SlideShare a Scribd company logo
1 of 73
Download to read offline
Persamaan Non Linier
Nana Ramadijanti
Persamaan Non Linier







Metode Tabel
Metode Biseksi
Metode Regula Falsi
Metode Iterasi Sederhana
Metode Newton-Raphson
Metode Secant.
Persamaan Non Linier






penentuan akar-akar persamaan non
linier.
Akar sebuah persamaan f(x) =0 adalah
nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x)
sama dengan nol.
akar persamaan f(x) adalah titik potong
antara kurva f(x) dan sumbu X.
Persamaan Non Linier
Persamaan Non Linier




Penyelesaian persamaan linier mx + c = 0
dimana m dan c adalah konstanta, dapat
dihitung dengan :
mx + c = 0
x=- c
m
Penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx +
c = 0 dapat dihitung dengan menggunakan
rumus ABC.
x12

− b ± b 2 − 4ac
=
2a
Penyelesaian Persamaan Non
Linier


Metode Tertutup






Mencari akar pada range [a,b] tertentu
Dalam range[a,b] dipastikan terdapat satu akar
Hasil selalu konvergen  disebut juga metode
konvergen

Metode Terbuka




Diperlukan tebakan awal
xn dipakai untuk menghitung xn+1
Hasil dapat konvergen atau divergen
Metode Tertutup




Metode Tabel
Metode Biseksi
Metode Regula Falsi
Metode Terbuka




Metode Iterasi Sederhana
Metode Newton-Raphson
Metode Secant.
Theorema




Suatu range x=[a,b] mempunyai akar bila f(a) dan f(b)
berlawanan tanda atau memenuhi f(a).f(b)<0
Theorema di atas dapat dijelaskan dengan grafik-grafik
sebagai berikut:
Karena f(a).f(b)<0 maka pada range
x=[a,b] terdapat akar.

Karena f(a).f(b)>0 maka pada
range x=[a,b] tidak dapat dikatakan
terdapat akar.
Metode Table




Metode Table atau
pembagian area.
Dimana untuk x di
antara a dan b dibagi
sebanyak N bagian dan
pada masing-masing
bagian dihitung nilai f(x)
sehingga diperoleh
tabel :

X

f(x)

x0=a

f(a)

x1

f(x1)

x2

f(x2)

x3

f(x3)

……

……

xn=b

f(b)
Metode Table
Contoh




Selesaikan persamaan
: x+ex = 0 dengan
range x = [ − 1,0]
Untuk mendapatkan
penyelesaian dari
persamaan di atas
range x = [ − 1,0]
dibagi menjadi 10
bagian sehingga
diperoleh :

X

f(x)

-1,0

-0,63212

-0,9

-0,49343

-0,8

-0,35067

-0,7

-0,20341

-0,6

-0,05119

-0,5

0,10653

-0,4

0,27032

-0,3

0,44082

-0,2

0,61873

-0,1

0,80484

0,0

1,00000
Contoh




Dari table diperoleh penyelesaian berada di
antara –0,6 dan –0,5 dengan nilai f(x)
masing-masing -0,0512 dan 0,1065,
sehingga dapat diambil keputusan
penyelesaiannya di x=-0,6.
Bila pada range x = [ − 0,6,−0,5]
dibagi 10 maka diperoleh f(x) terdekat
dengan nol pada x = -0,57 dengan F(x) =
0,00447
Kelemahan Metode Table




Metode table ini secara umum sulit
mendapatkan penyelesaian dengan error
yang kecil, karena itu metode ini tidak
digunakan dalam penyelesaian persamaan
non linier
Tetapi metode ini digunakan sebagai taksiran
awal mengetahui area penyelesaian yang
benar sebelum menggunakan metode yang
lebih baik dalam menentukan penyelesaian.
Metode Biseksi




Ide awal metode ini adalah metode table,
dimana area dibagi menjadi N bagian.
Hanya saja metode biseksi ini membagi
range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini
dipilih bagian mana yang mengandung dan
bagian yang tidak mengandung akar
dibuang.Hal ini dilakukan berulang-ulang
hingga diperoleh akar persamaan.
Metode numerik persamaan non linier
Metode Biseksi


Untuk menggunakan metode biseksi, terlebih dahulu
ditentukan batas bawah (a) dan batas atas (b).Kemudian
dihitung nilai tengah :
a +
b
x=
2





Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar.
Secara matematik, suatu range terdapat akar persamaan
bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau dituliskan :
f(a) . f(b) < 0
Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas
bawah dan batas atas di perbaharui sesuai dengan range
dari bagian yang mempunyai akar.
Algoritma Biseksi
Contoh Soal


Selesaikan persamaan xe-x+1 = 0, dengan
menggunakan range x=[-1,0], maka
diperoleh tabel biseksi sebagai berikut :
Contoh Soal






a +
b
2

Dimana x =
Pada iterasi ke 10 diperoleh x = -0.56738
dan f(x) = -0.00066
Untuk menghentikan iterasi, dapat dilakukan
dengan menggunakan toleransi error atau
iterasi maksimum.
Catatan : Dengan menggunakan metode
biseksi dengan tolerasi error 0.001
dibutuhkan 10 iterasi, semakin teliti (kecil
toleransi errorny) maka semakin besar jumlah
iterasi yang dibutuhkan.
Metode Regula Falsi






metode pencarian akar persamaan
dengan memanfaatkan kemiringan dan
selisih tinggi dari dua titik batas range.
Dua titik a dan b pada fungsi f(x)
digunakan untuk mengestimasi posisi c
dari akar interpolasi linier.
Dikenal dengan metode False Position
Metode Regula Falsi
Metode Regula Falsi
f (b) − f (a ) f (b) − 0
=
b−a
b−x
f (b)(b − a )
x =b−
f (b) − f (a )

af (b) − bf (a)
x=
f (b) − f (a )
Algoritma Metode Regula
Falsi
Contoh Soal


Selesaikan persamaan xe-x+1=0 pada range x= [0,-1]
Contoh Soal

Akar persamaan diperoleh di x=-0.56741 dengan
kesalahan =0,00074
Metode Iterasi Sederhana




Metode iterasi sederhana adalah metode
yang memisahkan x dengan sebagian x yang
lain sehingga diperoleh : x = g(x).
Contoh :





x – ex = 0  ubah
x = ex atau g(x) = ex

g(x) inilah yang menjadi dasar iterasi pada
metode iterasi sederhana ini
Metode Iterasi Sederhana
Contoh :




Carilah akar pers f(x) = x2-2x-3
x2-2x-3 = 0
X2 = 2x + 3

x = 2x + 3



Tebakan awal = 4
E = 0.00001

x n +1 = 2 x n + 3


Hasil = 3
Metode numerik persamaan non linier
Contoh :







x2-2x-3 = 0
X(x-2) = 3
X = 3 /(x-2)
Tebakan awal = 4
E = 0.00001
Hasil = -1
Metode numerik persamaan non linier
Contoh :






x2-2x-3 = 0
X = (x2-3)/2
Tebakan awal = 4
E = 0.00001
Hasil divergen
Syarat Konvergensi


