2. Demostración mediante teselaciones del plano
Una teselación del plano es un forma de colocar figuras en una superficie plana de
tal forma que dichas figuras no se superpongan y además no queden huecos sin
cubrir.
3. Para esta demostración realizamos una teselación del plano con
cuadrados de dos tamaños distintos como se puede ver en la
Figura 1:
Figura 1: : Teselación del plano con cuadrados
de dos tamaños
4. Si marcamos ahora los centros de
los cuadrados mayores y los unimos
tendremos un conjunto nuevo de
cuadrados de un tamaño algo mayor
que los otros de tal forma que estos
cuadrados constituyen otra
teselación del plano. Podemos verlo
en la siguiente imagen:
Figura 2: Los centros de los (por ejemplo) cuadrados
mayores forman los vértices de un retículo de
cuadrados aún mayores, inclinados en un
determinado ángulo.
De hecho ocurre lo mismo se elegimos
cualquier otro punto de los cuadrados
mayores o de los menores.
5. Si se eligen las esquinas de los cuadrados, la estructura de cuadrados inclinados
es exactamente la misma que la anterior, sólo que desplazada mediante una
traslación con respecto a los cuadrados de la Figura 1.
La siguiente figura nos aclara este punto:
Figura 3: El retículo de cuadrados inclinados puede desplazarse por una traslación, de modo que los vértices del
retículo inclinado están sobre los vértices del retículo de dos cuadrados del original, lo que muestra que el lado de un
cuadrado inclinado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo (sombreado) cuyos otros dos lados
6. Además tenemos que el área del cuadrado inclinado es la suma de las áreas de los dos
cuadrados más pequeños (los de la teselación inicial). La razón es muy sencilla:
El nuevo cuadrado (el inclinado) queda dividido en 5 piezas por las líneas interiores. Si las
separamos podemos formar el cuadrado pequeño de la teselación inicial con dos de ellas
y el grande con las otras tres.
Para cualquier punto de partida de los
cuadrados inclinados las piezas en que el
cuadrado mayor queda subdividido por las
líneas interiores (esto es, por las líneas que
forma los cuadrados de la teselación inicial)
pueden ser desplazadas sin rotación hasta que
encajen para formar los dos cuadrados más
pequeños, como puede verse en la figura de la
derecha.
Volviendo a nuestro caso (Figura 3), hemos
dicho que el área del cuadrado inclinado es
igual a la suma de las áreas de los cuadrados
iniciales.
7. Llamemos al lado del cuadrado menor inicial, al lado del cuadrado
mayor inicial y al lado del cuadrado inclinado. Entonces sus áreas son,
. . . respectivamente, “ y” . Y en consecuencia tenemos que .
.
Fijémonos ahora en el triángulo sombreado
de la Figura 3. Su hipotenusa es el lado del
cuadrado inclinado, es decir, C, Y sus catetos
son a y b
8. Además, por la colocación de los cuadrados
iníciales, el triángulo es rectángulo. Por lo
comentado antes sobre la relación de las
áreas de los tres cuadrados ya tenemos
demostrado el teorema de Pitágoras:
