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Módulo 1



            MATEMÁTICA
            FINANCIERA









                         ¨Módulo. MATEMÁTICA FINANCIERA
                                              Edicion No. 2

                                   Reservados todos los derechos
                          Prohibida su reproducción total o parcial

                                              Diseño e Impresión:
                                              Comunicamos Ideas
                                         Ideas322@yahoo.es




                                                                  1
CONTENIDO



         Introducción
         Objetivo
         General
         Especifico
         Auto evaluación
         Conceptos Generales
         Definiciones Genéricas
         Interés simples
         Interés compuesto
         Línea de tiempo
         Amortizaciones1. Problemas de Interés Simple

         Problemas Resueltos
              2. Problemas de Descuento
              3. Transformación de Tasas
              4. Problemas de Interés Compuesto
              5. Problemas de Anualidades Vencidas
              6. Problemas de Anualidades Anticipadas
              7. Problemas de Anualidades Diferidas
              8. Problemas de Rentas Perpetuas
              9. Problemas de Amortización
              10. Problemas de Fondo de Amortización
              11. Bibliografía




    MATEMÁTICA FINANCIERA
2
MATEMÁTICA FINANCIERA



                             Introducción
La matemática financiera es un conjunto de herramientas propias de finanzas,
necesarias en la operación y en las decisiones de los negocios, y en particular
en la actividad que a diario enfrentan los ejecutivos y empresarios.

En consecuencia, deben ser estudiados por quienes tienen a su cargo la elabo-
ración, evaluación y dirección de planes financieros, así como de aquellos que por
profesión se enfrenta constantemente, a aconsejar a clientes o a tomar decisiones
sobre el dinero, si desean acertar en su gestión .

El éxito de este curso radica en obtener claridad sobre los conceptos básicos, poder
representar gráficamente el problema o la situación planteada adaptar las cifras
conocidas a una formula básica y sencilla, y proceder a resolver los interrogantes
con el uso de cualquier tipo de calculadora o computador.

Después de ese instrumental o matemático, debe analizarse y evaluarse el resultado
o respuesta obtenida, antes de tomar la decisión definitiva.




                  Recuerde: la matemática financiera es un medio,
            el fin es tomar decisiones en forma oportuna y confiable.




                                                                                       3
OBJETIVOS:

GENERAL:
Desarrollar habilidad para reconocer los parámetros y principios fundamentales en que
se basan la matemática financiera, en especial el valor del dinero en el tiempo, y ser
capaz de resolver las situaciones de tipo financiero con las herramientas brindadas.

ESPECIFICOS:
- Interpretar el significado del valor del dinero en el tiempo, y el principio de equivalencia.
- Manejar el concepto de interés y rentabilidad y poder determinar los parámetros involucrados
  y su aplicación a operaciones bancarias corrientes en pesos.
- Calcular las transformaciones y equivalencias de las tasas de interes nominales y efectivas.
- Calcular rentabilidades para los diferentes activos financieros del mercado colombiano.
- Desarrollar la habilidad en el manejo de calculadoras financieras o cualquier otro tipo de
  calculadora, que el asistente tenga de uso diario.

AUTOEVALUACIÓN INICIAL:
1. Un pagare cuyo valor para dentro de 2 años es de $700.000.00, se compra hoy por
   $402.000.00. Si el comprador tiene una tasa del 37% anual efectiva para sus inver-
   siones, cuánto ganará o perderá el comprador dentro de 2 años al hacer esta inversión?
   Graficar.
2. Cuantos años se requiere para que:
-   Una inversión de $120.000.00 se convierta en $186.000 con una tasa de interés del
    DTF?
-   Una inversión de $100.000.00, Se convierta en $234.000.00 con una tasa de corrección
    Monetaria e interes del 3% nominal anual M.V.?
3. Hace un año la acción del Banco de inversión se cotizaba en bolsa $23.60. hoy en día
   se cotiza a $ 32.14, durante ese año se ha pagado un dividendo de $ 0.25 mensual
   por acción. Cuál es la R.E.A?

4. Qué es mejor: invertir una suma de dinero en una compañía que propone duplicar el
   dinero al cabo de 15 meses? o invertida en una cuenta de ahorros que paga el 4.73%
   mensual?




      Si usted esta en capacidad de resolver acertadamente todos estos ejerci-
      cios, (en un tiempo inicial de unos 10 minutos ) no necesita participar en
      este curso ni estudiar esta cartilla . FELICITACIONES!




         MATEMÁTICA FINANCIERA
4
CONCEPTOS GENERALES

DEFINICIONES GENERICAS
Antes de entrar a efectuar cálculos y realizar operaciones, o pretender aplicar fórmulas
se debe tener muy en claro, el significado de algunos conceptos básicos, que se
utilizan en la solución de todos los problemas de matemáticas financieras.

De ahí la necesidad de entender bien sus principios y fundamentos, puesto que su aplicación
deficiente nos conducirá a errores que en muchas ocaciones, afectarán negativamente la
imagen que el cliente tiene sobre su negocio o la entidad para la que ud. trabaja.

El concepto fundamental de las Matemáticas Financieras, es el valor del dinero en el
tiempo El dinero tiene un valor dependiendo de la fecha en que se considera. Así,
la preocupación básica es relacionar en todo momento las magnitudes o cantidades,
con la fecha.

Por ello, debemos fijarnos como norma , que en toda información financiera debe indi-
carse o identificarse con facilidad , si es un ingreso o egreso, además de su cantidad
y la fecha en que ocurre el ingreso o egreso, en otras palabras siempre debemos
indicar el cuánto y el cuando.

Podemos conconcluir entonces que como el dinero tiene un valor diferente según el
tiempo en que se realiza su desembolso, nunca podemos sumar o restar pagos de
diferentes fechas.

INTERESES:
Es el precio que se paga por el uso del dinero, un periodo dado, Puede definirse
también como la unidad o ganancia que genera un capital o como la rentabilidad de
una inversión.

                               Sigla: I

Hay quien considera que siempre hay dos caras de un préstamo o inversión: la de
quien coloca el dinero y recibe a cambio el interes, y la de quien lo toma, que paga
el interés o sea su costo . Para este ultimo su sigla será “C”

TASA DE INTERES
Es la relación resultante entre el valor recibido, la cantidad prestada y generalmente
se usa en relación como una base de 100, por lo que se manifiesta como “por cien-
to” o “porcentaje”

                               Sigla: ¡% ó ¡p

El subíndice “p” se refiere al período en consideración, que bien podría ser “m” para
mensual, “s”para semestral ,etc.. Se lee entonces como la tasa de interés periodístico.




                                                                                         5
VALOR PRESENTE
Es la cantidad inicial de dinero que se entrega o que se toma en préstamo. Es el
capital.
                                Sigla: VP

VALOR FUTURO
Es el valor resultante en el tiempo de juntar el capital inicial y los rendimientos generados

                                Sigla: VF


TIEMPO PERIODO
Intervalo de tiempo durante el cual se gana el interés o en el cual tiene lugar la
operación financiera
                                Sigla: N

REPRESENTACIÓN GRAFICA:
Todos los problemas de matemáticas financiera, es posible graficarlos. La representación
gráfica de la información, es la que se denomina líneas de tiempo, y como en ellas lo
que se registra es el momento y cantidad en que el efectivo ingresa o sale, y podemos
hablar entonces del diagrama o grafica del FLUJO DE CAJA.

Vale entonces resaltar que como las matemáticas financieras se basan en el manejo de
efectivo, no de la causación contable, el resultado, análisis y la cantidad de la decisiones
tomadas, serán tan buenos como buena sea la información básica considerada .

En una recta horizontal se presenta las fracciones de tiempo, los ingresos con una
flecha hacia arriba y los egresos con una flecha hacia abajo.

EJEMPLO:
Compramos un taxi usado por $ 5.7millones, al mes gastamos $ 250.000 en repara-
ciones el vehículo lo tenemos en servicio durante un año, pagando por combustible $
60.000 mensuales y recibiendo del servicio $ 280.000 mensuales.
Al fin lo vendemos en $ 6.000.000.Interes del 32%.
Identificar: ip , VP, VF ,N Ingresos y egresos gratificar flujo de caja

SOLUCION:
Primero: Identificación de variables:             VP =$57.00.000
                                                  N = un año =12 meses
                                                  ip =2% mensual

                                                  Egresos: $ 5.7 MM periodo 0
                                                  $250.000 periodo 1
                                                  $60.000 periodos 1 al 12

                                                  Ingresos: $280.000 periodos 1-12
                                                  $6.0MM Periodo 12


        MATEMÁTICA FINANCIERA
6
Segundo: Solución gráfica                                                6.000


                             280
                                                                              Ingresos




      0




Egresos                                60                   ip =2% MV


      5.700

     Antes de dar unos conceptos vamos       a nalizar la conversación que sostiene
     Diego y Richard veamos :

     Richard :   Diego necesito que me hagas el favor y me preste $ 1.000000.
     Diego:    Richard yo los tengo disponible pero los voy a invertir en un
     banco que me ofrece un interes del 30% anual
     Richard:    por que no me los prestas y yo te pago lo mismo que te
     ofrece el banco
     Diego :     observa lo siguiente: por cada $100 que yo invierta, el banco a la
     vuelta de un año me entrega $130. estos $ 130 son los 100 iniciales mas
     $30 por concepto de intereses. Si tu estas dispuesto te presto el dinero.



De acuerdo con la situación anterior nos damos cuenta que Diego que es el prestamista
(aquel que ofrece sus fondos al sacrificarlos prestando su dinero) obviamente recibe una
compensación al cobrar un interés.

Richard que es el prestario (es el que demanda los fondos ) está dispuesto a pagar
un precio por el préstamo o sea $30 de interés por cada 100 que le presta Diego.
En otras palabras esta pagando un 30 por ciento en el año (30% anual).

Con base en esto podemos decir que:




                                                                                      7
El interés es el precio por el cuál se presta el dinero. Inicialmente hablamos de $
1.000.000 pero hacer el análisis con $100 es equivalente. En este caso $30 es el interes
que se va a ganar Diego en 1 año.

Si denotamos a I = interés, entonces     I = $30

Los $100 son el valor que se van a invertir y lo vamos a llamar valor presente deno-
tado por P. O sea que P = $100.

A l cabo de un año Diego recibe $ 130 que son sus $100 más el interes ($30). A este
valor final (acumulado) lo vamos a llamar valor futuro y lo denotamos por 1 entonces:
      F =100x 30        = F = $ 103

      En términos generales:            F=P+I


      De tal forma que         I =F-P

Como Richard pagó $30 en un año por $100 prestados quiere decir esto que Diego le
cobró una tasa de interés del 30% anual.

¿Como se pudo obtener esta tasa de interés?

R/ Si i = tasa de interés Entonces: i = 30  30%
                                        100
                                    I
Términos generales:            i=
                                    p



Ahora, el tiempo por el cual se hizo el préstamo fue de un año .



                               INTERÉS SIMPLE
Supongamos que se tienen $ 100 para invertir a una tasa del 3% mensual.

Si este 3% mensual es simple esto indicará que cada mes se obtendría un interés
De $3. De tal forma que el interés se obtendría con base en capital inicial

¿Cómo se obtuvieron los $3?

R/ los $3 se obtuvieron multiplicando el capital por la tasa de interés que es del
3% o sea : $3 = $100*(3/100).

¿Cuánto se tendría acumulado por concepto de interés en un año?

R/ Como cada mes se ganan $3 de interés, entonces se debe multiplicar este valor
por los 12 meses del año.




       MATEMÁTICA FINANCIERA
8
Si llamamos I = interés, entonces:

I = $3 x12                        1= $36            o de otra forma:


    
I = 100 x 3 x 12 
                         Tasa de interés

                         Número de periodos


   
             100

En términos generales si:

P = inversión inicial    i = tasa de interés;         n = Número de periodos

Entonces:               I = P. i. n

Ahora , si queremos calcular el valor futuro, o sea el valor presente, más el interes
entonces en el ejercicio nos quedaría así



                                                                    (         )
                                                                          3
F =100 + 36             F = 136                      ó F = 100 +        12             F = $136

Y en términos generales:

F = P + P.i.n           F = P (1+ in)        Esta expresión sirve para hallar el valor futuro de
                                              una inversión a interés simple

De aquí podemos despejar p y nos daría

           F
      P=
        1 + in

Debemos tener en cuenta lo siguiente:

Para utilizar las expresiones anteriores es importante que tanto la tasa de interés (i) y el
número de periodos (n) sean constantes. O sea si (i) es mensual entonces (n) debe estar
dado en meses. Además si el valor de i esta dado en porcentaje lo debemos dividir entre 100
(si i = 3% -3/100 = 0.03).

Retomemos el ejercicio inicial:
Si usted tiene $100 y los invierte a una tasa del 3% mensual simple, ¿Cuánto tendrá acumu-
lado en el 1 año?

R/ Si utilizamos la expresión:                F = P (1+in)

P = 100      i = 3%               i = 0.03       n = 12 meses, entonces:


F = 100 (1+ 0.03*12)            F = 100 (1.36)             F = $136


                                                                                                    9
Como obtuvimos una utilidad de $ 36 en un año habiendo invertido $100 entonces podemos
concluir que se obtuvo una rentabilidad del 36% anual.
De tal forma que hablar del 3% mensual simple es equivalente al 36% anual simple.

Esta equivalencia se da ¡SI EL INTERÉS ES SIMPLE!


                      36% anual simple
                                             	 mensual simple
                                               3%

O sea que cuando tratamos interés simple se puede dividir la tasa de interés por un factor (o
número) para reducirlo. Por ejemplo:

a). Si tenemos 40% anual simple y dividimos entre 4 lo convertimos en 10% trimestral
    simple.

                      40% anual simple
                                             	 trimestral simple
                                               10%



EJERCICIOS RESUELTOS
1. Si usted tiene $ 2.000.000 y lo invierte al 38.4% anual simple. ¿Cuánto se obtendrá por
   interés al cabo de un año y medio?

R/     P = 2.000.000:      I = 38.4% anual                   I = 38.4/12 = 3.2% mensual

       n = 1.5 años n =         18 meses, entonces:

       Si I = P.i.n =          I=   2.000.000 (0.032) (18)      I = 1.152.000

                           I = UP x ip x N

Hemos determinado la tasa de interés mensual y el valor de n lo convertimos en meses.
Podríamos haber dejado la tasa de interés anual y el valor de n en años, así:

I = P.i.n              I = 2.000.000 (0.384) (1.5)                 I = $1.152.000

2. En el ejercicio anterior ¿Cuánto se tendrá acumulado en año y medio?

R/ Sabemos que F = P + 1                      F = 2.000.000 + 1.152.000

                                             F = $3.152.000   Valor acumulado

Otra forma:

     F = P (1 + in)         F = 2.000.000 (1 + 0.384 x 1.5)          F = $3.152.000

3.     Cuál debe ser el capital que colocado al 12% semestral simple durante 3 años pro-
       duce un interés de $2.160.000?



        MATEMÁTICA FINANCIERA
10
R/    Aquí     I = 2.1600.000    n = 3 años; i = 12% semestral: P =?
                                 n = 6 semestres

      Como I = P.i.n          2.160.000 = P (0.12) (0.6)     P = $ 3.000.000
                               I = vp x ip x N
                               I= P / [0.12 * 0.6] = I = VP
                                                         I*n
4.    Cuánto se debe depositar hoy a una tasa del 4.8% bimestral simple para poder reti-
      rar en 2 años la suma de $5.000000.

R/    p = ? I = 4.8% bimestral       n = 2 años   n =  12 bimestres
      F = $ 5.000.000
                                                                                 5.000.000
      Si F = p (1 + in)          5.000.000 = p / (1 +0.048 x 12)       p=
                                                             F                       1.576
                                                      P=   (1+i.n)
                                                                            P = $3.172.589

5.    ¿Que tiempo se requiere para que $1.500.000 invertidos al 3% mensual simple se
      convierta en $2.193.000?

R/    n=?      p = 1.500.000; F = 2.193.000   i = 3.3% mensual
      Si F = p (1+ in )  2.193.000 = 1.500.000 ( 1+0.033n )


       2.193000
                  = 1+0.033n      1+0.033n = 1.462 - 1  0.033n = 0.462
       1.500000



             0.462
      n=
             0.033
                      n = 14 meses


6.    ¿Que tiempo se requiere para que un capital se duplique, si este se invierte al 27.5%
      anual simple?
R/    n=?         p=?         i = 27.5% anual      F = 2p
                                                            2P
      Si F = 2p = ( 1+in)        2p = p (1+ 0.275n)                = 1 + 0.275 n
                                                            P
                                                                  1
      2 = 1+ 0.275n     1 = 0.275n        n=             n = 0.2753           n = 64 años
                                                                              n = 3.636 años


la respuesta anterior esta dada en años y la podemos convertir en años, meses y días,
así: 3.64 años 	años + 0.64 años
                  3

¿0.64 años equivalen a cuantos meses?
R/ Para hacer esto debemos tener en cuenta lo siguiente : si una cantidad inicial se multiplica
por 1 esta no se altera puesto que el ultimo número 1 es el módulo del producto.


                                                                                             11
Ejemplo:

Si tenemos a  a* 1 = a
Ahora si tenemos 0.64 años, podríamos multiplicar por 1 así:


        0.64 x 12 meses             = 7.68 meses
                1años


O sea que 0.64 años             	 7.68 meses, entonces:
7.68 meses          	 7 meses + 0.68 meses
Ahora para pasar 0.68 meses a días hacemos lo siguiente :

                 30 días
0.68 meses x                = 20.4 días =          20 días en conclusión
                    1mes



                           3.64 años 	 año . 7 meses y 20 días
                                       3

7.     ¿Que tasa de interés trimestral simple me incrementa una inversión en un 43.2%
       al cabo de año y medio?
R/     Como nos piden la tasa de interés trimestral entonces reemplazamos el valor de n al
       cabo de año y medio?
                     43.2                    4.32
P =?     F=p+             p         F=p+           x p                F =1.432P
                     100
                                              100

i =?    n = 1.5 años                 n = 6 trimestres

Si F = p (1 + in)                    1.432p = p (1 +6i)           1.432 P   =1+6i
                                                                      P
                                           0.432
1.432 - 1 = 6i                       i=     6               i = 0.072 * 100     i = 7.2 %


                                      i = 7.2 % trimestral simple



                                INTERÉS COMPUESTO

Cuando tratamos interés simple dijimos que el interés que se ganaba en cada periodo, se
obtenía de la inversión inicial, situación que ocurre en el interés compuesto.
¿Qué significa eso?