Pada range I = [s-h, s+h] dengan s titik tetap








Jika 0<g’(x)<1 untuk setiap x Є I iterasi konvergen
monoton.
Jika -1<g’(x)<0 untuk setiap x Є I iterasi
konvergen berosilasi.
Jika g’(x)>1 untuk setiap x Є I, maka iterasi
divergen monoton.
Jika g’(x)<-1 untuk setiap x Є I, maka iterasi
divergen berosilasi.
x r +1

x r +1 = 2 x r + 3
g ( x) = 2 x r + 3
g ' ( x) =




3
( x − 2)
−3
g ' ( x) =
( x − 2) 2
g ( x) =

1
2 2 xr + 3

Tebakan awal 4
G’(4) = 0.1508 < 1
Konvergen Monoton

3
=
( x r − 2)





Tebakan awal 4
G’(4) = |-0.75| < 1
Konvergen Berisolasi
( x 2 − 3)
g ( x) =
2
g ' ( x) = x




Tebakan awal 4
G’(4) = 4 > 1
Divergen Monoton
Latihan Soal





Apa yang terjadi dengan pemilihan x0 pada
pencarian akar persamaan :
X3 + 6x – 3 = 0
Dengan x
3

x r +1



− xr + 3
=
6

Cari akar persamaan dengan x0 = 0.5
X0 = 1.5, x0 = 2.2, x0 = 2.7
Contoh :
Metode Newton Raphson


metode pendekatan yang
menggunakan satu titik awal dan
mendekatinya dengan memperhatikan
slope atau gradien pada titik
tersebut.Titik pendekatan ke n+1
dituliskan dengan :
F x
Xn+1 = xn -

( n)
1
F ( xn )
Metode Newton Raphson
Algoritma Metode Newton
Raphson
1.
2.
3.
4.
5.

Definisikan fungsi f(x) dan f1(x)
Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)
Tentukan nilai pendekatan awal x0
Hitung f(x0) dan f’(x0)
Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)|> e


Hitung f(xi) dan f1(xi)

xi +1 = xi −
6.

f ( xi )
f 1 ( xi )

Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh.
Contoh Soal






Selesaikan persamaan x - e -x = 0 dengan titik
pendekatan awal x 0 =0
f(x) = x - e-x  f’(x)=1+e-x
f(x0) = 0 - e-0 = -1
f’(x0) = 1 + e-0 = 2
f ( x0 )
−1
x1 = x0 − 1
= 0−
= 0,5
f ( x0 )
2
Contoh Soal


f(x1) = -0,106631 dan f1(x1) = 1,60653 
x1 −

f ( x1 )

− 0,106531
= 0,5 −
= 0,566311
1,60653



x2 =



f(x2) = -0,00130451 dan f1(x2) = 1,56762



x3 =



f(x3) = -1,96.10-7. Suatu bilangan yang sangat kecil.



Sehingga akar persamaan x = 0,567143.

f 1 ( x1 )

x2 −

f ( x2 )

f 1 ( x2 )

= 0,566311 −

− 0,00130451
= 0,567143
1,56762
Contoh


x - e-x = 0  x0 =0, e = 0.00001
Contoh :




x + e-x cos x -2 = 0  x0=1
f(x) = x + e-x cos x - 2
f’(x) = 1 – e-x cos x – e-x sin x
Metode numerik persamaan non linier
Permasalahan pada pemakaian
metode newton raphson


Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya
berada pada titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini
F
nilai F1(x) = 0 sehingga nilai penyebut dari F ((xx))
sama dengan nol,
secara grafis dapat dilihat sebagai berikut:
1

Bila titik pendekatan
berada pada titik puncak,
maka titik selanjutnya
akan berada di tak
berhingga.
Permasalahan pada pemakaian
metode newton raphson




Metode ini menjadi sulit atau
lama mendapatkan
penyelesaian ketika titik
pendekatannya berada di
antara dua titik stasioner.
Bila titik pendekatan berada
pada dua tiitik puncak akan
dapat
mengakibatkan
hilangnya
penyelesaian
(divergensi).
Hal
ini
disebabkan titik selanjutnya
berada pada salah satu titik
puncak
atau
arah
pendekatannya berbeda.
Hasil Tidak Konvergen
Penyelesaian Permasalahan pada
pemakaian metode newton raphson
1.

2.

Bila titik pendekatan berada pada titik puncak maka
titik pendekatan tersebut harus di geser sedikit, xi =
±δ
xi dimana adalah
konstanta yang ditentukan
δ
F 1 ( xi ) ≠ newton
dengan demikian
dan metode 0
raphson tetap dapat berjalan.
Untuk menghindari titik-titik pendekatan yang
berada jauh, sebaiknya pemakaian metode newton
raphson ini didahului oleh metode tabel, sehingga
dapat di jamin konvergensi dari metode newton
raphson.
Contoh Soal






x . e-x + cos(2x) = 0  x0 = 0,176281
f(x) = x . e-x + cos(2x)
f1(x) = (1-x) e-x – 2 sin (2x)
F(x0) = 1,086282
F1(x0) = -0,000015

X = 71365,2
padahal dalam range 0 sampai
dengan 1 terdapat akar di
sekitar 0.5 s/d 1.
Metode numerik persamaan non linier
Contoh Soal


x

Untuk menghindari hal ini sebaiknya digunakan grafik atau
tabel sehingga dapat diperoleh pendekatan awal yang baik.
Digunakan pendekatan awal x0=0.5
Contoh Soal



Hasil dari penyelesaian persamaan
x * exp(-x) + cos(2x) = 0 pada range [0,5]
Metode numerik persamaan non linier
Contoh


Hitunglah akar f ( x) = e x − 5 x 2
dengan metode Newthon
Raphson. Gunakan e=0.00001. Tebakan awal akar x 0 = 1



Penyelesaian

f ( x) = e x − 5 x 2


f ' ( x) = e x − 10 x

Prosedur iterasi Newthon Raphson

e x − 5x2
xr +1 = xr − x
e − 10 x

0
1
-2.28172
1
0.686651
-0.370399
2
0.610741
-0.0232286
3
0.605296
-0.000121011
4
0.605267
-3.35649e-009
Akar terletak di x = 0.605267
Metode numerik persamaan non linier
Contoh


Tentukan bagaimana cara menentukan
Metode Secant








Metode Newton Raphson memerlukan
perhitungan turunan fungsi f’(x).
Tidak semua fungsi mudah dicari turunannya
terutama fungsi yang bentuknya rumit.
Turunan fungsi dapat dihilangkan dengan cara
menggantinya dengan bentuk lain yang ekivalen
Modifikasi metode Newton Raphson dinamakan
metode Secant.
xr

x r +1 x r −1

xr
∇y f ( x r ) − f ( x r −1 )
f ' ( x) =
=
∇x
x r − x r −1



Metode Newton-Raphson

x r +1

f ( xr )
= xr −
f ' ( xr )

x r +1

f ( x r )( x r − x r −1 )
= xr −
f ( x r ) − f ( x r −1 )
Algoritma Metode
Secant :







Definisikan fungsi F(x)
Definisikan torelansi error (e) dan iterasi maksimum (n)
Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya
terdapat akar yaitu x0 dan x1, sebaiknya gunakan metode
tabel atau grafis untuk menjamin titik pendakatannya
adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar
persamaan yang diharapkan.
Hitung F(x0) dan F(x1) sebagai y0 dan y1
Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |F(xi)|

xi − xi −1
xi +1 = xi − yi
yi − yi −1



hitung yi+1 = F(xi+1)
Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir.
Contoh Soal




