Clase 3 (Progresiones)

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Clase 3: Progresiones
aritméticas y geométricas
Álgebra y Trigonometría
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Temas
• Definición de progresión
• Progresión aritmética
• Definición de progresión aritmética
• n-ésimo término de una progresión aritmética
• Suma de los términos de una progresión aritmética
• Problemas de aplicación de progresiones aritméticas
• Progresión geométricas
• Definición de progresión geométrica
• n-ésimo término de una progresión geométrica
• Suma de los términos de una progresión geométrica
• Problemas de aplicación de progresiones geométricas
Clase 3: Progresiones aritméticas y geométricas Álgebra y Trigonometría

Progresión

Definición de progresión
Toda progresión matemática es una sucesión de números o
términos algebraicos entre los cuales hay una ley de
formación constante. Se distinguen dos tipos:
• Progresión aritmética
• Progresión geométrica

Progresión aritmética

Definición de progresión aritmética
Una progresión aritmética es una sucesión de números
reales de la forma a1, a2, a3, … , an donde la diferencia entre
cualquier par de números consecutivos es siempre
constante, es decir, ak+1 − ak = d para 1 ≤ k < n.
Donde:
● a1 es el primer término de la progresión.
● d es la diferencia común.
● n es el número de términos.
● an es el n-ésimo término de la progresión.

Ejemplo de progresiones aritméticas
Las siguientes son ejemplos de progresiones aritméticas.
- 4 , -8 , -12 , -16 , -20
0 ,
1
2
, 1 ,
3
2
, 2 ,
5
2
, 3,
7
2
, 4
5, 10, 15, 20, 25

n-ésimo término de una progresión aritmética
El n-ésimo término de una progresión aritmética viene dado
por:
an = a1 + (n − 1)d

Ejemplo
Calcular el decimoséptimo término de la siguiente progresión:
−7, −5, −3, −1, …
an = a1 + (n − 1)d

Ejemplo
Escribir la progresión aritmética cuyo cuarto
término es 10 y el sexto es 16.
an = a1 + (n − 1)d

Suma de términos de una progresión Aritmética
La suma de los n primeros términos de una
progresión aritmética está dada por:
ó
Sn =
𝑛
2
2a1 +(n − 1)d
Sn =
𝑛
2
[a1 + an]

Ejemplo
Hallar la suma de los 20 primeros términos de la
siguiente progresión: −7, −5, −3, −1, …
Sn =
𝑛
2
[2a1 +(n-1)d]

Ejemplo
Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5.
Sn =
𝑛
2
2a1 +(n−1)d

Problemas de aplicación

La dosis de un medicamento es 100 mg el primer día
y 5 mg menos cada uno de los siguientes días. El
tratamiento dura 12 días, ¿cuánta cantidad de
medicamento se tiene que tomar durante todo el
tratamiento?, ¿qué cantidad se debe tomar el
noveno día?

La dosis de un medicamento es 100 mg el primer día y 5 mg menos cada
uno de los siguientes días. El tratamiento dura 12 días, ¿cuánta cantidad
de medicamento se tiene que tomar durante todo el tratamiento?, ¿qué
cantidad se debe tomar el noveno día?
Sn = [2a1 + (n − 1)d] .n
2

La dosis de un medicamento es 100 mg el primer día y 5 mg menos cada
uno de los siguientes días. El tratamiento dura 12 días, ¿cuánta cantidad
de medicamento se tiene que tomar durante todo el tratamiento?, ¿qué
cantidad se debe tomar el noveno día?
an = a1 + (n − 1)d

Progresión geométrica

Definición de progresión geométrica
Una progresión geométrica es una sucesión de números reales
de la forma a1, a2, a3, …, an donde el cociente entre dos términos
consecutivos cualesquiera es constante, es decir,
ak+1
ak
= r es
constante para 1 ≤ k < n.
Donde:
a1 es el primer término de la progresión.
r es la razón común.
n es el número de términos.
an es el n-ésimo término de la progresión.

Ejemplo de progresiones geométricas
Las siguientes son ejemplos de progresiones geométricas.
4, 12, 36, 108, 324, 972
−2, −4, −8, −16, −32,
−3, 6, −12, 24, −48

n-ésimo término de una progresión geométrica
El n-ésimo término de una progresión geométrica viene dado
por:
an = a1rn − 1

Ejemplo
an = a1rn − 1
Calcular el décimo término de la siguiente progresión:
1, 5, 25, 125, …

Ejemplo
an = a1rn − 1
Escribir una progresión geométrica cuyo segundo
término es 6 y el quinto es 48.

Suma de términos de una progresión geométrica
La suma de los n primeros términos de una
progresión geométrica está dada por:
Sn = con r ≠ 1a1 (1 − rn)
1 − r

Ejemplo
Calcular la suma de los 10 primeros términos de la siguiente
progresión:
1, 5, 25, 125, …
Sn = con r ≠ 1
a1 (1 − rn)
1 − r

Ejemplo
La suma de los 7 primeros términos de una progresión
geométrica de razón común 3 es 7651. Halle el primero y el
séptimo término.
Sn = con r ≠ 1a1 (1 − rn)
1 − r

Un padre proyecta colocar en un baúl $1000 el día
que su hijo cumpla un año, e ir duplicando la
cantidad sucesivamente en todos los cumpleaños.
¿Cuánto tendrá que colocar el día que su hijo cumpla
18 años? ¿Cuánto habrá en el baúl a los 18 años?

Un padre proyecta colocar en un baúl $1000 el día que su hijo cumpla un
año, e ir duplicando la cantidad sucesivamente en todos los cumpleaños.
¿Cuánto tendrá que colocar el día que su hijo cumpla 18 años? ¿Cuánto
habrá en el baúl a los 18 años?
an = a1rn − 1

Un padre proyecta colocar en un baúl $1000 el día que su hijo cumpla un
año, e ir duplicando la cantidad sucesivamente en todos los cumpleaños.
¿Cuánto tendrá que colocar el día que su hijo cumpla 18 años? ¿Cuánto
habrá en el baúl a los 18 años?
Sn = con r ≠ 1a1 (1 − rn)
1 − r

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