Guia operaciones unitarias 2

UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245
Aux. José Luis Huanca P. Página 44
CAPITULO 5
“ECUACION GENERAL DE LA ENERGIA
Y
PERDIDAS MAYORES”
Algunas de las restricciones que se establecieron por el uso de la ecuación de Bernoulli, se
pueden eliminar al expandir la ecuación a lo que se conoce como ecuación general de
energía.
5.1 PÉRDIDA Y ADICION DE ENERGIA
Cuando se desarrollo la ecuación de Bernoulli se mencionaron cuatro restricciones para
esa ecuación:
 Es válida solamente para fluidos incomprensibles.
 No puede haber dispositivos mecánicos entre las dos secciones de interés.
 No puede haber transferencia de calor hacia el fluido o fuera de éste.
 No puede haber pérdidas de energía debida a la fricción.
Para el sistema de flujo como el que se presenta en la figura posterior, existen
definitivamente algunas pérdidas y adiciones de energía entre las dos secciones de
interés. Para sistemas como éste, ya no es válida la ecuación de Bernoulli.
5.2 NOMENCLATURA DE PÉRDIDAS Y ADICIONES DE ENERGIA
Para las pérdidas y las adiciones de energía utilizaremos: la letra h, cuando se hable
de pérdidas y adiciones de energía. Específicamente los términos siguientes se
usaran:
hA = Energía añadida o agregada al fluido mediante un dispositivo mecánico como puede ser
una bomba.
hR = Energía removida o retirada del fluido mediante un dispositivo mecánico, podría ser un
motor de fluido.
hL = Pérdida de energía por parte del sistema, debida a fricción en los conductos, o
pérdidas menajes debidas a la presencia de válvulas y conectores.

21 EhhhE LRA 
















 2
2
22
1
2
11
22
Z
g
vP
HHHZ
g
vP
LRA

5.3 ECUACION GENERAL DE LA ENERGIA
La ecuación general de la energía, es simplemente una expansión de la ecuación de
Bernoulli, que hace posible resolver problemas en los que se presentan pérdidas y
adiciones de energía. La interpretación lógica de la ecuación de la energía se puede ver en la
figura adjunta, que presenta un sistema de flujo. Los términos El y E2 denotan la energía que
posee el fluido por unidad de peso en las secciones 1 y 2 respectivamente. También se
muestran las adiciones, remociones y pérdidas de energía hA, hR, hL. Para tal sistema, la
expansión del principio de conservación de la energía es:
La energía que posee el fluido por unidad de peso es:
Reemplazando se obtiene:
Las unidades en el SI son N*m/N o metros. Las unidades en el Sistema Británico de
Unidades Ib*pie/lb ó pie.
Es de suma importancia que la ecuación general está escrita en la dirección de flujo, es
decir desde el punto de referencia, en la parte izquierda de la ecuación y el punto
correspondiente, en el lado derecho. Los signos algebraicos juegan un papel crítico,
debido a que el lado izquierdo de la ecuación establece que un elemento de Fluido que

QhPott Bomba **

 Qh
Pott Bomba **

;356.11 W
s
pielb


;5001
s
pielb
hp

 Whp 7.7451 
tenga una cierta cantidad de energía por unidad de peso en la sección 1, puede tener una
adición de energía (+hA), una remoción de energía (-hR) o pérdida de energía (-hL), antes
de que alcance la sección 2. En tal punto contiene una cantidad diferente de energía por
unidad de peso según lo indican los términos de la parte derecha de la ecuación.
5.4 POTENCIA REQUERIDA POR BOMBAS
La potencia se define como la rapidez con que se realiza un trabajo. En la mecánica de
fluidos podemos modificar este enunciado y considerar que la potencia es la rapidez con
que la energía está siendo transferida. La unidad de potencia en el SI es el watt (W), que
es equivalente a 1.0 N*m/s y en el sistema Britanico es lb-pie/s, en la práctica es común
referirse a la potencia en caballos de fuerza (hp-Horse Power). Con el fin de calcular la
potencia transferida, debemos determinar cuántos newton de fluido están fluyendo por
la bomba en un intervalo de tiempo. A esto se le conoce como rapidez de flujo de peso.
La potencia se calcula multiplicando la energía transferida por la rapidez de flujo de peso.
Es decir:
Considerando el rendimiento
5.5 NUMERO DE REYNOLDS
El flujo de un liquido en una tubería puede ser despacio, flujo laminar (también conocido
como flujo viscoso). En este tipo flujo las capas o láminas no causan turbulencia. Dado que
cuando el caudal aumenta, la velocidad aumenta el flujo puede cambiar de laminar a
turbulento esto puede ser debido a la inyección de flujo a la tubería. Un importante
parámetro adimencional es el número de Reynolds que es usado para clasificar el tipo de
flujo en la tubería. El número de Reynolds es calculado mediante la siguiente ecuación:
Donde:

V = Velocidad media, m/s, ft/s
D = Diámetro interno de la tubería, m, ft
ρ = Densidad del liquido, kg/m3, slugs/ft3
μ = Viscosidad Absoluta, N-s/m2, lb-s/ft2
R = Numero de Reynolds, adimencional
Dado que la viscosidad cinematica es: ν = μ/ρ el numero de Reynolds puede ser expresado
de la siguiente forma:
Donde:
ν = Viscosidad Cinematica, m2/s, ft2/s
Se debe tener cuidado en las unidades usadas en la ecuación debido a que el Numero de
Reynolds es adimensional.
5.6 REGÍMENES DE FLUJO
El flujo a través de una tubería está clasificado dentro tres regímenes de flujo, y pueden
ser distinguidos de la siguiente manera:
1. Laminar: Numero Reynolds <2000
2. Critico: Numero Reynolds >2000 y Numero Reynolds <4000
3. Turbulento: Numero Reynolds >4000
Como el líquido fluye a través de la tubería, la energía es pérdida debido a la fricción entre
la superficie de la tubería y el líquido y debido también a la interacción entre las moléculas
del líquido. De esta forma se refiere a la energía por fricción perdida como perdida de
presión debido a la fricción, La perdida de presión por fricción depende del caudal, del
diámetro de la tubería, de la rugosidad, la gravedad especifica del liquido y de la
viscosidad. Además la pérdida de presión por fricción también depende del número de
Reynolds y el régimen de flujo. El objetivo es calcular la pérdida por fricción dado por la
fricción, propiedades del líquido y regímenes de flujo.
5.7 PERDIDAS MAYORES
La pérdida de presión debido a la fricción en una longitud de tubería, expresada en metros
o pies de líquido puede ser calculada usando la ecuación de Darcy-Weisbach:

Donde:
f = Factor de fricción de Darcy, adimencional, usualmente el número varía entre 0.008 y
0.10
L = Longitud de la tubería, ft
D = Diámetro interno de la tubería, ft
V = Velocidad media del liquido, ft/s
g = Aceleración debido a la gravedad, 32.2 ft/s2
en unidades inglesas
En un flujo laminar, el factor de fricción “f” solo depende del número de Reynolds. En un
flujo turbulento “f” depende del diámetro de la tubería, de la rugosidad de la tubería y
del número de Reynolds, como se mostrara.
5.8 FACTOR DE FRICCIÓN
Para flujo laminar, con un número de Reynolds R<2000, el factor de fricción de Darcy es
calculado mediante la siguiente relación:
Para un flujo laminar el factor de fricción solo depende del número de Reynolds y es
independiente de las condiciones internas de la tubería.
Para un flujo turbulento, Cuando el numero de Reynolds es R > 4000, el factor de fricción
f no solo depende del número de Reynolds, sino también del la rugosidad en el interior de
la tubería. Dado que la rugosidad incrementa, así también los hace el factor de fricción.
Por eso una tubería lisa tiene menor factor de fricción comparada con una tubería rugosa.
Mas correctamente, el factor de fricción depende de la rugosidad relativa (e/D) donde e
es la rugosidad absoluta de la tubería.
Existen varias relaciones para hallar el valor del factor de fricción f . Estos están basados
en experimentos realizados por científicos e ingenieros en los últimos 60 años. Una buena
ecuación propuesta para un flujo turbulento (donde R>4000) es la ecuación de Colebrook-
White:
[
√
]
Donde:
f=Factor de fricción de Darcy, adimensional
D=Diámetro interno de la tubería, in.
e=Rugosidad absoluta de la tubería, in.
R=Numero de Reynolds, adimesional
Todos los términos en la ecuación son adimensionales

Esta ecuación puede verse que el cálculo no es fácil, dado que el factor de fricción f
aparece en ambos lados de la ecuación. Para lo cual se debe resolver con un error. Se
puede empezar a asumir un valor de f (0.02) y sustituir en el lado derecho de la ecuación.
Esto llevara a una segunda aproximación de f, la cual puede ser usada para re calcular el
valor de f por sucesiva iteración. Generalmente, de tres a cuatro iteraciones pueden dar
un valor satisfactorio de f. (correcto con 0.001 decimales)
Durante las dos últimas décadas varias formulas del factor de fricción para flujo
turbulento han sido propuestas por varios investigadores. Todas estas facilitan el cálculo
del factor de fricción comparada con la ecuación de colebrook-White estas requieren un
error y son llamadas ecuación de Churchill y Swamee-Jain.
En la zona critica, donde el numero de Reynolds está entre 2000 y 4000, Generalmente la
formula no es aceptada, esto es debido a que es una zona inestable y por eso el factor de
fricción es indeterminado. Pero es más comúnmente calculado como si fuera flujo
turbulento.
Para denotar mejor, la zona de flujo turbulento (R>4000) actualmente consiste en tres
diferentes zonas:
 Flujo Turbulento en tubería lisa
 Flujo Turbulento en tubería totalmente rugosa
 Flujo de Transición en una tubería lisa y rugosa
5.8.1 Para flujo turbulento en tubería lisa, La rugosidad en la tubería tiene un efecto
despreciable en el factor de fricción f. Por eso, el factor de fricción en esta región solo
depende del número de Reynolds como sigue:
[
√
]
5.8.2 Para Flujo Turbulento en tubería totalmente rugosa, el factor de fricción f parece
depender menos del numero de Reynolds como la rugosidad aumento de valor. En este
caso solo dependerá de la rugosidad y el diámetro. Y este puede ser calculado mediante la
siguiente ecuación:
[ ]
5.8.3 Para la zona de transición entre un Flujo turbulento en tubería lisa y un flujo
turbulento en tubería rugosa, el factor de fricción f es calculado usando la ecuación de
Colebrook-White dado anteriormente:

[
√
]
La ecuación discutida arriba puede ser graficada sobre un Diagrama de Moddy. La
rugosidad relativa es definida como e/D, y es el resultado de simplemente dividir la
rugosidad absoluta entre el diámetro interno de la tubería. Los términos de la rugosidad
relativa son adimencionales. El diagrama de Moddy refleja un mapa completo para la zona
de flujo laminar y turbulento dentro la tubería. El diagrama de Moddy no es confiable
debido a que se usa un error para resolver la ecuación para el cálculo del factor de fricción
f. Para usar el diagrama de moddy, para
Figura Diagrama de Moody para el factor de fricción.
determinar el factor de fricción f. Primero se debe calcular el número de Reynolds R, luego
localizar en el eje horizontal el valor del numero de Reynolds y dibujar una línea vertical
hasta interceptar con la apropiada curva de rugosidad relativa (e/D). Desde este punto de
intersección sobre (e/D), leer el valor del factor de fricción f sobre el eje vertical de la
izquierda.

Antes de salir de la discusión del factor de fricción, se debe mencionar un término
adicional: El factor de fricción de Fanning. Algunos usan este factor de fricción en vez del
factor de fricción de Darcy. El factor de fricción de Fanning está definido como sigue:
Donde:
ff=Factor de fricción de Fanning
fd= factor de fricción de Darcy
PROBLEMAS RESUELTOS
Numero de Reynolds
P-5.1 Un conducto de 4 pulgadas de diámetro lleva 0.20 pies3/s de glicerina (SG=1,26) a
100ºF. ¿Es el flujo Laminar o Turbulento?
DATOS: SOLUCION:
D =0,333pies
µ (100ºF)=7,45*10-3
Lb*s/pie2
(Tabla)
SG= 1,26
Q=0.20 pie3
/s
INCOGNITAS:
NR=?
QFlujo
DDiametro

P-5.2 Calcule la rapidez de flujo de volumen máximo de aceite combustible a 45ºC a la cual
el flujo seguirá siendo laminar en un conducto de 100mm de diámetro. Para el aceite
utilice SG= 0,895 y una viscosidad dinámica de 4,0 *10-2
Pa-s.
DATOS:
D =100 mm
µ (45ºc)=4,0*10-2
Pa*s
SG= 0,895
INCOGNITAS:
NR=?
SOLUCION:
Considerando flujo laminar NR < 2000
Calculo del caudal empleando la ecuación de continuidad:
[ ]
[ ]
P-5.3 Aire con un peso especifico de 12,5 N/m3
y una viscosidad dinámica de 2,0*10-5
Pa*s,
fluye a través de la parte sombreada del ducto de la figura, con una rapidez de 150 m3
/h.
Calcular el número de Reynolds del flujo.
DATOS:
ν= 2,0*10-5
Pa*s
γ= 12,5 N/m3
Q =150 m3
/h
INCOGNITAS:
NR=?
SOLUCION:
Superficie del área sombreada:

{[ ( )] }
Velocidad de flujo promedio:
Perímetro mojado:
√
Calculo del radio hidráulico para sección irregular, para ello se reemplaza los valores de
área y perímetro mojado en la siguiente relación:
Calculo del NR empleando la siguiente relación:
[ ]
P-5.4 En el sistema mostrado en la Figura la bomba BC debe producir un caudal de 160 l/s
de aceite, Dr = 0,762, hacia el recipiente D. Suponiendo que la pérdida de energía entre A
y B es de 2,50 m y entre C y D es de 6,50 m, a) ¿qué potencia en HP debe suministrar la
bomba a la corriente? b) Dibujar la línea de alturas totales.
A
B C
D
cmD 30
cmD 30
Figura
m3
m60
m15


















 D
DD
perdBA
AA
Z
g
vP
HHZ
g
vP
22
22

   60.0)5,65,2(15.0  desprecHdesprec B
mHB 0.54
  Wm
s
m
m
N
HQWattPotencia BOMBA 9,645850,54*)16.0(*)81.9*1000*762.0(**
3
3
 
HP
W
HP
WHPPotencia 58.86
746
1
*9,64585)( 
HPPotencia 58.86
DATOS: SOLUCION:
Q=160 [l/s]
Dr=0,762
HA-B=2,5m
HC-D=6,5m
INCÓGNITAS:
a) Pott=?
b) Líneas de alturas
b)
P-5.5 Una tubería que transporta aceite crudo (SG=0.93) a 1200 l/min está hecha con
conducto de acero de 6 plg, Calibre 80. Las estaciones de Bombeo están espaciadas 3,2
Km entre sí. Si el aceite esta a 10 ºC, Calcule: (a) La caída de presión entre estaciones y (b)
La potencia requerida para mantener la misma presión en la entrada de cada bomba.
a) La velocidad de las partículas en A y D es tan pequeña que puede
despreciarse las alturas de velocidad.
Ecuación de energía entre A y D:
A
B C
D
Figura
m60
m3
m15
m5.66
m5.12

DATOS:
D (6plg)= 146.3 mm (Tabla)
µ (10ºC)= 1.5*10-1
N*s/m2
(Tabla)
SG= 0.93
Q= 1200 l/min
L= 3,2 Km
INCOGNITAS:
a) ΔP=?
b) Pott=?
SOLUCION:
a) Caída de presión entre los puntos A y B
Aplicando la ecuación de energía en los puntos A y B:
Despejando de la ecuación de energía la diferencia de presión se tiene:
[ ]
Velocidad en el conducto:
[ ]
[ ]
Se sabe que la perdida de energía (hL) en el conducto es:
Numero de Reynolds:
Calculo de factor de fricción:
QFlujo
Bomba Bomba
m3200
A B
APesionPr BPesionPr

Sustituyendo el factor de fricción “f” en (2):
Reemplazando la pérdida de energía en (1):
[ ] [ ]
[ ]
b) Calculo de la potencia de la bomba para mantener la misma presión a la entrada
de cada bomba.
( )
P-5.6 A través de una tubería nueva de fundición esta circulan de agua a 20°C y a una
velocidad de 4,2(m/s), la tubería es de 150mm de diámetro y tiene una longitud de 400m.
Determine la perdida de carga debida a la fricción.
DATOS:
SOLUCIÓN:
 Calculo del Número de Reynolds:

 Calculo de la rugosidad relativa:
 Calculo del factor de fricción:
:









fDf Re*
51.2
*71.3
log*2
1 
81.9*2
2.4
*
15.0
400
*024.0
*2
**
22
)( 
g
v
D
L
fH tuberiaL
mH tuberiaL 54.57)( 
P-5.7 Desde un punto 2 de elevación o cota 66,66 m se está descargando gasolina a
través de una tubería, El punto 1, localizado a 965,5 m en la tubería a partir del punto 2,
tiene una cota de 82,65 m, y la presión es de 2,50 kPa. Si la tubería tiene una rugosidad
de.0,500 mm ¿qué diámetro de tubería es necesario para descargar un caudal de 0,10
m3
/s de gasolina (Peso especifico = 7,05 kN/m3
,µ = 2,92.10-4
Ns/m2
,ρ = 719 kg/m3
)?
DATOS: SOLUCION:
Z2=66,66m
L=965.5m
Z1=82.65m
P1=2,50 kPa
e=0.500mm
Q=0,10 m3
/s
γ = 7,05 kN/m3
µ = 2,92.10-4
Ns/m2
ρ = 719 kg/m3
INCÓGNITAS:
D=?
m66.66
?D
L
1
2m65.82


















 2
2
22
1
2
11
22
Z
g
vP
HZ
g
vP
perd

 mdesprecHmdesprecm perd 66.66.065.82.
7050
2500
. 






mHperd 34.16. 
);......(
2
2
. 












g
v
D
L
fH perd
























 2
2
542
2
.
*
*8
**
*8
 g
Q
D
L
f
Dg
Q
D
L
fH perd
)......(
*
*4
4
2
2

 D
Q
D
Q
A
Q
v 
5
2
2
. *
*8















g
Q
H
L
fD
perd
)1.....(..........
*81.9
1.0*8
34.16
5.965
5
2
2














fD
);.......(
**
Re 

 DV

)2.....(..........
**10*92,2
719*1.0*4
Re 4
D

)......(
*
*4
2

 D
Q
V 
D
Q
**
**4
Re



)3.....(..........
0005.0
D
m
D
e

 Aplicando la formula de Darcy-Weisbach
Remplazando β en α:
Despejando el diámetro “D”
Reemplazando valores:
 Calculo del Número de Reynolds:
Reemplazando β en γ se tiene:
Reemplazando valores:
 Calculo rugosidad relativa:
a) La velocidad de las partículas en 1 y 2 es tan pequeña que puede
despreciarse, la presión P2/γ=0 (da a la atmosfera).
Ecuación de energía entre 1 y 2:

)4.....(..........
Re
51.2
71.3
log2
1









calcal f
D
e
f
][26 cmD 
Ecuación de Colebroock:
Este valor de f(supuesto) coincide con el valor de f(calculado). De aquí que el valor correcto de
“D” diámetro requerido es 0.25928m
P-5.8 Para una tubería de acero de 4 pulgadas Calibre 80 de 25 pies de longitud está
fluyendo agua a 100ºF. Calcule la velocidad de flujo de volumen máxima permitida si la
pérdida de energía debido a la fricción de la tubería se limitará a 13.061 pies lb/lb.
Encontrando los valores:
4" 0.3188[ ]D pies , 4
1.5 10 [ ]pies 
  , 6 2
7.37 10 [ ]v pies s
 
SOLUCION:
 Despejando de Darcy la velocidad de flujo expresado en función de f:
2
f
2
L
L V
h
D g
   ⟹
2
f
Lh D g
V
L
 


2 2 2
13.061[ ] 0.3188[ ] 2 32.2[ ] 10.726[ ]
25[ ] f f
pies pies pies s pies s
V
pies
  
 

(1)
 Número de Reynolds en el conducto en función a la velocidad de flujo:
4
4 2
0.3188[ ]
4.326 10
7.37 10 [ ]
R
D V m V
N V
v pies s
 
    

(2)
 Rugosidad relativa:
f(supuesto) “D” ec. (1) Re ec. (2) e/D ec. (3) f(calculado) ec.(4)
0.020 0.24999 1251081.8 0.002000 0.024
0.024 0.25928 1209176.3 0.001928 0.024
Para el cálculo del diámetro se procederá:
1. Se efectuara el cálculo por tanteo de un valor “ f(supuesto) ” (factor de fricción), determinando “D” por la
ecuación (1).
2. Se determinara Re y (e/D) para el valor de “D” con las ecuaciones (2) y (3).
3. Se determinara el valor de “ f(calculado) ” en función de Re y (e/D) con el diagrama de Moody o con la
ecuación de colebroock. En caso de que este valor coincida con el valor del supuesto este será el diámetro
buscado, en caso contrario será necesario efectuar un nuevo tanteo, suponiendo ahora el “ f ” calculado.

4
4
107059.4
][3188.0
][105.1 

 x
pies
piesx
D

Con el NR y la rugosidad relativa se procede al procedimiento de iteración mediante la
ecuación de colebroock con valores de prueba inicial de f ó también del diagrama de
Moddy f 0.023 y sustituyendo f en (1)
2 2
10.726[ ]
21.6[ ]
0.023
pies s
V pies s 
El número de Reynolds se obtiene sustituyendo la velocidad de flujo en (2)
4 5
4.326 10 21.6 9.34 10RN     
Obteniendo el nuevo factor de f 0.0175 y sustituyendo en (1)
2 2
10.726[ ]
24.76[ ]
0.0175
pies s
V pies s 
Cálculo del nuevo número de Reynolds bajo la sustitución de V en (2)
4 5
4.326 10 25.12 1.087 10RN     
Obteniendo nuevo factor de f 0.017
En vista que el valor de f permanece inalterado que la anterior prueba por tanto se acepta
la velocidad de flujo de 25.12[ ]pies s
Cálculo de la velocidad de flujo de volumen:
 
2
0.3188[ ]
25.12[ ]
4
pies
Q AV pies s
 
   ⟹
3
2.0[ ]Q pies s
P-5.9 A través de una tubería de acero con un diámetro exterior de 2pulg y un grosor de
pared de 0.083 pulgadas se encuentra fluyendo un aceite hidráulico. Una caída de presión
de 68 kPa se observa entre dos puntos en la tubería situada a 30m entre si. El aceite tiene
una gravedad especifica de 0.90 y una viscosidad dinámica de 3.0×10-5
m. Calcule la
velocidad de flujo de aceite.

4
5
107059.4
][046584.0
][103 

 x
m
mx
D

DATOS: SOLUCION:
D=2 pulg
Espesor=0.083 plg
ΔP=68 KPa
LA-B=30m
GE=0.90
δ=3.0*10-5
m
INCÓGNITAS:
V=?
2 2
2 2
A A B B
A L B
REF REF
P V P V
Z h Z
g g 
     
Despejando de la pérdida de energía:
2
2 2
.
( )
2
A B B A
L B A
AC H H O
P P V V
H Z Z
Sg g
  
    
  
Sustituyendo los valores y considerando 0B AZ Z  y  2 2
2 0B AV V g 
2
3
68[ ]
7.702[ ]
0.9 9.81[ ]
L
kN m
H m
kN m
 
  
 
Despejando de Darcy la velocidad de flujo expresado en función de f:
2
f
2
L
L V
h
D g
   ⟹
2
f
Lh D g
V
L
 


2 2 2
7.702[ ] 0.046584[ ] 2 9.81[ ] 0.23465[ ]
30[ ] f f
m m m s m s
V
m
  
 

(1)
Calculo del Número de Reynolds en el conducto en función a la velocidad de flujo:
4.
3
0.046584 0.9 1000
1.398 10
3.0 10
AC H
R
D V V
N V

 
    
    

(2)
Rugosidad relativa:
Con el NR y la rugosidad relativa se procede al procedimiento de iteración. Como valores
de prueba inicial de f se obtuvo del diagrama de Moddy f 0.03 y sustituyendo en (1)
Empleando la ecuación de la energía en A y en B

2 2
0.23465[ ]
2.797[ ]
0.03
m s
V m s 
El número de Reynolds se obtiene bajo el sustituto de la velocidad de flujo en (2)
4 4
1.398 10 2.797 3.91 10RN     
Obteniendo el factor nuevo de f del diagrama de Moddy f 0.024 y remplazando en (1)
2 2
0.23465[ ]
3.13[ ]
0.024
m s
V m s 
Cálculo del nuevo NR bajo el remplazo de V en (2)
4 4
1.398 10 3.13 4.38 10RN     
Obteniendo el factor nuevo de f del diagrama de Moddy f 0.0235 y sustituyendo en (1)
2 2
0.23465[ ]
3.16[ ]
0.0235
m s
V m s 
Cálculo del nuevo NR bajo el remplazo de V en (2)
4 4
1.398 10 3.16 4.42 10RN     
Obteniendo el nuevo factor de f del diagrama de Moddy f 0.0235 . En vista que el valor f
permanece inalterado que la anterior prueba por lo tanto se acepta la velocidad de flujo
de:
3.16[ ]V m s .
P-5.10 En un sistema de procesamiento químico, el flujo de glicerina a 60ºF (sg=1.24) en
un tubo para que este permanezca laminar con un numero de reynolds aproximadamente
igual a 300, pero sin exceder este valor. Determine el tamaño de conducto que
transportara una rapidez de flujo de 0.90 spie / . Entonces, para un flujo de 0.90 spie /3
en el tubo que usted ha calculado, calcule la caída de presión entre dos puntos separados
entre si a una distancia de 55.0pies, si el tubo está en posición horizontal.
Valor encontrado. 22
/*10*62.4 pieslb


