Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

2.pencerminan

  • Login to see the comments

2.pencerminan

  1. 1. LATIHAN SOAL PENCERMINAN 1. Diketahui dua titik A dan B. Lukislah garis g sehingga Mg(A) = B. Tentukan pula Mg(B). ● ● A B Mg(A) = B dan Mg(B) = A 2. Apabila pada V ada sistem sumbu ortogonal dan A (1,3) sedangkan B (-2,-1). Tentukan persamaan sebuah garis g sehingga Mg(A) = B! Diket : A (1,3), B (-2,-1) Ditanya: Persamaan garis g sehingga Mg(A) = B Jawab : Persamaan garis AB 0534 4493 )1(4)3(3 12 1 31 3 12 1 12 1               yx xy xy xy xx xx yy yy Gradien m = 3 4 Gradien yang tegak lurus garis AB, m2 = - 4 3 Titik tengah AB = )1, 2 1 ( 2 )2,1( 2 )1,2()3,1(     Persamaan garis yang melalui )1, 2 1 ( dengan m = 3 adalah y – y1 = m (x – x1) y – 1 = - 4 3 (x + 2 1 ) X1 -1 -1-2 1 2 3 Y
  2. 2. y = - 4 3 x - 8 3 + 1 y = - 4 3 x + 8 5 8y + 6x – 5 = 0 6x - 8y – 5 = 0 Jadi persamaan garis g adalah 6x - 8y – 5 = 0 3. Diketahui: g =   -3x, yx Ditanya: a. Mg(A), bila A(2,1). b. Bila Mg(C) = (-1,7), maka C = . . . c. P(x,y), maka Mg(P) = . . . Jawab: a. Persamaan garis yang melalui A(2,1) dan tegak lurus g adalah y = 1. B (-3,1) adalah titik tengah 'AA , Maka (-3,1) =               2 1 , 2 2 2 , 2 ''' AAAAAA yxyyxx Jelas   )2,2(2,6 '' AA yx     1,8, '' AA yx Jadi A’ = (-8,1) b. Persamaan garis yang melalui Mg(C) = (-1,7) dan tegak lurus g adalah y = 7. D(-3,7) adalah titik tengah 'AA , Maka (-3,7) =               2 7 , 2 1 2 , 2 '' CCCCCC yxyyxx Jelas   )7,1(14,6  CC yx    7,5, CC yx Jadi C = (-5,7) c. Persamaan garis yang melalui P(x,y) dan tegak lurus g adalah y = yp. Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .
  3. 3. Jelas Q = (-3, yp) =        2 , 2 '' pppp yyxx      pppp ppppp yxyx yyxxy ,6, ),(2,6 ' ''   Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (-6 – x,y). 4. Diketahui g =   2y, yx Ditanya: a. Jika A =  2,3 , tentukan A’ = Mg(A). b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta D’ oleh Mg. c. Jika P(x,y). Tentukan Mg(P) Jawab: a. Persamaan garis yang melalui A  2,3 dan tegak lurus g adalah x = 3. Misal B (3,2) adalah titik tengah 'AA , Maka (3,2) =                 2 2 , 2 3 2 , 2 ''' AAAAAA yxyyxx Jelas   )2,3(4,6 '' AA yx     24,3, '' AA yx Jadi A’ = (3, 24  ) b. Persamaan garis yang melalui D’ = (2,-4) dan tegak lurus g adalah x = 2. Misal C(2,2) adalah titik tengah 'DD , Maka (2,2) =               2 )4( , 2 2 2 , 2 '' DDDDDD yxyyxx Jelas   )4,2(4,4  DD yx    8,2, DD yx Jadi Prapeta D oleh Mg = (2,8) c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah x = xp. Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP . Jelas Q = (xQ, 2) =        2 , 2 '' pppp yyxx
  4. 4.          pppp ppppp pppp p yxyx yyxxx yyxx x     4,, ,4,2 ) 2 , 2 (2, '' '' Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (-x, 4 - y). 5. Diketahui h =   xy, yx Ditanya: a. Jika A = (2,-3), tentukan A’ = Mh(A). b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta dari B’ oleh Mh. c. Jika P(x,y). Tentukan Mh(P) Jawab: a. Dicari gradien garis y = x, yaitu m = 1 Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus g dengan m = -1 adalah 1 32 )2(13 )( 11     xy xy xy xxmyy Mencari perpotongan y = x dan y = -x – 1 dengan mensubstitusikannya. y = y x = -x – 1 2x = -1 x = - 2 1 substitusikan x = - 2 1 ke persamaan y = x diperoleh y = - 2 1 . Jadi titik tengah 'AA (- 2 1 ,- 2 1 ). Jelas (- 2 1 ,- 2 1 ) titik tengah 'AA , maka                      2 3 , 2 2 2 , 22 1 , 2 1 ''' AAAAAA yxyyxx Jelas   )3,2(1,1 '' AA yx 
  5. 5.    2,3, '' AA yx Jadi A’ = (-3,2) b. Gradien garis y = x, yaitu m = 1 Maka persamaan garis yang melalui B’(-3,5) dan tegak lurus g dengan m = -1 adalah 2 53 )3(15 )( 11     xy xy xy xxmyy Mencari perpotongan y = x dengan y = -x +2 dengan cara substitusi. y = y x = -x + 2 2x = 2 x = 1 substitusikan x = 1 ke persamaan y = x diperoleh y = 1. Jadi titik tengah 'BB (1,1). Jelas (1,1) titik tengah 'BB , maka                  2 5 , 2 )3( 2 , 2 1,1 '' BBBBBB yxyyxx Jelas   )5,3(2,2  BB yx    3,5, '' AA yx Jadi A’ = (5,-3) c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah pp pp yxxy xxmyy   )( Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP . Jelas Q = (xQ, yQ) =        2 , 2 '' pppp yyxx      QpQppp ppppQQ yyxxyx yyxxyx 2,2, ),(2,2 '' ''   Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x – 2xQ, y – 2yQ). 6. Diketahui k =   0yx, yx Ditanya: a. Jika A = (2,-3), tentukan A’ = Mk(A).
  6. 6. b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta dari B’ oleh Mk. c. Jika P(x,y). Tentukan Mk(P) Jawab: a. Dicari gradien garis k xyyx  0 Jadi mk = -1 Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus k dengan m = 1 adalah 5 32 )2(13 )( 11     xy xy xy xxmyy Mencari perpotongan y = -x dengan y = x - 5 dengan cara substitusi. y = y -x = x – 5 2x = 5 x = 2 5 substitusikan x = 2 5 ke persamaan y = -x diperoleh y = - 2 5 . Jadi titik potongnya ( 2 5 , - 2 5 ) Karena ( 2 5 , - 2 5 ) titik tengah 'AA , maka                      2 3 , 2 2 2 , 22 5 , 2 5 '''' AAAAAA yxyyxx Jelas   )3,2(5,5 '' AA yx     2,3, '' AA yx Jadi A’ = (3,-2) b. Gradien garis y = -x, yaitu m = -1 Maka persamaan garis yang melalui B’(-3,5) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah 8 53 )3(15 )( 11     xy xy xy xxmyy
  7. 7. Mencari perpotongan y = -x dengan y = x +8 dengan cara substitusi. y = y -x = x + 8 2x = -8 x = -4 substitusikan x = -4 ke persamaan y = -x diperoleh y = 4. Jadi titik potongnya (-4,4). Karena (-4,4) titik tengah 'BB , maka                  2 5 , 2 )3( 2 , 2 4,4 '' BBBBBB yxyyxx Jelas   )5,3(8,8  BB yx    3,5, '' AA yx Jadi A’ = (-5, 3) c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus k dengan m = 1 adalah pp pp yxxy xxmyy   )( Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP . Jelas Q = (xQ, yQ) =        2 , 2 '' pppp yyxx      QpQppp ppppQQ yyxxyx yyxxyx 2,2, ),(2,2 '' ''   Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x – 2xQ, y – 2yQ). 7. Diketahui g =   1yx, yx Ditanya: a. Mg(0) b. Mg(A) dengan A(1,2). c. Jika P(x,x+1). Tentukan Mg(P)=P. Jawab: a. Dipunyai g =   1yx, yx , dari x + y = 1  y = 1 – x. Gradien dari g adalah m = -1, dan gradien yang tegak lurus dengan g adalah m = 1
  8. 8. Maka persamaan garis h yang melalui O(0,0) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah xy xy xxmyy    )0(10 )( 11 Jadi xyh  Titik potong antara g dan h adalah titik O, yaitu y = y 1 – x = x 2x = 1 x = 2 1 substitusikan x = 2 1 ke persamaan y = x diperoleh y = 2 1 . Jadi titik potongnya ( 2 1 , 2 1 ) Karena ( 2 1 , 2 1 ) titik tengah 'OO , maka                     2 0 , 2 0 2 , 22 1 , 2 1 '0'0'00'00 yxyyxx Jelas   ),(1,1 '0'0 yx    1,1, '0'0 yx Jadi Mg(O) = (1,1) b. Maka persamaan garis h yang melalui A(1,2) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah 1 12 )1(12 )( 11     xy xy xy xxmyy Jadi xyh  +1 Mencari perpotongan g dengan h. y = y 1 - x = x + 1 2x = 0
  9. 9. x = 0 substitusikan x = 0 ke persamaan y = 1 - x diperoleh y = 1. Jadi titik potongnya (0,1). Karena (0,1) titik tengah 'OO , maka                  2 2 , 2 1 2 , 2 1,0 '''' BBoooo yxyyxx Jelas   )2,1(2.0 '' oo yx     0,1, ' oo yx Jadi A’ = (-1,0) c. Dipunyai p = (x, x + 1) dan g =   1yx, yx Karena Mg(P) = P, maka P )1,(  xxP Diperoleh x + y = 1 01)1(1  xxxyx Dan y = 0 + 1 = 1 Jadi Mg(P) = (0,1). 8. Diketahui g =   013y-x, yx , dan A (2,k). Ditanya: Tentukan k bila Mg(A) = A Jawab : Dipunyai x – 3y +1 = 0, Karena Mg(A) = A, maka A terletak pada g. Nilai k dapat dicari dengan mensubstitusikan titik A ke persamaan garis g. Untuk x = 2 maka x – 3y +1 = 0  2 - 3y = -1  3y = 3  y = 1 Jadi nilai k = 1. 9. Diketahui k =   013-ax, yyx , B = (3,-1) Tentukan a apabila Mk(B) = B! Karena Mk(B) = B, maka B = (3,-1) terletak pada garis k. Diperoleh a.3 – 3(-1) + 1 = 0  3a +3 +1 = 0  3a = - 4  a = - 3 4 Jadi nilai a = - 3 4 . 10. Dipunyai T(P) = (x-5, y+3)
  10. 10. P = (x, y)  V Ditanya: Selidiki apakah T suatu isometri? Jawab: Akan ditunjukkan apakah T suatu isometri. Menurut definisi, T suatu isometri jika P1, P2  V maka P1‘P2’ = P1P2 Ambil sebarang titik P1, P2  V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2) T(P1) = P1’ = (x1-5, y1+3) T(P2) = P2’ = (x2-5, y2+3)    2 12 2 1221P yyxxP                 2 12 2 1221 2 12 2 1221 2 12 2 1221 2 12 2 1221 ''P )3355''P )3()3()5()5(''P ''''''P yyxxP yyxxP yyxxP yyxxP     Maka P1‘P2’ = P1P2. karena P1‘P2’ = P1P2, maka T suatu isometri. Apa syarat tersebut dapat diperluas? Jawab: Ambil sebarang titik P1, P2  V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2) T(P1) = P1’ = (x1 + a, y1 +b) T(P2) = P2’ = (x2 + a, y2 + b)    2 12 2 1221P yyxxP                 2 12 2 1221 2 12 2 1221 2 12 2 1221 2 12 2 1221 ''P )''P )()()()(''P ''''''P yyxxP bybyaxaxP bybyaxaxP yyxxP     Diperoleh P1‘P2’ = P1P2. Karena P1‘P2’ = P1P2, maka T suatu isometri. Jadi sifat tersebut dapat diperluas secara umum. 11. Sebuah transformasi T didefinisikan untuk semua titik P(x,y) sebagai T(P)=(2x, y- 1), Selidiki apakah T suatu isometri? Bukti: Pikirkan sebarang titik P,Q V dengan P=(Xp,Yp) dan Q=(Xq,Yq)
  11. 11. Menurut definisi    22 pqpq yyxxPQ     222 pqpq yyxxPQ  Menurut definisi  1,2)(  pp yxPT dan  1,2)(  qq yxQT    22 )1()1(22)()(  pqpq yyxxQTPT    22 4 pqpq yyxx  22 )()( QTPT    22 4 pqpq yyxx  Jelas )()( QTPT ≠ PQ Jadi transformasi T tidak mengawetkan jarak Jadi T bukan isometri. 15. Diketahui sebuah garis g. T sebuah fungsi yang didefinisikan untuk setiap titik P pada bidang V sebagai berikut: Jika Pg maka T(P) = P Jika P g maka T(P) = P’ sehingga P’ adalah titik tengah ruas garis orthogonal dari P ke g. a. Apakah T suatu transformasi? b. Apakah T suatu isometri? c. Apabila ada dua titik A dan B sehingga A’B’ = AB dengan A’ = T(A), B’= T(B), apakah dapat anda katakan tentang A dan B’?: Jawab: a. Ditunjukkan T suatu transformasi Ditunjukkan T surjektif Pikirkan sebarang titik P’V Jika P’ g jelas  PVg  T(P)=P’ Oleh karena V bidang euclide maka ada P tunggal dengan P’ px dengan P’ adalah titik tengah px dan P’ adalah satu-satuny titik tengah px Jadi  P’V memiliki prapeta Jadi T surjektif Ditunjukkan T injektif Pikirkan sebarang titik P,QV dengan P≠Q
  12. 12.      )()()(,')(, )()(')(,)(, QTPTQQTQPPTgQgP QTPTPQQTPPTgQgP Pg, Qg. jelas ruas garis orthogonal p ke g tidak sama dengan ruas garis orthogonal Q ke g. Ditunjukkan P ≠Q=> T(P)≠T(Q) Andaikan T(P)=T(Q) Maka T(P) adalah titik tengah ruas garis orthogonal Q ke g dan P ke g dan T(Q) adalah titik tengah ruas garis orthogonal P ke g dan Q ke g Titik tengah adalah tunggal untuk masing-masing ruas garis. Ruas garis orthogonal P ke g berpotngan dengan ruas garis orthogonal Q ke g. Ruas garis orthogonal hanya dapat ditarik sebuah garis dari suatu titik . Jadi P = Q Kontradiksi dengan P≠Q Haruslah P≠Q => T(P) ≠T(Q) Jadi T injektif Dapat disimpulkan T suatu transformasi Ditunjukkan T suatu isometri Pilih Pg dan Q g Jelas T(P)=P dan T(Q)=Q’≠P Jelas T(Q)=Q’ dengan Q’ adalah titik tengah ruas garis orthogonal dari Q ke Q’ Jelas PQ≠P’Q’=PQ’ Jadi T bukan Isometri b. T isometri jika i) Ag, Bg ii) A g ,B g Jadi AB = A’B’ jika i) Ag, Bg ii) A g ,B g 16. Andaikan h =   3xy, yx , Apabila A = (4,3) Ditanya: tentukan koordinat – koordinat A’ =Mh(A). Jawab: persamaan garis yang tegak lurus h dan melalui titik A, dengan m = 3 1  . P≠Q P
  13. 13. y = mx + n 3 = 3 1  .4 + n 3 = 3 4  + n n = 3 13 19. Pada V ada system sumbu orthogonal X O Y. Ada g =   1yx, yx . a. Jika A = (1,2), maka Mg(A) = . . . b. Jika B = (-2,4), tentukan C sehingga Mg(C) = B c. Jika P = (P1,P2), tentukan Mg(P)! Jawab: a. Dicari gradien garis x + y = 1, yaitu m = - 1 Maka persamaan garis yang melalui A(1,2) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah 1 21 )1(12 )( 11     xy xy xy xxmyy Mencari perpotongan x + y = 1 dengan y = x + 1 dengan mensubstitusikannya. y = y 1 – x = x + 1 2x = 0 x = 0 substitusikan x = 0 ke persamaan y = x + 1 diperoleh y = 1. Jadi titik tengah 'AA (0,1). Jelas (0,1) titik tengah 'AA , maka                  2 2 , 2 1 2 , 2 1,0 ''' AAAAAA yxyyxx   )2,1(2,0 '' AA yx     0,1, '' AA yx Jadi A’ = (-1,0) b. Dicari gradien garis x + y = 1, yaitu m = - 1
  14. 14. Maka persamaan garis yang melalui B(-2,4) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah 6 42 )2(14 )( 11     xy xy xy xxmyy Mencari perpotongan y = 1 - x dengan y = x +6 dengan cara substitusi. y = y 1 – x = x + 6 2x = 1 - 5 x = -2 substitusikan x = -2 ke persamaan y = 1 - x diperoleh y = 3. Jadi titik tengah BC (-2,3). Jelas (-2,3) titik tengah BC , maka                  2 4 , 2 2 2 , 2 3,2 CCCBCB yxyyxx   )4,2(6,4 CC yx     2,2, CC yx Jadi A’ = (-2,2) b. Persamaan garis yang melalui P(P1,P2) dan tegak lurus g adalah 21 21 )( PPxy PxmPy   Misal Q = (Q1,Q2) adalah titik tengah 'PP . Jelas Q = (Q1,Q2) =        2 , 2 '22'11 PPPP      2211'2'1 '22'1121 2,2, ),(2,2 QPQPPP PPPPQQ   Jadi apabila P (P1,P2) maka Mg(P) = P’ =  2211 2,2 QPQP 

×