HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

DANAMATH
www.toanhocdanang.com
www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang
ĐẠI SỐ
11
GV:Phan Nhật Nam
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Đường tròn lượng giác :
1. Công thức cung liên kết :
1. Hai cung đối nhau (a , -a)
3. hai cung phụ nhau (a , a−
2
π
)
2. Hai cung bù nhau (a , a−π )
Trục Cot
Trục Sin
Trục Cos
Trục Tan
0
2
2
2
3
2
1
2
1
2
3
2
2
2
2
−
2
1
−
2
3
−
2
1
−
2
2
−
2
3
−
3
2π
3
π
4
π
6
π
4
3π
6
5π
6
7π
4
5π
3
4π
2
3π
3
5π
4
7π
6
11π
3
1
1
2
π
0π
3
3
1
33− 3
1
−
1−
3
1
−
1−
3−
1
1
1−
1−
aa
aa
aa
aa
cot)cot(
tan)tan(
cos)cos(
sin)sin(
−=−
−=−
=−
−=−
aa
aa
aa
aa
tan)
2
cot(
cot)
2
tan(
sin)
2
cos(
cos)
2
sin(
=−
=−
=−
=−
π
π
π
π
aa
aa
aa
aa
cot)cot(
tan)tan(
cos)cos(
sin)sin(
−=−
−=−
−=−
=−
π
π
π
π

4. Hai cung hơn kém nhau π (a , a+π ) 5. Hai cung hơn kém nhau
2
π
(a , a+
2
π
)
3. Công thức lượng giác cơ bản :
1. Công thức cộng cung :
2. Công thức nhân đôi :
3. Công thức nhân ba : 4. Công thức hạ bậc hai :
4. Công thức hạ bậc ba : 6. Công thức biến đổi tích thành tổng
7. ông thức biến đổi tổng thành tích :
aa
aa
aa
aa
cot)cot(
tan)tan(
cos)cos(
sin)sin(
=+
=+
−=+
−=+
π
π
π
π
aa
aa
aa
aa
tan)
2
cot(
cot)
2
tan(
sin)
2
cos(
cos)
2
sin(
−=+
−=+
−=+
=+
π
π
π
π
ba
ba
ba
bababa
bababa
tantan1
tantan
)tan(
sinsincoscos)cos(
sincoscossin)sin(


±
=±
=±
±=±
a
a
a
a
a
a
aaaaaCos
xxaaaaaSin
cot2
1cot
2cot
tan1
tan2
2tan
sin211cos2sincos2
)cos(sin11)cos(sincossin22
2
2
2222
22
−
=
−
=
−=−=−=
−−=−+==
a
aa
aTan
aaaCos
aaaSin
2
3
3
3
tan31
tantan3
3
cos3cos43
sin4sin33
−
−
=
−=
−=
a
a
aTan
a
aCos
a
aSin
2cos1
2cos1
2
2cos1
2
2cos1
2
22
+
−
=
+
=
−
=
4
3coscos3
4
3sinsin3
3
3
aa
aCos
aa
aSin
+
=
−
= [ ]
[ ]
[ ])sin()sin(
2
1
cos.sin
)cos()cos(
2
1
sin.sin
)cos()cos(
2
1
cos.cos
bababa
bababa
bababa
−++=
−−+−=
−++=
ba
ab
ba
ba
ba
ba
baba
ba
baba
ba
baba
ba
baba
ba
sin.sin
)sin(
cotcot
cos.cos
)sin(
tantan
2
sin.
2
cos2sinsin
2
cos.
2
sin2sinsin
2
sin.
2
sin2coscos
2
cos.
2
cos2coscos
±
=±
±
=±
−+
=−
−+
=+
−+
−=−
−+
=+

A. Tóm tắc lý thuyết :
I. Hàm số y = sinx :
• Miền xác định : D = R.
• siny x= là hàm số lẻ trên R {vì D là miền đối xứng và sin(-x) = - sinx}
• siny x= tuần hoàn với chu kỳ π2 . {vì sin(x + k π2 ) = sinx với Zk ∈∀ }
• Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên của hàm số y = sinx trên
khoảng (0 , π )
Đồ thị của : siny x=
II. Hàm số cosy x= :
• Miền xác định : D = R.
• cosy x= là hàm số chẵn trên R {vì D là miền đối xứng và cos(-x) = cosx}
• cosy x= tuần hoàn với chu kỳ π2 . {vì cos(x + k π2 ) = cosx với Zk ∈∀ }
• Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên của hàm số y = cosx trên
khoảng (0 , π )
Đồ thị của : cosy x=
x
2
π
0 π
1
00
y
3
2
π
− π−
2
π
− 0
2
π π 3
2
π 2π2π−
1
-1
x
y
y
x
0
2
π
2
π
−
ππ−
3
2
π
−
2π−
1
-1
x
y
π− 0 π
1
-1 -1

III. Hàm số y = tanx :
• Miền xác định : D = R






∈+ Zkk ,
2
π
π
.
• tany x= là hàm số lẻ trên R {vì D là miền đối xứng và tan(-x) = tanx}
• tany x= tuần hoàn với chu kỳ π . {vì tan(x + kπ ) =tanx với Zk ∈∀ }
• Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên của hàm số coty x= trên
khoảng (-
2
π
,
2
π
)
Đồ thị của: coty x=
III. Hàm số y = cotx :
• Miền xác định : D = R{ }Zkk ∈,π .
• coty x= là hàm số lẻ trên R {vì D là miền đối xứng và cot(-x) = cotx}
• coty x= tuần hoàn với chu kỳ π . {vì cot(x + kπ ) = cotx với Zk ∈∀ }
• Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên của hàm số coty x= trên
khoảng (0 , π )
Đồ thị của: coty x=
x
y
2
π
− 0
−∞
+∞
0
2
π
2
π
π
2
π
−
0π−
3
2
π
−
3
2
π
x
y
x
y
0 0
0
π
−∞
+∞
2
ππ−
2
π
−
0
y
x
3
2
π 2ππ

