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PYTHON
MATHEMATICS
이해하기
Moon Yong Joon
1
1. 대수 기초
2.함수 기초
3. 선형대수 기초
4.관계 기초
목차
2
5. 그래프 기초
6. 삼각함수
7. 지수/로그 기초
8. 수열 기초
목차
3
9. 집합 기초
10. 미분/적분 기초
11. 확률과 통계 기초
목차
4
1.대수
기초
Moon Yong Joon
5
주요 기호
Moon Yong Joon
6
그리스 문자
Α/α(알파) Β/β(베타) Γ/γ(감마)
Δ/δ(델타) Ε/ε(엡실론) Ζ/ζ(제타)
Η/η(에타) Θ/θ(쎄타) Ι/ι(요타)
Κ/κ(카파) Λ/λ(람다) Μ/μ(뮤)
Ν/ν(뉴) Ξ/ξ(크시) Ο/ο(...
집합기호
8
명제기호
9
수
Moon Yong Joon
10
수11
수
자연수, 정수, 유리수, 무리수, 실수로 확장되는
수의 관계
12
정수13
정수
정수(整數, integer)는 자연수(1, 2, 3, ...)와 이들
의 음수(−1, −2, −3, ...)와 0으로 이루어진 수
체계이다. 정수는 자연수와 마찬가지로 가산 무
한 집합이며, 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 ...
유리수15
유리수
유리수(有理數, rational number)는 두 정수의
분수 형태(단 분모는 반드시 0이 아니다)로 나타
낼 수 있는 실수를 말한다.
유리수는 (0으로 나누는 것을 제외한) 사칙연산
(덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나...
무리수17
무리수
무리수(無理數, irrational number)는 두 정수의
비의 형태로 나타낼 수 없는 실수를 말한다. 즉,
분수로 나타낼수없는 소수이다.
18
실수19
실수
실수 [實數, real number] 정수의 몫으로 정의되
는 유리수의 범위에서는 대소의 순서를 정할 수
있으며, 사칙연산을 자유로이 할 수 있다.
그러나 이 범위에서는 역시 불완전한 점이 많다.
이를테면, 단위의...
복소수21
복소수
복소수(複素數, complex number)는 다음 꼴로
나타낼 수 있는 수 이다.
a+bi
이 때 a, b는 실수이고 i는 허수단위로 i2=-1을
만족한다. 실수 a를 그 복소수의 실수부, 실수 b
를 복소수의...
복소수 연산
복소수(複素數, complex number)는 다음 꼴로
23
나눗셈
항등원,역수24
항등원
항등원(恒等元)은 집합의 어떤 원소와 연산을 취
해도, 자기 자신이 되는 원소를 말한다. 쉽게 말해
서, 1개의 양을 전혀 달라 보이는 다른 양과 같게
만드는 수학적 관계를 말한다고 생각하면 된다.
25
반수: 덧셈
반수(反數)는 그 수를 더했을 때 0이 되는 수를 말
한다. 예를 들면 7의 경우 -7에 7을 더하면 0이
되므로 7의 반수는 -7이다.
다르게 말하면 어떤 양수 n의 반수는 그와 절댓값
이 같은 음수라고 ...
역수 : 곱셈
어떤 수의 역수(逆數,reciprocal) 또는 곱셈 역원
(-逆元, 영어: multiplicative inverse)은 그 수와
곱해서 1, 즉 곱셈 항등원이 되는 수를 말한다.
x의 역수는 1/x 또는...
절대값28
절댓값은 거리의 개념이므로 반드시 0또는 양수이어야하며, 만약
실수 a가 음수라면, a에 (-1)을 곱해 양수화
절대값 absolute value
어떤 실수 a를 수직선에 대응시켰을 때, 수직선의
원점에서 실수 a까지의...
비율30
비율
비(比, ratio)는 어떤 수가 다른 한 수의 몇 배인지
를 나타내는 관계이다. 이 배수를 비율(比率,
ratio)이라고 한다.
원주율
원의 지름에 대한 원주의 비율.
백분율
수를 100과의 비로 나타내는 것.
...
PYTHON
SYMPY
수, 심벌, 전개식,
해 구하기
처리
Moon Yong Joon
32
Symbolic mathematics33
sympy 모듈 이란
SymPy는 symbolic mathematics을위한
python 라이브러리입니다.
SymPy는 가능한 한 간단하게 코드를 유지하는
것은 이해하기 쉽게 확장 할 수있는 a full-
feature...
sympy 구조
SymPy는 symbolic mathematics를 처리하기 위
해 다양한 객체들로 구성해서 평가해 수학처럼
문제를 푸는 체계
35
Sympy는 정의한 것은 pi도
하나의 인스턴스 객체 이므
로 이 값을...
sympy 객체
Sympy객체를 변수에 할당해서 사용하지만 별도
의 객체로 역할 함
36
Symbol로 정의할 때
들어간 문자열의 실
제 name이고 할당
된 참조변수는
symbol 객체가 할당
된 변수라 이름이 달
라...
Symbol 객체 이해37
sympy 구조
SymPy는 symbolic mathematics를 처리하기 위
해 다양한 객체들로 구성되며 이를 평가해 수학
처럼 문제를 푸는 체계
38
Sympy는 정의한 것은 pi도
하나의 인스턴스 객체 이므
로 ...
수 타입 체계39
정수 : sympy
정수(整數, integer)는 자연수(1, 2, 3, ...)와 이들
의 음수(−1, −2, −3, ...)와 0으로 이루어진 수
체계이다.
40
유리수 : sympy
유리수(有理數, rational number)를 분자(p)와
분모(q)로 관리
41
실수 1 : sympy
실수 [實數, real number]
42
실수 2 : sympy
Sympify로 sympy 숫자 타입을 확인
43
복소수 : sympy
Sympify로 sympy 숫자 타입을 확인
44
무한대 처리45
무한대/pi를 심벌 처리
sympy는 oo로 무한대, pi로 파이 상수를 관리
46
Sympy symbol 정의47
symbol 처리
Sympy 는 명확히 수학적인 심벌을 표시
x = Symbol(’x’)는 심벌을 하나 정의
a, b, c = symbols(’a, b, c’)는 심벌을 여러 개
정의
48
symbol 처리 : 변수에 타입주기
symbols 정의시 이 변수에 들어갈 데이터 타입
을 부여할 수 있음
49
symbol 처리 : 함수명
symbols 정의시 cls 파라미터에 Function을 부
여하면 함수 변수가 됨
50
전개식 처리51
expand 메소드 : 전개식 처리
표현식도 별도의 타입을 가지므로 expand메소
드를 사용하면 표현식이 전개됨
52
expand 함수 : 전개식 처리
표현식도 별도의 타입을 가지므로 expand메소
드를 사용하면 표현식이 전개됨
53
곱셈 전개시 동일
항에 대한 곱셈부
분도 전개가 필요
하며 force=True
처리
해 구하기54
Solve 함수 : 해 구하기
표현식을 solve 함수에 넣으면 해를 구해 줌
55
PYTHON
NUMBER
DATA TYPE
Moon Yong Joon
56
Numeric Type57
숫자타입
숫자에 대한 객체를 관리하는 데이터 타입
Numberic Types
int
float
long(2.x)
complex
숫자타입도 하나의 객체이므로 1 이 생성
되면 동일한 context 내에서는 동일한 객체
i...
숫자타입 – 기본 연산자 및 함수
숫자 타입에 기본으로 처리 되는 함수, operator
Operation Result Notes
x + y sum of x and y
x - y difference of x and y
...
Numeric Type(int)60
숫자타입 - int
int 타입 내의 operator 처리 내장 메소드 및 속
성들
61
숫자타입 – int 예시
int 내부 속성에 대한 처리
real : int는 숫자를 관리하고
bit_length() : 이진수로 변환시
bit 길이
denominator : 분모
numerator : 분자
62
숫자타입 – long 타입
python3버전에서는 통합되어 관리
Notes Python 2 Python 3
①
x = 1000000000000L x = 1000000000000
②
x = 0xFFFFFFFFFFFFL x...
Numeric Type(float)64
숫자타입 - float
float 타입 내의 operator 처리 내장 메소드 및
속성들
65
숫자타입 – float 예시
float 내부 속성에 대한 처리
• real : float는 숫자를 관리하고
• hex() : 16진수로 변환
• fromhex() : hex() 결과의 문자
열을 float로 전환
• i...
Numeric Type(complex)67
숫자타입 - complex
float 타입 내의 operator 처리 내장 메소드 및
속성들
68
숫자타입 – complex 예시
complex 내부 속성에 대한 처리
• real : float는 숫자를 관리하고
• imag: 허수부문
• conjugate () : 켤레복소수 구
하기
69
분수계산하기70
숫자타입 – fractions 표시
fractions 모듈을 이용해서 분수를 계산. Float
타입과 계산시에는 float 타입으로 전환 됨
71
숫자타입 – fractions 연산
fractions 모듈을 이용해서 분수를 계산. Float
타입과 계산시에는 float 타입으로 전환 됨
72
거듭제곱
/제곱근
Moon Yong Joon
73
거듭제곱74
거듭제곱
거듭제곱은 이항 연산으로, 하나의 수를 여러 번
곱하는 연산을 의미한다. 기호로는 an 으로 표기
하며, 이때 a를 밑, n을 지수라고 한다.
75
거듭제곱의 지수 표현
거듭제곱은 지수가 음수이면 기존 거듭제곱이 역
수가 되가 분수인 경우는 제곱근 표현이 됨
지수가 음수인 경우 지수가 분수인 경우
76
거듭제곱의 성질
거듭제곱은 반복적인 곱하기와 나누기 처리를 하
므로 아래의 성질을 준수
77
제곱근78
제곱근
x의 제곱근(제곱根)은 제곱하여 x가 되는 실수를
가리키며, 특히 이 가운데 양의 제곱근을 sqrt(x)
라고 표기하고 "제곱근 x"(루트 x)라고 읽는다.
79
제곱근의 지수 표현
제곱근 x를 수치적인 표현으로는 지수 표현을 분
수식으로 나타내면 됨 x1/2로 표현
80
일반적으로 실수 x에 대하여 값이 부호는 +/-를
가짐
제곱근의 부호 표현
제곱근의 부호
81
제곱근 x에 대한 수의 성질
제곱근의 값 표현
제곱근의 표현 제곱근의 값
자연수 x에 대해 결과값
은 자연수이거나 무리수이
다
음이 아닌 실수 x가 제곱
근 내부의 제곱은 x가 됨
82
제곱근 두수 x,y에 대한 곱셈과 나눗셈 처리 방식
제곱근의 성질
제곱근의 곱셈 제곱근의 나눗셈
83
PYTHON
거듭제곱
/제곱근
Moon Yong Joon
84
거듭제곱85
밑 a, 지수 b에 대한 거듭 제곱을 구하는 것은
math.pow 함수와 연사자 **를 사용
거듭제곱
86
제곱근87
밑a이고 지수가 b일 경우 math.sqrt함수는
root2에 대한 값만 처리 하므로 **/pow에서 분
수를 이용해서 제곱근을 구함
제곱근
88
기수법
Moon Yong Joon
89
기수법90
기수법
기수법(記數法, numeral system)은 수를 시각적으
로 나타내는 방법으로, 기수법을 통해서 나타나는 각
각의 숫자는 다른 수들과 구별되는 표기 방식을 가진
다.
91
진법92
이진법
이진법(二進法, binary)은 두 개의 숫자만을 이용
하는 기수법이다. 관습적으로 0과 1의 기호를 쓰
며 이들로 이루어진 수를 이진수라고 한다.
93
팔진법
팔진법 (octal number system , 八進法 ) 은 8을
밑으로 하는 기수법이다. 0부터 7까지의 숫자를
사용한다. 이진법 표기의 3자리와 팔진법 한 자리
가 일대일 대응
94
십진법
십진법(十進法, 열올림법)은 10을 기수로 한 기수
법이다. 자리수로 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9를
쓴다.
95
십육진법
십육진법(十六進法, hexadecimal)은 16을 밑으로
하는 기수법이다. 보통 0부터 9까지의 수와 A에서 F
까지의 로마 문자를 사용하고, 이때 대소문자는 구별
하지 않는다. 이진법 표기의 4자리와 십육진...
PYTHON
기수법
Moon Yong Joon
97
진법표현98
진법 표현
bin, oct, hex를 이용해서 이진법, 팔진법, 16진
법을 표현함
99
Bit 연산100
비트연산자 : and, or, xor
Operator Description
&
Binary AND
서로 같은 비트가 있는 경우만 표시
|
Binary OR 서로 같은 경우 또는 다른 경우도 전
부 표시
^
Binary ...
비트연산자 : ~, <<, >>
Operator Description
~
Binary Ones Co
mplement 1의 보수 구하기
<<
Binary Left Shift
좌축으로 비트 이동.
>>
Binary Righ...
대수의 법칙
Moon Yong Joon
103
연산 우선순위104
연산 우선순위
연산자에 대한 우선순위는 PEMDAS로 처리
105
교환법칙106
수학에서, 집합 S 에 이항연산 * 이 정의되어 있을 때, S의 임의의
두 원소 a, b 에 대해
a * b = b * a가 성립하면, 이 연산은 교환법칙(交換法則,
commutative law)을 만족한다고 한다
교환...
교환법칙 : 덧셈과 곱셈
수학에서 순서와 상관없이 다른 항을 바꿔 계산
해도 동일한 값이 나오는 법칙
108
결합법칙109
수학에서 결합법칙(結合 法則, associated law)은 한 식에서 연산
이 두 번 이상 연속될 때, 앞쪽의 연산을 먼저 계산한 값과 뒤쪽의
연산을 먼저 계산한 결과가 항상 같을 경우 그 연산은 결합법칙을
만족한다고...
결합법칙
연산이 두 번 이상 연속될 때 연산을 묶어서 처리
111
분배법칙112
집합 S와 S에 대해 닫혀있는 이항 연산 *가 정의되어 있을 때, S의
임의의 원소 a, b, c에 대해 a * (b + c) = (a * b) + (a * c)가 성립
하면 좌분배법칙이, (b + c) * a = (b...