        MATEMÁTICA FINANCIERA
12
Ejemplo:
Si usted tiene $ 100 y los inviertes al 3% mensual es equivalente al 3% mensual compuesto
(en lo sucesivo hablar del 3% mensual es equivalente al 3% mensual compuesto). Dentro
de un mes usted tiene $ 3 por concepto de interés, de tal forma que el valor acumulado
es $ 103.

Cuando se va a calcular el interés para el segundo mes se hace con base en lo que se
tenga acumulado en al primer mes (o sea $ 103)
Esto indica que se ganarán un poco más de $3. ¿cuánto?

R/ Veamos:
¿cuál es el 3% de $103?

           3
R/              (103) = $ 3.09
          100
O sea que para el segundo mes se tiene 103 +3.09 = $106.09
Cuando se vaya a liquidar u obtener el interés para el tercer mes lo debemos hacer con base
en lo que se tenga acumulado en el segundo mes (o sea $ 106.09) y así sucesivamente.
Osea que en otras palabras la diferencia que existe entre interés simples y compuesto es
que cuando se hace una inversión a interés compuesto los intereses ganan interés debido a
que en cada periodo estos se agregan al capital y con base en el valor acumulado se calcula
los intereses del próximo periodo.
Cuando el interés se agrega al capital se dice que el interés se capitaliza. O también que los
interés se reinviertan.
En conclusión un interés compuesto se reconoce interés sobre los interéses ganados por la
inversión inicial y esto no ocurre con interes simple.



               FORMULA DEL INTERÉS COMPUESTO
Antes de conocer la formula para interés compuesto es conveniente saber con que notación
vamos a trabajar; puesto que es la que llevaremos de aquí en adelante.

NOTACIÓN:

     P :Inversión inicial (Valor actual ó presente )
     I : Tasa de interes porperiodo
     N :Número de periodo
     F :Saldo ó monto compuesto (valor futuro ), valor presente más interes compuesto.

Ejemplo :
Supongamos que una persona hace una inversión inicial de p =$ 500.000 a una tasa de interés
del 3% mensual. Cuando tendrá dentro de 6 meses ?
Como no tenemos una formula para hallar el valor futuro(o sea los $500.000más los interes)
a los 6 meses; hagamos el análisis mes a mes.




                                                                                           13
Hoy            	                                           =                500.000
     1mes           	 500.000 +500.000 (3/100)                  =                515.000
     2mes           	 515.000 +515.000 (3/100)                  =                 530450
     3 mes          	 530.450+530.450 (3/100)                   =               546.363,5
     4mes           	546.363,5 + 546.363,5 (3/100)              =            562.754,40
     5 mes          	562.754,40+562.754,40(3/100)               =            579.637,04
     6 mes          	
                     579.637,04 +579.637,04 (3/100)              =            597.026,15

Haciendo este seguimiento nos damos cuenta que si se invierte $500.000 (hoy) a una tasa
de interés compuesto del 3% mensual, dentro de 6 meses se tendrá $597.026,15
¿Qué hubiéramos hecho si nos piden este valor pero dentro de tres años (36 meses)?

Tendríamos que elaborar una tabla para 36 meses, y esto resultara muy largo. Preguntémonos
entonces. ¿Habrá alguna expresión que me permitía conocer el valor futuro dado un valor
presente un número de periodos y una tasa de interés por periodo?

Supongamos que una persona hace una inversión inicial p a una tasa de interes por periodo
i. Cuanto tendrá dentro de n periodos ?

Para el caso anterior (el de los $50.000 ) la tasa de interes era mensual, y es por eso que
el análisis lo hicimos mes a mes . Para este caso como la tasa de interés es por periodo,
hacemos el análisis cada periodo:

      Hoy:
                         	 p
      1- periodo         	 p +pi = p(1+i)
      2- periodo         	 p(1+i)+p(1 +i)i = p(1 +i)(1 +i) = p(1+i)2
      3-periodo          	 p(1 +i)2 p(1 +i)2i = p(1 +i)2(1+i) = p (1 +i)3
      4- periodo
                         	 p(1+i)3 +p(1+i)3 i = p(1+i)3(1+i) = p(1+i)4
      5- periodo
                         	 p(1+I)4 +P(14+I)4 i = p(1+i)4 (1+i) = p (1+i)5
      n periodos         	 (1+i) n-1+ p (1+i)n-1i = p(1+i)n-1 (1+i) = p(1+i)n
                          p

Haciendo este seguimiento nos damos cuenta que el valor futuro(F) viene dado por la
siguiente expresión :

                              F = p (1+i)n

De acuerdo con esto podemos dar la siguiente definición:

DEFINICION :
Si se invierte una cantidad inicial (p) a una tasa de interés por periodo (i ) entonces : el valor
futuro ( f) dentro de ( n) periodos vendrá dado por la siguiente expresión:

                          F = p (1+ i)n       formula de interes compuesto



           MATEMÁTICA FINANCIERA
14
De la expresión anterior es importante tener en cuenta lo siguiente :

    El valor de n y de í debe ser consistente , en el sentido de que cuando la tasa de interes
    es bimestral el número de periodos debe estar dado en meses, si la tasa de interes
    es bimestral el número de periodos debe estar dado en bimestre , etc.

NOTA:
El valor de í se debe reemplazar en la formula en tanto por uno ; o sea que si tengo por
ejemplo 5% =í debo dividir 5 entre 100 y reemplazaríamos 0.05 i.

Ejemplo:
Se tiene una inversión inicial de $500.000 y se quiere hallar el valor futuro para el tiempo y
tasa de interés dados a continuación:

    a) Dentro de 6 meses:                                 3% mensual
    b) Dentro de un año y medio:                          5% bimestral
    c) Dentro de 1 año:                                   8% trimestral
    d) Dentro de tres meses:                              0.07562% diario
    e) Dentro de 3 años:                                  34% anual.

SOLUCIÓN:
Para resolver nuestro ejercicio utilizamos la siguiente expresión    F = P (1 + i) n

Donde el valor de p para cada caso es de $ 500.000. Lo que se debe tener en cuenta es que
el valor de n debe ser consistente con el valor de í.

Caso: A

P = 500.000.     í = 3% mensual n = 6 meses
F =500.000 (1+ 0.03) 6             F = 500.000 (1.194052)         El ejercicio propone 6 meses
                                    F = $ 597.026,14

Caso: B

P = 500.000.     í = 5% bimestral         n = 1.5 años              n = 9 bimestre
F = 500.000 . (1+0.05)9  F = 500.000 (1.05)9
F = 500.000 (1.551328 )  F = $ 775.664

Caso: C

P = 500.000.        í = 8% trimestral      n = 1 año   n = 4 semestres
                          4
F = 500.000      (1+ 0.08)     F = $ 680.244

Caso: D
                                                0.07562
P = 50.000.    í = 0.07562% diario        í=                        = 0.0007562
                                                 100


                                                                                              15
n = 3 meses              n = 90 días

      F = 500.000 (1+0.0007562)90

      = 500.000 (1.0007562) 90               F = 500.000 (1.0703999)

                                   F= $ 535.200

Caso :E
P = 500.000           í = 34% anual       n = 3 años        n= 3

                                                           F= 500.000 (1 + 0.34)3
                                                           F= 1´203.052



                                 LINEA DE TIEMPO
La línea de tiempo es una herramienta que vamos a utilizar en los problemas de tipo financiero.
Esta consta de una línea horizontal donde se va a respetar el dinero a través del tiempo . Se
constituye dividiendo en intervalos de tiempo que van asociados a la tasa de interés.

En esta línea se va a mostrar los ingresos y los egresos mediante vectores (flechas )
Que van a ir en sentido contrario, por ejemplo: los ingresos podrán ir representándolos mediante
flechas: hacia arriba y los egresos mediante flechas hacia abajo o viceversa.
Por ejemplo podríamos dibujar una línea de tiempo para el caso A del ejemplo anterior:
         500000

         
        0        1        2       3         4      5      6    (meses)

	                          í = 3% mensual                                 597026

Nota:
En la línea de tiempo debemos escribir entre corchetes ó paréntesis el tipo de periodo al cual
estamos haciendo referencias y en la parte de abajo irá la tasa de interés asociada a estos
periodos.

Ya que conocemos la formula de interes compuesto f = (1+ í )n , Podemos hacer los siguientes
comentarios:

      1) Es una igualdad donde intervienen 4 variables
      2) Para determinar una de las variables de la ecuación se necesita conocer
         las tres (3) variables restantes .
      3) Si queremos despejar el valor de n y para tal efecto reemplazamos un
         valor de í correspondiente a una tasa de interés bimestral, entonces al
         valor de n que despejemos serian bimestres y viceversa.

Hagamos entonces 4 ejercicios donde se piden cada una de las variables y Medan como infor-
mación las tres (3) resultados.


        MATEMÁTICA FINANCIERA
16
1er. Caso : ( hallar f dado p, í, n )

El señor Roberto Hoyos tiene disponibles $ 800.000 para invertir ¿Cuánto tadra dentro de
un año y medio si la inversión la hace al 7.5 % trimestral ?


Información             Í = 7.5% Trimestral              F= ?
Suministrada            n = 1.5 años = 6 trimestre
                                P = 800.000
F = 800.000 (1+0.075) 6                    F = $ 1.234.641

Dibujar la línea de tiempo

2do. Caso: ( hallar p dado f, í, n )

¿Cuánto debo invertir hoy al 1.95% mensual para poder retirar en 10 meses la suma de
$ 2.500.000?

                           F = 2.500.000
                                                          100
                           í = 1.95% mensual         í=              = 0.0195
Información                                               1.95
Suministrada               n = 10 meses
                           p=?


F = P / ( 1+ Í )           2.500.000 = p / (1+0.0195)10

         2.500.000.
P=                                        p = $ 2.060.951
         ( 1.0195 )10

Di bujar la línea de tiempo

3er. Caso : (hallar n dado p, f, í )

¿ Durante cuanto tiempo debo invertir $ 1.200.000 al 0.076674% diario para obtener
$1.315.604 ?


                        p = 1.200.000
                                                                 0.076674
                        í = 0.076674% diario               í=              = 0.0007664
Información                                                        100
Suministrada            F = 1.315.604
                        n=?


F = p ( 1+ í )n
                                                                      n
                          1.315.604 = 1.200.000 ( 1+ 0.00076674)
1.315.604          = ( 1.00076674)n à ( 1.00076674)n = 1.096337
1.200.000


                                                                                          17
Log. (1.00076674)n = Log . 1.096337

n log. 1.00076674 = Log 1.096337

            log 1.096337
n=                                   n = 120 días
            log 1.00076674

Dibujar la línea de tiempo

Para desplazar el valor de “n” en términos generales lo podemos hacer de la siguiente
manera:
                                            F
Dado F= p (1+ í )N à (1+ í )N =                     ( Aplicando Logaritmos )
                                            P
Log . (1+ í) n = Log. ( F/ p)
                                                Log(F/ P)
n Log. (1+ í ) = Log. ( F/ P)  n =
                                                Log (1+ í )
Si hubiéramos aplicado esta formula para ejercicio anterior lo haríamos así:

          Log (1.315604/1.200000)                             Log1.096337
     n=                                              n =                       n = 120 días
             Log (1+0.00076674)                               Log1.00076674
                                                                                       n = 4 meses
4to.Caso : (hallar í dado P,F y n)

¿ A qué de interés bimestral debo invertir $ 1.500.000 para obtener al cabo de año y medio
la suma de $2.123908?
                                  P = 1.500.000
Información                       F = 2.123.908
Suministrada
                                  í = ? ( bimestre
                                  n = 1 1/ 2 años n = 9 bimestres

F =P ( 14+ í )n         2.123.908 = 1.500.000 (1 + í )9
2.123.908
          = ( 1+ í) 9  ( 1+ í )9           = 1.415.939
1.500.000

( 1+ í ) = ( 1.415.939)1/9                í = 1.0394-1             í = 0.0394
                                          í = 0.039*100            í = 3,94% bimestral

Dibujar la línea de tiempo
Para desplazar el valor de           “ í” en términos generales lo podremos hacer de la siguiente
manera :
                                      F                                  F
Dado F = P ( 1+ í )n                 P      = ( 1+ Í )n                P     = ( 1+ Í )1/n


          MATEMÁTICA FINANCIERA
18
F
Í=(   p)
        1/N
                        1 Si queremos el valor de í expresado en porcentaje la formula quedaria así :



                   í =       [( ) -1] *100
                                    F
                                    p
                                            1/n



Nota :
En la fórmula anterior se debe hacer aclaración en el sentido de que si se requiere una tasa
de interés bimestral el valor de n se debe reemplazar como un número que corresponde a
bimestres

Aplicar la formula para el ejercicio anterior .


                                 AMORTIZACIONES
Generalmente cuando se habla de amortización este termino lo utilizamos cuando se esta
pagando una deuda. Analicemos la siguiente situación :

Usted va hacer un préstamo por $1.000000 para pagarlo con 4 cotas mensuales. La financiera
la cobra una tasa del 3% mensual: ¿ Cual es el valor de las cuotas si usted comienza apagar
dentro de un mes ?

R/ Aquí tenemos p = 1.000000                      n=4     ÍM = 3%          A=?


                          1
                     1.000000           2         3         4   ( meses)

                         
                     0                      

                                                  A
                                                      
                                                                
         F.F = 0
                                        1-(1 +0.03) 4
              1.000000       =A             0.03                    A = $ 269027


El valor de cada cuota es de $269027. Regularmente lo que uno hace es multiplicar el valor
de la cuota por 4 y esto nos daría:

269027* 4= $ 1.076108                   Este valor que se paga (contablemente ) distribuido en los 4
                                       meses.

¿Cuánto se paga por concepto de interes ?

R/ Interés = 1.076.108 – 1.000.000 = $ 76.108, esto indica que durante los 4 meses en total
se pagarón por concepto de interés la suma de $ 76.108.




                                                                                                       19
Debemos tener en cuenta que cuando se paga una cuota de la deuda, una parte de ella (la
cuota) va cubrir el interés que cobra la financiera y el resto va a amortizar el capital.

Cuando una persona hace un préstamo es muy normal que la financiera le entrega una tabla
de amortización. Este es un documento que sirve para darse cuenta del comportamiento de
la deuda, en el sentido de que allí se va a explicar por ejemplo de cada cuota que repague
cuánto corresponde a interés y cuando irá a amortizar el capital.

Esta tabla también servirá para darnos cuenta de cuanto tendríamos que pagar a la financiera
en el caso en que quisiéramos saldar la deuda en cualquier ínstante.

¿ De que consta la tabla ?

R/ La tabla consta de 5 columnas que van hacer las siguientes :

     Columna 1:          Muestra los periodos o el tiempo en que se va apagar la deuda .
     Columna 2:          Muestra lo que debe realmente en cada periodo, a esto lo vamos a
                                            llamar saldo de la deuda .
     Columna 3:          Muestra la distribución de los interéses que se pagan durante todo el
                                   tiempo.
     Columna 5:          Muestra lo que se abona a capital en cada periodo.
                         Aquí se va a mostrar la tabla de amortización y posteriormente se
                                   explicara como se obtuvo cada valor.

Nota :
Se construirá la tabla para el presupuesto de $ 1.000.000 que se paga con 4 cuotas mensu-
ales de $ 269.027 e interés del 3 % mensual.
                   (1)           (2)             (3)            (4)          (5)
                    n            Saldo       Interés     Cuota           Abono a capital
                    0      1.000.000               0        0                 0
                    1        760.973         30.000         269.027      239.027
                    2    514.775,19      228.229.19         269.027      246.197.81
                    3    261.191,45        15.443.26        269.027      253.583.74
                    4             0.19     7.835.74         269.027      261.191.26
                                             76.108         1.076.108    1.000.000

¿ Como se construyó la tabla anterior ?

R/ Observaciones que en la columna (2 ) a usted le han entregado $ 1.000000 o sea que es lo
que se debe en este momento.
¿Como se obtiene este valor?

R/1.000000*0.03 = $ 30000
O esa que en el primer mes usted debe por concepto de interés $ 30000 ( columnas (3) con
periodo 1).


         MATEMÁTICA FINANCIERA
20
Como usted le entrega a la financiera en ese mes ( periodo 1) $ 269027 entonces ellos a ese
valor le quitan el interés ( $ 30000 ) y el resto ($ 239027) se lo descuenta (amortizan) al capital (
que es de este caso es 1.000000) de tal forma que es ese instante usted debe la diferencia entre
1.000000 y el ahorro a capital que es $ 239027 que es:

Para el secundo mes usted debe menos interés puesto que se determina con base en lo que
debe en el primer mes que es $ 760973, o sea que el interés es ;760973*0.03 = $ 22829.19 y a
las otra s columnas se calculan de forma idéntica, de tal forma que el proceso es repetitivo.
En resumen para calcular :
    Columna 3                 ( Saldo periodo anterior + Tasa de interés )
    Columna 4                 Cuota a pagar a la financiera
    Columna 5                 (4) – (3)
    Columna 2                 Valor de la columna (2) (anterior ) Valor de la columna (5) actual

Observamos que al sumar todos los valores de la columna (3) nos daría en total de los intere-
ses que son $ 76108. Al sumar todos los valores de la columna (5) nos daría el valor exacto del
préstamo que es $ 1.000000. Al sumar de todos los valores de la columna (4) nos daría el valor
del préstamo más los intereses (o sea $ 1.76108) se tal forma que siempre en una tabla de
amortización se debe cumplir que:

Suma de valores de = Suma de valores de                 +    Suma de valores de
La columna (4)       la columnas (3)                    la columna (5)

Resolver ahora algunos ejercicios para construir la tabla y usted amigo lector la completa.



