Successfully reported this slideshow.
Upcoming SlideShare
×

# Modul 1 pd linier orde satu

15,191 views

Published on

• Full Name
Comment goes here.

Are you sure you want to Yes No
• If you need your papers to be written and if you are not that kind of person who likes to do researches and analyze something - you should definitely contact these guys! They are awesome ⇒⇒⇒WRITE-MY-PAPER.net ⇐⇐⇐

Are you sure you want to  Yes  No
• Dating for everyone is here: ❶❶❶ http://bit.ly/2Qu6Caa ❶❶❶

Are you sure you want to  Yes  No
• Dating direct: ❶❶❶ http://bit.ly/2Qu6Caa ❶❶❶

Are you sure you want to  Yes  No

### Modul 1 pd linier orde satu

1. 1. MODUL 1PERSAMAAN DIFERENSIALORDE SATU
2. 2. RUMUS-RUMUS DASAR INTEGRAL  1 n 1  x  c, n   1 (8) tan xdx  ln | sec x |  c(1). x n dx   n  1  ln | x |  c , n  -1    ln | cos x |  c 1(2). sin axdx   cos ax  c (9) sec xdx  ln | sec x  tan x |  c a 1 (10) cot xdx   ln | csc x |  c(3). cos axdx  sin ax  c a   ln | sin x |  c 1 (11) csc xdx   ln | csc x  cot x |  c( 4). sec 2 ax  tan ax  c a x 1(5). sec ax tan axdx  sec ax  c (12). dx  x 2  a2  c a x 2  a2 1(6). csc axdx   cot ax  c 2 a 1(7). csc ax cot axdx  csc ax  c a
3. 3.  dx 1  x  dx  sin1   c(13)  ln | ax  b |  c 1 ax  b a (21) a2  x 2 a  x x b(14) dx   ln | ax  b |  c  x ax  b a a 2   cos1   c a  x 2  a2 x 1(15) dx  ln | x 2  a2 |  c 2  x  a2  x 2 tan1   c 1 1 (22) dx  1 xa a  x2  a2 2a ln x  a  c 1 a(16) dx   x   cot1   c 1 a a  dx 1(17 )  ln | x  x 2  a2 |  c x 2  a2 2  x x sec 1   c 1 1 (23) dx   1 ax ax(18) e dx  e  c x 2  a2 a a a 1 1 x   c (19) eudu  eu  c   csc   a a n ax(20) x  neax dx  x e  n a a  xn1eax dx
4. 4. Rumus-rumus Reduksi n1 1). sinn x dx   sinn1 x cos x  sinn 2 x dx 1 n n n1 2). cosn x dx  cosn1 x sin x   cosn 2 x dx 1 n n   tann1 x  tann 2 x dx 13). tann x dx  n1   cotn1 x  cotn 2 x dx 14). cotn x dx  n1 n2  sec n 2 x tan  n1 sec n 2 x dx 15). sec n x dx  n1 n2  csc n 2 x cot x  csc n 2 x dx 16). csc n x dx  n1 n1 xn7). x sin bx dx   cos bx   xn1 cos bx dx n n b b xn sinbx   xn1 sinbx dx n8). x cos bx dx  n b b
5. 5.   xn1eax dx 1 n ax n 9). xneax dx  x e  a a   xn1a x dx 1 n x n10 ). xna x dx  x a  ln a ln a eax 11). e ax sinbx dx  a b 2 2 (a sinbx  b cosbx )  c eax12). e cosbx dx  ax (b sinbx  a cosbx )  c 2 2 a b x n 1 x n 1  n13 ). x ln x dx  n1 ln x  (n  1)2 c14). lnn x dx  x lnn x  n lnn1 xdx  c xm1 lnn x xm lnn1 x dx  c n15). x ln x dx  m  1 m n  m1
6. 6. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIALPersamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan satu atau lebihturunan fungsi yang belum diketahui, dan atau persamaan itu mungkin jugamelibatkan fungsi itu sendiri dan konstanta.
7. 7. SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIALSolusi persamaan diferensial adalah menentukan suatu fungsi dimanaturunnya, dan disubsitutiskan memenuhi persamaan diferensial yang diberikan.Contoh : Contoh :Diberikan persamaan diferensial, Apakah, y = e2x, solusi persamaan diferensial,dy = (4x + 6 cos 2x)dx y” – 4y’ + 4y = 0Dengan cara mengintegralkandiperoleh solusi PD yaitu : Dengan cara mensubstitusikan, y=e2x, y’ = 2e2x, dan y  ( 4 x  6 cos 2 x ) dx y’’ = 4e2x pada persamaan dihasilkan,  2 x 2  3 sin 2 x  c 4e2x - 4(2e2x) + 4e2x = 0 0=0Jadi, y= 2x2 + 3 sin 2x + c adalah solusi Jadi 4e2x e2x 4adalah solusi PD.PD
8. 8. PD Variabel TerpisahBentuk Umum PD Variabel Terpisah, Tulislah PD menjadi,f1( x )g1( y )dx  f2 ( x )g 2 ( y )dy  0 2x(2 + 3y2)dx + 3y(1 + x2)dy = 0 ---------------------------(1 + x2)(2 + 3y2)              f2 ( x )g1( y ) Diperoleh PD,f1( x ) g (y ) dx  2 dy  0 2x dx  3y dy  0f2 ( x ) g1( y ) 1 x 2 2  3y 2Solusi PD f1( x ) g (y ) Solusi PD adalah, f2 ( x ) dx   2 g1( y ) dy  c 2x 3y  2 dx   2 dy  c 1 x 2  3yContoh : 1Carilah penyelesaian umum PD, ln(1  x 2 )  ln( 2  3 y 2 )  ln c 2(4x + 6xy2)dx + 3(y + x2y)dy = 0 (1  x 2 )2 (2  3 y 2 )  c
9. 9. Soal Latihan PD Variabel Terpisah1. x(1 + y)dx + y(1 + x) dy = 02. xydx + (x2 – 1)ln y dy = 03. (1 + y2)sin x dx + 2y (1 – cos x)dy= 04. (1 + y) (1 + sin x)dx + y cos x dy = 05. xy dx + (x – 1)(1 + ln y)dy = 06. 2(1 + ey)dx + x(1 + x)dy = 07. 2xy(1 – y)dx + (x2 – 4)dy = 08. (y2 − 4) dx + x(x – 2)dy = 09. y(1 + x2)dx + 2x(1 + ln y)dy = 010. ex(1 + ey)dx + (1 + ex )e−y dy = 0
10. 10. PD HOMOGENFungsi f(x,y) dikatakan fungsi homogen berderajad n, jika terdapat α, sedemikiansehingga f(αx, αy) = αn f(x,y)Bentuk umum PD : g(x,y)dx + h(x,y)dy = 0---------------------------------------------------------------------------------------------------------Kasus 1. Kasus 2.Substitusi, y=ux, dy=udx+xdu Substitusi, x=vy, dx=vdy + ydvPD menjadi. PD menjadi.[g(1,u)+uh(1,u)]dx + xh(1,u)du=0 yg(v,1)dv + [vg(v,1)+h(v,1)]dy=0 g (v ,1) 1 1 dx  h(1, u ) du  0 dv  dy  0 x g (1, u )  uh(1, u ) vg(v ,1)  h(v ,1) y Solusi Solusi g (v ,1) 1 x 1 dx   h(1, u ) du  c  vg(v ,1)  h(v ,1) dv   dy  c y g (1, u )  uh(1, u )
11. 11. Contoh Carilah penyelesaian umum, PD,Carilah penyelesaian umum PD,. x2ydx – (x3 + y3) dy = 0 (4x2 – 3y2)dx + 4xy dy = 0 JawabJawab Substitusi, x=vy, dx=vdy+ydv, ke PDSubstitusikan, y = ux,dy=udx+xdu diperoleh,ke persamaan , maka dihasilkan : v2y3 (vdy +ydv) – y3(v3 + 1)dy = 0x2(4–3u2)dx + x24u(udx + x du) = 0 v2(vdy +ydv) – (v3 + 1)dy = 0 (4–3u2)dx + 4u(udx + x du) = 0 v2y dv – dy = 0(4–3u2+4u2) dx + 4xu du) = 0 1 1 4u v 2dv  dy  0 dx  du  0 y x u 24 1 1 4u  v 2dv   dy  ln c  x dx   2 du  ln c y u 4 1 3 v  ln y  ln c ln x  2 ln( u 2  4)  ln c 3 v 3  ln cy 3 ,v  x ln x (u 2  4)2  ln c, u  y ln e y x 2 2 2 3 ( x / y )3  cy 3 ( 4 x  y )  cx e
12. 12. Reduksi Persamaan HomogenKasus khusus PD berbentuk, (ax+by+d)dx + (px+qy+r)dy=0---------------------------------------------------------------------------------------------------------Kasus1, d=0,r=0 Contoh :Jika d=r=0, PD menjadi Carilah penyelesaian umum PD,(ax+by)dx+(px+qy)dy=0 (x + 4y)dx + (4x + 2y)dy = 0Substitusikan, y=ux,dy=udx+xdu Jawabdiperoleh, Substitusi, y=ux,dy=udx+xdu. PD menjadi, x(a+bu)dx+x(p+qu)(udx+xdu) = 0 x(1+4u)dx + x(4+2u)[udx+xdu] = 0atau, atau, [a+(b+p)u+qu2]dx+x(p+qu) du = 0 (1 + 8u + 2u2)dx + x (4 + 2u) du = 01 qu  p dx  du  0 1 2u  4x 2 qu  (b  p )u  a dx  du  0 x 2u 2  8u  1Solusi, Solusi, 1 qu  px dx   2 du  c 1 x dx   2u  4 du  c qu  (b  p )u  a 2  8u  1 2u
13. 13. Kasus 2 aq – bp = 0 ContohBila, aq – bp =0 maka berlaku : Carilah penyelesaian umum PD, px + qy = k(ax + by) (2x+5y + 2)dx+(4x+10y + 3)dy=0konstanta tak nol. Substitusikanlah, Jawab z = ax + by , dz = adx + bdy aq – bp = (2)(10) – (5)(4) = 0. dz  adx Subsitusi, 4x + 10y = 2(2x + 5y), dan dy  z=2x+5y, dz=2dx+5dy. Maka diperoeh b PDdiperoleh PD,  dz  adx   dz  2dx ( z  d )dx  (kz  r ) ( z  2)dx  (2z  3) 0 0  5   b [( bd  ar )  (b  ak )z ]dx  (kz  r )dz  0 ( z  4)dx  (2z  3)dz  0 kz  r 2z  3dx  dz  0 dx  dz  0 (b  ak )z  (bd  ar ) z4 Solusi,Solusi, 2z  3 kz  r dx   (b  ak )z  (bd  ar ) dz  c  dx   z4 dz  c x  2z  5 ln( z  4)  c
14. 14. Kasus Ketiga, aq – bp ≠ 0(ax+by+d)dx + (px+qy+r)dy=0 Substitusi kedua,Substitusi pertama, v = uz dan dv = udz + zdu u=ax+by+d, du=adx+bdy v=px+qy+r, dv=pdx+qdy kedalam persamaan homogen, sehinggaatau,  a b  dx   du  dihasilkan :        p q  dy   dv  u(q–pz)du + u(az – b)(udz+zdu) = 0diperoleh [az2 – (b+p)z + q]du + u(az–b)dz = 0 qdu  bdv dx  aq  bp 1 az  b du  du  0 2  pdu  adv u az  (b  p )z  q dy  aq  bp Solusi, Sehingga diperolehPD 1 az  b qdu  bdv  pdu  adv u du   2 du  c u v 0 az  (b  p )z  q aq  bp aq  bp (qu  pv )du  (  bu  av )dv  0
15. 15. Contoh Carilah penyelesaian umum PD, Substitusi kedua, (2x + 4y + 2)dx + (4x + 3y + 3)dy = 0 v=uz, dv=udz+zdu Jawab diperoleh hasil, Substitusi pertama (3u–4uz)du + (–4u+2uz)(udz+zdu)= 0 u=2x + 4y + 2,  2 4  dx  du  u(3–4z)du + u(–4+2z)(udz+zdu) = 0 v=4x + 3y + 3,  4 3  dy   dv  (3 – 4z – 4z + 2z2)du +(2z – 4)d      3du  4dv dx  1 2z  4  10 du  dz  0 u 2z 2  8z  3  4du  2dv dy  Solusi,  10 1 2z  4 Diperoleh PD, u du   2 dz  c 2z  8 z  3  3du  4dv    4du  2dv  1 ln u  ln( 2z 2  8z  3)  ln cu   v 0   10    10  2 (3u – 4v)du + (–4u + 2v) dv = 0 u 2 ( 2z 2  8 z  3 )  c
16. 16. Soal-soal Latihan PD Homogen1. (x2 + y2)dx – xydy = 02. x2y dx + (x3 + y3)dy = 03. y dx – (x−yex/y)dy = 04. y(1 + ey/x) dx + (xey/x+ y) dy = 05. x2(x+3y)dx + (x3+ y3)dy = 06. y(y + xex/y)dx – x2ex/y dy = 07. (3x2y + y3)dx + (x3+ 3xy2)dy = 08. (2x – 3y)dx + (3x – 8y)dy = 09. (2x – 2y + 3)dx + (2x – 8y+4)dy = 010. (2x – y)dx + (x – 6y + 2)dy = 011. (2x + 5y + 2)dx + (5x + 3y – 2)dy = 012. (x – 2y + 3)dx + (2x – 9y – 4)dy = 0
17. 17. PD Eksak dan Non EksakPersamaan diferensial linier orde satu yang berbentuk, M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0dikatakan sebagai persamaan diferensial eksak jika hanya jika M  N  y x--------------------------------------------------------------------------------------------------------Solusi, F(x,y)=c dimana Solusi, F(x,y)=c dimanaF ( x, y )   M ( x, y )dx  g ( y ) F ( x, y )   N ( x, y )dy  f ( x )dimana dimana y    M ( x, y )dx  g ( y )  N ( x, y )  x    N( x, y )dy  f ( x )  M ( x, y )       f ( x )   M ( x, y )  x g ( y )    N ( x, y )  y  M ( x, y )dx dy N ( x, y )dy dx    
18. 18. Contoh : Contoh :Carilah penyelesaian PD, Carilah penyelesaian PD,(1 + yexy) dx +(xexy + 2y) dy = 0 y  sin x [1  cos x(ln(1  y )]dx  dy  0Jawab 1 yPD Eksak, karena : Jawab M xy  y (e xy x )  (1  xy )e xy PD Eksak, karena : e y M cos x N cos x    N xy  x (e xy y )  (1  xy )e xy y 1 y x 1  y e x Solusi, F(x,y)=c dimana :Solusi, F(x,y)=C, dimana F ( x, y )   (1  cos x ln(1  y )dx  g ( y ) F ( x, y )   (1  xe xy )dx  g ( y )  ( x  sin x ln(1  y )  g ( y )  x  e xy  g ( y )  y  sin x [ x  sin x ln(1  y )  g ( y )]   xy  g ( y )]  xe xy  2y y 1 y [x  e y y g(y )   dy  y  ln(1  y ) 1 y g ( y )   2ydy  y 2  c Solusi,  e x  y (1  y )sin x  c (1  y ) Solusi,  x  e xy  y 2  c
19. 19. PD Non Eksak dan Faktor IntegrasiPersamaan diferensial linier orde satu yang berbentuk, M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0dikatakan sebagai persamaan diferensial non eksak jika hanya jika M N M N  atau  0 y x y xPD Non eksak diubah menjadi PD eksak dengan mengalikan faktor integrasiu, sehingga PD berbentuk. uM(x,y)dx+uN(x,y)dy = 0-------------------------------------------------------------------------------------------------------- Kasus Pertama, u = u(x) Kasus Kedua, u = u(y) Faktor integrasi u diberikan oleh, Faktor integrasi u diberikan oleh, u  e u  e p( x )dx q ( y )dy M N M N   y x y x p( x )  q( y )  N M
20. 20. Contoh :Carilah penyelesaian umum PD, PD menjadi, (4x3 + x2 – y2)dx + 2xy dy = 0 1 3  x 2  y 2 )dx  1 ( 2 xydy )  0Jawab (4x 2 2PD Eksak or Non eksak x x 3 2 2  y2 M  4 x  x  y , N  2 xy  4x  1 dx  2y dy  0  x2  xM N    2 y ,  2yy x M N PD Eksak, M N y x  4 y   4 y , p   Solusi PD Eksak, F(x,y) = c, dimana :y x N 2 xy Faktor Integrasi u  y2  F ( x, y )    4 x  1  dx  g ( y )  x2  2     dx ue x  e  2 ln x 2 2  x  y  g(y )  g(y )  c  2x  1  x ln  Solusi. 2 1  e x  2x3 + x2 + y2 = cx 2 x
21. 21. Contoh :Carilah penyelesaian umum PD,  2  2e x  xy )dx   4 ye x  3 x  3 ln y dy  0 (y  2   JawabPD Eksak or Non eksak 2My 2e x  xy , N  4 ye x  3 x  3 ln y 2M x  x , N  4 ye x  3 x  2yey xM  N   2( ye x  x ) PD Non Eksak y x Faktor Integrasi u M  N  2 y x 2( ye x  x ) 2  y dyq   ue  e 2 ln y x M y ( ye  x ) y ln y 2 e  y2
22. 22. PD menjadi,  2 ( y 2e x  xy )dx  y 2  4 ye x  3x 2 y  3 ln y dy  0  2     2 2  4 e x  xy 3 )dx   4 y 3 e x  3 x y  3 y 2 ln y dy  0 PD(y Eksak  2   Solusi PD Eksak, F(x,y)=c dimana :F ( x, y )   ( y 4e x  xy 3 )dx  g ( y ) 1  y 4e x  x 2 y 3  g ( y ) 2g ( y ) diperoleh dari :   4 x 1 2 3  3 x 3x 2y 2  y e  x y  g ( y )   4y e   3 y 2 ln yy  2  2 1 1 1g ( y )   3 y 2 ln ydy  y 3 ln y  y 3 y 4e x  x 2 y 3  y 3 ln y  y 3  c 3 2 3
23. 23. Soal Latihan PD Eksak Non Eksak1. (x3 + y2)dx + (2xy − y3)dy = 02. (x + y sin 2x)dx + (sin2 x + 3y2)dy = 03. [2x + y cos(xy)] dx + [x cos(xy) – 2y]dy = 04. (x + y)2 dx + (x2 + 2xy + yey)dy = 05. (xex + yexy)dx + (1 + xexy )dy = 06. (xex − ey)dx + ey(y − x)dy = 07. 3x2(y − 1)2dx + 2x3 (y − 1)dy = 0  x2 8. x ln ydx    ln y dy  0  y    x (1  y )9. dx  ln(1  x 2 )dy  0 1 x 210. (3 y  3e x y 2 / 3 )dx  ( x  1)dy  0
24. 24. PD Linier Orde Satu Contoh Carilah penyelesaian umum PD,Persamaan diferensial biasa linier orde satu xy′ + (1 – x)y = 4xex ln xadalah suatu persamaan yang berbentuk, Jawab y′ + P(x)y = Q(x)Tulislah PD menjadi, Tulis PD menjadi, 1 x y  y  4e x ln x [P(x)y – Q(x)]dx + dy = 0 x Faktor integrasi,Persamaan diatas adalah non eksak faktor 1 xintegrasinya adalah,  p( x )dx   x dx  ln x  x u  e ln x  x  e ln x e  x  xe  x u  e P ( x )dx Solusi,Solusi PD adalah, yxe  x   ( 4e x ln x )( xe  x )dx   4 x ln xdx  P ( x )dx   P ( x )dx  ye   Q( x )e  dx  c   yxe  x  2 x 2 ln x  x 2  c
25. 25. PD Bernoulli Contoh Carilah pernyelesaian umum PD,Bentuk umum PD Bernoulli, xy′ + y = y3 x3 ln x y′ + P(x)y = Q(x)yn Jawab Tulislah PD menjadi,Tulislah PD menjadi, y  3 y   y  2  x 2 ln x 1 yny′ + P(x)y1–n = Q(x) x Substitusi, z = y–2, z′=–2y–3 y′, PD menjadi,Substitusi, z = y1–n,dan z′=(1–n)y–n y′, PDmenjadi 2 z′ + (1 – n)P(x)z = (1 – n)Q(x) z  z  2 x 2 ln x xPD adalah linier orde satu, Faktor integrasi,Faktor integrasi, 2  x dx  2 ln x  1 ue eu  e (1 n )P ( x ) dx x2Solusi, Solusi PD,  (1 n )P ( x )dx  (1  n )Q( x )e  (1 n )P ( x )dx  dx  c z  2 x 2 ln x  1 dx  cze     2    2 x   x
26. 26. PD Bernoulli Contoh Carilah penyelesaian PD,Bentuk umum PD Bernoulli - lain x 1 3 3y 2 y   y  x sin 2 x yn–1 y′ + P(x)yn = Q(x) x Jawab,Substitusi, z = yn,dan z′=nyn – 1y′, PD menjadi Substitusi , z = y3,dan z′= 3y2y′, PD menjadi z′ + n P(x)z = nQ(x) x 1PD adalah linier orde satu, z z  x sin 2 x x Faktor integrasi, x 1Faktor integrasi,  x dx  e x  ln x  e x 1 ueu  e nP ( x ) dx x Solusi PDSolusi, 1 1   nP ( x )dx  nP ( x )dx  z e x   x sin 2 x  e x  dx  cze   nQ( x )e   dx  c x x    y 3e x   e x sin 2 x dx  c x
27. 27. Reduksi Orde PD Contoh carilah penyelesaian khusus dari, Bantuk Umum PD adalah, y′′′ – y′′ = xex y(n) + P(x)y(n–1) = Q(x) y(0) = 1, y′(0) = 2 dan y′′(0) = 4 Jawab Substitusi, z = y(n–1),dan z′= y(n), PD Substitusi, z = y′′,dan z′= y′′′, PD menjadi menjadi, z′ – z = xex z′ + P(x)z = Q(x) Faktor integrasi, u  e PD adalah linier orde satu,  dx  e xFaktor integrasi, Solusi,u  e P ( x ) dx ze  x   xe 2x (e  x )dx  cSolusi, y   [e x ( xe x  e x )  c ]  P ( x )dx ze    Q( x )e  P ( x )dx   dx  c  y    [( xe 2 x  e 2 x )  ce x ]dx ( n 1)  e   P ( x )dx  Q( x )e  P ( x )dx  dx  c   xe 2 x 3e 2 x y   y       c1  ce x dx        2 4 
28. 28. Soal-soal Latihan1. y′ + y tan x = 2 x cos x2. y′ – xy = 6xe2x3. (1 + x2)y′ + 2xy = x24. x2 ln x y′ + xy = 15. x y′ + 2 y = 4 ln x6. sin x y′ + y cos x = sin x – x cos x7. (1 + x2) y′ + 2xy = x ln x8. (x – 1) y′ – 2y = x(x − 1)49. (1 + ex)y′ + ex y= xex10. x ln x y′ + y = x3 ln x11. 3y′ + y = (1 − 2x)y412. x ln x y′ – y = x3 y213. x y′′′ – y′′ = x4 ln x14. y′′′ – 2y′′ = x e2x