Penyelesaian
x2 –(x + 1) e-x = 0 ?
Contoh Kasus Penyelesaian
Persamaan Non Linier






Penentuan nilai maksimal dan minimal fungsi
non linier
Perhitungan nilai konstanta pada matrik dan
determinan, yang biasanya muncul dalam
permasalahan sistem linier, bisa digunakan
untuk menghitung nilai eigen
Penentuan titik potong beberapa fungsi non
linier, yang banyak digunakan untuk
keperluan perhitungan-perhitungan secara
grafis.
Penentuan Nilai Maksimal dan
Minimal Fungsi Non Linier





nilai maksimal dan minimal dari f(x) 
memenuhi f’(x)=0.
g(x)=f’(x)  g(x)=0
Menentukan nilai maksimal atau
minimal  f”(x)
Contoh Soal


Tentukan nilai minimal dari f(x) = x2-(x+1)e-2x+1

2
x)p
*+x
2()
-1+
(*2
x-1
e
x
*

1
.
5

1

0
.
5

0

0
.
5
1

0
.
8

0
.
6

0
.
4

0
.
2

0

0
.
2

0
.
4

0
.
6

nilai minimal terletak antara –0.4 dan –0.2

0
.
8

1
Metode numerik persamaan non linier
Menghitung Titik Potong
2 Buah Kurva
y

y=g(x)
f(x) = g(x)
atau
f(x) – g(x) = 0

p

x

y=f(x)
Contoh Soal


Tentukan titik potong y=2x3-x dan y=e-x
3

2
*x
x
*
3
e
x
p
(
x
)

2
.
5
2
1
.
5
1
0
.
5
0
0
.
5
1
1

0
.
8

0
.
6

0
.
4

0
.
2

0

0
.
2

0
.
4

0
.
6

0
.
8

akar terletak di antara 0.8 dan 1

1
Metode numerik persamaan non linier
Soal (1)








Tahun 1225 Leonardo da Pisa mencari akar
persamaan
F(x) = x3 + 2x2 + 10x – 20 = 0
Dan menemukan x = 1.368808107.
Tidak seorangpun yang mengetahui cara Leonardo
menemukan nilai ini. Sekarang rahasia ini dapat
dipecahkan dengan metode iterasi sederhana.
Carilah salah satu dari kemungkinan x = g(x). Lalu
dengan memberikan sembarang input awal, tentukan
x=g(x) yang mana yang menghasilkan akar
persamaan yang ditemukan Leonardo itu.
Soal (2)




a

Hitung akar 27 dan akar 50 dengan biseksi dan regula falsi !
Bandingkan ke dua metode tersebut ! Mana yang lebih
cepat ?
Catat hasil uji coba

b

N

e
0.1
0.01
0.001
0.0001

Iterasi
Biseksi

Iterasi
Regula
Falsi
Soal (3)




Tentukan nilai puncak pada kurva y = x 2
+ e-2xsin(x) pada range x=[0,10]
Dengan metode newthon raphson

More Related Content

What's hot

Penyederhanaan Fungsi Boolean
Penyederhanaan Fungsi BooleanPenyederhanaan Fungsi Boolean
Penyederhanaan Fungsi BooleanFahrul Razi
 
Pertemuan 3 turunan dan aturan rantai
Pertemuan 3   turunan dan aturan rantaiPertemuan 3   turunan dan aturan rantai
Pertemuan 3 turunan dan aturan rantaiSenat Mahasiswa STIS
 
Matematika Diskrit Relasi Rekursif
Matematika Diskrit Relasi RekursifMatematika Diskrit Relasi Rekursif
Matematika Diskrit Relasi RekursifAyuk Wulandari
 
Fungsi Vektor ( Kalkulus 2 )
Fungsi Vektor ( Kalkulus 2 )Fungsi Vektor ( Kalkulus 2 )
Fungsi Vektor ( Kalkulus 2 )Kelinci Coklat
 
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
 
Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )
Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )
Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )Kelinci Coklat
 
Makalah Metode Numerik : Sistem Persamaan Linear
Makalah Metode Numerik : Sistem Persamaan Linear Makalah Metode Numerik : Sistem Persamaan Linear
Makalah Metode Numerik : Sistem Persamaan Linear Kannal Bakti Pakinde
 
Metode Numerik Trapesium
Metode Numerik TrapesiumMetode Numerik Trapesium
Metode Numerik TrapesiumWahyu Priyanti
 
metode euler
metode eulermetode euler
metode eulerRuth Dian
 
Matematika Diskrit - 05 rekursi dan relasi rekurens - 01
Matematika Diskrit - 05 rekursi dan relasi rekurens - 01Matematika Diskrit - 05 rekursi dan relasi rekurens - 01
Matematika Diskrit - 05 rekursi dan relasi rekurens - 01KuliahKita
 
Vektor, Aljabar Linier
Vektor, Aljabar LinierVektor, Aljabar Linier
Vektor, Aljabar LinierSartiniNuha
 
Makalah interpolasi kelompok 2
Makalah interpolasi kelompok 2Makalah interpolasi kelompok 2
Makalah interpolasi kelompok 2Arin Ayundhita
 
Modul maple untuk metnum 2014
Modul maple untuk metnum 2014Modul maple untuk metnum 2014
Modul maple untuk metnum 2014Samuel Pinto'o
 
Fungsi Dua Peubah ( Kalkulus 2 )
Fungsi Dua Peubah ( Kalkulus 2 )Fungsi Dua Peubah ( Kalkulus 2 )
Fungsi Dua Peubah ( Kalkulus 2 )Kelinci Coklat
 
Transformasi laplace
Transformasi laplaceTransformasi laplace
Transformasi laplacedwiprananto
 
Persamaandifferensial
PersamaandifferensialPersamaandifferensial
PersamaandifferensialMeiky Ayah
 

What's hot (20)

Penyederhanaan Fungsi Boolean
Penyederhanaan Fungsi BooleanPenyederhanaan Fungsi Boolean
Penyederhanaan Fungsi Boolean
 
Pertemuan 3 turunan dan aturan rantai
Pertemuan 3   turunan dan aturan rantaiPertemuan 3   turunan dan aturan rantai
Pertemuan 3 turunan dan aturan rantai
 
Matematika Diskrit Relasi Rekursif
Matematika Diskrit Relasi RekursifMatematika Diskrit Relasi Rekursif
Matematika Diskrit Relasi Rekursif
 
Fungsi Vektor ( Kalkulus 2 )
Fungsi Vektor ( Kalkulus 2 )Fungsi Vektor ( Kalkulus 2 )
Fungsi Vektor ( Kalkulus 2 )
 
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
 
Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )
Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )
Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )
 
Struktur aljabar-2
Struktur aljabar-2Struktur aljabar-2
Struktur aljabar-2
 
Makalah Metode Numerik : Sistem Persamaan Linear
Makalah Metode Numerik : Sistem Persamaan Linear Makalah Metode Numerik : Sistem Persamaan Linear
Makalah Metode Numerik : Sistem Persamaan Linear
 
Deret Fourier
Deret FourierDeret Fourier
Deret Fourier
 
Metode Numerik Trapesium
Metode Numerik TrapesiumMetode Numerik Trapesium
Metode Numerik Trapesium
 