DATOS: SOLUCION:
Sg=1.24
Re=300
v=0.90 pie/s
L=55.0 pie
22
/*10*62.4 pieslb

INCÓGNITAS:
ΔP=?
4
*
* 2
D
Q
A
Q
vvAQ

 ………………………(Ec-1)
Numero de Reynolds:

GLIC
R
vD
N
**
 ……………..(Ec-2)
Sustituyendo (2) en (1)y despejando D:



GLIC
R
D
Q
D
N
*
4
*
* 2
 =
D
QD
Q
GLIC
GLIC
**
*4*
*4








**
*4
R
GLIC
N
Q
D  ………..(Ec-3)
Reemplazando los valores en 3:
pies
pie
slb
pieslugsspie
D 199.0
*)
*
10*62.4(*300
/24.1*/9.0*4
2
2
33



Sustituyendo valores en (1) se tiene la velocidad de flujo:
s
pies
pies
spie
v 94.28
4
)199.0(*
9.0
2
3


Empleando la ecuación de la energía en A y B:
g
V
Z
P
h
g
V
Z
P B
B
GLIC
B
L
A
A
GLIC
A
22
22


Despejando la diferencia de presiones:
GLILAB
AB
BA hZZ
g
VV
PP *)(
2
22








 …………….(Ec-4)
Calculo de la perdida de energía Lh en el conducto empleando Darcy:
g
V
D
L
fhL
2
**
2
 ……….(Ec-5)
Expresando la velocidad de flujo en función del diámetro:
55 pies

Calculo de f empleando la siguiente relación (flujo laminar):
2133.0
300
6464

RN
f
Sustituyendo el factor f en 5 y se obtiene la pérdida de energía:
pies
spie
spie
pie
pies
hL 68.766
2.32*2
)94.28(
*
199.0
55
*2133.0 2
2

Se obtiene la diferencia de presiones bajo el sustituto de los valores en (4):
  3
2.64*24.1*68.76600
pie
lb
PP BA 
222
lg
96.411
lg)12(
1
*63.59322
pu
lb
pu
pie
pie
lb
PP BA 
P-5.11 En la figura se muestra una bomba que hace circular 300gal/min de aceite de
lubricación para maquina, herramientas pesadas a 104ºF (sg=0.890) con el fin de probar la
estabilidad de aceite (pesado) y cuya viscosidad cinemática es de 2.15* spie /10 22
. La
longitud total del conducto de 3 pulgadas es de 75 pies. Calcule la potencia transmitida
por la bomba de aceite.
SOLUCION:
Encontrando valores:
piesD 2557.03  (Tabla)
piesD 3355.04  (Tabla)
 Empleando la ecuación de la energía en los puntos (1) y (2):
g
V
Z
P
hh
g
V
Z
P
AC
AL
AC 22
2
2
2
2
2
1
1
1


Bomba
22 pies
Flujo
15 pies
6pies
Línea de
descarga
conducto
de acero de
3’’. Calibre
40
Línea de
succión de
acero de 4’’
calibre 40

Despejando la energía añadida ( Ah ):
L
AC
A h
g
VV
ZZ
PP
h 




2
)(
2
1
2
2
12
12

…………….. (Ec.-1)
 La velocidad en el conducto de impulso es:
s
pie
pies
smpieLmgalLgal
V 015.13
4
)2557.0(*
60min/1*)3048.0/(1*1000/1*1/785.3min*300
2
333
2 

Velocidad en el conducto de succión es:
s
pie
pies
smpieLmgalLgal
V 56.7
4
)3355.0(*
60min/1*)3048.0/(1*1000/1*1/785.3min*300
2
333
2 

 Calculo de la perdida de energía en el conducto de succión:
g
V
D
L
fhL
2
**
2
4
4
4 …………………. (Ec.-2)
 Numero de reynolds:
1180
10*15.2
56.7*335.0*
22
44
 
spies
spiespies
v
VD
NR
 Factor de fricción:
0542.0
1180
6464

RN
f
Sustituyendo valores en (2) y se obtiene Lh :
pies
spie
spie
pie
pie
hL 584.3
2.32*2
)55.7(
*
3355.0
25
*0542.0 2
2
4 
 Calculo de la perdida de energía en el conducto de impulsión:
g
V
D
L
fhL
2
**
2
3
3
33  ………….Ec.-3
 Numero de Reynolds:
1548
10*15.2
015.13*2557.0*
22
33
 
spies
spiespies
v
VD
NR
 Factor de fricción:
0413.0
1148
6464

RN
f
Sustituyendo valores en (3) y se obtiene 4Lh :

pies
sm
hL 863.31
2.32*2
)13005(
*
2557.0
75
*0413.0 2
2
3 
Se tiene 4h bajo el sustituido de los valores en (1):
pie
spie
spie
piehA )863.31584.3(
2.32*2
0)015.13(
010 2
2



pieshpiepiepieh AA 08.3945.3563.21 
 Calculo de la potencia de la bomba
AA hQP **
pies
ie
lb
s
pies
PA 08.39*4.62*890.0*6683.0 3
2

Hp
s
pielb
HP
s
pielb
PA 637.2
*
550
1
*
*
44.1450 
P-5.12 Va a fluir agua a 60° F por gravedad entre dos puntos ubicados a 2 millas uno del
otro a una velocidad de 13500 gal/min. El extremo superior es 130 pies más alto que el
extremo interior. ¿Cuál es el tamaño de tubería de concreto que se requiere?
Asuma que la presión en ambos extremos de la tubería es despreciable.
DATOS:
v = 1,21*10-5
pies2
/s
ξ = 1,5*10-4
pies
SOLUCION:
AB
2 millas
Flujo
130 pies

 Empleando la ecuación de la energía en A y B.
Despejando la perdida de energía (hL) y considerando VA= VB y (PA – PB) = 0
[ ]
 Expresando la perdida de energía en términos de velocidad, utilizando la ecuación de
Darcy:
Expresando la velocidad en términos de caudal y el diámetro de la tubería:
Sustituyendo la velocidad de flujo en la ecuación de Darcy ó (3) en (2)
( )
Despejando el diámetro del conducto:
( )
⁄
Sustituyendo los valores:
( )
⁄
⁄
 Expresando el número de Reynolds en términos del diámetro:
( )
Sustituyendo los valores:
1. Asumiendo un valor de prueba inicial f = 0,0200.
2. Calculo del diámetro del conducto bajo el sustituto de f en (4)
⁄

3. El numero de Reynolds se obtiene bajo el reemplazo de D en (5)
4. Rugosidad relativa:
5. Obteniendo de nuevo valor de fricción f del diagrama de Moddy (f = 0,0208).
6. Compare el nuevo valor de f con el que se asumió en el paso 1 y repita los
pasos 1 a 6 hasta que no pueda detectar un cambio significativo en f.
Calculo del nuevo diámetro del conducto sustituyendo f en (4)
⁄
 Donde en nuevo NR se tiene bajo la sustituto de D en (5)
 Nueva rugosidad relativa:
 Obteniendo el nuevo valor de fricción f del diagrama de Moddy (f = 0,0233).
 Calculo del nuevo diámetro del conducto bajo la sustitución de f en (4)
⁄
 El nuevo NR se tiene reemplazando D en (5)
 Nueva rugosidad relativa:
 Determinado el nuevo valor de fricción f del diagrama de Moddy (f = 0,0233)
Comparando el nuevo valor de f con el anterior se ve que existe cambios, por lo tanto se
acepta el diámetro calculado (D = 2,123 pies).
 pieD 123.2








g
v
KhL
2
2
CAPITULO 6
“PERDIDAS MENORES”
En este capítulo se tratara sobre las pérdidas menores debido a la presencie de válvulas,
junturas, cambios en el tamaño de la trayectoria de flujo y cambios en la dirección.
6.1 FUENTES DE PÉRDIDAS MENORES
En la mayor parte de los sistemas de flujo, la pérdida de energía primaria se debe a la
fricción del conducto, como se describió anteriormente. Los demás tipos de pérdidas de
energía son pequeñas en comparación, y por consiguiente se hace referencia a ellas como
pérdidas menores. Las pérdidas menores ocurren cuando hay un cambio en la sección
cruzada de la trayectoria de flujo o en la dirección de flujo, o cuando la trayectoria de flujo
se encuentra obstruida, como sucede con una válvula. La energía se pierde bajo estas
condiciones debido e fenómenos físicos bastantes complejos.
6.2 COEFICIENTE DE RESISTENCIA
Las pérdidas de energía son proporcionales a la cabeza de velocidad del flujo al fluir éste
alrededor de un codo, a través de una dilatación o contracción de la sección de flujo, o a
través de una válvula. Los valores experimentales de pérdida de energía generalmente se
reportan en términos de un coeficiente de resistencia K, de la siguiente forma:
Donde:
hL = Pérdida de energía menor
K = Coeficiente de resistencia (adimensional)
V = Velocidad de flujo promedio en el conducto en la vecindad donde
se presenta la perdida menor.
En algunos casos, puede haber más de una velocidad de flujo, como las dilataciones o en
las contracciones. Es muy importante que usted sepa qué velocidad se debe utilizar del
conducto menor.
6.2.1 DILATACIÓN SÚBITA
Al fluir un ruido de un conducto menor a uno mayor a través de una dilatación súbita, su










g
v
KhL
2
2
1
velocidad disminuye abruptamente ocasionando una turbulencia que genera una pérdida
de energía. Por consiguiente, la cantidad de pérdida de energía depende del cociente de
los tamaños de los dos ductos.
La pérdida menor se calcula empleando la siguiente ecuación:
Donde: v1 es la velocidad de flujo promedio en el conducto menor que está delante de la
dilatación. Las pruebas han demostrado que el valor del coeficiente de perdida K depende
de la proporción de los tamaños de los dos conductos como de la magnitud de la
velocidad de flujo. La tabla 1 muestra los valores del coeficiente de resistencia.
Tabla 1. COEFICIENTES DE RESISTENCIA-DILATACION SUBITA
D2/D1
Velocidad 1
0.6 m/s
2 pie/s
1.2 m/s
4 pie/s
3 m/s
10 pie/s
4.5 m/s
15 pie/s
6 m/s
20 pie/s
9 m/s
30 pie/s
12 m/s
40 pie/s
1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
1.2 0.11 0.10 0.09 0.09 0.09 0.09 0.08
1.4 0.26 0.25 0.23 0.22 0.22 0.21 0.20
1.5 0.40 0.38 0.35 0.34 0.33 0.32 0.32
1.8 0.51 0.48 0.45 0.43 0.42 0.41 0.40
2.0 0.60 0.56 0.52 0.51 0.50 0.48 0.47
2.5 0.74 0.70 0.65 0.63 0.62 0.60 0.58
3.0 0.83 0.78 0.73 0.70 0.69 0.67 0.65
4.0 0.92 0.87 0.80 0.78 0.76 0.74 0.72
5.0 0.96 0.91 0.84 0.82 0.80 0.77 0.75
10.0 1.00 0.96 0.89 0.86 0.84 0.82 0.80
- 1.00 0.96 0.91 0.86 0.86 0.83 0.81
Fuente: HW. King E. F. Brater 1963 y copia de Robert Mott 1996

