[1] O documento discute o ciclo de modelagem matemática proposto por Mario Bunge e a necessidade de reduzir a complexidade da realidade ao se construir modelos. [2] Apresenta o debate entre o pensamento reducionista de René Descartes e o pensamento complexo de Edgard Morin, argumentando que a redução e a complexidade podem ser complementares durante a modelagem matemática. [3] O objetivo é propor reflexões sobre como simplificar sem deixar de ter um pensamento complexo da realidade, analisando a aparente contradi

1. X ENCONTRO PARAENSE DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Belém – 400 Anos: História, Educação e Cultura
Belém – Pará - Brasil, 09 a 11 de setembro de 2015
ISSN 2178-3632
MODELAGEM NO ENSINO DE CIÊNCIAS, REDUZIR NA
COMPLEXIDADE OU SER COMPLEXO NA REDUÇÃO?
Ednilson Sergio Ramalho de Souza 1
RESUMO
As pesquisas em modelagem matemática apontam a mesma como relevante quando se quer
compreender, analisar e agir frente àquilo que consideramos realidade. Dentre os diferentes ciclos de
modelagem que podemos encontrar na literatura da área, destacamos o ciclo de Mario Bunge como
importante em ciências. Esse ciclo inicia com a elaboração de um esquema simplificado do fato ou
coisa compreendido como real, chamado de objeto-modelo. Mas o objeto-modelo precisa ser inserido
em uma teoria geral para que possa gerar explicações e previsões, momento em que obtemos o
modelo teórico; isto é, um sistema hipotético-dedutivo que teoriza o objeto-modelo. Tal ciclo
pressupõe que se façam recortes no problema em contexto para que suas fases sejam efetivadas na
prática de sala de aula, uma vez que não se modela um problema em sua totalidade, por isso são
necessárias reduções. Surge agora nosso problema de investigação: sendo os recortes imperativos à
modelagem de qualquer situação real e sendo a modelagem do real um ambiente favorecedor do
pensamento complexo, como podemos reduzir e, ao mesmo tempo, manter um pensamento
totalizante da realidade em estudo? Nosso objetivo nesse artigo é tão somente propor reflexões
filosóficas sobre a possibilidade de simplificar sem deixar de ser complexo ou ser complexo na
redução necessária ao ciclo de modelagem matemática. Argumentaremos que reducionismo e
complexidade podem ser procedimentos complementares durante a modelagem de situações reais.
Nesse olhar, não se trata em considerar que reduzir significa ser simplista ou que um olhar complexo
significa perceber o todo em sua unicidade. O que vamos defender é que, pelo menos em modelagem
matemática, a fragmentação é necessária, bem como a sistematização.
Palavras-chave: Modelagem matemática. Ensino de ciências. Redução. Complexidade.
REPAROS INICIAIS
As pesquisas em modelagem matemática apontam a mesma como relevante quando
se quer compreender, analisar e agir frente àquilo que consideramos realidade. Dentre os
diferentes ciclos de modelagem que podemos encontrar na literatura da área, destacamos o
ciclo de Mario Bunge (2013b) como importante em ciências. A figura 1 mostra de forma
esquemática tal ciclo.
1
Docente da Universidade Federal do Oeste do Pará – UFOPA, Campus Santarém. E-mail: ednilson.souza@ufopa.edu.br.

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Figura 1. Ciclo de modelagem de Mario Bunge (Fonte: Autor).
O ponto de partida é a realidade, especificamente, um fato ou coisa que possuem
existência independente de nossa ação, mas que pertencem a nossa realidade. A intenção é
compreender esse fato ou coisa a fim de agir sobre ele. Mas, tendo em vista sua
complexidade, não podemos atuar diretamente sobre o real. Precisamos elaborar modelos
para isso. Os modelos são aproximações, representam porções da realidade. Bunge (2013b)
argumenta que,
Para apreender o real começa-se por afastar-se da informação. Depois, se
lhe adicionam elementos imaginários (ou antes hipotéticos) mas com uma
intenção realista. Constitui-se assim um objeto-modelo mais ou menos
esquemático e que, para frutificar deverá ser enxertado sobre uma teoria
suscetível de ser confrontada com os fatos (p. 16).
A elaboração do objeto-modelo é o primeiro momento significativo no ciclo de
modelagem de M. Bunge. Um exemplo prático de objeto-modelo é quando reduzimos um
carro de fórmula I a um objeto com apenas um aerofólio, apenas um pneu com propriedades
específicas correndo em uma pista ideal também com propriedades específicas e então o
estudamos e fazemos previsões sobre seu movimento (BERNARDO, MANNRICH e
BATISTA, 2013). Mas esse modelo hipersimplificado de nada vai servir se não pudermos
descrevê-lo em detalhes de acordo com leis gerais conhecidas. Ou seja, temos que construir
uma teoria específica do objeto-modelo, ou seja, um modelo teórico.
Bunge (2013b) diferencia teoria geral de teoria específica. A Mecânica Clássica é
uma teoria geral, mas a Física das Partículas é uma teoria específica. Entretanto, toda teoria
específica tem origem em uma teoria geral. Se a teoria geral ainda não existe, então o
modelador deve criar uma. Foi o que aconteceu com a Teoria da Relatividade de Einstein,
uma teoria geral criada pelo gênio no século XX.