B. Các dạng toán :
1. Tìm tập xác định của hàm số ( )y f x= : Thực hiện theo một trong hai hướng sau.
• D là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho f(x) có nghĩa.
• Tìm tập hợp S của x để ( )f x không có nghĩa , từ đó có tập xác định là D = RS .
Chú ý :
+) với các hàm lượng giác cơ bản :
siny x= có miền xác định : D = R. cosy x= thì D = R.
tany x= có miền xác định : D = R






∈+ Zkk ,
2
π
π
coty x= thì D = R { }Zkk ∈,π .
+) f(x) cho bởi các đa thức đại số:
Nếu f(x) =
)(
)(
2
1
xf
xf
thì điều kiện f(x) có nghĩa là



≠ 0)(
~
..)...(..).(
2
21
xf
ainghcóxfvàxf
Nếu f(x) = k xf2
2 )( ).( Zk ∈ thì điều kiện f(x) có nghĩa là



≥ 0)(
~
..)..(
2
1
xf
ainghcóxf
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a.
2
sin
1
x
y
x
 
=  
− 
b. 2 siny x= − c. 2
1 cosy x= −
d.
1
sin 1
y
x
=
+
e. tan
6
y x
 
= − 
 
π
f. =
−
1
tan 1
y
x
g. siny x= h.
tan
2cos 1
x
y
x
=
−
i.
1 2 sin
cot 3
x
y
x
+
=
−
Hướng dẩn giải :
a. Hàm số
2
sin
1
x
y
x
 
=  
− 
xác định
2
1
x
x
⇔
−
có nghĩa 1 0 1x x⇔ − ≠ ⇔ ≠
Vậy hàm số có tập xác định là {1}D R=
b. Hàm số xác định 2 sin 0 sin 2x x⇔ − ≥ ⇔ ≤ đúng x R∀ ∈ (vì 1 sin 1,x x R− ≤ ≤ ∀ ∈ )
Vậy hàm số có tập xác định là D R=
c. Hàm số xác định 2 2
1 cos 0 sin 0x x⇔ − ≥ ⇔ ≥ đúng x R∀ ∈
Vậy hàm số có tập xác định là D R=

d. Hàm số xác định sin 1 0 sin 1 sin 1 2
2
x x x x k
π
π⇔ + > ⇔ > − ⇔ ≠ − ⇔ ≠ − +
(vì 1 sin 1,x x R− ≤ ≤ ∀ ∈ ). Vậy tập xác định của hàm số là
2 |
2
D R k k Z
π
π
 
= − + ∈ 
 
e. Hàm số xác định
2
cos 0
6 6 2 3
x x k x k
π π π π
π π
 
⇔ − ≠ ⇔ − ≠ + ⇔ ≠ + 
 
Vậy tập xác định của hàm số là
2
|
3
D R k k Z
π
π
 
= + ∈ 
 
f. Hàm số xác định
tan 1 4
cos 0
2
x k
x
x
x k
π
π
π
π

≠ +≠ 
⇔ ⇔ 
≠ = +

Vậy tập xác định của hàm số là , |
4 2
D k k k Z
π π
π π
 
= + + ∈ 
 
g. Hàm số xác định sin 0 2 2x k x kπ π π⇔ ≥ ⇔ ≤ ≤ +
(nữa đường tròn LG phía trên trục Ox)
Vậy tập xác định của hàm số là [ ]2 , 2D k kπ π π= + , k Z∀ ∈
h. Hàm số xác định
cos 0 1
cos
2cos 1 0 2
x
x
x
≠
⇔ ⇔ >
− >
2 2
3 3
k x k
π π
π π⇔ − + < < +
Vậy tập xác định của hàm số là
2 , 2
3 3
D k k
π π
π π
 
= − + +  
, k Z∀ ∈
i. Hàm số xác định
sin 0
cot 3
1
sin
2
x
x
x

 ≠

⇔ ≠

 ≥ −

6
3
2 2
4 4
3
2 2
4 4
x k
x k k x k
k x k
π
π
π π
π π π
π π
π π

≠ +

⇔ ≠ ⇔ − + ≤ ≤ − +

− + ≤ ≤ − +

Vậy hàm số có tập xác định là:
3
2 , 2
4 4
D k k
π π
π π
 
= − + − +  
, k Z∀ ∈
sin
cos
1
2
0
3
π
−
3
π
sin
cos
1
2
−
0
cot
3
6
π
6
π
−
3
4
π
− 4
π
−

Ví dụ 2:(Dạng nâng cao) Cho hàm số : 4 4
sin cos 2 sin cosy x x m x x= + −
Tìm tất cả các giá trị m để hàm số trên xác định x R∈ (trên toàn trục số)
Giải :
Ta có : ( ) ( )
2 24 4 2 2
( ) sin cos 2 sin cos sin cos sin 2g x x x m x x x x m x= + − = + −
( )
22 2 2 2 21
sin cos 2sin cos sin 2 1 sin 2 sin 2
2
x x x x m x x m x= + − − =− −
Đặt: [ ]sin 2 1,1t x t= ⇒ ∈ −
Hàm số xác định với mọi x R∈ ⇔ ( ) 0 ,g x x R≥ ∀ ∈
[ ]21
1 0, 1,1
2
t mt t⇔ − − + ≥ ∀ ∈ −
[ ]2
( ) 2 2 0, 1,1f t t mt t⇔ = + − ≤ ∀ ∈ −
Dễ thấy ( ) 0f t = có hai nghiệm 1 20t t< < (vì 1, 2a c= = − trái dấu)
Cách 1: sử dụng định lý viet
Khi đó ta có bảng xét dấu của ( )f t như sau :
Từ bảng xét dấu trên ta thấy :
[ ]
( )( )
( )( )
1 21 22
1 2
1 2 1 2
1 1 01 0 1
( ) 2 2 0, 1,1 1 1
1 0 1 1 1 0
t tt t
f t t mt t t t
t t t t
+ + ≤+ ≤ < + 
= + − ≤ ∀ ∈ − ⇔ ≤ − < ≤ ⇔ ⇔ 
− < ≤ − − − ≤ 
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) 1 0 2 2 1 0 1 1
( ) 1 0 2 2 1 0 2 2
t t t t m
m
t t t t m
+ + + ≤ − − + ≤ 
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ 
− + + ≤ − + + ≤
(theo viet cho ( ) 0f t = )
Vậy hàm số xác định trên toàn trục số khi
1 1
2 2
m− ≤ ≤
t
( )f t
−∞ 1t 2t +∞
0 0-+ +

Cách 2: Sử dụng tính chất đồ thị của Parabol
Vì 2
( ) 2 2f t t mt= + − có hệ số 1 0a= > nên đồ thị của ( )f t sẽ rơi vào 1 trong 3 dạng sau.
Do đó ta có:
[ ]1,1
( ) (1)Max f t f
−
= hoặc
[ ]1,1
( ) ( 1)Max f t f
−
= −
[ ] [ ]
2
1,1
( ) 2 2 0, 1,1 ( ) 0ycbt f t t mt t Max f t
−
⇔ = + − ≤ ∀ ∈ − ⇔ ≤
(1) 0 1 2 0 1 1
( 1) 0 1 2 0 2 2
f m
m
f m
≤ − + ≤ 
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ − ≤ − − ≤ 
Bình luận: Ở cách giải 2, ta đã dùng cở sỏ lý thuyết sau: Với fS D⊂ ( fD : TXĐ của ( )f x )
• ( ) , ( )
S
f x m x S Max f x m≤ ∀ ∈ ⇔ ≤
• ( ) , ( )
S
f x m x S Min f x m≥ ∀ ∈ ⇔ ≥
• ( ) , ( )
S
f x m x S Min f x m≤ ∃ ∈ ⇔ ≤
• ( ) , ( )
S
f x m x S Max f x m≥ ∃ ∈ ⇔ ≥
Bài tập áp dụng :
Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số :
a) y =
1cos2
1
−x
(ĐS: D = R , |
3 3
k k k Z
π π
π π
 
+ − + ∈ 
 
)
b) y =
)22)(sin1(tan
2
−− xx
(ĐS: D = R , |
2 4
k k k Z
π π
π π
 
+ + ∈ 
 
)
y
y y
ttt
(1)f
(1)f
(1)f
1 1 1-1 -1 -1
( 1)f −
( 1)f −
( 1)f −
0 0 0

a) y = 2
1 sinx cos x+ − (ĐS: D =
5
2 ; 2
6 6
k k
π π
π π
 
+ +  
)
b) y =
3tan)13(tan
2
2
−+−− xx
(ĐS: D = ;
3 4
k k
π π
π π
 
− + − + 
 
)
Bài 3: Cho hàm số : 4 4
2 .y sin x cos x msinx cosx= + − .
Tìm giá trị của tham số m để hàm số xác định vơi Rx∈∀ (ĐS: –
2
1
≤m ≤
2
1
)
a) y =
1
1 2 1 2
cosx cosx
cosx cosx
−
−
+ −
HD: 2
1 1 1
1 2 1 2 1 4cos 2cos2 1
cosx cosx
cosx cosx x x
− −
− = =
+ − − +
Hàm số xác định
1
cos2
2
x⇔ > − ⇔
4 4
2 2
3 3
k x k
π π
π π− + < < +
b) y =
3cot
1
−x
ĐS: , |
6
D R k k k R
π
π π
 
= + ∈ 
 
HD:
sin 0
cot 3
x
x
≠

≠
c) y = 2
1
4 5 2cosx sin x− −
ĐS: 2 , |
3 3
D R k k k R
π π
π π
 
= − + ∈ 
 
HD: 2 2 2
cos 2
4 5 2 0 4 5 2(1 cos ) 0 2cos 5cos 2 0 1
cos
2
x
cosx sin x cosx x x x
x
≠

− − ≠ ⇔ − − − ≠ ⇔ − + ≠ ⇔ 
≠
2. Xét tính tuần hoàn của hàm số :
Dạng 1:Chứng minh hàm số ( )y f x= có tính chất tuần hoàn .
• Đoán số thực T >0 ( có thể là chu kỳ của hàm số hoặc cũng có thể là bội nguyên của
chu kỳ).
• Chứng minh Dx∈∀ ta luôn có
( ) ( )
x T D và x T D
f x T f x
− ∈ + ∈

+ =
• Kết luận ( )y f x= là hàm số tuần hoàn .