6.2.2 DILATACIÓN GRADUAL
Es la transición de un conducto menor a uno mayor menos abrupto. Esto normalmente se
hace colocando una sección cónica entre los dos conductos como se muestra en la figura.
Las paredes en pendiente del cono tienden a guiar el fluido durante la desaceleración y
expansión de la corriente del flujo.
La pérdida de energía pare una dilatación gradual se calcula a partir de:









g
v
KhL
2
2
1
Donde: V1 es la velocidad del conducto menor que está delante de la dilatación. La
magnitud de K depende de la proporción de diámetro D2/D1 como del ángulo de cono, La
Tabla 2 muestra los diferentes valores de resistencia (K).
Tabla 2 COEFICIENTES DE RESISTENCIA – DILATACION GRADUAL
D2/D1
ANGULO DEL CONO θ
2º 6º 10º 15º 20º 25º 30º 35º 40º 45º 50º 60º
1.1 0.01 0.01 0.03 0.05 0.10 0.13 0.16 0.18 0.19 0.20 0.21 0.21
1.2 0.02 0.02 0.04 0.09 0.16 0.21 0.25 0.29 0.31 0.33 035 035
1.4 0.02 0.03 0.06 0.12 0.23 0.30 0.36 0.41 0.44 O.47 0.50 0.50
1.6 0.03 0.04 0.07 0.14 0.26 0.35 0.42 0,47 0.51 0.54 0.57 0.57
1.8 0.03 0.04 0.07 0.15 0.28 0.37 0.44 0.50 0.54 0.58 0.61 0.61
2.0 0.03 O.O4 0.07 0.15 0.29 0.38 0,46 0.52 0.56 0.60 0.63 0.63
2.5 0.03 0.04 0.08 0.16 0.30 0.39 0.43 0.54 0.53 0.62 0.65 0.65
3.0 0.03 0.04 0.08 0.16 0.31 O.40 0.48 0.55 0.59 0.63 0.66 0.66
- 0.03 0.05 0.08 0.16 0.31 0.40 0.49 0.56 0.60 O.64 0.67 0.72
6.2.3 CONTRACCION SÚBITA
La pérdida de energía debido a una contracción súbita bastante complejo, como la
esbozada en la figura adjunta se calcula a partir de:










g
v
KhL
2
2
2
DONDE: V1 es la velocidad del conducto menor a partir de la contracción. El coeficiente
de resistencia K depende de los tamaños de los dos conductos y de la velocidad de flujo.
La Tabla muestra diferentes valores de resistencia para contracción súbita.
D1/D2
Velocidad 1
0.6 m/s
2 pie/s
1.2 m/s
4 pie/s
1.8 m/s
6 pie/s
2.4 m/s
8 pie/s
3 m/s
10 pie/s
4.5 m/s
15 pie/s
6 m/s
20 pie/s
9 m/s
30 pie/s
12 m/s
40 pie/s
1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
1.1 0.03 0.04 0.04 0.04 0.04 O.O4 0.05 0.05 0.06
1.2 0.07 0.07 0.07 0.07 0.08 0.08 0.09 0.10 0.11
1.4 0.17 0.17 0.17 0.17 0.18 0.18 0.18 0.19 0.20
1.6 0.26 0.26 0.26 0.26 0.26 0.25 0.25 0.25 0.24
1.8 0.34 0.34 0.34 0.33 0.33 0.32 0.31 0.29 0.27
2.0 0.38 0.37 0.37 0.36 0.36 0.34 C.33 C.31 0.29
2.2 O.40 O.40 0.39 0.39 0.38 0.37 0.35 0.33 0.30
2.5 0:42 0.42 0.41 0.40 0.40 OJ3 0.37 0.34 0.31
3.0 O.44 0.44 0.43 0.42 0.42 0.40 0.39 0.36 0.33
4.0 O.47 0.46 0.45 0.45 0.44 0.42 O.41 O.37 0.34
5.0 0.48 0.47 0.47 0.46 0.45 0.44 0.42 0.38 0.35
10.0 0.49 0.48 0.48 0.47 0.46 O.45 0.43 0.40 0.36
- 0.49 0.48 0.48 0.47 0.47 0.45 0.44 0.41 0.38
6.2.4 CONTRACCIÓN GRADUAL
La pérdida de energía en una contracción puede disminuir sustancialmente haciendo la
contracción más gradual. La figura muestra una contracción de este tipo, formada
mediante una sección cónica entre los diámetros con cambios abruptos en las junturas.

Los cálculos se realizan empleando la misma relación de la dilatación gradual y el mismo
principio.









g
v
KhL
2
2
2
El coeficiente K depende de la proporción de diámetros D1/D2 y el ángulo del cono, la
figura. Muestra diferentes valores K a ser interpolados.
Figura. COEFICIENTE DE RESISTENCIA – CONTRACCION GRADUAL
Fuente: Robert Mott 1996

Guía Página 74
6.2.5 PERDIDAS DE SALIDA
Durante la salida del flujo de un fluido de un conducto hacia un gran depósito o tanque,
como se muestra en la figura su velocidad disminuye hasta casi cero. En el proceso la
energía cinética que el fluido poseía en el conducto, indicada por la cabeza de velocidad
v2
/2g, se disipa. Por lo tanto, la pérdida de energía para esta condición es:









g
v
KhL
2
2
1
Ésta se denomina la pérdida de salida. El coeficiente de resistencia es igual a uno (K =
1,0) Y dicho valor se usa sin importar la forma de la salida donde el conducto se conecta
con la pared del tanque.
6.2.6 PERDIDAS DE ENTRADA
Un caso especial de una can tracción ocurre cuando el fluido fluye desde un depósito o
tanque relativamente grande hacia un conducto. El fluido debe acelerar desde una
velocidad relativamente despreciable a la velocidad de flujo del conducto. La facilidad con
que se realiza la aceleración determina la cantidad de pérdida de energía y por lo tanto, el
valor del coeficiente de resistencia de entrada depende de la geometría de la entrada. La
figura siguiente muestra cuatro configuraciones diferentes y el valor sugerido de K para
cada uno.

Guía Página 75
Los valores del coeficiente K para la entrada redondeada son las siguientes:
r/D2 K
0.00
0.02
0.04
0.06
0.10
>0.15
0.50
0.28
0.24
0.15
0.09
0.01 (Bien redondeada)
Después seleccionar un valor para el coeficiente de resistencia da la figura, podemos
calcular la pérdida de energía en una entrada a partir de:









g
v
KhL
2
2
2
Donde V2 es la velocidad de flujo en el conducto.
6.2.7 COEFICIENTE DE RESISTENCIA PARA VALVULAS Y JUNTURAS
Se dispone muchos tipos diferentes de válvulas y junturas de varios fabricantes para
especificación e instalación en sistemas de flujos y pueden ser válvulas de verificación y
muchas más. Las junturas dirigen la trayectoria de flujo y ocasionan un cambio en el
tamaño de la trayectoria de flujo. Se incluyen los codos de varios diseñes, te, reductores,
boquillas y orificios.
La pérdida de energía incurrida con flujos de fluido a través de una válvula o juntura se

Guía Página 76
calcula utilizando la ecuación para pérdidas menores ya analizadas. Sin embargo, el
método para determinar el coeficiente de resistencia K es diferente. El valer de K se
reporta en la forma:
Tf
D
Le
K 






El valor de Le/ D, llamado la proporción de longitud equivalente, se reporta en la tabla
que se muestra posteriormente y se considera que es una constante para un tipo dado de
válvula o juntura. El valor de Le, también se denomina la longitud equivalente y es la
longitud del conducto recto del mismo diámetro nominal como la válvula que tendría la
misma resistencia que esta. El termino D es el diámetro interno real del conducto.
El termino fT es el factor de fricción en el conducto al cual está conectada la válvula o
juntura, tomando en la zona de turbulencia completa, como se observa en el diagrama de
Moddy donde el factor de fricción es independiente del numero de Reynolds.
RESISTENCIA EN VALVULAS Y EN JUNTURAS EXPRESADA COMO LONGITUD
EQUIVALENTE EN DIAMETROS DE CONDUCTOS, Le/D
TIPO
LONGITUD EQUIVALENTE EN
DIAMETROS DE CONDUCTO Le/D
Válvula de globo-completamente abierta 340
Válvula de ángulo-completamente abierta
Válvula de Compuerta-completamente abierta
a) ¾ abierta
b) ½ abierta
c) ¼ abierta
150
8
35
160
900
Válvula de verificación-tipo giratorio 100
Válvula de verificación-tipo bola 150
Válvula de mariposa-completamente abierta 45
Codo estándar 90º 30
Codo de radio largo de 90º 20
Codo de calle de 90º 50
Codo estándar de 45º 16
Codo de calle de 45º 26
Codo de devolución cerrada 50
Te estándar-con flujo a través de un tramo 20
Te estándar-con flujo a través de una rama 60
Fuente: Válvulas de sifón, IL, Robert Mott 1996
Los valores de fT varían con el tamaño de conducto y de la válvula, ocasionando que el
valor del coeficiente de resistencia K también varié. La tabla siguiente enumera los
valores de fT para tamaño estándar de conductos de acero comercial nuevo limpio.

Guía Página 77
FACTOR DE FRICCION EN ZONA DE TURBULENCIA COMPLETA PARA CONDUCTO DE
ACERO COMERCIAL NUEVO Y LIMPIO
TAMAÑO DE
CONDUCTO
NOMINAL (plg)
FACTOR DE
FRICCION
fT
TAMAÑO DE
CONDUCTO
NOMINAL (plg)
FACTOR DE
FRICCION
fT
½ 0.027 4 0.017
¾ 0.025 5 0.016
1 0.023 6 0.015
1 ¼ 0.022 8-10 0.014
1 ½ 0.021 12-16 0.013
2 0.019 18-24 0.012
2 ½, 3 0.018
6.2.8 CODOS DE TUBERIA
A menudo es más conveniente curvar, un conducto o tubo que instalar un codo comercial-
mente hecho. La resistencia al flujo de un codo depende de la proporción del radio r del
codo con el conducto dentro del diámetro D. La figura siguiente muestra que la resistencia
mínima ocurre cuando la proporción r/D es aproximadamente tres. La resistencia se da en
términos de la proporción de Longitud equivalente Le/D, y por lo tanto, la ecuación
K=(Le/D)*fT debe usarse para calcular el coeficiente de resistencia. La resistencia mostrada
en la figura incluye tanto la resistencia del codo como la resistencia debido a la longitud
del conducto en el codo.
Cuando calculamos la proporción r/D, r se define como el radio a la línea del centro del
conducto o tubo, denominado el radio medio. Donde r se procede a calcular bajo las
siguientes relaciones:
2
Do
Rir 
2
Do
Ror 
 
2
RiRo
r



Guía Página 78
Figura. COEFICIENTE DE RESISTENCIA CODO DE RADIO LARGO

Guía Página 79
PROBLEMAS RESUELTOS
P-6.1 Determine la pérdida de energía cuando 3
0.04[ ]m s de agua fluye de un conducto
estándar Calibre 40 de 6pulg en un depósito grande.
SOLUCION:
6 154.1[ ]D mm
Coeficiente de resistencia a la salida 1.0K 
Velocidad de flujo en el conducto:
3
2
0.04[ ]
2.145[ ]
(0.1541[ ]) 4
Q m s
V m s
A m
  

Cálculo de la pérdida de energía:
 
22
2
2.145[ ]
1.0
2 2 9.8[ ]
L
m sV
h K
g m s
  

⟹ 0.2345[ ]Lh m
P-6.2 Determine la pérdida de energía cuando petróleo de una gravedad especifica de
0.87 fluye de un conducto de 4pulg a uno de 2pulg a través de una contracción súbita si la
velocidad de flujo en el conducto mayor es de
4.0[ ]pies s .
SOLUCION:
Cociente de los diámetros 4 2D D
4
2
4[ ]
2
2[ ]
D pulg
D pulg
 
Velocidad de flujo en el conducto de 2pulg:
2 4Q Q ⟹ 2 2 4 4V A V A   ⟹ 2 2
2 2 4 4
4 4
V D V D
 
  
2
24
2 4
2
(2) 4.0[ ] 16.0[ ]
D
V V pies s pies s
D
 
     
 
Obteniendo K de tablas mediante interpolación para una velocidad de 16.0 [pies/s] en el
conducto de 2pulg y para un cociente de diámetro de 2, tenemos K=0.34

Guía Página 80
 
22
2
2
16[ ]
0.34
2 2 32.2[ ]
L
pies sV
h K
g pies s
  

⟹ 1.35[ ]Lh pies
P-6.3 Determine la pérdida de energía para una contracción gradual de un conducto de
acero Calibre 80 de 5pulg a uno de 2pulg para un caudal de 500 [L/min]. El Angulo de cono
para la contracción es 105º.
SOLUCION:
5 122.3[ ]D mm ; 2 49.3[ ]D mm
Velocidad de flujo en el conducto de 2pulg:
3 3
2 2
2
8.33 10 [ ]
4.366[ ]
(0.0493[ ]) 4
Q m s
V m s
A m


  

Cociente de los diámetros 4 2D D
5
2
122.3[ ]
2.48
49.3[ ]
D mm
D mm
 
Obteniendo K de tablas mediante interpolación para un cociente de diámetro de 2.48 y un
ángulo de cono de 105º, tenemos K=0.23
 
22
2
2
4.366[ ]
0.23
2 2 9.81[ ]
L
m sV
h K
g m s
  

⟹ 0.223[ ]Lh m
P-6.4 Determine la pérdida de energía que ocurrirá si fluye agua de un depósito hacia un
conducto con una velocidad de 3 m/s si la configuración de la entrada es un conducto de
proyección hacia adentro.
SOLUCION:
Coeficiente de resistencia de entrada 1.0K 
Cálculo de la pérdida de energía empleando la
siguiente relación:

Guía Página 81
 
22
2
3.0[ ]
1.0
2 2 9.81[ ]
L
m sV
h K
g m s
  

⟹ 0.459[ ]Lh m
P-6.5 Determine la longitud equivalente en metros de conducto de una válvula de
compuerta completamente abierta colocada en un conducto Calibre 40 de 10pulg.
SOLUCION:
10 254.5[ ]D mm
Longitud equivalente válvula de compuerta 8Le D 
Factor de fricción conductos nuevos de acero 10Tf 0.014
Calculo de K para la compuerta completamente abierta empleando la siguiente relación.
T= f 8 0.014 0.112
Le
K
D
   
Determinando la longitud equivalente en metros, empleando la siguiente relación:
8 8 0.2545[ ]Le D m    ⟹ 2.036[ ]Le m
P-6.6 Calcule la diferencia a través de una válvula de un ángulo completamente abierta
colocada en un conducto de acero Calibre 40 de 5pulg que lleva 650 [gal/min] de petróleo
(sg=0.9).
SOLUCION:
5 0.4206[ ]D pies
Longitud equivalente válvula de ángulo
completamente abierta 150Le D 
Factor de fricción conductos nuevos de acero 5Tf 0.016
Empleando la ecuación de la energía en los puntos 1 y 2
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
L
PET PET
P V P V
Z h Z
g g 
     
