TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG

HÌNH HỌC
10
GV: PHAN NHẬT NAM
TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 00
ĐẾN 1800
CƠ SỞ LỶ THUYẾT
1. Định nghĩa
Lấy M trên nöûa ñöôøng troøn ñôn vò taâm O. Xeùt goùc nhoïn  = xOM . Giaû söû 0 0( ; )M x y .
sin = 0y (tung ñoä)
cos = 0x (hoaønh ñoä)
tan =
 
 
 
y tungñoä
x hoaønhñoä
0
0
(x  0)
cot =
 
 
 
x hoaønhñoä
y tungñoä
0
0
(y  0)
Chú ý: – Nếu  tù thì cos < 0, tan < 0, cot < 0.
– tan chỉ xác định khi   900
, cot chỉ xác định khi   00
và   1800
.
2. Tính chất
 Góc phụ nhau  Góc bù nhau
0
0
0
0
sin(90 ) cos
cos(90 ) sin
tan(90 ) cot
cot(90 ) tan
 
 
 
 
 
 
 
 
0
0
0
0
sin(180 ) sin
cos(180 ) cos
tan(180 ) tan
cot(180 ) cot
 
 
 
 
 
  
  
  
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
4. Các hệ thức cơ bản
   

 


 

 
 
 
tan .cot 1 (sin .cos 0)
sin
tan (cos 0)
cos
cos
cot (sin 0)
sin
2 2
2
2
2
2
sin cos 1
1
1 tan (cos 0)
cos
1
1 cot (sin 0)
sin
 
 

 

 
  
  
Chú ý:      0 sin 1 ; 1 cos 1.
00
300
450
600
900
1800
sin 0
1
2
2
2
3
2
1 0
cos 1 3
2
2
2
1
2
0 –1
tan 0 3
3
1 3  0
cot  3 1 3
3
0 
1
1
-1
0

CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN:
Dạng 1: Biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lương giác còn lại
 Từ giả thuyết ta xác định khoảng giá trị của góc  thuộc 0 0
(0 , 90 ) hoặc 0 0
(90 ,180 ) cụ thể:
0 0
(0 , 90 ) sin 0 , cos 0 , tan 0 , cot 0          
0 0
(90 ,180 ) sin 0 , cos 0 , tan 0 , cot 0          
 Sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác tương ứng để tìm các giá trị lượng giác còn lại:
Nếu gt cho sin a  thì : 2 2 2
cos 1 sin 1 a     ,
sin
tan
cos



 ,
cos
cot
sin




Nếu gt cho cos a  thì : 2 2
sin 1 cos 1 a     ,
sin
tan
cos



 ,
cos
cot
sin




Nếu gt cho tan a  thì : 2 2
2 2
1 1
1 tan cos
cos 1 a
 

   

, sin tan .cos  
Nếu gt cho cot a  thì : 2
2 2
1 1
1 cot sin
sin 1 a
 

   

, cos cot .sin  
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho biết
1
cos
10
   . Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc 
Giải:
Ta có 0 01
cos 0 (90 ,180 ) sin 0
10
         , tan 0 , cot 0  
Lại có: 2 2 2 3
sin cos 1 sin 1 cos
10
         (vì sin 0  )
sin
tan 3
cos



  và
cos 1
cot
sin 3



 
Vậy các giá trị lượng giác còn lại của  là:
3
sin
10
  , tan 3  và
1
cot
3
 
Ví dụ 2: Cho biết
1
sin
3
  . Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc 
Giải:
Ta có 0 0
(0 ,180 ) sin 0    
TH1: 0 0
(0 , 90 ) cos 0    khi đó ta có:
2 2 2 2 2
sin cos 1 cos 1 sin
3
        
sin 1 2
tan
cos 42 2



   và
cos
cot 2 2
sin



  .

TH2: 0 0
(90 ,180 ) cos 0    khi đó ta có:
2 2 2 2 2
sin cos 1 cos 1 sin
3
          
sin 1 2
tan
cos 42 2



     và
cos
cot 2 2
sin



   .
Ví dụ 3: Cho biết tan 2  . Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc 
Giải:
Ta có 0 0
tan 2 0 (0 , 90 ) sin 0        , cos 0 , cot 0  
Lại có: 2 2 2
2
1 1 5
tan 1 2 1 5 cos cos
cos 5 5
  

         (vì cos 0  )
sin 2 5
tan sin tan .cos
cos 5

   

   
1 1
cot
tan 2


 
Vậy các giá trị lượng giác còn lại của góc  là:
5
cos
5
  ,
2 5
sin
5
  và
1
cot
2
 
Ví dụ 4: Cho biết tan 2x  . Tính giá trị của biểu thức:
3
3
cos sin cos
sin 3cos
x x x
A
x x
 


Giải:
3
3 3 3 3 2 2
33
23 3
cos sin cos sin 1 1
1 .
cos sin cos cos cos cos cos cos cos
1sin cossin cos 1
coscos cos
x x x x
x x x x x x x x xA
x xx x
xx x
   
 
  
 
2 2 3 2 3 2
2 2 2
1 tan (tan 1) (tan 1) tan tan tan 2 2 2
1
1 (tan 1) tan 2 2 2
x x x x x x
x x
       
   
   
Ví dụ 5: Cho biết sin cos 2  
a. Tính các giá trị lượng giác : sin , cos , tan , cot   
b. Tính giá trị của biểu thức: 6 6
sin cosA   
Giải:
a. sin cos 2 cos sin 2       
Lại có:  
2
2 2 2 2
sin cos 1 sin sin 2 1 2sin 2 2 sin 1 0              
 
2 1
2 sin 1 0 sin
2
     

Do đó:
1 1
cos sin 2 2
2 2
      
sin
tan 1
cos



   và
cos
cot 1
sin



  
Vậy các giá trị lượng giác cần tìm là:
2
sin
2
  ,
2
cos
2
  , tan 1   , cot 1  
b.    
3 36 6 2 2
sin cos sin cosA       
   
32 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1
sin cos 3sin cos sin cos 1 3sin cos 1 3. .
2 2 4
               
Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxy cho M(- 4; 3). Hãy tìm các giá trị sin , cos , tan , cotx x x x với x xOM
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho các giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn lại:
a.
1
sin
4
  (biết  là góc nhọn) d.
1
cos
3
  
b. tan 2 2  e. cot 2  
c.
4
sin
5
  f.
3
cos
5
 
Bài 2: Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị của biểu thức:
a. Cho biết:  0 01
sin , 90 180
3
x x   . Tính
tan 3cot 1
tan cot
x x
A
x x
 


b. Cho biết: tan 2x  Tính 2 3
sin cos
sin 3cos 2sin
x x
B
x x x


 
,
3sin cos
sin cos
x x
C
x x



c. Cho biết: sin 2x  Tính
cot tan
cot tan
x x
C
x x



d. Cho biết: cot 3x   Tính
2 2
2 2
sin 2sin cos 2cos 1
2sin 3sin cos 4cos
x x x x
E
x x x x
  

 
Bài 3: Cho biết 0 0
45 90 
a. Chứng minh rằng: sin cos 1  
b. Đặt: sin cosa    . Hãy tính giá trị của các biểu thức :
sin cosA   sin cosB    4 4
sin cosC   
4 4
sin cosD    6 6
sin cosE    6 6
sin cosF   
Bài 4: Biết 0 6 2
sin15
4

 . Tinh 0 0 0
cos15 , tan15 , cot15 .