        AMORTIZACIÓN CON CUOTA UNIFORME
   Préstamo = $ 4.000000
   No. De cuotas mensuales = 8
   Tasa de interés = 36% nominal mes vencido
   íacm = 36%          im = 3% Valor de las cuotas A = ?


4.000.000


   0
              1
                      2         3         4          5           6
                                                                               7        8 (meses)



 F.F = 0
                                                    A

                     [ 1-(1+0.03) ]
                                     -R

 4.000.000 = A                                         A = $569825
                           0.03

 A=P    [ i (1 ++ i)nn ]
            (1 i)


                                                                                             21
                                                                                          financiera



                                                                                                  21
n           Saldo                Interés        Cuota                Abono a capital
             0       4.000.000                     0          0                         0
             1           3.550175            120000            569825             449825
             2           3.086855            106505.25         569825             463319.75


                                             $558605                              $3.999995


      AMORTIZACIÓN CON CUOTA UNIFORME Y
              CUOTA (S) EXTRA (S)
Préstamo = $ 4.000000
No. De cuotas mensuales = 8
Cuota extra = $1.000000 (en el mes No. 3)
Tasa de interés = 3% mensual


     4.000.000


      0
                 1
                        2           3         4              5               6
                                                                                           7      8 (meses)




                                     
                                  1.000.000


                                                   [
     F.F =
                                   1 - (1.03)- 8
                                                                                      A = $ 439458
     4.000000 = 1.000000 (1.03) +A    0.03
                                             -3
                                                                         
                     n           Saldo             Interés            Cuota             Abono a capital
                     0    4.000.000                      0                    0             0
                     1     3.680542               120000                439458          319458
                     2                                                  439458
                     3                                                  439458
                     4                                                 1.439458
                     5                                                  439458
                     6                                                  439458
                     7                                                  439458
                     8                                                  439458



        MATEMÁTICA FINANCIERA
22
AMORTIZACIÓN CON PERIODO DE GRACIA

Préstamo = $ 10.000000
No. De cuotas mensuales = 8, se pegan a partir del mes No. 4
Tasa de interes = 3% mensual


  F. F = 3
  10.000000 ( 1 .03) 3 = A    1 – ( 1.03) -8      à     A=   $   1.556659
                                    0 .03
  O 10.000000 0 0 0
  1 10.300000 300000 0 – 300000
  2 10.609000 309000 0 – 309000
  3 10.927270 318270 0 – 318270
  4 9.698429 327818 1.556659 1.228841
  51.556659
  6 1.556659
  7 1.556659
  81.556659
  9 1.556659
  10 1.556659
  11 1.556659

  F.F = 3
  10.000000 (1. 03) 3 = (1.03)3 – 1 + A 1 – (1+ 0.03) -8
                                 0.0 3               0.03
  A = $ 1.424565

  0 10.000000 0 0 0
  1 10.000000 300000 300000 0
  2 10.000000 300000 300000 0
  3 10.000000 300000 300000 0
  4 8.875436 1.424564 1.124564
  5 1.424564
  6 1.424564
  7 1.424564
  8 1.424564
  9 1.424564
  101.424564
  11 1.424564




                                                                            23
PROBLEMAS RESUELTOS DE
                     MATEMÁTICAS FINANCIERA
1. Problemas de Interés Simple                                C = 5.000 i = 0,0075 t =116 meses

Formulas de Interés Simple                                    3

I=C*t*i                                                       3años *12 meses =36 meses + 2 me-
                                                              ses = 38 meses + (20dias * 1 mes)=
VF =C (1 + i * t)                                             116 meses
C =VF (1 + i * t)-1                                           1 año 30 días
VF = C + I                                                    I =5.000 * 38,67 * 0,0075 =1.450 Re-
                                                              spuesta
I = interés; VF = valor futuro; C = Capital; i =
tasa.                                                         Nota: Fíjese que en este ejercicio la
                                                              tasa esta expresa de en meses por
Calcular el interés simple comercial de:
                                                              lo que debe transformarse el tiempo
      a. $2.500 durante 8 meses al 8%.                        también a meses
           C = $2.500 t = 8 meses i= 0,08                  b. $8.000 durante 7 meses 15 días al
                                                              1,5% mensual.
           I = 2.500 * 8 * 0.08 =$133,33 Respu-
           esta    12                               C = $8000 t =7,5 i = 0,015

      b. $60.000 durante 63 días al 9%.             7 meses + 15 días * 1 mes =7,5 meses
           I =$60.000 t =63 días i =0,09
                                                    30 días
           I =60.000 * 63 * 0.09=$ 945 Respu-
                                                    I = 8.000 * 7.5 * 0,015=$900. Respuesta
           esta    360
                                                                  2. Un señor pago $2.500,20 por
      c.   $12.000 durante 3 meses al 8½ %.
                                                                     un pagaré de $2.400, firmado
           C =12.000 t =3 meses i =0,085                             el 10 de abril de 1996 a un
                                                                     con 41/2 %de interés. ¿En
           I =12.000 * 3 * 0.085= $ 255 Respu-                       qué fecha lo pagó?
           esta    12
                                                    VF = 2.500,20
      d. $15.000 al 10% en el tiempo transcur-
         rido entre el 4 de abril y el 18 de sep-   C =2.400
         tiembre. Del mismo año.
                                                    i = 0.045
C =$15.000 i =0,10 t =167 días
                                                    t =?
I =15.000 * 0.10 * 167=$ 695,83 Respuesta
                                                    VF = C (1 + i * t)
360
                                                    2.500,20 = 2400 (1 + 0,045 * t)
Calcular el interés simple comercial de:
      a. $5.000 durante 3 años 2 meses 20           0,04175=0,045 t
         días al 0,75% mensual.


           MATEMÁTICA FINANCIERA
24
t = 0,9277 años Respuesta 10 de marzo de 1997

* Un inversionista recibió un pagaré por valor de $120.000 a un interés del 8% el 15 de julio
con vencimiento a 150 días. El 200de octubre del mismo maño lo ofrece a otro inversionista
que desea ganar el 10%. ¿Cuánto recibe por el pagaré el primer inversionista?




VF =120.000(1 + 0,08 * 150) =124.000              - valor de mora.

360                                               360
                                                  * Una persona descuenta el 15 de mayo un
124.000(1 + 0,1 * 53)-1= 122.000,93
                                                  pagaré de $ 20.000 con vencimiento para el
Respuesta        360                              13 de agosto y recibe & 19.559,90. ¿A qué
                                                  tasa de descuento racional o matemático se
* Una persona debe cancelar $14.000 a 3           le descontó el pagaré?
meses, con el 8% de interés. Si el pagará tiene
como cláusula penal que, en caso de mora,
se cobre el 10% por el tiempo que exceda al
plazo fijado ¿qué cantidad paga el deudor, 70
días después del vencimiento?



                                                  VF =VP (1+ i * t)

                                                  20.000=19.559,90 (1 + i * 90)
VF = 14.000(1 + 0,08 * 3) = 14.280 Valor de
vencimiento                                       360

12                                                i =0, 09  9% Respuesta

VF = 14.280(1+0,1 * 70) =14.557,67 respuesta


* Una persona debe $20.000 con vencimiento a 3 meses y $16.000 con vencimiento a 8 meses.
Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con vencimiento a 6 meses y un año,
respectivamente. Determine el valor de los nuevos pagarás al 8% de rendimiento (tómese
como fecha focal dentro de un año).




                                                                                          25
Vf1=20.000(1+0,08 * 9)= 21.200                    VF =VN valor nominal

12                                                C =VP valor presente

Vf2=16.000(1+0,08 * 4)= 16.426,67                 Formulas de Descuento Comercial

12                                                D = VP * t * d

Deuda = 21.200 + 16.426,67                        VN= VP + D

Deuda = 37.626,67                                 VN = VP (1 + d* t)

Pagos                                             VP = VN (1 - d * t)

P1 = x (1+0,08 * 6) =1,04 x                       Determinar el valor líquido de los pagarés,
                                                  descontados en un banco a las tasas y fe-
12                                                chas indicadas a continuación:
P2 = x                                            a. $20.000 descontados al 10%, 45 días de
                                                  su vencimiento.
Pagos =P1 +P2
                                                  20.000(1- 0.1 * 45)= 19.750 Respuesta
Pagos =2,04 x
                                                  360
Deuda = Pagos
                                                  b. $18.000 descontados al 9%, 2 meses
37.626,67=2,04 x
                                                  antes de su vencimiento.
Valor de los pagarés 18.444,45 cada uno
                                                  18.000(1-0.09 * 2)=17.730 Respuesta
/Respuesta
Nota: En este problema como en todos los          12
similares debe llevarse los valores de las deu-   c. $14.000 descontados al 8% el 15 de junio,
das a la fecha focal, en este caso 12 meses,      si su fecha de vencimiento es para el 18 de
para poder efectuar operaciones sobre estos       septiembre del mismo año.
valores.
                                                  14.000(1-0.08 * 95)=13.704,44 Respuesta
2. Problemas de Descuento
                                                  360
Formulas para Descuento Real
                                                  d. $10.000 descontados al 10% el 20 de
D = VP * t * d                                    noviembre, si su fecha de vencimiento es para
                                                  el 14 de febrero del año siguiente.
VN= VP + D
                                                  10.000(1-0.1 * 86)=9.761,11 Respuesta
VN = VP (1 + d* t)
                                                  360
VP = VN (1 + d * t)  -1



Las formulas son iguales a las de interés
simple he aquí sus equivalencias.

i = d tanto por ciento/tasa de descuento

I = D descuento


         MATEMÁTICA FINANCIERA
26
2.2. Alguien vende una propiedad por la que      ¿Qué tasa de descuento real se aplico a
recibe los siguientes valores el 9 de julio de   un documento con valor nominal de 700
cierto año:                                      dólares, si se descontó a 60 días antes de
                                                 su vencimiento y se recibieron 666,67
a. $20.00 de contado                             dólares netos?

b. Un pagaré por $20.000, con vencimiento
el 9 de octubre del mismo año.

c. Un pagaré por $30.000, con vencimiento
el 9 de diciembre del mismo año.

Si la tasa de descuento bancario en la lo-               700=666,67(1 + i 60)
calidad es del 9%, calcular el valor real de
la venta.                                                360

a. 20.000 contado                                        i = 0.30  30% Respuesta
                                                 ¿Cuál es el valor nominal de un pagaré por
b. 20.000(1-0.09 * 92)=19.540
                                                 el cual se recibieron 146,52 dólares, si se
360                                              descontó comercialmente a un tipo de 49%,
                                                 85 días antes de su vencimiento?
      a. 30.000(1-0.09 * 153)=28.852,5
         360 Total =20.000 + 19.540 +
         28.852,5 = $68.392,50 Respuesta
         Un pagaré de $10.000 se descuen-
         tan al 10% y se reciben del banco
         $9.789. Calcular la fecha de ven-
         cimiento del pagaré.                            146,52 = VF (1 - 0,49 * 85)

         10.000=9.789 (1+0.1 * t)                        360
         t = 0,21 años                                   VF = 165,68 Respuesta.
         0,21 años * 12 meses = 2,52 meses
         Respuesta                                       3. Transformación de Tasas

         1 año                                           Método de igualación
         El Banco Ganadero descuenta un                  Del 18% efectivo trimestral en-
         pagaré por $80.000 al 10%, 90 días              cuentre la tasa nominal trimestral
         antes de su vencimiento, 5 días                 capitalizable mensualmente
         después lo redescuenta en otro
         banco a la tasa del 9%. Calcular la             (1+ 0,18)4/12 = (1 + ntnm)12/12
         utilidad del Banco Ganadero.
         80.000(1-0.1 * 90)=78.000                       3

         360
         80.000(1-0.09 * 75)= 78.500
         360
         Utilidad 78.500-78.000= 500
         Respuesta



                                                                                           27
T. nominal trimestral capitalizable mensual-      Hallar la cantidad que es necesario colocar
mente = 0, 17  17,01% R.                         en una cuenta que paga el 15% con capital-
                                                  ización trimestral, para dispones de 20.000
Del 24% nominal anual capitalizable anual-
                                                  al cabo de 10 años.
mente, encuentre la tasa nominal trimestral
capitalizable semestralmente.                     i = 0,15 efectiva trimestral
(1+ 0,24)1/2 = (1 + ntcs * 2)2/2
                                                  n = 10 años
Tasa nominal trimestral capitalizable semes-
tralmente =5,6 % Respuesta.                       M = 20.000

Del 12% nominal anual capitalizable trimestral-   C =?
mente, encuentre la tasa nominal semestral
capitalizable trimestralmente.                    C = 20.000 (1+ 0.15)-10(4)
(1+ 0,12)4/4 = (1 + nsct)4/4                      4
42                                                C =4.586,75 Respuesta
Tasa nominal semestral capitalizable trimes-      ¿Cuántos meses deberá dejarse una póliza
tralmente =0,06  6% R.                           de acumulación de $2.000 que paga el 3%
                                                  anual, para que se convierta en %7.500?
Del 22% efectivo semestral, encuentre la
tasa efectiva bimensual.                          n =?
(1+ 0,22)   2/6
                  = (1 + e b)
                            6/6
                                                  C = 2.000
Tasa efectiva bimensual = 0,06852                i = 0,03
6,85% Respuesta.
Del 30% nominal bimensual capitalizable           M =7.500
semestralmente, encuentre la tasa nominal
trimestral capitalizable anualmente.              7.500 = 2.000 (1 +0,03)n

(1+ 0,30 * 3)2 = (1 + ntca)                       ln 15/4 = n ln 1,03

3                                                 n = 44,71 años
Tasa nominal trimestral capitalizable anual-
                                                  44,71 años * 12 meses = 536,52 meses
mente = 0,6525 è 65,25% R.
                                                  Respuesta.
Del 52% nominal anual capitalizable anual-
mente, encuentre la tasa nominal trimestral       1 año
capitalizable semestralmente.
(1+ 0,52)1/2 = (1 + ntcs * 2)2/2                  Hallar el valor futuro a interés compuesto de
                                                  $100, para 10 años:
Tasa nominal capitalizable semestralmente =
0,1164 è 11,54%         Resp.                     a. al 5% efectivo anual
4. Problemas de Interés Compuesto
                                                  M = 100 (1 + 0,05)10 = 162,89 Respuesta
Formulas de Interés Compuesto:
M = C (1 + i)n                                    b. al 5% capitalizable mensualmente

C = M (1 + i)-n                                   M = 100 (1 + 0,05)10(12) =164,20 Respuesta
M = monto o también llamado VF; C = capi-
tal; i = tasa; n =tiempo

         MATEMÁTICA FINANCIERA
28
12                                                i = 7,17% sociedad maderera

c. al 5% capitalizable trimestralmente            ———————
M = 100 (1 + 0,05)10(4) =164,36 Respuesta         M = 1(1+0,06)
4                                                 4
a.       al 5% capitalizable semestralmente
                                                  M =1,8140 no duplico
M = 100 (1 + 0,05)10(2) =164,86 Respuesta
                                                  Respuesta es más conveniente la sociedad
2
                                                  maderera
* Hallar el valor futuro de $20.000 depositados
al 8%, capitalizable anualmente durante 10        * Una inversionista ofreció comprar un pagará
años 4 meses.                                     de $120.000 sin interés que vence dentro de
                                                  3 años, a un precio que le produzca el 8%
VF = 20.000(1 + 0,08) 10 (4/12) = 44.300,52
                                                  efectivo anual; calcular el precio ofrecido.
Respuesta
* ¿Qué tasa capitalizable semestralmente es       C = 120.000(1 + 0,08)-3
equivalente al 8%, capitalizable trimestral-
mente?                                            C = 95.259,87 Respuesta

(1+ 0,08)4/2 = (1 + n.c.s)2/2                     * Hallar el VF a interés compuesto de $20.000
                                                  en 10 años, a la tasa del 5% de interés. Com-
42                                                parar el resultado con el monto compuesto al
                                                  5%, convertible mensualmente.
i =0,0808  8,08% Respuesta
                                                  VF = 20.000(1 + 0,05) 10 = 32.577,89 Respu-
Hallar la tasa nominal convertible semestral-     esta
mente, a la cual $10.000 se convierten en
$12.500, en 5 años.                               VF = 20.000(1 + 0,05) 120 = 32.940,19 con-
12.500 = 10.000 (1 +i )   10
                                                  vertible mensualmente Resp.

2                                                 12

i =0,0451  4,51% Respuesta                       5. Problemas de Anualidades Vencidas
¿Cuántos años deberá dejarse un depósito          Formulas de Anualidades Vencidas
de $6.000 en una cuenta de ahorros que
acumula el 8% semestral, para que se con-         F = A [¨ (1 + i )n -1] =Valor futuro
viertan en $10.000?
                                                  i
10.000=6.000 (1+ 0,08)n
                                                  P = A [¨ 1 – (1+ i )-n ]=Valor presente
n = 13,024 /2

n = 6,512 años Respuesta                          i

* ¿Qué es más conveniente: invertir en una        F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo
sociedad maderera que garantiza duplicar el
capital invertido cada 10 años, o depositar       * Calcular el valor futuro y el valor presente
en una cuenta de ahorros que ofrece el 6%         de las siguientes anualidades ciertas ordina-
capitalizable trimestralmente?                    rias.
M =2
C=1                                               (a) $2.000 semestrales durante 8 ½ años al
                                                  8%, capitalizable semestralmente.
2=1(1+ i) 10

                                                                                                29
F = 2.000[¨ (1 + 0, 04)17 -1] =47.395,07 valor   valor presente
futuro
                                                 0,073
0,04
                                                 (c) $200 mensuales durante 3 años 4 me-
P = 2.000[¨ 1 – (1+ 0, 04)-17 ]=24.331,34        ses, al 8% con capitalización mensual.
valor presente
                                                 F = 200[¨ (1 + 0, 0067)40 -1] =9.133,50 valor
0,04                                             futuro

(b) $4.000 anuales durante 6 años al 7,3%,       0,0067
capitalizable anualmente.
                                                 P = 200[¨ 1 – (1+ 0, 0067)-40 ]=7.001,81 valor
F = 4.000[¨ (1 + 0, 073) -1] =28.830,35 valor
                           6
                                                 presente
futuro
                                                 0,0067
0,073

P = 4.000[¨ 1 – (1+ 0, 073)-6 ]=18.890,85

* Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: $20.000
de contado; $1.000 por mensualidades vencidas durante 2 años y 6 meses y un último pago
de $2.500 un mes después de pagada la última mensualidad. Para el cálculo, utilizar el 9%
con capitalización mensual.




i =0,09/12=0,0075

P = 1.000[¨ 1 – (1+ 0, 0075)-30 ]=26.775,08

0,0075

2.500(1+0,0075)-31=1.983,09

26.775,08 + 1.983,09 + 20.000 = 48.758,17 Respuesta.
* ¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $14.000 de cuota
inicial; $1.600 mensuales durante 2 años 6 meses con un último pago de $2.500, si se carga
el 12% con capitalización mensual?