분배법칙
수학에서 순서와 상관없이 다른 항을 바꿔 계산
해도 동일한 값이 나오는 법칙
114
서로소115
공약수/최대공약수
공약수, 최대공약수, 서로소 용어 정의
공약수 두 개 또는 그 이상의 자연수가 있을 때 그 자연수들의 공통인 약수.
최대공약수 공약수들 중에서 가장 큰 수.12의 약수={1,2,3,6,12}
16의 약...
서로소
최대공약수가 1인, 둘 이상의 양의 정수들은 서로
소(relatively prime)이라고 불린다.
두 정수가 1 이외에 양의 공약수를 가지지 않으면
서로소이다.
117
대입118
대입
대입(代入, substitution) 또는 변수변환(變數變
換, change of variables)은 수식의 특정 변수를
일정한 값 또는 다른 수식으로 치환하는 행위
119
분모의 유리화120
분모의 유리화
유리화(Rationalization)는 무리수가 있는 분수에
서, 분모 부분을 유리수로 바꾸는 과정을 말한다
121
분모와 분자에
분모를 곱하면
무리수가 유리
수로 변경됨
PYTHON
연산자와
OPERATOR 모듈의
대수의 법칙
Moon Yong Joon
122
연산자 구조123
연산자와 special method
python 문법의 연산자는 각 type class 내부에 대
응하믄 special method가 존재
연산자
Special
Method
각 타입별로 연산자는
special metho...
연산자 우선순위
순위 구분 Operator Description
0 그룹 ( ) Parentheses (grouping)
1 함수 f(args...) Function call
2 참조 x[index:index] Slic...
부호변환126
부호연산
숫자 객체에 대한 부호 변환하는 연산
Operation 연산자 Function Method
Negation (Arithmetic) - a neg(a)
x.__neg__()
Positive + a pos(a) x...
부호변환 예시
숫자 타입의 부호를 변환
128
산술 연산129
산술연산 : 정방향
숫자 객체들에 대한 수학적인 산술연산
Operation 연산자 Function Method
addition x + y add(a, b) x.__add__(y)
subtraction x - y sub(...
산술연산 예시: operator 모듈
Operator 모듈을 import해서 사용
131
산술연산 예시: int method
Int class 내의 special method 이용해 계산
132
산술연산 예시: 연산자
python 문법의 연산자 이용
133
산술연산 : 역방향
수학적인 산출연산에 대한 역방향 메소드 제공 계산
결과는 정방향과 동일
Operation 연산자 Function Method
addition x + y add(a, b) y.__radd__(x)
su...
산술연산 역방향 예시
사칙연산이 정방향이나 역방향이나 계산은 동일
135
비트 연산136
비트연산 설명
비트연산에 대해서는 실제 숫자의 비트를 가지고 연
산
Operation 연산자 설명
left bit-shift x << y y만큼 왼쪽으로 bit 이동 : 산식은 (x * (2** y) )
right bi...
비트연산
python 연산자,operator 모듈내의 함수와 int 메소
드간의 관계
Operation 연산자 Function Method
left bit-shift x << y lshift(a, b) x.__lshif...
비트 연산 예시
비트연산
139
augmented operator140
augmented operator
python에서는 할당연산자와 일반연산자를 축약해
서 사용
X += Y X = X+ Y
141
사칙연산
사칙연산
Operation 연산자 Function Method
addition x += y iadd(a, b) x.__iadd__(y)
subtraction x -= y isub(a, b) x.__isub__(...
증가비트연산
비트연산과 할당연산을 같이 사용
Operation 연산자 Function Method
left bit-shift x <<= y ilshift(a, b) x.__ilshift__(y)
right bit-shi...
논리연산144
논리연산
논리연산은 boolean 값을 비교해서 처리
Operation Syntax Function Method
and Logical AND a and b NA NA
or Logical OR a or b NA NA
Ne...
논리연산 예시
논리연산
146
방정식/
부등식
Moon Yong Joon
147
방정식148
방정식
방정식(方程式, equation)은 식에 있는 특정한 문
자의 값에 따라 참/거짓이 결정되는 등식이다.
이때, 방정식을 참이 되게 하는 특정 문자의 값을
해 또는 근이라 한다.
149
항등식
방정식 X의 해는 2...
상수항
상수항은 다항식이나 방정식에서 변수 또는 미지
수를 포함하지 않은 항이다.
예를 들면, 다항식 a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an
에서는 변수 x를 포함하지 않은 항 an을, 또 방정
식 a0xn+a1xn-...
다항방정식
일차방정식, 이차방정식, 삼차방정식, 고차방정
식 등과 같이 미지수에 대한 다항식으로만 이루
어진 방정식을 다항 방정식이라고 한다
151
다항 방정식 정의 다항 방정식 해
일차방정식152
일차방정식
일차방정식(Linear equation) 또는 선형 방정식
은 최고차항의 차수가 1인 방정식을 뜻한다.
153
a0x1+a1x0
a0 = a
a1 = b
n=1 일 경우
일차방정식 풀이
일차방정식에서 상수를 좌변으로 이항한 후에 변
수앞에 있는 계수로 양변을 나누면 x 값을 정함.
154
이차방정식155
이차방정식
이차 방정식(二次方程式, quadratic equation)이
란, 최고차항의 차수가 2인 다항 방정식을 뜻한다
156
a0x2+a1x1+a2x0
a0 = a
a1 = b
a2 = c
n=2 일 경우
이차방정식의 해
이차 방정식은 아래처럼 상수항을 이용해서 근의
공식으로 해를 구할 수 있음
157
근의공식
부등식158
부등식
부등식(不等式, inequality)은 두 수에 대한 크기
비교를 나타내는 식이다. 부등식은 두 수 및 그 사
이의 부등호(不等號, inequality sign)로 구성된
다.
159
추이적관계
임의의 세 원소 a, b, c에 대하여 정의된 이항관
계이 추이적 관계(推移的關係,transitive relation)
라 함
160
PYTHON
SYMPY
방정식
Moon Yong Joon
161
수식값 부여162
수식평가 : +/-
수식을 만들고 subs, evalf, replace로 평가하
기
163
수식평가 : *, /
수식을 만들고 subs, evalf, replace로 평가하
기
164
방정식 풀기165
방정식 풀기
2차 방정식을 전개는 expand 함수로 처리하고
해는 solve 함수로 구함
166
PYTHON
관계연산
Moon Yong Joon
167
관계연산168
관계연산
python 내의 객체 간의 순서와 동등 관계를 처리하
는 연산자
Operation 연산자 Function Method
Ordering a < b lt(a, b)
x.__lt__(y)
Ordering a <= ...
인수분해/전개
Moon Yong Joon
170
곱셈공식171
곱셈 공식(-公式, multiplication)
다항식의 곱셈을 할 때 빠르고 편리하게 계산할
수 있도록 한 공식이다. 곱셈 공식의 양변을 바꾸
면 인수분해 공식이 된다.
172
피타고라스 정리
피타고라스 정리를 이용해서 하나의 변수를 제곱
근 곱셈공식으로 전환해서 처리.
173
제곱근 연산
제곱근 연산도 곱셈 공식을 이용해서 결과를 처
리
174
인수분해175
인수분해
인수 분해(因數分解, factorization)는 곱이 정의
된 집합내의 어떤 원소를 다른 원소들의 곱으로
표현하는 것을 가리킨다
176
인수분해 공식
인수 분해 주요 공식
177
인수분해 예시
인수 분해 주요 공식을 이용한 처리 예시
178
이항정리179
이항정리
이항정리(二項定理, binomial theorem)는 이항
다항식 x+y의 거듭제곱 (x+y)n에 대해서, 전개
한 각 항 xkyn-k의 계수 값을 구하는 정리
180
이항정리 : 전개
다항식 (a+b)3의 전개식에서 각 항의 계수를 조
합의 수를 이용하여 나타내는 방법
(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)
=aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb
=a3+3a2b...
이항정리 : 파스칼 방식
다항식 (a+b)3의 전개식에서 각 항의 계수를 조
합의 수를 이용하여 나타내는 방법
182
PYTHON
SYMPY
인수분해/전개
Moon Yong Joon
183
공통요소 제거184
cancel 함수 : 공통요소 제거
분모와 분자의 공통요소를 제거하는 함수는
cancel로 처리
185
인수분해186
factor 함수
인수분해는 factor 함수를 사용하고 전개는
expand 함수를 사용하고 해는 solve함수를 사용
함
187
factor 함수 : modulus
인수분해를 위한 파라미터를 modulus로 사용하
면 인수분해 불가함 방정식을 조건에 따라 인수
분해 함
188
factor 함수 :가우시안정수
가우스 정수(Gauß整數, Gaussian integer)는 실
수부와 허수부가 모두 정수인 수이다.
(a+bi)(a-bi)=a2+b2 로 표현이 가능한 수
189
= (0+i)(0 –i...
factor 함수 : extension
인수분해를 위한 값을 배정해서 처리
190
2.함수
기초
Moon Yong Joon
191
함수
Moon Yong Joon
192
함수193
사상
사상(寫像, 영어: morphism)은 수학적 구조를 보
존하는 함수의 개념을 추상화한 것이다.
사상이라는 용어는 영어 map에 대응하기도 하는
데, 이 경우 맥락에 따라 함수(function)와 사상
(morph...
함수란?
함수(函數, function) f:X→Y란 집합X와 집합 Y의
원소 사이에 주어진 다음 성질을 만족하는 대응
으로 정의된다.
195
정의역
어떤 함수의 공역(共域, codomain) 또는 공변역
(共變域)은 이 함수의 값들이 속하는 집합이다.
196
공역/치역
어떤 함수의 정의역(定義域, domain)은 그 함수의
값이 정의된 집합이다.
함수의 치역(値域, range)이라고 하는 것은 함수의
모든 "출력"값의 집합
197
함수의 종류198
단사 함수란?
단사(injective) 또는 일대일(one-to-one)이라
하고 일대일인 함수를 단사함수(injection) 또는
일대일 함수(one-to-one function)이라 한다
199
전사 함수란?
공역의 모든 원소에게 정의역의 적어도 하나의 원소
를 대응시킨다면(즉, 치역이 공역과 같다면) 전사
(surjective) 또는 X에서 Y 로(onto)의 함수라 한다.
전사인 함수를 전사함수(surjec...
전단사 함수란?
f:X→Y가 전사이고 단사일 때 f를 전단사(bijective)
라 한다. 전단사인 함수를 전단사함수(bijection) 또
는 일대일 대응(one-to-one correspondence)라 한
다. o...
초월함수
초월함수(超越函數)란 대수함수와 대조적으로,
계수만으로 이루어진 다항식을 만족시키지 않는
함수이다.
초월함수란 유한한 가감승제의 대수 연산으로 표
현할 수 없기 때문에 대수적인 것을 초월하는 함
수이다.
초월함...
역함수203
역함수
f:X→Y 함수에 대한 대응관계가 반대로 되는 것을
역함수 즉 f -1: Y → X.
204
항등함수
항등함수와 함수를 합성하면 결과는 함수와 같다.
함수와 역함수를 합성하면 항등함수가 나옴
205
=
함수의 합성206
함수합성 function composition
함수의 합성(函數의合成, function composition)은
한 함수의 공역이 다른 함수의 정의역과 일치하는 경
우 두 함수를 이어 하나의 함수로 만드는 연산이다.
이...
교환법칙
함수의 교환법칙은 반드시 성립하지 않는다.
208
결합법칙
함수합성의 결합법칙은 성립한다.
209
PYTHON
MAPPING
DATA TYPE
210
mapping Type211
Mapping 타입-dictionary
Key/Value로 원소를 관리하는 데이터 타입이며
요소들은 변경가능함
참조 container
Name 1 값
Name 2
contain
er
참조
참조
:
:
Dictionary...
Mapping 타입 - dict
dict 내의 속성과 메소드들
213
Mapping 타입 – 사용자 클래스 정
의
사용자 클래스 내부에서 dict type 사용하기
214
Hash 처리215
key 값은 hash
mapping 타입은 기본 hash 처리가 되는 경우
만 키값을 사용
tuple 내의 리스트 등
mutable이 들어오면
hash를 만들 수 없어 에
러 처리됨
216
dict 생성217
Map 타입 - 생성
직접 만들거나 dict 생성자를 통해 생성. 항상
key/value 쌍을 구성해야 함
218
dict 접근219
Mapping - Accessing Elements
Key/Value로 원소를 관리하므로 Key를 index
로 원소를 검색
220
Mapping - Updating Elements
새로운 key에 할당하면 추가하고 기존 key로 변
경하면 기존 값을 변경함
새로운 key에 할당: 기
존에 없으므로 추가
기존 key에 할당: 기존
에 있는 값을 변경...
Mapping - Delete Elements
원소 하나만 삭제, 모든 원소들을 삭제, dict
instance 삭제
기존 원소 하나 삭제
Dict 삭제
모든 원소 삭제
222
dict 내장함수 처리223
Mapping– dict 지원 내장함수
Dictionary 타입에 원소 하나만 삭제, 원소들을
삭제, dictionary instance 삭제
Function Description
cmp(dict1, dict2) Com...
Mapping -dict class 구조 확인
dict 내의 스페셜 메소드를 제외한 내장 속성 확
인
225
dict 메소드 처리226
Mapping -dictionary 메소드
Method Description
dict.clear() Removes all elements of dictionary dict
dict.copy() Returns a shal...
dict.get() 사용
dict 내부의 키가 없을 경우 KeyError가 발생하
므로 get()메소드로 읽어서 처리하면 오류발생을
막을 수 있음
Key 조회시
default 값을 설
정할 수 있음
228
dict.setdefault()사용
dict에 내의 원소를 추가하거나 갱신할 때
default 값을 지정해서 처리 가능
229
dict.get/setdefault()사용
dict에 내의 원소를 추가하거나 갱신하고 이를 []
연산자나 get 메소드로 호출해서 처리
230
dict.update() 사용
dict에 dict을 연결할때 사용하면 키값이 겹칠
경우는 인자로 전달 받은 값으로 갱신됨
231
iteritems/iterkeys/itervalues
dict 타입을 iterable로 전환해서 처리하는 메소
드
232
버전 변경233
버전변경
keys,items 등이 메소드 결과가 리스트 타입에
서 객체타입으로 변경
Notes Python 2 Python 3
①
a_dictionary.keys() list(a_dictionary.keys())
②
a...
