Himpunan H = {0, 2, 4} merupakan subgrup dari grup G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap operasi penjumlahan modulo 6 karena H memenuhi sifat-sifat tertutup, asosiatif, adanya unsur identitas dan balikan.

1. LATIHAN SOAL GRUP
1. Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu himpunan. Tunjukan bahwa G adalah
suatu grup terhadap perkalian (G,* ).
Penyelesaian :
Tabel 1.
Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, *)
* -1 1
-1 1 -1
1 -1 1
Dari tabel 1. akan ditunjukan bahwa G = {-1, 1} merupakan suatu grup terhadap
perkalian (G,* ), yaitu :
a. Tertutup ((a, b G), (a* b = c)
Ambil sebarang nilai dari G, misalkan -1 dan 1 G. Maka: -1*1 = -1
Karena hasilnya -1 G, maka tertutup terhadap G
b. Assosiatif ((a, b, c G), (a* b) c = a (b* c))
Ambil sebarang nilai dari G, misalkan a = -1, b = -1 dan c = 1 G
(a *b)* c = (-1 -1) 1 = 1 1 = 1
a* (b* c) = 1 (-1 -1) = 1 1 = 1
Sehingga (a* b) c = a (b* c) = 1
maka G assosiatif
c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 1, terhadap perkalian)
(e G), (a G), a *e = e *a = a
Ambil sebarang nilai dari G
• misalkan -1 G sehingga -1* e = e (-1) = -1
• misalkan 1 G sehingga 1* e = e 1 = 1
maka G ada unsur satuan atau identitas
d. Adanya unsur balikan atau invers
(a G), (a−1
G), a* a−1
= a−1
*a = e, dimana e adalah elemen identitas
terhadap operasi .
• Ambil sebarang nilai dari G, misalkan -1 G, pilih -1 G, sehingga :
-1(-1) = 1 = e, maka (-1)-1 = -1
• Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 1 G, pilih 1 G, sehingga :

2. 1*1 = 1*1 = e, maka (1)-1 = 1
maka G ada unsur balikan atau invers
Kesimpulan dari point a, b, c dan d, maka :
G = {-1, 1} merupakan grup terhadap perkalian (G,* ).

3. 2. Misalkan G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah merupakan himpunan grup dari Z6.
Tunjukan bahwa H = {0, 2, 4} adalah merupakan Subgrup dari G = {0, 1,
2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +).
Penyelesaian :
H = {0, 2, 4} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, sehingga
H G.
Dari tabel 2. akan ditunjukan H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu Grup :
Tabel 2.
Daftar Cayley G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap (G, +)
+ 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4
a. Tertutup ((a, b G), a* b = c)
Ambil sebarang nilai dari H, misalkan 0, 2, 4 H
0 + 0 = 0
0 + 2 = 2
0 + 4 = 4
2 + 2 = 4
2 + 4 = 0
4 + 4 = 2
karena hasilnya 0, 2, 4 H, maka tertutup terhadap H
b. Assosiatif ((a, b, c G), (a *b) c = a (b* c))
Ambil sebarang nilai dari H, misalkan a = 2, b = 2 dan c = 4 H
(a + b) + c = (2 + 2) + 4 = 4 + 4 = 2
a + (b + c) = 2 + (2 + 4) = 2 + 0 = 2
Sehingga :
(a + b) + c = a + (b + c) = 2
maka H assosiatif

4. c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 0, terhadap penjumlahan)
(e G), (a G), a* e = e* a = a
Ambil sebarang nilai dari H,
Misalkan 0 H, 0 + e = e + 0 = 0
Misalkan 2 H, 2 + e = e + 2 = 2
Misalkan 4 H, 4 + e = e + 4 = 4
maka H ada unsur satuan atau identitas
d. Adanya unsur balikan atau invers
(a G), (a−1
G), a *a−1
= a−1
*a = e, dimana e adalah elemen identitas
terhadap operasi .
Ambil sebarang nilai dari H,
Misalkan 0 H pilih 0 H sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1 = 0
Misalkan 2 H, pilih 4 H, sehingga 2 + 4 = 0 = e, maka (2)-1 = 4
Misalkan 4 H, pilih 2 H, sehingga 4 + 2 = 0 = e, maka (4)-1 = 2
Mka H ada unsur balikan atau invers
Jadi, H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu Grup, sehingga (H,+) Subgrup
dari (G, +).