Despejando la diferencia de presión

Guía Página 82
2 2
2 1
1 2 2 1( )
2
L PET
V V
P P Z Z h
g

 
      
 
(1)
Cálculo de la pérdida de energía debida a la válvula de ángulo:
2 2
Tf
2 2
L
V Le V
h K
g D g
   (2)
Velocidad de flujo en el conducto:
3
2
1.448[ ]
10.442[ ]
(0.4206[ ]) 4
Q pie s
V pies s
A pies
  

Sustituyendo valores en la ecuación (2) se tiene hL
 
2
2
10.422[ ]
0.016 150 4.048[ ]
2 32.2[ ]
L
pies s
h pies
pie s
   

Reemplazando hL en la ecuación (1) y considerando 2 1 0Z Z  y 2 2
2 1 2 0V V g  por ser
el mismo diámetro en ambos puntos y por constituirse en un mismo nivel.
  3
1 2 0 0 4.048[ ] 0.9 62.4[ ]P P pies lb pie     
3
1 2 2
1
227.34
12
lb pie
P P
pie pulg
   ⟹
2
1 2 1.579[ ]P P lb pulg 
P-6.7 De un depósito grande fluye agua a 10 ºC a una velocidad de 2 2
1.5 10 [ ]m s
 a
través del sistema que se muestra en la figura. Calcule la presión en B.
DATOS:
4" 97.97[ ]D mm ,
6
1.5 10 [ ]m 
  ,
6 2
1.30 10 [ ]v m s
 
Longitud equivalentes codo estándar
30Le D 
INCÓGNITAS:
PB=?
SOLUCION:
Sabiendo que la velocidad de flujo es:

Guía Página 83
2 3
2
1.5 10 [ ]
2.0[ ]
(0.09797[ ]) 4
Q m s
V m s
A m


  

 Empleando la ecuación de la energía en A y en B
2 2
2 2
2 2
A A B B
A L B
H O H O
P V P V
Z h Z
g g 
     
Despejando de la ecuación de energía BP y considerando 0AP 
2
2 2
( )
2
A B
B A B L H O
V V
P Z Z h
g

 
     
 
(1)
 Cálculo de Lh para el cual existen tres componentes:
1 2 3Lh h h h   (2)
Donde:
2 2
1 1.0
2 2
B BV V
h K
g g
  Pérdida a la entrada
2 2 2
2
80.5[ ]
f f 821.68 f
2 0.09797[ ] 2 2
B B BV V VL m
h
D g m g g
      Pérdida por fricción
2 2 2
3 T T Tf 3 f 30 3 90 f
2 2 2
B B BV V VLe
h
D g g g
   
           
   
Perdida por codos estándar
Sustituyendo las perdidas de energia en (2)
2 2 2
T1.0 821.68 f 90 f
2 2 2
B B B
L
V V V
h
g g g
    
 
2
T1.0 821.68 f 90 f
2
B
L
V
h
g
     (3)
 Cálculo de fT para un conducto de 2 pulg de cobre considerando completa
turbulencia
T
1
2log(3.7 )
f
D  ⟹
2 2
T
1 1
f 0.0086
2log(3.7 ) 2log(3.7 65313)D 
   
       
 Número de Reynolds:
5
5 2
0.09797[ ] 1.99[ ]
1.5 10
1.30 10 [ ]
R
DV m m s
N
v m s

   


Guía Página 84
[ ]
[ ]
 Obteniendo f del diagrama de Moddy f 0.016 y reemplazando los valores en (3)
 
2
2
(2.0[ ])
1.0 821.68 0.0165 90 0.0085 3.126[ ]
2 9.81[ ]
L
m s
h m
m s
     

 Sustituyendo valores en (1) se tiene BP .
2
3
2
(2.0[ ])
(12[ ] 0[ ]) 3.126[ ] 9.81[ ]
2 9.81[ ]
B
m s
P m m m KN m
m s
 
     
 
3
(12 0.204 3.126)[ ] 9.81[ ]BP m KN m   
⟹ 85.05[ ]BP KPa
P-6.8 Del sistema mostrado en la figura se bombeará keroseno ( 0.82sg  ) a 20ºC, del
tanque A al tanque B incrementando la presión en el tanque sellado A sobre keroseno. La
longitud total de la tubería de acero calibre 40 de 2 pulg. es de 38m, los codos son
estándar. Calcule la presión que se requiere en el tanque A para causar una velocidad de
flujo de 435L/min.
DATOS:
2" 52.50[ ]D mm ,
5
4.6 10 [ ]m 
  ,
3
1.30 10 [ ]v Pa s
  
Longitud equivalentes válvula
check 150Le D 
Longitud equivalentes válvula
de ángulo 150Le D 
SOLUCION:
Velocidad de flujo:
3
2
435[ min] 1[m ] 1000[ ] 1[min] 60[ ]
3.35[ ]
(0.0525[ ]) 4
Q l l s
V m s
A m
 
  

 Empleando la ecuación de la energia en A y en B
2
2 2
2 2
A A B B
A L B
KER H O
P V P V
Z h Z
g g 
     
Despejando de la ecuación de energía AP y considerando 0BP 

Guía Página 85
2 2
( )
2
B A
A B A L KER
V V
P Z Z h
g

 
     
 
(1)
 Cálculo de Lh para el cual existen tres componentes:
1 2 3 4 5 6Lh h h h h h h      (2)
Donde:
2 2
1 1.0
2 2
V V
h K
g g
  Pérdida a la entrada
2 2
2 T Tf f 150
2 2
Le V V
h
D g g
     Pérdida por válvula check
2 2
3 T Tf f 150
2 2
Le V V
h
D g g
     Perdida por codos estándar
2 2
4 T Tf f 30
2 2
Le V V
h
D g g
      Pérdida por codo estándar
2 2
5 1.0
2 2
BV V
h K
g g
    Pérdida por salida
22 2
6
38[ ]
f f 723.81 f
2 0.0525[ ] 2 2
BVL V m V
h
D g m g g
      Perdida por fricción
Sustituyendo las pérdidas de energía en (2)
2 2 2 2 2 2
T T T1.0 150 f 150 f 30 f 1.0 723.81 f
2 2 2 2 2 2
L
V V V V V V
h
g g g g g g
         
 
2
T T T1.0 1 150 f 150 f 30 f 1 723.81 f
2
L
V
h
g
         
 
2
T2 330 f 723.81 f
2
B
L
V
h
g
     (3)
Se obtiene de la misma forma que el caso anterior f 0.019T  para un conducto de 2 pulg
de acero nuevo.
 Número de Reynolds:
C
[ ]
[ ]
 Obteniendo f del diagrama de Moddy f 0.023 y reemplazando los valores en (3)
 
2
2
(3.35[ ])
2 330 0.019 723.81 0.023 14.253[ ]
2 9.81[ ]
L
m s
h m
m s
     

 Sustituyendo valores en (1) y considerando  2 2
2 0A BV V g  se tiene AP .

Guía Página 86
A
Válvula de globo
completamente
abierta
B
12 pies
Codo
estándar
  3
4.5[ ] 0 14.253[ ] 0.82 9.79[ ]AP m m kN m     ⟹
150.5[ ]AP KPa
P-6.9 El agua del tanque mostrado en la figura se va a hacer fluir hacia un drenaje.
Determine el tamaño de la tubería de acero Calibre 40 que transportará al menos 400
gal/min del agua a 80° F a través del sistema mostrado. La longitud total de tubería es de
75 pies.
Datos:
Q=400 gal/min
L=75 pie
v = 9,15*10-6
pies2
/s
ξ = 1,5*10-4
pies
SOLUCION:
 Empleando la ecuación de la energía en A y en B
Despejando la perdida de energía (hL) y considerando PA – PB/γ = 0 y VA = 0
[ ]
⁄
 Donde los componentes de la perdida de energía son:
Donde:

Guía Página 87
Sustituyendo los componentes de la pérdida de energía en (2)
Sustituyendo (3) en (1) y despejando el factor f:
( )
[ ] [ ]
 Por continuidad
Sustituyendo (5) en (4)
Esta ecuación (6) se utilizará para iterar el diámetro D. Puesto que no
podemos despejar D en términos de f, la iteración se llevará a cabo como sigue:
 Calculo del número de Reynolds en función del diámetro:
( )
 Calculo de la rugosidad relativa en función de D:
 Procedimiento de Iteración
1. Asúmase el valor de D
2. Calcule f en la ecuación (6)
3. Calcule la rugosidad relativa (D/E) empleando la ecuación (8)
4. Calcule el numero de Reynolds empleando la ecuación (7)

Guía Página 88
5. Evalué f y compárelo con el valor calculado en el paso 2
6. Ajuste D de forma que disminuya la diferencia entre los valores de f y repita los
pasos 2-5 hasta que se llegue a un acuerdo con los sucesivos de f.
1. Empecemos con el valor de prueba 0,1723 pies para el diámetro interno,
correspondiendo a una tubería de 2” pulg.
Prueba D (Pies) f (Ec.-6) D/ξ NR f (Moddy) Cambio req. en D
1 0.1723 -0.0184 1143.667 719664.655 0.0196 Aumenta
2 0.2557 -0.0100 1704.667 484936.332 0.0183 Aumenta
3 0.3355 -0.0161 2236.667 369592.310 0.0178 Aumenta**
4 0.4206 -0.0883 2804.000 294113.696 0.0175 Disminuye
Las pruebas 3 y 4 muestran que el valor adecuado de D es mayor que 0.3355 pies (4”)
pero menor que 0.4206 pies (5”), en vista que no existe una tubería comercial de 4 ½” se
acepta la prueba 3 cuyo D = 4 Pulg Calibre 40.

Guía Página 89
CAPITULO Nº7
“SISTEMAS DE LINEAS EN TUBERIAS EN SERIE”
Este capítulo es la culminación de los capítulos anteriores, en los cuales trato el flujo de fluidos en
tuberías y tubos, donde se han desarrollado los conceptos de velocidad de flujo de fluidos, la
ecuación de continuidad, la ecuación de Bernoulli y la ecuación general de la energía. Se han
definido los fluidos turbulentos y laminar, consecuentemente se ha utilizado el número de
Reynolds para determinar el tipo de fluido en un sistema dado, Se ha dado la forma de calcular las
pérdidas de energía debido a la fricción. Asimismo, hemos establecido los diferentes tipos de
pérdidas secundarias del flujo de fluidos a través de válvulas y herrajes y para cambios de
velocidad o dirección del fluido.
Por supuesto, los sistemas reales de flujo de fluidos con frecuencia contienen varias pérdidas
secundarias así como pérdida de energía debido a la fricción conforme el fluido es entregado de
un punto a otro. Puede utilizarse más de un tamaño de tubería. A tales sistemas se les llama
sistema de línea de tubería en serie.
7.1 CLASIFICACIONES DE SISTEMAS
La mayoría de los sistemas de flujo de tubería involucran grandes pérdidas menores. Si el sistema
es arreglado de tal forma que el fluido fluye a través de una línea continua sin ramificaciones, éste
se conoce con el nombre de sistema en serie. Por otro lado, si el flujo se ramifica en dos o más
líneas, se lo conoce con el nombre de sistema en paralelo.
Este capítulo trata solamente los sistemas en serie como el que se ilustra en la figura que se
muestra a continuación. Si la ecuación de le energía se escribe para este sistema, utilizando la
superficie de cada depósito como punto de referencia, se asemejaría a lo siguiente:

Guía Página 90
g
v
Z
P
hh
g
v
Z
P
LA
22
2
2
2
2
2
1
1
1


Los primeros tres términos del lado izquierda de esta ecuación representan la energía que
posee en el punto 1 en la forma de cabeza de presión, cabeza de elevación y cabeza
velocidad. De manera similar, los términos del Iado derecho de la ecuación representan la
energía que posee el fluido en el punto 2. Los dos términos hA, y hL indican la energía
agregada al fluido y la energía perdida del sistema en cualquier lugar entre los puntos de
referencia 1 y 2. En este problema, hA es la energía agregada por la bomba. La energía se
pierde debido a diferentes condiciones. Podemos decir que:
ctteQ 
654321 hhhhhhhL 
Donde:
hL =Pérdida de energía total.
h1 =Pérdida en la entrada.
h2 =Pérdida por fricción en la línea de succión.
h3 =Pérdida de energía en la válvula.
h4 = Pérdida de energía en los dos codos a 90°.
h5 =Pérdida de energía por fricción en la línea de descarga.
H6 =Pérdida en la salida.
Q = Caudal.
En una línea de tubería en serie la perdida de energía total es la suma de las pérdidas
individuales grandes y pequeñas.