메소드 결과 타입 변경
keys, values, items 메소드 리턴타입이 list에
서 dict 타입으로 변경
235
dict.key/values/items()
python 버전 변경에서 list 타입이 dict_keys,
values,items 타입으로 변경되어 동일한 결과를
인지하려면 list()로 변환 필요
버전에 따
른 변경
2...
dict.key/values/items: for문
python 3. 대에서도 for문에서는 실제 값만 처
리됨
237
dict.key: set 연산
python 3. 대에서도 set 연산을 이용해서 처리
가능
238
viewitems/keys/values 처리239
dict.viewitems() 사용
dict 타입 내의 키와 값을 view 타입으로 처리하
는 객체 버전3에서 통합 됨
240
viewitems/viewkeys()
dict 타입에서 viewitems/viewkeys 메소드 처
리함 결과로 set 연산을 처리할 수 있음(3버전에
서는 keys()/items() 동일함)
241
dict comprehension242
Dict Comprehension
사전 정의시 값을 정하지 않고 호출 시 사전 내의
값들이 처리되도록 구성
A = {표현식 for (k,v) in sequence if 논리식}
243
Dict Comprehension : 단순
dict 타입에 대한 comprehension 생성
A = {표현식 for i in sequence if 논리식}
244
dict Comprehension : 다중
dict 내의 다중 for문을 이용해서 처리
A = {표현식 for i in sequence for j in sequence
if 논리식}
245
PYTHON
SYMPY
함수 그래프
Moon Yong Joon
246
plotting247
1차 함수 그래프
1차 함수를 만들고 plot 함수로 그래프 그리기
248
2차 함수 그래프
2차 함수를 만들고 plot 함수로 그래프 그리기
249
여러 개 그래프 그리기250
두개 함수 그래프
1차,2차 함수를 만들고 plot 함수로 그래프 그
리기
251
그래프 선 색상 변경하기
plot 함수 결과에 line_color 변수에 색상을 할
당
252
x축 범위253
1차 함수 그래프 : x축 범위
1차 함수를 만들고 plot 함수에서 (x,-5,5)를 제
공해서 x축 범위를 제한
254
Plot 함수에서 그래프 통합 축 제한
1차함수와 2차함수의 x축이 제한을 통합해서
제한하려면 튜플로 하나만 표시
255
Plot 함수에서 각 그래프별 축 제한
1차함수와 2차함수의 x축이 제한이 다르게 표
시하려면 각 그래프별로 x축에 대한 제한을 별도
로 넣어줘야 함
256
y축 범위257
1차 함수 그래프 : y축 범위
1차 함수를 만들고 plot 함수에서 ylim=(y,-5,5)
를 제공해서 y축 범위를 제한
258
그래프 꾸미기259
그래프 설명자료:legend
그래프에 대한 설명자료 legend
260
1차 함수 그래프 꾸미기
그래프 내의 텍스트 정보(title, xlabel, ylabel)
를 제공해서 그래프 꾸미기
261
자동 show 차단하기262
자동 그래프 표시 제한
sympy는 plot함수만 작동해도 그래프가 그려진
다. show=False 파라미터를 제공해서 자동 그
리기를 제한
263
Show 메소드 실행하기264
show메소드 사용
sympy는 plot함수만 작동해도 그래프가 그려진
다. show=False 파라미터를 제공해서 자동 그
리기를 제한
265
Multi plot 사용266
다중 plot 사용하기 1
여러 plot 함수로 그래프를 그리면 각 plot별로
그래프가 그려짐
267
다중 plot 사용하기 : 2
여러 plot 함수로 그래프 그리기
268
하나의 plot에 여러 그래프 넣기
하나의 그래프에 산식을 여러 개 넣으면 하나의
plot에 그래프가 통합해서 그려짐
269
Multi plot 병합하기270
append로 plot 추가
append 메소드로 plot 처리를 하나로 합치기
271
extend로 plot 추가
extend 메소드로 plot 처리를 하나로 합치기
272
3.선형대수
기초
Moon Yong Joon
273
NUMPY
CLASS
Moon Yong Joon
274
ndarray와 matrix 구분275
ndarray와 matrix 구분
다차원 배열을 생성하지만 matrix는 MATLAB 기능
을 지원
구분 ndarray matrix
차원 다차원 가능 2 차원
* 연산자 요소간 곱 행렬곱
numpy.multiply() ...
배열과 vector 구분 : ndarray
Array와 vector 구분 생성
277
ndarray와 matrix 연산 비교
Matrix는 dot/* 처리가 동일, ndarry는 */multiply
가 동일
278
벡터
이해하기
Moon Yong Joon
279
벡터란280
스칼라/벡터/행렬
스칼라는 number, vector는 숫자들의 list(row or
column), matrix는 숫자들의 array( rows,
columns)
그리고 vector는 Matrix
281
배열과 vertor 구분
ndarray 는 벡터 1xN, Nx1, 그리고 N크기의 1차원
배열이 모두 각각 다르며, 벡터는 그 자체로 특정 좌
표를 나타내기도 하지만 방향을 나타냄
scalar 배열 vector
양, 정...
스칼라/벡터/행렬 예시
스칼라/벡터/행렬
283
벡터란
크기(magnitude)와 방향(direction)을 표시
벡터는 tail부터 head까지의 유향선분으로
표시
284
벡터 크기285
벡터 크기
벡터의 크기는 ||v|| = sqrt(v0^2 + v1^2 +
v2^2... + vn^2) 로 표현
벡터 b = (6,8) 의 크기
|b| = √( 62 + 82 ) = √( 36+64 ) =
√100 = 1...
Vector 크기 계산
벡터의 크기(Magnitude)는 원소들의 제곱을 더
하고 이에 대한 제곱근의 값
벡터의 크기는 x축의 변위와 y축의 변위를 이용
하여 피타고라스 정리
287
단위벡터288
단위벡터
단위벡터(unit vector)는 크기가 1인 벡터
크기가 1인 벡터
표기법은 문자에 모자(hat)을
사용해서 표시
모든 벡터는 단위벡터에 대해
sclae 배수 만큼의 크기를 가진 벡
터
289
단위벡터 정규화
해당 벡터를 0 ~ 1의 값으로 정규화
290
산술연산291
벡터: +
The vector (8,13) and the vector (26,7) add up to
the vector (34,20)
Example: add the vectors a = (8,13) and b = (26...
Vector 연산: +
두 벡터 평행 이동해 평행사변형을 만든 후 가운데
벡터가 실제 덧셈한 벡터를 표시
e
d
f
e
d
293
벡터 : -
벡터의 방향성을 반대로 이동한 실제 벡터를 처리
Example: subtract k = (4,5) from v =
(12,2)
a = v + −k
a = (12,2) + −(4,5) = (12,2) + (−...
Vector 연산: -
두 벡터 반대 방향으로 평행 이동해 평행사변형을
만든 후 가운데 벡터가 실제 덧셈한 벡터를 표시
e
d
g
-e
-e
295
벡터: 스칼라곱
벡터의 각 원소에 스칼라값만큼 곱하여 표시
벡터 m = [7,3]
A = 3m= [21,9]
296
Vector 연산: 스칼라곱
스칼라 배수 만큼 벡터 내의 원소값이 커짐
d
3d
297
내적과 외적 비교298
내적 vs 외적
구분 내적 외적
명칭
Inner product, dot product, scalar
product
Outer product, vector product, cross
product
표기 .(Dot) X(c...
벡터
내적과 외적
이해하기
Moon Yong Joon
300
스칼라곱301
내적 산식
내적(Inner Product)산식은 두벡터의 크기에 cos각
을 곱한 결과 또는 두벡터간의 원소들이 곱의 합산
과 같은 결과
a · b = |a| × |b| × cos(θ)
Where:
|a| : vecto...
내적 수학적 예시 : 2 차원
두벡터에 내적 연산에 대한 수학적 처리 예시
a · b = |a| × |b| × cos(θ)
a · b = 10 × 13 × cos(59.5°)
a · b = 10 × 13 × 0.5075...
3차원 내적 예시 1
Dot 연산을 통한 계산
a · b = ax × bx + ay × by + az × bz
a · b = 9 × 4 + 2 × 8 + 7 × 10
a · b = 36 + 16 + 70
a · b = ...
3차원 내적 예시 2
두벡터 사이의 각 구하기
a벡터의 크기
|a| = √(42 + 82 + 102)
= √(16 + 64 + 100)
= √180
b벡터의 크기
|b| = √(92 + 22 + 72)
= √(81 + ...
내적(dot) 예시
두벡터에 대한 내적(dot) 연산은 같은 위치의 원
소를 곱해서 합산함
두벡터의 곱셈은 단순히 원소를 곱해서 벡터를
유지
306
vdot: vector
벡터(2차원)일 경우도 스칼라(dot)로 처리
307
Vector product(외적)308
외적
벡터 a 와 b 의 외적은 a × b 로 정의된다.
외적의 결과로 나온 벡터 c 는 벡터 a 와 b 의 수직
인 벡터로 오른손 법칙의 방향
Vector product
Cross product
309
외적 산식 : 2차원
벡터의 원소간의 cross 적을 처리
v = [a1,a2]
u = [b1,b2]
a1 a2
b1 b2
a1*b2 – a2*b1 Example: The cross product of a = (2,3)...
외적 산식 : 3차원
벡터의 원소간의 cross 적을 처리
v = [a1,a2,a3]
u = [b1,b2,b3]
a2 a3 a1 a2
b2 b3 b1 b2
x 축 : a2*b3 – a3*b2
y 축 : a3*b1 – a...
외적 산식예시
두벡터에 대한 외적(cross) 연산은 다른 위치의
원소를 곱해서 뺄셈
2차원 벡터는 스칼라 값으로 나옴 3차원 벡터이
상 표시 됨
312
Inner/outer 함수 이해하기313
inner 계산 방식
A = [[a1,b1] B = [[a2,b2]]
numpy.inner(A,B)
array([[a1*a2 + b1*b2]])
[[1*4+0*1]]
1 0 4 1
1 0
4 1
4=.
314
Inner 예시
벡터의 내부 곱한 것을 더해서 값을 표현
315
dot/inner: 예시
벡터(2차원)일 경우 2차원으로 표시
316
outer
A = [[a1,b1]] B = [[a2,b2]]
numpy.outer(A,B)
array([[a1*a2 , a1*b2][ b1*a2, b1*b2]])
 [[1*4,1*1] [0*4+0*1]]
1 0 4 1...
outer 예시
벡터의 내부 곱한 것을 더해서 값을 표현
첫번째 벡터의 전치와 두번째 벡터와의 Dot 연
산과 같은 결과
318
PYTHON
MATRIX CLASS로
VECTOR 이해하기
Moon Yong Joon
319
벡터 산술연산320
Vector 연산: +
두 벡터 평행 이동해 평행사변형을 만든 후 가운데
벡터가 실제 덧셈한 벡터를 표시
e
d
f
e
d
321
Vector 연산: -
두 벡터 반대 방향으로 평행 이동해 평행사변형을
만든 후 가운데 벡터가 실제 덧셈한 벡터를 표시
e
d
g
-e
-e
322
Vector 연산: 스칼라곱
벡터를 스칼라 곱 만큼 커짐
d
3d
323
벡터 크기324
Vector 크기 계산
벡터의 크기(Magnitude)는 원소들의 제곱을 더
하고 이에 대한 제곱근의 값
벡터의 크기는 x축의 변위와 y축의 변위를 이용
하여 피타고라스 정리
325
vector 내적326
Vector 연산: 내적(dot)
두벡터에 대한 내적(dot) 연산은 같은 위치의 원
소를 곱해서 합산함
327
vector 외적328
Vector 연산: 외적(cross)
두벡터에 대한 외적(cross) 연산은 다른 위치의
원소를 곱해서 뺄셈
2차원 벡터는 array로 나옴 3차원이상으
matrix로 표시 됨
329
행렬
이해하기
Moon Yong Joon
330
행렬이란331
행렬
매트릭스라고도 하는데 행렬의 가로 줄을 행, 세
로 줄을 열로 표시함
332
Diagonal matrix333
대각행렬
정사각행렬 A=(aij)(i, j=1, 2, 3,…, n)의 원소
aij가 aij=0(i≠j)을 만족시키는 행렬
A의 주대각선 위에 있는 원소(대각선원소) aij(i=j)
외의 원소 aij(i≠j)가 모두 0인...
Identity matrix335
항등행렬
모든 행렬과 닷 연산시 자기 자신이 나오게 하는
단위행렬
import numpy as np
a = np.array([[1,0],[0,1]])
b = np.array([[4,1],[3,2]])
print(np.d...
Triangular matrix337
삼각행렬
상삼각 행렬(Upper triangular matrix)
과 하삼각 행렬(lower triangular matrix
)을 총칭하여 일컫는 말.
Upper triangular matrix lower triangu...
행렬 산술연산339
행렬 산술연산
두 행렬의 원소별로 산술연산(+/-/*) 처리
+
-
*
/
=
+
-
*
/
+
-
*
/
+
-
*
/
+
-
*
/
+
-
*
/
+
-
*
/
1 2 3
4 5 6
1 2 3
4 5 6
+ =
1+...
행렬 산술연산 예시
행렬에 대한 산술연식은 각 원소별로 +/-/* 처리
341
행렬의 전치(transpose)342
행렬 전치
전치: 행렬의 행과 열을 서로 바꾸는 것.
수학책에서는 위첨자 T로 행렬 A의 전치를 나타
낸다.













121110
987
654
321
A







...
