k
p
p

16. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .
Имеется
Имеется
k
k
чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . ,
p
p
p
k
k
чисел кратных p 2 : p 2 , 2p 2 , 3p 2 , . . . , 2 p 2
2
p
p

17. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .
Имеется
Имеется
Имеется
k
k
чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . ,
p
p
p
k
k
чисел кратных p 2 : p 2 , 2p 2 , 3p 2 , . . . , 2 p 2
2
p
p
k
k
чисел кратных p 3 : p 3 , 2p 3 , 3p 3 , . . . , 3 p 3
3
p
p

18. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .
Имеется
Имеется
Имеется
.
.
.
k
k
чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . ,
p
p
p
k
k
чисел кратных p 2 : p 2 , 2p 2 , 3p 2 , . . . , 2 p 2
2
p
p
k
k
чисел кратных p 3 : p 3 , 2p 3 , 3p 3 , . . . , 3 p 3
3
p
p

19. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .
Имеется
Имеется
Имеется
k
k
чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . ,
p
p
p
k
k
чисел кратных p 2 : p 2 , 2p 2 , 3p 2 , . . . , 2 p 2
2
p
p
k
k
чисел кратных p 3 : p 3 , 2p 3 , 3p 3 , . . . , 3 p 3
3
p
p
.
.
.
βp (k) =
k
k
k
+ 2 + 3 + ...
p
p
p

20. Теорема Куммера
m+n
m
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . .

21. Теорема Куммера
m+n
m
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . .
k! = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .

22. Теорема Куммера
m+n
m
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . .
k! = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .

23. Теорема Куммера
m+n
m
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . .
k! = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .
αp (m, n) = βp (m + n) − βp (m) − βp (n)

24. Теорема Куммера
m+n
m
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2 (m,n) 3α3 (m,n) . . . p αp (m,n) . . .
k! = 2β2 (k) 3β3 (k) . . . p βp (k) . . .
αp (m, n) = βp (m + n) − βp (m) − βp (n)
m+n
m+n
m+n
=
+
+
+ ...
p
p2
p3
m
m
m
−
− 2 − 3 − ...
p
p
p
n
n
n
−
− 2 − 3 − ...
p
p
p

25. Теорема Куммера
αp (m, n) = βp (m + n) − βp (m) − βp (n)
m+n
m+n
m+n
+
+
+ ...
=
2
p
p
p3
m
m
m
−
− 2 − 3 − ...
p
p
p
n
n
n
−
− 2 − 3 − ...
p
p
p

26. Теорема Куммера
αp (m, n) = βp (m + n) − βp (m) − βp (n)
m+n
m+n
m+n
+
+
+ ...
=
2
p
p
p3
m
m
m
−
− 2 − 3 − ...
p
p
p
n
n
n
−
− 2 − 3 − ...
p
p
p
m+n
m
n
m+n
m
n
=
−
−
+
− 2 − 2
p
p
p
p2
p
p
m+n
m
n
+
− 3 − 3
+ ...
3
p
p
p
+

27. Теорема Куммера
m
m+n
− k
k
p
p
−
n
pk
=
1, если есть перенос
0, если нет переноса

28. Теорема Куммера
m
m+n
− k
k
p
p
m=
n=
m+n =
r
j
j=0 mj p
r
j
j=0 nj p
r
j
j=0 j p
−
n
pk
=
=
=
mr
nr
m/p k =
n/p k =
(m + n)/p k =
mr
nr
r
r
=
1, если есть перенос
0, если нет переноса
...
...
...
mk
nk
mk−1
nk−1
k
k−1
...
...
...
mk
nk
k
...
...
...
m0
n0
0

29. Теорема Куммера
αp (m, n) = βp (m + n) − βp (m) − βp (n)
m+n
m+n
m+n
+
+
+ ...
=
2
p
p
p3
m
m
m
−
− 2 − 3 − ...
p
p
p
n
n
n
−
− 2 − 3 − ...
p
p
p

30. Теорема Куммера
αp (m, n) = βp (m + n) − βp (m) − βp (n)
m+n
m+n
m+n
+
+
+ ...
=
2
p
p
p3
m
m
m
−
− 2 − 3 − ...
p
p
p
n
n
n
−
− 2 − 3 − ...
p
p
p
m+n
m
n
m+n
m
n
=
−
−
+
− 2 − 2
p
p
p
p2
p
p
m+n
m
n
+
− 3 − 3
+ ...
3
p
p
p
+