         MATEMÁTICA FINANCIERA
30
i =0,12/12=0,01                                        F = 1.500 [¨ (1 + 0, 08)11 -1] =24.968,23

P = 1.600[¨ 1 – (1+ 0, 01)-30 ]=41.292,33              0,08

0,01                                                   24.968,23(1 + 0,08)7 =42.791,16

2.500(1+0,01)-31=1.836,44                              F = 3.000[¨ (1 + 0, 08)7 -1] =26.768,41

41.292,33 + 1.836,44 + 14.000 = 57.128,78              0,08
Respuesta
                                                       1.500(1 + 0,08)18= 5994,02
* Una mina en explotación tiene una produc-
ción anual de $8’000.000 y se estima que se            42.791,16 + 26.768,41 + 5994,02 =
agotará en 10 años. Hallar el valor presente           75.553,60 Respuesta
de la producción, si el rendimiento del dinero
es del 8%.                                             * Una persona deposita $100 al final de cada
                                                       mes en una cuenta que abona el 6% de in-
                                                       terés, capitalizable mensualmente. Calcular
                                                       su saldo en la cuenta, al cabo de 20 años.



P = 8.000.000[¨ 1 – (1+ 0, 08)-10
]=53.680.651,19 respuesta.                             0,06 /12 =0,005 tasa mensual

0,08                                                   F = 100[¨ (1 + 0, 005)240 -1] =46.204,09 Re-
                                                       spuesta.
* En el ejercicio 5.4. Se estima que al agot-
arse la mina habrá activos recuperables por            0,005
el valor de $1’500.000. Encontrar el valor
presente, incluidas las utilidades, si estas           6. Problemas de Anualidades Anticipa-
representan el 25% de la producción.                   das
                                           1.500.000
                                                       Formulas de Anualidades Anticipadas

0   1   2   3   4    5   6   7    8   9   10 ańos      F = A [¨ (1 + i )n + 1 -1 - 1] =Valor futuro
                    A=8.000.000
                                                       i
1.500.000(1 + 0,08)-10 = 694.790, 23
                                                       P = A [¨1 + 1 – (1+ i )-n + 1]=Valor presente
53.680.651,19 * 0,25 =13.420.162,8
                                                       i
694.790,23 + 13420.162,80 =
14.114.953,03 Respuesta                                F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo
* En el momento de nacer su hija, un señor             * Calcular el valor de Contado de una propie-
depositó $1.500 en una cuenta que abona                dad vendida a 15 años de plazo, con pagos
el 8%; dicha cantidad la consigna cada                 de $3.000 mensuales por mes anticipado,
cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumento                si la tasa de interés es del 12% convertible
sus consignaciones a $3.000. Calcular la               mensualmente.
suma que tendrá a disposición de ella a los




                                                                                                       31
P = 3.000 [¨1 + 1 – (1+ 0,01 )-180 + 1]=        P =500 [¨1 + 1 – (1+ 0,0075 )-179]= 49.666,42
252.464,64                                      Respuesta.

0,01                                            0,0075
* Una persona recibe tres ofertas parea la      ¿Qué suma debe depositarse a principio de
compra de su propiedad: (a) $400.000 de         cada año, en un fondo que abona el 6% para
contado; (b) $190.000 de contado y $50.000      proveer la sustitución de los equipos de una
semestrales, durante 2 ½ años (c) $20.000 por   compañía cuyo costo es de $2.000.000 y con
trimestre anticipado durante 3 años y un pago   una vida útil de 5 años, si el valor de salva-
de $250.000, al finalizar el cuarto año. ¿Qué   mento se estima en el 10% del costo?
oferta debe escoger si la tasa de interés es
del 8% anual?




                                                2’000.000 * 0.10= 200.000

                                                2’000.000 - 200.000 = 1’800.000
Oferta b
                                                1´800.000 = A [¨ (1 + 0,06 )6 -1 - 1]
P = 50.000 [¨1 + 1 – (1+ 0,04 ) ]=
                                 -4

231.494,76 + 190.000 = 421.494,76               0,06

0,04                                            A = 301.239,17 Respuesta.
                                                * Sustituir una serie de pagos de $8.000 al
                                                final de cada año, por el equivalente en pagos
                                                mensuales anticipados, con un interés del 9%
                                                convertible mensualmente.
Oferta c

P =20.000 [¨1 + 1 – (1+ 0,02 )-11]=
215.736,96

0,02                                            8.000 = A [¨ (1 + 0,0075 )13 -1 - 1]
25.000(1 +0,08)-4 = 183.757,46                  0,0075

215.736,96 + 183.757,46 = 399.494,42            A = 634,85 Respuesta.
                                                * Un empleado consigna $300 al principio de
Respuesta = Oferta b es la más conveni-
                                                cada mes en una cuenta de ahorros que paga
ente.                                           el 8%, convertible mensualmente. ¿En cuánto
* ¿Cuál es el valor presente de una renta de    tiempo logrará ahorrar $30.000?
$500 depositada a principio de cada mes, du-    0,08 = 0,0067
rante 15 años en una cuenta de ahorros que
gana el 9%, convertible mensualmente?           12
                                                30.000 = 300 [¨ (1 + 0,08 )n + 1 -1 - 1]

                                                0,08

                                                n = 76,479 meses


        MATEMÁTICA FINANCIERA
32
7. Problemas de Anualidades Diferidas            pague, a él o a sus herederos, una renta de
                                                 $2.500, a principio de cada mes. ¿Durante
Formulas para anualidades diferidas
                                                 cuántos años se pagará esta renta, si el banco
Son las mismas que las anualidades venci-
                                                 abona el 6% convertible mensualmente?
das y anticipadas salvo que estas tienen un
periodo de gracia.
* Una compañía adquiere unos yacimientos de
mineral; los estudios de ingeniería muestran
que los trabajos preparatorios y vías de ac-
ceso demoraran 6 años. Se estima que los
yacimientos en explotación rendirán una
ganancia anual de $2.400.000. suponiendo         VF = 100.000 (1 + 0,005)120 = 181.939,67
que la tasa comercial es del 8% y que los
yacimientos se agotarán después de 15 años       181939,67 = 2.500 [ 1 + 1- (1 + 0,005)-n +1 ]
continuos de explotación, hállese el valor fu-
turo de la renta que espera obtenerse.           0,005

                                                 n = 90,13

                                                 Respuesta = 7 años 7meses
                                                 * Una deuda contraída al 8% nominal, debe
VF = 2.400.000 [(1 + 0,08)15 - 1]                cancelarse con 8 cuotas semestrales de
                                                 $20.000 c/u, con la primera obligación por
0,08
                                                 pagar dentro de 2 años. Sustituirla por una
VF = 6.516.503,43 Respuesta                      obligación equivalente pagadera con 24
                                                 cuotas trimestrales, pagándose la primera
* En el problema anterior, hállese el valor de   de inmediato.
utilidad que espera obtener, en el momento
de la adquisición de los yacimientos.
VP = 2.400.000 [1 - (1 + 0,08)-15 ]

0,08

VP = 20.542.748,85

20.542.748,85 (1 + 0,08)-6 = 12.945.416 Re-
spuesta.
* Una compañía frutera sembró cítricos que       20.000 [1 + 1 - (1 + 0,04)-7 ] (1+0,04)-4 =
empezaran a producir dentro de 5 años. La        119.707,7136
producción anual se estima en $400.000 y
ese rendimiento se mantendrá por espacio de      0,04
20 años. Hallar con la tasas del 6% el valor
presente de la producción.                       119.707,71 = A [1 + 1 - (1 + 0,02)-23]
VP = 400.000 [1 - (1 + 0,06)-20 ]                0,02
0,06                                             A = 6.204,97 Respuesta anualidades trimes-
                                                 trales
VP = 4587968,487 (1 + 0,06)-5 = 3428396,90
* Alguien deposita $100.000 en un banco,
con la intención de que dentro de 10 años se



                                                                                               33
8. Problemas de Rentas Perpetuas                 0,03
Formulas de Rentas Perpetuas                     c. 6% convertible mensualmente.
P=A                                              156.000 = A [(1 + 0,005)12 - 1]
i                                                0,005
P=A+A                                            A = 12.646,36

i                                                P =12.646,36=2’529.272,61 Respuesta

CC= Co + Com                                     0,005

i                                                * Los exalumnos de una universidad deciden
                                                 donarle un laboratorio y los fondos para su
P = perpetuidad; A = anualidad; Co = costo       mantenimiento futuro. Si el costo inicial de
inicial; CC = costo capitalizado;                $200.000 y el mantenimiento se estima en
                                                 $35.000 anuales, hallar el valor de la donación,
i = interés                                      si la tasa efectiva es del 7%.
* Hallar el valor actual de una perpetuidad de
$5.000, cuyo primer pago se hará dentro de 6
meses, con tasa nominal del 12% convertible
mensualmente
                                                 P = 200.000 + 35.000 = 700.000 Respuesta

                                                 0,07
                                                 * Para mantener en buen estado las carreteras
                                                 vecinales, la junta vecinal decide establecer
P =5.000=500.000                                 un fondo a fin de proveer las reparaciones
                                                 futuras, que se estiman en $300.000 cada
0,01                                             5 años. Hallar el valor del fondo, con la tasa
                                                 efectiva del 6%.
M = 500.000 (1 + 0,01)-5 = 475.732,84    Re-
spuesta.
* Hallar el valor actual de una renta de
$156.000 por año vencido, suponiendo un
interés de:
a. 6% efectivo                                   300.000 = A [(1 + 0,06)5 - 1]
156.000 = 2’561.576,35 Respuesta                 0,06
0,06                                             A = 53.218,92
b. 6% convertible semestralmente
                                                 P = 53.218,92 = 886.982 Respuesta
156.000 = A [(1 + 0,03) - 1]
                         2
                                                 0,06
0,03                                             * Calcular el costo capitalizado de un equipo
                                                 industrial que cuesta $800.000 y tiene una
A = 76.847,29                                    vida útil de 12 años, al final de los cuales debe
                                                 remplazarse, con el mismo costo. Calcular con
P =76.847,29=2’561.576,35 Respuesta
                                                 la tasa del 6%.

        MATEMÁTICA FINANCIERA
34
380.000 = A [(1 + 0,06)7 - 1]

                                                    0,06

                                                    A = 45.271,30

800.000 = A [(1 + 0,06)12 - 1]                      CC = 380.000 + 45.271,30

0,06                                                0,06

A = 47.421,62                                       CC = 1’134.521,78 Respuesta

CC = 800.000 + 47421,62                             Segunda Oferta

0,06

CC = 1’590.360,39 Respuesta.
* En el problema anterior, calcular el costo
capitalizado, suponiendo un valor de salva-
mento igual al 15% del costo original.              510.000 = A [(1 + 0,06)10 - 1]
800.000 * 0.15 =120.000
                                                    0,06
680.000 = A [(1 + 0,06) - 1]
                         12
                                                    A = 38692,66
0,06
                                                    CC = 510.000 + 38.692,66
A = 40.308,38
                                                    0,06
CC = 800.000 + 40.308,37
                                                    CC = 1’154.877,65 Respuesta
0,06                                                Respuesta = El CC de la primera oferta en
                                                    menor en 20.355,86
CC = 1’471.806,33 Respuesta
* Una industria recibe dos ofertas de cierto tipo   9. Problemas de Amortización
de máquina, ambas de igual rendimiento. La
primer oferta es por $380.000 y las maquinas        Formulas para anualidades diferidas
tiene una vida útil de 7 años; la segunda oferta
es de $510.000 por maquinas que tienen una          F = A [¨ (1 + i )n -1] =Valor futuro
vida útil de 10 años. Si el precio del dinero
                                                    i
es el 6% efectivo, ¿qué oferta es más con-
veniente?                                           P = A [¨ 1 – (1+ i )-n ] =Valor presente
Primera oferta
                                                    i

                                                    F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo
                                                    Nota: Son las mismas que las anualidades
                                                    vencidas y anticipadas.

                                                             1. Una deuda de $20.000 debe
                                                             amortizarse con 12 pagos
                                                             mensuales vencidos. Hallar


                                                                                               35
el valor de estos, a la tasa efectiva             20.000= A [ 1 - (1 + 0,0064)-12 ]
del 8%, y elaborar el cuadro de
amortización para los dos primeros                0,0064
meses.
                                                  A = 1.737,19 Respuesta
(1+0,08)1/12 = (1+ e.m)12/12

i = 6,43 *10-3




* Una deuda de $100.000 debe cancelarse           73.462,00 + 129.979,95 = 56.517,95 Respu-
con pagos trimestrales vencidos en 18 cuotas,     esta Saldo insoluto al noveno pago.
con interés del 12% capitalizable semestral-
mente. Hallar el saldo insoluto, al efectuar el   * Una propiedad se vende en $300.000, paga-
noveno pago.                                      deros así; $100.000 al contado y el saldo en
                                                  8 cuotas iguales semestrales con interés del
(1+0,12)2/4 = (1 +et)4/4                          10% convertible semestralmente. Hallar los
                                                  derechos del vendedor y del comprador, al
100.000 = A [ 1 - (1 + 0,029)-18 ]                efectuarse el quinto pago
0,029                                             300.000 – 100.000 = 200.000

A = 7.244,03 Anualidad                            200.000 = A [ 1 - (1 + 0,05)-8 ]

Para encontrar el valor del noveno pago           0,05

F = 7.244,03 [ (1 + 0,029)-9 - 1 ]                A = 30.944,36

0,029                                             F = 30.944,36 [ (1 + 0,05)-5 - 1 ]

F = 73.462,00                                     0,05

M = 100.000 (1 + 0,029)9 = 129.979,95             F = 170.987,13


        MATEMÁTICA FINANCIERA
36
M = 200.000 (1 + 0,05)5 = 255.256,31         i = 0,39

Derecho del Vendedor 255.256,31 -            12
170.987,13 = 84.269,17
                                             i = 0,0325
D. comprador + 84.269,17 = 300.000
                                             26.400 = 1254,75 [ 1 - (1 + 0,0325)-n ]
D comprador = 215.730.83
                                             0,0325
* ¿Con cuantos pagos semestrales iguales y
vencidos de $9.500 se pagaría la adquisición n = 36 mensualidades Respuesta
de un terreno que cuesta $29.540 si se carga
una tasa anual de 34% convertible mensual- * Una aspiradora se vende en $499 al contado
mente?                                       o mediante 4 pagos mensuales anticipados de
                                             $135 ¿Cuál es la tasa efectiva mensual que se
                                             paga al adquirir ese aparato a crédito?




Conversión de la tasa

(1 +0,34)6 = (1 +i.s.)

12
                                             499 = 135 [1 + 1 – (1 + i)-3]
Interés semestral = 0,1825
                                             i
29.540 = 9.500 [ 1 - (1 + 0,1825) ]
                                -n
                                             2,69 = 1 – (1 + i)-3
0,1825
                                             i
ln 0,4325 = - n ln(1,1825)                   Interpolación

-0,838 = -n (0,1676)

n = 5 pagos semestrales Respuesta
* Determine el número de pagos necesa-
rios para amortizar totalmente la compra a 0,06 – 0,05 = 0,06 – i
crédito de un automóvil que cuesta $48.000
y se vende con un enganche de 45% y el 2,6730 – 2,7232 2,6730 – 2,69
resto a pagar en mensualidades vencidas
de $1.254,75 con interés al 39% convertible 0,00017 = 0.06 – i
mensualmente.
                                            0,0502
Enganche 21.600
                                             i = 0,05661
Quedan 26.400
                                             i = 5,66 % Respuesta




                                                                                       37
10. Problemas de Fondo de Amortización         1.     Se establece un fondo de $5.000
                                               se-              mestrales que abona el
Formulas para anualidades diferidas            6% capitalizable                semestral-
                                               mente. Hallar el valor acumu-         lado
F = A [¨ (1 + i )n -1] =Valor futuro           en 5 años y elaborar el cuadro del
                                               fondo.
P = A [¨ 1 – (1+ i )-n] =Valor presente
                                               0,06 = 0,03
i
                                               2
F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo
                                               F = 5.000 [¨ (1 + 0,03 )10 -1] =57.319,39
Nota: Son las mismas que las anualidades
vencidas y anticipadas.                        0,03




* Un artesano necesita remplazar cada 5 años   6,622 * 10-3
todas sus herramientas, cuyo valor es de
$10.000. ¿Qué deposito mensual debe hacer      A = 136,28 Respuesta
en una cuenta de ahorros que abona el 8%,
                                               * Para cancelar una deuda de $80.000 a 5
capitalizable trimestralmente?
                                               años plazos, se establecen reservas anuales
                                               en un fondo que abona el 6%; transcurridos
                                               dos años eleva sus intereses al 7%. Hallar las
                                               reservas anuales y hacer el cuadro de fondo

(1 + 0,08)4/12= (1 + e.m)12/12

4

Tasa efectiva mensual = 6,622 * 10-3

10.000 = A [(1 + 6,622 * 10-3)2 - 1]



         MATEMÁTICA FINANCIERA
38
80.000 = A [(1 + 0,06)5 - 1]                     0,06

0,06                                             M = 29234,92 (1+ 0,07)3 = 35.814,04

A = 14.191,71 Primeros dos años                  44.185,95 = A [(1 + 0,07)3 - 1]

F = 14.191,71 [¨ (1 + 0,06)2 -1] = 29.234,92     0,07
                                                 A = 13.744,11 Los 3 últimos años




* Un municipio emite obligaciones a 10 años
de plazo por $2.000.000 que devengan el
8% de interés. ¿Qué depósitos anuales debe
hacer en un fondo que abona el 6% y que
egreso anual tendrá el municipio hasta el pago
de la deuda?
2.000.000 * 0,08 = 160.000                       (1 + 0,26)12/6 = (1 + i. bimestral)6/6
2.000.000 = A [¨ (1 + 0,06)10 -1]                12
0,06
                                                 i = 0,04380
A = 151.735,92 depósitos anuales
                                                 29.000 = A [¨ (1 + 0,04380)6 -1]
151.735,92 + 160.000 = 311735,92 Respu-
esta total egreso anual                          0,04380

Hallar la reserva anual en un fondo que          A = 4330,4922 Respuesta.
paga el 7% de interés, para cancelar en 25       * Para pagar una deuda de $5.400 que vence
años una deuda de $100.000.                      dentro de 5 meses se va a construir un fondo
100.000 = A [¨ (1 + 0,07)25 -1]                  mediante depósitos mensuales anticipados.
                                                 Si los depósitos se colocan en un fondo de
0,07                                             inversiones que rinde el 32% anual convert-
                                                 ible mensualmente, hallar su importe.
A = 1.518,05 depósitos anuales
* Se deben pagar $29.000 dentro de 12 me-
ses por una deuda con anterioridad. Si para
pagarla se decide constituir un fondo mediante
depósitos bimestrales vencidos ¿cuál sería
el importante de los mismos si se colocan en
un instrumento de inversión que rinde el 26%
convertible mensualmente?


                                                                                          39
i = 0,32                                        sualmente si se decide constituir un fondo
                                                mediante depósitos quincenales vencidos en
12                                              una cuenta de inversiones que rinde el 2,7%
                                                mensual efectivo.
i = 0,0266
                                                (1 + 0,027)12/24 = (1 +e. q.)24/24
5.400= A [¨ (1 + 0,0266) -1 - 1]
                             6

                                                Efectiva quincenal = 0,0134
0,0266
                                                16.872,96 = A [¨ (1 + 0,0134)6 -1]
A = 997,32 Respuesta.
                                                0,0134
* Haga una tabla que muestre la forma en que
amortizaría una deuda de $15.000 contratada     A = 2719,34677 Respuesta.
hoy y que debe pagarse en 3 meses con
interés al 12% trimestral capitalizable men-




* ¿Cuál debe ser el importe de cada uno de 8 depósitos mensuales anticipados que se colo-
can en un fondo de inversión que rinde el 28,4% convertible mensualmente con el objeto de
amortizar una deuda de $8.888,89 que vence exactamente dentro de 8 meses?

8.888,89 =A [¨ (1 + 0,02375)9 -1 - 1]

0,02375
A = 998,29 Respuesta




11. Bibliografía
     •	 Alfredo Díaz Mata – Víctor Manuel Aguilera G. Matemáticas Financiera. Segunda
        Edición. Editorial Mc. Graw Hill. Ejercicios Propuestos. 1.998
     •	 Lincoyan Protus G. Matemáticas Financiera. Cuarta Edición. Editorial Mc Graw
        Hill. Cuarta Edición. Ejercicios Propuestos. 1.997



           MATEMÁTICA FINANCIERA
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Matematica%20 financiera interes compuesto

  • 1. Módulo 1 MATEMÁTICA FINANCIERA   ¨Módulo. MATEMÁTICA FINANCIERA Edicion No. 2 Reservados todos los derechos Prohibida su reproducción total o parcial Diseño e Impresión: Comunicamos Ideas Ideas322@yahoo.es 1
  • 2. CONTENIDO Introducción Objetivo General Especifico Auto evaluación Conceptos Generales Definiciones Genéricas Interés simples Interés compuesto Línea de tiempo Amortizaciones1. Problemas de Interés Simple Problemas Resueltos 2. Problemas de Descuento 3. Transformación de Tasas 4. Problemas de Interés Compuesto 5. Problemas de Anualidades Vencidas 6. Problemas de Anualidades Anticipadas 7. Problemas de Anualidades Diferidas 8. Problemas de Rentas Perpetuas 9. Problemas de Amortización 10. Problemas de Fondo de Amortización 11. Bibliografía MATEMÁTICA FINANCIERA 2
  • 3. MATEMÁTICA FINANCIERA Introducción La matemática financiera es un conjunto de herramientas propias de finanzas, necesarias en la operación y en las decisiones de los negocios, y en particular en la actividad que a diario enfrentan los ejecutivos y empresarios. En consecuencia, deben ser estudiados por quienes tienen a su cargo la elabo- ración, evaluación y dirección de planes financieros, así como de aquellos que por profesión se enfrenta constantemente, a aconsejar a clientes o a tomar decisiones sobre el dinero, si desean acertar en su gestión . El éxito de este curso radica en obtener claridad sobre los conceptos básicos, poder representar gráficamente el problema o la situación planteada adaptar las cifras conocidas a una formula básica y sencilla, y proceder a resolver los interrogantes con el uso de cualquier tipo de calculadora o computador. Después de ese instrumental o matemático, debe analizarse y evaluarse el resultado o respuesta obtenida, antes de tomar la decisión definitiva. Recuerde: la matemática financiera es un medio, el fin es tomar decisiones en forma oportuna y confiable. 3
  • 4. OBJETIVOS: GENERAL: Desarrollar habilidad para reconocer los parámetros y principios fundamentales en que se basan la matemática financiera, en especial el valor del dinero en el tiempo, y ser capaz de resolver las situaciones de tipo financiero con las herramientas brindadas. ESPECIFICOS: - Interpretar el significado del valor del dinero en el tiempo, y el principio de equivalencia. - Manejar el concepto de interés y rentabilidad y poder determinar los parámetros involucrados y su aplicación a operaciones bancarias corrientes en pesos. - Calcular las transformaciones y equivalencias de las tasas de interes nominales y efectivas. - Calcular rentabilidades para los diferentes activos financieros del mercado colombiano. - Desarrollar la habilidad en el manejo de calculadoras financieras o cualquier otro tipo de calculadora, que el asistente tenga de uso diario. AUTOEVALUACIÓN INICIAL: 1. Un pagare cuyo valor para dentro de 2 años es de $700.000.00, se compra hoy por $402.000.00. Si el comprador tiene una tasa del 37% anual efectiva para sus inver- siones, cuánto ganará o perderá el comprador dentro de 2 años al hacer esta inversión? Graficar. 2. Cuantos años se requiere para que: - Una inversión de $120.000.00 se convierta en $186.000 con una tasa de interés del DTF? - Una inversión de $100.000.00, Se convierta en $234.000.00 con una tasa de corrección Monetaria e interes del 3% nominal anual M.V.? 3. Hace un año la acción del Banco de inversión se cotizaba en bolsa $23.60. hoy en día se cotiza a $ 32.14, durante ese año se ha pagado un dividendo de $ 0.25 mensual por acción. Cuál es la R.E.A? 4. Qué es mejor: invertir una suma de dinero en una compañía que propone duplicar el dinero al cabo de 15 meses? o invertida en una cuenta de ahorros que paga el 4.73% mensual? Si usted esta en capacidad de resolver acertadamente todos estos ejerci- cios, (en un tiempo inicial de unos 10 minutos ) no necesita participar en este curso ni estudiar esta cartilla . FELICITACIONES! MATEMÁTICA FINANCIERA 4
  • 5. CONCEPTOS GENERALES DEFINICIONES GENERICAS Antes de entrar a efectuar cálculos y realizar operaciones, o pretender aplicar fórmulas se debe tener muy en claro, el significado de algunos conceptos básicos, que se utilizan en la solución de todos los problemas de matemáticas financieras. De ahí la necesidad de entender bien sus principios y fundamentos, puesto que su aplicación deficiente nos conducirá a errores que en muchas ocaciones, afectarán negativamente la imagen que el cliente tiene sobre su negocio o la entidad para la que ud. trabaja. El concepto fundamental de las Matemáticas Financieras, es el valor del dinero en el tiempo El dinero tiene un valor dependiendo de la fecha en que se considera. Así, la preocupación básica es relacionar en todo momento las magnitudes o cantidades, con la fecha. Por ello, debemos fijarnos como norma , que en toda información financiera debe indi- carse o identificarse con facilidad , si es un ingreso o egreso, además de su cantidad y la fecha en que ocurre el ingreso o egreso, en otras palabras siempre debemos indicar el cuánto y el cuando. Podemos conconcluir entonces que como el dinero tiene un valor diferente según el tiempo en que se realiza su desembolso, nunca podemos sumar o restar pagos de diferentes fechas. INTERESES: Es el precio que se paga por el uso del dinero, un periodo dado, Puede definirse también como la unidad o ganancia que genera un capital o como la rentabilidad de una inversión. Sigla: I Hay quien considera que siempre hay dos caras de un préstamo o inversión: la de quien coloca el dinero y recibe a cambio el interes, y la de quien lo toma, que paga el interés o sea su costo . Para este ultimo su sigla será “C” TASA DE INTERES Es la relación resultante entre el valor recibido, la cantidad prestada y generalmente se usa en relación como una base de 100, por lo que se manifiesta como “por cien- to” o “porcentaje” Sigla: ¡% ó ¡p El subíndice “p” se refiere al período en consideración, que bien podría ser “m” para mensual, “s”para semestral ,etc.. Se lee entonces como la tasa de interés periodístico. 5
  • 6. VALOR PRESENTE Es la cantidad inicial de dinero que se entrega o que se toma en préstamo. Es el capital. Sigla: VP VALOR FUTURO Es el valor resultante en el tiempo de juntar el capital inicial y los rendimientos generados Sigla: VF TIEMPO PERIODO Intervalo de tiempo durante el cual se gana el interés o en el cual tiene lugar la operación financiera Sigla: N REPRESENTACIÓN GRAFICA: Todos los problemas de matemáticas financiera, es posible graficarlos. La representación gráfica de la información, es la que se denomina líneas de tiempo, y como en ellas lo que se registra es el momento y cantidad en que el efectivo ingresa o sale, y podemos hablar entonces del diagrama o grafica del FLUJO DE CAJA. Vale entonces resaltar que como las matemáticas financieras se basan en el manejo de efectivo, no de la causación contable, el resultado, análisis y la cantidad de la decisiones tomadas, serán tan buenos como buena sea la información básica considerada . En una recta horizontal se presenta las fracciones de tiempo, los ingresos con una flecha hacia arriba y los egresos con una flecha hacia abajo. EJEMPLO: Compramos un taxi usado por $ 5.7millones, al mes gastamos $ 250.000 en repara- ciones el vehículo lo tenemos en servicio durante un año, pagando por combustible $ 60.000 mensuales y recibiendo del servicio $ 280.000 mensuales. Al fin lo vendemos en $ 6.000.000.Interes del 32%. Identificar: ip , VP, VF ,N Ingresos y egresos gratificar flujo de caja SOLUCION: Primero: Identificación de variables: VP =$57.00.000 N = un año =12 meses ip =2% mensual Egresos: $ 5.7 MM periodo 0 $250.000 periodo 1 $60.000 periodos 1 al 12 Ingresos: $280.000 periodos 1-12 $6.0MM Periodo 12 MATEMÁTICA FINANCIERA 6
  • 7. Segundo: Solución gráfica 6.000 280 Ingresos 0 Egresos 60 ip =2% MV 5.700 Antes de dar unos conceptos vamos a nalizar la conversación que sostiene Diego y Richard veamos : Richard : Diego necesito que me hagas el favor y me preste $ 1.000000. Diego: Richard yo los tengo disponible pero los voy a invertir en un banco que me ofrece un interes del 30% anual Richard: por que no me los prestas y yo te pago lo mismo que te ofrece el banco Diego : observa lo siguiente: por cada $100 que yo invierta, el banco a la vuelta de un año me entrega $130. estos $ 130 son los 100 iniciales mas $30 por concepto de intereses. Si tu estas dispuesto te presto el dinero. De acuerdo con la situación anterior nos damos cuenta que Diego que es el prestamista (aquel que ofrece sus fondos al sacrificarlos prestando su dinero) obviamente recibe una compensación al cobrar un interés. Richard que es el prestario (es el que demanda los fondos ) está dispuesto a pagar un precio por el préstamo o sea $30 de interés por cada 100 que le presta Diego. En otras palabras esta pagando un 30 por ciento en el año (30% anual). Con base en esto podemos decir que: 7
  • 8. El interés es el precio por el cuál se presta el dinero. Inicialmente hablamos de $ 1.000.000 pero hacer el análisis con $100 es equivalente. En este caso $30 es el interes que se va a ganar Diego en 1 año. Si denotamos a I = interés, entonces I = $30 Los $100 son el valor que se van a invertir y lo vamos a llamar valor presente deno- tado por P. O sea que P = $100. A l cabo de un año Diego recibe $ 130 que son sus $100 más el interes ($30). A este valor final (acumulado) lo vamos a llamar valor futuro y lo denotamos por 1 entonces: F =100x 30 = F = $ 103 En términos generales: F=P+I De tal forma que I =F-P Como Richard pagó $30 en un año por $100 prestados quiere decir esto que Diego le cobró una tasa de interés del 30% anual. ¿Como se pudo obtener esta tasa de interés? R/ Si i = tasa de interés Entonces: i = 30  30% 100 I Términos generales: i= p Ahora, el tiempo por el cual se hizo el préstamo fue de un año . INTERÉS SIMPLE Supongamos que se tienen $ 100 para invertir a una tasa del 3% mensual. Si este 3% mensual es simple esto indicará que cada mes se obtendría un interés De $3. De tal forma que el interés se obtendría con base en capital inicial ¿Cómo se obtuvieron los $3? R/ los $3 se obtuvieron multiplicando el capital por la tasa de interés que es del 3% o sea : $3 = $100*(3/100). ¿Cuánto se tendría acumulado por concepto de interés en un año? R/ Como cada mes se ganan $3 de interés, entonces se debe multiplicar este valor por los 12 meses del año. MATEMÁTICA FINANCIERA 8
  • 9. Si llamamos I = interés, entonces: I = $3 x12  1= $36 o de otra forma:  I = 100 x 3 x 12  Tasa de interés Número de periodos  100 En términos generales si: P = inversión inicial i = tasa de interés; n = Número de periodos Entonces:  I = P. i. n Ahora , si queremos calcular el valor futuro, o sea el valor presente, más el interes entonces en el ejercicio nos quedaría así ( ) 3 F =100 + 36  F = 136 ó F = 100 + 12 F = $136 Y en términos generales: F = P + P.i.n  F = P (1+ in) Esta expresión sirve para hallar el valor futuro de una inversión a interés simple De aquí podemos despejar p y nos daría F P= 1 + in Debemos tener en cuenta lo siguiente: Para utilizar las expresiones anteriores es importante que tanto la tasa de interés (i) y el número de periodos (n) sean constantes. O sea si (i) es mensual entonces (n) debe estar dado en meses. Además si el valor de i esta dado en porcentaje lo debemos dividir entre 100 (si i = 3% -3/100 = 0.03). Retomemos el ejercicio inicial: Si usted tiene $100 y los invierte a una tasa del 3% mensual simple, ¿Cuánto tendrá acumu- lado en el 1 año? R/ Si utilizamos la expresión: F = P (1+in) P = 100 i = 3%  i = 0.03 n = 12 meses, entonces: F = 100 (1+ 0.03*12)  F = 100 (1.36)  F = $136 9
  • 10. Como obtuvimos una utilidad de $ 36 en un año habiendo invertido $100 entonces podemos concluir que se obtuvo una rentabilidad del 36% anual. De tal forma que hablar del 3% mensual simple es equivalente al 36% anual simple. Esta equivalencia se da ¡SI EL INTERÉS ES SIMPLE! 36% anual simple  mensual simple 3% O sea que cuando tratamos interés simple se puede dividir la tasa de interés por un factor (o número) para reducirlo. Por ejemplo: a). Si tenemos 40% anual simple y dividimos entre 4 lo convertimos en 10% trimestral simple. 40% anual simple  trimestral simple 10% EJERCICIOS RESUELTOS 1. Si usted tiene $ 2.000.000 y lo invierte al 38.4% anual simple. ¿Cuánto se obtendrá por interés al cabo de un año y medio? R/ P = 2.000.000: I = 38.4% anual  I = 38.4/12 = 3.2% mensual n = 1.5 años n =  18 meses, entonces: Si I = P.i.n =  I= 2.000.000 (0.032) (18)  I = 1.152.000 I = UP x ip x N Hemos determinado la tasa de interés mensual y el valor de n lo convertimos en meses. Podríamos haber dejado la tasa de interés anual y el valor de n en años, así: I = P.i.n  I = 2.000.000 (0.384) (1.5)  I = $1.152.000 2. En el ejercicio anterior ¿Cuánto se tendrá acumulado en año y medio? R/ Sabemos que F = P + 1 F = 2.000.000 + 1.152.000 F = $3.152.000 Valor acumulado Otra forma: F = P (1 + in) F = 2.000.000 (1 + 0.384 x 1.5) F = $3.152.000 3. Cuál debe ser el capital que colocado al 12% semestral simple durante 3 años pro- duce un interés de $2.160.000? MATEMÁTICA FINANCIERA 10
  • 11. R/ Aquí I = 2.1600.000 n = 3 años; i = 12% semestral: P =? n = 6 semestres Como I = P.i.n  2.160.000 = P (0.12) (0.6)  P = $ 3.000.000 I = vp x ip x N I= P / [0.12 * 0.6] = I = VP I*n 4. Cuánto se debe depositar hoy a una tasa del 4.8% bimestral simple para poder reti- rar en 2 años la suma de $5.000000. R/ p = ? I = 4.8% bimestral n = 2 años n =  12 bimestres F = $ 5.000.000 5.000.000 Si F = p (1 + in)  5.000.000 = p / (1 +0.048 x 12)  p= F 1.576 P= (1+i.n) P = $3.172.589 5. ¿Que tiempo se requiere para que $1.500.000 invertidos al 3% mensual simple se convierta en $2.193.000? R/ n=? p = 1.500.000; F = 2.193.000 i = 3.3% mensual Si F = p (1+ in )  2.193.000 = 1.500.000 ( 1+0.033n ) 2.193000 = 1+0.033n  1+0.033n = 1.462 - 1  0.033n = 0.462 1.500000 0.462 n= 0.033  n = 14 meses 6. ¿Que tiempo se requiere para que un capital se duplique, si este se invierte al 27.5% anual simple? R/ n=? p=? i = 27.5% anual  F = 2p 2P Si F = 2p = ( 1+in)  2p = p (1+ 0.275n)  = 1 + 0.275 n P 1 2 = 1+ 0.275n  1 = 0.275n n=  n = 0.2753  n = 64 años n = 3.636 años la respuesta anterior esta dada en años y la podemos convertir en años, meses y días, así: 3.64 años  años + 0.64 años 3 ¿0.64 años equivalen a cuantos meses? R/ Para hacer esto debemos tener en cuenta lo siguiente : si una cantidad inicial se multiplica por 1 esta no se altera puesto que el ultimo número 1 es el módulo del producto. 11
  • 12. Ejemplo: Si tenemos a  a* 1 = a Ahora si tenemos 0.64 años, podríamos multiplicar por 1 así: 0.64 x 12 meses = 7.68 meses 1años O sea que 0.64 años  7.68 meses, entonces: 7.68 meses  7 meses + 0.68 meses Ahora para pasar 0.68 meses a días hacemos lo siguiente : 30 días 0.68 meses x = 20.4 días =  20 días en conclusión 1mes 3.64 años  año . 7 meses y 20 días 3 7. ¿Que tasa de interés trimestral simple me incrementa una inversión en un 43.2% al cabo de año y medio? R/ Como nos piden la tasa de interés trimestral entonces reemplazamos el valor de n al cabo de año y medio? 43.2 4.32 P =? F=p+ p  F=p+ x p F =1.432P 100 100 i =? n = 1.5 años  n = 6 trimestres Si F = p (1 + in)  1.432p = p (1 +6i)  1.432 P =1+6i P 0.432 1.432 - 1 = 6i  i= 6  i = 0.072 * 100  i = 7.2 % i = 7.2 % trimestral simple INTERÉS COMPUESTO Cuando tratamos interés simple dijimos que el interés que se ganaba en cada periodo, se obtenía de la inversión inicial, situación que ocurre en el interés compuesto. ¿Qué significa eso? MATEMÁTICA FINANCIERA 12
  • 13. Ejemplo: Si usted tiene $ 100 y los inviertes al 3% mensual es equivalente al 3% mensual compuesto (en lo sucesivo hablar del 3% mensual es equivalente al 3% mensual compuesto). Dentro de un mes usted tiene $ 3 por concepto de interés, de tal forma que el valor acumulado es $ 103. Cuando se va a calcular el interés para el segundo mes se hace con base en lo que se tenga acumulado en al primer mes (o sea $ 103) Esto indica que se ganarán un poco más de $3. ¿cuánto? R/ Veamos: ¿cuál es el 3% de $103? 3 R/ (103) = $ 3.09 100 O sea que para el segundo mes se tiene 103 +3.09 = $106.09 Cuando se vaya a liquidar u obtener el interés para el tercer mes lo debemos hacer con base en lo que se tenga acumulado en el segundo mes (o sea $ 106.09) y así sucesivamente. Osea que en otras palabras la diferencia que existe entre interés simples y compuesto es que cuando se hace una inversión a interés compuesto los intereses ganan interés debido a que en cada periodo estos se agregan al capital y con base en el valor acumulado se calcula los intereses del próximo periodo. Cuando el interés se agrega al capital se dice que el interés se capitaliza. O también que los interés se reinviertan. En conclusión un interés compuesto se reconoce interés sobre los interéses ganados por la inversión inicial y esto no ocurre con interes simple. FORMULA DEL INTERÉS COMPUESTO Antes de conocer la formula para interés compuesto es conveniente saber con que notación vamos a trabajar; puesto que es la que llevaremos de aquí en adelante. NOTACIÓN: P :Inversión inicial (Valor actual ó presente ) I : Tasa de interes porperiodo N :Número de periodo F :Saldo ó monto compuesto (valor futuro ), valor presente más interes compuesto. Ejemplo : Supongamos que una persona hace una inversión inicial de p =$ 500.000 a una tasa de interés del 3% mensual. Cuando tendrá dentro de 6 meses ? Como no tenemos una formula para hallar el valor futuro(o sea los $500.000más los interes) a los 6 meses; hagamos el análisis mes a mes. 13
  • 14. Hoy  = 500.000 1mes  500.000 +500.000 (3/100) = 515.000 2mes  515.000 +515.000 (3/100) = 530450 3 mes  530.450+530.450 (3/100) = 546.363,5 4mes  546.363,5 + 546.363,5 (3/100) = 562.754,40 5 mes  562.754,40+562.754,40(3/100) = 579.637,04 6 mes  579.637,04 +579.637,04 (3/100) = 597.026,15 Haciendo este seguimiento nos damos cuenta que si se invierte $500.000 (hoy) a una tasa de interés compuesto del 3% mensual, dentro de 6 meses se tendrá $597.026,15 ¿Qué hubiéramos hecho si nos piden este valor pero dentro de tres años (36 meses)? Tendríamos que elaborar una tabla para 36 meses, y esto resultara muy largo. Preguntémonos entonces. ¿Habrá alguna expresión que me permitía conocer el valor futuro dado un valor presente un número de periodos y una tasa de interés por periodo? Supongamos que una persona hace una inversión inicial p a una tasa de interes por periodo i. Cuanto tendrá dentro de n periodos ? Para el caso anterior (el de los $50.000 ) la tasa de interes era mensual, y es por eso que el análisis lo hicimos mes a mes . Para este caso como la tasa de interés es por periodo, hacemos el análisis cada periodo: Hoy:  p 1- periodo  p +pi = p(1+i) 2- periodo  p(1+i)+p(1 +i)i = p(1 +i)(1 +i) = p(1+i)2 3-periodo  p(1 +i)2 p(1 +i)2i = p(1 +i)2(1+i) = p (1 +i)3 4- periodo  p(1+i)3 +p(1+i)3 i = p(1+i)3(1+i) = p(1+i)4 5- periodo  p(1+I)4 +P(14+I)4 i = p(1+i)4 (1+i) = p (1+i)5 n periodos  (1+i) n-1+ p (1+i)n-1i = p(1+i)n-1 (1+i) = p(1+i)n p Haciendo este seguimiento nos damos cuenta que el valor futuro(F) viene dado por la siguiente expresión : F = p (1+i)n De acuerdo con esto podemos dar la siguiente definición: DEFINICION : Si se invierte una cantidad inicial (p) a una tasa de interés por periodo (i ) entonces : el valor futuro ( f) dentro de ( n) periodos vendrá dado por la siguiente expresión: F = p (1+ i)n  formula de interes compuesto MATEMÁTICA FINANCIERA 14