행렬 전치 예시
python은 기본 속성에서 T 변수를 제공하고
numpy 모듈에서 transpose 함수 제공
344
dot 연산345
dot vs inner 차이점(2차원이상)
Dot와 inner 함수는 계산시 축 기준이 차이가 있어
실제 계산된 값이 다름
dot inner
행과 열로 계산 행과 행으로 계산
행벡터와 열벡터 간의 원소를 곱한후 덧셈 행...
dot 처리 기준 1*p, p*1
두 행렬 A와 B의 행렬곱셈은 행렬 A의 각 행과 행
렬 B의 각 열끼리 곱해서 표시
AB 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 … 𝑎 𝑝 𝑏 𝑝 paaa 21A








...
dot 처리 기준
두 행렬 A와 B의 행렬곱셈은 행렬 A의 각 행과 행
렬 B의 각 열끼리 곱해서 표시
































...
dot : 2차원
A = [[a1,b1],[c1,d1]] B = [[a2,b2],[c2,d2]]
numpy.dot(A,B)
array([[a1*a2 + b1*c2, a1*b2 + b1*d2], [c1*a2 +
d1*c2...
dot 예시
Numpy.dot 메소드 처리
350
행렬식351
행렬식(det)
정방행렬에 하나의 수를 대응시킴으로써,
- 연립방정식의 해를 구하거나,
- 연립방정식 해의 존재성을 살피려고 할 때 쓰여짐
352
행렬식(det) : 2차원
행렬식 구하기
3 1
2 2
det = 3*2 – 1*2
= 4
353
행렬식(det) : 3차원
행렬식을 계산시 앞에 두 열을 뒤에 복사 후 계산
3 1 3 3 1
2 2 3 2 2
1 1 1 1 1
= 3*2*1 – 3*2*1 + 1*3*1 – 3*3*1 + 3*2*1 – 1*2*1
=...
행렬식(det) : 3차원
n
355
minor determinant356
소행렬식 2차원
i번째 행,j번째 열을 제거한 부분행렬의 행렬식 : Mij
2 1
1 2
M11 2
M12
M21
-1
-1
2
1
1
부호 +
부호 –
부호 –
부호 +M22 22
357
소행렬식 3차원
i번째 행,j번째 열을 제거한 부분행렬의 행렬식 : Mij
3 1 3
2 2 3
1 1 1
M11 2*1 -3*1 -1
M12
M13
2*1 -3*1 -1
2*1 -2*1 0
2 3
1 1
2 3
1 1...
소행렬식 예시
소행렬식을 구해서 행렬식 값 비교
359
역행렬360
여인수(cofactor)
소행렬식을 이용한 값을 여인수를 표시
3 1 3
2 2 3
1 1 1
소행렬식 부호 결과값
m11
2 3
1 1
2-3 -1 + -1
m12
2 3
1 1
2-3 -1 - 1
m13
2 2
1 ...
수반행렬(adj) 과 여인수행렬
소행렬식으로 계산된 원소 즉 여인수로 구성된 행렬
의 전치행렬을 수반행렬이라 함
-1 2 -3
1 0 -3
0 -2 4
-1 1 0
2 0 -2
-3 -3 4
T
여인수행렬
의 전치
수반...
역행렬(inv) – 2차원
역행렬은 수반행렬에 행렬식으로 나눗값이 됨
[[ 0.66666667 -0.33333333]
[-0.33333333 0.66666667]]
1/3 *
2 -1
-1 2
역행렬
2 1
1 2
-1...
역행렬(inv) – 3차원
역행렬은 수반행렬에 행렬식으로 나눗값이 됨
[[ 0.5 -1. 1.5]
[-0.5 0. 1.5]
[ 0. 1. -2. ]]
- 0.5 *
-1 2 -3
1 0 -3
0 -2 4
역행렬3 1 3...
역행렬(inv) 예시
역행렬 계산
365
Dot 연산366
Dot 처리 기준
두 행렬 A와 B의 행렬곱셈은 행렬 A의 각 행과 행
렬 B의 각 행끼리 곱한후 덧셈을 하여 표시




























...
dot 행렬
n*m 행렬 일 경우 2차원으로 표시
368
dot 예시 : 2차원
a(2,2) 행렬과 b(2,2)행렬의 마지막 차수가 같으
므로 계산결과는 n*m, m*n = n*n
369
cross product370
cross 계산 방식
A = [[a1,b1],[c1,d1]] B = [[a2,b2],[c2,d2]]
numpy.cross(A,B) = A.T * B
array([[a1*b2 - c1*a2 , b1*d2 – d1*c2])...
Cross 행렬
n*m 행렬 일 경우 2차원으로 표시
372
Inner 연산373
inner 계산 방식
A = [[a1,b1],[c1,d1]] B = [[a2,b2],[c2,d2]]
numpy.inner(A,B)
array([[a1*a2 + b1*b2, a1*c2 + b1*d2], [c1*a2 +
d...
Inner 예시 : 2차원
a(2,2) 행렬과 b(2,2)행렬의 마지막 차수가 같으
므로 계산결과는 out.shape = a.shape[:-1] +
b.shape[:-1]
375
Inner 예시 : 3차원
a(2,3,2) 행렬과 b(2,2)행렬의 마지막 차수가 같
으므로 계산결과는 out.shape = a.shape[:-1] +
b.shape[:-1]
376
outer product377
outer
두개의 벡터를 가지고 벡터 크기를 행과 열로 만드
는 함수
1차원이 이상일 경우 1차원으로 만든 후에 행렬로
만듬
1 0 4 1 1
0
4 1
4 1
0 0
=
2 2 2*2
378
outer: 1
Out는 두개의 벡터에 대한 행렬로 구성
out[i, j] = a[i] * b[j]
379
outer: 2
첫번째 벡터가 행이되고 두번째 벡터가 열이 되
어 5*5행렬을 만듬
380
outer: 3
벡터의 값이 문자일 경우 문자 배수만큼 처리
381
tensordot382
tensordot
Tensordot 함수에 axes를 0으로 줄 경우
tensor product을 연산
383
tensordot
Tensordot 함수에 axes를 0으로 줄 경우
tensor product을 연산
=
1 0
0 1
4 1
2 2
1 0
0 1
4 1
2 2
4 1
2 2
4 1
2 2
4 1
2 2
=
4 2
...
tensordot: 예시 1
2차원 행렬 2개가 만나 4차원 행렬 구성
385
tensordot: 예시 2
axes = 0 tensor product, axes = 1 tensor
dot product, axes = 2 tenser double
contraction 즉 벡터연산
386
대각행렬387
Trace : 3차원 행렬
3차원(2,2,2) 대각행렬의 합은 첫번째 차원의
1과 두번째의 마지막을 합산해서 출력
0
2
1
3
4
6
5
7
0 1
388
trace
대각행렬의 합을 출력
389
PYTHON
MATRIX CLASS로
행렬 이해하기
Moon Yong Joon
390
행렬 이해하기391
행렬
n개의 실수의 순서쌍에 성분별로 덧셈과 실수상수
곱을 주면[2] 이는 "nn차원" 벡터공간이라 할 수 있
고(, 벡터공간에서 벡터공간으로 가는 함수 중 덧셈
과 상수배를 보존하는 함수를 선형사상을 행렬이라
함
392
행렬 생성
Numpy matrix 를 이용해서 행렬 생성
393
행렬 연산하기394
행렬 : 내적 dot(곱셈)
N*M 과 M* N인 행렬에 대한 dot 연산 처리 결과는
M*M으로 나옴
( xij )( yij )=(∑kxikykj​​)
a1 a2
a3 a4
b1 b2
b3 b4
a1*b1+a1*b3 ...
행렬 : dot
행렬에 대한 dot 연산 처리
396
행렬 : 외적cross
행렬에 대한 cross는 동등한 행렬일 경우 연산 처리
397
행렬 : +/-
N*M 과 N*M인 행렬에 대한 +/- 연산 처리 결과는
N*M으로 나옴
a1 a2
a3 a4
b1 b2
b3 b4
a1 +/- b1 a2 +/- b2
a3+/- b3 a4 +/- b4
=
+
/
-
3...
행렬 : +/-
행렬에 대한 +/- 연산 처리
399
행렬 : 상수 배
상수(k) 와 N*M 행렬에 대한 곱은 상수배만큼 증가
함
a1 a2
a3 a4
k* a1 k * a2
k* a3 k* a4
=
k
400
행렬 : 상수 배
행렬에 대한 k 상수만큼 원소별로 곱하는 연산 처리
401
행렬 : 전치(transpose)
N*M 행렬을 M*N을 변환하는 처리
a1 a2
a3 a4
a1 a3
a2 a4
=
T
402
행렬 : 전치(transpose)
N*M 행렬을 M*N을 변환하는 방식은 T변수,
transpose 메소드가 있음
403
matmul
Matrix 타입일 경우 곱셈은 dot 연산과 동일한
결과를 생성함
404
Matmul: 차원계산
N*m, M*n 행렬에 따라 계산이 되지만 1차원인
경우는 행렬 계산을 처리
405
matrix_power
matrix_power는 정방행렬에 대해 dot 연산을
제곱승만큼 계산하는 것
406
matrix_power: 예시
반복적인 dot 연산을 처리
407
PYTHON
NUMPY LINALG
함수 이해하기
Moon Yong Joon
408
Matrix and vector products409
주요 함수
선형대수에 대한 함수들
함수 설명
dot(a, b[, out]) n차원 행렬 n*m m*l에 대한 production(결과는 n*l)
vdot(a, b) Vector에 대한 prodution
inner(a, ...
Decompositions411
주요 함수
선형대수에 대한 함수들
함수 설명
linalg.cholesky(a) Cholesky decomposition.
linalg.qr(a[, mode]) Compute the qr factorization of a...
Matrix eigenvalues413
주요 함수
선형대수에 대한 함수들
함수 설명
linalg.eig(a) Compute the eigenvalues and right eigenvectors of a square array.
linalg.eigh(a[, U...
Norms and other numbers415
주요 함수
선형대수에 대한 함수들
함수 설명
linalg.norm(x[, ord, axis, keepdims]) Matrix or vector norm.
linalg.cond(x[, p]) Compute the cond...
Solving equations and
inverting matrices
417
주요 함수
선형대수에 대한 함수들
함수 설명
linalg.solve(a, b) Solve a linear matrix equation, or system of linear scalar equations.
linalg.t...
4.관계
기초
Moon Yong Joon
419
관계 기초
Moon Yong Joon
420
관계421
관계
집합론에서 관계(關係)는 "자연수 a가 b보다 작
다"와 같이 두 개의 대상으로 이루어진 튜플 사이
에 정의된 이항관계를 일반화한 것으로, 주어진
n-튜플에 대해 진리값을 부여한다.
앞의 경우와 같이 두 대상 사이...
관계 정의
a 는 b 에 대해 R 의 관계가 있음은 두 집합 A, B 에
대하여 A 에서 B 로의 이항관계(binary relation)가
AxB의 부분집합일 때 a∈A 이고 b∈B 인 (a, b)∈R ,
a Rb 로 ...
관계표현424
관계 표현 : 화살도표
화살도표(arrow diagram) 는 두 집합 A, B 가 있을 때 집
합 A 의 원소 a 와 집합 B 의 원소 b 사이에 관계가 성립
하는 경우 그 관계를 화살표로 그려서 나타내는 방법
425
관계 표현 : 좌표도표
좌표도표(coordinate diagram)는두 집합 A, B 가 있
을 때 집합 A 의 원소 a 를 x 축 위의 점으로 표시하
고, 집합 B 의 원소 b 를 y 축 위의 점으로 표시하여
두 점이...
관계 표현 : 관계행렬
관계행렬(relation matrix)은 두 집합 A, B 에 대
한 관계를 행렬로 표현한 방법. 행렬 안의 모든 원
소들이 0 또는 1인 행렬을 부울행렬(boolean
matrix)이라고 함
4...
관계 표현 : 방향그래프
방향그래프(directed graph)는 집합 A의 관계에 대한 방향
그래프를 그리고자 할 때 먼저 A의 원소들을 나타내는 정점
(vertex)을 그리고, 원소 (a, b)가 관계에 속하면 a에...
관계의 종류429
관계 종류: 1
1) 반사적 관계: 관계 R을 구성하는 집합 A에 대
해서 a ∈ A에 대해 (a,a) ∈ R이라면 관계 R은 반
사적 관계가 된다.
예) A = {a, b, c}
R은 (a,a), (b,b), (c,c...
관계 종류: 2
3) 대칭적 관계: 관계 R을 구성하는 집합 A에 대
해서 a, b ∈ A에 대해 (a,b) ∈ R이고 (b,a) ∈ R
이라면 관계 R은 대칭적 관계가 된다.
예) A = {a, b, c}
R에 (a,...
관계 종류: 3
4) 반대칭적 관계: 관계 R을 구성하는 집합 A에 대해서 a,
b ∈ A에 대해 (a,b) ∈ R, (b,a) ∈ R이고 a와 b가 같지 않
은 쌍이 한개이상 존재 하지 않을 경우
예) A = {a, ...
관계 종류: 4
6) 동치 관계: 반사적, 대칭적, 추이적인 이항 관
계를 뜻한다. 즉, 어떤 집합 X과 관계 ~이 있을 때,
임의의 원소 a, b, c에 대해
반사관계: a ~ a
대칭관계: a ~ b => b ~ a...
PYTHON
RELATION/SEQUENCE
(TUPLE)
DATA TYPE
434
Sequence : Tuple Type435
Sequence - Tuple 기본 처리
tuple타입에 immutable 타입으로 내부 원소에 대해
갱신이 불가능하여 리스트처리보다 제한적
Slicing은 String 처럼 처리가능
Python Expression R...
Sequence- Tuple 용 내장함수
내장함수 중에 tuple 타입을 처리
Function Description
cmp(tuple1, tuple2) Compares elements of both tuples.
len...
Tuple 속성처리
Tuple 내부 속성은 동일한 원소수(count), 특정
값에 대한 위치(index)를 처리만 함
438
동일 객체 처리439
Tuple : 동일한 객체 처리
Tuple 을 동일한 객체로 처리하려면 별명을 사용
하거나 변수에 할당된 tuple을 copy 처리해야 동
일한 객체를 리턴함
list 특성을 가지고
있어 리터럴도 튜플
초기화시 다른 객...