31. Следствия теоремы Куммера

32. Следствия теоремы Куммера
Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе
счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд
в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент
a+b
явлется нечетным
a

33. Следствия теоремы Куммера
Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе
счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд
в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент
a+b
явлется нечетным, то есть существует натуральное число
a
d такое, что
a+b
= 2d + 1.
a

34. Следствия теоремы Куммера
Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе
счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд
в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент
a+b
явлется нечетным, то есть существует натуральное число
a
d такое, что
a+b
= 2d + 1.
a
a
Лемма. Биномиальный коэффициент b явлется нечетным
тогда и только тогда, когда каждый двочный разряд числа a не
меньше соответствующего двоичного разряда числа b:
∞
∞
ak 2 k
a=
k=0
bk 2k
b=
k=0
ak ≥ b k

35. Следствия теоремы Куммера
Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе
счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд
в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент
a+b
явлется нечетным, то есть существует натуральное число
a
d такое, что
a+b
= 2d + 1.
a
a
Лемма. Биномиальный коэффициент b явлется нечетным
тогда и только тогда, когда каждый двочный разряд числа a не
меньше соответствующего двоичного разряда числа b:
∞
∞
ak 2 k
a=
bk 2k
b=
k=0
k=0
a
b
=
b + (a − b)
b
ak ≥ b k

36. Поразрядное умножение
∞
∞
k
ak 2
a=
k=0
∞
bk 2
b=
k=0
k
ck 2k
c=
k=0

37. Поразрядное умножение
∞
∞
k
ak 2
a=
a
b
c
...
...
...
bk 2
b=
k=0
∞
k
k=0
0
0
0
...
...
...
0
1
0
ck 2k
c=
k=0
...
...
...
1
0
0
...
...
...
1
1
1
...
...
...

38. Поразрядное умножение
∞
∞
k
ak 2
a=
a
b
c
a−c
b−c
c = a&b
...
...
...
...
...
bk 2
b=
k=0
∞
k
k=0
0
0
0
0
0
...
...
...
...
...
0
1
0
0
1
ck 2k
c=
k=0
...
...
...
...
...
1
0
0
1
0
...
...
...
...
...
1
1
1
0
0
...
...
...
...
...

39. Поразрядное умножение
∞
∞
k
ak 2
a=
a
b
c
a−c
b−c
c = a&b
...
...
...
...
...
bk 2
b=
k=0
∞
k
k=0
0
0
0
0
0
...
...
...
...
...
0
1
0
0
1
ck 2k
c=
k=0
...
...
...
...
...
1
0
0
1
0
...
...
...
...
...
1
1
1
0
0
...
...
...
...
...

40. Поразрядное умножение
∞
∞
k
ak 2
a=
a
b
c
a−c
b−c
c = a&b =⇒
bk 2
b=
k=0
∞
k
k=0
...
...
...
...
...
a
c
0
0
0
0
0
...
...
...
...
...
нечетн.
0
1
0
0
1
ck 2k
c=
k=0
...
...
...
...
...
1
0
0
1
0
...
...
...
...
...
1
1
1
0
0
...
...
...
...
...

41. Поразрядное умножение
∞
∞
k
ak 2
a=
a
b
c
a−c
b−c
c = a&b =⇒
bk 2
b=
k=0
∞
k
k=0
...
...
...
...
...
a
c
0
0
0
0
0
...
...
...
...
...
0
1
0
0
1
нечетн. ∧
ck 2k
c=
k=0
...
...
...
...
...
b
c
1
0
0
1
0
...
...
...
...
...
нечетн.
1
1
1
0
0
...
...
...
...
...

42. Поразрядное умножение
∞
∞
k
ak 2
a=
a
b
c
a−c
b−c
c = a&b =⇒
bk 2
b=
k=0
∞
k
k=0
...
...
...
...
...
a
c
0
0
0
0
0
...
...
...
...
...
0
1
0
0
1
ck 2k
c=
k=0
...
...
...
...
...
1
0
0
1
0
...
...
...
...
...
1
1
1
0
0
b
нечетн. ∧
c
(a − c) + (b − c)
∧
a−c
...
...
...
...
...
нечетн. ∧
нечетн.