  • 15. De la expresión anterior es importante tener en cuenta lo siguiente : El valor de n y de í debe ser consistente , en el sentido de que cuando la tasa de interes es bimestral el número de periodos debe estar dado en meses, si la tasa de interes es bimestral el número de periodos debe estar dado en bimestre , etc. NOTA: El valor de í se debe reemplazar en la formula en tanto por uno ; o sea que si tengo por ejemplo 5% =í debo dividir 5 entre 100 y reemplazaríamos 0.05 i. Ejemplo: Se tiene una inversión inicial de $500.000 y se quiere hallar el valor futuro para el tiempo y tasa de interés dados a continuación: a) Dentro de 6 meses: 3% mensual b) Dentro de un año y medio: 5% bimestral c) Dentro de 1 año: 8% trimestral d) Dentro de tres meses: 0.07562% diario e) Dentro de 3 años: 34% anual. SOLUCIÓN: Para resolver nuestro ejercicio utilizamos la siguiente expresión F = P (1 + i) n Donde el valor de p para cada caso es de $ 500.000. Lo que se debe tener en cuenta es que el valor de n debe ser consistente con el valor de í. Caso: A P = 500.000. í = 3% mensual n = 6 meses F =500.000 (1+ 0.03) 6  F = 500.000 (1.194052)  El ejercicio propone 6 meses F = $ 597.026,14 Caso: B P = 500.000. í = 5% bimestral n = 1.5 años n = 9 bimestre F = 500.000 . (1+0.05)9  F = 500.000 (1.05)9 F = 500.000 (1.551328 )  F = $ 775.664 Caso: C P = 500.000. í = 8% trimestral n = 1 año n = 4 semestres 4 F = 500.000 (1+ 0.08)  F = $ 680.244 Caso: D 0.07562 P = 50.000. í = 0.07562% diario í= = 0.0007562 100 15
  • 16. n = 3 meses  n = 90 días F = 500.000 (1+0.0007562)90 = 500.000 (1.0007562) 90  F = 500.000 (1.0703999) F= $ 535.200 Caso :E P = 500.000 í = 34% anual n = 3 años n= 3 F= 500.000 (1 + 0.34)3 F= 1´203.052 LINEA DE TIEMPO La línea de tiempo es una herramienta que vamos a utilizar en los problemas de tipo financiero. Esta consta de una línea horizontal donde se va a respetar el dinero a través del tiempo . Se constituye dividiendo en intervalos de tiempo que van asociados a la tasa de interés. En esta línea se va a mostrar los ingresos y los egresos mediante vectores (flechas ) Que van a ir en sentido contrario, por ejemplo: los ingresos podrán ir representándolos mediante flechas: hacia arriba y los egresos mediante flechas hacia abajo o viceversa. Por ejemplo podríamos dibujar una línea de tiempo para el caso A del ejemplo anterior: 500000  0 1 2 3 4 5 6 (meses) í = 3% mensual 597026 Nota: En la línea de tiempo debemos escribir entre corchetes ó paréntesis el tipo de periodo al cual estamos haciendo referencias y en la parte de abajo irá la tasa de interés asociada a estos periodos. Ya que conocemos la formula de interes compuesto f = (1+ í )n , Podemos hacer los siguientes comentarios: 1) Es una igualdad donde intervienen 4 variables 2) Para determinar una de las variables de la ecuación se necesita conocer las tres (3) variables restantes . 3) Si queremos despejar el valor de n y para tal efecto reemplazamos un valor de í correspondiente a una tasa de interés bimestral, entonces al valor de n que despejemos serian bimestres y viceversa. Hagamos entonces 4 ejercicios donde se piden cada una de las variables y Medan como infor- mación las tres (3) resultados. MATEMÁTICA FINANCIERA 16
  • 17. 1er. Caso : ( hallar f dado p, í, n ) El señor Roberto Hoyos tiene disponibles $ 800.000 para invertir ¿Cuánto tadra dentro de un año y medio si la inversión la hace al 7.5 % trimestral ? Información Í = 7.5% Trimestral  F= ? Suministrada n = 1.5 años = 6 trimestre P = 800.000 F = 800.000 (1+0.075) 6 F = $ 1.234.641 Dibujar la línea de tiempo 2do. Caso: ( hallar p dado f, í, n ) ¿Cuánto debo invertir hoy al 1.95% mensual para poder retirar en 10 meses la suma de $ 2.500.000? F = 2.500.000 100 í = 1.95% mensual í= = 0.0195 Información 1.95 Suministrada n = 10 meses p=? F = P / ( 1+ Í )  2.500.000 = p / (1+0.0195)10 2.500.000. P=  p = $ 2.060.951 ( 1.0195 )10 Di bujar la línea de tiempo 3er. Caso : (hallar n dado p, f, í ) ¿ Durante cuanto tiempo debo invertir $ 1.200.000 al 0.076674% diario para obtener $1.315.604 ? p = 1.200.000 0.076674 í = 0.076674% diario  í= = 0.0007664 Información 100 Suministrada F = 1.315.604 n=? F = p ( 1+ í )n n  1.315.604 = 1.200.000 ( 1+ 0.00076674) 1.315.604 = ( 1.00076674)n à ( 1.00076674)n = 1.096337 1.200.000 17
  • 18. Log. (1.00076674)n = Log . 1.096337 n log. 1.00076674 = Log 1.096337 log 1.096337 n=  n = 120 días log 1.00076674 Dibujar la línea de tiempo Para desplazar el valor de “n” en términos generales lo podemos hacer de la siguiente manera: F Dado F= p (1+ í )N à (1+ í )N = ( Aplicando Logaritmos ) P Log . (1+ í) n = Log. ( F/ p) Log(F/ P) n Log. (1+ í ) = Log. ( F/ P)  n = Log (1+ í ) Si hubiéramos aplicado esta formula para ejercicio anterior lo haríamos así: Log (1.315604/1.200000) Log1.096337 n=  n =  n = 120 días Log (1+0.00076674) Log1.00076674 n = 4 meses 4to.Caso : (hallar í dado P,F y n) ¿ A qué de interés bimestral debo invertir $ 1.500.000 para obtener al cabo de año y medio la suma de $2.123908? P = 1.500.000 Información F = 2.123.908 Suministrada í = ? ( bimestre n = 1 1/ 2 años n = 9 bimestres F =P ( 14+ í )n  2.123.908 = 1.500.000 (1 + í )9 2.123.908 = ( 1+ í) 9  ( 1+ í )9 = 1.415.939 1.500.000 ( 1+ í ) = ( 1.415.939)1/9  í = 1.0394-1  í = 0.0394 í = 0.039*100  í = 3,94% bimestral Dibujar la línea de tiempo Para desplazar el valor de “ í” en términos generales lo podremos hacer de la siguiente manera : F F Dado F = P ( 1+ í )n  P = ( 1+ Í )n  P = ( 1+ Í )1/n MATEMÁTICA FINANCIERA 18
  • 19. F Í=( p) 1/N  1 Si queremos el valor de í expresado en porcentaje la formula quedaria así : í = [( ) -1] *100 F p 1/n Nota : En la fórmula anterior se debe hacer aclaración en el sentido de que si se requiere una tasa de interés bimestral el valor de n se debe reemplazar como un número que corresponde a bimestres Aplicar la formula para el ejercicio anterior . AMORTIZACIONES Generalmente cuando se habla de amortización este termino lo utilizamos cuando se esta pagando una deuda. Analicemos la siguiente situación : Usted va hacer un préstamo por $1.000000 para pagarlo con 4 cotas mensuales. La financiera la cobra una tasa del 3% mensual: ¿ Cual es el valor de las cuotas si usted comienza apagar dentro de un mes ? R/ Aquí tenemos p = 1.000000 n=4 ÍM = 3% A=? 1 1.000000 2 3 4 ( meses)  0   A   F.F = 0 1-(1 +0.03) 4 1.000000 =A 0.03 A = $ 269027 El valor de cada cuota es de $269027. Regularmente lo que uno hace es multiplicar el valor de la cuota por 4 y esto nos daría: 269027* 4= $ 1.076108 Este valor que se paga (contablemente ) distribuido en los 4  meses. ¿Cuánto se paga por concepto de interes ? R/ Interés = 1.076.108 – 1.000.000 = $ 76.108, esto indica que durante los 4 meses en total se pagarón por concepto de interés la suma de $ 76.108. 19
  • 20. Debemos tener en cuenta que cuando se paga una cuota de la deuda, una parte de ella (la cuota) va cubrir el interés que cobra la financiera y el resto va a amortizar el capital. Cuando una persona hace un préstamo es muy normal que la financiera le entrega una tabla de amortización. Este es un documento que sirve para darse cuenta del comportamiento de la deuda, en el sentido de que allí se va a explicar por ejemplo de cada cuota que repague cuánto corresponde a interés y cuando irá a amortizar el capital. Esta tabla también servirá para darnos cuenta de cuanto tendríamos que pagar a la financiera en el caso en que quisiéramos saldar la deuda en cualquier ínstante. ¿ De que consta la tabla ? R/ La tabla consta de 5 columnas que van hacer las siguientes : Columna 1: Muestra los periodos o el tiempo en que se va apagar la deuda . Columna 2: Muestra lo que debe realmente en cada periodo, a esto lo vamos a llamar saldo de la deuda . Columna 3: Muestra la distribución de los interéses que se pagan durante todo el tiempo. Columna 5: Muestra lo que se abona a capital en cada periodo. Aquí se va a mostrar la tabla de amortización y posteriormente se explicara como se obtuvo cada valor. Nota : Se construirá la tabla para el presupuesto de $ 1.000.000 que se paga con 4 cuotas mensu- ales de $ 269.027 e interés del 3 % mensual. (1) (2) (3) (4) (5) n Saldo Interés Cuota Abono a capital 0 1.000.000 0 0 0 1 760.973 30.000 269.027 239.027 2 514.775,19 228.229.19 269.027 246.197.81 3 261.191,45 15.443.26 269.027 253.583.74 4 0.19 7.835.74 269.027 261.191.26 76.108 1.076.108 1.000.000 ¿ Como se construyó la tabla anterior ? R/ Observaciones que en la columna (2 ) a usted le han entregado $ 1.000000 o sea que es lo que se debe en este momento. ¿Como se obtiene este valor? R/1.000000*0.03 = $ 30000 O esa que en el primer mes usted debe por concepto de interés $ 30000 ( columnas (3) con periodo 1). MATEMÁTICA FINANCIERA 20
  • 21. Como usted le entrega a la financiera en ese mes ( periodo 1) $ 269027 entonces ellos a ese valor le quitan el interés ( $ 30000 ) y el resto ($ 239027) se lo descuenta (amortizan) al capital ( que es de este caso es 1.000000) de tal forma que es ese instante usted debe la diferencia entre 1.000000 y el ahorro a capital que es $ 239027 que es: Para el secundo mes usted debe menos interés puesto que se determina con base en lo que debe en el primer mes que es $ 760973, o sea que el interés es ;760973*0.03 = $ 22829.19 y a las otra s columnas se calculan de forma idéntica, de tal forma que el proceso es repetitivo. En resumen para calcular : Columna 3  ( Saldo periodo anterior + Tasa de interés ) Columna 4  Cuota a pagar a la financiera Columna 5  (4) – (3) Columna 2  Valor de la columna (2) (anterior ) Valor de la columna (5) actual Observamos que al sumar todos los valores de la columna (3) nos daría en total de los intere- ses que son $ 76108. Al sumar todos los valores de la columna (5) nos daría el valor exacto del préstamo que es $ 1.000000. Al sumar de todos los valores de la columna (4) nos daría el valor del préstamo más los intereses (o sea $ 1.76108) se tal forma que siempre en una tabla de amortización se debe cumplir que: Suma de valores de = Suma de valores de + Suma de valores de La columna (4) la columnas (3) la columna (5) Resolver ahora algunos ejercicios para construir la tabla y usted amigo lector la completa. AMORTIZACIÓN CON CUOTA UNIFORME Préstamo = $ 4.000000 No. De cuotas mensuales = 8 Tasa de interés = 36% nominal mes vencido íacm = 36% im = 3% Valor de las cuotas A = ? 4.000.000 0 1      2 3 4 5 6    7 8 (meses) F.F = 0 A [ 1-(1+0.03) ] -R 4.000.000 = A  A = $569825 0.03 A=P [ i (1 ++ i)nn ] (1 i) 21 financiera 21
  • 22. n Saldo Interés Cuota Abono a capital 0 4.000.000 0 0 0 1 3.550175 120000 569825 449825 2 3.086855 106505.25 569825 463319.75 $558605 $3.999995 AMORTIZACIÓN CON CUOTA UNIFORME Y CUOTA (S) EXTRA (S) Préstamo = $ 4.000000 No. De cuotas mensuales = 8 Cuota extra = $1.000000 (en el mes No. 3) Tasa de interés = 3% mensual 4.000.000 0 1      2 3 4 5 6    7 8 (meses)  1.000.000 [ F.F = 1 - (1.03)- 8 A = $ 439458 4.000000 = 1.000000 (1.03) +A 0.03 -3  n Saldo Interés Cuota Abono a capital 0 4.000.000 0 0 0 1 3.680542 120000 439458 319458 2 439458 3 439458 4 1.439458 5 439458 6 439458 7 439458 8 439458 MATEMÁTICA FINANCIERA 22
  • 23. AMORTIZACIÓN CON PERIODO DE GRACIA Préstamo = $ 10.000000 No. De cuotas mensuales = 8, se pegan a partir del mes No. 4 Tasa de interes = 3% mensual F. F = 3 10.000000 ( 1 .03) 3 = A 1 – ( 1.03) -8 à A= $ 1.556659 0 .03 O 10.000000 0 0 0 1 10.300000 300000 0 – 300000 2 10.609000 309000 0 – 309000 3 10.927270 318270 0 – 318270 4 9.698429 327818 1.556659 1.228841 51.556659 6 1.556659 7 1.556659 81.556659 9 1.556659 10 1.556659 11 1.556659 F.F = 3 10.000000 (1. 03) 3 = (1.03)3 – 1 + A 1 – (1+ 0.03) -8 0.0 3 0.03 A = $ 1.424565 0 10.000000 0 0 0 1 10.000000 300000 300000 0 2 10.000000 300000 300000 0 3 10.000000 300000 300000 0 4 8.875436 1.424564 1.124564 5 1.424564 6 1.424564 7 1.424564 8 1.424564 9 1.424564 101.424564 11 1.424564 23
  • 24. PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS FINANCIERA 1. Problemas de Interés Simple C = 5.000 i = 0,0075 t =116 meses Formulas de Interés Simple 3 I=C*t*i 3años *12 meses =36 meses + 2 me- ses = 38 meses + (20dias * 1 mes)= VF =C (1 + i * t) 116 meses C =VF (1 + i * t)-1 1 año 30 días VF = C + I I =5.000 * 38,67 * 0,0075 =1.450 Re- spuesta I = interés; VF = valor futuro; C = Capital; i = tasa. Nota: Fíjese que en este ejercicio la tasa esta expresa de en meses por Calcular el interés simple comercial de: lo que debe transformarse el tiempo a. $2.500 durante 8 meses al 8%. también a meses C = $2.500 t = 8 meses i= 0,08 b. $8.000 durante 7 meses 15 días al 1,5% mensual. I = 2.500 * 8 * 0.08 =$133,33 Respu- esta 12 C = $8000 t =7,5 i = 0,015 b. $60.000 durante 63 días al 9%. 7 meses + 15 días * 1 mes =7,5 meses I =$60.000 t =63 días i =0,09 30 días I =60.000 * 63 * 0.09=$ 945 Respu- I = 8.000 * 7.5 * 0,015=$900. Respuesta esta 360 2. Un señor pago $2.500,20 por c. $12.000 durante 3 meses al 8½ %. un pagaré de $2.400, firmado C =12.000 t =3 meses i =0,085 el 10 de abril de 1996 a un con 41/2 %de interés. ¿En I =12.000 * 3 * 0.085= $ 255 Respu- qué fecha lo pagó? esta 12 VF = 2.500,20 d. $15.000 al 10% en el tiempo transcur- rido entre el 4 de abril y el 18 de sep- C =2.400 tiembre. Del mismo año. i = 0.045 C =$15.000 i =0,10 t =167 días t =? I =15.000 * 0.10 * 167=$ 695,83 Respuesta VF = C (1 + i * t) 360 2.500,20 = 2400 (1 + 0,045 * t) Calcular el interés simple comercial de: a. $5.000 durante 3 años 2 meses 20 0,04175=0,045 t días al 0,75% mensual. MATEMÁTICA FINANCIERA 24
  • 25. t = 0,9277 años Respuesta 10 de marzo de 1997 * Un inversionista recibió un pagaré por valor de $120.000 a un interés del 8% el 15 de julio con vencimiento a 150 días. El 200de octubre del mismo maño lo ofrece a otro inversionista que desea ganar el 10%. ¿Cuánto recibe por el pagaré el primer inversionista? VF =120.000(1 + 0,08 * 150) =124.000 - valor de mora. 360 360 * Una persona descuenta el 15 de mayo un 124.000(1 + 0,1 * 53)-1= 122.000,93 pagaré de $ 20.000 con vencimiento para el Respuesta 360 13 de agosto y recibe & 19.559,90. ¿A qué tasa de descuento racional o matemático se * Una persona debe cancelar $14.000 a 3 le descontó el pagaré? meses, con el 8% de interés. Si el pagará tiene como cláusula penal que, en caso de mora, se cobre el 10% por el tiempo que exceda al plazo fijado ¿qué cantidad paga el deudor, 70 días después del vencimiento? VF =VP (1+ i * t) 20.000=19.559,90 (1 + i * 90) VF = 14.000(1 + 0,08 * 3) = 14.280 Valor de vencimiento 360 12 i =0, 09  9% Respuesta VF = 14.280(1+0,1 * 70) =14.557,67 respuesta * Una persona debe $20.000 con vencimiento a 3 meses y $16.000 con vencimiento a 8 meses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con vencimiento a 6 meses y un año, respectivamente. Determine el valor de los nuevos pagarás al 8% de rendimiento (tómese como fecha focal dentro de un año). 25
  • 26. Vf1=20.000(1+0,08 * 9)= 21.200 VF =VN valor nominal 12 C =VP valor presente Vf2=16.000(1+0,08 * 4)= 16.426,67 Formulas de Descuento Comercial 12 D = VP * t * d Deuda = 21.200 + 16.426,67 VN= VP + D Deuda = 37.626,67 VN = VP (1 + d* t) Pagos VP = VN (1 - d * t) P1 = x (1+0,08 * 6) =1,04 x Determinar el valor líquido de los pagarés, descontados en un banco a las tasas y fe- 12 chas indicadas a continuación: P2 = x a. $20.000 descontados al 10%, 45 días de su vencimiento. Pagos =P1 +P2 20.000(1- 0.1 * 45)= 19.750 Respuesta Pagos =2,04 x 360 Deuda = Pagos b. $18.000 descontados al 9%, 2 meses 37.626,67=2,04 x antes de su vencimiento. Valor de los pagarés 18.444,45 cada uno 18.000(1-0.09 * 2)=17.730 Respuesta /Respuesta Nota: En este problema como en todos los 12 similares debe llevarse los valores de las deu- c. $14.000 descontados al 8% el 15 de junio, das a la fecha focal, en este caso 12 meses, si su fecha de vencimiento es para el 18 de para poder efectuar operaciones sobre estos septiembre del mismo año. valores. 14.000(1-0.08 * 95)=13.704,44 Respuesta 2. Problemas de Descuento 360 Formulas para Descuento Real d. $10.000 descontados al 10% el 20 de D = VP * t * d noviembre, si su fecha de vencimiento es para el 14 de febrero del año siguiente. VN= VP + D 10.000(1-0.1 * 86)=9.761,11 Respuesta VN = VP (1 + d* t) 360 VP = VN (1 + d * t) -1 Las formulas son iguales a las de interés simple he aquí sus equivalencias. i = d tanto por ciento/tasa de descuento I = D descuento MATEMÁTICA FINANCIERA 26
  • 27. 2.2. Alguien vende una propiedad por la que ¿Qué tasa de descuento real se aplico a recibe los siguientes valores el 9 de julio de un documento con valor nominal de 700 cierto año: dólares, si se descontó a 60 días antes de su vencimiento y se recibieron 666,67 a. $20.00 de contado dólares netos? b. Un pagaré por $20.000, con vencimiento el 9 de octubre del mismo año. c. Un pagaré por $30.000, con vencimiento el 9 de diciembre del mismo año. Si la tasa de descuento bancario en la lo- 700=666,67(1 + i 60) calidad es del 9%, calcular el valor real de la venta. 360 a. 20.000 contado i = 0.30  30% Respuesta ¿Cuál es el valor nominal de un pagaré por b. 20.000(1-0.09 * 92)=19.540 el cual se recibieron 146,52 dólares, si se 360 descontó comercialmente a un tipo de 49%, 85 días antes de su vencimiento? a. 30.000(1-0.09 * 153)=28.852,5 360 Total =20.000 + 19.540 + 28.852,5 = $68.392,50 Respuesta Un pagaré de $10.000 se descuen- tan al 10% y se reciben del banco $9.789. Calcular la fecha de ven- cimiento del pagaré. 146,52 = VF (1 - 0,49 * 85) 10.000=9.789 (1+0.1 * t) 360 t = 0,21 años VF = 165,68 Respuesta. 0,21 años * 12 meses = 2,52 meses Respuesta 3. Transformación de Tasas 1 año Método de igualación El Banco Ganadero descuenta un Del 18% efectivo trimestral en- pagaré por $80.000 al 10%, 90 días cuentre la tasa nominal trimestral antes de su vencimiento, 5 días capitalizable mensualmente después lo redescuenta en otro banco a la tasa del 9%. Calcular la (1+ 0,18)4/12 = (1 + ntnm)12/12 utilidad del Banco Ganadero. 80.000(1-0.1 * 90)=78.000 3 360 80.000(1-0.09 * 75)= 78.500 360 Utilidad 78.500-78.000= 500 Respuesta 27