Tuple 처리 이슈441
Tuple 내의 mutable 사용
내장 타입 tuple은 immutable 이지만 원소가
mutable일 경우 값이 변경 가능함. 단, 객체는 변
경되지 않음
442
5.그래프
기초
Moon Yong Joon
443
그래프 기초
Moon Yong Joon
444
그래프445
그래프(Graph)
점을 선으로 연결한 것이다. 그래프 G는 꼭짓점
(vertex or node)들의 집합 V와 변(edge or line)
들의 집합 E로 이루어졌다.
집합 V : 공집합이 아닌 정점(vertex)들의...
그래프(Graph) : 예시
집합 V, 집합 E의 그래프를 그리면 아래와 같다
447
인접(adjacent)
인접(adjacent)은 무방향 그래프에서 정점 a, b에
대하여 간선(a,b)가 있으면, 정점 a 는 정점
b에 인접(adjacent)하다고 한다
448
차수449
차수(Degree)
각 정점에 연결된 간선의 수로 정점 v의 차수를
deg(v)로 표시하고 loop가 발생시 카운트는 2로
함
450
전체 차수
그래프 G 의 정점의 수가 n 개, 에지의 수가 e 개
면 아래의 산식으로 계산
451
경로와 길이452
경로와 길이
경로(Path) : 정점과 에지의 연속으로 구성된 형
태
길이(length): 경로를 구성하는 에지의 개수
닫혀있다(closed) : 어떤 경로의 처음과 끝의 정
점이 같은 경우
순환(cycle): 닫혀있는...
무방향 그래프454
무향(무방향)그래프
방향이 없으면 무방향 그래프(undirected graph)
455
무방향 그래프 표기법
구성요소는 정점, 간선, 매핑으로 구성한다
456
무방향성
무향(무방향)그래프 표기 예시
주어진 그래프를 G 라고 하자. 그래프 G 는 무방향
그래프다.
457
그래프 표현
Moon Yong Joon
458
방향 그래프459
유향(방향)그래프
digraph/ directed graph (유향그래프)유향그
래프란 그것의 각 변이 방향을 갖고 있는 그래프
를 의미한다.
460
유향변(arc)
유향그래프란 V라는 유한 집합과 원소들이 V의 원
소들로 이루어진 순서쌍들인 집합 A로 이루어진 순
서쌍 (V,A)를 의미한다. V의 원소들을 꼭지점
(vertex)이라 부르고 A의 원소들을 유향변(ar...
무방향 그래프 표기법
구성요소는 정점, 간선, 매핑으로 구성한다
462
방향성
유향(방향)그래프 표기 예시
주어진 그래프를 H 라고 하자. 그래프 H 는 방향
그래프므로 에지 순서에 유의해야 한다.
463
그래프의 완전성464
완전그래프
임의의 두 꼭짓점이 모두 단 하나의 변으로 연결된
그래프를 완전(complete) 그래프
465
완전그래프의 간선 수 계산
정점이 3개인 그래프는 간선의 최대 갯수가 3개,
정점이 4개인 그래프는 간선의 최대 개수는 6개이
다.
466
부분그래프
부분 그래프(subgraph 서브그래프)는 어떤 그래프
의 꼭짓점과 변 가운데 일부로 이루어진 그래프이
다.
467
G1, G2, G3 모두 G의 부분 그래프이다.
유도된 그래프
부분그래프가 주어질 경우 정점집합과 간선집합이
주어졌을 때 그 그래프 내에서 유도된 그래프
468
G1, G2, G3 모두 G의 부분 그래프이다.
G1 은 변 26을 포함하지 않으므로 유도 부분 그래프가 ...
그래프의 행렬표현469
인접행렬
인접 행렬(adjacency matrix)은 그래프 G = (V,E),
|V| = n(≥1)일 때 그래프를 이차원 행열에 다음과
같이 저장하는 방법이다.
adj_mat[i][j] =
“1” if (vi, vj)...
인접행렬 예시 : 무방향 그래프
무방향 그래프는 대칭행렬로 표현됨
471
방향 그래프는 연결된 시작점에서 연결된 종착점만 표
시하는 행렬로 표현
472
인접행렬 예시 : 방향 그래프
6.삼각함수
기초
Moon Yong Joon
473
삼각함수 기초
Moon Yong Joon
474
각의 종류475
각의 종류
각은 두 선상의 사이를 말하며, 이 각에는 예각,
직각, 둔각 등이 종류가 있음
476
직각삼각형 기본477
직각 삼각형을 이용
삼각형이 존재할 경우 총 각이 합은 180도 이고
각 A의 값을 삼각비로 구할 수 있다
A
sin(각도) 의 값은 빗변분에
높이 즉 b/c
cos(각도) 의 값은 빗변분에
높이 즉 a/c
tan(각도...
직각삼각형 예시479
삼각형을 이용 : 빗변 구하기
밑변과 높이를 알면 피타고라스 정리에 따라 빗
변을 구할 수 있다.
480
삼각형을 이용 : 높이와 밑변
하나의 각과 빗변을 알고 있을 경우 빗변*sin()으
로 높이, 빗변*cos()으로 밑변을 구하기
481
피타고라스 정리482
피타고라스 정리 이용하기
밑변의 제곱과 높이이 제곱은 빗변의 제곱과 동
일
A 대신 rcosø
B 대신 rsinø
r값을 1로 전환하면
483
피타고라스 정리
밑변 3, 높이 4 일 경우 빗변은 5가 됨
484
삼각함수
(원이용)
Moon Yong Joon
485
원을 이용한 삼각함수486
원을 이용한 삼각함수 정의
xy 좌표평면에서 반지름의 길이가 r인 원을 그리
고 임의의 점을 P일 경우 OP가 이루는 각에 대해
한가지 값을 결정
반지름이 1인 경우
487
원을 이용한 정의 예시
선분은 sqrt(3**2 + 4**2)=5가 나오고 이를 이
용해서 각 ø 에 대한 삼각함수 값을 하나로 산출
488
삼각함수 표489
삼각함수 표
x축은 반지름*코사인 각도, Y축은 반지름*사인
각도로 원위의 점의 좌표를 알 수 있음
490
RADIAN & DEGREE
Moon Yong Joon
491
degrees/radians 이해492
degrees와 radians 변환 기준
단위원을 이용하여 degrees와 radians 변환
Degrees와 Radians 변환 규칙
493
degree와 radian 변환494
degrees와 radians
2π는 360도, 1radian은 57.3도
495
degrees와 radians: 변환
90, pi/2를 변환해보면 아래와 같다
496
radians <-> degrees : numpy
np.deg2rad, np.rad2deg를 이용해서 radians
또는 degree로 전환
Π와 180도에 대한 값 전환
497
radians -> degrees : numpy
np.degrees를 이용해서 radians 값을 degree
로 전환
np.degrees(radian, 출력)
498
degrees-> radians : numpy
np.radians를 이용해서 degree 값을 radian로
전환
np.radians(radian, 출력)
499
기본 삼각함수
Moon Yong Joon
500
cosine501
cosine 그래프
수평선의 길이를 코사인 값을 표시.
502
cosine 그래프
수평선의 길이를 코사인 값을 표시.
503
cosine 그래프 : numpy
수평선의 길이를 코사인 값을 표시.
504
cosine 그래프
수평선의 길이를 코사인 값을 표시.
505
sine506
sine함수
sine 함수에 radians을 넣어 값을 계산
507
sine 그래프
수직선의 길이를 코사인 값을 표시.
508
sine 그래프 : numpy
수직선의 길이를 코사인 값을 표시.
509
sine 그래프
수평선의 길이를 사인 값을 표시.
510
tangent511
tan 함수
tangent 함수에 radians을 넣어 값을 계산
512
tangent 그래프
수직선의 길이를 tan 값을 표시.
513
tangent 그래프 : numpy
수직선의 길이를 tan 값을 표시.
514
tangent 그래프
수직선의 길이를 tan 값을 표시.
515
삼각함수
각의 변환
Moon Yong Joon
516
각의 변환517
각의 변화를 알아보기
각은 n*π/2 + θ 또는 90n + θ으로 변환해서
각의 위치에 따라 삼각함수를 변환
1. 나오는 각을 n*π/2 + θ 또는 90n + θ, 이때 n은
정수 이면 0< θ < π/2 , 0 <...
삼각함수 사분면 부호
삼각함수의 사분면 위치에 따른 결과 값에 대한
부호 표시
519
각의 변화 : 짝수
각은 n*π/2 + θ 또는 90n + θ에서 n이 짝수일
때는 부호만 변함
n=0, 동일함수, 4사분면 n=2, 동일 함수, 2사분면
sin(-x) = -sin(x) sin(π -x) = sin(x...
각의 변화 : 짝수예시
각은 n*π/2 + θ 또는 90n + θ에서 n이 짝수일
때는 부호만 변함
521
각의 변화 : 홀수
각은 n*π/2 + θ 또는 90n + θ으로 n이 홀수일
경우 삼각함수가 변함
n=1, 다른 함수, 1사분면 n=3, 동일 함수, 3사분면
sin(π/2 -x) = cos(x) sin(3π/2 -x...
각의 변화 : 홀수 예시
각은 n*π/2 + θ 또는 90n + θ으로 n이 홀수일
경우 삼각함수가 변함
523
π/2 :예각524
삼각함수 변화 : π/2
각 A가 120도 일 경우는 π/2(90)+30의 값을
가지므로 sin일 경우 cos, cos일 경우는 –sin 으
로 바뀜
r
a
b A=120도
B=30도
525
삼각함수의 변형 : 90도 이내
직각 삼각형의 성질을 이용하면 직각을 빼면 나머지
각이 90도인 것을 감안하면, 각 B를 기준을 sin 함수
의 결과는 각 A를 기준으로 cos 함수 결과와 동일
A
B
cos(A) = ...
삼각함수의 변형 예시
π/2 – 예각에 대한 삼각함수 계산
527
삼각함수의 변형 : 180도 이내
180도 이내의 각으로 삼각함수를 계산할 경우
90도 + 나머지 각으로 삼각함수를 계산할 수 있
음
r
a
b A=120도
B=30도
sin(A) = cos(B) = b/r
cos(A)...
삼각함수의 변형 예시
π/2 + 예각에 대한 삼각함수 계산
529
π 와 예각 연산530
Sin 주기 변화
sin 그래프의 주기적인 pi 와 2pi 배수 단위로
동일한 값을 처리 성질을 이용
531
cos 주기 변화
cos 그래프의 pi 와 2pi 배수 단위로 동일한 값
을 처리 성질을 이용
532
삼각함수 변화 : π - 예각
180도 이내의 각으로 삼각함수를 계산할 경우
각 B에 대해 계산하는 것과 동일
r
a
b
B=30도
sin(π-B) = sin(B) = b/r
cos(π-B) = - cos(B) = - ...
삼각함수 변화 : π + 예각
각 A가 120도 일 경우는 π(180)+30의 값을 가
지므로 sin일 경우 sin, cos일 경우는 –cos 으로
바뀜
r
a
b
A=210도
B=30도
534
2π 와 예각 연산535
삼각함수 변화 : 2π -
각 A가 360도 일 경우는 2π(360)-30의 값을
가지므로 sin일 경우 -sin, cos일 경우는 –cos 으
로 바뀜
r
a
b
A=360도
B=30도
536
삼각함수 변화 : 2π +
삼각함수가 2 π 단위로 변경시는 항상 기존 예
각을 구하는 것도 동일한 값을 같는다.
r
a
bA=360도
B=30도
537
삼각함수
덧셈과 뺄셈공식
Moon Yong Joon
538
Sin 함수의 덧셈539
Sin 함수 덧셈
두개의 각을 sin으로 덧셈을 할 경우 sin함수별
로 덧셈과는 차이가 발생
r
a
b
t
s
sin(α+ β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)
= a/r * b/s + b/r...
Sin 함수 덧셈 예시
sin 함수 두개의 각을 더할 경우 아래의 공식으
로 계산
541
Sin 함수의 뺄셈542
Sin 함수 뺄셈 예시
sin 함수 두개의 각을 뺄 경우 아래의 공식으로
계산
Cos 90이 0값이 아니라도 아
주 작은 값이라 무시
543
cos 함수의 덧셈/뺄셈544
cos함수 덧셈 예시
cos 함수 두개의 각을 더할 경우 아래의 공식으
로 계산
545
cos함수 뺄셈 예시
cos 함수 두개의 각을 뺄 경우 아래의 공식으로
계산
546
역수
Moon Yong Joon
547
역수548
역수
어떤 수의 역수(逆數, 영어: reciprocal) 또는 곱셈 역원(-
逆元, 영어: multiplicative inverse)은 그 수와 곱해서 1,
즉 곱셈 항등원이 되는 수를 말한다. x의 역수는 1/x
또는...