Bài 5 : Cho
4
sin cos
3
   . Hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
sin cosA   sin cosB    4 4
sin cosC   
4 4
sin cosD    6 6
sin cosE    6 6
sin cosF   
8 8
sin cosG   
2 2
2 2
cos cot
sin tan
H
 
 



Bài 6: Tính giá trị các biểu thức sau:
a. a b c0 0 0
sin0 cos0 sin90  e. a b c0 0 0
cos90 sin90 sin180 
b. a b c2 0 2 0 2 0
sin90 cos90 cos180  f. 2 0 2 0 2 0
3 sin 90 2cos 60 3tan 45  
c. a a a2 2 0 0 2 0 2
4 sin 45 3( tan45 ) (2 cos45 )  g. 2 0 2 0 2 0 2 0
sin 3 sin 15 sin 75 sin 87  
d. 2 0 2 0 2 0 2 0
cos 12 cos 78 cos 1 cos 89  
Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(x; 4) và 0
120xOM  . Hãy tìm x
Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(x; y) và xOM  . Hãy cho biết dấu của x, y trong các
trường hợp :  nhọn ,  tù
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác :
Sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác :
sin
tan (cos 0)
cos
cos
cot (sin 0)
sin
tan .cot 1 (sin .cos 0)

 


 

   
 
 
 
2 2
2
2
2
2
sin cos 1
1
1 tan (cos 0)
cos
1
1 cot (sin 0)
sin
 
 

 

 
  
  
     
2 2 24 4 2 2 2 2 2 2 2 2
sin cos sin cos sin cos 2sin cos 1 2sin cosx x x x x x x x x x       
       
3 3 36 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
sin cos sin cos sin cos 3sin cos sin cos 1 3sin cosx x x x x x x x x x x x        
       
2 2 2 28 8 4 4 4 4 4 4 2 2 4 4
sin cos sin cos sin cos 2sin cos 1 2sin cos 2sin cosx x x x x x x x x x x x        

Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức:
2
1 1 1
sin sin
2 2cos 2 2cos 1 tan
x x
x x x
 
       
; với 0 0
0 180x 
Giải:
0 0
(0 ,180 ) sin 0x x  
 2
1 cos 1 cos 1 cos 1 cos
sin sin sin sin
2(1 cos )(1 cos ) 2(1 cos )(1 cos ) 2 1 cos
x x x x
VT x x x x
x x x x x
      
                
2 2
2
1 1 1
sin sin sin sin sin sin 1 sin cos
sin sin sin
x x x x x x x x
x x x
    
                    
2
2
2
1 1
cos
11 tan
cos
VP x
x
x
  

Do đó ta có: 2
cosVT VP x  (đpcm)
Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức: x x x x2 2 2 2
tan sin tan .sin 
Giải:
2
2 2 2 2
2 2
sin 1
tan sin sin sin 1
cos cos
x
VT x x x x
x
 
      
 
 2 2 2 2
sin tan 1 1 sin tanx x x x VP     (đpcm)
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức: 2 0 2 0 2 0 2 0
sin 3 sin 15 sin 75 sin 87A    
Giải:
Theo công thức phụ ta có:
 0 0 0 0
sin3 sin 90 87 cos87  
 0 0 0 0
sin15 sin 90 75 cos75  
Do đó ta có:
   2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
cos 87 cos 75 sin 75 sin 87 cos 87 sin 87 cos 75 sin 75 1 1 2A           

Ví dụ 4: Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x
4 2 4 2
sin 4cos cos 4sinA x x x x   
Giải:
Nhận xét: x ta đều có: 1 sin , cos 1x x  
2 2
0 sin , cos 1 0 sin ,cos 1x x x x     
       
2 24 2 4 2 2 2
sin 4 1 sin cos 4 1 cos sin 2 cos 2A x x x x x x         
2 2 2 2
sin 2 cos 2 2 sin 2 cosx x x x        (vì 2
sin 2 0x   và 2
cos 2 0x   )
 2 2
4 sin cos 4 1 3x x      (đpcm)
Bài tập áp dụng:
Baøi 1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) x x x x2
(sin cos ) 1 2sin .cos   b) x x x x4 4 2 2
sin cos 1 2sin .cos  
c) x x x x2 2 2 2
tan sin tan .sin  d) x x x x6 6 2 2
sin cos 1 3sin .cos  
e)
2
2
sin sin cos
sin cos
sin cos tan 1
x x x
x x
x x x

  
 
f)
2 2
2
2 2
cos cot
cot
sin tan
x x
x
x x



g) x x x x x xsin .cos (1 tan )(1 cot ) 1 2sin .cos    h)
1 sin cos
cos 1 sin
x x
x x



Baøi 2. Đơn giản các biểu thức sau:
a)  cos sin .tanA y y y b)   1 cos . 1 cosB b b
c)   2
sin 1 tanC a a d)

 

2
2
1 cos
tan .cot
1 sin
x
D x x
x
e)



2 2
2
1 4sin .cos
(sin cos )
x x
E
x x
f)       0 0 2 2 2
sin(90 ) cos(180 ) sin (1 tan ) tanF x x x x x
g)
0 0
0
0 0
cos36 sin54
.cos54
sin144 cos126
G



h) 2 2
sin cot cosH x x x  
i)
1 sin 1 sin
1 sin 1 sin
x x
I
x x
 
 
 
j) 2 0 2 0 2 0 2 0
cos 12 cos 78 cos 1 cos 89J    
k) 0 0 0 0 0 0 0
cos10 cos20 cos30 cos40 ... cos160 cos170 cos180K        

Baøi 3. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến (độc lập với biến số):
a. 4 4 2 2 2
2cos sin sin cos 3sinA x x x x x   
b. 6 4 2 2 4 4
cos 2sin cos 3sin cos sinB x x x x x x   
c.  
2 2
cot tan (cot tan )C x x x x   
d.        0 0 0 0
cos 60 cos 45 sin 30 cos 135D x x x x       
e. 4 2 4 2
sin 4cos cos 4sinE x x x x   
f.
2 cot 1
tan 1 cot 1
x
F
x x

 
 
g.
2 2
2
cot cos sin cos
cot cot
x x x x
G
x x

 
Dạng 3: Chứng minh đẳng thức liên quan đến các góc của tam giác
Cho tam giác ABC khi đó ta có 0
180A B C   hoặc 0
90
2 2 2
A B C
  
Vì lý do này nên khi xét bài toán có biến là ba góc của một tam giác ta luôn liên tương đến
công thức bù hoặc công thức phụ , cụ thể như:
   0
sin sin 180 sinA B C C   
   0
cos cos 180 cosA B C C    
0
sin sin 90 cos
2 2 2
A B C C  
   
 
Ví dụ : Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có:
a.
2 3
tan cot
2 2
B C A A 

b.  cos cos2A B C B   
Giải:
A, B, C là ba góc của tam giác nên ta có:
0
0
0
180
180
180
B C A
A B C
A C B
   
    
  
a.
0
02 180 3 3 3
tan tan tan 90 cot
2 2 2 2
B C A A A A    
    
 
(đpcm)
b.      0
cos cos cos 180 2 cos2A B C A C B B B         (đpcm)

Bài tập áp dụng: Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
1. sin( ) sinB C A  5. sin cos
2
A B C
C
 

2. cos( ) cosA B C   6.
2 3
sin cos
2 2
A B C C 

3. sin cos
2 2
A B C
 7.
2 3
cot tan
2 2
A B C C 

4. tan cot
2
A B C
C
 

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
CƠ SỞ LỶ THUYẾT
1. Góc giữa hai vectơ
Cho a b, 0 . Từ một điểm O bất kì vẽ OA a OB b,  .
Khi đó  a b AOB,  với 00
 AOB  1800
.
Chú ý:
+  a b, = 900
 a b
+  a b, = 00
 a b, cùng hướng
+  a b, = 1800
 a b, ngược hướng
+    a b b a, ,
2. Tích vô hướng của hai vectơ
 Định nghĩa:  a b a b a b. . .cos , .
Đặc biệt: a a a a
22
.   .
 Tính chất: Với a b c, , bất kì và kR, ta có:
. .a b b a ;   . .a b c a b a c   ;
     . . .ka b k a b a kb  ;    2 2
0 ; 0 0a a a .
 2 2 2
2 .a b a a b b    ;  2 2 2
2 .a b a a b b    ;
  2 2
a b a b a b    .
.a b > 0   ,a b nhọn
.a b < 0   ,a b tù
  . 0a b a b
O
A
B

3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
 Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2).
Khi đó: a b a b a b1 1 2 2.   .
 a a a2 2
1 2  ;
a b a b
a b
a a b b
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
cos( , )
.


