3. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
1. ÂNGULO
2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
Ângulo nulo: α = 0o
(lados coincidentes)
α = 360o
Ângulo de 1 volta:
Mesmo vértice e um lado
comum entre os lados não
Ângulos adjacentes: comuns
Mesmo vértice e, dois a dois, um
Ângulos consecutivos: lado comum.
5. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
1. ÂNGULO
3) ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS
E UMA TRANSVERSAL.
t
b a r
c
d
f e s
g Correspondentes: a e e; d e h; b e f; c e g.
h
Opostos pelo vértice: a e c; b e d; e e g; f e h.
Alternos internos: d e f; c e e.
Alternos externos: a e g; b e h.
Colaterais internos: d e e; c e f.
Colaterais externos: a e h; b e g.
6. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
1. ÂNGULO
Questão 3:
(UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça
parte do suplemento deste ângulo. Este ângulo mede:
a) 45o
b) 48o 30’
c) 56o 15’
d) 60o
e) 78o 45’
7. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
1. ÂNGULO
Questão 3:
Solução:
O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do
suplemento deste ângulo.
1 630º 8
3.(90 − x) = .(180 − x)
3 6º 78º
x 60’
1
270 − 3 x = .(180 − x) 360º 8
3
0 45’
810 − 9 x = 180 − x
8 x = 630
x = 78o 45'
8. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
1. ÂNGULO
Questão 13:
(UF-ES) Se as retas r e s da figura abaixo são paralelas então
3α + β vale:
a)225o
b)195o
c)215o
d)1750
e)1850
10. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
1. ÂNGULO
Questão 16:
(UF-MG) Na figura, AC = CB = BD e A = 25o. O ângulo x mede:
a)50o
b)60o
c)70o
d)75o
e)80o
11. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
1. ÂNGULO
Questão 16:
Solução:
AC = CB = BD
50º
50º
130º
80º
25º 75º
12. COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS
GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS
1) POLÍGONOS CONVEXOS E NÃO-CONVEXOS
CONVEXO NÃO-CONVEXO
13. COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS
GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS
2) SOMA DOS ÂNGULOS
n=3 1 x 180º Si = 180º
n=4 2 x 180º Si = 360º
n=5 3 x 180º Si = 540º
Si = (n – 2).180o
14. COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS
GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS
2) SOMA DOS ÂNGULOS
α γ
β α
γ
β
Se = 360o
15. COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS
GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS
3) NÚMERO DE DIAGONAIS
no de diagonais determinadas a partir
de 1 vértice: (n – 3)
no de diagonais de um polígono c/ n lados:
n.(n − 3)
d=
2
16. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS
Questão 2:
(CESCEM-adaptada) Se ABCDE é um polígono regular, então
a soma dos ângulos assinalados na figura é:
a) 90o
b)120o
c)144o
d)154o
e)180o
17. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS
Questão 2: Si = (n − 2).180 o
Solução: Si = (5 − 2).180o
Si = 540o
180º – C – E
180º – B – D
180º – A – D 180º – A – C
180º – B – E
180 – A – C + 180 – B – D + 180 – C – E + 180 – A – D + 180 – B – E =
540
2A + 2B + 2C + 2D + 2E = 360
2.(A + B + C + D + E) = 360
18. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS
Questão 4:
(ESAF/2006) Em um polígono de n lados, o número de
diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual
ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é
igual a:
a) 11
b)12
c)10
d)15
e)18
19. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS
Questão 4:
Solução:
O número de diagonais determinadas a partir de um de seus
vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono.
Diagonais a partir de um dos vértices: (n – 3)
Diagonais de um hexágono:
n.(n − 3) Então:
d=
2 n–3=9
6.(6 − 3) n = 12
d=
2
d =9
20. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS
Questão 6:
No hexágono ABCDEF abaixo, a medida do ângulo ABC é o
quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um
ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA.
a)100o
b)110o
c)120o
d)130o
e)140o
21. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS
Questão 6:
Solução:
A medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo
EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas
bissetrizes de ABC e EFA.
5x + 160 + 120 + 90 + 150 = (6 – 2).180
5x + 520 = 720
4x 5x = 200
x x = 40
22. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS
Questão 6:
Solução:
A medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo
EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas
bissetrizes de ABC e EFA.