역수 구하기550
역수 구하기
Python에는 역수에 대한 함수가 없어 역수 공식
에 따라 계산
551
삼각함수*역수 = 1
삼각함수 * 역수 = 1인지 확인
552
역삼각함수
Moon Yong Joon
553
역함수 사용하기554
역함수
함수의 정의역과 치역을 바꾸서 함수를 만드는
것을 역함수라고 함
555
삼각함수의 역함수
삼각함수의 역함수가 역삼각함수
이름 표기법 정의 정의역 치역
아크사인 y = arcsin x 또는 y = sin-1 x x = sin y −1부터 +1 −π/2 ≤ y ≤ π/2
아크코사인 y = ar...
arcsine557
arcsine
삼각함수의 역함수가 역삼각함수
이름 표기법 정의 정의역 치역
아크사인 y = arcsin x 또는 y = sin-1 x x = sin y −1부터 +1 −π/2 ≤ y ≤ π/2
558
arcsine : numpy
삼각함수의 역함수가 역삼각함수
이름 표기법 정의 정의역 치역
아크사인 y = arcsin x 또는 y = sin-1 x x = sin y −1부터 +1 −π/2 ≤ y ≤ π/2
559
arcsine : numpy 그래프
삼각함수의 역함수가 역삼각함수
560
arccosine561
arccosine : numpy
삼각함수의 역함수가 역삼각함수
이름 표기법 정의 정의역 치역
아크코사인 y = arccos x 또는 y = cos-1 x x = cos y −1부터 +1 0 ≤ y ≤ π
562
arccosine : numpy 그래프
삼각함수의 역함수가 역삼각함수
563
arctangent564
삼각함수의 역함수
삼각함수의 역함수가 역삼각함수
이름 표기법 정의 정의역 치역
아크탄젠트 y = arctan x 또는 y = tan-1 x x = tan y 모든 실수 −π/2 < y < π/2
565
PYTHON
SYMPY
삼각함수
기초
Moon Yong Joon
566
삼각함수567
Sin 함수 처리
sin 함수 두개의 각을 더할 경우 아래의 공식으
로 계산
568
Sin 함수 뺄셈 예시
sin 함수 두개의 각을 뺄 경우 아래의 공식으로
계산
569
7.지수
/로그
기초
Moon Yong Joon
570
지수함수 기초
Moon Yong Joon
571
지수 함수572
지수 함수란?
x에 대한 지수함수(exponential function).
a>0 커야 실수 값으로 처리되며 a=1일 경우 항
상 1인 상수가 됨
임의의 실수 x에 대해 함수
573
임의의 실수 x에 대해
y = ex
5의 지수는 e5이고 약 148.413과 같습니다
자연지수함수
ex에서 e는 약 2.71828인 자연 로그의 밑이고,
x는 입력하는 값으로 구성된 함수
574
지수함수 그래프
지수함수는 a>0 크면 우상향 그래프 0<a<1 이
면 우하향 그래프가 됨
575
지수 법칙576
지수 법칙
동일한 상수의 곱일 경우 지수는 덧셈, 동일한
상수의 제곱에 제곱은 지수끼리 곱셈 처리
* =1
역수
577
지수 법칙: 거듭제곱의 곱
동일한 밑에 대한 거듭제곱에 대한 곱셈은 지수
간의 덧셈과 동일
578
지수 법칙: 거듭제곱의 거듭제곱
동일한 밑에 대한 거듭제곱의 거듭제곱은 지수
간의 곱셈처리
579
지수 법칙 :python 예시580
지수 법칙 : exp
자연로그에 대한 제곱승 계산
581
지수 법칙 : exp 그래프
복리 이자, 방사선 감소 또는 모집단 성장과 같
이 일정한 지수 요인에 의해 증가 또는 감소하는
양을 모형화하는 데 자주 사용
582
로그함수 기초
Moon Yong Joon
583
로그함수란584
로그함수 정의
어떤 수를 나타내기 위해 고정된 밑을 몇 번 곱하
여야 하는지를 나타내는 함수이면서
지수함수의 역함수가 로그함수
585
로그함수 규칙
밑과 진수, 로그함수의 관계
586
상용로그
밑(Base)이 10 인 로그를 상용로그(상용대수:
Common Logarithm)라고 함
587
상용로그 : log10
밑(Base)이 10 인 로그를 상용로그(상용대수:
Common Logarithm)라고 함
588
자연로그
밑이 e (오일러 상수: 약 2.718) 인 로그를 자연
로그(자연대수: Natural Logarithm)
정의
기초성질
589
자연로그 : log
밑이 e (오일러 상수: 약 2.718) 인 로그를 자연
로그(자연대수: Natural Logarithm)
590
로그함수 성질591
로그함수의 성질 1
로그의 진수가 1인 경우 는 0, 로그의 진수와 밑
이 같으면 1
양변에 밑을 a로 하는 log
로 곱하면
=
592
로그함수의 성질1 : 예시
Numpy.log10는 상용로그, numpy.log는 자연
로그로 처리
593
로그함수의 성질 2 : 지수의 곱
로그의 진수가 M*N일 경우 log의 덧셈으로 분리
log100 = log10+log10 = 2
594
로그함수의 성질 2: 지수의 나누기
로그의 진수가 M/N일 경우 log의 나누기으로 분
리
log100/100= log100- log100 = 1
ax =M, ay = N
이면
595
로그함수의 성질 2: 상수 배
로그의 진수가 M*N일 경우 log의 상수배를 밖으
로 분리
log10**2= 2 log10 = 2
596
로그함수의 성질 2 : 예시
Numpy.log10으로 사용로그를 처리
597
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  1. 1. PYTHON MATHEMATICS 이해하기 Moon Yong Joon 1
  2. 2. 1. 대수 기초 2.함수 기초 3. 선형대수 기초 4.관계 기초 목차 2
  3. 3. 5. 그래프 기초 6. 삼각함수 7. 지수/로그 기초 8. 수열 기초 목차 3
  4. 4. 9. 집합 기초 10. 미분/적분 기초 11. 확률과 통계 기초 목차 4
  5. 5. 1.대수 기초 Moon Yong Joon 5
  6. 6. 주요 기호 Moon Yong Joon 6
  7. 7. 그리스 문자 Α/α(알파) Β/β(베타) Γ/γ(감마) Δ/δ(델타) Ε/ε(엡실론) Ζ/ζ(제타) Η/η(에타) Θ/θ(쎄타) Ι/ι(요타) Κ/κ(카파) Λ/λ(람다) Μ/μ(뮤) Ν/ν(뉴) Ξ/ξ(크시) Ο/ο(오미크론) Π/π(피) Ρ/ρ(로우) Σ/σ(씨그마) Τ/τ(타우) Υ/υ(윕실론) Φ/φ(휘) Χ/χ(키 또는 카이) Ψ/ψ(프시) Ω/ω(오메가) 7
  8. 8. 집합기호 8
  9. 9. 명제기호 9
  10. 10. 수 Moon Yong Joon 10
  11. 11. 수11
  12. 12. 수 자연수, 정수, 유리수, 무리수, 실수로 확장되는 수의 관계 12
  13. 13. 정수13
  14. 14. 정수 정수(整數, integer)는 자연수(1, 2, 3, ...)와 이들 의 음수(−1, −2, −3, ...)와 0으로 이루어진 수 체계이다. 정수는 자연수와 마찬가지로 가산 무 한 집합이며, 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대하여 닫혀 있 어 환을 이룬다. 14
  15. 15. 유리수15
  16. 16. 유리수 유리수(有理數, rational number)는 두 정수의 분수 형태(단 분모는 반드시 0이 아니다)로 나타 낼 수 있는 실수를 말한다. 유리수는 (0으로 나누는 것을 제외한) 사칙연산 (덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈)에 대해 닫혀있는 '최소 의' 집합이기도 하다 16
  17. 17. 무리수17
  18. 18. 무리수 무리수(無理數, irrational number)는 두 정수의 비의 형태로 나타낼 수 없는 실수를 말한다. 즉, 분수로 나타낼수없는 소수이다. 18
  19. 19. 실수19
  20. 20. 실수 실수 [實數, real number] 정수의 몫으로 정의되 는 유리수의 범위에서는 대소의 순서를 정할 수 있으며, 사칙연산을 자유로이 할 수 있다. 그러나 이 범위에서는 역시 불완전한 점이 많다. 이를테면, 단위의 길이를 가지는 정사각형의 대 각선의 길이(x=2의 근)는 유리수로 나타낼 수 없 다. 이와 같은 결함을 보완하기 위하여 유리수에 무 리수를 첨가하여 수의 범위를 실수까지 확장한 것이다. 20
  21. 21. 복소수21
  22. 22. 복소수 복소수(複素數, complex number)는 다음 꼴로 나타낼 수 있는 수 이다. a+bi 이 때 a, b는 실수이고 i는 허수단위로 i2=-1을 만족한다. 실수 a를 그 복소수의 실수부, 실수 b 를 복소수의 허수부라고 부른다. 모든 실수는 복소수에 포함된다. 왜냐하면 모든 실수는 허수부가 0인 복소수로 표시할 수 있기 때 문이다. 22
  23. 23. 복소수 연산 복소수(複素數, complex number)는 다음 꼴로 23 나눗셈
  24. 24. 항등원,역수24
  25. 25. 항등원 항등원(恒等元)은 집합의 어떤 원소와 연산을 취 해도, 자기 자신이 되는 원소를 말한다. 쉽게 말해 서, 1개의 양을 전혀 달라 보이는 다른 양과 같게 만드는 수학적 관계를 말한다고 생각하면 된다. 25
  26. 26. 반수: 덧셈 반수(反數)는 그 수를 더했을 때 0이 되는 수를 말 한다. 예를 들면 7의 경우 -7에 7을 더하면 0이 되므로 7의 반수는 -7이다. 다르게 말하면 어떤 양수 n의 반수는 그와 절댓값 이 같은 음수라고 할 수 있으며 그 역도 성립한다. 정수, 유리수, 실수, 복소수는 음수가 있기 때문에 모두 반수가 있다. 26
  27. 27. 역수 : 곱셈 어떤 수의 역수(逆數,reciprocal) 또는 곱셈 역원 (-逆元, 영어: multiplicative inverse)은 그 수와 곱해서 1, 즉 곱셈 항등원이 되는 수를 말한다. x의 역수는 1/x 또는 x -1로 표기한다. 곱해서 1이 되는 두 수를 서로 역수 27
  28. 28. 절대값28
  29. 29. 절댓값은 거리의 개념이므로 반드시 0또는 양수이어야하며, 만약 실수 a가 음수라면, a에 (-1)을 곱해 양수화 절대값 absolute value 어떤 실수 a를 수직선에 대응시켰을 때, 수직선의 원점에서 실수 a까지의 거리를 의미한다. 이것을 기호로 |a|로 표시. 29
  30. 30. 비율30
  31. 31. 비율 비(比, ratio)는 어떤 수가 다른 한 수의 몇 배인지 를 나타내는 관계이다. 이 배수를 비율(比率, ratio)이라고 한다. 원주율 원의 지름에 대한 원주의 비율. 백분율 수를 100과의 비로 나타내는 것. 31
  32. 32. PYTHON SYMPY 수, 심벌, 전개식, 해 구하기 처리 Moon Yong Joon 32
  33. 33. Symbolic mathematics33
  34. 34. sympy 모듈 이란 SymPy는 symbolic mathematics을위한 python 라이브러리입니다. SymPy는 가능한 한 간단하게 코드를 유지하는 것은 이해하기 쉽게 확장 할 수있는 a full- featured computer algebra system (CAS)처리 34
  35. 35. sympy 구조 SymPy는 symbolic mathematics를 처리하기 위 해 다양한 객체들로 구성해서 평가해 수학처럼 문제를 푸는 체계 35 Sympy는 정의한 것은 pi도 하나의 인스턴스 객체 이므 로 이 값을 처리를 위해서는 평가(evalf)를 해야 함
  36. 36. sympy 객체 Sympy객체를 변수에 할당해서 사용하지만 별도 의 객체로 역할 함 36 Symbol로 정의할 때 들어간 문자열의 실 제 name이고 할당 된 참조변수는 symbol 객체가 할당 된 변수라 이름이 달 라도 됨
  37. 37. Symbol 객체 이해37
  38. 38. sympy 구조 SymPy는 symbolic mathematics를 처리하기 위 해 다양한 객체들로 구성되며 이를 평가해 수학 처럼 문제를 푸는 체계 38 Sympy는 정의한 것은 pi도 하나의 인스턴스 객체 이므 로 이 값을 처리를 위해서는 평가(evalf)를 해야 함
  39. 39. 수 타입 체계39
  40. 40. 정수 : sympy 정수(整數, integer)는 자연수(1, 2, 3, ...)와 이들 의 음수(−1, −2, −3, ...)와 0으로 이루어진 수 체계이다. 40
  41. 41. 유리수 : sympy 유리수(有理數, rational number)를 분자(p)와 분모(q)로 관리 41
  42. 42. 실수 1 : sympy 실수 [實數, real number] 42
  43. 43. 실수 2 : sympy Sympify로 sympy 숫자 타입을 확인 43
  44. 44. 복소수 : sympy Sympify로 sympy 숫자 타입을 확인 44
  45. 45. 무한대 처리45
  46. 46. 무한대/pi를 심벌 처리 sympy는 oo로 무한대, pi로 파이 상수를 관리 46
  47. 47. Sympy symbol 정의47
  48. 48. symbol 처리 Sympy 는 명확히 수학적인 심벌을 표시 x = Symbol(’x’)는 심벌을 하나 정의 a, b, c = symbols(’a, b, c’)는 심벌을 여러 개 정의 48
  49. 49. symbol 처리 : 변수에 타입주기 symbols 정의시 이 변수에 들어갈 데이터 타입 을 부여할 수 있음 49
  50. 50. symbol 처리 : 함수명 symbols 정의시 cls 파라미터에 Function을 부 여하면 함수 변수가 됨 50
  51. 51. 전개식 처리51
  52. 52. expand 메소드 : 전개식 처리 표현식도 별도의 타입을 가지므로 expand메소 드를 사용하면 표현식이 전개됨 52
  53. 53. expand 함수 : 전개식 처리 표현식도 별도의 타입을 가지므로 expand메소 드를 사용하면 표현식이 전개됨 53 곱셈 전개시 동일 항에 대한 곱셈부 분도 전개가 필요 하며 force=True 처리
  54. 54. 해 구하기54
  55. 55. Solve 함수 : 해 구하기 표현식을 solve 함수에 넣으면 해를 구해 줌 55
  56. 56. PYTHON NUMBER DATA TYPE Moon Yong Joon 56
  57. 57. Numeric Type57
  58. 58. 숫자타입 숫자에 대한 객체를 관리하는 데이터 타입 Numberic Types int float long(2.x) complex 숫자타입도 하나의 객체이므로 1 이 생성 되면 동일한 context 내에서는 동일한 객체 id를 가지고 사용 58
  59. 59. 숫자타입 – 기본 연산자 및 함수 숫자 타입에 기본으로 처리 되는 함수, operator Operation Result Notes x + y sum of x and y x - y difference of x and y x * y product of x and y x / y quotient of x and y x // y (floored) quotient of x and y x % y remainder of x / y -x x negated +x x unchanged abs(x) absolute value or magnitude of x int(x) x converted to integer long(x) x converted to long integer float(x) x converted to floating point complex(re,im) a complex number with real part re, imaginary part im. im defaults to zero. c.conjugate() conjugate of the complex number c divmod(x, y) the pair (x // y, x % y) pow(x, y) x to the power y x ** y x to the power y 59
  60. 60. Numeric Type(int)60
  61. 61. 숫자타입 - int int 타입 내의 operator 처리 내장 메소드 및 속 성들 61
  62. 62. 숫자타입 – int 예시 int 내부 속성에 대한 처리 real : int는 숫자를 관리하고 bit_length() : 이진수로 변환시 bit 길이 denominator : 분모 numerator : 분자 62
  63. 63. 숫자타입 – long 타입 python3버전에서는 통합되어 관리 Notes Python 2 Python 3 ① x = 1000000000000L x = 1000000000000 ② x = 0xFFFFFFFFFFFFL x = 0xFFFFFFFFFFFF ③ long(x) int(x) ④ type(x) is long type(x) is int ⑤ isinstance(x, long) isinstance(x, int) 63
  64. 64. Numeric Type(float)64
  65. 65. 숫자타입 - float float 타입 내의 operator 처리 내장 메소드 및 속성들 65
  66. 66. 숫자타입 – float 예시 float 내부 속성에 대한 처리 • real : float는 숫자를 관리하고 • hex() : 16진수로 변환 • fromhex() : hex() 결과의 문자 열을 float로 전환 • is_integer() : 실수 중 소수점 이 하 값이 0일 경우 true • as_integer_ratio() : 현재 값을 denominator : 분모, numerator : 분자로 표시 66
  67. 67. Numeric Type(complex)67
  68. 68. 숫자타입 - complex float 타입 내의 operator 처리 내장 메소드 및 속성들 68
  69. 69. 숫자타입 – complex 예시 complex 내부 속성에 대한 처리 • real : float는 숫자를 관리하고 • imag: 허수부문 • conjugate () : 켤레복소수 구 하기 69
  70. 70. 분수계산하기70
  71. 71. 숫자타입 – fractions 표시 fractions 모듈을 이용해서 분수를 계산. Float 타입과 계산시에는 float 타입으로 전환 됨 71
  72. 72. 숫자타입 – fractions 연산 fractions 모듈을 이용해서 분수를 계산. Float 타입과 계산시에는 float 타입으로 전환 됨 72
  73. 73. 거듭제곱 /제곱근 Moon Yong Joon 73
  74. 74. 거듭제곱74
  75. 75. 거듭제곱 거듭제곱은 이항 연산으로, 하나의 수를 여러 번 곱하는 연산을 의미한다. 기호로는 an 으로 표기 하며, 이때 a를 밑, n을 지수라고 한다. 75
  76. 76. 거듭제곱의 지수 표현 거듭제곱은 지수가 음수이면 기존 거듭제곱이 역 수가 되가 분수인 경우는 제곱근 표현이 됨 지수가 음수인 경우 지수가 분수인 경우 76
  77. 77. 거듭제곱의 성질 거듭제곱은 반복적인 곱하기와 나누기 처리를 하 므로 아래의 성질을 준수 77
  78. 78. 제곱근78
  79. 79. 제곱근 x의 제곱근(제곱根)은 제곱하여 x가 되는 실수를 가리키며, 특히 이 가운데 양의 제곱근을 sqrt(x) 라고 표기하고 "제곱근 x"(루트 x)라고 읽는다. 79
  80. 80. 제곱근의 지수 표현 제곱근 x를 수치적인 표현으로는 지수 표현을 분 수식으로 나타내면 됨 x1/2로 표현 80
  81. 81. 일반적으로 실수 x에 대하여 값이 부호는 +/-를 가짐 제곱근의 부호 표현 제곱근의 부호 81
  82. 82. 제곱근 x에 대한 수의 성질 제곱근의 값 표현 제곱근의 표현 제곱근의 값 자연수 x에 대해 결과값 은 자연수이거나 무리수이 다 음이 아닌 실수 x가 제곱 근 내부의 제곱은 x가 됨 82
  83. 83. 제곱근 두수 x,y에 대한 곱셈과 나눗셈 처리 방식 제곱근의 성질 제곱근의 곱셈 제곱근의 나눗셈 83
  84. 84. PYTHON 거듭제곱 /제곱근 Moon Yong Joon 84
  85. 85. 거듭제곱85
  86. 86. 밑 a, 지수 b에 대한 거듭 제곱을 구하는 것은 math.pow 함수와 연사자 **를 사용 거듭제곱 86
  87. 87. 제곱근87
  88. 88. 밑a이고 지수가 b일 경우 math.sqrt함수는 root2에 대한 값만 처리 하므로 **/pow에서 분 수를 이용해서 제곱근을 구함 제곱근 88
  89. 89. 기수법 Moon Yong Joon 89
  90. 90. 기수법90
  91. 91. 기수법 기수법(記數法, numeral system)은 수를 시각적으 로 나타내는 방법으로, 기수법을 통해서 나타나는 각 각의 숫자는 다른 수들과 구별되는 표기 방식을 가진 다. 91
  92. 92. 진법92
  93. 93. 이진법 이진법(二進法, binary)은 두 개의 숫자만을 이용 하는 기수법이다. 관습적으로 0과 1의 기호를 쓰 며 이들로 이루어진 수를 이진수라고 한다. 93
  94. 94. 팔진법 팔진법 (octal number system , 八進法 ) 은 8을 밑으로 하는 기수법이다. 0부터 7까지의 숫자를 사용한다. 이진법 표기의 3자리와 팔진법 한 자리 가 일대일 대응 94
  95. 95. 십진법 십진법(十進法, 열올림법)은 10을 기수로 한 기수 법이다. 자리수로 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9를 쓴다. 95
  96. 96. 십육진법 십육진법(十六進法, hexadecimal)은 16을 밑으로 하는 기수법이다. 보통 0부터 9까지의 수와 A에서 F 까지의 로마 문자를 사용하고, 이때 대소문자는 구별 하지 않는다. 이진법 표기의 4자리와 십육진법 한 자 리가 일대일 대응하며, 2진수가 많이 쓰이는 컴퓨터 에서 2진수를 대신해 많이 쓰이고 있다. 96
  97. 97. PYTHON 기수법 Moon Yong Joon 97
  98. 98. 진법표현98
  99. 99. 진법 표현 bin, oct, hex를 이용해서 이진법, 팔진법, 16진 법을 표현함 99
  100. 100. Bit 연산100
  101. 101. 비트연산자 : and, or, xor Operator Description & Binary AND 서로 같은 비트가 있는 경우만 표시 | Binary OR 서로 같은 경우 또는 다른 경우도 전 부 표시 ^ Binary XOR 다른 경우만 표시 101
  102. 102. 비트연산자 : ~, <<, >> Operator Description ~ Binary Ones Co mplement 1의 보수 구하기 << Binary Left Shift 좌축으로 비트 이동. >> Binary Right Shi ft 우축으로 비트이동. 102
  103. 103. 대수의 법칙 Moon Yong Joon 103
  104. 104. 연산 우선순위104
  105. 105. 연산 우선순위 연산자에 대한 우선순위는 PEMDAS로 처리 105
  106. 106. 교환법칙106
  107. 107. 수학에서, 집합 S 에 이항연산 * 이 정의되어 있을 때, S의 임의의 두 원소 a, b 에 대해 a * b = b * a가 성립하면, 이 연산은 교환법칙(交換法則, commutative law)을 만족한다고 한다 교환법칙을 만족하는 연산의 예를 들어보면 다음과 같다.  유리수, 실수, 복소수에서 덧셈과 곱셈.  행렬, 벡터의 덧셈  집합의 교집합, 합집합 연산 교환법칙 수학에서 순서와 상관없이 다른 항을 바꿔 계산 해도 동일한 값이 나오는 법칙 107
  108. 108. 교환법칙 : 덧셈과 곱셈 수학에서 순서와 상관없이 다른 항을 바꿔 계산 해도 동일한 값이 나오는 법칙 108
  109. 109. 결합법칙109
  110. 110. 수학에서 결합법칙(結合 法則, associated law)은 한 식에서 연산 이 두 번 이상 연속될 때, 앞쪽의 연산을 먼저 계산한 값과 뒤쪽의 연산을 먼저 계산한 결과가 항상 같을 경우 그 연산은 결합법칙을 만족한다고 한다. 결합법칙을 만족하는 연산의 예를 들어보면 다음과 같다.  실수와 복소수, 사원수의 덧셈과 곱셈은 결합법칙이 성립한 다.  최대공약수와 최소공배수 함수는 결합법칙을 만족한다.  행렬 곱셈은 결합법칙을 만족한다. 결합법칙 연산이 두 번 이상 연속될 때 연산을 묶어서 처리 110
  111. 111. 결합법칙 연산이 두 번 이상 연속될 때 연산을 묶어서 처리 111
  112. 112. 분배법칙112
  113. 113. 집합 S와 S에 대해 닫혀있는 이항 연산 *가 정의되어 있을 때, S의 임의의 원소 a, b, c에 대해 a * (b + c) = (a * b) + (a * c)가 성립 하면 좌분배법칙이, (b + c) * a = (b * a) + (c * a)가 성립하면 우 분배법칙이 성립한다고 하며 양쪽모두 성립할 경우 집합 S에서 연 산 *에 대해 분배법칙이 성립한다고 한다. 분배법칙을 만족하는 연산의 예를 들어보면 다음과 같다.  임의의 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수의 곱셈 ×은 덧 셈 +에 대해 분배법칙이 성립한다.  합집합 연산 ∪은 교집합 연산 ∩에 대해 분배법칙이 성립하 고, 교집합 연산 ∩은 합집합 연산 ∪에 대해 분배법칙이 성 립한다. 또한, 교집합 연산은 대칭자 연산에 대해 분배법칙 이 성립한다. 분배법칙 수학에서 이항연산 *와 묶음이 있을 경우 분배하 면 동일한 처리값이 나오는 법칙 113
  114. 114. 분배법칙 수학에서 순서와 상관없이 다른 항을 바꿔 계산 해도 동일한 값이 나오는 법칙 114
  115. 115. 서로소115
  116. 116. 공약수/최대공약수 공약수, 최대공약수, 서로소 용어 정의 공약수 두 개 또는 그 이상의 자연수가 있을 때 그 자연수들의 공통인 약수. 최대공약수 공약수들 중에서 가장 큰 수.12의 약수={1,2,3,6,12} 16의 약수={1,2,4,8,16} 18의 약수={1,2,3,6,9,18} 에서 12와 16의 공약수 → 1,2,4 → 최대공약수는 4 12, 16, 18의 공약수 → 1,2 → 최대공약수는 2 서로소 공약수가 1 하나 뿐인 두 자연수 사이의 관계 (예) 8의 약수={1,2,4,8}, 9의 약수={1,3,9}에서 8과 9의 공약수는 1 한 개 뿐이므로 8과 9는 서로소 116
  117. 117. 서로소 최대공약수가 1인, 둘 이상의 양의 정수들은 서로 소(relatively prime)이라고 불린다. 두 정수가 1 이외에 양의 공약수를 가지지 않으면 서로소이다. 117
  118. 118. 대입118
  119. 119. 대입 대입(代入, substitution) 또는 변수변환(變數變 換, change of variables)은 수식의 특정 변수를 일정한 값 또는 다른 수식으로 치환하는 행위 119
  120. 120. 분모의 유리화120
  121. 121. 분모의 유리화 유리화(Rationalization)는 무리수가 있는 분수에 서, 분모 부분을 유리수로 바꾸는 과정을 말한다 121 분모와 분자에 분모를 곱하면 무리수가 유리 수로 변경됨
  122. 122. PYTHON 연산자와 OPERATOR 모듈의 대수의 법칙 Moon Yong Joon 122
  123. 123. 연산자 구조123
  124. 124. 연산자와 special method python 문법의 연산자는 각 type class 내부에 대 응하믄 special method가 존재 연산자 Special Method 각 타입별로 연산자는 special method와 매칭 124
  125. 125. 연산자 우선순위 순위 구분 Operator Description 0 그룹 ( ) Parentheses (grouping) 1 함수 f(args...) Function call 2 참조 x[index:index] Slicing 3 참조 x[index] Subscription 4 참조 x.attribute Attribute reference 5 산술 ** Exponentiation(제곱) 6 비트 ~x Bitwise not 7 부호 +x, -x Positive, negative 8 산술 *, /, % Multiplication, division, remainder 9 산술 +, - Addition, subtraction 10 비트 <<, >> Bitwise shifts 11 비트 & Bitwise AND 12 비트 ^ Bitwise XOR 13 비트 | Bitwise OR 14 비트 in, not in, is, is not, <, <=, >, >=,<>, !=, == Comparisons, membership, identity 15 논리 not x Boolean NOT 16 논리 and Boolean AND 17 논리 or Boolean OR 18 함수 lambda Lambda expression 125
  126. 126. 부호변환126
  127. 127. 부호연산 숫자 객체에 대한 부호 변환하는 연산 Operation 연산자 Function Method Negation (Arithmetic) - a neg(a) x.__neg__() Positive + a pos(a) x.__pos__() 127
  128. 128. 부호변환 예시 숫자 타입의 부호를 변환 128
  129. 129. 산술 연산129
  130. 130. 산술연산 : 정방향 숫자 객체들에 대한 수학적인 산술연산 Operation 연산자 Function Method addition x + y add(a, b) x.__add__(y) subtraction x - y sub(a, b) x.__sub__(y) multiplication x * y mul(a, b) x.__mul__(y) division x / y div(a, b) x.__div__(y) division x / y truediv(a, b) x.__truediv__(y) floor division x // y floordiv(a, b) x.__floordiv__(y) modulo (remainder) x % y mod(a, b) x.__mod__(y) floor division & modulo divmod(x, y) N/A x.__divmod__(y) raise to power x ** y pow(a, b) x.__pow__(y) 130
  131. 131. 산술연산 예시: operator 모듈 Operator 모듈을 import해서 사용 131
  132. 132. 산술연산 예시: int method Int class 내의 special method 이용해 계산 132
  133. 133. 산술연산 예시: 연산자 python 문법의 연산자 이용 133
  134. 134. 산술연산 : 역방향 수학적인 산출연산에 대한 역방향 메소드 제공 계산 결과는 정방향과 동일 Operation 연산자 Function Method addition x + y add(a, b) y.__radd__(x) subtraction x - y sub(a, b) y.__rsub__(x) multiplication x * y mul(a, b) y.__rmul__(x) division x / y div(a, b) y.__rdiv__(x) division x / y truediv(a, b) y.__rtruediv__(x) floor division x // y floordiv(a, b) y.__rfloordiv__(x) modulo (remainder) x % y mod(a, b) y.__rmod__(x) floor division & modulo divmod(x, y) N/A y.__rdivmod__(x) raise to power x ** y pow(a, b) y.__rpow__(x) 134