 
; a b a b a b1 1 2 2 0   
 Cho A A B BA x y B x y( ; ), ( ; ). Khi đó: B A B AAB x x y y2 2
( ) ( )    .
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN:
Dạng 1:Tính tích vô hương - Tính góc
Phương pháp chung:
1. Nếu để toán cho biết góc của hai vector  ,a b  thì ta sử dụng định nghĩa tích vô hướng
 . . cos , . cosa b a b a b a b   (1)
2. Nếu đề toán không cho góc của hai vector thì ta cần chọn vector c a b  hoặc c a b 
   
2 2 2
2 2
.
2
c a b
c a b c a b a b
 
       (2)
   
2 2 2
2 2
.
2
a b c
c a b c a b a b
 
      
3. Nếu bài toán yêu cầu xác định góc của  ,a b ta có thể thực hiện hai bài toán trên
Thay (1) vào (2) ta có:    
2 2 2 2 2 2
cos , cos ,
2 2 .
c a b c a b
a b a b
a b
   
  
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC đều cạnh a và trọng tâm G.
a. Tính các tích vô hương sau theo a : .AB AC và .BACA.
b. Gọi I là điểm được xác định theo đẳng thức : 2 4 0IA IB IC   .
b1 . Chứng minh BCIG là hình bình hành .
b2 . Tính theo a các tích vô hướng sau:  IA AB AC , .IB IC và .IA IB
Giải:
a. Ta có :
  0
, 60AB AC BAC 
  0 0 0 0
, 180 180 60 120AB CA BAC    

Theo định nghĩa tích vô hướng ta có:
 
2
0
. . .cos , . .cos60
2
a
AB AC AB AC AB AC AB AC  
 
2
0
. . .cos , . .cos120
2
a
AB CA AB CA AB CA AB AC   
Hoặc  
2
. . .
2
a
AB CA AB AC AB AC     
b. G là trọng tâm của 3ABC IA IB IC IG    
b1 .  2 4 0 3 0IA IB IC IA IB IC IB IC        
IG CB   BCIG là hình bình hành
b2 . Tính :  IA AB AC
Cách 1: G là trọng tâm của 0 3ABC GA GB GC AB AC AG       
Ta có: ABC đều . 0AG BC AG IG IG AG     
     
2
2
22 3
3 3 3 3
3 2
a
IA AB AC IG GA AG IGAG GA a
 
          
 
Cách 2:      1 1 2
2
3 3 3
IA IG GA BC AB AC AC AB AB AC AC AB          
      2 2 2 2 2 22 2 2 1
2 2 2
3 3 3 2
IA AB AC AC AB AB AC AC ABAC AB a a a a
 
            
 
Cách 3: Gọi M là trung điểm BC
Khi đó ta có: 2AB AC AM  , 0AM BC CBAM   và
2
3
AG AM
   
2
2 22 4 4 3
2 2 2 0
3 3 3 2
a
IA AB AC IG GA AM CBAM AM AM AM a
  
                 
Tính : .IB IC
    
2
. .IB IC IA AB IA AC IA IA AB AC AB AC      
 
2
2 2
2 2 2 23 5
.
3 2 6
a a a
AG BC IA AB AC AB AC a a
 
           
 
Tính : .IA IB
   2 2
. . . . . .IA IB IG GA IG IC IG IG IC IG GA GA IC IG IG IC GAGB         
2
2
2 0 0 3 3 3 3 3 1 17
. .cos30 . .cos120
3 2 2 2 2 2 24
a a a a a
IG IG IC GAGB a
   
              
B C
A
G I

Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I, cạnh AB = a, AD = b. Tính theo a, b các tích vô hướng
a. .AB AC , .BD AC ,    .AC AB AC AD 
b. . .MA MC MB MD . Với M là điểm tùy ý thuộc đường tròn ngoại tiếp của ABCD.
Giải:
a. AC AB AD  {theo quy tắc hình bình hành}
BD AD AB  {theo quy tắc ba điểm}
ABCD là hình bình hành . 0AB AD AB AD   
Do đó ta có:
    
2
2 2
. . .AB AC AB AB AD AB AB AD AB a     
       
2 2
2 2 2 2
.BD AC AD AB AD AB AD AB AD AB a b        
          . . 2.AC AB AC AD AB AD AB AB AD AD AD AB AD        
 
2
2 2
. 2 2 2AD AB AD AD b   
Bình luận: Ở ví dụ trên ta phân tích tất cả các vectơ trong tích vô hướng về hai vectơ AB và AD
vì ta xác định được góc tạo bởi hai vectơ này , cụ thể :   0
, 90 . 0AB AD AB AD  
b. Cách 1:
I là tâm của hình chữ nhât nên ta có: 0IA IC IC IA     , 0IB ID IB ID    
Ta có IM IA R  là bán kính của đường tròn ngoại tiếp ABCD
nên 2 21 1
2 2
IM AC a b   (theo Pitago)
          
2 2 2
2 2
. . 0MA MC MI IA MI IC MI MI IC IA IC IA MI IA R R           
Tương tự ta cũng có: . 0MB MD 
Do đó: . . 0MA MC MB MD 
Cách 2:
Gọi (C) đường tròn ngoại tiếp ABCD.
Khi đó ta có (C) có hai đường kính là AC và BD
0
0
90
90
AMC
BMD
 
 

(góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)
. 0
. . 0
. 0
MA MC MA MC
MA MC MB MD
MB MD MB MD
   
     
   
Bình luận: Thông qua ví dụ trên ta rút được kinh nghiệm để tính tích vô hướng của hai vectơ thì
trước tiên ta phải xác định được góc tạo bởi hai vectơ đó
A
B
CD
M
I

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3
a. Tính .AB AC từ đó suy ra  cos BAC
b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính .AG BC
c. AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Tính độ dài đoạn AM.
d. Tính . . .GAGB GB GC GC GA 
e. Gọi D là chân đường phân giác trong của góc A. Tính độ dài AD.
Giải:
a. Theo quy tắc 3 điểm ta có: BC AC AB 
 
22 2 2 2
2 .BC AC AB BC AC AC AB AB      
2 2 2 2 2 2
3 2 4 3
.
2 2 2
AC AB BC
AC AB
   
    
Theo định nghĩa tích vô hướng ta có:
       3 1
. . cos , . cos 2.3cos cos
2 4
AB AC AB AC AB AC AB AC BAC BAC BAC       
b. Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó ta có:  2 1
3 3
AG AM AB AC  
Do đó:     2 21 1 5
.
3 3 3
AG BC AC AB AC AB AC AB     
c. M là trung điểm BC  2AM AB AC  
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 2 ( ) 2 2AM AB AC ABAC AB AC AC AB BC AC AB BC            (theo câu a)
2 2 2
2 2 2 10 10
4 4 2
AC AB BC
AM AM
 
    
d. Theo câu c ta có:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 10
3 3 4 3 3
AC AB BC AC AB BC
AG AM
   
   
Tương tự ta cúng có:
2 2 2
2 2 2 31
3 2 3
BA BC AC
BG
 
  ;
2 2 2
2 2 2 46
3 2 3
CA CB AB
CG
 
 
G là trọng tâm ABC   0GA GB GC   
 
2
2 2 2
0 2 . 2 . 2 . 0GA GB GC GA GB GC GAGB GB GC GC GA          
2 2 2
10 31 46 29
. . .
2 18 6
GA GB GC
GAGB GB GC GC GA
   
        
e. D là chân đường phân giác trong của góc A nên ta có
2 2
3 3
DB AB DB
DB DC
DC AC DC
    
