Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Analisis Vektor

166 views

Published on

Analisis Vektor

Published in: Education
  • Login to see the comments

Analisis Vektor

  1. 1. Elektromagnetika I Bab I: Analisis Vektor (Vektor dan Sistem Koordinat)
  2. 2. MMR/KRU Aljabar Vektor Skalar : Besaran yang hanya memiliki nilai Contoh : Temperatur, laju, jarak, dll Vektor : Besaran yangmemiliki nilai dan arah Contoh : Medan listrik, medan magnet, Gaya, kecepatan, posisi, percepatan, dll
  3. 3. MMR/KRU Aljabar Vektor Notasi Vektor A ditulis dengan A atau AAA ˆ rr = dengan A r adalah besar vektor A atau panjang vektor A Aˆ adalah unit vektor A atau vektor satuan searah A Vektor satuan atau unit vektor menya- takan arah vektor, besarnya satu
  4. 4. MMR/KRU Sistem Koordinat Lebih mudah menuangkan konsep vektor menggunakan sistem koordinat Tiga sistem koordinat : - Koordinat Cartesius - Koordinat Silinder - Koordinat Bola
  5. 5. MMR/KRU Koordinat Cartesius Koordinat Cartesius tersusun atas tiga sumbu koordinat yang saling tegak lurus masing-masing sumbu x, y, dan z adalah vektor satuan searah sumbu x, sumbu y, dan Sumbu z zyx aaa ˆ,ˆ,ˆ xaˆ zaˆ y x z yaˆ
  6. 6. MMR/KRU Koordinat Cartesius Dalam koord. Cartesius sembarang vektor A ditulis Ax, Ay, Az adalah komponen vektor A dalam arah sb x, sb y, dan sb z zzyyxx aAaAaAA ˆˆˆ ++= r yA y x z A r xA zA
  7. 7. MMR/KRU Koordinat Cartesius Besar vektor A ditulis 222 zyx AAAA ++= r Unit vektor A atau vektor satuan searah A ditulis 222 ˆˆˆ ˆ zyx zzyyxx AAA aAaAaA A A A ++ ++ == r r
  8. 8. MMR/KRU Contoh 1 Vektor A berpangkal di (0,0,0) dan memiliki komponen 2 ke arah x, 3 ke arah y, dan 4 ke arah z. Vektor A dapat ditulis: A = 2 ax + 3 ay + 4 az.
  9. 9. MMR/KRU Contoh 2 Vektor B berpangkal di (3,0,0) dan memiliki komponen 1 ke arah x, -2 ke arah y, dan 4 ke arah z. Vektor B dapat ditulis: B = ax + -2 ay + 4 az.
  10. 10. MMR/KRU x y z 2 4 3 A A B
  11. 11. MMR/KRU Pada sistem koordinat kartesian, suatu vektor tidak tergantung titik pangkal dari vektor tersebut. Atau dengan kata lain, pada sistem koordinat kartesian, vektor adalah independen dengan titik pangkalnya.
  12. 12. MMR/KRU Soal Titik A terletak dalam koordinat Carte- sius (3,4,5), semua koordinat dalam meter. Tentukan : Gambar vektor posisi A Penulisan vektor posisi A Besar vektor A Unit vektor searah A
  13. 13. MMR/KRU Koordinat Cartesius Elemen kecil perpindahan (displace- ment infinitesimal) : zyx adzadyadxld ˆˆˆ ++= r dx dy x y z P2 P1 Lihat jarak P1 ke P2dz
  14. 14. MMR/KRU Koordinat Cartesius Elemen kecil luas Elemen kecil luas dalam bidang yz yy adxdzdS r = xx adydzdS r = Elemen kecil luas dalam bidang xz Elemen kecil luas dalam bidang xy zz adxdydS r = Elemen kecil volume dxdydzdV =
  15. 15. MMR/KRU Koordinat Silinder ρ z ϕ zaˆ ρaˆ ϕaˆ Dalam koord. Silinder sembarang vektor A ditulis zzaAaAaAA ˆˆˆ ++= ϕϕρρ r Aρ, Aϕ, Az adalah kompo- nen vektor A dalam arah sb ρ , sb ϕ , dan sb z
  16. 16. MMR/KRU Contoh Gambarkan vektor berikut pada sistem koordinat silinder A= 3aρ + 2aφ + az berpangkal di M(2, 0, 0) B= 3aρ + 2aφ + az berpangkal di N(2, π/2, 0)
  17. 17. MMR/KRU x y z M N 3aρ 2aφ az 3aρ 2aφ az B A
  18. 18. MMR/KRU Meskipun vektor A dan B memiliki komponen yang sama, namun keduanya menunjuk ke arah berbeda karena titik pangkal yang berbeda. Dalam sistem koordinat kartesian, pembaca dengan mudah melihat bahwa vektor A ekivalen dengan 3ax +2ay + az. Dan vektor B ekivalen dengan –2ax + 3ay + az.
  19. 19. MMR/KRU Koordinat Silinder dρ ρdϕ dz zadzadadld ˆˆˆ ++= ϕρ ϕρρ Elemen kecil perpin- dahan : r Elemen kecil volume dzdddV ϕρρ=
  20. 20. MMR/KRU Koordinat Silinder Elemen kecil luas ρρ ϕρ adzddS ˆ= ϕϕ ρ adzddS ˆ= zz adddS ˆϕρρ=
  21. 21. MMR/KRU Koordinat Bola x y z θ ϕ ϕaˆ raˆ θaˆr r Vektor A ditulis : ϕϕθθ aAaAaAA rr ˆˆˆ ++= r Ar, Aϕ, Aθ adalah kompo- nen vektor A dalam arah sb r , sb ϕ , dan sb θ
  22. 22. MMR/KRU contoh Gambarkan vektor berikut pada sistem koordinat bola A= 3ar + aθ + 2aφ berpangkal di M(2, π/2, 0) B= 3ar + aθ + 2aφ berpangkal di N(2, π/2, π/2)
  23. 23. MMR/KRU x y z M N B 3ar aθ 2aϕ 2aϕ 3ar aθ A
  24. 24. MMR/KRU Meskipun vektor A dan B memiliki komponen yang sama, namun keduanya menunjuk ke arah berbeda karena titik pangkal yang berbeda. Dalam sistem koordinat kartesian, pembaca dengan mudah melihat bahwa vektor A ekivalen dengan: 3ax +2ay - az. Dan vektor B ekivalen dengan –2ax + 3ay - az.
  25. 25. MMR/KRU Koordinat Bola Elemen vektor perpindahan Elemen volume ϕθθ ddrdrdV sin2 = ϕθθ drrdrdld sin++= rr
  26. 26. MMR/KRU Transformasi Koordinat 1. Kartesius (x,y,z) ke Silinder (ρ, ϕ ,z) zz x y yx = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = += −1 22 tanϕ ρ zz yx yx AA AAA AAA = +−= += ϕϕ ϕϕ ϕ ρ cossin sincos
  27. 27. MMR/KRU Contoh Titik P terletak pada koord. kartesian (3, 4, 5), dan Vektor B = xax+yay terletak pada bidang kartesian xy. Tentukan : Koordinat titik P pada sistem koordinat Silinder Vektor B dalam koord. Silinder Besar dan arah B pada titik x=3 dan y=4
  28. 28. MMR/KRU Transformasi Koordinat 2. Kartesius (x,y,z) ke Bola (r, θ, ϕ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ++= − − z yx x y zyxr 22 1 1 222 tan tan θ ϕ ϕϕ θθϕθϕ θθϕθϕ ϕ θ cossin sincossincoscos cossinsinsincos yx zyx zyxr AAA AAAA AAAA +−= −+= ++=
  29. 29. MMR/KRU Contoh Titik P terletak pada koord. kartesian (3, 4, 5), dan Vektor E = (xax+yay+zaz)/(x2+y2+z2)3/2 Tentukan : Koordinat titik P pada sistem koordinat Bola Vektor E dalam koord. Bola
  30. 30. MMR/KRU Transformasi Koordinat 3. Silinder (ρ, ϕ ,z) ke Kartesius (x,y,z) zz y x = ⋅= ⋅= ϕρ ϕρ sin cos 00 sincos ϕϕ ϕρ ⋅−⋅= AAAx 00 cossin ϕϕ ϕρ ⋅+⋅= AAAy zz AA =
  31. 31. MMR/KRU Contoh Vektor A= 3aρ+4aϕ+5az berada pada sistem koordinat silinder dengan titik pangkal di (10,π/2,0) Tentukan penulisan vektor ini pada sistem koordinat kartesian
  32. 32. MMR/KRU Transformasi Koordinat 4. Bola ke Kartesius (x,y,z) θ ϕθ ϕθ cos sinsin cossin ⋅= ⋅⋅= ⋅⋅= rz ry rx ϕθθϕϕϕθ coscos0sincossin 00 ⋅⋅+⋅−⋅⋅= AAArAx 00000 sincoscossinsin ϕθϕϕθ θϕ ⋅⋅+⋅+⋅⋅= AAAA ry 00 sincos θϕθ ⋅−⋅= AArAz
  33. 33. MMR/KRU Contoh Vektor A=3ar+5aθ+4aϕ berada pada sistem koordinat bola dengan titik pangkal di (10,π/2,0) Tentukan penulisan vektor ini pada sistem koordinat kartesian

×