  135. 135. 산술연산 역방향 예시 사칙연산이 정방향이나 역방향이나 계산은 동일 135
  136. 136. 비트 연산136
  137. 137. 비트연산 설명 비트연산에 대해서는 실제 숫자의 비트를 가지고 연 산 Operation 연산자 설명 left bit-shift x << y y만큼 왼쪽으로 bit 이동 : 산식은 (x * (2** y) ) right bit-shift x >> y y만큼 오른쪽으로 bit 이동 : 산식은 (x // (2** y) ) bitwise and x & y x와 y이 동일한 비트값만(1 또는 0) 남고 동일하지 않으면 0 처리 bitwise xor x ^ y x와 y에서 서로 대응되지 않는 값만 남김 bitwise or x | y x와 y에서 1이 있는 값은 1로 처리 0이 동일한 경우 0 처리 Bitwise Inversion ~ a a의 비트를 반대로 표시 137
  138. 138. 비트연산 python 연산자,operator 모듈내의 함수와 int 메소 드간의 관계 Operation 연산자 Function Method left bit-shift x << y lshift(a, b) x.__lshift__(y) right bit-shift x >> y rshift(a, b) x.__rshift__(y) bitwise and x & y and_(a, b) x.__and__(y) bitwise xor x ^ y xor(a, b) x.__xor__(y) bitwise or x | y or_(a, b) x.__or__(y) Bitwise Inversion ~ a invert(a) x.__invert__() 138
  139. 139. 비트 연산 예시 비트연산 139
  140. 140. augmented operator140
  141. 141. augmented operator python에서는 할당연산자와 일반연산자를 축약해 서 사용 X += Y X = X+ Y 141
  142. 142. 사칙연산 사칙연산 Operation 연산자 Function Method addition x += y iadd(a, b) x.__iadd__(y) subtraction x -= y isub(a, b) x.__isub__(y) multiplication x *= y imul(a, b) x.__imul__(y) division x /= y idiv(a, b) x.__idiv__(y) division x /= y itruediv(a, b) x.__itruediv__(y) floor division x //= y ifloordiv(a, b) x.__ifloordiv__(y) modulo (remainder) x %= y imod(a, b) x.__imod__(y) raise to power x **= y ipow(a, b) x.__ipow__(y) 142
  143. 143. 증가비트연산 비트연산과 할당연산을 같이 사용 Operation 연산자 Function Method left bit-shift x <<= y ilshift(a, b) x.__ilshift__(y) right bit-shift x >>= y irshift(a, b) x.__irshift__(y) bitwise and x &= y iand_(a, b) x.__iand__(y) bitwise xor x ^= y ixor(a, b) x.__ixor__(y) bitwise or x |= y ior_(a, b) x.__ior__(y) 143
  144. 144. 논리연산144
  145. 145. 논리연산 논리연산은 boolean 값을 비교해서 처리 Operation Syntax Function Method and Logical AND a and b NA NA or Logical OR a or b NA NA Negation (Logical) not a not_(a) NA 145
  146. 146. 논리연산 예시 논리연산 146
  147. 147. 방정식/ 부등식 Moon Yong Joon 147
  148. 148. 방정식148
  149. 149. 방정식 방정식(方程式, equation)은 식에 있는 특정한 문 자의 값에 따라 참/거짓이 결정되는 등식이다. 이때, 방정식을 참이 되게 하는 특정 문자의 값을 해 또는 근이라 한다. 149 항등식 방정식 X의 해는 2,3
  150. 150. 상수항 상수항은 다항식이나 방정식에서 변수 또는 미지 수를 포함하지 않은 항이다. 예를 들면, 다항식 a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an 에서는 변수 x를 포함하지 않은 항 an을, 또 방정 식 a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0에서는 미지 수 x를 포함하지 않은 항 an을 상수항이라 한다. 150
  151. 151. 다항방정식 일차방정식, 이차방정식, 삼차방정식, 고차방정 식 등과 같이 미지수에 대한 다항식으로만 이루 어진 방정식을 다항 방정식이라고 한다 151 다항 방정식 정의 다항 방정식 해
  152. 152. 일차방정식152
  153. 153. 일차방정식 일차방정식(Linear equation) 또는 선형 방정식 은 최고차항의 차수가 1인 방정식을 뜻한다. 153 a0x1+a1x0 a0 = a a1 = b n=1 일 경우
  154. 154. 일차방정식 풀이 일차방정식에서 상수를 좌변으로 이항한 후에 변 수앞에 있는 계수로 양변을 나누면 x 값을 정함. 154
  155. 155. 이차방정식155
  156. 156. 이차방정식 이차 방정식(二次方程式, quadratic equation)이 란, 최고차항의 차수가 2인 다항 방정식을 뜻한다 156 a0x2+a1x1+a2x0 a0 = a a1 = b a2 = c n=2 일 경우
  157. 157. 이차방정식의 해 이차 방정식은 아래처럼 상수항을 이용해서 근의 공식으로 해를 구할 수 있음 157 근의공식
  158. 158. 부등식158
  159. 159. 부등식 부등식(不等式, inequality)은 두 수에 대한 크기 비교를 나타내는 식이다. 부등식은 두 수 및 그 사 이의 부등호(不等號, inequality sign)로 구성된 다. 159
  160. 160. 추이적관계 임의의 세 원소 a, b, c에 대하여 정의된 이항관 계이 추이적 관계(推移的關係,transitive relation) 라 함 160
  161. 161. PYTHON SYMPY 방정식 Moon Yong Joon 161
  162. 162. 수식값 부여162
  163. 163. 수식평가 : +/- 수식을 만들고 subs, evalf, replace로 평가하 기 163
  164. 164. 수식평가 : *, / 수식을 만들고 subs, evalf, replace로 평가하 기 164
  165. 165. 방정식 풀기165
  166. 166. 방정식 풀기 2차 방정식을 전개는 expand 함수로 처리하고 해는 solve 함수로 구함 166
  167. 167. PYTHON 관계연산 Moon Yong Joon 167
  168. 168. 관계연산168
  169. 169. 관계연산 python 내의 객체 간의 순서와 동등 관계를 처리하 는 연산자 Operation 연산자 Function Method Ordering a < b lt(a, b) x.__lt__(y) Ordering a <= b le(a, b) x.__le__(y) Equality a == b eq(a, b) x.__eq__(y) Difference a != b ne(a, b) x.__ne__(y) Ordering a >= b ge(a, b) x.__ge__(y) Ordering a > b gt(a, b) x.__gt__(y) 169
  170. 170. 인수분해/전개 Moon Yong Joon 170
  171. 171. 곱셈공식171
  172. 172. 곱셈 공식(-公式, multiplication) 다항식의 곱셈을 할 때 빠르고 편리하게 계산할 수 있도록 한 공식이다. 곱셈 공식의 양변을 바꾸 면 인수분해 공식이 된다. 172
  173. 173. 피타고라스 정리 피타고라스 정리를 이용해서 하나의 변수를 제곱 근 곱셈공식으로 전환해서 처리. 173
  174. 174. 제곱근 연산 제곱근 연산도 곱셈 공식을 이용해서 결과를 처 리 174
  175. 175. 인수분해175
  176. 176. 인수분해 인수 분해(因數分解, factorization)는 곱이 정의 된 집합내의 어떤 원소를 다른 원소들의 곱으로 표현하는 것을 가리킨다 176
  177. 177. 인수분해 공식 인수 분해 주요 공식 177
  178. 178. 인수분해 예시 인수 분해 주요 공식을 이용한 처리 예시 178
  179. 179. 이항정리179
  180. 180. 이항정리 이항정리(二項定理, binomial theorem)는 이항 다항식 x+y의 거듭제곱 (x+y)n에 대해서, 전개 한 각 항 xkyn-k의 계수 값을 구하는 정리 180
  181. 181. 이항정리 : 전개 다항식 (a+b)3의 전개식에서 각 항의 계수를 조 합의 수를 이용하여 나타내는 방법 (a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) =aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb =a3+3a2b+3ab2+b3 =a3+3C1a2b+3C2ab2+b3 3C1 = 3P1/1! = 3!/2!/1! = 3 3C2 = 3P2/2! = 3!/1!/2! = 3 181
  182. 182. 이항정리 : 파스칼 방식 다항식 (a+b)3의 전개식에서 각 항의 계수를 조 합의 수를 이용하여 나타내는 방법 182
  183. 183. PYTHON SYMPY 인수분해/전개 Moon Yong Joon 183
  184. 184. 공통요소 제거184
  185. 185. cancel 함수 : 공통요소 제거 분모와 분자의 공통요소를 제거하는 함수는 cancel로 처리 185
  186. 186. 인수분해186
  187. 187. factor 함수 인수분해는 factor 함수를 사용하고 전개는 expand 함수를 사용하고 해는 solve함수를 사용 함 187
  188. 188. factor 함수 : modulus 인수분해를 위한 파라미터를 modulus로 사용하 면 인수분해 불가함 방정식을 조건에 따라 인수 분해 함 188
  189. 189. factor 함수 :가우시안정수 가우스 정수(Gauß整數, Gaussian integer)는 실 수부와 허수부가 모두 정수인 수이다. (a+bi)(a-bi)=a2+b2 로 표현이 가능한 수 189 = (0+i)(0 –i) = -i*I = -(i)**2 = 1 X**2+1은 인수분 해가 안되어서 가 우시안 수로 인수 분해
  190. 190. factor 함수 : extension 인수분해를 위한 값을 배정해서 처리 190
  191. 191. 2.함수 기초 Moon Yong Joon 191
  192. 192. 함수 Moon Yong Joon 192
  193. 193. 함수193
  194. 194. 사상 사상(寫像, 영어: morphism)은 수학적 구조를 보 존하는 함수의 개념을 추상화한 것이다. 사상이라는 용어는 영어 map에 대응하기도 하는 데, 이 경우 맥락에 따라 함수(function)와 사상 (morphism) 모두의 의미로 사용될 수 있다. 194
  195. 195. 함수란? 함수(函數, function) f:X→Y란 집합X와 집합 Y의 원소 사이에 주어진 다음 성질을 만족하는 대응 으로 정의된다. 195
  196. 196. 정의역 어떤 함수의 공역(共域, codomain) 또는 공변역 (共變域)은 이 함수의 값들이 속하는 집합이다. 196
  197. 197. 공역/치역 어떤 함수의 정의역(定義域, domain)은 그 함수의 값이 정의된 집합이다. 함수의 치역(値域, range)이라고 하는 것은 함수의 모든 "출력"값의 집합 197
  198. 198. 함수의 종류198
  199. 199. 단사 함수란? 단사(injective) 또는 일대일(one-to-one)이라 하고 일대일인 함수를 단사함수(injection) 또는 일대일 함수(one-to-one function)이라 한다 199
  200. 200. 전사 함수란? 공역의 모든 원소에게 정의역의 적어도 하나의 원소 를 대응시킨다면(즉, 치역이 공역과 같다면) 전사 (surjective) 또는 X에서 Y 로(onto)의 함수라 한다. 전사인 함수를 전사함수(surjection)이라 한다. 200
  201. 201. 전단사 함수란? f:X→Y가 전사이고 단사일 때 f를 전단사(bijective) 라 한다. 전단사인 함수를 전단사함수(bijection) 또 는 일대일 대응(one-to-one correspondence)라 한 다. one-to-one & onto라고도 많이 사용한다. 201
  202. 202. 초월함수 초월함수(超越函數)란 대수함수와 대조적으로, 계수만으로 이루어진 다항식을 만족시키지 않는 함수이다. 초월함수란 유한한 가감승제의 대수 연산으로 표 현할 수 없기 때문에 대수적인 것을 초월하는 함 수이다. 초월함수의 예로 로그함수, 삼각함수 등이 있다. 202
  203. 203. 역함수203
  204. 204. 역함수 f:X→Y 함수에 대한 대응관계가 반대로 되는 것을 역함수 즉 f -1: Y → X. 204
  205. 205. 항등함수 항등함수와 함수를 합성하면 결과는 함수와 같다. 함수와 역함수를 합성하면 항등함수가 나옴 205 =
  206. 206. 함수의 합성206
  207. 207. 함수합성 function composition 함수의 합성(函數의合成, function composition)은 한 함수의 공역이 다른 함수의 정의역과 일치하는 경 우 두 함수를 이어 하나의 함수로 만드는 연산이다. 이렇게 얻어진 함수를 합성 함수(合成函數 composite function)라고 한다. 207
  208. 208. 교환법칙 함수의 교환법칙은 반드시 성립하지 않는다. 208
  209. 209. 결합법칙 함수합성의 결합법칙은 성립한다. 209
  210. 210. PYTHON MAPPING DATA TYPE 210
  211. 211. mapping Type211
  212. 212. Mapping 타입-dictionary Key/Value로 원소를 관리하는 데이터 타입이며 요소들은 변경가능함 참조 container Name 1 값 Name 2 contain er 참조 참조 : : Dictionary Type 212
  213. 213. Mapping 타입 - dict dict 내의 속성과 메소드들 213
  214. 214. Mapping 타입 – 사용자 클래스 정 의 사용자 클래스 내부에서 dict type 사용하기 214
  215. 215. Hash 처리215
  216. 216. key 값은 hash mapping 타입은 기본 hash 처리가 되는 경우 만 키값을 사용 tuple 내의 리스트 등 mutable이 들어