  • 28. T. nominal trimestral capitalizable mensual- Hallar la cantidad que es necesario colocar mente = 0, 17  17,01% R. en una cuenta que paga el 15% con capital- ización trimestral, para dispones de 20.000 Del 24% nominal anual capitalizable anual- al cabo de 10 años. mente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente. i = 0,15 efectiva trimestral (1+ 0,24)1/2 = (1 + ntcs * 2)2/2 n = 10 años Tasa nominal trimestral capitalizable semes- tralmente =5,6 % Respuesta. M = 20.000 Del 12% nominal anual capitalizable trimestral- C =? mente, encuentre la tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente. C = 20.000 (1+ 0.15)-10(4) (1+ 0,12)4/4 = (1 + nsct)4/4 4 42 C =4.586,75 Respuesta Tasa nominal semestral capitalizable trimes- ¿Cuántos meses deberá dejarse una póliza tralmente =0,06  6% R. de acumulación de $2.000 que paga el 3% anual, para que se convierta en %7.500? Del 22% efectivo semestral, encuentre la tasa efectiva bimensual. n =? (1+ 0,22) 2/6 = (1 + e b) 6/6 C = 2.000 Tasa efectiva bimensual = 0,06852  i = 0,03 6,85% Respuesta. Del 30% nominal bimensual capitalizable M =7.500 semestralmente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable anualmente. 7.500 = 2.000 (1 +0,03)n (1+ 0,30 * 3)2 = (1 + ntca) ln 15/4 = n ln 1,03 3 n = 44,71 años Tasa nominal trimestral capitalizable anual- 44,71 años * 12 meses = 536,52 meses mente = 0,6525 è 65,25% R. Respuesta. Del 52% nominal anual capitalizable anual- mente, encuentre la tasa nominal trimestral 1 año capitalizable semestralmente. (1+ 0,52)1/2 = (1 + ntcs * 2)2/2 Hallar el valor futuro a interés compuesto de $100, para 10 años: Tasa nominal capitalizable semestralmente = 0,1164 è 11,54% Resp. a. al 5% efectivo anual 4. Problemas de Interés Compuesto M = 100 (1 + 0,05)10 = 162,89 Respuesta Formulas de Interés Compuesto: M = C (1 + i)n b. al 5% capitalizable mensualmente C = M (1 + i)-n M = 100 (1 + 0,05)10(12) =164,20 Respuesta M = monto o también llamado VF; C = capi- tal; i = tasa; n =tiempo MATEMÁTICA FINANCIERA 28
  • 29. 12 i = 7,17% sociedad maderera c. al 5% capitalizable trimestralmente ——————— M = 100 (1 + 0,05)10(4) =164,36 Respuesta M = 1(1+0,06) 4 4 a. al 5% capitalizable semestralmente M =1,8140 no duplico M = 100 (1 + 0,05)10(2) =164,86 Respuesta Respuesta es más conveniente la sociedad 2 maderera * Hallar el valor futuro de $20.000 depositados al 8%, capitalizable anualmente durante 10 * Una inversionista ofreció comprar un pagará años 4 meses. de $120.000 sin interés que vence dentro de 3 años, a un precio que le produzca el 8% VF = 20.000(1 + 0,08) 10 (4/12) = 44.300,52 efectivo anual; calcular el precio ofrecido. Respuesta * ¿Qué tasa capitalizable semestralmente es C = 120.000(1 + 0,08)-3 equivalente al 8%, capitalizable trimestral- mente? C = 95.259,87 Respuesta (1+ 0,08)4/2 = (1 + n.c.s)2/2 * Hallar el VF a interés compuesto de $20.000 en 10 años, a la tasa del 5% de interés. Com- 42 parar el resultado con el monto compuesto al 5%, convertible mensualmente. i =0,0808  8,08% Respuesta VF = 20.000(1 + 0,05) 10 = 32.577,89 Respu- Hallar la tasa nominal convertible semestral- esta mente, a la cual $10.000 se convierten en $12.500, en 5 años. VF = 20.000(1 + 0,05) 120 = 32.940,19 con- 12.500 = 10.000 (1 +i ) 10 vertible mensualmente Resp. 2 12 i =0,0451  4,51% Respuesta 5. Problemas de Anualidades Vencidas ¿Cuántos años deberá dejarse un depósito Formulas de Anualidades Vencidas de $6.000 en una cuenta de ahorros que acumula el 8% semestral, para que se con- F = A [¨ (1 + i )n -1] =Valor futuro viertan en $10.000? i 10.000=6.000 (1+ 0,08)n P = A [¨ 1 – (1+ i )-n ]=Valor presente n = 13,024 /2 n = 6,512 años Respuesta i * ¿Qué es más conveniente: invertir en una F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo sociedad maderera que garantiza duplicar el capital invertido cada 10 años, o depositar * Calcular el valor futuro y el valor presente en una cuenta de ahorros que ofrece el 6% de las siguientes anualidades ciertas ordina- capitalizable trimestralmente? rias. M =2 C=1 (a) $2.000 semestrales durante 8 ½ años al 8%, capitalizable semestralmente. 2=1(1+ i) 10 29
  • 30. F = 2.000[¨ (1 + 0, 04)17 -1] =47.395,07 valor valor presente futuro 0,073 0,04 (c) $200 mensuales durante 3 años 4 me- P = 2.000[¨ 1 – (1+ 0, 04)-17 ]=24.331,34 ses, al 8% con capitalización mensual. valor presente F = 200[¨ (1 + 0, 0067)40 -1] =9.133,50 valor 0,04 futuro (b) $4.000 anuales durante 6 años al 7,3%, 0,0067 capitalizable anualmente. P = 200[¨ 1 – (1+ 0, 0067)-40 ]=7.001,81 valor F = 4.000[¨ (1 + 0, 073) -1] =28.830,35 valor 6 presente futuro 0,0067 0,073 P = 4.000[¨ 1 – (1+ 0, 073)-6 ]=18.890,85 * Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: $20.000 de contado; $1.000 por mensualidades vencidas durante 2 años y 6 meses y un último pago de $2.500 un mes después de pagada la última mensualidad. Para el cálculo, utilizar el 9% con capitalización mensual. i =0,09/12=0,0075 P = 1.000[¨ 1 – (1+ 0, 0075)-30 ]=26.775,08 0,0075 2.500(1+0,0075)-31=1.983,09 26.775,08 + 1.983,09 + 20.000 = 48.758,17 Respuesta. * ¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $14.000 de cuota inicial; $1.600 mensuales durante 2 años 6 meses con un último pago de $2.500, si se carga el 12% con capitalización mensual? MATEMÁTICA FINANCIERA 30
  • 31. i =0,12/12=0,01 F = 1.500 [¨ (1 + 0, 08)11 -1] =24.968,23 P = 1.600[¨ 1 – (1+ 0, 01)-30 ]=41.292,33 0,08 0,01 24.968,23(1 + 0,08)7 =42.791,16 2.500(1+0,01)-31=1.836,44 F = 3.000[¨ (1 + 0, 08)7 -1] =26.768,41 41.292,33 + 1.836,44 + 14.000 = 57.128,78 0,08 Respuesta 1.500(1 + 0,08)18= 5994,02 * Una mina en explotación tiene una produc- ción anual de $8’000.000 y se estima que se 42.791,16 + 26.768,41 + 5994,02 = agotará en 10 años. Hallar el valor presente 75.553,60 Respuesta de la producción, si el rendimiento del dinero es del 8%. * Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de in- terés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 20 años. P = 8.000.000[¨ 1 – (1+ 0, 08)-10 ]=53.680.651,19 respuesta. 0,06 /12 =0,005 tasa mensual 0,08 F = 100[¨ (1 + 0, 005)240 -1] =46.204,09 Re- spuesta. * En el ejercicio 5.4. Se estima que al agot- arse la mina habrá activos recuperables por 0,005 el valor de $1’500.000. Encontrar el valor presente, incluidas las utilidades, si estas 6. Problemas de Anualidades Anticipa- representan el 25% de la producción. das 1.500.000 Formulas de Anualidades Anticipadas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ańos F = A [¨ (1 + i )n + 1 -1 - 1] =Valor futuro A=8.000.000 i 1.500.000(1 + 0,08)-10 = 694.790, 23 P = A [¨1 + 1 – (1+ i )-n + 1]=Valor presente 53.680.651,19 * 0,25 =13.420.162,8 i 694.790,23 + 13420.162,80 = 14.114.953,03 Respuesta F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo * En el momento de nacer su hija, un señor * Calcular el valor de Contado de una propie- depositó $1.500 en una cuenta que abona dad vendida a 15 años de plazo, con pagos el 8%; dicha cantidad la consigna cada de $3.000 mensuales por mes anticipado, cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumento si la tasa de interés es del 12% convertible sus consignaciones a $3.000. Calcular la mensualmente. suma que tendrá a disposición de ella a los 31
  • 32. P = 3.000 [¨1 + 1 – (1+ 0,01 )-180 + 1]= P =500 [¨1 + 1 – (1+ 0,0075 )-179]= 49.666,42 252.464,64 Respuesta. 0,01 0,0075 * Una persona recibe tres ofertas parea la ¿Qué suma debe depositarse a principio de compra de su propiedad: (a) $400.000 de cada año, en un fondo que abona el 6% para contado; (b) $190.000 de contado y $50.000 proveer la sustitución de los equipos de una semestrales, durante 2 ½ años (c) $20.000 por compañía cuyo costo es de $2.000.000 y con trimestre anticipado durante 3 años y un pago una vida útil de 5 años, si el valor de salva- de $250.000, al finalizar el cuarto año. ¿Qué mento se estima en el 10% del costo? oferta debe escoger si la tasa de interés es del 8% anual? 2’000.000 * 0.10= 200.000 2’000.000 - 200.000 = 1’800.000 Oferta b 1´800.000 = A [¨ (1 + 0,06 )6 -1 - 1] P = 50.000 [¨1 + 1 – (1+ 0,04 ) ]= -4 231.494,76 + 190.000 = 421.494,76 0,06 0,04 A = 301.239,17 Respuesta. * Sustituir una serie de pagos de $8.000 al final de cada año, por el equivalente en pagos mensuales anticipados, con un interés del 9% convertible mensualmente. Oferta c P =20.000 [¨1 + 1 – (1+ 0,02 )-11]= 215.736,96 0,02 8.000 = A [¨ (1 + 0,0075 )13 -1 - 1] 25.000(1 +0,08)-4 = 183.757,46 0,0075 215.736,96 + 183.757,46 = 399.494,42 A = 634,85 Respuesta. * Un empleado consigna $300 al principio de Respuesta = Oferta b es la más conveni- cada mes en una cuenta de ahorros que paga ente. el 8%, convertible mensualmente. ¿En cuánto * ¿Cuál es el valor presente de una renta de tiempo logrará ahorrar $30.000? $500 depositada a principio de cada mes, du- 0,08 = 0,0067 rante 15 años en una cuenta de ahorros que gana el 9%, convertible mensualmente? 12 30.000 = 300 [¨ (1 + 0,08 )n + 1 -1 - 1] 0,08 n = 76,479 meses MATEMÁTICA FINANCIERA 32
  • 33. 7. Problemas de Anualidades Diferidas pague, a él o a sus herederos, una renta de $2.500, a principio de cada mes. ¿Durante Formulas para anualidades diferidas cuántos años se pagará esta renta, si el banco Son las mismas que las anualidades venci- abona el 6% convertible mensualmente? das y anticipadas salvo que estas tienen un periodo de gracia. * Una compañía adquiere unos yacimientos de mineral; los estudios de ingeniería muestran que los trabajos preparatorios y vías de ac- ceso demoraran 6 años. Se estima que los yacimientos en explotación rendirán una ganancia anual de $2.400.000. suponiendo VF = 100.000 (1 + 0,005)120 = 181.939,67 que la tasa comercial es del 8% y que los yacimientos se agotarán después de 15 años 181939,67 = 2.500 [ 1 + 1- (1 + 0,005)-n +1 ] continuos de explotación, hállese el valor fu- turo de la renta que espera obtenerse. 0,005 n = 90,13 Respuesta = 7 años 7meses * Una deuda contraída al 8% nominal, debe VF = 2.400.000 [(1 + 0,08)15 - 1] cancelarse con 8 cuotas semestrales de $20.000 c/u, con la primera obligación por 0,08 pagar dentro de 2 años. Sustituirla por una VF = 6.516.503,43 Respuesta obligación equivalente pagadera con 24 cuotas trimestrales, pagándose la primera * En el problema anterior, hállese el valor de de inmediato. utilidad que espera obtener, en el momento de la adquisición de los yacimientos. VP = 2.400.000 [1 - (1 + 0,08)-15 ] 0,08 VP = 20.542.748,85 20.542.748,85 (1 + 0,08)-6 = 12.945.416 Re- spuesta. * Una compañía frutera sembró cítricos que 20.000 [1 + 1 - (1 + 0,04)-7 ] (1+0,04)-4 = empezaran a producir dentro de 5 años. La 119.707,7136 producción anual se estima en $400.000 y ese rendimiento se mantendrá por espacio de 0,04 20 años. Hallar con la tasas del 6% el valor presente de la producción. 119.707,71 = A [1 + 1 - (1 + 0,02)-23] VP = 400.000 [1 - (1 + 0,06)-20 ] 0,02 0,06 A = 6.204,97 Respuesta anualidades trimes- trales VP = 4587968,487 (1 + 0,06)-5 = 3428396,90 * Alguien deposita $100.000 en un banco, con la intención de que dentro de 10 años se 33
  • 34. 8. Problemas de Rentas Perpetuas 0,03 Formulas de Rentas Perpetuas c. 6% convertible mensualmente. P=A 156.000 = A [(1 + 0,005)12 - 1] i 0,005 P=A+A A = 12.646,36 i P =12.646,36=2’529.272,61 Respuesta CC= Co + Com 0,005 i * Los exalumnos de una universidad deciden donarle un laboratorio y los fondos para su P = perpetuidad; A = anualidad; Co = costo mantenimiento futuro. Si el costo inicial de inicial; CC = costo capitalizado; $200.000 y el mantenimiento se estima en $35.000 anuales, hallar el valor de la donación, i = interés si la tasa efectiva es del 7%. * Hallar el valor actual de una perpetuidad de $5.000, cuyo primer pago se hará dentro de 6 meses, con tasa nominal del 12% convertible mensualmente P = 200.000 + 35.000 = 700.000 Respuesta 0,07 * Para mantener en buen estado las carreteras vecinales, la junta vecinal decide establecer P =5.000=500.000 un fondo a fin de proveer las reparaciones futuras, que se estiman en $300.000 cada 0,01 5 años. Hallar el valor del fondo, con la tasa efectiva del 6%. M = 500.000 (1 + 0,01)-5 = 475.732,84 Re- spuesta. * Hallar el valor actual de una renta de $156.000 por año vencido, suponiendo un interés de: a. 6% efectivo 300.000 = A [(1 + 0,06)5 - 1] 156.000 = 2’561.576,35 Respuesta 0,06 0,06 A = 53.218,92 b. 6% convertible semestralmente P = 53.218,92 = 886.982 Respuesta 156.000 = A [(1 + 0,03) - 1] 2 0,06 0,03 * Calcular el costo capitalizado de un equipo industrial que cuesta $800.000 y tiene una A = 76.847,29 vida útil de 12 años, al final de los cuales debe remplazarse, con el mismo costo. Calcular con P =76.847,29=2’561.576,35 Respuesta la tasa del 6%. MATEMÁTICA FINANCIERA 34
  • 35. 380.000 = A [(1 + 0,06)7 - 1] 0,06 A = 45.271,30 800.000 = A [(1 + 0,06)12 - 1] CC = 380.000 + 45.271,30 0,06 0,06 A = 47.421,62 CC = 1’134.521,78 Respuesta CC = 800.000 + 47421,62 Segunda Oferta 0,06 CC = 1’590.360,39 Respuesta. * En el problema anterior, calcular el costo capitalizado, suponiendo un valor de salva- mento igual al 15% del costo original. 510.000 = A [(1 + 0,06)10 - 1] 800.000 * 0.15 =120.000 0,06 680.000 = A [(1 + 0,06) - 1] 12 A = 38692,66 0,06 CC = 510.000 + 38.692,66 A = 40.308,38 0,06 CC = 800.000 + 40.308,37 CC = 1’154.877,65 Respuesta 0,06 Respuesta = El CC de la primera oferta en menor en 20.355,86 CC = 1’471.806,33 Respuesta * Una industria recibe dos ofertas de cierto tipo 9. Problemas de Amortización de máquina, ambas de igual rendimiento. La primer oferta es por $380.000 y las maquinas Formulas para anualidades diferidas tiene una vida útil de 7 años; la segunda oferta es de $510.000 por maquinas que tienen una F = A [¨ (1 + i )n -1] =Valor futuro vida útil de 10 años. Si el precio del dinero i es el 6% efectivo, ¿qué oferta es más con- veniente? P = A [¨ 1 – (1+ i )-n ] =Valor presente Primera oferta i F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo Nota: Son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas. 1. Una deuda de $20.000 debe amortizarse con 12 pagos mensuales vencidos. Hallar 35
  • 36. el valor de estos, a la tasa efectiva 20.000= A [ 1 - (1 + 0,0064)-12 ] del 8%, y elaborar el cuadro de amortización para los dos primeros 0,0064 meses. A = 1.737,19 Respuesta (1+0,08)1/12 = (1+ e.m)12/12 i = 6,43 *10-3 * Una deuda de $100.000 debe cancelarse 73.462,00 + 129.979,95 = 56.517,95 Respu- con pagos trimestrales vencidos en 18 cuotas, esta Saldo insoluto al noveno pago. con interés del 12% capitalizable semestral- mente. Hallar el saldo insoluto, al efectuar el * Una propiedad se vende en $300.000, paga- noveno pago. deros así; $100.000 al contado y el saldo en 8 cuotas iguales semestrales con interés del (1+0,12)2/4 = (1 +et)4/4 10% convertible semestralmente. Hallar los derechos del vendedor y del comprador, al 100.000 = A [ 1 - (1 + 0,029)-18 ] efectuarse el quinto pago 0,029 300.000 – 100.000 = 200.000 A = 7.244,03 Anualidad 200.000 = A [ 1 - (1 + 0,05)-8 ] Para encontrar el valor del noveno pago 0,05 F = 7.244,03 [ (1 + 0,029)-9 - 1 ] A = 30.944,36 0,029 F = 30.944,36 [ (1 + 0,05)-5 - 1 ] F = 73.462,00 0,05 M = 100.000 (1 + 0,029)9 = 129.979,95 F = 170.987,13 MATEMÁTICA FINANCIERA 36
  • 37. M = 200.000 (1 + 0,05)5 = 255.256,31 i = 0,39 Derecho del Vendedor 255.256,31 - 12 170.987,13 = 84.269,17 i = 0,0325 D. comprador + 84.269,17 = 300.000 26.400 = 1254,75 [ 1 - (1 + 0,0325)-n ] D comprador = 215.730.83 0,0325 * ¿Con cuantos pagos semestrales iguales y vencidos de $9.500 se pagaría la adquisición n = 36 mensualidades Respuesta de un terreno que cuesta $29.540 si se carga una tasa anual de 34% convertible mensual- * Una aspiradora se vende en $499 al contado mente? o mediante 4 pagos mensuales anticipados de $135 ¿Cuál es la tasa efectiva mensual que se paga al adquirir ese aparato a crédito? Conversión de la tasa (1 +0,34)6 = (1 +i.s.) 12 499 = 135 [1 + 1 – (1 + i)-3] Interés semestral = 0,1825 i 29.540 = 9.500 [ 1 - (1 + 0,1825) ] -n 2,69 = 1 – (1 + i)-3 0,1825 i ln 0,4325 = - n ln(1,1825) Interpolación -0,838 = -n (0,1676) n = 5 pagos semestrales Respuesta * Determine el número de pagos necesa- rios para amortizar totalmente la compra a 0,06 – 0,05 = 0,06 – i crédito de un automóvil que cuesta $48.000 y se vende con un enganche de 45% y el 2,6730 – 2,7232 2,6730 – 2,69 resto a pagar en mensualidades vencidas de $1.254,75 con interés al 39% convertible 0,00017 = 0.06 – i mensualmente. 0,0502 Enganche 21.600 i = 0,05661 Quedan 26.400 i = 5,66 % Respuesta 37
  • 38. 10. Problemas de Fondo de Amortización 1. Se establece un fondo de $5.000 se- mestrales que abona el Formulas para anualidades diferidas 6% capitalizable semestral- mente. Hallar el valor acumu- lado F = A [¨ (1 + i )n -1] =Valor futuro en 5 años y elaborar el cuadro del fondo. P = A [¨ 1 – (1+ i )-n] =Valor presente 0,06 = 0,03 i 2 F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo F = 5.000 [¨ (1 + 0,03 )10 -1] =57.319,39 Nota: Son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas. 0,03 * Un artesano necesita remplazar cada 5 años 6,622 * 10-3 todas sus herramientas, cuyo valor es de $10.000. ¿Qué deposito mensual debe hacer A = 136,28 Respuesta en una cuenta de ahorros que abona el 8%, * Para cancelar una deuda de $80.000 a 5 capitalizable trimestralmente? años plazos, se establecen reservas anuales en un fondo que abona el 6%; transcurridos dos años eleva sus intereses al 7%. Hallar las reservas anuales y hacer el cuadro de fondo (1 + 0,08)4/12= (1 + e.m)12/12 4 Tasa efectiva mensual = 6,622 * 10-3 10.000 = A [(1 + 6,622 * 10-3)2 - 1] MATEMÁTICA FINANCIERA 38
  • 39. 80.000 = A [(1 + 0,06)5 - 1] 0,06 0,06 M = 29234,92 (1+ 0,07)3 = 35.814,04 A = 14.191,71 Primeros dos años 44.185,95 = A [(1 + 0,07)3 - 1] F = 14.191,71 [¨ (1 + 0,06)2 -1] = 29.234,92 0,07 A = 13.744,11 Los 3 últimos años * Un municipio emite obligaciones a 10 años de plazo por $2.000.000 que devengan el 8% de interés. ¿Qué depósitos anuales debe hacer en un fondo que abona el 6% y que egreso anual tendrá el municipio hasta el pago de la deuda? 2.000.000 * 0,08 = 160.000 (1 + 0,26)12/6 = (1 + i. bimestral)6/6 2.000.000 = A [¨ (1 + 0,06)10 -1] 12 0,06 i = 0,04380 A = 151.735,92 depósitos anuales 29.000 = A [¨ (1 + 0,04380)6 -1] 151.735,92 + 160.000 = 311735,92 Respu- esta total egreso anual 0,04380 Hallar la reserva anual en un fondo que A = 4330,4922 Respuesta. paga el 7% de interés, para cancelar en 25 * Para pagar una deuda de $5.400 que vence años una deuda de $100.000. dentro de 5 meses se va a construir un fondo 100.000 = A [¨ (1 + 0,07)25 -1] mediante depósitos mensuales anticipados. Si los depósitos se colocan en un fondo de 0,07 inversiones que rinde el 32% anual convert- ible mensualmente, hallar su importe. A = 1.518,05 depósitos anuales * Se deben pagar $29.000 dentro de 12 me- ses por una deuda con anterioridad. Si para pagarla se decide constituir un fondo mediante depósitos bimestrales vencidos ¿cuál sería el importante de los mismos si se colocan en un instrumento de inversión que rinde el 26% convertible mensualmente? 39
  • 40. i = 0,32 sualmente si se decide constituir un fondo mediante depósitos quincenales vencidos en 12 una cuenta de inversiones que rinde el 2,7% mensual efectivo. i = 0,0266 (1 + 0,027)12/24 = (1 +e. q.)24/24 5.400= A [¨ (1 + 0,0266) -1 - 1] 6 Efectiva quincenal = 0,0134 0,0266 16.872,96 = A [¨ (1 + 0,0134)6 -1] A = 997,32 Respuesta. 0,0134 * Haga una tabla que muestre la forma en que amortizaría una deuda de $15.000 contratada A = 2719,34677 Respuesta. hoy y que debe pagarse en 3 meses con interés al 12% trimestral capitalizable men- * ¿Cuál debe ser el importe de cada uno de 8 depósitos mensuales anticipados que se colo- can en un fondo de inversión que rinde el 28,4% convertible mensualmente con el objeto de amortizar una deuda de $8.888,89 que vence exactamente dentro de 8 meses? 8.888,89 =A [¨ (1 + 0,02375)9 -1 - 1] 0,02375 A = 998,29 Respuesta 11. Bibliografía • Alfredo Díaz Mata – Víctor Manuel Aguilera G. Matemáticas Financiera. Segunda Edición. Editorial Mc. Graw Hill. Ejercicios Propuestos. 1.998 • Lincoyan Protus G. Matemáticas Financiera. Cuarta Edición. Editorial Mc Graw Hill. Cuarta Edición. Ejercicios Propuestos. 1.997 MATEMÁTICA FINANCIERA 40