43. Поразрядное умножение
∞
∞
k
ak 2
a=
a
b
c
a−c
b−c
c = a&b =⇒
bk 2
b=
k=0
∞
k
k=0
...
...
...
...
...
a
c
0
0
0
0
0
...
...
...
...
...
0
1
0
0
1
ck 2k
c=
k=0
...
...
...
...
...
1
0
0
1
0
...
...
...
...
...
1
1
1
0
0
b
нечетн. ∧
c
(a − c) + (b − c)
∧
a−c
...
...
...
...
...
нечетн. ∧
нечетн.

44. Поразрядное умножение
∞
∞
k
ak 2
a=
a
b
c
a−c
b−c
c = a&b ⇐=
bk 2
b=
k=0
∞
k
k=0
...
...
...
...
...
a
c
0
0
0
0
0
...
...
...
...
...
0
1
0
0
1
ck 2k
c=
k=0
...
...
...
...
...
1
0
0
1
0
...
...
...
...
...
1
1
1
0
0
b
нечетн. ∧
c
(a − c) + (b − c)
∧
a−c
...
...
...
...
...
нечетн. ∧
нечетн.

45. Поразрядное умножение
∞
∞
k
ak 2
a=
a
b
c
a−c
b−c
c = a&b ⇐⇒
bk 2
b=
k=0
∞
k
k=0
...
...
...
...
...
a
c
0
0
0
0
0
...
...
...
...
...
0
1
0
0
1
нечетн. ∧
∧
ck 2k
c=
k=0
...
...
...
...
...
1
0
0
1
0
...
...
...
...
...
1
1
1
0
0
b
нечетн. ∧
c
(a − c) + (b − c)
a−c
...
...
...
...
...
нечетн.

46. Биномиальные коэффициенты

47. Биномиальные коэффициенты
(1 + u)m =
m m
m
m
u +
u m−1 +
u m−2 +
m
m−1
m−2
m n
m
m
+ ··· +
u + ··· +
u+
n
1
0

48. Биномиальные коэффициенты
(1 + u)m =
m m
m
m
u +
u m−1 +
u m−2 +
m
m−1
m−2
m n
m
m
+ ··· +
u + ··· +
u+
n
1
0
2m =
m
m
m
+ ··· +
+ ··· +
0
n
m

49. Биномиальные коэффициенты
(1 + u)m =
m m
m
m
u +
u m−1 +
u m−2 +
m
m−1
m−2
m n
m
m
+ ··· +
u + ··· +
u+
n
1
0
2m =
c=
m
n
⇐⇒
m
m
m
+ ··· +
+ ··· +
0
n
m
∃upq{(1 + u)m = pu n+1 + cu n + q ∧
c < u ∧ q < u n−1 ∧ u > 2m }

50. Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема)
Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое
перечислимое множество является диофантовым.

51. Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема)
Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое
перечислимое множество является диофантовым.
Теорема (Davis-Putnam-Robinson [1961]). Каждое
перечислимое множество M имеет экспоненциально
диофантово представление
a1 , . . . , an ∈ M ⇐⇒
⇐⇒ ∃x1 . . . xm {EL (a1 , . . . , an , x1 , x2 , . . . , xm ) =
= ER (a1 , . . . , an , x1 , x2 , . . . , xm )}

52. Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема)
Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое
перечислимое множество является диофантовым.
Теорема (Davis-Putnam-Robinson [1961]). Каждое
перечислимое множество M имеет экспоненциально
диофантово представление
a1 , . . . , an ∈ M ⇐⇒
⇐⇒ ∃x1 . . . xm {EL (a1 , . . . , an , x1 , x2 , . . . , xm ) =
= ER (a1 , . . . , an , x1 , x2 , . . . , xm )}
a = b c ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {P(a, b, c, x1 , . . . , xm ) = 0}

53. Рекуррентные последовательности второго порядка
βb (0) = 1
βb (n + 1) = bβb (n)

54. Рекуррентные последовательности второго порядка
βb (0) = 1
αb (0) = 0
αb (1) = 1
βb (n + 1) = bβb (n)
αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n)
b≥2

55. Рекуррентные последовательности второго порядка
βb (0) = 1
αb (0) = 0
αb (1) = 1
βb (n + 1) = bβb (n)
αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n)
0 < 1 < αb (2) < · · · < αb (n) < αb (n + 1) < . . .
b≥2

56. Рекуррентные последовательности второго порядка
α2 (0), α2 (1), . . . , α2 (n), . . .

57. Рекуррентные последовательности второго порядка
α2 (0), α2 (1), . . . , α2 (n), . . .

58. Рекуррентные последовательности второго порядка
α2 (0), α2 (1), . . . , α2 (n), . . .
0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .

59. Рекуррентные последовательности второго порядка
α2 (0), α2 (1), . . . , α2 (n), . . .
0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
α2 (n + 2) = 2α2 (n + 1) − α2 (n)

60. Рекуррентные последовательности второго порядка
α2 (0), α2 (1), . . . , α2 (n), . . .
0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
α2 (n + 2) = 2α2 (n + 1) − α2 (n)
= 2(n + 1) − n

61. Рекуррентные последовательности второго порядка
α2 (0), α2 (1), . . . , α2 (n), . . .
0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
α2 (n + 2) = 2α2 (n + 1) − α2 (n)
= 2(n + 1) − n
= n+2

62. Диофантовость последовательности αb (k)
Основная лемма. Существует многочлен Q(x, b, k, x1 , . . . , xm )
такой что
b ≥ 4 & x = αb (k) ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {Q(x, b, k, x1 , . . . , xm ) = 0}

63. Диофантовость последовательности αb (k)
Основная лемма. Существует многочлен Q(x, b, k, x1 , . . . , xm )
такой что
b ≥ 4 & x = αb (k) ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {Q(x, b, k, x1 , . . . , xm ) = 0}

64. Скорость роста
αb (0) = 0
αb (1) = 1
αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n)
b≥2

65. Скорость роста
αb (0) = 0
αb (1) = 1
αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n)
(b − 1)αb (n + 1) ≤ αb (n + 2) ≤ bαb (n + 1)
b≥2

66. Скорость роста
αb (0) = 0
αb (1) = 1
αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n)
(b − 1)αb (n + 1) ≤ αb (n + 2) ≤ bαb (n + 1)
(b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n
b≥2

67. От α к β
(b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n

68. От α к β
(b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n
b n ≤ αb+1 (n + 1) ≤ (b + 1)n

69. От α к β
(b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n
b n ≤ αb+1 (n + 1) ≤ (b + 1)n
(b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n ≤ αb+1 (n + 1) ≤ (b + 1)n

70. От α к β
(b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n
b n ≤ αb+1 (n + 1) ≤ (b + 1)n
(b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n ≤ αb+1 (n + 1) ≤ (b + 1)n
(bd − 1)n ≤ αbd (n + 1) ≤ (bd)n ≤ αbd+1 (n + 1) ≤ (bd + 1)n

71. От α к β
(b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n
b n ≤ αb+1 (n + 1) ≤ (b + 1)n
(b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n ≤ αb+1 (n + 1) ≤ (b + 1)n
(bd − 1)n ≤ αbd (n + 1) ≤ (bd)n ≤ αbd+1 (n + 1) ≤ (bd + 1)n
(d − 1)n ≤ αd (n + 1) ≤ d n ≤ αd+1 (n + 1) ≤ (d + 1)n

72. От α к β
(b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n
b n ≤ αb+1 (n + 1) ≤ (b + 1)n
(b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n ≤ αb+1 (n + 1) ≤ (b + 1)n
(bd − 1)n ≤ αbd (n + 1) ≤ (bd)n ≤ αbd+1 (n + 1) ≤ (bd + 1)n
(d − 1)n ≤ αd (n + 1) ≤ d n ≤ αd+1 (n + 1) ≤ (d + 1)n
bd − 1
d +1
n
αbd (n + 1)
αbd+1 (n + 1)
≤ bn ≤
≤
≤
αd+1 (n + 1)
αd (n + 1)
bd + 1
d −1
n

73. От α к β
bd − 1
d +1
n
≤
αbd (n + 1)
αbd+1 (n + 1)
≤ bn ≤
≤
αd+1 (n + 1)
αd (n + 1)
bd + 1
d −1
n

74. От α к β
bd − 1
d +1
n
≤
αbd (n + 1)
αbd+1 (n + 1)
≤ bn ≤
≤
αd+1 (n + 1)
αd (n + 1)
bd + 1
d −1
n
a = b n ⇐⇒
⇐⇒ ∃d
αbd (n + 1)
αbd+1 (n + 1)
αbd (n + 1)
1
≤a≤
≤
+
αd+1 (n + 1)
αd (n + 1)
αd+1 (n + 1) 2

75. Матричное представление
αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n)

76. Матричное представление
αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n)
Ab (n) =
αb (n + 1)
−αb (n)
αb (n)
−αb (n − 1)

77. Матричное представление
αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n)
Ab (n) =
αb (n + 1)
−αb (n)
αb (n)
−αb (n − 1)
Ab (n + 1) = Ab (n)Ψb

78. Матричное представление
αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n)
Ab (n) =
αb (n + 1)
−αb (n)
αb (n)
−αb (n − 1)
Ab (n + 1) = Ab (n)Ψb
Ψb =
b −1
1 0

79. Матричное представление
αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n)
Ab (n) =
αb (n + 1)
−αb (n)
αb (n)
−αb (n − 1)
Ab (n + 1) = Ab (n)Ψb
Ψb =
b −1
1 0

80. Матричное представление
αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n)
Ab (n) =
αb (n + 1)
−αb (n)
αb (n)
−αb (n − 1)
Ab (n + 1) = Ab (n)Ψb
Ψb =
b −1
1 0
Ab (n) = Ψn

81. Характеристическое уравнение
2
det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1)

82. Характеристическое уравнение
2
det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1)
2
2
= αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n)

83. Характеристическое уравнение
2
det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1)
2
2
= αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n)
2
2
= αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n)
= det(Ψn )
b

84. Характеристическое уравнение
2
det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1)
2
2
= αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n)
2
2
= αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n)
= det(Ψn )
b
= (det Ψb )n

85. Характеристическое уравнение
2
det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1)
2
2
= αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n)
2
2
= αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n)
= det(Ψn )
b
= (det Ψb )n

86. Характеристическое уравнение
2
det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1)
2
2
= αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n)
2
2
= αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n)
= det(Ψn )
b
= (det Ψb )n

87. Характеристическое уравнение
2
det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1)
2
2
= αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n)
2
2
= αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n)
= det(Ψn )
b
= (det Ψb )n
= 1

88. Характеристическое уравнение
2
det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1)
2
2
= αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n)
2
2
= αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n)
= det(Ψn )
b
= (det Ψb )n
= 1
x 2 − bxy + y 2 = 1

89. Характеристическое уравнение
2
det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1)
2
2
= αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n)
2
2
= αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n)
= det(Ψn )
b
= (det Ψb )n
= 1
x 2 − bxy + y 2 = 1
x = αb (n + 1)
y = αb (n)
x = αb (n − 1)
y = αb (n)

90. Характеристическое уравнение
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1, то найдется число n такое, что
x = αb (n + 1)
y = αb (n)
или же
x = αb (n)
y = αb (n + 1)

91. Характеристическое уравнение
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1, то найдется число n такое, что
x = αb (n + 1)
y = αb (n)
или же
x = αb (n)
y = αb (n + 1)
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).

92. Индукция по y : случай y = 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).

93. Индукция по y : случай y = 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
x2 = 1

94. Индукция по y : случай y = 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
x 2 = 1, следовательно x = 1.

95. Индукция по y : случай y = 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
x 2 = 1, следовательно x = 1. Полагая n = 0, имеем
x = 1 = αb (1) = αb (n + 1)
y = 0 = αb (0) = αb (n)

96. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).

97. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
y −1

98. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
n−1

99. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
n−1
Мы ожидаем, что

100. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
n−1
Мы ожидаем, что
y = αb (n),
x = αb (n + 1)

101. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
n−1
Мы ожидаем, что
αb (n − 1),
y = αb (n),
x = αb (n + 1)

102. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
n−1
Мы ожидаем, что
αb (n − 1),
y = αb (n),
x = αb (n + 1)

103. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
n−1
Мы ожидаем, что
αb (n − 1),
y = αb (n),
x = αb (n + 1)
αb (n − 1) = bαb (n) − αb (n + 1)

104. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
n−1
Мы ожидаем, что
by − x = αb (n − 1),
y = αb (n),
x = αb (n + 1)
αb (n − 1) = bαb (n) − αb (n + 1)

105. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
Мы ожидаем, что
by − x = αb (n − 1),
y = αb (n),
x = αb (n + 1)

106. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
Мы ожидаем, что
by − x = αb (n − 1),
y = αb (n),
?
by − x ≥ 0
x = αb (n + 1)

107. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
Мы ожидаем, что
by − x = αb (n − 1),
y = αb (n),
?
by − x ≥ 0
x = by +
1 − y2
x
x = αb (n + 1)

108. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
Мы ожидаем, что
by − x = αb (n − 1),
y = αb (n),
x = αb (n + 1)
?
by − x ≥ 0
x = by +
1 − y2
≤ by
x
z = by − x

109. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
Мы ожидаем, что
by − x = αb (n − 1),
y = αb (n),
x = αb (n + 1)
?
by − x ≥ 0
1 − y2
≤ by
x
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x
x = by +
z = by − x

110. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb (n − 1),
y = αb (n),
x = αb (n + 1)

111. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb (n − 1),
y = αb (n),
?
z ≤y
x = αb (n + 1)

112. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb (n − 1),
y = αb (n),
?
z ≤y
x
= by +
1 y2
−
x
x
x = αb (n + 1)

113. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb (n − 1),
y = αb (n),
?
z ≤y
x
1 y2
−
x
x
y2
> by −
y
= by − y
= by +
x = αb (n + 1)

114. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb (n − 1),
y = αb (n),
?
z ≤y
x
1 y2
−
x
x
y2
> by −
y
= by − y
= by +
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y
x = αb (n + 1)

115. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb (n − 1),
y = αb (n),
x = αb (n + 1)

116. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb (n − 1),
y = αb (n),
?
y 2 − byz + z 2 = 1
x = αb (n + 1)

117. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb (n − 1),
y = αb (n),
?
y 2 − byz + z 2 = 1
y 2 − byz + z 2
x = αb (n + 1)

118. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb (n − 1),
y = αb (n),
x = αb (n + 1)
?
y 2 − byz + z 2 = 1
y 2 − byz + z 2 = y 2 − by (by − x) + (by − x)2

119. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb (n − 1),
y = αb (n),
x = αb (n + 1)
?
y 2 − byz + z 2 = 1
y 2 − byz + z 2 = y 2 − by (by − x) + (by − x)2
= x 2 − bxy + y 2

120. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb (n − 1),
y = αb (n),
x = αb (n + 1)
?
y 2 − byz + z 2 = 1
y 2 − byz + z 2 = y 2 − by (by − x) + (by − x)2
= x 2 − bxy + y 2
= 1

121. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb (n − 1),
y = αb (n),
x = αb (n + 1)
?
y 2 − byz + z 2 = 1
y 2 − byz + z 2 = y 2 − by (by − x) + (by − x)2
= x 2 − bxy + y 2
= 1
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y , y 2 − byz + z 2 = 1

122. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb (n − 1) y = αb (n) x = αb (n + 1)
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y , y 2 − byz + z 2 = 1

123. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb (n − 1) y = αb (n) x = αb (n + 1)
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y , y 2 − byz + z 2 = 1
По индукционному предположению существует m такое, что
y = αb (m + 1),
z = αb (m)

124. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb (n − 1) y = αb (n) x = αb (n + 1)
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y , y 2 − byz + z 2 = 1
По индукционному предположению существует m такое, что
y = αb (m + 1),
z = αb (m)
x = by − z = bαb (m + 1) − αb (m) = αb (m + 2)

125. Индукция по y : случай y > 0
Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb (n − 1) y = αb (n) x = αb (n + 1)
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y , y 2 − byz + z 2 = 1
По индукционному предположению существует m такое, что
y = αb (m + 1),
z = αb (m)
x = by − z = bαb (m + 1) − αb (m) = αb (m + 2)
n =m+1

126. Диофантово представление множества чисел αb
Следствие леммы:
x ∈ Mb
⇐⇒
x ∈ {0, 1, b, . . . , αb (n), . . . }

127. Диофантово представление множества чисел αb
Следствие леммы:
x ∈ Mb
⇐⇒
x ∈ {0, 1, b, . . . , αb (n), . . . }
⇐⇒
∃y {x 2 − bxy + y 2 = 1}

128. Диофантово представление множества чисел αb
Следствие леммы:
x ∈ Mb
⇐⇒
x ∈ {0, 1, b, . . . , αb (n), . . . }
⇐⇒
∃y {x 2 − bxy + y 2 = 1}

129. Диофантово представление множества чисел αb
Следствие леммы:
x ∈ Mb
⇐⇒
x ∈ {0, 1, b, . . . , αb (n), . . . }
⇐⇒
∃y {x 2 − bxy + y 2 = 1}
Требуется:
x, k ∈ Nb
⇐⇒
x = αb (k)

130. Диофантово представление множества чисел αb
Следствие леммы:
x ∈ Mb
⇐⇒
x ∈ {0, 1, b, . . . , αb (n), . . . }
⇐⇒
∃y {x 2 − bxy + y 2 = 1}
Требуется:
x, k ∈ Nb
⇐⇒
x = αb (k)
⇐⇒
?

131. Свойства делимости
2
Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m

132. Свойства делимости
2
Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m
Доказательство.
m =n+k ,
0≤n<k

133. Свойства делимости
2
Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m
Доказательство.
m =n+k ,
Ab (m) =
0≤n<k
αb (m + 1)
−αb (m)
αb (m)
−αb (m − 1)

134. Свойства делимости
2
Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m
Доказательство.
m =n+k ,
Ab (m) =
0≤n<k
αb (m + 1)
−αb (m)
αb (m)
−αb (m − 1)
= Ψm
b

135. Свойства делимости
2
Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m
Доказательство.
m =n+k ,
Ab (m) =
0≤n<k
αb (m + 1)
−αb (m)
αb (m)
−αb (m − 1)
= Ψm
b
= Ψn+k
b

136. Свойства делимости
2
Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m
Доказательство.
m =n+k ,
Ab (m) =
0≤n<k
αb (m + 1)
−αb (m)
αb (m)
−αb (m − 1)
= Ψm
b
= Ψn+k
b
= Ψn (Ψk )
b
b

137. Свойства делимости
2
Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m
Доказательство.
m =n+k ,
Ab (m) =
0≤n<k
αb (m + 1)
−αb (m)
αb (m)
−αb (m − 1)
= Ψm
b
= Ψn+k
b
= Ψn (Ψk )
b
b
= Ab (n)Ab (k)

138. Свойства делимости
2
Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m
Доказательство.
m =n+k ,
Ab (m) =
0≤n<k
αb (m + 1)
−αb (m)
αb (m)
−αb (m − 1)
= Ψm
b
= Ψn+k
b
= Ψn (Ψk )
b
b
= Ab (n)Ab (k)
=
αb (n + 1)
−αb (n)
αb (n)
−αb (n − 1)
αb (k + 1)
−αb (k)
αb (k)
−αb (k − 1)

139. Свойства делимости
2
Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m
αb (m + 1)
−αb (m)
αb (m)
−αb (m − 1)
αb (n + 1)
−αb (n)
αb (n)
−αb (n − 1)
≡
αb (k + 1)
0
0
−αb (k − 1)
(mod αb (k))

140. Свойства делимости
2
Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m
αb (m + 1)
−αb (m)
αb (m)
−αb (m − 1)
αb (n + 1)
−αb (n)
αb (n)
−αb (n − 1)
≡
αb (k + 1)
0
0
−αb (k − 1)
αb (m) ≡ αb (n)αb (k + 1)
(mod αb (k))
(mod αb (k))

141. Свойства делимости
2
Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m
αb (m + 1)
−αb (m)
αb (m)
−αb (m − 1)
αb (n + 1)
−αb (n)
αb (n)
−αb (n − 1)
≡
αb (k + 1)
0
0
−αb (k − 1)
αb (m) ≡ αb (n)αb (k + 1)
αb (k) | αb (n)
(mod αb (k))
(mod αb (k))

142. Свойства делимости
2
Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m
αb (m + 1)
−αb (m)
αb (m)
−αb (m − 1)
αb (n + 1)
−αb (n)
αb (n)
−αb (n − 1)
≡
αb (k + 1)
0
0
−αb (k − 1)
αb (m) ≡ αb (n)αb (k + 1)
(mod αb (k))
αb (k) | αb (n)
m =n+k ,
0≤n<k
(mod αb (k))

143. Свойства делимости
2
Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m
αb (m + 1)
−αb (m)
αb (m)
−αb (m − 1)
αb (n + 1)
−αb (n)
αb (n)
−αb (n − 1)
≡
αb (k + 1)
0
0
−αb (k − 1)
αb (m) ≡ αb (n)αb (k + 1)
(mod αb (k))
αb (k) | αb (n)
m =n+k ,
n=0
0≤n<k
m=k
(mod αb (k))

144. Свойства делимости
m=k
Ab (m) = Ab (k)

145. Свойства делимости
m=k
Ab (m) = Ab (k)
=
αb (k + 1)
−αb (k)
αb (k)
−αb (k − 1)

146. Свойства делимости
m=k
Ab (m) = Ab (k)
=
αb (k + 1)
−αb (k)
αb (k)
−αb (k − 1)
=
bαb (k) − αb (k − 1)
−αb (k)
αb (k)
−αb (k − 1)

147. Свойства делимости
m=k
Ab (m) = Ab (k)
=
αb (k + 1)
−αb (k)
αb (k)
−αb (k − 1)
=
bαb (k) − αb (k − 1)
−αb (k)
αb (k)
−αb (k − 1)
=
αb (k)
b −1
1 0
− αb (k − 1)
1 0
0 1