Pengenalan Persamaan Differensial Parsial
Pengenalan Persamaan Differensial ParsialPengenalan Persamaan Differensial Parsial
Pengenalan Persamaan Differensial Parsial
 
metode euler
metode eulermetode euler
metode euler
 
Matematika Diskrit - 05 rekursi dan relasi rekurens - 01
Matematika Diskrit - 05 rekursi dan relasi rekurens - 01Matematika Diskrit - 05 rekursi dan relasi rekurens - 01
Matematika Diskrit - 05 rekursi dan relasi rekurens - 01
 
Vektor, Aljabar Linier
Vektor, Aljabar LinierVektor, Aljabar Linier
Vektor, Aljabar Linier
 
Makalah interpolasi kelompok 2
Makalah interpolasi kelompok 2Makalah interpolasi kelompok 2
Makalah interpolasi kelompok 2
 
Integral Garis
Integral GarisIntegral Garis
Integral Garis
 
Modul maple untuk metnum 2014
Modul maple untuk metnum 2014Modul maple untuk metnum 2014
Modul maple untuk metnum 2014
 
Fungsi Dua Peubah ( Kalkulus 2 )
Fungsi Dua Peubah ( Kalkulus 2 )Fungsi Dua Peubah ( Kalkulus 2 )
Fungsi Dua Peubah ( Kalkulus 2 )
 
Transformasi laplace
Transformasi laplaceTransformasi laplace
Transformasi laplace
 
Persamaandifferensial
PersamaandifferensialPersamaandifferensial
Persamaandifferensial
 

Similar to Metode numerik persamaan non linier

Pert 3 Persamaan Non Linier .ppt
Pert 3 Persamaan Non Linier .pptPert 3 Persamaan Non Linier .ppt
Pert 3 Persamaan Non Linier .pptNafisClassic
 
Met num3 persnonl-inier_baru
Met num3 persnonl-inier_baruMet num3 persnonl-inier_baru
Met num3 persnonl-inier_baruAlvin Setiawan
 
Met num3 persnonl-inier_baru
Met num3 persnonl-inier_baruMet num3 persnonl-inier_baru
Met num3 persnonl-inier_baruRany Aries
 
Metnum3 persnonlinierbaru2-140216091500-phpapp01
Metnum3 persnonlinierbaru2-140216091500-phpapp01Metnum3 persnonlinierbaru2-140216091500-phpapp01
Metnum3 persnonlinierbaru2-140216091500-phpapp01Alvin Setiawan
 
materi matkul MetNum3-PersNonLInier (1).ppt
materi matkul MetNum3-PersNonLInier (1).pptmateri matkul MetNum3-PersNonLInier (1).ppt
materi matkul MetNum3-PersNonLInier (1).pptasmaun4
 
Met num02 persamaan non linier
Met num02 persamaan non linierMet num02 persamaan non linier
Met num02 persamaan non linierAlvin Setiawan
 
Praktikum2 7
Praktikum2 7Praktikum2 7
Praktikum2 7Alen Pepa
 
akarakarpersamaannonlinier-140220044419-phpapp01 (1).ppt
akarakarpersamaannonlinier-140220044419-phpapp01 (1).pptakarakarpersamaannonlinier-140220044419-phpapp01 (1).ppt
akarakarpersamaannonlinier-140220044419-phpapp01 (1).pptasmaun4
 
Persamaan non linier
Persamaan non linierPersamaan non linier
Persamaan non liniersoniyora1
 
Akar akar persamaan non linier
Akar akar persamaan non linierAkar akar persamaan non linier
Akar akar persamaan non linierAlen Pepa
 
BAB II AKAR-AKAR PERSAMAAN.pptx
BAB II AKAR-AKAR PERSAMAAN.pptxBAB II AKAR-AKAR PERSAMAAN.pptx
BAB II AKAR-AKAR PERSAMAAN.pptxNaufalDhiyaulhaq2
 
Aries suharso 0422037701_metode tertutup
Aries suharso 0422037701_metode tertutupAries suharso 0422037701_metode tertutup
Aries suharso 0422037701_metode tertutuparies22suharso
 
konsep dasar numerik.pptx
konsep dasar numerik.pptxkonsep dasar numerik.pptx
konsep dasar numerik.pptxFildaNurAini1
 
Bab 3 penyl numerik aljabar tunggal
Bab 3 penyl numerik aljabar tunggalBab 3 penyl numerik aljabar tunggal
Bab 3 penyl numerik aljabar tunggalwahyuddin S.T
 
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAANPERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAANwulan_handayani02
 
11 algo akarpersamaan
11 algo akarpersamaan11 algo akarpersamaan
11 algo akarpersamaanArif Rahman
 

Similar to Metode numerik persamaan non linier (20)

Pert 3 Persamaan Non Linier .ppt
Pert 3 Persamaan Non Linier .pptPert 3 Persamaan Non Linier .ppt
Pert 3 Persamaan Non Linier .ppt
 
Met num3 persnonl-inier_baru
Met num3 persnonl-inier_baruMet num3 persnonl-inier_baru
Met num3 persnonl-inier_baru
 
Met num3 persnonl-inier_baru
Met num3 persnonl-inier_baruMet num3 persnonl-inier_baru
Met num3 persnonl-inier_baru
 
Metnum3 persnonlinierbaru2-140216091500-phpapp01
Metnum3 persnonlinierbaru2-140216091500-phpapp01Metnum3 persnonlinierbaru2-140216091500-phpapp01
Metnum3 persnonlinierbaru2-140216091500-phpapp01
 
materi matkul MetNum3-PersNonLInier (1).ppt
materi matkul MetNum3-PersNonLInier (1).pptmateri matkul MetNum3-PersNonLInier (1).ppt
materi matkul MetNum3-PersNonLInier (1).ppt
 
Met num02 persamaan non linier
Met num02 persamaan non linierMet num02 persamaan non linier
Met num02 persamaan non linier
 
1. Pers_Non_Linier.ppt
1. Pers_Non_Linier.ppt1. Pers_Non_Linier.ppt
1. Pers_Non_Linier.ppt
 
Praktikum2 7
Praktikum2 7Praktikum2 7
Praktikum2 7
 
akarakarpersamaannonlinier-140220044419-phpapp01 (1).ppt
akarakarpersamaannonlinier-140220044419-phpapp01 (1).pptakarakarpersamaannonlinier-140220044419-phpapp01 (1).ppt
akarakarpersamaannonlinier-140220044419-phpapp01 (1).ppt
 
Persamaan non linier
Persamaan non linierPersamaan non linier
Persamaan non linier
 
Akar akar persamaan non linier
Akar akar persamaan non linierAkar akar persamaan non linier
Akar akar persamaan non linier
 
Paper
PaperPaper
Paper
 
BAB II AKAR-AKAR PERSAMAAN.pptx
BAB II AKAR-AKAR PERSAMAAN.pptxBAB II AKAR-AKAR PERSAMAAN.pptx
BAB II AKAR-AKAR PERSAMAAN.pptx
 
42514 persamaan non linier
42514 persamaan non linier42514 persamaan non linier
42514 persamaan non linier
 
42514 persamaan non linier
42514 persamaan non linier42514 persamaan non linier
42514 persamaan non linier
 
Aries suharso 0422037701_metode tertutup
Aries suharso 0422037701_metode tertutupAries suharso 0422037701_metode tertutup
Aries suharso 0422037701_metode tertutup
 
konsep dasar numerik.pptx
konsep dasar numerik.pptxkonsep dasar numerik.pptx
konsep dasar numerik.pptx
 
