2021 年 5 月 15 日 (土) 麻布高等学校、教養総合、数学リレーの 5 回目の講義を担当しました。 「現実世界に活かす数学」という題目で、グラフ・漸化式から動的計画法というアルゴリズム設計技法の解説を行いました。 そして、数理モデル化によって現実世界のさまざまな問題が分野横断的に解決される様子を概観しました。

1. 現実世界に活かす数学
- グラフ, 漸化式から動的計画法へ -
NTT データ数理システム
大槻 兼資
(ペンネーム: けんちょん)
2021/5/15
@麻布学園
1

2. 今日の話
2
グラフ 漸化式
動的計画法
現実世界への応用
an+1 = 2an + 3
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3. • 2014年：東京大学大学院情報理工学系研究科
数理情報学専攻修士課程修了
自己紹介 (本業編)
• 2015年～：NTT データ数理システム
• 専門は数理工学全般
• アルゴリズム
• 探索, ネットワークなど
• 数理最適化
• シフトスケジューリングなど
• 機械学習
• チャットボットなど
http://www.dis.uniroma1.it/challenge9/download.shtml 3

4. 4
自己紹介 (趣味編)
(5月15日) (7 の形) (1234567890 で「コ」)
• 虫食算作り
• コミケなどにも出店
• 競技プログラミング
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５
×

5. 自己紹介 (趣味編)
(全部虫食い) (たのしい) (将棋: 美濃囲い)
• 虫食算作り
• コミケなどにも出店
• 競技プログラミング

6. 6
アルゴリズム本を出版
• 2021 年 IT エンジニア本大賞特別賞
• 「問題の解き方」を重視したアルゴリズムの入門書

7. 7
アルゴリズム本の章構成
第 1 章
アルゴリズムとは
第 2 章
計算量とオーダー記法
第 3 章
全探索
第 4 章
再帰と分割統治法
第 5 章
動的計画法
第 6 章
二分探索法
第 7 章
貪欲法
第 8 章
配列、連結リスト
ハッシュテーブル
第 9 章
スタックとキュー
第 10 章
グラフと木
第 11 章
Union-Find
第 12 章
ソート
第 13 章
グラフ探索
第 14 章
最短路問題
第 15 章
最小全域木問題
第 16 章
ネットワークフロー
第 17 章
P と NP
第 18 章
難問対策

8. 8
アルゴリズム本の章構成
第 1 章
アルゴリズムとは
第 2 章
計算量とオーダー記法
第 3 章
全探索
第 4 章
再帰と分割統治法
第 5 章
動的計画法
第 6 章
二分探索法
第 7 章
貪欲法
第 8 章
配列、連結リスト
ハッシュテーブル
第 9 章
スタックとキュー
第 10 章
グラフと木
第 11 章
Union-Find
第 12 章
ソート
第 13 章
グラフ探索
第 14 章
最短路問題
第 15 章
最小全域木問題
第 16 章
ネットワークフロー
第 17 章
P と NP
第 18 章
難問対策

9. アルゴリズムとは
• ある問題を解くための方法、手順のこと
• それを実装したものがプログラム
• 「入力」を入れると「出力」を返す装置
9
アルゴリズム
入力 出力

10. 10
アルゴリズムの例
カーナビ
地図
現在地
目的地
目的地へ
至る経路
単語検索
文書 文書に単語
が含まれるか
単語
数独
ソルバー

11. 11
数学で現実の問題を解くとは
数理モデル化
数学パズル
な問題
解
解釈・意思決定
アルゴリズム
数理最適化
機械学習

12. 12
現実の問題への数学の力
• AI や量子コンピュータなどの、分野の流行に依らない
一生モノのスキル
• むしろ AI を学ぶための強力な下地となる
グラフ
動的計画法
○○手法
電気 機械 化学 生物 経済 ○○
• さまざまな分野の問題が、数理モデル化によって
本質的に同じ問題になったりなる！

13. 今日の話
13
グラフ
現実世界への応用
an+1 = 2an + 3

14. 14
グラフ
• 物事の関係性を「丸」と「線」を用いて表したもの
• コンピュータサイエンスのあらゆる領域で使われる
頂点 辺

15. 15
• 辺に「向き」があることもある (有向グラフ)
グラフ

16. • あれもこれも実はグラフ！
• さまざまな分野の問題をグラフに関する問題として
見通よく汎用的に扱える！
16
数理モデル化の精神
グラフ

17. 例(1)：友人関係
• 頂点：人間
17
• 辺：友人関係
タスク例
A さんの友達の友達が
何人いるか求める

18. 例(2)：鉄道路線図
• 頂点：駅
18
• 辺：線路
タスク例
A 駅から B 駅への
最短経路を求める
(Dijkstra 法)

19. 例(3)：数独ソルバー
• 頂点：局面
19
• 辺：局面遷移
タスク例
数独の解を求める
(深さ優先探索)
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20. 例(4)：8パズルの最小手数
• 頂点：局面
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• 辺：局面遷移
タスク例
8パズルの
最小手数を求める
(幅優先探索)
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目標配置
初期配置

21. 例(5)：タスクの依存関係
• 頂点：タスク
21
• 辺：依存関係
タスク例
タスクの適切な順序
を決定する
(トポロジカルソート)
皿洗い
食事
帰宅 歯磨き
風呂
就寝

22. 例(6)：電気回路
• 頂点：素子
22
• 辺：導線
タスク例
有向グラフ (電流の向き考慮)
の有向閉路を検出

23. 例(7)：家系図
• 頂点：家族
23
• 辺：血縁関係
タスク例
A さんと B さんの
最近の共通祖先を求める

24. 例(8)：化学式
• 頂点：原子
24
• 辺：原子の結合
タスク例
CnH2n+2 の
異性体の個数を数え上げる
O
OH

25. 例(9)：しりとり
• 頂点：文字
25
• 辺：単語
タスク例
すべての単語を用いた
しりとりを見つける
(Euler 路)
d
DNA の部分系列の集まり
から全体を復元する問題
などに応用あり
g
dog
m
gram
good
dim
a
and
arm t
tea
team

26. 例(10)：マッチング
• 頂点：「男」と「女」
26
• 辺：恋愛対象
タスク例
最大で何組のペアを
作れるかを求める
(二部マッチング)
極めて多彩な応用あり

27. • あれもこれも実はグラフ！
• さまざまな分野の問題をグラフに関する問題として
見通よく汎用的に扱える！
27
数理モデル化の精神
グラフのすごさ (再掲)

28. • 数独ソルバー (by 深さ優先探索)
28
グラフを使って問題を解く例
• 迷路の最短路 (by 幅優先探索)

29. 29
深さ優先探索
• 数独ソルバーを作ることを考える
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E7%8B%AC

30. 30
深さ優先探索
• 数独を解く過程もグラフで表せる！
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• 矛盾するまで猛突猛進に突き進む / 矛盾したら戻る
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• 矛盾するまで猛突猛進に突き進む / 矛盾したら戻る
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3
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3
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2
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1 2
3
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1 2 3
2
3
2
2
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3
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2
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1
1 2
3
2
2
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2 2 3
1 2 3
2
3
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1
2
3
2
2
1
1
3
2
3
2
2
1
1
3 1 2

51. 51
深さ優先探索の動き
• 矛盾するまで猛突猛進に突き進む / 矛盾したら戻る
2
3
2
2
1
1
1 2
3
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2
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1
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3 2
3
2
2
1
1
3
1 2 3

52. 52
深さ優先探索の動き
• 矛盾するまで猛突猛進に突き進む / 矛盾したら戻る
2
3
2
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1 2
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3 2
3
2
2
1
1
3
1 2 3

53. 53
深さ優先探索の動き
• 矛盾するまで猛突猛進に突き進む / 矛盾したら戻る
2
3
2
2
1
1
1 2
3
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2
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2 2 3
1 2 3
2
3
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1
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1
3
2
3
2
2
1
1
3 2
3
2
2
1
1
3
1 2 3
終了！

54. 54
深さ優先探索の実応用
• 数独ソルバー
• https://github.com/drken1215/sudoku
• 虫食算ソルバーも同様に作れる
• コンピュータ将棋 AI の探索ルーチン
• makefile などのビルドシステム
• 動的計画法にもつながる
• ネットワークの輸送経路の確保
http://www.dis.uniroma1.it/challenge9/download.shtml

55. 深さ優先探索のポイント
• 「目の付け所」がとても大事！
• 探索順序を工夫したり…探索不要なところを見出したり
• 数独なら、選択肢が少なそう
なマスから順に考えるなど
加藤徹作、大駒誠一, 武純也, 丸尾学著 『虫食算パズル700選』 問 698

56. 56
幅優先探索
• 迷路の最短路を求めよう！
• スタート (S) からゴール (G) への最短経路は？

57. 57
幅優先探索
• 迷路の最短路を求めよう！
• スタート (S) からゴール (G) への最短経路は？
これもグラフ！
・マス目が頂点
・マス目の隣接が辺

58. 58
幅優先探索
• まず S から 1 手で行けるマスに「1」と書く

59. 59
幅優先探索
• 次に「1」から 1 手で行けるマスに「2」と書く

60. 60
幅優先探索
• 「2」から 1 手で行けるマスに「3」と書く

61. 61
幅優先探索
• 「3」から 1 手で行けるマスに「4」と書く

62. 62
幅優先探索
• 「4」から 1 手で行けるマスに「5」と書く

63. 63
幅優先探索
• 「5」から 1 手で行けるマスに「6」と書く

64. 64
幅優先探索
• 「6」から 1 手で行けるマスに「7」と書く

65. 65
幅優先探索
• 「7」から 1 手で行けるマスに「8」と書く

66. 66
幅優先探索
• 「8」から 1 手で行けるマスに「9」と書く

67. 67
幅優先探索
• 「9」から 1 手で行けるマスに「10」と書く

68. 68
幅優先探索
• 「10」から 1 手で行けるマスに「11」と書く

69. 69
幅優先探索
• 「11」から 1 手で行けるマスに「12」と書く

70. 70
幅優先探索
• 「12」から 1 手で行けるマスに「13」と書く

71. 71
幅優先探索
• 「13」から 1 手で行けるマスに「14」と書く

72. 72
幅優先探索
• 「14」から 1 手で行けるマスに「15」と書く

73. 73
幅優先探索
• 「15」から 1 手で行けるマスに「16」と書く
• これでゴール！！！

74. 74
幅優先探索
• ゴールから、「数値が 1 ずつ下がっていくように」
遡っていくと、最短経路が得られる

75. 75
幅優先探索の応用
• カーナビ
• 電車の乗り換え案内
• パズル (15-パズルなど) の最小手数

76. 76
最短経路問題 - 実応用に向けて
• 道路の長さも考慮
• ダイクストラ法などより高度なアルゴリズムへ
• 道路の交通状況も考慮
• 「ここを通ると嬉しい」というボーナスも
• ベルマンフォード法などより高度なアルゴリズムへ
• 街の構造なども利用して高速化したり

77. 今日の話
77
漸化式
現実世界への応用
an+1 = 2an + 3

78. 漸化式とは
前の数値から、次の数値を作る規則
• 数列には大きく分けて 2 つの見方がある
• 一般項 (一般的な規則性)
• 漸化式 (前の数値から次の数値への規則)
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
78

79. 一般項
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
例：
この数列を一般項としてみると…
n 番目は 3 × n 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
3×1
an = 3n
79

80. 一般項
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
例：
n 番目は 3 × n 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
3×2
an = 3n
この数列を一般項としてみると…
80

81. 一般項
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
例：
n 番目は 3 × n 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
3×3
an = 3n
この数列を一般項としてみると…
81

82. 一般項
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
例：
n 番目は 3 × n 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
3×4
an = 3n
この数列を一般項としてみると…
82

83. 漸化式
前の数値から、次の数値を作る規則
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
例：
漸化式としてみると…
a1 = 3
,
初項が 3
前の数に
3 を足していく
83
an = an−1 + 3

84. 漸化式
前の数値から、次の数値を作る規則
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
例：
a1 = 3
,
初項が 3
3,
漸化式としてみると…
84
前の数に
3 を足していく
an = an−1 + 3

85. 漸化式
前の数値から、次の数値を作る規則
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
例：
a1 = 3
,
初項が 3
3, 6,
+3
漸化式としてみると…
85
前の数に
3 を足していく
an = an−1 + 3

86. 漸化式
前の数値から、次の数値を作る規則
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
例：
a1 = 3
,
初項が 3
3, 6, 9,
+3 +3
漸化式としてみると…
86
前の数に
3 を足していく
an = an−1 + 3

87. 漸化式
前の数値から、次の数値を作る規則
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
例：
a1 = 3
,
初項が 3
3, 6, 9, 12,
+3 +3 +3
漸化式としてみると…
87
前の数に
3 を足していく
an = an−1 + 3

88. 漸化式
前の数値から、次の数値を作る規則
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
例：
a1 = 3
,
初項が 3
3, 6, 9, 12, 15, …
+3 +3 +3 +3
漸化式としてみると…
88
前の数に
3 を足していく
an = an−1 + 3

89. 三項間漸化式も
前の数値から、次の数値を作る規則
フィボナッチ数列
例：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
89
an = an−1 + an−2
a1 = 1
a2 = 1

90. 三項間漸化式も
前の数値から、次の数値を作る規則
フィボナッチ数列
例：
1, 1, 2
90
an = an−1 + an−2
a1 = 1
a2 = 1

91. 三項間漸化式も
前の数値から、次の数値を作る規則
フィボナッチ数列
例：
1, 1, 2, 3
91
an = an−1 + an−2
a1 = 1
a2 = 1

92. 三項間漸化式も
前の数値から、次の数値を作る規則
フィボナッチ数列
例：
1, 1, 2, 3, 5
92
an = an−1 + an−2
a1 = 1
a2 = 1

93. 三項間漸化式も
前の数値から、次の数値を作る規則
フィボナッチ数列
例：
1, 1, 2, 3, 5, 8
93
an = an−1 + an−2
a1 = 1
a2 = 1

94. 三項間漸化式も
前の数値から、次の数値を作る規則
フィボナッチ数列
例：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
94
an = an−1 + an−2
a1 = 1
a2 = 1

95. 漸化式をグラフで表す
例：
95
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
例：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
+3 +3 +3 +3 +3
3
an = an−1 + 3
an = an−1 + an−2
…

96. 漸化式をグラフで表す
例：
96
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
例：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
+3 +3 +3 +3 +3
3
an = an−1 + 3
an = an−1 + an−2
…
6

97. 漸化式をグラフで表す
例：
97
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
例：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
+3 +3 +3 +3 +3
3
an = an−1 + 3
an = an−1 + an−2
…
6 9

98. 漸化式をグラフで表す
例：
98
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
例：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
+3 +3 +3 +3 +3
3
an = an−1 + 3
an = an−1 + an−2
…
6 9 12

99. 漸化式をグラフで表す
例：
99
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
例：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
+3 +3 +3 +3 +3
3
an = an−1 + 3
an = an−1 + an−2
…
6 9 12 15

100. 漸化式をグラフで表す
例：
100
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
例：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
+3 +3 +3 +3 +3
3
an = an−1 + 3
an = an−1 + an−2
…
…
1
6 9 12 15
1

101. 漸化式をグラフで表す
例：
101
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
例：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
+3 +3 +3 +3 +3
3
an = an−1 + 3
an = an−1 + an−2
…
…
1 1
6 9 12 15
2

102. 漸化式をグラフで表す
例：
102
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
例：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
+3 +3 +3 +3 +3
3
an = an−1 + 3
an = an−1 + an−2
…
…
1 1
6 9 12 15
2 3

103. 漸化式をグラフで表す
例：
103
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
例：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
+3 +3 +3 +3 +3
3
an = an−1 + 3
an = an−1 + an−2
…
…
1 1
6 9 12 15
2 3 5

104. 漸化式をグラフで表す
例：
104
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
例：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
+3 +3 +3 +3 +3
3
an = an−1 + 3
an = an−1 + an−2
…
…
1 1
6 9 12 15
2 3 5 8

105. 道順を求めるやつも漸化式
105
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6
1 3 6 10 15 21
1 4 10 20 35 56
1 5 15 35 70 126

106. 道順を求めるやつも漸化式
106
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6
1 3 6 10 15 21
1 4 10 20 35 56
1 5 15 35 70 126

107. 今日の話
107
動的計画法
現実世界への応用
an+1 = 2an + 3

108. 動的計画法とは
108
問題を一連の部分問題に分割し、
各部分問題の解をメモ化しながら順に求めていく手法
• とても抽象的で汎用的でわかりにくい
• 適用範囲が広い
• 実はさっきの漸化式をグラフで解釈する方法に近い

109. 動的計画法の例題
109
足場を「ジャンプ」しながら左端から右端へ行きたい
AtCoder Educational DP Contest A - Frog
ただし「隣の足場」か「1 個飛ばしの足場」にのみ進める
ジャンプの所要時間は「足場の高さの差」
左端から右端までの最短所要時間を求めよ
4m 7m
7 - 4 = 3 秒！
3m

110. グラフの問題と考える
110
例:
0 1 2 3 4 5 6
7
2
5 1 4 5 4
4
3
1 9
足場を「ジャンプ」しながら左端から右端へ行きたい
AtCoder Educational DP Contest A - Frog
ただし「隣の足場」か「1 個飛ばしの足場」にのみ進める
ジャンプの所要時間は「足場の高さの差」
左端から右端までの最短所要時間を求めよ
・足場が 7 個
・(2, 9, 4, 5, 1, 6, 10)

111. 111
0
7
2
5 1 4 5 4
4
3
1 9
1 2 3 4 5 6
• ノード 0 からノード 6 への最短経路を求める！
グラフの問題と考える

112. 112
0
7
2
5 1 4 5 4
4
3
1 9
1 2 3 4 5 6
• ノード 0 からノード 6 への最短経路を求める！
• 答えは、2 + 1 + 1 + 4 = 8
グラフの問題と考える

113. 頂点 0 から順に求めていく
113
0
7
2
5 1 4 5 4
4
3
1 9
1 2 3 4 5 6
メモ

114. 頂点 0 への最小コスト (初期条件)
114
0
7
2
5 1 4 5 4
4
3
1 9
1 2 3 4 5 6
0
メモ

115. 頂点 1 への最小コスト
115
0
7
2
5 1 4 5 4
4
3
1 9
1 2 3 4 5 6
0
7
7
メモ
0 + 7 = 7

116. 頂点 2 への最小コスト
116
0
7
2
5 1 4 5 4
4
3
1 9
1 2 3 4 5 6
0 7
2
5
2
12 と 2 の小さい方
メモ

117. 頂点 3 への最小コスト
117
0
7
2
5 1 4 5 4
4
3
1 9
1 2 3 4 5 6
0 7
4
1
2 3
メモ
3 と 11 の小さい方

118. 頂点 4 への最小コスト
118
0
7
2
5 1 4 5 4
4
3
1 9
1 2 3 4 5 6
メモ
0 7
3
4
2 3 5
7 と 5 の小さい方

119. 頂点 5 への最小コスト
119
0
7
2
5 1 4 5 4
4
3
1 9
1 2 3 4 5 6
0 7
1
5
2
10 と 4
3 5 4
メモ

120. 頂点 6 への最小コスト
120
0
7
2
5 1 4 5 4
4
3
1 9
1 2 3 4 5 6
0 7
9
4
2
8 と 14
3 5 4 8
メモ

121. 動的計画法とは
121
• 問題を一連の部分問題に分割
• 頂点 0 へ至る最小コストを求める問題
• 頂点 1 へ至る最小コストを求める問題
• …
• 頂点 N-1 へ至る最小コストを求める問題
• メモ化しながら、各部分問題の解を順に求めた
問題を一連の部分問題に分割し、
各部分問題の解をメモ化しながら順に求めていく手法

122. やったことは漸化式の一種
122
an = min(an−1 + f(n − 1, n), an−2 + f(n − 2, n))
f(n-1, n)
f(n-2, n)
n-2 n-1 n
• いろんなグラフを考えると、いろんな問題が解ける！

123. 記号
123
• これからは次の記号を使う
• 動的計画法 (dynamic programming) を実際に
プログラミングするときは配列を使うことを意識
an dp[n]
an,m dp[n][m]
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10

124. 動的計画法は汎用的
• 動的計画法で解決できる問題は数多くある
• ナップサック問題
• スケジューリング問題
• 発電計画問題
• 編集距離
• 音声認識パターンマッチング問題
• 文章の分かち書き
• 隠れマルコフモデル
124
• ここでは代表的なパターンを 3 つ紹介！

125. 拙著の動的計画法の章
• 5 章 - 設計技法 (3)：動的計画法
125
• 5.1 動的計画法とは
• 5.2 動的計画法の例題
• 5.3 動的計画法に関連する諸概念
• 5.4 動的計画法の例 (1)：ナップサック問題
• 5.5 動的計画法の例 (2)：編集距離
• 5.6 動的計画法の例 (3)：区間分割の仕方を最適化
• 5.7 まとめ

126. パターン(1)：ナップサック問題
126
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 6 6 6 6 6 6 6 6
0 3 3 6 9 9 9 9 9 9 9
0 3 3 6 9 9 10
0 3 3 6 85
10 10 10 10
88 88 91 94 94 95
• こんなイメージの遷移
dp[0]
dp[1]
dp[2]
dp[3]
dp[4]

127. パターン(2)：編集距離
127
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
2
3
4
5
6
7
8
2
1
2
3
4
5
6
7
8
3
2
2
2
3
4
5
6
7
4
3
2
3
3
4
5
6
7
5
4
3
3
4
4
5
6
7
6
5
4
4
3
4
5
5
6
7
6
5
5
4
4
4
5
6
8
7
6
6
5
5
5
5
6
l
o
g
9
8
7
7
6
6
6
6
6
i
s
t
i
c
a l g o r i t h m
長さ 1
長さ 0
• こんなイメージの遷移

128. パターン(3)：区間分割
128
i 個
j 個
• こんなイメージの遷移

129. 3 つの代表的な遷移パターン
129
• ナップサック問題
• 編集距離
• 区間分割

130. ナップサック問題
130
N 個の品物があって、いくつか選びたい
各品物には「重さ」と「価値」の属性がある
選んだ品物の重さの合計が W を超えないようにしつつ
価値の総和を最大化せよ
https://www.msi.co.jp/nuopt/introduction/index.html

131. ナップサック問題
131
N 個の品物があって、いくつか選びたい
各品物には「重さ」と「価値」の属性がある
選んだ品物の重さの合計が W を超えないようにしつつ
価値の総和を最大化せよ
dp[i][w] ← N 個の品物のうち、最初の i 個のみ考える
その中から重さの合計が w を超えないようにしつつ
選んだときの価値の総和の最大値
最初の i 個についての問題 (部分問題)

132. ナップサック問題
132
dp[i+1][w] = max(dp[i][w],
dp[i][w-wei[i]] + val[i])
新たな品物を選ばない場合
新たな品物を選ぶ場合
重さ 価値
dp[i][w] ← N 個の品物のうち、最初の i 個のみ考える
その中から重さの合計が w を超えないようにしつつ
選んだときの価値の総和の最大値
• dp[i][0], dp[i][1], … を用いて、
dp[i+1][0], dp[i+1][1], … を表す

133. ナップサック DP の遷移
133
ナップサックに入れた重さ
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 個
1 個
2 個
3 個
4 個
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 6 6 6 6 6 6 6 6
0 3 3 6 9 9 9 9 9 9 9
0 3 3 6 9 9 10
0 3 3 6 85
10 10 10 10
88 88 91 94 94 95
• (重さ, 価値) = (3, 6), (1, 3), (2, 1), (5, 85) の場合

134. ナップサック DP の遷移のポイント
134
• N 個の要素をシーケンシャルに処理していくもの
• そのために必要な添字を適宜追加していく
dp[i][w]
部分問題のサイズ 遷移に必要な追加の添字
2 個
3 個
4 個
0 3 3 6 9 9 9 9 9 9 9
0 3 3 6 9 9 10
0 3 3 6 85
10 10 10 10
88 88 91 94 94 95

135. 例(1): サイゼリヤ問題
135
• 予算 1000 円で、最高何 kcal とれるか？
https://qiita.com/marusho_summers/items/a2d3681fac863734ec8a
• ナップサック問題そのもの
• ナップサックの容量が予算に対応：1000 円
• 品物の価値が、カロリーに対応
・ポテトのグリル
(199 円, 366 kcal)
・アーリオ•オーリオ
(574 円, 1120 kcal)
・ラージライス
(219 円, 454 kcal)
合計：992 円, 1940 kcal

136. 例(2): 隠れマルコフモデル
136
• 系列データを「潜在変数」のマルコフ連鎖で表すもの
追加の添字 i+1 番目の状態が i 番目のみに依る
• 前回の状態によって、次回の各状態の起こりやすさが
変化する
https://mathwords.net/hiddenmarkov
風邪 or 元気
からなる系列データ

137. 例(2): 隠れマルコフモデル
137
• 系列データを「潜在変数」のマルコフ連鎖で表すもの
追加の添字 i+1 番目の状態が i 番目のみに依る
• 潜在変数の最も確からしい経路を求める Viterbi のアル
ゴリズムは、ナップサック DP とほとんど同じもの
• 音声認識
• 品詞分析
• 株価の変動予測
さまざまな応用

138. 例(3): パネルの長さを揃える
138
さまざまな長さのパネルがたくさん並んでいる
それをいくつかのグループに分ける
各グループのパネルの長さの総和をなるべく揃えたい
実際にはパネルの幅も考慮

139. 139
• どのグループの長さも「許される上限」以下とする
• 最短のグループの長さを、最大化する
dp[i][j] ← 最初の i 枚のパネルについて考える
現在形成中のグループの長さが j であるとした場合の
現在までに形成されたグループの長さの最小値
この長さが j
…
例(3): パネルの長さを揃える

140. 3 つの代表的な遷移パターン
140
• 編集距離

141. 編集距離
141
2 つの文字列 S, T がある
S に以下の 3 通りの操作を繰り返すことで T に変換したい
・変更： S の文字を 1 つ選んで変更
・削除： S の文字を 1 つ選んで削除
・挿入： S の好きな箇所に好きな文字を 1 文字挿入
最小回数を求めよ
例:
S = logistic
T = algorithm
→ 6 回

142. 二系列の DP
142
例:
S = logistic
T = algorithm
→ 6 回
dp[i][j] ← S の最初の i 文字と、T の最初の j 文字との
間についての操作回数の最小値

143. 編集距離を求める DP の遷移
143
dp[i][j] ← S の最初の i 文字と、T の最初の j 文字との
間についての操作回数の最小値

144. 応用が広く、分野横断的！
144
• diff コマンド
• 音声認識、画像認識、空間認識
• DP マッチング
• 二系列データの類似度を考える問題全般に適用
• スペルチェッカー
• バイオインフォマティクス
• 系列アラインメント (2 つの DNA の類似度を測るなど)
• 手書き文字認識

145. 3 つの代表的な遷移パターン
145
• 区間分割

146. 区間分割
146
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
• 系列データをいくつかの区間に分ける
• 区間分割の仕方を最適化したい

147. 区間分割を扱う DP
147
i 個
dp[i] ← 最初の i 個をいくつかの区間に区切る方法の
「良さ」の最大値 (i 個目のところで一旦区切るとする)

148. 区間分割を扱う DP
148
i 個
j 個
計算量は大きくなりがち
さまざまな高速化手法あり
dp[i] = min_{j = 0, 1, …, i-1}(dp[j] + f(j, i))
dp[j] dp[i]

149. 例(4): 分かち書き
149
http://chasen.naist.jp/chaki/t/2009-09-30/doc/mecab-cabocha-nlp-seminar-2009.pdf
僕は君を愛している
僕 は 君 を 愛し て いる
単語ごとに区切る

150. 例(5): 発電計画問題
150
• 発電の on と off のタイミングを最適化する
on off on off
• 需要供給バランスの考慮などもあって、各区間のコス
ト関数 f(i, j) はとても複雑なものになる
• 「～時間以上連続稼働」といった制約も考慮

151. 例(6): タイムスケジューリング
151
• お客さまを順に回る配送 (配送順序は固定)
• 「何時から何時の間に届けてほしい」
• 「～分間に 1 回は休憩が必要」という制約もある
→ どこで休憩をとるかを最適化
休憩場所ごとに区切る

152. 152
数学で現実の問題を解く (再掲)
数理モデル化
数学パズル
な問題
解
解釈・意思決定
アルゴリズム
数理最適化
機械学習

153. 全体のまとめ
153
• さまざまな分野の問題が、
数理モデル化によって本質
的に同じ問題に！
• 数学は分野の流行によら
ない、一生モノのスキル
グラフ
動的計画法
○○手法
電気 機械 化学 生物 経済 ○○