148. Свойства делимости
m=k
Ab (m) = Ab (k)
=
αb (k + 1)
−αb (k)
αb (k)
−αb (k − 1)
=
bαb (k) − αb (k − 1)
−αb (k)
αb (k)
−αb (k − 1)
=
αb (k)
b −1
1 0
− αb (k − 1)
1 0
0 1
= [αb (k)Ψb − αb (k − 1)E ]

149. Свойства делимости
m=k
Ab (m) = Ab (k)
=
αb (k + 1)
−αb (k)
αb (k)
−αb (k − 1)
=
bαb (k) − αb (k − 1)
−αb (k)
αb (k)
−αb (k − 1)
=
αb (k)
b −1
1 0
− αb (k − 1)
1 0
0 1
= [αb (k)Ψb − αb (k − 1)E ]
=
(−1)
i=0
−i
i
i
αb (k)αb−i (k − 1)Ψib

150. Свойства делимости
m=k
Ab (m) = Ab (k)
=
αb (k + 1)
−αb (k)
αb (k)
−αb (k − 1)
=
bαb (k) − αb (k − 1)
−αb (k)
αb (k)
−αb (k − 1)
=
αb (k)
b −1
1 0
− αb (k − 1)
1 0
0 1
= [αb (k)Ψb − αb (k − 1)E ]
=
(−1)
i=0
−i
i
i
αb (k)αb−i (k − 1)Ψib

151. Свойства делимости
αb (m + 1)
−αb (m)
αb (m)
−αb (m − 1)
=

152. Свойства делимости
αb (m + 1)
−αb (m)
αb (m)
−αb (m − 1)
=
(−1)
i=0
−i
i
= Ab (m)
i
αb (k)αb−i (k − 1)Ψib

153. Свойства делимости
αb (m + 1)
−αb (m)
αb (m)
−αb (m − 1)
=
(−1)
i=0
−i
i
= Ab (m)
i
αb (k)αb−i (k − 1)Ψib
≡ (−1) αb (k − 1)E + (−1)
−1
2
αb (k)αb−1 (k − 1)Ψb (mod αb (k))

154. Свойства делимости
αb (m + 1)
−αb (m)
αb (m)
−αb (m − 1)
=
(−1)
−i
i=0
i
= Ab (m)
i
αb (k)αb−i (k − 1)Ψib
≡ (−1) αb (k − 1)E + (−1)
= (−1) αb (k − 1)
+(−1)
−1
1 0
0 1
−1
2
αb (k)αb−1 (k − 1)Ψb (mod αb (k))
+
αb (k)αb−1 (k − 1)
b −1
1 0
2
(mod αb (k))

155. Свойства делимости
αb (m + 1)
−αb (m)
αb (m)
−αb (m − 1)
=
(−1)
−i
i=0
i
= Ab (m)
i
αb (k)αb−i (k − 1)Ψib
≡ (−1) αb (k − 1)E + (−1)
= (−1) αb (k − 1)
+(−1)
−1
1 0
0 1
−1
+
b −1
1 0
2
(mod αb (k))
αb (k)αb−1 (k − 1)
2
(mod αb (k))
αb (k)αb−1 (k − 1)
αb (m) ≡ (−1)
−1
2
αb (k)αb−1 (k − 1)Ψb (mod αb (k))

156. Свойства делимости
2
Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m
αb (m) ≡ (−1)
−1
αb (k)αb−1 (k − 1)
2
(mod αb (k))

157. Свойства делимости
2
Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m
αb (m) ≡ (−1)
−1
αb (k)αb−1 (k − 1)
αb (k) | αb−1 (k − 1)
2
(mod αb (k))

158. Свойства делимости
2
Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m
αb (m) ≡ (−1)
−1
αb (k)αb−1 (k − 1)
αb (k) | αb−1 (k − 1)
αb (k) |
2
(mod αb (k))

159. Свойства делимости
2
Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m
αb (m) ≡ (−1)
−1
αb (k)αb−1 (k − 1)
αb (k) | αb−1 (k − 1)
αb (k) |
m=k
2
(mod αb (k))

160. Свойства делимости
2
Лемма. αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m
αb (m) ≡ (−1)
−1
αb (k)αb−1 (k − 1)
αb (k) | αb−1 (k − 1)
αb (k) |
m=k
2
(mod αb (k))