Bab 3 penyl numerik aljabar tunggal
Bab 3 penyl numerik aljabar tunggalBab 3 penyl numerik aljabar tunggal
Bab 3 penyl numerik aljabar tunggal
 
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAANPERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
 
11 algo akarpersamaan
11 algo akarpersamaan11 algo akarpersamaan
11 algo akarpersamaan
 

More from Izhan Nassuha

Pendaftaran perawat (careworker) ke jepang
Pendaftaran perawat (careworker) ke jepangPendaftaran perawat (careworker) ke jepang
Pendaftaran perawat (careworker) ke jepangIzhan Nassuha
 
Buku panduan-seminar-nasional-terbaru
Buku panduan-seminar-nasional-terbaruBuku panduan-seminar-nasional-terbaru
Buku panduan-seminar-nasional-terbaruIzhan Nassuha
 
matakuliah Teknik dasar dan pengenalan fotografi
matakuliah Teknik dasar dan pengenalan fotografimatakuliah Teknik dasar dan pengenalan fotografi
matakuliah Teknik dasar dan pengenalan fotografiIzhan Nassuha
 
rundown-acara-pernikahan
rundown-acara-pernikahanrundown-acara-pernikahan
rundown-acara-pernikahanIzhan Nassuha
 
Lirik dan makna lagu lir ilir dan gundul-gundul pacul
Lirik dan makna lagu lir ilir dan gundul-gundul paculLirik dan makna lagu lir ilir dan gundul-gundul pacul
Lirik dan makna lagu lir ilir dan gundul-gundul paculIzhan Nassuha
 
Bab1 mata kuliah metode numerik
Bab1 mata kuliah metode numerik Bab1 mata kuliah metode numerik
Bab1 mata kuliah metode numerik Izhan Nassuha
 
Jurnal tugas akhir (skirpsi) poltekpos teknik informatika
Jurnal tugas akhir (skirpsi) poltekpos teknik informatikaJurnal tugas akhir (skirpsi) poltekpos teknik informatika
Jurnal tugas akhir (skirpsi) poltekpos teknik informatikaIzhan Nassuha
 
Materi mata kuliah teknik Simulasi antrian
Materi mata kuliah teknik Simulasi antrianMateri mata kuliah teknik Simulasi antrian
Materi mata kuliah teknik Simulasi antrianIzhan Nassuha
 
Buku panduan cara menggelar acara resepsi pernikahan
Buku panduan cara menggelar acara resepsi pernikahanBuku panduan cara menggelar acara resepsi pernikahan
Buku panduan cara menggelar acara resepsi pernikahanIzhan Nassuha
 
Model perencanaan kawasan agroforestry bambu
Model perencanaan kawasan agroforestry bambuModel perencanaan kawasan agroforestry bambu
Model perencanaan kawasan agroforestry bambuIzhan Nassuha
 
Buku pedoman magang jepang
Buku pedoman magang jepangBuku pedoman magang jepang
Buku pedoman magang jepangIzhan Nassuha
 
Contoh cv magang jepang
Contoh cv magang jepangContoh cv magang jepang
Contoh cv magang jepangIzhan Nassuha
 
Praktikum fungsi dasar bahasa c
Praktikum fungsi dasar bahasa cPraktikum fungsi dasar bahasa c
Praktikum fungsi dasar bahasa cIzhan Nassuha
 
Materi matakuliah bahasa c
Materi matakuliah bahasa cMateri matakuliah bahasa c
Materi matakuliah bahasa cIzhan Nassuha
 
Kisi kisi uas sistem informasi manajemen (sim)
Kisi kisi uas sistem informasi manajemen (sim) Kisi kisi uas sistem informasi manajemen (sim)
Kisi kisi uas sistem informasi manajemen (sim) Izhan Nassuha
 
Ebook learning for life (Cerita inspiratif pembangun motivasi hidup)
Ebook learning for life (Cerita inspiratif pembangun motivasi hidup)Ebook learning for life (Cerita inspiratif pembangun motivasi hidup)
Ebook learning for life (Cerita inspiratif pembangun motivasi hidup)Izhan Nassuha
 
metode numerik kurva fitting dan regresi
metode numerik kurva fitting dan regresimetode numerik kurva fitting dan regresi
metode numerik kurva fitting dan regresiIzhan Nassuha
 
Metode Numerik Bab 2 Sistem bilangan dan kesalahan
Metode Numerik Bab 2 Sistem bilangan dan kesalahanMetode Numerik Bab 2 Sistem bilangan dan kesalahan
Metode Numerik Bab 2 Sistem bilangan dan kesalahanIzhan Nassuha
 
Ebook kumpulan cerita motivasi
Ebook kumpulan cerita motivasi Ebook kumpulan cerita motivasi
Ebook kumpulan cerita motivasi Izhan Nassuha
 

More from Izhan Nassuha (20)

Pendaftaran perawat (careworker) ke jepang
Pendaftaran perawat (careworker) ke jepangPendaftaran perawat (careworker) ke jepang
Pendaftaran perawat (careworker) ke jepang
 
Buku panduan-seminar-nasional-terbaru
Buku panduan-seminar-nasional-terbaruBuku panduan-seminar-nasional-terbaru
Buku panduan-seminar-nasional-terbaru
 
matakuliah Teknik dasar dan pengenalan fotografi
matakuliah Teknik dasar dan pengenalan fotografimatakuliah Teknik dasar dan pengenalan fotografi
matakuliah Teknik dasar dan pengenalan fotografi
 
rundown-acara-pernikahan
rundown-acara-pernikahanrundown-acara-pernikahan
rundown-acara-pernikahan
 
Lirik dan makna lagu lir ilir dan gundul-gundul pacul
Lirik dan makna lagu lir ilir dan gundul-gundul paculLirik dan makna lagu lir ilir dan gundul-gundul pacul
Lirik dan makna lagu lir ilir dan gundul-gundul pacul
 
Bab1 mata kuliah metode numerik
Bab1 mata kuliah metode numerik Bab1 mata kuliah metode numerik
Bab1 mata kuliah metode numerik
 
Jurnal tugas akhir (skirpsi) poltekpos teknik informatika
Jurnal tugas akhir (skirpsi) poltekpos teknik informatikaJurnal tugas akhir (skirpsi) poltekpos teknik informatika
Jurnal tugas akhir (skirpsi) poltekpos teknik informatika
 
Materi mata kuliah teknik Simulasi antrian
Materi mata kuliah teknik Simulasi antrianMateri mata kuliah teknik Simulasi antrian
Materi mata kuliah teknik Simulasi antrian
 
Buku panduan cara menggelar acara resepsi pernikahan
Buku panduan cara menggelar acara resepsi pernikahanBuku panduan cara menggelar acara resepsi pernikahan
Buku panduan cara menggelar acara resepsi pernikahan
 
Model perencanaan kawasan agroforestry bambu
Model perencanaan kawasan agroforestry bambuModel perencanaan kawasan agroforestry bambu
Model perencanaan kawasan agroforestry bambu
 
Desain web
Desain webDesain web
Desain web
 
Buku pedoman magang jepang
Buku pedoman magang jepangBuku pedoman magang jepang
Buku pedoman magang jepang
 
Contoh cv magang jepang
Contoh cv magang jepangContoh cv magang jepang
Contoh cv magang jepang
 
Praktikum fungsi dasar bahasa c
Praktikum fungsi dasar bahasa cPraktikum fungsi dasar bahasa c
Praktikum fungsi dasar bahasa c
 
Materi matakuliah bahasa c
Materi matakuliah bahasa cMateri matakuliah bahasa c
Materi matakuliah bahasa c
 
Kisi kisi uas sistem informasi manajemen (sim)
Kisi kisi uas sistem informasi manajemen (sim) Kisi kisi uas sistem informasi manajemen (sim)
Kisi kisi uas sistem informasi manajemen (sim)
 
Ebook learning for life (Cerita inspiratif pembangun motivasi hidup)
Ebook learning for life (Cerita inspiratif pembangun motivasi hidup)Ebook learning for life (Cerita inspiratif pembangun motivasi hidup)
Ebook learning for life (Cerita inspiratif pembangun motivasi hidup)
 
metode numerik kurva fitting dan regresi
metode numerik kurva fitting dan regresimetode numerik kurva fitting dan regresi
metode numerik kurva fitting dan regresi
 
Metode Numerik Bab 2 Sistem bilangan dan kesalahan
Metode Numerik Bab 2 Sistem bilangan dan kesalahanMetode Numerik Bab 2 Sistem bilangan dan kesalahan
Metode Numerik Bab 2 Sistem bilangan dan kesalahan
 
Ebook kumpulan cerita motivasi
Ebook kumpulan cerita motivasi Ebook kumpulan cerita motivasi
Ebook kumpulan cerita motivasi
 

Recently uploaded

Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...
Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...
Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...Aminullah Assagaf
 
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdfK1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf2210130220024
 
Materi pesantren kilat Ramadhan tema puasa.pptx
Materi pesantren kilat Ramadhan  tema puasa.pptxMateri pesantren kilat Ramadhan  tema puasa.pptx
Materi pesantren kilat Ramadhan tema puasa.pptxSuarniSuarni5
 
slaid penerangan UPUonline 2024 UPU 2024
slaid penerangan UPUonline  2024 UPU 2024slaid penerangan UPUonline  2024 UPU 2024
slaid penerangan UPUonline 2024 UPU 2024ssuser82320b
 
Program Roots Indonesia - Aksi Nyata.pdf
Program Roots Indonesia - Aksi Nyata.pdfProgram Roots Indonesia - Aksi Nyata.pdf
Program Roots Indonesia - Aksi Nyata.pdfrizalrulloh1992
 
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi IbrahimpptxNasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi IbrahimpptxSuGito15
 
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASIBMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASIsyedharis59
 
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdfK1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdfbayuputra151203
 
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptxPaket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptxDarmiahDarmiah
 
MATERI PESANTREN KILAT RAMADHAN AQIDAH ISLAM.pptx
MATERI PESANTREN KILAT RAMADHAN  AQIDAH ISLAM.pptxMATERI PESANTREN KILAT RAMADHAN  AQIDAH ISLAM.pptx
MATERI PESANTREN KILAT RAMADHAN AQIDAH ISLAM.pptxSuarniSuarni5
 
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptx
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptxMateri Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptx
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptxnursamsi40
 
power point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuran
power point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuranpower point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuran
power point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuranapriandanu
 
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASIBMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASIwanalifhikmi
 
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdfMakna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdfAdindaRizkiThalia
 
materi PPT tentang cerita inspiratif kelas 9 smp
materi PPT tentang cerita inspiratif kelas 9 smpmateri PPT tentang cerita inspiratif kelas 9 smp
materi PPT tentang cerita inspiratif kelas 9 smpAanSutrisno
 
PTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdf
PTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdfPTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdf
PTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdfSMP Hang Kasturi, Batam
 
MATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptx
MATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptxMATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptx
MATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptxSuarniSuarni5
 
KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama Islam
KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama IslamKELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama Islam
KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama IslamabdulhamidalyFKIP
 

Recently uploaded (20)

Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...
Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...
Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...
 
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdfK1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
 
Materi pesantren kilat Ramadhan tema puasa.pptx
Materi pesantren kilat Ramadhan  tema puasa.pptxMateri pesantren kilat Ramadhan  tema puasa.pptx
Materi pesantren kilat Ramadhan tema puasa.pptx
 
slaid penerangan UPUonline 2024 UPU 2024
slaid penerangan UPUonline  2024 UPU 2024slaid penerangan UPUonline  2024 UPU 2024
slaid penerangan UPUonline 2024 UPU 2024
 
Program Roots Indonesia - Aksi Nyata.pdf
Program Roots Indonesia - Aksi Nyata.pdfProgram Roots Indonesia - Aksi Nyata.pdf
Program Roots Indonesia - Aksi Nyata.pdf
 
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi IbrahimpptxNasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
 
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASIBMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
 
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdfK1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
K1_pengantar komunikasi pendidikan (1).pdf
 
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptxPaket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
 
MATERI PESANTREN KILAT RAMADHAN AQIDAH ISLAM.pptx
MATERI PESANTREN KILAT RAMADHAN  AQIDAH ISLAM.pptxMATERI PESANTREN KILAT RAMADHAN  AQIDAH ISLAM.pptx
MATERI PESANTREN KILAT RAMADHAN AQIDAH ISLAM.pptx
 
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptx
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptxMateri Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptx
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptx
 
power point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuran
power point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuranpower point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuran
power point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuran
 
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASIBMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
 
Persiapandalam Negosiasi dan Loby .pptx
Persiapandalam  Negosiasi dan Loby .pptxPersiapandalam  Negosiasi dan Loby .pptx
Persiapandalam Negosiasi dan Loby .pptx
 
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdfMakna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
 
materi PPT tentang cerita inspiratif kelas 9 smp
materi PPT tentang cerita inspiratif kelas 9 smpmateri PPT tentang cerita inspiratif kelas 9 smp
materi PPT tentang cerita inspiratif kelas 9 smp
 
PTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdf
PTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdfPTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdf
PTS Genap 7, 8 & US 9 SMP 51 dan HK 2024.pdf
 
MATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptx
MATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptxMATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptx
MATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptx
 
KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama Islam
KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama IslamKELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama Islam
KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama Islam
 
KOMUNIKATOR POLITIK ( AKTOR POLITIK).pptx
KOMUNIKATOR POLITIK ( AKTOR POLITIK).pptxKOMUNIKATOR POLITIK ( AKTOR POLITIK).pptx
KOMUNIKATOR POLITIK ( AKTOR POLITIK).pptx
 

Metode numerik persamaan non linier

  • 2. Persamaan Non Linier       Metode Tabel Metode Biseksi Metode Regula Falsi Metode Iterasi Sederhana Metode Newton-Raphson Metode Secant.
  • 3. Persamaan Non Linier    penentuan akar-akar persamaan non linier. Akar sebuah persamaan f(x) =0 adalah nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. akar persamaan f(x) adalah titik potong antara kurva f(x) dan sumbu X.
  • 5. Persamaan Non Linier   Penyelesaian persamaan linier mx + c = 0 dimana m dan c adalah konstanta, dapat dihitung dengan : mx + c = 0 x=- c m Penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat dihitung dengan menggunakan rumus ABC. x12 − b ± b 2 − 4ac = 2a
  • 6. Penyelesaian Persamaan Non Linier  Metode Tertutup     Mencari akar pada range [a,b] tertentu Dalam range[a,b] dipastikan terdapat satu akar Hasil selalu konvergen  disebut juga metode konvergen Metode Terbuka    Diperlukan tebakan awal xn dipakai untuk menghitung xn+1 Hasil dapat konvergen atau divergen
  • 8. Metode Terbuka    Metode Iterasi Sederhana Metode Newton-Raphson Metode Secant.
  • 9. Theorema   Suatu range x=[a,b] mempunyai akar bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau memenuhi f(a).f(b)<0 Theorema di atas dapat dijelaskan dengan grafik-grafik sebagai berikut: Karena f(a).f(b)<0 maka pada range x=[a,b] terdapat akar. Karena f(a).f(b)>0 maka pada range x=[a,b] tidak dapat dikatakan terdapat akar.
  • 10. Metode Table   Metode Table atau pembagian area. Dimana untuk x di antara a dan b dibagi sebanyak N bagian dan pada masing-masing bagian dihitung nilai f(x) sehingga diperoleh tabel : X f(x) x0=a f(a) x1 f(x1) x2 f(x2) x3 f(x3) …… …… xn=b f(b)
  • 12. Contoh   Selesaikan persamaan : x+ex = 0 dengan range x = [ − 1,0] Untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan di atas range x = [ − 1,0] dibagi menjadi 10 bagian sehingga diperoleh : X f(x) -1,0 -0,63212 -0,9 -0,49343 -0,8 -0,35067 -0,7 -0,20341 -0,6 -0,05119 -0,5 0,10653 -0,4 0,27032 -0,3 0,44082 -0,2 0,61873 -0,1 0,80484 0,0 1,00000
  • 13. Contoh   Dari table diperoleh penyelesaian berada di antara –0,6 dan –0,5 dengan nilai f(x) masing-masing -0,0512 dan 0,1065, sehingga dapat diambil keputusan penyelesaiannya di x=-0,6. Bila pada range x = [ − 0,6,−0,5] dibagi 10 maka diperoleh f(x) terdekat dengan nol pada x = -0,57 dengan F(x) = 0,00447
  • 14. Kelemahan Metode Table   Metode table ini secara umum sulit mendapatkan penyelesaian dengan error yang kecil, karena itu metode ini tidak digunakan dalam penyelesaian persamaan non linier Tetapi metode ini digunakan sebagai taksiran awal mengetahui area penyelesaian yang benar sebelum menggunakan metode yang lebih baik dalam menentukan penyelesaian.
  • 15. Metode Biseksi   Ide awal metode ini adalah metode table, dimana area dibagi menjadi N bagian. Hanya saja metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang.Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.
  • 17. Metode Biseksi  Untuk menggunakan metode biseksi, terlebih dahulu ditentukan batas bawah (a) dan batas atas (b).Kemudian dihitung nilai tengah : a + b x= 2   Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar. Secara matematik, suatu range terdapat akar persamaan bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau dituliskan : f(a) . f(b) < 0 Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah dan batas atas di perbaharui sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar.
  • 19. Contoh Soal  Selesaikan persamaan xe-x+1 = 0, dengan menggunakan range x=[-1,0], maka diperoleh tabel biseksi sebagai berikut :
  • 20. Contoh Soal    a + b 2 Dimana x = Pada iterasi ke 10 diperoleh x = -0.56738 dan f(x) = -0.00066 Untuk menghentikan iterasi, dapat dilakukan dengan menggunakan toleransi error atau iterasi maksimum. Catatan : Dengan menggunakan metode biseksi dengan tolerasi error 0.001 dibutuhkan 10 iterasi, semakin teliti (kecil toleransi errorny) maka semakin besar jumlah iterasi yang dibutuhkan.
  • 21. Metode Regula Falsi    metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range. Dua titik a dan b pada fungsi f(x) digunakan untuk mengestimasi posisi c dari akar interpolasi linier. Dikenal dengan metode False Position
  • 23. Metode Regula Falsi f (b) − f (a ) f (b) − 0 = b−a b−x f (b)(b − a ) x =b− f (b) − f (a ) af (b) − bf (a) x= f (b) − f (a )
  • 25. Contoh Soal  Selesaikan persamaan xe-x+1=0 pada range x= [0,-1]
  • 26. Contoh Soal Akar persamaan diperoleh di x=-0.56741 dengan kesalahan =0,00074
  • 27. Metode Iterasi Sederhana   Metode iterasi sederhana adalah metode yang memisahkan x dengan sebagian x yang lain sehingga diperoleh : x = g(x). Contoh :    x – ex = 0  ubah x = ex atau g(x) = ex g(x) inilah yang menjadi dasar iterasi pada metode iterasi sederhana ini
  • 29. Contoh :    Carilah akar pers f(x) = x2-2x-3 x2-2x-3 = 0 X2 = 2x + 3 x = 2x + 3   Tebakan awal = 4 E = 0.00001 x n +1 = 2 x n + 3  Hasil = 3
  • 31. Contoh :       x2-2x-3 = 0 X(x-2) = 3 X = 3 /(x-2) Tebakan awal = 4 E = 0.00001 Hasil = -1
  • 33. Contoh :      x2-2x-3 = 0 X = (x2-3)/2 Tebakan awal = 4 E = 0.00001 Hasil divergen
  • 34. Syarat Konvergensi  Pada range I = [s-h, s+h] dengan s titik tetap     Jika 0<g’(x)<1 untuk setiap x Є I iterasi konvergen monoton. Jika -1<g’(x)<0 untuk setiap x Є I iterasi konvergen berosilasi. Jika g’(x)>1 untuk setiap x Є I, maka iterasi divergen monoton. Jika g’(x)<-1 untuk setiap x Є I, maka iterasi divergen berosilasi.
  • 35. x r +1 x r +1 = 2 x r + 3 g ( x) = 2 x r + 3 g ' ( x) =    3 ( x − 2) −3 g ' ( x) = ( x − 2) 2 g ( x) = 1 2 2 xr + 3 Tebakan awal 4 G’(4) = 0.1508 < 1 Konvergen Monoton 3 = ( x r − 2)    Tebakan awal 4 G’(4) = |-0.75| < 1 Konvergen Berisolasi
  • 36. ( x 2 − 3) g ( x) = 2 g ' ( x) = x    Tebakan awal 4 G’(4) = 4 > 1 Divergen Monoton
  • 37. Latihan Soal    Apa yang terjadi dengan pemilihan x0 pada pencarian akar persamaan : X3 + 6x – 3 = 0 Dengan x 3 x r +1   − xr + 3 = 6 Cari akar persamaan dengan x0 = 0.5 X0 = 1.5, x0 = 2.2, x0 = 2.7
  • 39. Metode Newton Raphson  metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut.Titik pendekatan ke n+1 dituliskan dengan : F x Xn+1 = xn - ( n) 1 F ( xn )
  • 41. Algoritma Metode Newton Raphson 1. 2. 3. 4. 5. Definisikan fungsi f(x) dan f1(x) Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n) Tentukan nilai pendekatan awal x0 Hitung f(x0) dan f’(x0) Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)|> e  Hitung f(xi) dan f1(xi) xi +1 = xi − 6. f ( xi ) f 1 ( xi ) Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh.
  • 42. Contoh Soal     Selesaikan persamaan x - e -x = 0 dengan titik pendekatan awal x 0 =0 f(x) = x - e-x  f’(x)=1+e-x f(x0) = 0 - e-0 = -1 f’(x0) = 1 + e-0 = 2 f ( x0 ) −1 x1 = x0 − 1 = 0− = 0,5 f ( x0 ) 2
  • 43. Contoh Soal  f(x1) = -0,106631 dan f1(x1) = 1,60653  x1 − f ( x1 ) − 0,106531 = 0,5 − = 0,566311 1,60653  x2 =  f(x2) = -0,00130451 dan f1(x2) = 1,56762  x3 =  f(x3) = -1,96.10-7. Suatu bilangan yang sangat kecil.  Sehingga akar persamaan x = 0,567143. f 1 ( x1 ) x2 − f ( x2 ) f 1 ( x2 ) = 0,566311 − − 0,00130451 = 0,567143 1,56762
  • 44. Contoh  x - e-x = 0  x0 =0, e = 0.00001
  • 45. Contoh :    x + e-x cos x -2 = 0  x0=1 f(x) = x + e-x cos x - 2 f’(x) = 1 – e-x cos x – e-x sin x
  • 47. Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson  Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada pada titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini F nilai F1(x) = 0 sehingga nilai penyebut dari F ((xx)) sama dengan nol, secara grafis dapat dilihat sebagai berikut: 1 Bila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik selanjutnya akan berada di tak berhingga.
  • 48. Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson   Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik pendekatannya berada di antara dua titik stasioner. Bila titik pendekatan berada pada dua tiitik puncak akan dapat mengakibatkan hilangnya penyelesaian (divergensi). Hal ini disebabkan titik selanjutnya berada pada salah satu titik puncak atau arah pendekatannya berbeda.
  • 50. Penyelesaian Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson 1. 2. Bila titik pendekatan berada pada titik puncak maka titik pendekatan tersebut harus di geser sedikit, xi = ±δ xi dimana adalah konstanta yang ditentukan δ F 1 ( xi ) ≠ newton dengan demikian dan metode 0 raphson tetap dapat berjalan. Untuk menghindari titik-titik pendekatan yang berada jauh, sebaiknya pemakaian metode newton raphson ini didahului oleh metode tabel, sehingga dapat di jamin konvergensi dari metode newton raphson.
  • 51. Contoh Soal      x . e-x + cos(2x) = 0  x0 = 0,176281 f(x) = x . e-x + cos(2x) f1(x) = (1-x) e-x – 2 sin (2x) F(x0) = 1,086282 F1(x0) = -0,000015 X = 71365,2 padahal dalam range 0 sampai dengan 1 terdapat akar di sekitar 0.5 s/d 1.
  • 53. Contoh Soal  x Untuk menghindari hal ini sebaiknya digunakan grafik atau tabel sehingga dapat diperoleh pendekatan awal yang baik. Digunakan pendekatan awal x0=0.5
  • 54. Contoh Soal   Hasil dari penyelesaian persamaan x * exp(-x) + cos(2x) = 0 pada range [0,5]
  • 56. Contoh  Hitunglah akar f ( x) = e x − 5 x 2 dengan metode Newthon Raphson. Gunakan e=0.00001. Tebakan awal akar x 0 = 1  Penyelesaian f ( x) = e x − 5 x 2  f ' ( x) = e x − 10 x Prosedur iterasi Newthon Raphson e x − 5x2 xr +1 = xr − x e − 10 x 0 1 -2.28172 1 0.686651 -0.370399 2 0.610741 -0.0232286 3 0.605296 -0.000121011 4 0.605267 -3.35649e-009 Akar terletak di x = 0.605267
  • 59. Metode Secant     Metode Newton Raphson memerlukan perhitungan turunan fungsi f’(x). Tidak semua fungsi mudah dicari turunannya terutama fungsi yang bentuknya rumit. Turunan fungsi dapat dihilangkan dengan cara menggantinya dengan bentuk lain yang ekivalen Modifikasi metode Newton Raphson dinamakan metode Secant.
  • 60. xr x r +1 x r −1 xr
  • 61. ∇y f ( x r ) − f ( x r −1 ) f ' ( x) = = ∇x x r − x r −1  Metode Newton-Raphson x r +1 f ( xr ) = xr − f ' ( xr ) x r +1 f ( x r )( x r − x r −1 ) = xr − f ( x r ) − f ( x r −1 )
  • 62. Algoritma Metode Secant :      Definisikan fungsi F(x) Definisikan torelansi error (e) dan iterasi maksimum (n) Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya terdapat akar yaitu x0 dan x1, sebaiknya gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik pendakatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan. Hitung F(x0) dan F(x1) sebagai y0 dan y1 Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |F(xi)| xi − xi −1 xi +1 = xi − yi yi − yi −1  hitung yi+1 = F(xi+1) Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir.
  • 64. Contoh Kasus Penyelesaian Persamaan Non Linier    Penentuan nilai maksimal dan minimal fungsi non linier Perhitungan nilai konstanta pada matrik dan determinan, yang biasanya muncul dalam permasalahan sistem linier, bisa digunakan untuk menghitung nilai eigen Penentuan titik potong beberapa fungsi non linier, yang banyak digunakan untuk keperluan perhitungan-perhitungan secara grafis.
  • 65. Penentuan Nilai Maksimal dan Minimal Fungsi Non Linier    nilai maksimal dan minimal dari f(x)  memenuhi f’(x)=0. g(x)=f’(x)  g(x)=0 Menentukan nilai maksimal atau minimal  f”(x)
  • 66. Contoh Soal  Tentukan nilai minimal dari f(x) = x2-(x+1)e-2x+1 2 x)p *+x 2() -1+ (*2 x-1 e x * 1 . 5 1 0 . 5 0 0 . 5 1 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 nilai minimal terletak antara –0.4 dan –0.2 0 . 8 1
  • 68. Menghitung Titik Potong 2 Buah Kurva y y=g(x) f(x) = g(x) atau f(x) – g(x) = 0 p x y=f(x)
  • 69. Contoh Soal  Tentukan titik potong y=2x3-x dan y=e-x 3 2 *x x * 3 e x p ( x ) 2 . 5 2 1 . 5 1 0 . 5 0 0 . 5 1 1 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 akar terletak di antara 0.8 dan 1 1
  • 71. Soal (1)      Tahun 1225 Leonardo da Pisa mencari akar persamaan F(x) = x3 + 2x2 + 10x – 20 = 0 Dan menemukan x = 1.368808107. Tidak seorangpun yang mengetahui cara Leonardo menemukan nilai ini. Sekarang rahasia ini dapat dipecahkan dengan metode iterasi sederhana. Carilah salah satu dari kemungkinan x = g(x). Lalu dengan memberikan sembarang input awal, tentukan x=g(x) yang mana yang menghasilkan akar persamaan yang ditemukan Leonardo itu.
  • 72. Soal (2)   a Hitung akar 27 dan akar 50 dengan biseksi dan regula falsi ! Bandingkan ke dua metode tersebut ! Mana yang lebih cepat ? Catat hasil uji coba b N e 0.1 0.01 0.001 0.0001 Iterasi Biseksi Iterasi Regula Falsi
  • 73. Soal (3)   Tentukan nilai puncak pada kurva y = x 2 + e-2xsin(x) pada range x=[0,10] Dengan metode newthon raphson