2
3
DB DC   (vì DB , DC ngược chiều)
   3 2 5 3 2AB AD AC AD AD AB AC       

   
2 2
2 2 2
5 3 2 25. 9 4 12 . 54AD AB AC AD AB AC AB AC        (theo câu a:
3
.
2
AC AB   )
3 6
5
AD 
Ví dụ 4: Chứng minh rằng:
a. . . . 0MA BC MB CA MC AB   với mọi điểm M, A, B, C {hệ thức Euler}
b.  2 2 21
.
2
AB AC AB AC BC   với mọi điểm A, B, C
c.  2 2 2 21
.
2
MN PQ MQ NP MP NQ    với mọi điểm M, N, P, Q
Giải:
a.      . . . . . .MA BC MB CA MC AB MA MC MB MB MA MC MC MB MA       
. . . . . .MA MC MA MB MB MA MB MC MC MB MC MA     
     . . . . . . 0MA MC MC MA MB MA MA MB MC MB MB MC       (đpcm)
Bình luận: Trong ví dụ này giả thuyết cho các điểm tùy ý nên ta không thể xác định được góc của
các cặp vectơ vì vậy ta không thể dung định nghĩa để tính các tích vô hương. Từ đó ta phải nghĩ
đến việc phân tích thành từng cặp tích vô hướng đối nhau để có thể khử nhau.
b. Cách 1:
Theo quy tắc 3 điểm ta có:
   
2 2
BC AC AB BC AC AB     2 2 2
2 .BC AC AC AB AB   
 2 2 21
.
2
AC AB AC AB BC    (đpcm)
Cách 2:    2 2 22 2 21 1
2 2
AB AC BC AB AC BC     
  
  
21
2
AB AC BC AC BC      
   1 1
2 .
2 2
AB AB AC BC AB AC AB AC     (đpcm)
Bình luận: Đẳng thức trên thể hiện mối quan hệ của tích vô hướng và bình phương độ dài nên
ta liên tương ngay đến phép bình phương vô hướng để có thể thiết lập được mối quan hệ trên qua
ba vectơ ;BC AC và AB từ một đẳng thức đúng BC AC AB 
c. Gọi I là trung điểm PQ ta có:  1
2
MQ MP MI  và  1
2
NQ NP NI 
     2 2 2 22 2 2 21 1 1
2 2 2
MQ NP MP NQ MQ MP NQ NP      
     1 1
2 2
MQ MP MQ MP NQ NP NQ NP     
 . . . .PQ MI PQ NI PQ MI NI MN PQ     (đpcm)

Dạng 2: Các dạng toán sử dụng biểu thức tọa độ
Nếu bài toán cho ở dạng tọa độ  1 2;a a a và  1 2;b b b thì ta sử dụng các công thức
1 1 2 2.a b a b a b  ;   1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
.
cos ,
.
a b a ba b
a b
a b a a b b

 
 
1 1 2 2. 0 0a b a b a b a b     
Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hai vectơ  1;1a  và  2;1b 
a. Tính các giá trị lượng giác của góc  ,a b
b. Xác định tọa độ của c , biết  . 1a b c   và  2 . 1a b c 
Giải:
a. Theo định nghĩa tích vô hướng ta có:
     2 2 2 2
. 1.2 1.1 3
. . cos , cos , cos ,
10. 1 1 1 2
a b
a b a b a b a b a b
a b

     
 
Ta có:        2 2 2 1
sin , cos , 1 sin , 1 cos ,
10
a b a b a b a b      {vì  sin , 0a b  }
 
 
 
sin , 1
tan ,
3cos ,
a b
a b
a b
  ;  
 
 
cos ,
cot , 3
sin ,
a b
a b
a b
 
b. Gọi ( ; )c x y
 1 2;1 1 (3; 2)a b     và  2 1 2 ;1 2a c x y   
 
 
. 1 3 2 1 3 2 1 1
( 1;1)
2(1 2 ) 1(1 2 ) 1 2 1 12 . 1
a b c x y x y x
ycbt c
x y x y ya c b
             
         
          
Ví dụ 2: Cho ba điểm A(7; 4), B(0; 3) và C(4; 0). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên
đường thẳng BC, từ đó suy ra tọa độ điểm A’ đối xứng A qua BC.
Giải:
Gọi H(x; y) , khi đó ta có:
 ; 3BH x y  ,  7 ; 4AH x y   và  4 ; 3BC  
H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC
AH BC
H BC

 

( 7).4 ( 4).( 3) 0
. 0 4 3 16 4
(4 ; 0)3
3 4 12 0
4 3
x y
AH BC x y x
Hx y
x y yBH BC
          
       
      

Gọi A’(a ; b) là điểm đối xứng của A qua BC  H là trung điểm của AA’
'
'
' '
2. 2.4 7 12 (1; 4)
2. 2.0 4 4
2
A A
H
A H A
A A A H A
H
x x
x
x x x a
A
y y y y y b
y

      
      
       

Dạng 3: Sử dụng tích vô hướng để chứng minh quan hệ vuông góc:
Phương pháp chung: Cần chứng minh AB CD
 Chọn hai vec tơ ,a b sao cho xác định được góc  ,a b và tỷ số môđun của chung
 Phân tích : 1 1AB m a n b  và 2 2CD m a n b 
 Tính :   1 1 2 2. 0AB CD m a n b m a n b AB CD      (đpcm)
Ví dụ 1: (Trích A – 2014) cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm
thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Chứng minh DN MN
Giải:
Đăt a là độ dài cạnh của hình vuông AB AD a 
Ta có: . 0AB AD AB AD  
 3 3 3 1
4 4 4 4
DN AN AD AC AD AD AB AD AB AD        
 3 1 1 3
4 2 4 4
MN AN AM AD AB AB AB AD      
Bình luận: Xen điểm A vào các vec tơ DN và MN
để phân tích chúng qua hai vec tơ ta đã chọn là AB và AD
Khi đó ta có:
2 2 2 23 1 1 3 3 3 3 3
. 0
4 4 4 4 16 16 16 16
DN MN AB AD AB AD AB AD a a
  
         
  
DN MN  (đpcm)
A
D
B
C
.
M
N
E

Ví dụ 2: Cho tam giác đều ABC cạnh 3a. Lấy M, N, P lần lượt nằm trên ba cạnh BC, CA, AB sao
cho BM = a, CN = 2a, AP = x . Tìm x để AM vuông góc PN.
Giải:
Theo giả thuyết ta có:
  2 1
3 3
3 3
BC BM AC AB AM AB AM AB AC       
1
3 3
x
NP AP AN AB AC
a
   
 
2
2 0
. . .cos , cos60
2
a
AB AC AB AC AB AC a  
. 0AM PN AM NP  
2 1 1
. 0
3 3 3 3
x
AB AC AB AC
a
   
      
   
2 22 2 1
. 0
9 9 9 9
x x
AB AB AC AC
a a
 
     
 
2
22 2 1 5 4
0 2 0
9 9 9 2 9 2 5
xa x a x a
a a x
a
 
          
 
Vậy
4
5
a
x  thì AM PN
Ví dụ 3: Cho  ABC có góc A nhọn. Gọi I là trung điểm BC .Dứng bên ngoài tam giác ABC các tam
giác ABD và ACE vuông cân tại A. Chứng minh AI DE
Giải:
Ta có :    0
, 90 ,AE AB EAB EAC CAB CAB DAC AD AC      
   cos , cos ,AD AC AE AB  và . 0
. 0
AE AC AE AC
AD AB AD AB
   

  
DE AE AD  và  1
2
AI AB AC 
Ta có: 1 1 1 1
. . . . .
2 2 2 2
DE AI AE AB AE AC AD AB AD AC   
A
B C
D
E
I
A
B C
.
.
P
M
N
x
a

   1 1
. cos , . cos , 0
2 2
AE AB AE AB AD AC AD AC  
(vì AB = AD , AC = AE và    cos , cos ,AD AC AE AB )
DE AI  (đpcm)
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông tại B có BC = 2BA. Điểm M là trung điểm đoạn AC.Gọi
N thuộc cạnh BC sao cho BC = 4BN. Chứng minh: BM AN
Giải:
M là trung điểm AC   1
2
BM BC BA  .
Lại có : BC = 4BN 1
4
4
BC BN BN BC    (Vì BC và BN cùng chiều)
Do đó ta có:
1
4
AN BN BA BC BA   
 