Guía Página 91
En el diseño o análisis de un sistema de flujo de tubería existen seis parámetros básicos
involucrados, llamados:
1. Las pérdidas de energía del sistema o la adición de energía al sistema.
2. La velocidad de flujo de volumen del fluido o la velocidad del fluido.
3. El tamaño de la tubería.
4. La longitud de la tubería.
5. La rugosidad de la pared de la tubería, ε.
6. Las propiedades del fluido como peso específico, densidad y viscosidad.
Normalmente, se determinará uno de los parámetros mientras que los demás se conocen o
pueden especificarse por el diseñador. El método de llevar a cabo, el diseño o completar el
análisis es diferente dependiendo de lo que no se sabe. Los métodos que describimos en
este texto se clasifican de la siguiente manera:
 Se determinarán las pérdidas o adiciones de energía.
 Se determinará la velocidad del flujo de volumen.
 Se determinará el diámetro de la tubería.
PROBLEMAS RESUELTOS
P-7.1 Según la figura mostrada calcular el caudal en litros/seg y la potencia de la bomba
en HP tomando en cuenta que la presión en el punto 2 es 175 KPa.
DATOS:
tramo Diámetro
(Pulg.)
Longitud
(m)
1-2 3 100
2-3 2 60
e=4.6*10-5
m
Viscosidad cinemática υ= 1.0007*10-6
[m2
/s]
INCÓGNITAS:
a) Q=?
b) Pott.=?
B
Figura
)1(
)2(
)3(
95.0. compvalk 80.0tbtkk 00.1tktbk64.0º90 codok
 Acompval %100..
m5
m15

Guía Página 92
3.1 .0.0 ZdesprecHHZdesprec bombaperd 
3
2
33
1
2
11
22
Z
g
VP
HHZ
g
VP
bombaperd 

)1...(..........)31()31(   ZHH Lbomba
3
2
33
)32(2
2
22
22
Z
g
VP
HZ
g
VP
L  

3)32(
2
22
2
ZH
g
VP
L  

3
2
2
2
2
2
22
2
*
2
Z
g
V
K
D
L
f
g
VP






 
3
2
..º90
2
2
2
2
22
2
**2
2
Z
g
V
KKK
D
L
f
g
VP
tktbcompvalcodo 





 

15
81.9*2
*00.195.064.0*2
0508.0
60
81.9*29810
175000 2
2
2
2







V
f
V
)2.....(..........
00.195.064.0*2
0508.0
60
1
81.9*2*
9810
175000
15
2
32





















f
V
 


232
32
*
Re
DV )3.....(..........
10*0007.1
0508.0*
Re 6
32



V
000906.0
0508.0
000046.0
32


m
D
e
)4.....(..........
Re
51.2
71.3
log2
1









calcal f
D
e
f
SOLUCION:
Balance de energía entre los puntos 2 y 3:
Despejamos la velocidad en función del factor de fricción:
Numero de Reynolds
Rugosidad Relativa
a) La velocidad de las partículas en 1 y 3 es tan pequeña que puede
despreciarse, la presión P1/γ=0 y P3/γ=0 (da a la atmosfera).
Balance de energía entre los puntos 1 y 3:

Guía Página 93
s
l
Q 83.2 
s
mDV
Q
3
3
22
3232
10*8272.2
4
0508.0**3849.1
4
** 
)1...(..........)31()31(   ZHH Lbomba
)31()32()21(   ZHHH LLbomba
)5...(..........
2
2
2
)31(
2
32
.
32
32
32
2
21
21
21
21 









 











 Z
g
V
KKK
D
L
f
g
V
K
D
L
fH tktbvalcodotbtkbomba
14.46869
10*0007.1
0762.0*
0762.0
0508.0
*3849.1**
*
Re 6
2
21
2
21
32
32
2121
21 













 







D
D
D
V
DV
000604.0
0762.0
000046.0
1

m
D
e
0226.021 f
10
81.9*2
3849.1
195.064.0*2
0508.0
60
0226.0
81.9*2
6155.0
8.0
0762.0
100
0226.0 











bombaH
mHbomba 08.13
Wattm
s
m
m
N
HQP bombabomba 79.36208.13*10*83.2*9810**
3
3
3
 

HPPbomba 49.0
Ya despejada las ecuaciones se procederá a la iteración:
Como el f(supuesto)= f(calculado) → V2-3 =1.3849 m/s
Ahora se procederá a calcular el Caudal:
Calculo Potencia de la Bomba de Ec. (1):
Calculo f1-2:
Con la ecuación de colebrook:
Remplazando en Ec. (5)
f(supuesto) V2 ec. (2) Re ec. (3) f(calculado) ec.(4)
0.0200 1.4678 74514.35 00.0226
0.0226 1.3877 70447.63 0.0227
0.0227 1.3849 70304.23 0.0227

Guía Página 94
P-7.2 Se encuentra fluyendo agua a 40°C de A hacia B a través del sistema mostrado en la
figura. Determine la velocidad de flujo de volumen del agua si la distancia vertical entre las
superficies de los depósitos es de 10 m. Ambas tuberías son de hierro cubiertas de asfalto.
Los codos son estándar.
ν=6,56*10-7
m2
/s
ξ=1,2*10-4
m
Longitud equivalente vál. Mariposa completamente abierta Le/D=340
Longitud equivalente de codo estándar de 90° Le/D=30
Asumiendo D6/D3=1.82 y la velocidad de flujo en el conducto de 3” de 3,5 m/s
encontramos K=0,45
SOLUCION:
Empleando la ecuación de energía en A y en B:
Despejando la pérdida de energía:
[ ]
Sustituyendo los valores y considerando PA-PB/γAGUA=0 y VA
2
- VB
2
/2g=0
hL = 10m……………………………………………………………………………………….... (Ec.- 1)
Velocidad de flujo en ambos conductos:
Q6 = Q3 => A6*V6 = A3*V3
A
B
10m
Tubería de 5”
DI=165.2 mm
Longitud total=30m
Tubería de 3”
DI=90.9 mm
Longitud total=55m
Flujo
Alargamiento Repentino
Válvula de mariposa
completamente
abierta

Guía Página 95
V6
2
= (0.3028*V3)2 => V6
2
= 0.0917V3
2
…………………………………………... (Ec.- 2)
Perdida de energía en el sistema para el cual existen 8 componentes:
hL = h1 + h2 + h3 + h4 + h5 + h6 + h7 + h8………………………………………….... (Ec.- 3)
Donde:
( ) ( )
(Perdida por fricción, 6”)
(Perdida por salida)
Calculo de f3T y f6T, considerando completa turbulencia
[
( ⁄ )
] [ ]

Guía Página 96
[
( ⁄ )
] [ ]
Sustituyendo los componentes de la perdida de energía en (3) bajo una factorización de
la velocidad de ambos conductos.
………………….….. (Ec.- 4)
Sustituyendo (1) y (2) en (4)
⁄
√
⁄
………………………………………………………………. (Ec.- 5)
Numero de Reynolds en el conducto de 3”:
⁄
…………………………….… (Ec.- 6)
Rugosidad relativa conducto de 3”:
Comienza el proceso de iteración como prueba inicial f3 = 0.023.
Numero de Reynolds en el conducto de 6”:
⁄
……………………………….………….. (Ec.- 7)
Rugosidad relativa conducto de 6”:

Guía Página 97
Comienza el proceso de iteración como prueba inicial f6 = 0.0205.
Sustituyendo f3 y f6 en (5)
√
⁄
Calculo de NR para el flujo en ambos conductos, bajo el reemplazó de las velocidades en
(6) y (7).
Obteniendo los nuevos factores f3=0.0217, f6=0.0197 y sustituyendo en (5)
√
⁄
Calculo del nuevo NR bajo el reemplazando de la velocidad de flujo de ambos conductos
en (6) y (7)
Obteniendo de nuevo factores f3=0.02166, f6=0.01967 y sustituyendo en (5)
√
⁄
Calculo del nuevo NR bajo el reemplazando de la velocidad de flujo de ambos conductos
en (6) y (7)

Guía Página 98
Obteniendo de nuevo factores f3=0.02166, f6=0.01967, donde y estas se encuentran
inalteradas que la anterior prueba por lo tanto se acepta la velocidad de flujo de 3.463
m/s.
Calculo de la velocidad de flujo de Volumen en el sistema:
Nota: No existe diferencia significativa en el coeficiente de resistencia (K) asumido para
el alargamiento repentino, por lo tanto no es necesario realizar una corrección en la
velocidad.

Guía Página 99
CAPITULO 8
“SISTEMAS DE LINEAS DE TUBERIAS EN PARALELO”
El sistema de línea de tubería se presenta cuando el fluido recorre en una línea continua
sin ramificaciones a esto se le llama sistema en serie. Por el contrario si el sistema provoca
que el fluido se ramifique en dos o más líneas, se llama sistema en paralelo.
8.1 PRINCIPIOS QUE RIGEN LOS SISTEMAS EN PARALELO
El análisis de los sistemas de línea de tubería paralelos requiere el uso de la ecuación
general de la energía junto con las ecuaciones que relacionan las velocidades de flujo de
volumen en las diferentes ramas del sistema y las expresiones para las pérdidas de carga a
lo largo del sistema. Las ecuaciones siguientes establecen los principios que relacionan las
velocidades de flujo de volumen y las pérdidas de cabeza, Refiriéndose a la siguiente
figura se tienen las siguientes relaciones:
)1(..........21 cba QQQQQ 
)2.(..........21 cbaL
hhhh 
La ecuación 1 establece la condición de continuidad. El flujo total que entra al sistema Q1
se divide en los tres flujos ramales, Qa, Qb y Qc. Después estos salen por una tubería de
salida donde la velocidad de flujo es Q2. Por el principio de continuidad, el flujo de salida
en la sección 2 es igual al flujo de entrada en la sección 1.
En la ecuación 2 el término hL1-2 es la perdida de energía por unidad de flujo entre los
puntos 1 y 2 de las líneas principales. Los términos ha, hb y hc son las pérdidas de energía

Guía Página 100
por unidad de flujo en cada rama del sistema. Se puede demostrar escribiendo la ecuación
de energía utilizando los puntos 1 y 2 como puntos de referencia:
)3...(..........
22
2
2
2
2
2
1
1
1
g
v
Z
P
h
g
v
Z
P
L 

PROBLEMAS RESUELTOS
P-8.1 Un sistema de conducción de agua está constituido por tres tuberías que partiendo
del punto A convergen en el punto B. Las características de las tuberías son:
Tubería Longitud [m] Diámetro [in] e/D
1 1600 6 0.0003
2 1000 5 0.0004
3 800 4 0.0005
El caudal del agua a través del sistema es de 100 m3
/h. La presión en A y B es la atmosférica
y el nivel de A está situado 3 m por debajo del nivel de B. Determínese el caudal a través de
cada tubería y la potencia teórica de la bomba a instalar.
DATOS:
Q=100m3
/s
ZA=3m
INCOGNITAS:
Q1, Q2, Q3=?
Pott=?
1) Caudal supuesto a través de la tubería de 6”
2)
m3

Guía Página 101
3) Para la tubería de 5”
√
√
√

Guía Página 102
CVPbomba 74.2
7)

Guía Página 103
P-8.2 Por una tubería de 25 cm de diámetro interno se transporta petróleo a lo largo de
una longitud total de 30 Km con un caudal de 1000 m3
/día. Con objeto de aumentar el
caudal conservando las mismas presiones de entrada y de salida se conecta a la tubería
primitiva, 5 Km antes del lugar de descarga, otra tubería del mismo diámetro y paralela a
la primitiva. Si en las condiciones de transporte la densidad del petróleo es 920 Kg/m3 y su
viscosidad 5 poises. Determínese el aumento de caudal.
DATOS:
D=25cm
L1=30Km
Q=1000m3
/d
L2=5km
ρ=920Kg/m3
INCÓGNITAS:
Aumento de Caudal=?
SOLUCION:
1LLongitud
DDiametro
QFlujo
1Pr Pesion 2Pr Pesion
2LLongitud
DDiametro

Guía Página 104
[ ]
P-8.3 Se encuentra fluyendo 100 gal/min de agua a 60 ºF en una tubería de acero Calibre
40 de 2 pulg. en la sección 1. El intercambiador de calor en la rama tiene un coeficiente
de pérdida de k=7.5 basado en la cabeza de velocidad de la tubería. Las tres válvulas están
abiertas completamente. La rama b es una línea de bypass compuesta de tubería de acero
Calibre 40 de 1 ¼ pulg. Los codos son estándar. La longitud de la tubería entre los puntos 1
y 2 en la rama b es de 20 pies. Debido al tamaño del intercambiador de calor, la longitud
de la tubería en la rama es muy corta, por lo que se pueden despreciar las pérdidas de
fricción. De este arreglo, determine:

Guía Página 105
a) La velocidad de flujo de volumen de agua en cada rama.
b) La caída de presión entre los puntos 1 y 2.
SOLUCION:
Se desconocen las dos velocidades va y vb, puesto que Q=Av:
De los datos proporcionados, Aa=0,02333 pies2
, Ab=0,01039 pies2
, Q1=100 gal/min.
Expresado Q1 en las unidades de pies3
/s obtenemos:
⁄
⁄
⁄
⁄ ⁄ ⁄
á
Se conoce los siguientes datos:
faT =0,019 para una tubería Calibre 40 de 2 pulg.
Le/D = 30 para cada uno de los codos.
Le/D = 340 para una válvula de globo abierta completamente.
Entonces:
⁄ ⁄ ⁄
Para la rama b:
⁄ ( ⁄ ) ⁄ ( ⁄ ) ⁄ ( ⁄ )
á
Los datos conocidos son:
FbT =0,022 para una tubería Calibre 40 de 1 ¼ pulg.
Le/D = 30 para cada uno de los codos.
Le/D = 340 para una válvula de globo abierta completamente.
Entonces:
( ⁄ ) ( ⁄ ) ⁄ ( ⁄ )
( ⁄ )
Esta ecuación presenta la incógnita adicional, fb. Podemos utilizar el proceso de iteración.
La rugosidad relativa de la rama b ayudará en la estimación del primer valor de la prueba
para fb.
⁄ ⁄

Guía Página 106
Del diagrama de Moody una estimación lógica para el factor de fricción fb=0,023.
Sustituyendo este en la ecuación para hb obtenemos:
( ⁄ ) ( ⁄ )
Ahora tenemos:
⁄ ( ⁄ )
Despejando va obtenemos:
Entonces:
Después tenemos que:
⁄
[ ]
⁄
⁄
⁄
Puesto que realizamos estos cálculos utilizando un valor supuesto para fb, deberíamos
verificar la exactitud del supuesto.
Podemos evaluar el número de Reynolds para la rama b.
⁄
De tablas =1.21*10-5
pies2
/s. Entonces:
⁄
Utilizando este valor y la rugosidad relativa de 767 de ante, en el diagrama de Moody
obtenemos un nuevo valor para fb=0,25. Debido a que este valor es muy diferente del
valor supuesto de 0,023, podemos repetir los cálculos:
( ⁄ ) ( ⁄ )
⁄
Igualando las pérdidas de cabeza en las dos ramas:
⁄ ⁄
Despejando las velocidades:

Guía Página 107
Sustituyendo este valor en la ecuación de vb utilizada anteriormente obtenemos:
⁄
[ ]
⁄
⁄
⁄
Al volver a calcular el número de Reynolds para la rama b obtenemos:
⁄
⁄
No existe un cambio significativo en el valor de fb. Por lo tanto, los valores de las dos
velocidades calculadas anteriormente son correctos.
Ahora calculamos las velocidades de flujo de cabeza Qa y Qb:
⁄ ⁄
⁄ ⁄
Convirtiendo estos valores a las unidades de gal/min obtenemos Qa=74,5 gal/min y
Qb=25,5 gal/min
Para calcular la caída de presión, podemos escribir la ecuación de la energía utilizando los
puntos 1 y 2 como puntos de referencia. Puesto que las velocidades y elevaciones son las
mismas en estos puntos, la ecuación de la energía es:
 
Despejando la caída de presión obtenemos:

Puesto que hL1-2=ha=hb:
Entonces:
⁄ ⁄
Observe que esto no toma en cuenta las pérdidas secundarias. Entonces tenemos que:
 ⁄
⁄

Guía Página 108
CAPITULO 9
“CONDUCCIONES RAMIFICADAS”
9.1 Conducciones ramificadas.- Cuando dos o más tuberías convergen en uno o más
puntos y el fluido circula por el conducto principal y las ramificaciones, el sistema de
conducción se denomina ramificado. Los problemas que pueden presentarse en este caso
son muy variados, y para su resolución puede seguirse el método indicado en el siguiente
ejemplo.
PROBLEMAS RESUELTOS
P-9.1. Una instalación- petrolífera descarga el petróleo en dos depósitos A y B situados a
25m y 10m de altura sobre un tercer depósito almacén C. De los depósitos A y B parten
sendas tuberías de 30 cm de diámetro que confluyen en un punto D, conectándose allí con
una tubería de diámetro 50 cm que va hasta el depósito C. La longitud de las tuberías que
parten de los depósitos A y B es de 800 m, y la que va desde la confluencia de las tuberías
anteriores hasta C mide 200 m. Si en las condiciones del transporte la viscosidad del
petróleo es 7.10-4
Kg/m*seg, y la densidad 870 Kg/m3, determínese el caudal horario de
petróleo descargado en C.
SOLUCION:
Considerando como nivel de referencia para las alturas el del depósito más bajo, y
prescindiendo de las cargas cinéticas, la aplicación de la ecuación de energía a cada
ramificación entre cada depósito y el punto de confluencia de las tuberías, nos lleva a
1fAD
AD
hZZ
PP



2fBD
BD
hZZ
PP



3fD
CD
hZ
PP



Teniendo en cuenta que PA= PB = PC= presión atmosférica, las cargas de presión son
A
B
m25
m10
C
Figura
D

Guía Página 109
análogas en las ecuaciones anteriores; Designando por Dh a l suma de la carga de presión
y la carga de altura en D, tendremos:
El problema podemos resolverlo por tanteo, dando un valor arbitrario a Dh ,
determinando los valores de las cargas de fricción para este valor de Dh , y calculando
después los valores de 1Q , 2Q y 3Q , según el método indicado en el ejemplo 1-8.
Si tomamos para Dh un valor menor que Dz ha de cumplirse que:
321 QQQ  [A]
En caso de no cumplirse esta igualdad, si resulta
menor
mayor
nos indica que el valor
tomado para Dh es
alto
bajo
, siendo necesario variar el valor de Dh hasta que se cumpla la
igualdad [A].
Si tomamos para Dh un valor mayor que Bz , ha de cumplirse que:
321 QQQ  [B]
En caso de no cumplirse esta igualdad, si resulta
menor
mayor
nos indica que el valor
tomado para Dh es
alto
bajo
, siendo necesario variar el valor de Dh hasta que se cumpla la
igualdad [B].
1er
tanteo: valor supuesto para Dh =5m
 Ramificación AD
5
1
1
4
10*53.134260
800
3.0*81.9*2
10*7
870*3.0
Re   f
f
h
h
f
00016.0
D

5.8
1

f
segmh
f
u f /30.3*0867.0
1
11 
hmQ /820 3
1 
 Ramificación BD
4
10*66.7Re f
00016.0
D

3
2
1
fD
fDB
fDA
hh
hhz
hhz




Guía Página 110
2.8
1

f
segmu /57.12 
hmQ /410 3
2 
 Ramificación DC
5
3
53
4
10*83.210*267.1
200
5.0*81.9*2
10*7
870*5.0
Re   f
f
h
h
f
00009.0
D

0.9
1

f
segmh
f
u f /46.4*221.0
1
33 
hmQ /3150 3
3 
Como este valor de 3Q es mayor que 123021 QQ , hemos tomado para Dh un valor
muy alto.
2do
tanteo: valor supuesto para Dh =2m
5
10*64.1Re f
5.8
1

f
segmu /46.31 
hmQ /920 3
1 
5
10*06.1Re f
2.8
1

f
segmu /96.12 
hmQ /520 3
2 
5
10*80.1Re f
7.8
1

f
segmu /73.23 
hmQ /1930 3
3 

Guía Página 111
Par el valor tomado de Dh =2m, aun resulta 3Q mayor que la suma 144021 QQ ;
sin embargo, ya nos encontramos ante valores próximos, y podemos observar que, aun
siendo muy diferentes los valores encontrados para 3Q en los tanteos anteriores, el valor
de f/1 varia poco, siendo también pequeña la variación relativa de 21 QQ  frente a la
de 3Q . Esto nos lleva a poder invertir el razonamiento y suponer para 3Q un valor próximo
al de 21 QQ  encontrado en el segundo tanteo, y calcular el valor de Dh que le
corresponde a este caudal, efectuando el tercer tanteo con el valor calculado de Dh .
Tomamos
hmQ /1500 3
3 
segmu /20.23 
mhf 25.13 
3er
tanteo: valor supuesto Dh =1.25m
5
10*67.1Re f
5.8
1

f
segmu /51.31 
hmQ /936 3
1 
5
10*01.1Re f
4.8
1

f
segmu /11.22 
hmQ /570 3
2 
5
10*42.1Re f
65.8
1

f
segmu /14.23 
hmQ /1513 3
3 
El valor de hmQQ /1506 3
21  ; por tanto, para este valor de Dh =1.25m se cumple la
concordancia deseada, y podemos tomar para el caudal total el valor de hm /1506 3
.

Guía Página 112
P-9.2 Para el sistema de tres ramas que se muestra en la figura, determine la distribución
de flujo de Qi de agua y la carga piezometrica H en la unión. El aporte de potencia al fluido
por parte de la bomba es constante, e igual a γQHp=20kW. Suponga factores de fricción
constantes.
Tubo L [m] D [m] f ∑K
1 50 0.15 0.020 2
2 100 0.10 0.015 2
3 300 0.10 0.025 1
SOLUCION:
Los equivalentes de los coeficientes de resistencia se calculan de la siguiente forma:
Considerando:
Se tiene:
Suponiendo las direcciones de flujo que se indican. La ecuación de energía para el tubo 1
desde el depósito hasta la unión B es:
Donde H es la carga piezometrica en B. Sustituyendo los parámetros conocidos y
despejando H se obtiene:
Figura
malt 20
malt 5
malt 13
 2
 3
 1
P
B
  mxLe 152
02.0
15.0
1
   mxLe 7.61
015.0
10.0
2
   mxLe 41
025.0
10.0
3

 
 523
52
1 /1042.1
15.081.9
6502.08
msx
xx
xx
R 

 
 524
52
2 /1032.1
10.081.9
7.106015.08
msx
xx
xx
R 

 
 524
52
3 /1028.6
10.081.9
304025.08
msx
xx
xx
R 

522
2
2
2
8
4
2
Dxxg
Lxfx
Dxv
g
v
D
L
xf
Q
h
R L
i









2
111 QRHHZ P 
2
1
3
1
3
1042.1
9800
1020
10 Qx
Q
x
H 
2
1
1
1420
4.2
10 Q
Q
H 

Guía Página 113
Para la iteración se estima un valor de Q1; luego se calcula H y se evalúa Q2 y Q3 con las
relaciones:
En la última columna de la tabla se utiliza un balance de continuidad para verificar la
exactitud de la estimación de Q1. La tercera estimación de Q1 se basa en una interpolación
lineal haciendo ∑Q=0 y utilizando valores de Q1 y ΔQ de la dos primeras iteraciones.
Iteración Q1 H Q2 Q3 ΔQ= Q1--Q2-Q3
1 0.050 47.25 0.0362 0.0227 -0.0089
2 0.055 42.80 0.0311 0.0210 +0.0029
3 0.054 43.64 0.0322 0.0214 +0.0004
La solución aproximada es H=43.6m, Q1=54 l/s, Q2=32 l/s, Q3=21 l/s.
2/1
4
2/1
2
2
2
1032.1
30





 





 

x
H
R
ZH
Q
2/1
4
2/1
3
3
3
1028.6
15





 





 

x
H
R
ZH
Q

Guía Página 114
CAPITULO 10
“FLUJO DE FLUIDOS COMPRESIBLES”
En los ejemplos indicados anteriormente hemos hecho aplicación de la Ec. de energía
considerando los fluidos incompresibles; en el caso de flujo de gases no podemos hacer esa
suposición, para la deducción de una ecuación aplicable para estos casos podemos partir de la Ec.
de energia, que escrita en forma diferencial (suponiendo que el flujo es horizontal y que no realiza
trabajo ni se le suministra calor), se convierte en:
0
2
2

gD
dLu
f
dp
g
udu

Esta ecuación no puede integrarse directamente debido a que la velocidad u varia al variar p, que
a su vez es función de la longitud L.
Es conveniente poner la ecuación anterior en función de la velocidad másica G, que es la misma en
cualquier punto de la canalización. Tendremos en cuenta las relaciones que indicamos
seguidamente para su sustitución en la ecuación anterior:
 10
2
,,
22


D
dL
g
VG
f
V
dp
g
g
g
GdV
GV
Gdvdu
A
WG
uu
V
u
G
c


Dividiendo por V2
 20
2
22

D
dL
g
G
f
V
dp
g
g
V
dV
g
G c
Para integrar esta expresión es necesario tener en cuenta que f es función del Re = DG/μ, que es
independiente de la densidad del fluido, pero que depende de la viscosidad del mismo. De todos
modos, la variación de f con la viscosidad es pequeña, y prácticamente podemos tomar la media
aritmética de los valores correspondientes a las condiciones extremas:
2
21 ff
f


Y considerar este valor constante para efectos de integración. En tales condiciones la integración
de la Ec. [1-27] entre los estados 1 y 2 nos lleva a:
 30
2
ln
22
11
2
2
  D
L
g
G
f
V
dp
g
g
V
V
g
G c
Flujo isotermo de un gas ideal.- En este caso particular
 4
2
1
11
2
1
2
2
2
111
2
1
Vp
pp
dpp
VpV
dp 
 
Y
2
1
1
2
p
p
V
V


Guía Página 115
Luego
 50
22
ln
2
11
2
1
2
2
2
1
2



D
L
g
G
f
Vp
pp
g
g
p
p
g
G c
Si designamos por Vm el volumen especifico a la presión media, podemos escribir:
11
21
2
VpV
pp
m 

Y
      6
1
22
12
11
1212
11
2
1
2
2
pp
VVp
pppp
Vp
pp
m




Entonces
 70
2
ln
2
12
2
1
2



D
L
g
G
f
V
pp
g
g
p
p
g
G
m
c
Si la caída de presión a lo largo de la canalización es pequeña en relación con la presión
total, el primer termino de la Ec. [1-32], que representa el aumento de la energía cinética
del fluido, será pequeño y despreciable frente a los otros dos, y en tales condiciones
 80
2
2
12


D
L
g
G
f
V
PP
cm
Y de aquí:

D
L
g
G
fVPP
c
m
2
*
2
12
 9
2
1
2
1
*
2
2
2
D
L
u
g
f
D
L
V
u
g
fV mm
m
m
c
m 
Siendo um y γm la viscosidad y el peso especifico del fluido a la presión media de p1 y p2.
Donde:
P1= Presión de entrada a la tubería
P2= Presión de salida de la tubería
Vm= [1/γm] Volumen especifico promedio a Pm (P1+P2/2)
γm= Peso especifico promedio a Pm (P1+P2/2)
f= factor de fricción
L= Longitud de la tubería
D= Diámetro interno de la tubería
G=Gasto
R= Constante universal de los gases
M= Peso molecular del gas
ρ= Densidad
v= Velocidad

Guía Página 116
PROBLEMAS RESUELTOS
P-10.1 Desde una instalación productora de acetileno hasta el lugar de ampliación situado
a 5000 [ ] se transporta este a razón de100 [ ] (Medidos en condiciones normales) por
una tubería de hierro de 5´´. Determine ser la presión a que se encuentra el acetileno
cuando entra en la tubería si en el lugar de aplicación (a la salida de la tubería) ha de
encontrarse a 1 [ ] de presión.
El flujo del acetileno a través de la tubería es isotermo a 25
(La densidad del acetileno a 0 y 1 [ ] es 1.1708 [ ], y su viscosidad a 25 Es
poises. Las características de la tubería se dan en la tabla a-19.)
SOLUCIÓN:
[ ]
Haciendo uso de la Ec.
[ ] [ ]
A continuación se determina el valor de correspondiente a la presión media,
efectuándose el cálculo por tanteo:
1er. Tanteo: presión supuesta, [ ]
[ ]
[ ]
mg
G
D
L
fPP
*2
*
2
21 

Guía Página 117
2do. Tanteo: presión supuesta, [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Como resultado encontramos que la presión a que ha de entrar en la tubería ha de ser
11,80[ ].
P-10.2 Por tubería de hierro de 3 ´´ circula una corriente de hidrógeno con un caudal de
500 , medido a 0 y 1 [ ]. La longitud total de la tubería, incluidos los accesorios,
es de 400 [ ] Y la presión de entrada del hidrógeno en la tubería es de 30 [ ].
Determine ser la presión de salida si el flujo es isotérmico a 20 .
El factor de compresibilidad para el hidrógeno a 20 . En función de la presión es el
indicado en la tabla siguiente.
Presión Atm z
1 1.0732
10 1.0791
20 1.0855
30 1.0920
40 1.0985
La viscosidad puede suponerse invariable con la presión, y a 20 . Vale 0.009 cent poises.
La densidad a 0 y 1 Atm. es 0.0898 [ ].
SOLUCIÓN:
A partir de la Ec. [7] despreciando el primer término y haciendo , tenemos:
En las condiciones del problema:
[ ] [ ]

Guía Página 118
Sustituyendo en Ec. [1-35]
[ ] [ ]
Por tanto, la presión vendrá dada por:
La resolución de esta ecuación la efectuaremos por tanteo:
[ ]
[ ]
La presión debida es de 24 [ ] O sea que la pérdida de presión por fricción a lo largo de
la tubería es de 6 [ ]
En realidad, podíamos haber resuelto el problema admitiendo que el hidrógeno se
comporta como gas perfecto en este intervalo de presiones, ya que aproximadamente es
así, podemos observar en la pequeña diferencia del factor de compresibilidad respecto a
la unidad para el intervalo de presiones que hemos considerado.
P-10.3 De llevarse aire a 25 Por una tubería de 3´´ a lo largo de una conducción de 2000
[ ] De longitud total.
El aire entra en la tubería a 2 [ ] De sobrepresión, y se desea conocer la presión de
salida si en el lugar de aplicación se necesitan 1000 [ ] (Las características del tubo y del
fluido se dan en tablas)
SOLUCIÓN:
Teniendo en cuenta que el fluido es isotérmico y suponiendo que el gas se comporta como
ideal, haremos uso de la Ec. [7], calculando, en primer lugar, el último término de esta
ecuación, que es correspondiente a la fricción.

Guía Página 119
En las condiciones del problema:
[ ] [ ]
El término correspondiente a la fricción valdrá:
[ ]
La primera aproximación podemos escribir el término cinético
( )
quedando entonces:
[ ]
Que podemos poner de la forma:
̅
Siendo ̅̅ La presión media entre resolviendo la ecuación anterior por tanteo
tenemos:
P supuesta [Atm] P calculada [Atm]
2 2.85
2.85 2.44
2.50 2.58
256 2.56
Con esta presión calculada determinaremos ahora el valor del término cinético.
( )
Observamos que éste término resulta casi despreciable frente al correspondiente al de la
fricción, siendo innecesario efectuar corrección alguna para el valor de este término que
no hemos tenido en cuenta en primera aproximación.
Si este término resultara significativo, sería necesario incluirlo al efectuar el cálculo por
tanteo. En general, suele ser despreciable, y su supresión facilita los cálculos.

Guía Página 120
CAPITULO 11
“MEDIDORES DE CAUDAL”
P-11.1 Un tubo de pitot se introduce en el centro de una tubería de acero calibre 80 y
diámetro de 2 plg que conduce N2 registrándose una lectura de 50 mm de agua en un
manómetro inclinado (1/15) en conexión con el pitot la temperatura del nitrógeno es 15ºC
y la presión es 850 mmhg. Determine el caudal referido a condiciones normales de presión
y temperatura.
DATOS: SOLUCION:
D (3”)= 77.9mm
h= 50mmH2O
Pendiente= (1/15)
T= 15ºC
P= 850mmHg
Incógnitas:
Q=?
Calculo de la densidad:
3
/32.1/32.1
288*
*
*
4.62
/28*850
mkglg
K
molK
lmmHg
molgmmHg
RT
PM

Calculo de la diferencia de presión entre A y B:
233
2 /62.32/)1000*81.9(*10*326.3* mNmNmhP OH  

Balance de energía entre A y B:
 B
BB
A
AA
Z
g
vP
Z
g
vP
22
22

0
2
00
2

g
vPP BBA

Despejando la velocidad:




 2*2*

P
g
P
vB smvB /03.72*
32.1
623.32

Calculo del caudal:
 22
)0779.0(
4
*/03.7
4
** msmDvAvQ BBB

 smQ /0335.0 3

Calculo del ángulo:
º814.3
15
1
15
1 1












 
tgtg 
msenmsenLh 3
10*326.3º814.3*05.0* 
 
hL

Guía Página 121
P-11.2 En una tubería de acero de diámetro interno 22 cm, que conduce agua a 10 ºC, se
hace una exploración en 10 puntos con un tubo de Pitot. El manómetro indicador
empleado tiene en una de sus ramas tetra cloruro de carbono (ρ=1,60). Para explorar de
modo adecuado la sección normal del conducto se divide aquella en cuatro anillos
concéntricos y un círculo central, todos de la misma área. Se hacen las lecturas a lo largo
de un diámetro, en la intersección con la circunferencia bisectriz de cada anillo (y en la del
círculo central), obteniéndose los resultados siguientes:
Distancia
al centro
del tubo,
% del
radio
Lectura del
manómetro, mm
------------ --------------
31,6 ………………………………. 228
54,8 ………………………………. 204
70,7 ………………………………. 168
83,7 ………………………………. 132
94,8 ………………………………. 84
Determínese:
a) El caudal de agua, en m3
/h;
b) La lectura manométrica que obtendríamos situando el tubo de Pitot en el centro
de la tubería.
SOLUCIÓN:
a) La carga cinética vendrá dada por la expresión
 mhhh
OH
OHCCl
K
43
10*6**10*
2
24 





En los cinco puntos explorados las cargas cinéticas valen:
 mhK 1368,0228*10*6 4
1  
 mhK 1224,0204*10*6 4
2  
 mhK 1008,0168*10*6 4
3  
 mhK 0792,0132*10*6 4
4  
 mhK 0504,084*10*6 4
5  
Las velocidades en cada uno de los puntos serán:
Kgh
Pg
u 2
)(2




 segmu 639,11 
 segmu 550,12 

Guía Página 122
 segmu 406,13 
 segmu 247,14 
 segmu 994,05 
La velocidad media correspondiente a estos cinco valores es
 segmu 367,1
El caudal será
   hmsegmQ 332
187052,011,0**367,1  
 hmQ 3
187
b) 5
3
10*31,2
10*3,1
1000*22,0*367,1
 eR
81,0máxuu
 segmumáx 688,1
145,0
2
2

g
u
hK
 mmh 242
6,0
10*145,0 3

Tiempo de descarga.- Cuando un depósito en el que esta contenido un líquido se está
descargando, desciende el nivel del líquido en el mismo; la velocidad de salida disminuirá
a medida que va descendiendo el nivel del líquido, y por tanto el tiempo de descarga de
un volumen determinado de líquido dependerá de aquel nivel. En el ejemplo siguiente
hacemos un estudio de este problema.
P-11.2 Un deposito cilíndrico de 1 m de diámetro y 4m de altura está lleno de agua a 200
C.
Perpendicularmente al fondo del depósito esta conectando un tubo de 1.5´´ y 5 m de
longitud a través del cual de vacía. Calcúlese el tiempo que tarda en descender 1 m el nivel
de agua en el depósito.
SOLUCIÓN:
Considerando un punto del depósito a una altura z, al descender al nivel dz en el tiempo
dt, el caudal vendrá dado por:







dt
dz
AQ dep [A]
En este instante, a través del tubo de sección A2, circulara el mismo caudal
Q = A2 u2 [B]

Guía Página 123
Podemos considerar que la velocidad u1 del agua dentro del depósito es despreciable
frente a la velocidad u2 en el tubo. Si tomamos como plano de referencia para alturas el
punto inferior del tubo (z2 = 0), la aplicación de la Ec. de energía nos conduce a la
expresión:
DfL
gz
uhz
g
u
f
/1
2
;0
2
21
2
2


Igualando las expresiones [A] y [B], una vez sustituido el valor de u2 en [B], tendremos:
   1
2
/1
2
2
/1
/1
2
2
1
2
1
2
1
21
finalinicial zz
g
DfL
A
A
t
dzz
g
DfL
A
A
dt
DfL
gz
A
dt
dz
A








Para efectuar la integración hemos supuesto que f es constante; en realidad no ocurre
esto y debemos operar con un valor medio adecuado, cuyo cálculo se verifica del modo
siguiente:
Cuando empieza a descargarse el depósito (z = 9)
)10*9.40/(1
9*8.9*2
32 


fL
u
La longitud total serán los 5 m de tubería más la longitud equivalente al estrechamiento
brusco, que vale 0.6 m; por lo tanto L = 5.6 m y:
f
u
1371
3.13
2


El valor de f lo determinaremos por tanteo:
1.er
tanteo: Suponemos u2 = 10 m/seg.
Re = 4.08*105
ε/D = 0.0012
f = 0.0205
u2 = 6.81 m/seg.
2. ° tanteo: Suponemos u2 = 6.81 m/seg.
Re = 2.78*105
f = 0.0212
u2 = 6.73 m/seg.
3. ° tanteo: suponemos u2 = 6.73 m/seg.
Re = 2.75*105
f = 0.0212
u2 = 6.73 m/seg.
En consecuencia, el valor de f al principio de la operación es:
f = 0.0212

Guía Página 124
Después de descender 1 m el nivel de agua en el depósito, la velocidad de salida vendrá
dada por:
f
u
1371
53.12
2


Y el valor de f lo determinamos por tanteo igual que en el caso anterior
1. er
tanteo: Suponemos u2 = 6 m/seg.
Re = 2.45*105
f = 0.0210
u2 = 6.37 m/seg.
2. ° tanteo: Suponemos u2 = 6.37 m/seg.
Re = 2.60*105
f =0.0210
u2 = 6.37 m/seg.
En consecuencia, el valor de f al final de la operación es:
f = 0.0210
El valor medio de f será f = 0.0211
El tiempo necesario para descender el nivel en el depósito desde los 4 m hasta los 3 m
será
 
  segt
t
91829.23445.0*1196
8981.9*2
137*0211.01
10*09.4
2
42



 
segt 91

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