Εύρεση αρχικής φάσης στην απλή αρμονική ταλάντωση

2. Εύρεση αρχικής
φάσης
www.efrodistirio.com

4. Για να βρούµε την αρχική φάση µιας απλής
αρµονικής ταλάντωσης, ακολουθούµε τα παρακάτω
βήµατα:
αντικαθιστούµε στην εξίσωση της αποµάκρυνσης
x=Aηµ(ωt+φ0), t=0 και την τιµή της
αποµάκρυνσης που δίνεται
επιλύουµε την τριγωνοµετρική εξίσωση που
προκύπτει
από τις δύο λύσεις που θα προκύψουν για την
αρχική φάση, επιλέγουµε εκείνη της οποίας το
συνηµίτονο (συνφ0) έχει το ίδιο πρόσηµο µε την
ταχύτητα του σώµατος

5. Ας δούµε τα παραπάνω µέσω ενός
παραδείγµατος:
υ
x=-A x=0 x=A
x=A/2

6. Ας δούµε τα παραπάνω µέσω ενός
παραδείγµατος:
Έστω σώµα µάζας m που εκτελεί απλή
αρµονική ταλάντωση πλάτους Α και τη χρονική
στιγµή t=0 διέρχεται από τη θέση x=+A/2 µε
αρνητική ταχύτητα.
υ
x=-A x=0 x=A
x=A/2

7. Η εξίσωση της αποµάκρυνσης του σώµατος
από τη θέση ισορροπίας του είναι:
x=Aηµ(ωt + φ0) (1)
Αντικαθιστούµε στην (1) t=0 και x=A/2,
αφού δίνεται στην εκφώνηση ότι τη χρονική
στιγµή t=0 το σώµα βρίσκεται στη θέση x=A/2.
Έχουµε λοιπόν:
A 1 π
= Aηµϕ 0 ⇒ = ηµϕ 0 ⇒ ηµϕ 0 = ηµ ⇒
2 2 6
 π 
ϕ 0 = 2κπ + 6 
 
η 
 π
ϕ 0 = 2κπ + π − 
6

8. Επειδή η αρχική φάση φ0 παίρνει τιµές από 0
έως 2π rad, αντικαθιστούµε στις παραπάνω
σχέσεις πάντα κ=0.
Έχουµε:
 π
ϕ 0 = 6 rad

η
 5π
ϕ 0 = rad
 6
Για να επιλέξουµε ποια από τις δύο λύσεις είναι
αποδεκτή, ελέγχουµε το συνφ0. Θα πρέπει το
συνηµίτονο της αρχικής φάσης να έχει το ίδιο
πρόσηµο µε την ταχύτητα (στο παράδειγµά µας
να είναι αρνητικό).

9. Είναι λοιπόν:
π 3
συν = >0
6 2
και
5π 3
συν =− <0
6 2
Εποµένως η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι:
5π
ϕ0 = rad
6