22 2 21 1 1 1
. 2 0
8 2 8 2
BM AN BC BA BA BA BM AN       (đpcm)
Dạng 4: Sử dụng tích vô hướng để giải bài toán quỹ tích
Các dấu hiệu cần nhớ: (tìm quỹ tích điểm M, với các điểm A, B, C, cố định)
Dấu hiệu 1: . 0AM BC AM BC    quỹ tích M là đường thẳng qua A và vuông góc BC
Dấu hiệu 2: 2
0AM a   quỹ tích M là đường tròn tâm A bán kính R a
Dấu hiệu 3: 0
. 0 90MAMB MA MB AMB      quỹ tích M là đường tròn đường kính AB.
Dấu hiệu 4: .MA MB a (với a là số không đổi)
Gọi I là trung điểm AB IB IA   (I cố định)
    2
.MA MB a MI IA MI IB a MI MI IA IB IAIB a         
2
2 2 2
4
AB
MI IA a IM a IA a       
 Nếu
2
0
4
AB
a   thì không có điểm M thỏa đề
 Nếu
2
0
4
AB
a   thì M I
 Nếu
2
0
4
AB
a   thì quỹ tích M là đường tròn tâm I bán kính
2
4
AB
R a 

Dấu hiệu 5: .MA BC a
Gọi M0, A0 lần lượt là hình chiếu của M và A lên BC khi đó ta có:
0 0
0 0 0
0 0
. .
.
a
M A
BCa MA BC M A BC M
M A a BC


   


cố định
Do đó quỹ tích M là đường thẳng qua 0M và vuông góc BC
Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a . Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện;
a. . .MA MC MC MB c. 2
0MA MAMB MAMC  
b.
2
2
.
2
a
MB MC MA  d.
2
5
2
a
MAMB MAMC MBMC  
Giải:
a.  . . 0MA MC MC MB MC MA MB    . 0MC BA 
 Tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB (vì A, B, C cố định)
b. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC 0 3GA GB GC MA MB MC MG       
 2
0 0 3 . 0MA MAMB MAMC MA MA MB MC MA MG         . 0MA MG 
0
90AMG   tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AG (vì A, G là hai điểm cố định)
c. Gọi I là trung điểm BC, ta có
    
2
2 2
. .
4
a
MB MC MI IB MI IC IM MI IB IC IB IC IM        
  
2 2 2 2 2
2 22 2 2 3 3
.
2 4 2 4 4
a a a a a
MB MC MA MI MA MI MA MI MA MI MA            
2
3
.
8
a
AI MH  (với H là trung điểm IA 2MI MA MH   )
Nhân thấy:
2
2
21 1 1 3 3
. .
2 2 2 2 8
a a
AI AH AI AI AI
 
     
 
Do đó:  
2
3
. . . 0 . 0
8
a
AI MH AI MH AI AH AI MH AH AI MA       
 Tập hợp các điểm M là đường thẳng qua A và vuông góc với AI

d.
2
5
2
a
MAMB MAMC MBMC  
Gọi G là trọng tâm của
2
03 3
. . . . .cos120
3 3 6
a a a
ABC GAGB GAGC GB GC      
Ta có:       
2
2 2
6
a
MAMB MG GA MG GB MG MG GA GB GAGB MG MG GA GB          
Tương tự ta cúng có:
 
2
2
6
a
MAMC MG MG GA GC    và  
2
2
6
a
MBMC MG MG GB GC   
Do đó :  
2 2
2 2
3 2 3
2 2
a a
MAMB MAMC MBMC MG MG GA GB GC MG        
2 2 2
25 5
3
2 2 2
a a a
MAMB MAMC MBMC MG MG a       
Ví G là điểm cố định nên tập hợp các điểm M là đường tròn tâm G bán kính R = a.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, góc A là góc nhọn. Trung tuyến AI. Tìm tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn
điều kiện: 2
. .AB AH AC AK AI  . Với H, K lần lượt là hình chiếu của M lên AB và AC.
Giải:
H, K lần lượt thuộc cạnh AB và AC nên ta có:
. . . . . .AB AH AC AK AB AH AC AK AB AM AC AM     (theo định lý hình chiếu vuông góc)
  2AM AB AC AM AI  
Gọi E là trung điểm AI ta có:
22
. 2 .AI AI AI AI AE AI  
Do đó ta có:  2
. . 2 2 0 . 0AB AH AC AK AI AM AI AE AI AI AM AE AI EM        
Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng qua E và vuông góc với AI (vì E, A, I cố định)
Dạng 5: Sử dụng tích vô hướng để giải bài toán cực trị hình học:
Phương pháp chung:
Sử dụng tích vô hướng để biến đổi biểu thức cần tìm cực trị và biểu thức độ dài, chẳng hạn như :
2
S MI c  (với c là một hẳng số , điểm I cố định)
 Min S c khi MI = 0 (tức là M  I)

Chú ý :
 Nếu M nằm trên đường thẳng d cho trược thì Min(S) đạt được khi M là hình chiếu của I lên d.
 Nếu M nằm trên đường tròn C(O,R)thì Min(S) , Max(S) đạt được khi M là một giao điểm
của đường thẳng IO và đường tròn (C)
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (C) tâm O. Tìm vị trí của điểm M thuộc đường
tròn (C) để 2 2 2
2S MA MB MC   đạt giá trị nhỏ nhất , đạt giá trị lớn nhất .
Giải:
Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBD.
Gọi R là bán kính của (C)
Khi đó ta có : CA CB CD  và OA OB OC R  
2 2 2
2S MA MB MC  
     
2 2 2
2MO OA MO OB MO OC     
  2 2 2
2 2MO OA OB OC OA OB OC     
  2 2 2
2 2MO CA CB R R R    
   2 . 2. . .cos , 2. . .cos ,MO CD MO CD MO CD R CD MO CD  
Ta có:  1 cos , 1 2. . 2. .MO CD R CD S R CD      
( ) 2 .Min S RCD  khi  cos , 1MO CD   (tức là M thuộc (C) sao cho MO và CD ngược chiều)
( ) 2 .Max S RCD khi  cos , 1MO CD  (tức là M thuộc (C) sao cho MO và CD cùng chiều)
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC và đường thẳng d cố định . M là điểm tùy ý trên d.
a. Dựng điểm I thỏa mãn điều kiện: 3 2 0IA IB IC  
b. Xác định vị trí của điểm M sao cho 2 2 2
3 2S MA MB MC   đạt giá trị nhỏ nhất.
A B
C
O
D
M
.
M

Giải:
a. Gọi H là trung điểm AB khi đó ta có: 2IA IB IH 
 3 2 0 2IA IB IC IA IB IC IB      
HI CB   I là đỉnh thứ tư của HCBI
b.      
2 2 2
3 2S MI IA MI IB MI IC     
 
2 2 2 2
2 2 3 2 3 2MI MI IA IB IC IA IB IC      
2 2 2 2
2 3 2MI IA IB IC   
Vì A, B, C và I là các điểm cố định nên 2 2 2
3 2IA IB IC  là một hằng số
Do đó 2 2 2
3 2S MA MB MC   đạt giá trị nhỏ nhất  IM đạt giá trị nhỏ nhất
 M là hình chiếu vuông góc của điểm I lên đường thẳng d.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Baøi 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vô hướng:
a) AB AC. b) AC CB. c) AB BC.
Baøi 2. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng :
a) .AB AC b) .AC CB c) .AB BC
Baøi 3. Cho tam giác ABC vuông cân có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng:
a) .AB AC b) .AH CB c) .AB BC
Baøi 4. Cho tam giác ABC có : . 4AB CB và . 9AC BC
a. Tính các cạnh của tam giác ABC.
b. Gọi I, J là hai điểm thỏa mãn đẳng thức 2 0IA IB  và 2 0JB JC  tính độ dài đoạn thẳng IJ.
Baøi 5. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì.
a) Chứng minh: DA BC DB CA DC AB. . . 0   .
b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui".
Baøi 6. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh:
BC AD CA BE AB CF. . . 0   .
Baøi 7. Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng
AM và BN.
a) Chứng minh: AM AI AB AI BN BI BA BI. . , . .  .
b) Tính AM AI BN BI. . theo R.
A
BC
H I
M d