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O segundo momento significativo no ciclo de modelagem de M. Bunge é a
elaboração do modelo teórico. “Um modelo teórico é uma sistema hipotético-dedutivo que
concerne a um objeto-modelo, que é, por sua vez, uma representação conceitual esquemática
de uma coisa ou de uma situação real ou suposta como tal” (BUNGE, 2013b, p. 16) (Grifos
do autor). Um modelo teórico é um corpo de ideias no seio do qual encaixamos o objeto-
modelo, de modo que se possam estabelecer relações dedutivas. Ele tece uma rede de
equações em torno de cada objeto-modelo: “uma vez concebido um modelo da coisa, a gente
a descreve em termos teóricos, servindo-se para tanto de conceitos matemáticos (tais como
o de conjunto e probabilidade) e procurando enquadrar o todo em um esquema teórico
compreensivo” (BUNGE, 2013b, p. 18). Em resumo, esse é o momento do ciclo de
modelagem de Bunge em que ocorre a elaboração de modelos matemáticos.
Interessante notar que o ciclo de modelagem de Bunge (Figura 1) descreve o
processo de modelagem científica realizada por cientistas e foi obtido por meio da análise
histórica da evolução da ciência. Estamos propondo-o como ciclo de modelagem pedagógica
no ensino de ciências. Isso nos leva a levantar diversas questões de ordem didático-
pedagógica, principalmente no que diz respeito a sua real efetividade em sala de aula.
Contudo, não iremos nos aprofundar nesse assunto, mas vamos analisar um ponto específico
do ciclo: a necessidade de simplificar a realidade para a construção do objeto-modelo.
Enquanto seres humanos que somos é impossível modelar um problema real em
toda sua extensão, mesmo se fossemos capazes disso, talvez não existissem computadores
potentes o suficiente para processar os dados produzidos. Por isso é que se faz necessário
recortar ou simplificar a realidade investigada a fim de que esta fique passível de ser
modelada. Por outro lado, ao ter problemas da realidade como tema de investigação, o
modelador se vê inserido em uma porção de conhecimentos que não ocorrem separados
como são apresentados nos livros didáticos, mas surgem interligados, sem limites ou
fronteiras bem estabelecidas, forçando-o a um pensamento sistêmico ou complexo (MORIN,
2007).
A necessidade de fragmentar para melhor conhecer a “verdade” já foi defendida no
século XVI por René Descartes (1596-1650). O método cartesiano influenciou sobremaneira
o desenvolvimento da Ciência Moderna e ainda hoje pode ser percebido quando se fala no
rigor do método científico. Nessa visão, o recorte necessário à modelagem de uma realidade
é plenamente apoiado pelas ideias cartesianas.