5x + 160 + 120 + 90 + 150 = (6 – 2).180
80º
5x + 520 = 720
5x = 200
20º α x = 40
α + 20 + 160 + 80 = 360
α = 100º
23. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS
Questão 8:
Solução:
75º
110º
24. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS
Questão 8:
Na figura seguinte, o valor de α é:
a) 90o
b) 95o
c) 100o
d) 110o
e) 120o
25. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
1) CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
Em todo triângulo, qualquer lado é menor que a soma e
maior que a diferença entre os outros dois.
b c
a
|b - c| < a < b + c
26. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
2) ELEMENTOS
Altura: é o segmento de reta que liga um vértice ao lado oposto,
perpendicularmente.
Bissetriz interna: é a semi-reta que divide o ângulo em dois
ângulos de medidas iguais.
27. AB AC
BP
=
PC EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
2) ELEMENTOS
Observação: Teorema da Bissetriz Interna.
A bissetriz interna de um triângulo determina sobre o lado
oposto dois segmentos proporcionais aos outros dois lados.
A
AB AC
=
BP PC
B P C
28. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
2) ELEMENTOS
Mediana: é o segmento de reta que liga um vértice ao ponto
médio do lado oposto.
Mediatriz: é a reta perpendicular a um lado, que o divide em dois
segmentos de mesma medida.
29. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
2) ELEMENTOS
Baricentro: é o ponto de interseção das medianas.
OBSERVAÇÃO: O baricentro divide cada mediana na razão 2/3
a partir do vértice.
30. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
2) ELEMENTOS
Incentro: é o ponto de interseção das bissetrizes.
OBSERVAÇÃO: O incentro é o centro da circunferência inscrita
no triângulo. Assim, o incentro é eqüidistante dos lados do
triângulo.
31. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
2) ELEMENTOS
Circuncentro: é o ponto de interseção das mediatrizes.
OBSERVAÇÃO: O circuncentro é o centro da circunferência
circunscrita ao triângulo. Assim o circuncentro é eqüidistante dos
vértices do triângulo.
32. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
2) ELEMENTOS
Ortocentro: é o ponto de interseção das alturas.
33. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
2) ELEMENTOS
OBSERVAÇÃO: Os três pontos de interseções, baricentro,
circuncentro e ortocentro, de uma maneira geral são pontos
distintos. Mas em qualquer triângulo, eles estão alinhados
(Reta de Euller).
Se o triângulo for eqüilátero, os quatro pontos (baricentro,
incentro, ortocentro e circuncentro) são coincidentes.
34. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
2) ELEMENTOS
35. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dois triângulos são semelhantes quando possuem lados
homólogos* proporcionais e ângulos respectivamente de
mesmas medidas.
*
lados homólogos: são lados opostos a ângulos iguais.
36. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
3 cm
2 cm
45o 60o 45o 60o 50o 3 cm 50o 4,5 cm
8 cm 6 cm
4 cm
3 cm
2 cm 4 cm
37. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
4) RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
A
b2 = a.m c2 = a.n
b c
h
h2 = m.n
C m n B
a
a.h = b.c
a2 = b 2 + c 2
38. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO
QUALQUER
Triângulo Acutângulo: Num triângulo acutângulo qualquer, o
quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma
dos quadrados dos outros dois lados, menos duas vezes o
produto de um deles pela projeção do outro sobre ele.
C
b a a2 = b2 + c2 - 2c.m
h
A m n B
c
39. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO
QUALQUER
Triângulo Obtusângulo: Num triângulo obtusângulo qualquer, o
quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma
dos quadrados dos outros dois lados, mais duas vezes o
produto de um deles pela projeção do outro sobre ele.
C
a a2 = b2 + c2 + 2c.n
h
b
n
A c B
m
40. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
C cateto oposto
senθ =
hipotenusa
hipotenusa cateto adjacente
cateto oposto cos θ =
hipotenusa
θ cateto oposto
tgθ =
B cateto adjacente A cateto adjacente
41. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
sen cos tg
30o 1 3 3
2 2 3
45o 2 2
1
2 2
60o 3 1
3
2 2
42. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
7) LEI DOS SENOS
Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são
proporcionais aos senos dos ângulos opostos.
a b c
= = = 2.r
senA senB senC
43. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
8) LEI DOS COSSENOS
Num triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à
soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos
o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo
cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado.
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA
44. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
Questão 3
(COVEST 2003) Um triângulo com lados medindo 2.1050,
10100 – 1 e 10100 + 1:
a) é isósceles
b) é retângulo
c) tem área 10150 – 1
d) tem perímetro 4.10150
e) é acutângulo
46. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
Questão 4
(COVEST 2006) A ilustração a seguir representa uma escada
de comprimento 2,5m apoiada em uma parede vertical. A
extremidade inferior da escada está a uma distância de
0,70m da parede. Determine a aresta da maior caixa cúbica
que pode ser transportada pela região limitada pela escada e
pela parede vertical. (Aproxime seu resultado até os
centésimos)
47. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
Questão 4
y 2 + 0,7 2 = 2,52
y 2 + 0,49 = 6,25
y 2 = 5,76 ∴ y = 2,4m
2,4 – x
m
2,4 − x x
2,5
=
2,4 0,7
x
1,68 − 0,7.x = 2,4.x
x 3,1.x = 1,68 ∴ x ≅ 0,54m
0,70m
48. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
Questão 8
(COVEST 2001 – 2ª fase) Na ilustração a seguir, CD é um
diâmetro da circunferência com centro em O e raio 8. AC e
BD são perpendiculares a AB, e AB é tangente à
circunferência em T. Se AB = 12, calcule AO.
6 6 Solução:
x 8 x 2 = 6 2 + 82
8
x 2 = 100 ∴ x = 10
8
49. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
Questão 12
(Vunesp-adaptada) No triângulo ABC da figura, BD é
bissetriz do ângulo interno B, e CD é bissetriz do ângulo
externo relativo ao vértice C. Determine a medida do ângulo
interno Â.
a) 60o
b) 70o
c) 800
d) 90o
e) 100o
50. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
OBSERVAÇÃO:
θ
x γ γ
β α α
β
x+β=θ+α α=θ+β
x+β=θ+θ+β
x = 2.θ
51. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
Questão 12
(Vunesp-adaptada) No triângulo ABC da figura, BD é
bissetriz do ângulo interno B, e CD é bissetriz do ângulo
externo relativo ao vértice C. Determine a medida do ângulo
interno Â.
a) 60o
b) 70o
c) 800
d) 90o
X 100o
e)
52. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
Questão 13
(COVEST 2001) Na figura abaixo, BC e AC são bissetrizes
dos ângulos DBE e DAB, respectivamente. Se o ângulo ACB
mede 21o 30’, qual é a medida, em graus, do ângulo ADB?
X 43
a)
b) 41
c) 40
d) 44
e) 42
53. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
Questão 17
(UCSal/93-adaptada) Na figura abaixo têm-se o triângulo
ABC, cujo perímetro é 26cm. O losango ADEF, cujos lados
medem 4cm. Se BC mede 8cm, os outros dois lados do
triângulo ABC medem:
a) 5 e 13
b) 6 e 12
c) 7 e 11
d) 8 e 10
e) 9 e 9
54. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
Solução:
x + y = 10
4
4
4+ x 4
=
x 4+ y y
4
4 y 4. y + x. y = 16 + 4. y
x. y = 16
8
x=8 e y=2
Os lados valem 6cm e 12cm
55. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
Questão 18
(Vunesp) Do quadrilátero ABCD de figura, sabe-se que os
ângulos internos de vértices A e C são retos; os ângulos CDB
e ADB medem, respectivamente, 45º e 30º; o lado CD mede
2dm. Então, os lados AD e AB medem, respectivamente, em
dm:
a) 6 e 3
b) 5 e 3
c) 6 e 2
d) 6 e 5
e) 3 e 5
58. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
Solução:
√2
2.√ √2 .√3 = √6
2
30o
45o
59. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
Questão 19
(UFBA/93-adaptada) Considere o triângulo eqüilátero ABC,
com lado medindo 6cm. Seja M o ponto médio do lado AC, e
seja P o ponto do lado BC tal que PB = 2cm. Sendo x cm 2 a
área de um quadrado de lado MP, determine x.
60. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
Solução:
B x 2 = 32 + 4 2 − 2.3.4. cos 60o
2 1
P x = 9 + 16 − 24.
2
2
6
4 x 2 = 13
x
60o
A 3 3 C
M
61. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
Questão 20
(UnB-DF/adaptado) Na figura abaixo, calcule a medida do
ângulo AMD, sabendo que M é o ponto médio de BC.
a) 15o
b) 20o
c) 30o
d) 40o
e) 50o
62. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
OBSERVAÇÃO:
⁄⁄
⁄⁄
⁄⁄
63. EREM PADRE OSMAR NOVAES
GEOMETRIA PLANA
3. TRIÂNGULOS
Solução:
50o
60o
40o
20o 20o
80o 60 o