Ví dụ: Chứng minh hàm số
2
( ) 2cos 2 1
3
y f x x
π 
= = − + 
 
là một hàm số tuần hoàn.
Giải
Ta có:
2
( ) 2cos 2 1 cos 4 2
6 3
y f x x x
π π   
= = − += − +   
   
có TXĐ: D = R.
Xét
2
T
π
= ta có:
2
x R x T x R
π
∀ ∈ ⇒ + = + ∈
( ) sin 4 2 sin 4 2 2
2 3 3
f x T x x
π π π
π
      
+= + − += − + +      
      
sin 4 cos2 cos 4 sin 2 2 sin 4 2 ( ) ,
3 3 3
x x x f x x R
π π π
π π
     
= − + − += − += ∀ ∈     
     
Vậy hàm số tuần hoàn {Dễ dàng chứng minh được chu kỳ chình là
2
T
π
= }
Dạng 2:Chứng minh TO là chu kỳ của hàm số ( )y f x= (Chứng minh phản chứng)
• Giả sử RT ∈∃ sao cho 0 < T < TO
(1)
thỏa mãn Dx∈∀ thì ( ) ( )f x T f x+ =
(2)
• Biến đổi đẳng thức (2) để có được mâu thuẫn với giả thiết (1).
• Mâu thuẫn trên chứng tỏ TO là số thực dương bé nhất thỏa mãn tính chất tuần hoàn của
hàm số
⇒ TO là chu kỳ của ( )y f x=
Ví dụ: Chứng minh hàm số ( ) sin 2y f x x= = có chu kỳ là T π=
Giải
Giả sử RT ∈∃ : (1)
0 T π< < thỏa mãn x R∀ ∈ thì ( ) ( )f x T f x+ =
Khi đó ta có: (*)
( ) ( ), sin(2 2 ) sin 2 ,f x T f x x R x T x x R+= ∀ ∈ ⇔ + = ∀ ∈
Xét
4
x
π
= ta có: sin 2 sin 1 2 2
2 2 2 2
T T k T k
π π π π
π π
 
+ = = ⇔ + = + ⇔ = 
 
mâu thuẫn với (1)vì k Z∈
Do đó không có số dương T nào nhỏ hơn π thỏa điều kiện ( ) ( )f x T f x+ = , x R∀ ∈
Vậy hàm số ( ) sin 2y f x x= = có chu kỳ T π=

Bình luận:Để có thể dẫn đến mâu thuẫn thì ta phải xét
4
x
π
= để sin 2 sin 1
2
x
π
= =
(tức là luôn chọn giá trị cho x để vế phải của (*) bằng 1
Dạng 3:Xác định chu kỳ của hàm số lượng giác bất kỳ.(sử dụng các chú ý sau)
Các chú ý cần nhớ về chu kỳ của hàm số lượng giác :
• Các hàm số y = sin(ax + b) + c và y = cos(ax + b) + c (với a ≠ 0)
tuần hoàn với chu kỳ T =
a
π2
• Các hàm số y = tan(ax + b) + c và y = cot(ax + b) + c (với a ≠ 0)
tuần hoàn với chu kỳ T =
a
π
• Giả sử ( )f x và ( )g x tuần hoàn với chu kỳ tương ứng là Tf , Tg .
⇒ ( ) ( ) ( )F x mf x ng x= + tuần hoàn với chu kỳ: T = BSCNN(Tf ,Tg)
• Trong trường hợp hám số chứa các số hạng chứa các hàm lượng giác bậc cao
hoặc có dạng tích ta cần dùng công thức hạ bậc hoặc công thức tích thành
tổng trước khi đi tìm chu kỳ.
• Nếu ( )f x tuần hoàn thì đồ thị của chúng cắt trục hoành (nếu có) tại những
điểm cách đều nhau.
Bài 1: Chứng minh rằng hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kỳ T = 2π .
Bài 2: Hàm số nào sau đay có tính chất tuần hoàn .Xác định chu kỳ của nó (nếu có)
a) ( )f x = tan(3x -
6
π
) (ĐS: T =
3
π
) b) ( )f x = 2cos2
(2x +
3
π
) (ĐS: T =
2
π
)
c) ( )f x = sin2
x (ĐS: T = π )
Bài 3: Hàm số nào sau đay có tính chất tuần hoàn .Xác định chu kỳ của nó (nếu có)
a) ( )f x = sinx +
2
1
sin2x +
3
1
sin3x (ĐS: T = 2π )
b) f(x) = 2tan
2
x
– 3tan
3
x
(ĐS: T = 6π )
c) ( )f x = cosx + (1 + cos2x) + (cos3x – 3cosx) (ĐS: T = 2π )
d) ( )f x = sinx + sin(x 2 )

HD: không tuần hoàn vì 2 ∉Q nên không có khái niệm bội số chung
e) ( )f x = tan x
HD: nếu f tuần hoàn thì đồ thị của chúng cắt trục hoành tại những
điểm cách đều nhau
f) ( )f x = sin(x2
) (HD: tương tự câu e )
g) ( )f x = xtan (ĐS: T = π )
h) ( )f x = 2cos2
x + 3cos3
x + 8cos4
x (ĐS: T = 2π )
3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác :
Phương pháp :
• Tìm tập xác định D và kiểm tra tính chất đối xứng của D.
+) Nếu Dx∈∃ ⇒ Dx∉− . Ta kết luận : Tập D không đối xứng nêu hàm số
không chẵn không lẻ
+) Nếu Dx∈∀ ⇒ – x ∈ D. Ta có : D là tập đối xứng , thực hiện tiếp bước 2.
• Xác định ( )f x−
+) Nếu ( ) ( )f x f x− = . Ta kết luận : ( )y f x= là hàm số chẵn.
+) Nếu ( ) ( )f x f x− =− . Ta kết luận : ( )y f x= là hàm số lẻ.
+) Nếu ( ) ( )f x f x− ≠ và ( ) ( )f x f x− ≠ − . Ta kết luận : y = f(x) là hàm số
không chẵn không lẻ
Chú ý : ( Tính chất đối xứng của hàm lượng giác cơ bản)
• y = sinx có vô số tâm đối xứng là Ik (kπ ; 0) và vô số trục đối xứng x =
2
π
+ kπ (k ∈Z)
• y = sinx có vô số tâm đối xứng là Ik (
2
π
+kπ ; 0) và vô số trục đối xứng x = kπ (k ∈Z)
• y = tanx có vô số tâm đối xứng là Ik ( k
2
π
; 0 ) ( với k ∈Z)
• y = cotx có vô số tâm đối xứng là Ik ( k
2
π
; 0 ) ( với k ∈Z)

Ví dụ 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số:
1
( )
2sin 3
y f x
x
= =
+
Giải
Tập xác đinh: D R=
Ta có : x R x R∀ ∈ ⇒ ∈
Xét
6
x
π
= ta có:
1 1 1
16 42sin 3 2. 3
6 2
f
π
π
 
= = = 
  + +
1 1 1
16 2
2sin 3 2. 3
6 2
f
π
π
 
−= = = 
     − + − +   
   
Do đó:
6 6
f f
π π   
− ≠ −   
   
đồng thời
6 6
f f
π π   
− ≠   
   
Vậy hàm số
1
2sin 3
y
x
=
+
không có tính chẵn , lẻ.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng đồ thị của hàm số
−
= =
+
sin tan
( )
2sin 3cot
x x
y f x
x x
nhận Oy làm trục
đối xứng.
Giải
Hàm số xác định
2
2
sin 0
2
cos 0 2
22
22cos 3cos 2 02sin 3cot 0
2sin 3cos 0 3
x k
x x k
x k
x x k
x kx xx x
x x
π π
π
π
π
π
π
≠ ≠  ≠ ≠   
⇔ ≠ ⇔ ≠ + ⇔ ⇔   
    ≠ ± +− + + ≠+ ≠   + ≠ 
TXĐ:
2
, 2 |
2 3
D R k k k Z
π π
π
 
= ± + ∈ 
 
Do đó ta có: (1)
x D x D∀ ∈ ⇒ − ∈
x D∀ ∈ ta có
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
− − − − − −
−= =
− + − − + −
sin tan sin tan
( )
2sin 3cot 2 sin 3 cot
x x x x
f x
x x x x
( )
( )
− − −
= = =
+− +
(2)
sin tan sin tan
( )
2sin 3cot2sin 3cot
x x x x
f x
x xx x
{theo công thức đối}
Từ (1) và (2) ta có:
−
=
+
sin tan
2sin 3cot
x x
y
x x
là hàm số chẵn
Vậy đồ thị của hàm số
−
=
+
sin tan
2sin 3cot
x x
y
x x
nhận Oy là trục đối xứng.

Bài 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số :
( )f x = sin2009
x + cosnx với (n∈Z) ĐS: không chẳn,không lẻ
a) ( )f x =
xx
x
tansin
2
+
ĐS: Hàm số lẻ
b) ( )f x = x sinx ĐS: lẻ
c) ( )f x =
x
xn
cos
2009sin2008
+
(n∈Z) ĐS: Chẵn
a) 2sin 3y x= − ĐS: không chẵn ,không lẻ (vì 1
2
f
π 
= − 
 
, 5
2
f
π 
− =− 
 
)
b)
1
2sin 1
y
x
=
−
ĐS: không chẵn ,không lẻ
HD: TXĐ:
5
2 , 2 |
6 6
D R k k k Z
π π
π π
 
= + + ∈ 
 
do đó ta có:
6
D
π
− ∈ mà
6
D
π
∉
c) sin cosy x x= + ĐS: không chẵn ,không lẻ (vì
3 1
3 2
f
π + 
= 
 
,
3 1
3 2
f
π − + 
− = 
 
)
d) tan coty x x= + ĐS: Hàm số lẻ
e) sin cosy x x= ĐS: Hàm số lẻ
f)
+
=
3
3
cos 1
sin
x
y
x
ĐS: Hàm số lẻ
g) = tany x ĐS: Hàm số chẵn
Bài 3: Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau có trục đối xứng :
6 4 2
cos
( )
6 4 2 1
x
y f x
x x x
= =
+ + +
HD: Chứng minh ( )f x là hàm số chẵn ⇒ dfcm
Bài 4: Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau có tâm đối xứng :
2008
cos 2009
( )
sin
n
x
y f x
x
+
= = HD: Chứng minh ( )f x là hàm số lẻ ⇒ dfcm

4. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm lượng giác :
Chuyển hàm số y = f(x) về dạng các hàm số lượng giác cơ bản và xét chiều biến thiên theo
bảng( với k ∈Z).
SinU cosU tanU cotU
Đồng biến (-
2
π
+ k2π ,
2
π
+ k2π
)
Nữa ĐTLG có hoánh
độ >0
(-π + k2π , k2π )
Nữa ĐTLG có tung độ
> 0
R






∈+ Zkk ,
2
π
π
Cả miền xác
định
Nghịch
biến
(
2
π
+ k2π , 3
2
π
+ k2π
)
Nữa ĐTLG có hoánh
độ <0
(k2π , π + k2π )
Nữa ĐTLG có tung độ
> 0
R { }Zkk ∈,π
Cả miền xác
định
Ví dụ: Xét sự biến thiên củ hàm số 4sin cos sin 2
6 6
y x x x
π π   
= + − −   
   
trên 1 chu kỳ của nó.
Từ đó suy ra sự biến thiên trên toàn trục số.
Giải
Ta có : 4sin cos sin 2 2 sin 2 sin sin 2 sin 2 3
6 6 3
y x x x x x y x
π π π     
= + − − = + − ⇔ = +     
     
Do đó hàm số đã cho có chu kỳ T π= nên ta xét sự biến thiên trên [ ]0 , π
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có:
Hàm số đồng biến trên các khoảng 0 ,
4
π 
 
 
và
3
,
4
π
π
 
 
 
Hàm số nghịch biến trên khoảng
3
,
4 4
π π 
 
 
x
2x
y
4
π
0 2
π 3
4
π
π
0
2
π π 3
2
π 2π
3
1 3+
3
1 3− +
3

Hàm số: 4sin cos sin 2
6 6
y x x x
π π   
= + − −   
   
sin 2 3y x⇔= + tuần hoàn với chu kỳT π=
Hàm số đồng biến trên các khoảng ,
4
k k
π
π π
 
+ 
 
và
3
,
4
k k
π
π π π
 
+ + 
 
Hàm số nghịch biến trên khoảng
3
,
4 4
k k
π π
π π
 
+ + 
 
với k Z∈
Bài 1: Xét sự biến thiên của hàm số sau trên một chu kỳ của nó
a) y = tan2x b) y = 1 – sinx.
y = sinx – cosx
a) y = cos2x b) y = cot3x
Bài 4: Vẽ đồ thị của các hàm số :
a) y = xcos b) y = xtan
c) y = cot(-x) d) y = 1 – sinx
Bài 5: Vẽ đồ thị của các hàm số :
a) y = sin(x –
4
π
) b) y = 1 + cosx
c) y = cot(x –
3
π
) d) y = tan(2x –
6
π
)
5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác :
Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác ( với k ∈Z).
• -1 ≤ sin2k+1
[f(x)] ≤ 1 [ ( )]sin f x ≤ 1 0 ≤ sin2k
[f(x)] ≤ 1
• -1 ≤ cos2k+1
[f(x)] ≤ 1 [ ( )]cos f x ≤ 1 0 ≤ cos2k
[f(x)] ≤ 1
Sử dụng tính chất của tam thức bậc hai .
• Nếu a < 0 thì 2
ax bx c+ + ≤ –
a4
∆
• Nếu a > 0 thì 2
ax bx c+ + ≥ –
a4
∆

• Nếu hàm số bật 2 mà có điều kiện không phải x R∀ ∈ thì ta phải lập bảng biến
thiên của Parabol tương ứng để tìm được GTLN hoặc GTNN.
Sử dụng tính chất của hàm số bậc nhất theo Sin , Cos
sin cosy a u b u= + ⇒ 2 2
2 2 2 2
sin cos
a b
y u u a b
a b a b
 
= + + 
+ + 
Vì
2
22 







+ ba
a
+ = 1 ⇒ R∈∃α sao cho 2 2
cos
a
a b
α =
+
và 2 2
sin
b
x
a b
=
+
⇒ 2 2 2 2
(sin .cos cos .sin ) sin( )y a b u u y a b uα α α= + + ⇒ = + +
Vì -1 ≤ sin(u +α ) ≤ 1 ⇒ – 22
ba + ≤ y ≤ 22
ba +
 Mở rộng :
• a.sinx + b.cosx = c (1)
. ∃x thỏa (1) ⇔ – 22
ba + ≤ c ≤ 22
ba +
• [ ] [ ].sin ( ) cos ( )y a f x b f x c= + + ⇔ – 22
ba + + c ≤ y ≤ 22
ba + + c
Ví dụ 1: Cho hàm số 2
2cos 2 3sin cos 1y x x x= − +
a. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên
b. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn
7
0 ,
12
π 
  
.
Giải
2
2cos 2 3sin cos 1 cos2 3sin 2 2y x x x x x= − += − +
1 3
2 cos2 sin 2 2 2 cos2 cos sin 2 sin 2
2 2 3 3
y x x x x
π π   
⇔= − += − +       
2cos 2 2
3
y x
π 
⇔= + + 
 
a. Ta có: 1 cos 2 1,
3
x x R
π 
− ≤ + ≤ ∀ ∈ 
 
2 2cos 2 2
3
x
π 
⇔ − ≤ + ≤ 
 
, x R∀ ∈
0 2cos 2 2 4
3
x
π 
⇔ ≤ + + ≤ 
 
, x R∀ ∈
0 4y⇔ ≤ ≤ , x R∀ ∈
Vậy ( ) 4Max y = khi cos 2 1
3 6
x x k
π π
π
 
+ =⇔ =− + 
 
( ) 0Min y = khicos 2 1
3 3
x x k
π π
π
 
+ =− ⇔ = + 
 
2
22 







+ ba
b

b. 2cos 2 2
3
y x
π 
= + + 
 
7 7 3
0 , 0 2
12 12 3 3 2
x x x
π π π π π 
∀ ∈ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤  
Lập bảng biến thiên của hàm số 2cos 2 2
3
y x
π 
= + + 
 
trên đoạn
7
0 ,
12
π 
  
Từ bảng biến thiên ta thấy:
7
0 ,
12
( ) 0Min f x
π 
 
 
= Khi
3
x
π
=
7
0 ,
12
( ) 3Max f x
π 
 
 
= khi x = 0
Ví dụ 2: Tìm GTNN và GTLN của hàm số 4
sin cosy x x= −
Giải
Ta có:
4
4
0 sin 1
1 sin cos 1 1 1
0 cos 1
x
x x y
x
 ≤ ≤
⇒ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤
≤ ≤
( ) 1Max y = khi
2
sin 1 2
2
cos 0 2
2
x k
x
x k
x
x k
π
π
π
π
π
π

= += 
⇔ ⇔ = + 
= = +

( ) 1Min y = − khi
sin 0
2
cos 1 2
x x k
x k
x x k
π
π
π
= = 
⇔ ⇔ = 
= = 
x
( )f x
2
3
x
π
+
3
π
2
π π 3
2
π
3
2
0
2
0 12
π
3
π 7
12
π

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của các hàm số .
a) y = 2sinx + 4 (ĐS: 6 và 2)
b) y = 1 – 2cosx – 2sin2
x (ĐS: 3 và
2
3
− )
c) y = sinx + 3 cosx (ĐS:2 và -2)
d) y =
3cossin2
3cos2sin
++
++
xx
xx
(ĐS:2 và
2
1
)
a) y = 2(1 + sin2x.cos4x) –
2
1
(cos4x – cos8x) (ĐS: 5 và 1)
b) y = sin10
x + cos10
x (ĐS: 1 và
16
1
)
c) y =
2cossin
cos2
−+
+
xx
x
d) y =
4sincos2
3cos2sin
+−
++
xx
xx
e) y =
1cos
1coscos2 2
+
++
x
xx
f) y = 2sin2
x + 4sinx.cosx + 5
g) y = 1 +
x
x
cos2
sin3
+
h) y = 22
1
4
cos
1
2
sin
x
x
x
x
+
+
+
+ 1
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số .
y =
xx cos
1
sin
1
+ (ĐS: 2 2 )
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số .
y = xxxx 2222
cos7sinsin7cos +++ (4 và 1 + 7 )
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số .
y = xx cossin +

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số .
a) y = sinx + 3sin2x
b) y = xx cos21sin21 +++
c) y = cos3x + 2sin2
2
x
a) y = xx sin21cos21 −+−
b) y = xx sin21cos21 +++
c) y =
xx
xx
24
24
cos4sin3
sin4cos3
+
+
Bài 8: Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số : y =
2cos
1sin.
+
+
x
xm
nhỏ hơn – 1 .
Bài 9: Cho hàm số : y =
2sincos
sin2
++
+
xx
mxm
.
a) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số với m = 1.
b) Xác định m để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 10: Cho hàm số : y =
2sincos
1cos2
++
++
xx
mxm
.
a) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số với m = 1.
b) Xác định m để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 11: Cho hàm số :
F(x) = cos2
2x + 2(sinx + cosx)2
– 3sin2x + m.
Tính theo m giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của F(x).Từ đó tìm m sao cho F2
(x)≤ 36 ,∀ x ∈R
Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của :
a.
1 1
sin cos
y
x x
= + với 0
2
x
π
< <
b.
9
4 siny x x
x
π
= + + với 0 x< < +∞
c. 2
2sin 4sin cos 5y x x x= + +

Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của :
a. sin cos cos siny x x x x= +
b. sin 3sin 2y x x= +
c. 2
cos 2 cosy x x= + −
6. Một số phép biến đổi đồ thị:
• Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số ( )y f x a= ± hoặc ( )y f x a= ± thì ta
thực hiện phép tịnh tiến như hình vẽ .
• Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y =
f(x) qua trục hoành.
• Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = f(-x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị
y = f(x) qua trục tung.
• Đồ thị f x neáu f x
y f x
f x neáu f x
( ), ( ) 0
( )
( ), ( ) 0
 ≥
= = 
− <
được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách giữ
nguyên phần đồ thị y = f(x) ở phía trên Ox và bỏ phần đồ thị phía dưới Ox đồng thời
lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm ở phía dưới Ox qua trục Ox.
• Đồ thị  ≥
= =  − <
( ), 0
( )
( ), 0
f x neáu x
y f x
f x neáu x
được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách giữ
nguyênphần đồ thị y = f(x) ở phía phải Oy ( 0x ≥ ) và bỏ phần đồ thị phía trái Oy
đồng thời lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm ở phía phải Oy qua trục Oy.
• Đồ thị . ( )y k f x= được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách có ( 1k < ) giản ( 1k > ) theo
phương của trục tung (Oy) theo tỷ số k
• Đồ thị ( . )y f k x= được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách có ( 1k < ) giản ( 1k > ) theo
phương của trục hoành (Ox)theo tỷ số k
( )y f x=
( )y f x a= + (cùng chiều dương trục Oy)
a đơn vị
( )y f x a= − (ngược chiều dương trục Oy)
( )y f x a= + ( )y f x a= −
với 0a >
(cùng chiều dương trục Ox)
(ngược chiều dương trục Ox)

Ví dụ 1: Cho hàm số 3cos2y x=
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên .
b. Từ đồ thị của hàm số cos2y x= hãy suy ra đồ thị của 3sin 2 2
3
y x
π 
= + + 
 
Giải
a. TXĐ: D = R
Bảng biến thiên:
Hàm số ngịch biến trên các khoảng ,
2
k k
π
π π
 
+ 
 
Hàm số đồng biến trên các khoảng ,
2
k k
π
π π π
 
+ + 
 
,k Z∈ (vì hàm số có chu kỳT π= )
Đồ thị:
Nhận xét : Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng , Hàm số tuần hoàn với chu kỳ T π=
b.
Bước 1: Bằng cách tịnh tiến (C): cos2y x= theo ngược chiều dương của trục
Ox
6
π
đơn vị ta có được đồ thị (C’): 3sin 2
3
y x
π 
= + 
 
vì ( ') : 3sin 2
6
C y x
π 
= + 
 
x
2x
( )f x
2π0
2
π π 3
2
π
0 4
π
2
π 3
4
π
π
3
0
-3
0
3
x
y
3
-3
0
4
π
2
π 3
4
π π 5
4
π
2
π
−
4
π
−π−
x
y
3
-3
0
12
π
3
π 7
12
π 5
6
π 13
12
π5
12
π
−
6
π
−2
3
π
−
7
6
π
−

Bước 2: Bằng cách tịnh tiến đồ thị (C’): 3sin 2
3
y x
π 
= + 
 
lên trên 2 đơn vị
(theo cùng chiều dương của trục Oy) ta có đồ thị ( ") : 3sin 2 2
3
C y x
π 
= + + 
 
Bước 3: Bằng cách giữ nguyên phần đồ thị (C”): 3sin 2 2
3
y x
π 
= + + 
 
nằm phía
trên trục Ox , và bỏ phần đồ thị phía dưới Ox đồng thời lấy đối xứng phần đồ thị
(C”) nằm ở phía dưới Ox qua trục Ox ta thu được đồ thị của hàm số :
3sin 2 2
3
y x
π 
= + + 
 
như hình vẽ sau:
Ví dụ 2: Tìm các phép biến hình để có thể biến đồ thị (C) thành (C’) sau đay:
a. ( ): sinC y x= ( ') : sin 1
3
C y x
π 
=− + + 
 
b. ( ) : 2tan
6
C y x
π 
= − 
 
( ') : 2tan 3
6
C y x
π 
= − − − 
 
c. ( ): cosC y x= ( ') : cos 3
4
C y x
π 
= − + 
 
d. ( ): cosC y x= ( '): 2cos 2C y x=− +
x
y
3
-1
0
3
π
5
6
π 13
12
π
6
π
−
2
3
π
−
7
6
π
−
x
y
3
-1
0
3
π
5
6
π 13
12
π
6
π
−2
3
π
−7
6
π
−

Giải
a. Để biến đổi (C) thành (C’) ta cần thực hiên lần lượt các bước sau:
Bươc 1: Tịnh tiến (C) sang trái
3
π
đơn vị ta có( )1 : sin
3
C y x
π 
= + 
 
(theo ngược chiều dương trục Ox )
Bươc 2: Đối xứng ( )1C qua trục Ox ta được ( )2 : sin
3
C y x
π 
=− + 
 
Bươc 3: Tịnh tiến ( )2C lên trên 1 đơn vị ta có ( )'C (theo chiều dương trục Oy )
b. Để biến đổi (C) thành (C’) ta cần thực hiên lần lượt các bước sau:
Bươc 1: Đối xứng ( )C qua trục Ox ta được ( )1 : 2tan
6
C y x
π 
= − − 
 
Bươc 2: Tịnh tiến ( )1C xuống dưới 3 đơn vị ta có ( )'C
(theo ngược chiều dương trục Oy )
c. Để biến đổi (C) thành (C’) ta cần thực hiên lần lượt các bước sau:
Bươc 1: Tịnh tiến (C) sang phải
4
π
đơn vị ta có( )1 : cos
4
C y x
π 
= − 
 
(theo chiều dương trục Ox )
Bươc 2:Giữ nguyên phần đồ thị ( )1C ở phía phải Oy ( 0x ≥ ) và bỏ phần đồ
thị phía trái Oy đồng thời lấy đối xứng phần đồ thị ( )1C nằm ở phía
phải Oy qua trục Oy, ta thu được đồ thị ( )2 : cos
4
C y x
π 
= − 
 
Bươc 3: Tịnh tiến ( )2C lên trên 3 đơn vị ta có được đồ thị ( )'C
(theo chiều dương trục Oy)
d. Để biến đổi (C) thành (C’) ta cần thực hiên lần lượt các bước sau:
Bươc 1: Thực hiện phép giản (C) 2 đơn vị ta thu được ( )1 : 2cosC y x=
Bươc 2: Đối xứng ( )1 : 2cosC y x= qua trục Ox ta thu được ( )2 : 2cosC y x= −
Bươc 3: Tịnh tiến ( )2 : 2cosC y x= − lên trên 2 đơn vị ta thu được ( '): 2cos 2C y x=− +
(theo chiều dương trục Oy)

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Similar to HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC (20)

More from DANAMATH

More from DANAMATH (17)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC