www.toanhocdanang.com www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang Phone: 0935 334 225

1. DANAMATH
www.toanhocdanang.com
www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang
HÌNH HỌC
12
GV:Phan Nhật Nam
THỂ TÍCH & KHOẢNG CÁCH

2. THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com
I. CÁC CÔNG THỨC ĐỊNH LƯỢNG THƯỜNG DÙNG
o Hệ thức lương trong tam giác
 Cho  ABC vuông tại A, có đường cao AH.
 222
BCACAB 
 CHBCACBHBCAB .,. 22

 222
111
ACABAH

Chú ý : Nếu Tam giác ABC có trung tuyến AM = BC/2 thì tam giác ABC vuông tại A.
 Cho  ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c độ dài các trung tuyến là cba mmm ,, bán kính đường tròn
ngoại tiếp R, bán kính đường tròn nội tiếp r, nửa chu vi p.
 Định lý hàm số cosin:
Abccba cos.2222
 Baccab cos.2222
 Cabbac cos.2222

 Định lí hàm số sin: R
C
c
B
b
A
a
2
sinsinsin

 Công thức độ dài trung tuyến:
42
222
2 acb
ma 


42
222
2 bca
mb 


42
222
2 cba
mc 


o Công thức tính diện tích
 Tam giác
 cba hchbhaS .
2
1
.
2
1
.
2
1
 CabBcaAbcS sin.
2
1
sin.
2
1
sin
2
1


R
abc
S
4
 prS  ))()(( cpbpappS 
  ABC vuông tại A : AHBCACABS .
2
1
.
2
1

  ABC đều cạnh a:
4
.3 2
a
S 
 Hình vuông cạnh a : 2
aS 
 Hình chữ nhật có hai kích thước a, b : baS .
 Hình bình hành ABCD: ),sin(..
2
1
sin.. BDACBDACAADABS  hoặc BCBCAdS ).,(
{ BDAC, : góc tạo bởi AC và BD , ),( BCAd : khoảng cách từ A đến đường thẳng BC}
 Hình thoi ABCD: BDACAADABS .
2
1
sin..  BCBCAdS ).,(
 Hình thang có độ dài hai đáy là a, b và đường cao là h : hbaS ).(
2
1

 Tứ giác lồi ABCD : ),sin(..
2
1
BDACBDACS  { BDAC, là hai đường chéo của tứ giác}

3. THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 www.toanhocdanang.com
II. CÁC VẤN ĐỀ CẦN NHỚ TRONG QUAN HỆ SONG SONG
 Định lý 1:





)(//
)(
Pad
Pd
 d // (P) (chứng minh đường thẳng
song song với mặt phẳng )
 Định lý 2:



 )()(
)//(
PQd
Pd
 )()( PQ  = a // d (Tìm giao tuyến)
 Định lý 3:





 aQP
Qd
Pd
)()(
)//(
)//(
a // d (Tìm giao tuyến )
 Định lý 4:



 )(
)//()(
Pa
QP
 a // (P) (chứng minh đường thẳng
song song với mặt phẳng )
 Định lý 5:











)('//
)('//
)(,
Qbb
Qaa
Pba
ba
 (P) // (Q) (chứng minh hai mặt phẳng
song song nhau )
III. CÁC VẤN ĐỀ CẦN NHỚ TRONG QUAN HỆ VUÔNG GÓC
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng :
ĐN : Đường thẳng a  mp(P) nếu nó vuông góc với mọi đường nằm trong mp(P)
ĐL : Nếu đường thẳng a vuông góc với 2 đường cắt nhau cùng nằm trong mp(P) thì a  (P)
Chú ý :
 Nếu )(Pa   )(Pba 
 Để )(Pa  chỉ cần a  2 đường cắt nhau của (P)
TC :
 Qua 1điểm M cho trước có duy nhất 1 mp(P) vuông góc với đường thẳng a cho trước
 Qua 1điểm M cho trước có duy nhất 1 đường thẳng a vuông góc với mp(P) cho trước
ĐL (3 đường vuông góc ) :
a’ là hình chiếu của a lên mp(P).Nếu ab
ab
Pb






'
)(
cb
a
P
a’
b
a
P

4. THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 www.toanhocdanang.com
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
 Nếu )(Pa  ta nói góc giữa a và (P) là 90o
 Nếu a không vuông góc (P) thì    ',)(, aaPa 
{ Trong đó a’ là hình chiếu của a lên mp(P)
Chú ý : {Chứng minh đường vuông góc mặt nhờ vào trục đường tròn }
ĐN : d gọi là trục đường tròn (C) nếu d vuông góc với mp chứa (C) tại tâm của nó.
TC :
 





OCOBOA
SCSBSA
SO là trục đường tròn ngoại tiếp  ABC.
 Nếu SO là trục đường tròn ngoại tiếp  ABC )(ABCSO 
 Nếu SO là trục đường tròn ngoại tiếp  ABC thì ICIBIASOI 
Dựng thiết diện   đi qua 1 điểm M cho trước và vuông góc với 1 cạnh a của vật thể.
Phương pháp :
 Xét trong mp(M,a) : Dựng Mx vuông góc với a
 Chọn mp(P) của vật thể chứa đường thẳng b vuông góc với a, tìm )(PMxN 
 Trong mp(P) vẽ đường thẳng đi d qua N và song song với b
 Tìm giao điểm của d và các cạnh của vật thể. Từ các giao điểm đó và M,N ta xây dựng được
thiết diện cần tìm.
2. Hai mặt phẳng vuông góc :
Góc giữa hai mặt phẳng :
Góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng lần lượt nằm trên
2 mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của 2 mặt phẳng đó
   baQP
bQ
ap
QP
,)(),(
)(
)(
)()(









Hoặc    
( )
( ),( ) ,
( )
p a
P Q a b
Q b

 

Hoặc  
( ) ( ) ê
( ),( ) ( , )
( ) ( ) ê
R P theo giao tuy n a
P Q a b
R Q theo giao tuy n b

 

a’
a
P
Q
b
P
M
a

a
b

5. THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 www.toanhocdanang.com
KỶ NĂNG CẦN NHỚ :
Để xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) cần phải dựng được mặt phẳng vuông góc với giao tuyến
d của hai mặt phẳng trên khi đó ta cần để ý đến các kỹ năng trên.
Trường hợp 1: Góc tạo bởi mặt bên (SBA) và mặt đáy (ABC)
 Dựng H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC).
 Dựng HM vuông góc với giao tuyến AB của hai mặt trên
(với M thuộc AB)  SHM AB 
 Khi đó góc cần tìm là SMH .
Trường hợp 2: Góc giữa hai mặt bên (SAB), (SAC) { cần dựng mặt phẳng vuông góc với SA}
 Dựng H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC).
 Dựng BM vuông góc với AH và cắt AC tại M.
 Dựng BN vuông góc giao tuyến SA tại N
 Khi đó ta có mp(BMN) vuông góc SA   ( ),( )SAB SAC BNM
Tính chất của 2 mặt phẳng vuông góc :
 Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi một trong chúng chứa đường thẳng vuông góc
với mặt phẳng còn lại
 Nếu 2 mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (P) và vuông góc
với giao tuyến của (P) và (Q) sẽ vuông góc với mặt phẳng (Q)
 Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng cung vuông góc
với mặt phẳng thứ ba đó.
IV. CÁC KỸ NĂNG THƯỜNG GẶP TRONG BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH
 Chú ý:
 Nếu ( )AH I  thì
( ,( ))
( ,( ))
d A AI
d H HI


 {theo talet}
 Nếu / /( )AH  thì ( ,( )) ( ,( )) ( ,( ))d A d H d M    {M tùy ý thuộc AH}
Ta sử dụng hai tính chất trên để chuyển khoảng cách từ một điểm khó dựng hình về một điểm mới dể
dựng hình hơn. Thông thường điểm cần chuyển về là hình chiếu của đỉnh lên đáy để có thể dể dàng
dựng mặt phẳng chứa đường cao và vuông góc với mặt phẳng cần tìm khoảng cách
Loại 1: khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ( ,( ))d A SBC
 Xác định H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC..)
 Sử dụng chú ý trên để chuyển khoảng cách cần tính về ( ,( ))d H SBC
 Đến đay ta cần dựng một mặt phẳng chứa H và vuông góc (SBC).
Dựng HM vuông góc BC tại M
( ) ( ) ( )SHM BC SHM SBC    theo giao tuyến SM
 Dựng HK vuông góc SM tại K ,
Suy ra ( )HK SBC ( ,( ))d H SBC HK 
S
A
B
C
H
K
I

6. THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 6 www.toanhocdanang.com
Loại 2: khoảng cách giữa hai đường thằng chéo nhau ( , )d SA BC
TH1: Nếu SA và BC vuông góc nhau thì tồn tại mặt phẳng (P) chứa đường này và vuông góc đường kia.
 Tìm mặt phẳng (P) chứa AB và vuông góc với SA tại H.
 Dựng HK vuông góc với đường thẳng AB tại K
 Khi đó HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC
Suy ra ( , )d SA BC HK
TH2: Nếu SA và BC khôngvuông góc nhau Thì dựng mặt phẳng chứa đường này và song song
với đường kia để chuyển bài toán về dang khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.
 Dựng AD BC {thông thường A,B,C cùng thuộc mặt phẳng đáy}
 Suy ra BC // (SAD) {vì AC và SA chéo nhau}
     , ,( ) ,( )d BC SA d BC SAD d M SAD   { M BC  }
 Nếu hình chiếu của S lên (ABC) là H thuộc BC thì ta chọn    ,( ) ,( )d H SAD d BC SAD còn
không ta dùng talet để chuyển khoảng cách về H. sau đó dựng hình tương tự loại 1
V. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH:
1
.
3
chop dayV h S (h: độ dài đường cao của hình chóp, dayS : diện tích mặt đáy)
ˆ .Lang tru hop dayV V h S 
VI. CÁC DẠNG HÌNH THƯỜNG GẶP :
Cách tính đường cao của hình chóp, hình lăng trụ, hình hộp:
A. Đường cao khối đa diện đều : (tam giác, tứ giác)
1. Khối chốp S.ABC đều :





acanhuêđABC
bSCSASA
`
Kẻ SH  (ABC)  H là tâm của ABC
(Tính chất hình chóp đều)
2
222
3







a
bHASASH
. .
S
A
C
D
H
M
h
a
b
SA
BC
K H

7. THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 www.toanhocdanang.com
Tính HA theo 2 cách:










2
3
2
sin2
2
3
3
2
3
2
a
A
BC
RHA
a
AMHA
{R bán kính đường tròn(ABC)}
Đặt Biệt : Nếu a = b thì SABC là tứ diện đều cạnh a. Khi đó
3
6a
SH 
Ví dụ 1: (B- 2012) Cho hình chóp đều SABC có SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A
lên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của khối chóp SABH
Giải :
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm AB.
Khi đó ta có:
( )
( )
CM AB CM AB
AB SMC SC AB
SG ABC SG AB
  
     
  
Mặt khác theo giả thuyết ta có:
( ) ( )AH SC ABH SC dpcm  
Do ABC là tam giác đều cạnh a nên ta có:
3
2
a
CM 
2 3
`
3 3
a
va AG CG CM  
2 2 33
3
a
SG SA AG  
Xét tam giác SMC ta có:
. 11
. .
4
SG CM a
SG CM MH SC MH
SC
   
2 2 7
4
a
SH SC HC SC MC MH     
3
1 1 7 11
. . . ( )
3 6 96
SABH ABH
a
V SH S SH MH AB dvtt  
A
S
C
BM
G
H
.

8. THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 www.toanhocdanang.com
Ví dụ 1: (A - 2002) Cho hình chóp tam giác đều SABC đỉnh S, có độ dài
các cạnh đáy bằng a.Tính thể tích khối chóp SAMN.
Biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC)
2. Khối chốp S.ABCD đều :
SA SA SC SD b
ABCD hình vuông canh a
   


Kẻ SH  (ABCD)  H = AC  BD {H là tâm của ABCD}
SH = h =
2
222
2
2









a
bHASA
Ví dụ 1: (B - 2007) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm
đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm AE, N là trung điểm BC. Chứng minh
MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giửa hai đường thẳng MN và AC
Giải :
Chứng minh MN BD
Cách 1:
Gọi P là trung điểm của AB.
Từ giả thuyết ta có: ADSE là hình bình hành
ES AD ES BC     ESCB là hình bình hành
 SC // EB
mà EP // MP (vì MP là đường trung bình ABE )
MP // SC
Mặt khác ta có: NP // AC (PN là đường trung bình ABC )
( )MNP // ( )SAC (1)
Ta có : ( )
( )
BD AC BD AC
BD SAC
SH ABCD BD SH
  
   
  
(2)
Từ (1) và (2) suy ra : ( )BD MNP BD MN   (đpcm)
Cách 2:
Ta có:
. 0
. 0
HS BD HS BD
HA BD HA BD
  
 
  
Từ giả thuyết ta có:
1
2
MI AD MI NC    MICN là hình bình hành
 1
2
NM CI CH HI HA HA HS      
3 1
2 2
NM HA HS  
Khi đó ta có:
3 1 3 1
. . . 0
2 2 2 2
NM BD HA HS BD HA BD HS BD NM BD
 
       
 
Tình khoảng cách:  ,d MN AC
H
D C
BA
S
h
b
a
S
A
B C
D
E
M
I
N
P
H
K

9. THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 www.toanhocdanang.com
Ta có :
( )
( ) ( , ) ( ,( ))
( )
N SAC
MN SAC d MN AC d N SAC
MN IC SAC

  

Dựng NK  AC {với K AC}
Mặt khác ta có: ( )SH ABCD SC NK   ( )NK SAC 
 K là hình chiếu của N lên mặt phẳng (SAC)
1 1 2
( , ) ( ,( ))
2 4 4
a
d MN AC d N SAC NK BH BD     
Ví dụ 2: (B - 2004) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD
Có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt phẳng bên và mặt phẳng
đáy bằng  Tính thể tích khối chóp SABCD theo a, 
3. Khối lăng trụ đều : Đáy là đa giác đều , cạnh bên vuông góc đáy.
Ví dụ 1: (B- 2010) Cho lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có AB = a, Góc tạo bởi mặt phẳng (A’BC)
và (ABC) bằng 600
.Gọi G là trong tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ, Gọi I là điểm
cách đều các điểm G, A, B, C . Tính độ dài đoạn IA.
Giải :
Gọi M là trung điểm của BC khi đó ta có:
 
'
( ' )( ) '
MA BC
A BC ABC A MA
MA BC

 

0
' 60gt A MA 
MA là đường cao của ABC đều cạnh a nên
3
2
a
MA 
Xét 'A AM ta có
3 3
' .tan ' . 3
2 2
a a
AA MA A MA  
3
' ' '
1 3 3
'. ' .
2 8
ABCA B C ABC
a
V AA S AA AM BC   (đvtt)
Gọi H là tâm của ABC . Khi đó ta có:
/ / ’
’ ( )
HG AA
AA ABC



( )HG ABC 
HG là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Xét trong mặt phẳng (GAM) dựng đường trung trục Nx của đoạn AG.
Gọi
I HG IA IB IC
I HG Nx
I Nx IA IG
   
     
  
điểm I cách đều các điểm A,B,C,G.
A
A’
B
C
C’
B’
M
G
.
I
H
N

10. THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 www.toanhocdanang.com
Ta có: IGN ~ AGH
 2 22 3. 3 7
2 ' 2 ' 12
GH AHIG GN AG GN GA a
IG
AG GH GH AA AA

      
Vậy
3
' ' '
3 3
8
ABCA B C
a
V  (đvtt) và
7
12
a
IA  (đvđd).
B. Đường cao khối chóp không đều :
1. Khối chóp S.ABC… Có SA = SB = SC = b
Kể SH  (ABC…)  HA = HB = HC = R
{R: Bán kính đường tròn ngoại tiếp  ABC}
2 2 2
; cos ;
2sin 2 .
BC AB AC AB
R A
A AB AC
 
 
AA 2
cos1sin 
2222
RbAHSASH 
Ví dụ 1 : (B - 2011) Cho lăng trụ ABCDA’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a
3AD a . Góc giữa hai mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) bằng 600
. Biết A’ Cách đều các đỉnh
A,B,D . Tính theo a thể tích khối lăng trụ và khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD)
Giải :
Gọi I AC BD  IA IB ID  
Mà ta lại có: ' ' ' ' ( )A A A B A D A I ABCD   
Gọi M là trung điểm AD
ˆ' ( ' ')`
ˆ( )`
MA AD vi A AD can tai A
MI AD vi IAD can tai I
 
 
 
 ( ' ' ),( ) ( ', ) 'AA D D ABCD MA MI IMA  
0
' 60gt A HI 
Ta có IM là đường trung bình của ABD
2 2
AB a
IM  
Xét 'A IM ta có : 0 3
' .tan ' .tan60
2 2
a a
IA IM IMA  
Thể tích khối lăng trụ ABCDA’B’C’D’ là :
3
3
' . ' . .
2
LT ABCD
a
V A I S A I AB AD   (đvtt)
S
A
C
D
H
h a
R
A
B C
D
A’ D’
C’B’
M
K
H
I
E

11. THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 11 www.toanhocdanang.com
Gọi ' ' ' ( ' )E AB A B E AB A BD     .
Khi đó ta có: E là trung điểm của AB’    ',( ' ) ,( ' )d B A BD d A A BD 
3
'
2 2
2 2'
1 3
3.
3 36 2
1 23' .' . . ( 3)
2 2
LT
A ABD LT
A BD
a
V
V V a
S aA I AB ADA I BD a a
    
 
(đvđd)
Vậy
3
3
2
LT
a
V  (đvtt) và  ',( ' )d B A BD
3
2
a
 (đvđd)
Ví dụ 2 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA = SB = SD = a. Hai mặt phẳng
(SBC) và (SDC) vuông góc nhau. Gọi M là trung điểm DM. Tính theo a thể tích của khối chóp
SABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và DM.
Ví dụ 3 :
Cho hình chóp S.ABC với các cạnh bên SA = 2a, SB = a, SC = 3a, và các góc ở đỉnh là
0 0
120 , 60ASB BSC  , 0
90CSA  . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC
2. Khối chóp S.ABC… Có mp(SAB)  mp(ABC…)
Kẻ SH  AB (H  AB) thì SH  (ABC…)
H = SH = SA.SinA
{Với
SAAB
SBABSA
A
.2
cos
222

 AA 2
cos1sin  }
Ví dụ 1: (D - 2014) Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC
Vuông cân tại A. SBC là tam giác đều cạnh a và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy (ABC). Tính theo a thể tích khối chóp SABC và khoảng cách
giữa hai đường thẳng SA và BC
Giải :
Gọi H là trung điểm BC SH BC  (vì SBC đều)
Suy ra ( )SH ABC (vì (SBC)  (ABC))
ABC vuông cân tại A
2 2 2
2
AB AC a
AB AC
AB AC BC

   
 
A
S
H
C
D
h
A
S
B
C
H
K

12. THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 www.toanhocdanang.com
SH là đường cao của SBC đều cạnh a 
3
2
a
SH 
3
1 1 3
. . .
3 6 24
SABC ABC
a
V SH S SH AB AC   (đvtt)
Dựng HK  SA (với KSA) (1)
Ta có : ( )
SH BC
BC SAH BC HK
AH BC

   

(2)
Từ (1) và (2) suy ra HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC. ( , )d SA BC HK 
Xét tam giác SAH vuông tại H và có đường cao HK
2 22 2 2 2
1 1 1 1 1 14 52
3 143
22
a
HK
HK HS HA aaa
       
   
     
Vậy
3
3
24
SABC
a
V  (đvtt) và
52
( , )
14
a
d SA BC  (đvđd)
3. Khối chóp S.ABC…
Nếu hình chóp có
…)mp(ABCmp(SAC)
…)mp(ABCmp(SAB)





thì SA  mp(ABC…)  SA = h
Ví dụ 1:( A_2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D;
AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600
. Gọi I là trung
điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng
(ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Giải :
Theo giả thuyết ta có:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
SIB ABCD
SIB SIC SI ABCD
SIC ABCD

   

Dựng IM  BC {với MBC }
( )BC SIM  {vì SI  BC}
 ( ),( ) ( , )SBC ABCD MS MI SMI  
0
60gt SMI 
Theo Pitago ta có:
A B
S
D C
600
M
.
I
E

13. THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 13 www.toanhocdanang.com
2 2
5IB IA BA a   2 2
2IC ID DC a  
2 2
2BC EC EB a   (với E là trung điểm của AB)
Theo định lý cosin cho tam giác IBC ta có:
2 2 2
5
cos
2 . 2 10
BI BC IC
IBC
BI BC
 
 
2 6
sin sin 1 cos
4
IBM IBC IBC    
Mặt khác ta có:
6 30
sin .sin 5.
4 4
IM a
IBM IM IB IBM a
IB
    
Xét tam giác SIM ta có: 030 3 10
tan .tan tan60
4 4
SI a a
SMI SI MI SMI
MI
    
3
1 1 3 10
. . .( )
3 6 4
SABCD ABCD
a
V SI S SI AD AB CD    (đvtt).
4. Khối chóp cho trước hình chiếu của đỉnh hoặc cho trước một đường thẳng vuông góc đáy:
Ví dụ 1:( THPTQG_2015) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Cạnh SC tạo với đáy một góc 450
. Tính theo a thể tích
khối chóp SABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
Giải :
Ta có: ( )SA ABCD  AC là hình chiếu của SC lên mp(ABCD)
   ,( ) ,SC ABCD SC AC SAC  
0
45gt SAC SAC    vuông cân tại A
2 2AS AC AB a   
3
21 1 2
. .
3 3 3
SABCD ABCD
a
V SA S SA AB   (đvtt)
Dựng đường thẳng Bx //AC AC // ( , )SB Bx
     , ,( , ) ,( , )d AC SB d AC SB Bx d A SB Bx  
Dựng AM  Bx (M  Bx) ( )Bx SAM  (Vì SA Bx )
( )SAM vuông góc ( , )SB Bx theo giao tuyến SM (1)
x
S
A D
B C
M
H
O

14. THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 14 www.toanhocdanang.com
Dựng AH SM (H  SM ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: H là hình chiếu của A lên mp(SB,Bx)   ,( , )d A SB Bx AH
AOBM là hình vuông
2
2 2
AC a
AM AO   
Xét tam giác SAM ta co: 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 5 10
2 2 5
a
AH
AH SA MA a a a
      
10
( , )
5
a
d SA BC 
Vậy
3
2
3
SABCD
a
V  (đvtt) và
10
( , )
5
a
d SA BC  (đvđd)
VII. TỶ SỐ THỂ TÍCH CỦA KHỐI TỨ DIỆN & ĐA DIỆN
1. Tỷ số thể tích của hai hình chóp tam giác :
Định lý 1: Cho hình chóp SABC có A’ SA; B’ SB; C’ SC. Khi đó ta có :
SC
SC
SB
SB
SA
SA
V
V
SABC
CBSA '
.
'
.
''''

Trường hợp riêng :
 A’ = A 
SC
SC
SB
SB
V
V
SABC
CBSA '
.
''''







BB
AA
'
'

SC
SC
V
V
SABC
CBSA ''''

Các ví dụ minh họa :
Ví dụ 1 : Cho hình chóp ABCS có SA = 2cm, SB = 4cm, SC = 6cm.
ASB = ASC = BSC = 600
. Tính SABCV
Ví dụ 1 : (D_2009)Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại
B. AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a, M là trung điểm A’C’, I = AM A’C. Tính IABCV
2. Tỷ số thể tích của tứ diện và khối lăng trụ :
Định lý 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ khi đó ta có.
 ''''''
3
1
CBABCACBAA VV 
{Tứ diện có 1 đỉnh đáy trên 3 đỉnh đáy dưới}
 ''''''''
3
1
CBABCACBBACABB VVV 
S
A’
A C
B
H’
B’
C’
H
h
C’
B’
A’
C
B
A
H

15. THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 15 www.toanhocdanang.com
{Tứ diện có 2 đỉnh đáy trên 2 đỉnh đáy dưới}
Ví dụ : Cho tứ diện ABCD có AB  BC ; BC  CD, AB = BC = DC = a ; AD = 2a.
Tính ABCDV
3. Tỷ số thể tích của tứ diện và khối chóp :
Định lý 3: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ Khi đó
Ta có :
 '''''''
6
1
DCBABCDADBAA VV 
{Tứ diện có 1 đỉnh đáy trên 3 đỉnh đáy dưới}
 ''''''
3
1
DCBABCDABDCA VV 
{Tứ diện có 2 là 2 đường chéo của hai đáy}
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành có góc 0
60BAC  , AB = a, AC = 4a.
Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy ; SD tạo với đáy một góc 450
. Gọi E, F
lần lượt là trung điểm BC và SD. Tính theo a thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách giữa
hai đường thẳng DE và CF.
Bài 3: Chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, SA = a, SB = 3a , 0
60BAD  và mặt phẳng
(SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Tính thể tích
tứ diện NSDC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN.
Bài 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B có AB = SD = 3a,
AD = SB = 4a. Đường chéo AC vuông góc với mặt phẳng (SBD). Tính theo a thể tích của
khối chóp SABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BD.
Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB vuông góc tại S và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SC
và AB bằng
2 57
19
a
; góc tạo bới SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 300
. Tính thể tích của khối
chóp SABCD và diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD.
h
H
D C
BA
D’ C’
B’A’

16. THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 16 www.toanhocdanang.com
Bài 6: Cho hình chóp SABCD, đáy là hình chữ nhật có AB = a và BC = 2a, mặt phẳng (SAB)
vuông góc với đáy , các mặt phẳng (SBC) và (SCD) cùng tạo với đáy một góc bằng nhau.
Biết khoảng cách giữa SA và BD bằng
2
6
a
.Tính thể tích khối chóp SABCD. Tính côsin góc
giữa hai đường thẳng SA và BD.
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đường chéo AC, BD
vuông góc nhau 2 2, 2AD a BC a  . Hai mặt phẳng (SAC) và ( SBD) cùng vuông góc với
đáy(ABCD). Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 600
. Gọi M là trung điểm AB.
Tính theo a thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SCD)
Bài 8: Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, đường
chéo A’C tạo với đáy một góc 300
và tạo với mặt phẳng (ABB’A’) một góc 300
. Gọi M là
hình chiếu vuông góc của A lên măt phẳng (A’BC). Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng
A’B và B’C’ bằng
3
a
.Tính thể tích khối chóp MABC’ và khoảng cách từ M đến (ABC’).
Bài 9: Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Điểm A’ cách đều ba điểm
A, B, C. Góc giữa AA’ và mặt phẳng (ABC) là 600
. Tính theo a thể tích khối lăng trụ
ABCA’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và CC’.
Bài 10: Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm
A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai
đường thẳngAA’ và BC bằng a 3
4
. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’.
Bài 11: Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A. Mặt phẳng bên
ABB’A’ là hình thoi cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABC. Biết góc
0
' 60A AB  .Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCA’B’C’ và khoảng cách giữa hai
đường thẳng AB’ và BC’.
Bài 12: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật , AB = 2a, tam giác SAB cân tại S và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm SD, mặt phẳng (ABM) vuông góc
với mặt phẳng (SCD) và hai đường thẳng AM , BD vuông góc nhau. Tính thể tích của khối chóp
SBCM và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) theo a.
Bài 13: Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy là tam giác đều ABC tâm O. Hình chiếu vuông góc của
C’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với điểm O. Biết khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng CC’ bằng
a và góc tạo bởi hai mặt phẳng (ACC’A’) và (BCC’B’) bằng 600
. Tính theo a thể tích khối lăng trụ
ABCA’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng CC’ và AB’
Bài 14: Chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 3a, BC = 6a, mặt phẳng (SAB) vuông

17. THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 17 www.toanhocdanang.com
góc đáy , cac mặt phẳng (SBC) và (SCD) cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) các góc bằng nhau.
Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng 6a . Tính thể tích khối chóp SABCD
và cosin góc giữ hai đường thẳng SA và BD.
Bài 15: Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, 0
60ABC  , hình
chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC, góc giữa đường thẳng
AA’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600
. Tính thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’ theo a và góc giữ
hai đường thẳng CA’ và BB’
Bài 16: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Mặt
phẳng (P) đi qua điểm B’ và vuông góc với A’C chia lăng trụ thành hai khối .Tính tỷ số thể tích
của hai khối nói trên và tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P)
Bài 17: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M là trung điểm của
đoạn thẳng AB, N là điểm trên cạnh AD sao cho ND = 3NA. Biết SA = a, đường thẳng MN vuông
góc với đường thẳng SM và tam giác SMC cân tại S. Tính thể tích của khối chóp SMNDC và
khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và MC theo a.
Bài 18: Chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi. Tam giác SAC vuông cân tại S nằm trong mặt
phẳng vuông góc đáy , 2SA a . Điểm M thuộc đoạn SA sao cho SM = 2MA, điểm G là trọng
tâm ABC. Góc giữa SB và mặt phẳng (SAC) bằng 600
. Tính thể tích khối chóp SMGC và khoảng
cách giữa hai đường thẳng SG và DM
Bài 19: Chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và 0
90SAB  , Gọi I là
trung điểm của SB. Tính theo a thể tích của khối chóp ABCI và tính khoảng cách từ điểm B đến
mặt phẳng (ACI).
Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , biết AB = a, BC = 2a ;
SA = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi E,F lần lượt là trung điểm SD vàAD.
Gọi (P) là mặt phẳng qua B,E ; vuông góc với mặt phẳng (BEF) và cắt SA, SC lần lượt tại H, K .
Tính theo a thể tích khối chóp SBHEK và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (P).
Bài 21: Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình thang cân, đáy lớn AD = 2a, AB = BC = a,
SB = 2a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của AD. Trên
các cạnh SC, SD lấy các điểm M, N sao cho SM = 2MC, SN = DN. Mặt phẳng (P) qua MN, song
song với BC và cắt SA, SB lần lượt tại P, Q. Tính theo a thể tích của khối chóp SMNPQ. Và tính
cosin góc tạo bởi hai đường thẳng SA và MN.