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Porém, a chamada fragmentação do saber, mola impulsionadora do reducionismo
cartesiano, mesmo outrora tendo sido útil, parece não mais ser tão eficaz para os dias
contemporâneos. O atual mundo globalizado, principalmente com o advindo das tecnologias
da informação, não sustenta mais um pensamento puramente cartesiano. O homem da era
digital, agora interligado pela Web, mesmo fazendo recortes no real, precisa ter um
pensamento de totalidade, um pensamento sistêmico, ou hologramático (MORIN, 2007).
Surge agora nosso problema de investigação: sendo os recortes imperativos à
modelagem de qualquer situação real e sendo a modelagem do real um ambiente
favorecedor do pensamento complexo, como podemos reduzir e, ao mesmo tempo, manter
um pensamento totalizante da realidade em estudo? Nosso objetivo nesse artigo é tão
somente propor reflexões filosóficas sobre a possibilidade de simplificar sem deixar de ser
complexo ou ser complexo na redução necessária ao ciclo de modelagem matemática (Figura
1).
Começaremos fazendo uma mancha teórica sobre Reducionismo e Complexidade
na visão de René Descartes e Edgard Morin, respectivamente. Passaremos então a refletir
sobre a aparente contradição desses dois aspectos (Reducionismo e Complexidade) bastante
presentes na modelagem de situações-problema. Finalizaremos com discussões didáticas
relativas ao ensino e aprendizagem de ciências.
O PENSAMENTO DEDUTIVO DE RENÉ DESCARTES VERSUS PENSAMENTO
COMPLEXO DE EDGARD MORIN
René Descartes, filósofo francês do século XVI, foi um dos principais expoentes da
ciência desse século e suas ideias ainda hoje ecoam no fazer científico moderno. O método
proposto por Descartes para conduzir a razão e buscar a verdade nas ciências consiste em
decompor o composto em partes mais simples, estudá-las e recompô-las sem desvios que
prejudiquem a verdade almejada (NEVES, 2007). Para isso, ele seguiu alguns procedimentos
que, em suas próprias palavras:
O primeiro era não aceitar jamais alguma coisa como verdadeira que eu não
conhecesse evidentemente como tal: isto é, evitar cuidadosamente a
precipitação e a prevenção, e nada incluir em meus julgamentos senão o que
se apresentasse de maneira tão clara e distinta a meu espírito que eu não
tivesse nenhuma ocasião de colocá-lo em dúvida.

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O segundo, dividir cada uma das dificuldades que eu examinasse em tantas
parcelas possíveis e que fossem necessárias para melhor resolvê-las.
O terceiro, conduzir por ordem meus pensamentos, começando pelos objetos
mais simples e mais fáceis de conhecer, para subir aos poucos, como por
degraus, até o conhecimento dos mais compostos, e supondo mesmo uma
ordem entre os que não se precedem naturalmente uns aos outros.
E o último, fazer em toda parte enumerações tão completas, e revisões tão
gerais, que eu tivesse a certeza de nada omitir.” (Neves, 2007, p. 54).
Os procedimentos descritos acima podem ser “observados” no decorrer do ciclo de
modelagem da figura 1. Neste, a realidade é necessariamente decomposta em porções
menores para que possamos analisar o problema em contexto e formular um problema
matemático. Dentro de cada porção é feita uma avaliação de como as variáveis relacionam-
se entre si e com o fato observado a fim de propormos resultados matemáticos. Durante a
modelagem do fenômeno é preciso despojar-se de nossos ídolos (BACON, 1620) para que
os dados observados sejam próximos àquilo que entendemos por realidade. Entretanto, é
necessário que o modelador faça uma análise global da situação, remontando as porções
menores para que seja garantida a síntese dessas partes durante a análise dos resultados
dentro problema em contexto.
Destarte, o método proposto por Descartes pode ser entendido como um
procedimento dedutivo, quer dizer, um processo que procura reduzir o que é complexo (no
sentido de composto) em partes menores, para que estas possam ser estudadas
detalhadamente, especificamente. Esse processo segue uma direção que vai do geral para o
simples, ou seja, segue o paradigma da especialização. Para Descartes é possível separar o
sujeito do objeto pesquisado. Porém, o próprio filósofo alerta para o fato de se fazer “revisões
gerais” para ter certeza que a (re)união das partes mais simples corresponderá novamente ao
objeto composto. Percebe-se que esse processo se assemelha a um pensamento sistêmico.
Para Edgar Morin (2007) é preciso manter ligações entre as partes e o todo. A
análise de partes isoladas de um fenômeno é basilar para aprofundarmos nosso conhecimento
a respeito de uma situação geral (composta de partes menores), mas é imperiosa a
necessidade de observar vínculos entre as partes e o todo. Morin propõe a valorização, de
forma equilibrada, dos vários elementos que fazem parte de um conjunto, destacando haver
vínculos entre as singularidades, quer dizer, para este autor não se pode separar o sujeito e o
objeto do conhecimento.
Neste ponto da discussão sobre a relação sujeito-objeto pensamos salutar deixar
nosso ponto de vista explicitado, mesmo não sendo esse o foco do embate aqui travado.

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Concordamos com Bunge (2013a, 2013b) quando este argumenta que a realidade (objeto)
existe independente do sujeito (homem), contudo o homem não pode apreender a realidade
em toda sua complexidade, por isso ele faz modelos aproximativos desta. E nesse ato de
modelar a realidade complexa e objetiva o homem, que é um ser naturalmente subjetivo,
acaba modelando a sua realidade, que passa a ser subjetiva. Mas o fato da realidade ser
subjetiva para o homem não significa que ela dependa deste para existir. Acreditamos que é
preciso romper com certas crenças surgidas com o advento da mecânica quântica,
principalmente no que diz respeito à relação sujeito-objeto. Talvez com a reformulação da
mecânica quântica apregoada por M. Bunge possamos avançar nessa questão.
E. Morin propõe três princípios para a aprendizagem pela religação. O primeiro é o
circuito recursivo ou autoprodutivo. “Este circuito implica num processo no qual efeitos e
produtos são necessários à sua produção e à sua própria causação" (p. 66). A ideia cardinal
deste princípio é considerar a causalidade como uma espiral e não de forma linear. Outro
princípio é o da dialógica. “É preciso, em certos casos, juntar princípios, ideias e noções que
parecem opor-se uns aos outros” (p. 66). O princípio dialógico é necessário para colocar
frente a frente realidades profundas que unem verdades aparentemente contraditórias. Por
fim, o terceiro princípio da aprendizagem pela religação proposto por E. Morin é o
hologramático.
Denominei hologramático o terceiro princípio, em referência ao ponto do
holograma que contém a quase totalidade da informação da figura
representada. Não apenas a parte está no todo mas o todo está na parte. Do
mesmo modo a totalidade do nosso patrimônio genético está contida no
interior de cada célula do corpo. A sociedade, entendida como um todo,
também se encontra presente em nosso próprio interior, porque somos
portadores de sua linguagem e de sua cultura. (MORIN, 2007, p. 66).
A nosso entender, esse princípio representa o coração do pensamento complexo.
Feita essa pintura suave sobre as ideias de René Descartes e Edgard Morin, passaremos a
fazer algumas reflexões filosóficas, sobre nossa questão de investigação.
REDUZIR NA COMPLEXIDADE OU SER COMPLEXO NA REDUÇÃO?
René Descartes foi o filósofo que trouxe a ideia de compartimentar um objeto de
estudo para melhor conhecer suas propriedades. O chamado método reducionista cartesiano
fundamentou boa parte do desenvolvimento da Ciência Moderna e impulsionou descobertas

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e criações científicas. No entanto, com o passar dos anos, a humanidade alcançou um nível
globalizado de desenvolvimento científico tal que o pensamento reducionista puro já não é
capaz de responder aos anseios de um mundo em rede. Surge então a necessidade de
compreender o local sem perder de vista o total, ou compreender o total sem perder de vista
o local. Tais ideias encontram substância no pensamento complexo de Edgard Morin.
Já comentamos sobre a necessidade de simplificar aquilo que consideramos real
tendo por objetivo sua modelagem matemática. Argumentamos também que não podemos
simplesmente fazer recortes sem perder de vista o todo recortado. Argumentamos ainda que
a modelagem pode ser comparada ao método dedutivo cartesiano ao analisar uma realidade
e relacionar as variáveis envolvidas para a produção de um modelo.
Rodney Bassanezi (2004), um dos precursores da modelagem matemática enquanto
ambiente de ensino e aprendizagem, faz algumas reflexões interessantes com relação a
questão de reduzir sem deixar o complexo. Para ele, a modelagem consiste “na arte de
transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando
suas soluções na linguagem do mundo real” (p. 16). O autor alerta para o problema de
considerar, durante a modelagem, partes isoladas de um sistema complexo prescindindo das
inter-relações das subunidades.
Quando modelamos um sistema complexo, considerando partes isoladas
desse sistema e ignorando as inter-relações dos submodelos, podemos obter
um conjunto de modelos válidos do ponto de vista microscópico (para cada
porção isolada) mas que, globalmente, pode não representar o sistema
complexo (p. 23).
Nessa visão, o imperativo da simplificação não pressupõe exclusão do imperativo
hologramático quando se deseja modelar certa realidade. Porém, é muito comum,
provavelmente por que seja mais fácil, realizar o ciclo de modelagem apresentado na figura
1 sem se importar em manter os laços entre as partes do problema em contexto. Nesse caso,
o resultado matemático produzido (modelo matemático) a partir da investigação da porção
isolada da situação será um modelo hermético, isto é, sem elos ou laços com outros modelos.
Bassanezi (2004) refere-se ao ambiente de modelagem como sendo capaz de
promover o pensamento complexo ou hologramático afirmando que,
“(...) é também nessa capacidade de estabelecer relações entre os campos da
matemática e os outros, evitando reproduzir modos de pensar estanques
fracionados, que, a nosso ver, está o futuro da formação de novos quadros
de professores e pesquisadores, prontos a enfrentar o desafio de pensar a
unidade na multiplicidade” (p. 15) (Grifos do autor).

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Assim, durante (e não após) a “decomposição” do problema em contexto em partes
menores, o modelador deveria estar atento para fazer as inter-relações necessárias entre os
submodelos, a fim de que se possa encontrar um modelo que procure representar, mesmo
que aproximadamente, o recorte da realidade analisada.
Entendemos que não basta somente observar um aspecto particular de uma situação
real para se proceder a sua modelagem. É importante perceber os vínculos existentes entre a
situação particular e a situação mais geral e, a partir daí, proceder à modelagem tendo-se em
vista esses elos. Nesse sentido, o modelador precisa ter uma “visão” que “fortaleça” ligações
entre a parte e o todo, ele deve “ver” o fenômeno a ser modelado sob a ótica da (re)ligação,
da transdisciplinaridade; ou seja, não somente como parte ou somente como todo, mas como
“parte-no-todo” ou “todo-na-parte”.
Portanto, ao se proceder à análise das partes menores da situação real, ao se fazer
relações entre as variáveis envolvidas em busca do modelo matemático, é importante
considerar as partes como complementares de um sistema integrado. Reducionismo e
Complexidade podem ser, em uma única palavra, complementares no âmbito da modelagem
matemática. Nessa visão, fragmentar não significa deixar de ser complexo, assim como
sistematizar não significa deixar de fragmentar. É com essa visão complementar que
propomos sejam orientadas didaticamente as atividades de modelagem no ensino de
Ciências.
FINALIZANDO, MAS NÃO ACABANDO
A essa altura do texto acreditamos já ter respondido nossa questão de investigação,
a relembrar: sendo os recortes imperativos à modelagem de qualquer situação real e sendo a
modelagem do real um procedimento que exige um pensamento complexo, como podemos
fragmentar e, ao mesmo tempo, manter um pensamento totalizante da realidade em estudo?
Vimos que Reducionismo e Complexidade podem ser procedimentos
complementares durante a modelagem de situações reais. Nesse olhar não se trata de dizer
que reduzir significa ser simplista ou que um olhar complexo significa perceber o todo em
sua unicidade. O que estamos defendendo é que, pelo menos em modelagem matemática, a
fragmentação é necessária, bem como a sistematização.

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Acreditamos ter alcançado, ao menos em parte, nosso objetivo principal que foi
propor reflexões filosóficas sobre a possibilidade de fragmentar sem deixar de ser complexo
ou ser complexo sem fragmentar durante a modelagem em ciências. Porém, algumas
questões ainda ficaram pendentes de reflexões para um próximo artigo: Considerando a
fragmentação e a complexidade atos complementares e necessários durante o ciclo de
modelagem, qual a influência desse pensamento complementar na prática efetiva de sala de
aula? Como os alunos reagiriam a uma filosofia desse tipo? E o professor, como ele se
comportaria? Qual a influência sobre os conteúdos estudados?
REFERÊNCIAS
BACON, F. Novo organum. Disponível em:
<http://www.ebooksbrasil.org/eLibris/norganum.html.> Acesso em 14 de agosto de 2015.
BERNARDO, F. L.; MANNRICH, J. P.; BATISTA, A. A modelização em um projeto
temático de física à luz de Mario Bunge. In: IX ENCONTRO NACIONAL DE PESQUISAS
EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS, Atas..., Águas de Lindóia, São-Paulo, 10 a 14 nov. 2013.
BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova
estratégia. 2 ed. São Paulo: Contexto, 2004.
BUNGE, M. Física e filosofia. Gita K. Guinsburg. São Paulo: Perspectiva, 2013a.
____. Teoria e realidade. Tradução: Gita K. Guinsburg. São Paulo: Perspectiva, 2013b.
MORIN, E. Educação e complexidade: os sete saberes e outros ensaios. 4 ed. São Paulo:
Cortez, 2007.
NEVES, P. Descartes: O Discurso do Método. Porto Alegre: L & PM, 2007.
Agradecimento: Agradeço aos professores doutores Silvia Nogueira Chaves, Carlos Aldemir
Farias da Silva e Iran Abreu Mendes pelas reflexões por ocasião da disciplina Bases
Epistemológicas da Ciência no Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e
Matemática-Doutorado, da Rede Amazônica de Educação em Ciências e Matemática,
resultando no presente artigo.