Baøi 8. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 3 , M là trung điểm của BC. Biết rằng
1
.
2
AM BC 
Tính độ dài AB và AC.
Baøi 9. Cho tam giác đều ABC cạnh a và AM là trung tuyến của tam giác ABC. Tính các tich vô hướng:
a.  2 3AC AB AC d.  AC AC AB
b. .AM AB e.   AB AC AB AC 
c.   CA BC CA CB  f. . . .AB BC BC CA CA AB 
Baøi 10. Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8.
a) Tính AB AC. , rồi suy ra giá trị của góc A.
b) Tính CA CB. .
c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD = 3. Tính CD CB. .
Baøi 11. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) AB AC. b) AB AD BD BC( )( )  c) AC AB AD AB( )(2 ) 
d) AB BD. e) AB AC AD DA DB DC( )( )   
HD: a) a2
b) a2
c) a2
2 d) a2
 e) 0
Baøi 12. Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.
a) Tính AB AC. , rồi suy ra cosA.
b) Gọi G là trọng tâm của ABC. Tính AG BC. .
c) Tính giá trị biểu thức S = GA GB GB GC GC GA. . .  .
d) Gọi AD là phân giác trong của góc BAC (D  BC). Tính AD theo AB AC, , suy ra AD.
HD: a) AB AC
3
.
2
  , A
1
cos
4
  b) AG BC
5
.
3
 c) S
29
6
 
d) Sử dụng tính chất đường phân giác
AB
DB DC
AC
.  AD AB AC
3 2
5 5
  , AD
54
5

Baøi 13. Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 600
. M là trung điểm của BC.
a) Tính BC, AM.
b) Tính IJ, trong đó I, J được xác định bởi: IA IB JB JC2 0, 2   .
HD: a) BC = 19 , AM =
7
2
b) IJ =
2
133
3

Baøi 14. Cho tứ giác ABCD.
a) Chứng minh AB BC CD DA AC DB2 2 2 2
2 .    .
b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là:
AB CD BC DA2 2 2 2
   .
Baøi 15. Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh:
MH MA BC21
.
4
 .
Baøi 16. Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh:
a) MA MC MB MD2 2 2 2
   b) MA MC MB MD. .
c) MA MB MD MA MO2
. 2 .  (O là tâm của hình chữ nhật).
Baøi 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho  1; 3a  ,  6 ; 2b   và  ;1a x
a. Chứng minh a b .
b. Tìm giá trị của x để a c
c. Tìm giá trị của x để a và c cùng phương nhau.
d. Tìm tọa độ vectơ d để a d và . 20b d 
Baøi 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 3), B(9; 4), C(5; y) và D(x; -2).
a. Tìm giá trị của y sao cho tam giác ABC vuông tại C
b. Tìm x để A, B, D thẳng hàng.
Baøi 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(-3; 3), B(4; 4).
a. Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho 0
90AMB 
b. Tìm điểm N thuộc Ox để A, B, N thẳng hàng.
Baøi 20. Tính góc giữa hai vec tơ trong các trường hợp sau:
a.    4; 3 , 1; 7a b  c.    2; 5 , 3; 7a b  
b.    6; 8 , 12; 9a b   d.    2; 6 , 3; 9a b   
Baøi 21. Cho tam giác ABC với A(1 ; 6) , B(2 ; 6), C(1 ; 1)
a. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.
b. Tìm hình chiếu vuông góc K của đỉnh A lên đường thẳng BC. Từ đó suy ra A’ đối xứng của
điểm A qua đường thẳng BC.
Baøi 22. Cho tam giác ABC có A(1 ; -1) , B(5 ; -3) , C(2 ; 0).
a. Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC.
b. Tìm tọa độ điểm M biết 2 3CM AB AC 
c. Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Baøi 23. Cho ba điểm A(7; 4), B(0; 3), C(5; -1) .
a. Tính .AB AC
b. Tính các giá trị lượng giác của góc BAC
c. Tìm tọa độ chân đường cao của tam giác ABC.
d. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.
e. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
f. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp I tam giác ABC.
g. Chứng minh I, H, G thẳng hàng, tính tỷ số
HI
HG
Baøi 24. Cho tam giác ABC có AC = 2AB. Gọi D là trung điểm AC , M là điểm thỏa mãn điều kiện
1
3
BM BC . Chứng minh BD vuông góc với AM.
Baøi 25. Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0).
a. Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC.
b. Tìm toạ độ điểm M biết CM AB AC2 3  .
c. Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Baøi 26. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).
a. Tính AB AC. . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
b. Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c. Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC.
d. Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.
e. Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng.
f. Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N.
g. Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.
h. Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO.
i. Tìm toạ độ điểm T thoả TA TB TC2 3 0  
j. Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B.
k. Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của ABC.
Baøi 27. Cho hình vuông ABCD.
a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng minh BK AC
b. Gọi P, Q tương ứng trên BC, CD sao cho BC = m.BP, CD = m.CQ. Chứng minh AP BQ

Baøi 28. Cho hình chữ nhật ABCD.
a. AB = a, AD = 2a . Gọi K là trung điểm AD. Chứng minh BK AC
b. AB = a, AD = b. Gọi K là trung điểm của AD và L trên tia AD sao cho
2
2
b
DL
a
 .
Chứng minh BK AL
Baøi 29. Cho tứ giác ABCD có AC BD tại M. Gọi P là trung điểm AD.
Chứng minh rằng . .MP BC MA MC MB MD  
Baøi 30. Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên AC sao cho AC = 4AM. Gọi N là trung điểm của DC.
Chứng minh tam giác BMN là tam giác vuông cân.
Baøi 31. Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AB = h, cạnh đáy AD = a , BC = b. tìm điều kiện giữa a, ,
b, h để:
a. AC BD
b. 0
90AIB  với I là trung điểm CD.
Baøi 32. Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AB = 2a, cạnh đáy AD = a , BC = 4a.
a. Tính .AC BD , từ đó suy ra góc giữa AC và BD.
b. Gọi I là trung điểm của CD, J là điểm di động trên cạnh BC. Dùng tích vô hướng để tính BJ sao
cho AJ và BI vuông góc nhau.
Baøi 33. Cho tứ giác ABCD
a. Chứng minh : 2 2 2 2
2 .AB BC CD DA AC BD   
b. Suy ra điều kiện cần và đủ để có tứ giác có 2 đường chéo vuông góc là 2 2 2 2
AB CD BC DA  
Baøi 34. Cho tam giác ABC vuông tại A, Gọi M là trung điểm của BC. Lấy các điểm B1, C1 trên AB và AC sao
cho 1 1. .AB AB AC AC . Chứng minh 1 1AM B C
Baøi 35. Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,
a. Gọi M là trung điểm AB, E là trọng tâm của tam giác ACM. Chứng minh OE CM
b. Gọi BB1 và CC1 là đường cao của tam giác ABC. Chứng minh 1 1OA B C
Baøi 36. Cho đường tròn tâm O và điểm P nằm ở miền trong của đường tròn. Qua P, kẻ hai dây cung AB và CD
vuông góc nhau. Gọi M là trung điểm của dây cung BD. Chứng minh: PM AC
Baøi 37. Cho tam giác ABC. tìm tập hợp những điểm M sao cho:
a) MA MA MB2
2 . b) MA MB MB MC( )(2 ) 0  
c) MA MB MB MC( )( ) 0   d) MA MA MB MA MC2
2 . . 
Baøi 38. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
a) MA MC MB MD a2
. .  b) MA MB MC MD a2
. . 5 
c) MA MB MC MD2 2 2 2
3   d) MA MB MC MC MB a2
( )( ) 3   

Baøi 39. Cho tứ giác ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm tập hợp điểm M sao cho:
MA MB MC MD IJ21
. .
2
  .
Baøi 40. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và M là điểm tùy ý.
a. Chứng minh rằng: . . . 0MA BC MB CA MC AB  
b. Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 2
3MA MB MC GA GB GC MG      . từ đó suy ra vị trí của điểm
M để 2 2 2
MA MB MC  đạt giá trị nhỏ nhất.
Baøi 41. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện:
a. 2 2 2 2
2MA MB MC a   e.
2
5
. . .
2
a
MA MB MB MC MC MA  
b. . .MA MC MC MB f. 2 2 2
3 2 0MA MB MC  
c. 2
. . 0MA MA MB MA MC   g. 2 2 2 2
2MA MB MC a  
d.
2
2
.
2
a
MB MC MA  h.
2
. . .
2
a
MA MB MB MC MC MA  
Baøi 42. Cho hình bình hành ABCD có tâm O, M là điểm tùy ý
a. Chứng minh rằng :  2 2 2 2 2 2
2MA MB MC MD OB OA    
b. Giả sử M di động trên đường tròn (C), tìm vị trí của điểm M để 2 2 2
MA MB MC  đạt giá trị
nhỏ nhất
Baøi 43. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 6cm. Lấy điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Đặt 2 2 2
S MA MB MC   . Tìm vị trí của điểm M để S đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
Baøi 44. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O.
a. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2
MA MB MC MD a    M thuộc đường tròn ngoại tiếp hình vuông
ABCD.
b. Chứng minh rằng:  2 2 2 2
3 2 3MA MB MC MD MO MA MB MC MD      
c. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 2
3S MA MB MC MD    khi M di động trên
đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Baøi 45. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn điều liện:
a. 2 2 2 2
0MA MB CA CB    g. . .MA MB AB MC
b. 2 2 2
3 2 0MA MB MC   h. 2
.MA MB MC
c. 2 2
2 .MB MB MC BC  i. 2 2 2 2 2
MA MB MC AB AC   
d. .AM BC k (với k là hằng số cho trước) k. 2
2 . .MA MA MB MA MC 
e.    0MA MB MC MB   l.   2 0MA MB MB MC  
f. 2 2 2
. .MA MB MA MC MC MB BC    m. 2
2 . .MA MA MB MA MC 

A
B CH
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Cho ABC có:
– độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c
– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma, mb, mc
– độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha, hb, hc
– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r
– nửa chu vi tam giác: p
– diện tích tam giác: S
1. Định lí côsin
a b c bc A2 2 2
2 .cos   ;
b c a ca B2 2 2
2 .cos   ;
c a b ab C2 2 2
2 .cos  
2. Định lí sin
a b c
R
A B C
2
sin sin sin
  
3. Độ dài trung tuyến
a
b c a
m
2 2 2
2 2( )
4
 
 ;
b
a c b
m
2 2 2
2 2( )
4
 
 ;
c
a b c
m
2 2 2
2 2( )
4
 

4. Diện tích tam giác
S = a b cah bh ch
1 1 1
2 2 2
 
  
1 1 1
sin sin sin
2 2 2
S bc A ca B ab C

4
abc
S
R
S pr
   ( )( )( )S p p a p b p c (công thức Hê–rông)
Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước.
5. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại)
Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao.
 BC AB AC2 2 2
  (định lí Pi–ta–go)
 AB BC BH2
. , AC BC CH2
.
 AH BH CH2
. ,
AH AB AC2 2 2
1 1 1
 

OM
A
B
C
D
T
R
 AH BC AB AC. .
 b a B a C c B c C.sin .cos tan cot    ; c a C a B b C b C.sin .cos tan cot   
6. Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung)
Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định.
 Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD.
PM/(O) = MA MB MC MD MO R2 2
. .  
 Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT.
PM/(O) = MT MO R2 2 2
 
Bài tập áp dụng
Baøi 1. Cho tam giác ABC, BC = a, AC = b, AB = c, S là diện tích ΔABC, R là bán kính vòng tròn ngoại
tiếp, r là bán kính vòng tròn nội tiếp; ha, hb, hc lần lượt là các đường cao hạ từ A, B, C; ma, mb, mc
lần lượt là các trung tuyến hạ từ A, B, C; la, lb, lc lần lượt là các phân giác hạ từ A, B, C; p là nửa
chu vi ΔABC.
1. a = 5; b = 6; c = 7. Tính S, ha, hb, hc, R, r.
2. a 2 3,b 2 2,c 6 2    . Tính 3 góc.
3. b = 8; c = 5; A = 60°. Tính S, R, r, ha , ma.
4. a = 21; b = 17; c = 10. Tính S, R, r, ha, ma.
5. A = 60°; hc = 3 ; R = 5. Tính a, b, c.
6. A = 120°; B = 45°; R = 2. Tính 3 cạnh.
7. a = 4, b = 3, c = 2. Tính SABC, suy ra SAIC (I trung điểm AB).
8. Cho góc A nhọn, b = 2m 2 , c = m, S = m². Tính a, la.
9. Cho c = 3, b = 4; S = 3 3 . Tính a.
10. Nếu góc A = 90°. CMR:
a. a
bcsin A
l
A
(b c)sin
2


b. 2 21
r (b c )b c
2
    c.
a b c
1 1 1 1
r h h h
  
11. Cho góc A = 120°. CMR:
a
1 1 1
b cl
 
12. CMR: cotA + cotB + cotC =
2 2 2
a b c
R
abc
 
và
2 2 2
2 2 2
tanA a c b
tanB b c a
 

 
13. Cho
3 3 3
2b c a
a
b c a
 

 
và a = 2bcosC. Tam giác ABC là tam giác gì?
14. S = p(p – c). Tam giác ABC là tam giác gì?

15. S = (p – b)(p – c). Tam giác ABC là tam giác gì?
16. acosB = bcosA. Tam giác ABC là tam giác gì?
17. mb² + mc² = 5ma². Tam giác ABC là tam giác gì?
18. sinA = 2sinBcosC. Tam giác ABC là tam giác gì?
19. Cho AB = k. Tìm tập hợp M thỏa MA² + MB² = 5k²/2
20. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a. 3(GA² + GB² + GC²) = a² + b² + c²
b. 4(ma² + mb² + mc²) = 3(a² + b² + c²)
c. 4ma² = b² + c² + 2bc.cosA
21. Chứng minh với mọi tam giác ABC ta có
a. S = 2R²sinAsinBsinC = Rr(sinA + sinB + sinC)
b. a = b.cosC + c.cosB
c. ha = 2RsinBsinC
d. sinB.cosC + sinC.cosB = sinA
22. Chứng minh rằng
2 2 2
a b c
b c a
  ≥ 2p. Nếu dấu “ = ” xảy ra thì ABC là tam giác gì?
23. Cho b + c = 2a. Chứng minh rằng
a b c
2 1 1
h h h
 
24. Định x để x² + x + 1; 2x + 1; x² – 1 là 3 cạnh tam giác. Khi đó chứng minh tam giác đó có
góc bằng 120°
25. Đường tròn nội tiếp tiếp xúc 3 cạnh tam giác ABC tại HIJ. Chứng minh rằng :
2
HIJ
pr
S
2R

26. Hai trung tuyến BM = 6, CN = 9 và hợp với nhau góc 120° tính các cạnh của ABC.
Baøi 2. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có;
a. a b C c B.cos .cos  b. A B C C Bsin sin cos sin cos 
c. ah R B C2 sin sin d. a b cm m m a b c2 2 2 2 2 23
( )
4
    
e.  ABCS AB AC AB AC
2
2 21
. .
2  

Baøi 3. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a. Nếu b + c = 2a thì
a b ch h h
2 1 1
 
b. Nếu bc = a2
thì b c aB C A h h h2 2
sin sin sin , 
c. A vuông  b c am m m2 2 2
5 
Baøi 4. Cho tứ giác lồi ABCD, gọi  là góc hợp bởi hai đường chép AC và BD.
a. Chứng minh diện tích S của tứ giác cho bởi công thức: S AC BD
1
. .sin
2
 .
b. Nêu kết quả trong trường hợp tứ giác có hai đường chéo vuông góc.
Baøi 5. Cho ABC vuông ở A, BC = a, đường cao AH.
a. Chứng minh AH a B B BH a B CH a B2 2
.sin .cos , .cos , .sin   .
b. Từ đó suy ra AB BC BH AH BH HC2 2
. , .  .
Baøi 6. Cho AOB cân đỉnh O, OH và OK là các đường cao. Đặt OA = a, AOH  .
a. Tính các cạnh của OAK theo a và .
b. Tính các cạnh của các tam giác OHA và AKB theo a và .
c. Từ đó tính sin2 , cos2 , tan2   theo sin , cos , tan   .
Baøi 7. Giải tam giác ABC, biết:
a. c A B0 0
14; 60 ; 40   b. b A C0 0
4,5; 30 ; 75  
c. c A C0 0
35; 40 ; 120   d. a B C0 0
137,5; 83 ; 57  
a. a b C 0
6,3; 6,3; 54   b. b c A 0
32; 45; 87  
c. a b C 0
7; 23; 130   d. b c A 0
14; 10; 145  
a. a b c14; 18; 20   b. a b c6; 7,3; 4,8  
c. a b c4; 5; 7   d. a b c2 3; 2 2; 6 2   
Baøi 10. Cho tứ giác ABCD. Gọi α là góc hợp bởi 2 đường chéo AC và BD.
a. Chứng minh rằng: ABCDS =
1
2
AC.BD.sin α
b. Vẽ hình bình hành ABDC’. Chứng minh rằng: 'ABCD ACCS S
Baøi 11. Cho tứ giác ABCD có I, J lần lượt là trung điểm của các đường chéo AC và BD.
Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2
4AB BC CD DA AC BD IJ     

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II
Baøi 1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
x x
x x x
sin 1 cos 2
1 cos sin sin

 

b)
x x
x x
x x
3 3
sin cos
1 sin .cos
sin cos

 

c)
x
x x x
2
2
2 2
tan 1 1
1
2tan 4sin .cos
 
   
 
d)
x x
x
x x x
2 2
2
4 4 2
cos sin
1 tan
sin cos sin

 
 
e)
x x
x x
x x x x
2 2
sin cos
sin cos
cos (1 tan ) sin (1 cot )
  
 
f)
x x
x x
x x x x
cos sin 1
tan . cot
1 sin 1 cos sin .cos
   
     
    
g) x x x x x2 2 2 2 2
cos (cos 2sin sin tan ) 1  
Baøi 2. Biết 0 5 1
sin18
4

 . Tính cos180
, sin720
, sin1620
, cos1620
, sin1080
, cos1080
, tan720
.
Baøi 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = x x x4 2 2
cos cos sin  b) B = x x x4 2 2
sin sin cos 
Baøi 4. Cho các vectơ a b, .
a) Tính góc  a b, , biết a b, 0 và hai vectơ u a b v a b2 , 5 4    vuông góc.
b) Tính a b , biết a b a b11, 23, 30    .
c) Tính góc  a b, , biết a b a b a b a b( 3 ) (7 5 ), ( 4 ) (7 2 )      .
d) Tính a b a b, 2 3  , biết a b a b 0
3, 2, ( , ) 120   .
e) Tính a b, , biết a b a b a b a b2, 4, (2 ) ( 3 )       .
Baøi 5. Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 6.
a) Tính AB AC. và cosA.
b) M, N là hai điểm được xác định bởi AM AB AN AC
2 3
,
3 4
  . Tính MN.
Baøi 6. Cho hình bình hành ABCD có AB = 3 , AD = 1, BAD 0
60 .
a) Tính AB AD BA BC. , . .
b) Tính độ dài hai đường chéo AC và BD. Tính  AC BDcos , .
Baøi 7. Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Về phía ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân đỉnh A là ABD
và ACE. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AI  DE.
Baøi 8. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác
ABO và CDO. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh HK  IJ.

Baøi 9. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1, M là trung điểm cạnh AB. Trên đường chéo AC lấy điểm N
sao cho AN AC
3
4
 .
a) Chứng minh DN vuông góc với MN.
b) Tính tổng DN NC MN CB. . .
Baøi 10. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a) AB AM AC AM. . 0  b) AB AM AC AM. . 0 
c) MA MB MA MC( )( ) 0   d) MA MB MC MA MB MC( 2 )( 2 ) 0    
Baøi 11. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:
a) b c a b C c B2 2
( .cos .cos )   b) b c A a c C b B2 2
( )cos ( .cos .cos )  
b) A B C C B B Csin sin .cos sin .cos sin( )   
Baøi 12. Cho ABC. Chứng minh rằng:
a) Nếu a b c b c a bc( )( ) 3     thì A 0
60 .
b) Nếu
b c a
a
b c a
3 3 3
2 

 
thì A 0
60 .
c) Nếu A C Bcos( ) 3cos 1   thì B 0
60 .
d) Nếu b b a c a c2 2 2 2
( ) ( )   thì A 0
60 .
Baøi 13. Cho ABC. Chứng minh rằng:
a) Nếu
b a
b A a B
c
2 2
cos cos
2

  thì ABC cân đỉnh C.
b) Nếu
B
A
C
sin
2cos
sin
 thì ABC cân đỉnh B.
c) Nếu a b C2 .cos thì ABC cân đỉnh A.
d) Nếu
b c a
B C B Ccos cos sin .sin
  thì ABC vuông tại A.
e) Nếu S R B C2
2 sin .sin thì ABC vuông tại A.
Baøi 14. Cho ABC. Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau là:
b c a2 2 2
5  .
Baøi 15. Cho ABC.
a) Có a = 5, b = 6, c = 3. Trên các đoạn AB, BC lần lượt lấy các điểm M, K sao cho BM = 2,
BK = 2. Tính MK.
b) Có A
5
cos
9
 , điểm D thuộc cạnh BC sao cho ABC DAC , DA = 6, BD
16
3
 .
Tính chu vi tam giác ABC.
HD:a) MK =
8 30
15
b) AC = 5, BC =
25
3
, AB = 10

Baøi 16. Cho một tam giác có độ dài các cạnh là: x x x x2 2
1; 2 1; 1    .
a) Tìm x để tồn tại một tam giác như trên.
b) Khi đó chứng minh tam giác ấy có một góc bằng 0
120 .
Baøi 17. Cho ABC có B 0
90 , AQ và CP là các đường cao, ABC BPQS S9  .
a) Tính cosB.
b) Cho PQ = 2 2 . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ABC.
HD:a) B
1
cos
3
 b) R
9
2

Baøi 18. Cho ABC.
a) Có B 0
60 , R = 2, I là tâm đường tròn nội tiếp.
Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp ACI.
b) Có A 0
90 , AB = 3, AC = 4, M là trung điểm của AC.
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp BCM.
c) Có a = 4, b = 3, c = 2, M là trung điểm của AB.
Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp BCM.
HD: a) R = 2 b) R
5 13
6
 c) R
8 23
3 30

Baøi 19. Cho hai đường tròn (O1, R) và (O2, r) cắt nhau tại hai điểm A và B. Một đường thẳng tiếp xúc với hai
đường tròn tại C và D. Gọi N là giao điểm của AB và CD (B nằm giữa A và N). Đặt
AO C AO D1 2,   .
a) Tính AC theo R và ; AD theo r và .
b) Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp ACD.
HD:a) AC = R2 sin
2

, AD = r2 sin
2

b) Rr .
Baøi 20. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AC, BD = a, CAB  , CAD  .
a) Tính AC. b) Tính diện tích tứ giác ABCD theo a, , .
HD:a) AC =
a
sin( ) 
b)
a
S
2
cos( )
2sin( )
 
 



.
Baøi 21. Cho ABC cân đỉnh A, A  , AB = m, D là một điểm trên cạnh BC sao cho BC = 3BD.
a) Tính BC, AD.
b) Chứng tỏ rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ACD là bằng nhau. Tính cos để bán kính
của chúng bằng
1
2
bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ABC.
HD:a) BC = m2 sin
2

, AD =
m
5 4cos
3
 b)
11
cos
16
   .

TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (8)

Similar to TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG

Similar to TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG (20)

More from DANAMATH

More from DANAMATH (15)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG