Análisis Estructural I - Apuntes 2014

2014
Gianfranco Ottazzi Pasino
i APUNTES DEL CURSO
ANÁLISIS ESTRUCTURAL I
PONTIFICIA
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OCTAVA EDICiÓN
Gianfranco Ottazzi Pasino
-APUNTES DEL CURSO
ANÁLISIS ESTRUCTURAL I
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Capítulo 3 Indet erminación Cinemática
3.1 Número de Grados de Libertad de una Estructura
3.2 Armaduras Planas - 20
3.3 Vigas 20
Capítulo 1 Introducción
1.1 Breve Historia del Análisis Estructural
1.2 El Análisis Matricial
1.3 El Objetivo de los Métodos Matriciales
1.4 ¿Qué es un Computador?
1.4.1 El Computador y el Análisis Matricial
1.5 El Ingeniero, El Análisis Matricial y el Computador
1.6 Estructuras (algunas definiciones)
1.6.1 Definición General de una Estructuras
1.6.2 Función de una Estructura
1.6.3 Los Edificios son el Resultado del Ensamblaje de Diversos Sistemas
1.6.4 Sistema Estructural de un Edificio de Concreto Armado
1.6.5 Definición de Estructura para un Ingeniero Estructural
1.6.6 Definición de Estructuras para Análisis Estructural 1
1.7 Objetivo del Análisis Estructural
1.8 Objetivo del Diseño Estructural
1.8.1 Etapas del Proyecto Estructural
1.8.1,a Ejemplo de un Plano de Estructuras
1.9 Elementos Estructurales y No Estructurales
1.10 Modelos (idealización) de las Estructuras
1.10.1 Algunos Modelos de Estructuras Simples
1.10.2 Otro Modelo Simple de una Estructura Plana
1.10.3 Algunos Modelos 3-D de Edificios
1.10.4 Conversión de un Modelo 3-D a un Modelo de Pórticos Planos 2-D
1.10.5 otro Caso de Modelo 3-0 a un Modelo de Pórticos Planos 2-D
1.10.6 Otro Caso de Modelo 3-0 a un Modelo de Pórticos Planos 2-D
1.10.7 Algunos Modelos 3-D de Estructuras
1.10.8 Pórtico 2-D (plano) con Muros de Corte o Placas de Concreto Armado
1.10.9 Clasificación de las Estructuras
1.10.1.0 Grandes Grupos en la Clasificación de las Estructuras
1.10.11 Nudos de Pórticos
Capítulo 2 Basesdel Análisis Estructural
2.1 Bases del Análisis Estructural
2.2 Hipótesis Básicas del Análisis Estructural
2.2.1 Primera Hipótesis Básica - Desplazamientos Pequeños
2.2.1.a Algunos Ejemplos de No Linealidad Geométrica
2.2.2 Segunda Hipótesis Básica - Equilibrio Estático
2.2.3 Tercera Hipótesis Básica - Compatibilidad
2.2.4 Cuarta Hipótesis Básica - Condiciones de Contorno
2.2.5 Quinta Hipótesis Básica - Unicidad de las Soluciones
2.2.6 Sexta Hipótesis Básica - Comportamiento Elástico Uneal
2.2.6.a Fuentes de No linealidad en una Estructura
2.2.7 Sétima Hipótesis Básica - Principio de Superposición
2.2.7.a Superposición de Fuerzas
2.2.7.b Método de Flexibilidad
2.2.7.c Superposición de Desplazamientos
2.2.7.d Método de Rigidez
2.3 Principio de las Fuerzas Virtuales
2.4 Principio de los Desplazamientos Virtuales
2.5 Teorema de Betti
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3.4 Pórticos Planos 2D 79
3.4.1 Pórticos Planos Ortogonales
3.4.2 Pórticos Planos No Ortogonales
3.5 Pórticos Espaciales 3D 87
3.6 Estructuras Simétricas 88
3.6.1 Tipos de Simetría
3.6.1.1 Simetrfa Respecto a un Eje
3.6.1.2 Simetría Respecto a un Punto
3.6.1.3 Simetrfa Respecto a un Plano
3.7 Estructuras Simétricas Cargadas Simétricamente 89
3.7.1 Condiciones de Contorno en el Plano (eje) de Simetrla. Carga Simétrica
3.8 Estructuras Simétricas con Carga Antisimétrica 95
3.8.1 Condiciones de Contorno en el Plano (eje) de Simetrfa. Carga Antislmétrica 83
3.9 Simetrra Respecto a un Punto 98
3.10 Simetrfa de Armaduras 99
3.11 Simetrla en Parrillas 100
3.12 Simetrra en Pórticos Espaciales 101
3.13 Descomposición en Carga Simétrica y Antisimétrica 102
3.14 Ejemplo de Simetrfa y Antisimetrra en un Pórtico Plano 103
Caprtulo 4 Ritrldecesde Barra
4.1 Coeficientes de Rigidez de Barra 109
4.2 Barras Tipo Armadura 109
4.3 Barras Tipo Viga o Columna - Rigidez al Giro 111
4.4 Barras Tipo Viga o Columna - Rigidez al Giro Modificada 114
4.5 Barras Tipo Viga o Columna - Rigidez en Traslación 116
4.6 Barras con Brazos Rígidos - Rigidez al Giro 117
4.7 Barras con Rótulas Internas 118
4.8 Barras Quebradas 121
4.9 Elementos de Sección Variable 122
4.9.1 Relación entre los Coeficientes de Rigidez de Barras de Sección Variable
4.9.2 Coeficientes de Rigidez de Barras de Sección Variable
4.9.3 Rigidez al Giro Modificada
4.9.4 Coeficientes de Rigidez - Barras con Desplazamiento Relativo
4.9.5 Rigidez para Barras con Empotramiento Deslizante
4.9.6 Momento~"de Empotramiento en Barras de Sección Variable
4.9.7 Momento de Empotramiento en Barras de Sección Variable - Extremo Articulado
4.9.8 Momentos de Empotramiento en Barras de Sección Variable .... Extremo
Empotramiento Deslizante
4.10 Influencia de las Deformaciones por Fuerza Cortante 132
4.10.1 Factor de Forma de una Sección
4.10.2 Ejemplo de la Influencia de la Fuerza Cortante
4.10.3 Matriz de Rigidez de una Barra con Deformaciones por Corte
4.10.4 Factores de Transporte en Barras con Deformaciones por Corte
4.10.5 Variación de los Coeficientes de Rigidez - Barras de Sección Constante con
Deformaciones por Corte
4.10.6 Rigidez al Giro Modificada de una Barra con Deformaciones por Corte
4.10.7 Momentos de Empotramiento con Deformaciones por Corte
4.11 Resumen de los Casos más Comunes - Coeficientes de Rigidez Vigas de Sección
Constante sin Deformaciones por Cortante . 140
4.1~Resumen de los Casos más Comunes - Momentos de Empotramiento en Vigas de
reCCión Constante sin Deformaciones por Cortante 141
Capítulo S Ecuaciones de Pendiente - Deflexión
5.1 Introducción 144
5.2 Ecuaciones de Pendiente - Deflexiones. Barras sin Desplazamiento Relativo de los
I Extremos 144
5.3 Solución de Estructuras Utilizando las Ecuaciones de Pendiente - Deflexión 145
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Capitulo 7 FormulAción Matricial del Método de Rigidez
7.1 Introducción
7.2 Expresiones del Trabajo Real y del Trabajo Complementario
7.3 Matriz de Transformación de Desplazamientos
7.4 Ensamblaje de la Matriz de Rigidez
7.5 Principio de Contragradiencia
7.6 Ensamblaje del Vector de Cargas en Nudos
7.7 Etapas de la Formulación Matricial del Método de Rigidez
7.8 Sistematización Parcial del Ensamblaje de la Matriz de Rigidez
7.8.1 Resumen del Procedimiento
7.9 Transformación de Coordenadas
7.10 Matrices de Rigidez de Barra en Sistema Global
7.11 Condensación de la Matriz de Rigidez
7.11.1 Desplazamientos Impuestos en algunas de las Coordenadas
7.11.2 Cargas Nulas en algunas de las Coordenadas
111
5.4 Ecuaciones de Pendiente - Deflexión. Barras con Desplazamiento Relativo de los
Extremos 148
5.5 Modificación de las Ecuaciones de Pendiente - Deflexión 149
5.6 Estructuras con Desplazamiento Lateral 154
5.7 Estado Primario y Complementario 160
Capitulo 6 Método de Ril!idez
6.1 Introducción
6.2 Etapas del Método de Rigidez
6.3 Ejemplos Introductorios al Método de Rigidez
6.4 Propiedades de la Matriz de Rigidez
6.4.1 La Matriz de Rigidez es Simétrica
6.4.2 Los Términos de la Diagonal Principal (kii) son Positivos
6.4.3 El Producto de las Matrices de Rigidez y Flexibilidad es la Matriz Unitaria
6.4.4 La Matriz de Rigidez es Definida Positiva
6.4.5 Relación entre la Energía Interna y los Coeficientes de Rigidez
6.4.6 La Matriz de Rigidez No Depende del Sistema de Cargas
6.4.7 El Ensamblaje de la Matriz de Rigidez es Fácil de Sistematizar
6.5 Cargas en Barras
6.5.1- Estado Primario y Estado Complementario
6.5.1.a Estado Primario (cargas de fijación)
6.5.1.b Estado Complementario
6.6 Relaciones entre [F] y [K]
6.7 Elementos con Discontinuidades - Reducción de Coordenadas
6.8 Fuerzas de Empotramiento en Elementos Inclinados
6.9 Pórticos Planos con Elementos Inclinados -
6.10 Pórticos Planos Sujetos a Cargas Laterales
6.10.1 Matriz de Flexibilidad Lateral de Pórticos Planos
6.10.2 Matriz de Rigidez lateral de Pórticos Planos
6.11 Efecto del Desplazamiento o Movimiento de Apoyos
6.12 Efecto de los Cambios de Temperatura
6.12.1 Cambio uniformes de Temperatura
6.12.2 Gradientes de Temperatura
6.13 Parrillas
6.14 Deformaciones por Cortante
6.15 Estructuras con Elementos de Sección Variable
6.16 Estructuras con Elementos Indeformables
6.17 Estructuras Espaciales
6.18 Análisis para Diversos Casos o Estados de Carga
6.19 Ámbito de Aplicación del Método de Rigidez
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Nociones de Álgebra MatricialAnexo2
Tablas de Rigideces de Barras de Sección VariableAnexo 1
Capítulo 9 Lineas de Influencia (Cargas'Móviles)
Capítulo en construcción
Capítulo 8. Método de Cross
8.1 Introducción
8.2 Algunas Ideas Centrales del Método de Cross
8.3 Ejemplo de Introducción al Método de Cross
8.4 Definiciones Preliminares en el Método de Cross
8.5 Método de Cross Liberación de Nudo por Nudo
8.6 Método de eross Liberación Simultánea de Nudos
8.7 Pórticos sin Desplazamientos Laterales
8.8 Elementos con Discontinuidades - Reducción de Coordenadas
8.9 Movimientos de Apoyo
8.10 Vigas de Sección Variable
8.11 Estructuras con Desplazamiento (Traslación) de Nudos
8.11.1 Método de Cross Indirecto
8.12 Consideraciones Finales
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4) Análisis de Estructuras - Métodos Clásico y Matricial. McCormac - Nelson.
Segunda Edición. Alfaomega.
- Capitulo 1. Introducción.
- Capítulo 4. Reacciones.
- Capitulo 9. Líneas de Influencia.
- Capítulo 11. Deflexiones y rotaciones: métodos de energía.
- Capítulo 16. Pendiente - Deñexión: un método de análisis por desplazamientos.
5) Structural Analysis - A Unified Classical and Matrix Approach. Ghali - Neville.
Cuarta Edición. E&FN Spon.
- Capítulo 2. Introduction to the analysis of statically indetermínate structures
- Capitulo 4. Displacement method of analysis.
- Capítulo 15. Analysis of Shear - Walls structures.
- Capítulo 22. Computer analysis of framed structures.
- Capítulo 23. Implementation of computer analysis.
3) Teoría Elemental de Estructuras. Yuan-Yu Hsieh. Prentice Hall.
- Capitulo 6. Lineas de influencia para estructuras estáticamente determinadas.
- Capítulo 7. Cargas concentradas móviles: Criterios para los valores máximos.
- Capítulo 9. Análisis de estructuras estáticamente indeterminadas por el Método de las
Deformaciones Compatibles (Método de Flexibilidad).
Volumen 2
- Capítulo 8. La esencia del análisis estructural.
- Capítulo 14. Distribución de momentos una introducción al Método de Rigidez.
2) Ingenierla Estructural. White, Gergely Sexsmith. Limusa.
Volumen 1
- Capítulo 1. La evoluci6n de una estructura.
- Capitulo 2. Los objetivos del diseño estructural.
- Capitulo 3. Cargas.
- Capltulo 4. Forma estructural.
- Capitulo 5. Introducción al análisis estructural.
- Capítulo 7. Análisis aproximado de estructuras estáticamente indeterminadas.
1) Anexo 2 de estos apuntes. Nociones de Algebra Matricial, tomado del libro Análisis
Estructural, Jeffrey P. Laible, McGraw HiII.
Lecturas obligatorias:
Las lecturas que se señalan a continuación, complementan los aspectos teóricos y
prácticos de varios de los temas que serán cubiertos durante el desarrollo del curso.
Estas lecturas son de carácter obligatorio y pueden formar parte de la evaluación tanto
en las prácticas como en los exámenes.
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Bibliografía
- Ingeniería Estructural (Volúmenes 1 y 2). White, Gergely, Sexsmith. Limusa.
- Structural Analysis. A Unified Classical and Matrix Approach. Ghali - Neville.
Cuarta Edición. E&FN SPON.
- Análisis Estructural. Jeffrey P. Laible. Mc Graw HiII.
- Análisis de Estructuras. H.H. West. CECSA.
- Teoria Elemental de Estructuras. Yuan-Yu Hsieh. Prentice Hall.
- Análisis de Edificios. Angel San Bartolomé. Fondo Editorial PUCP.
- Análisis de Estructuras - Métodos Clásico y Matricial. McCormac - Nelson...
Segunda Edición. Alfaomega.
- Structural Análisis. R.e. Hibbeler. Cuarta Edición. Prentíce Hall.
El Contenido del Curso
Introducción, Sistemas Estructurales.
Principios Fundamentales de Análisis Estructural.
Determinación Cinemática de las estructuras. Grados de Libertad.
- Ecuaciones de Pendiente - Deflexión.
- Método de Rigidez.
- Método de Cross.
Cargas Móviles. Lineas de Influencia.
- Sistematización del Método de Rigidez.
Los ObLetivos del Curso
1. Entender las nociones fundamentales del análisis estructural.
2. Entender el comportamiento (respuesta) bajo solicitaciones estáticas de las
estructuras simples de barras linealmente elásticas.
3. Aprender a analizar estructuras de barras por el Método de Rigidez
(desplazamientos).
4. Aprender el Método de Cross o de Distribución de Momentos.
5. Aprender el concepto y la construcción de las Uneas de Influencia (Cargas Móviles).
6. Mostrar las bases o. fundamentos sobre los cuales funcionan los programas de
análisis automático de estructuras. Sistematización del Método de Rigidez.
¿Qué se estudia en el curso?
Se estudian los principales métodos para el análisis de estructuras simples, conformadas
por el ensamblaje de barras linealmente elásticas. Se hace énfasis en el comportamiento
(respuesta) bajo solicitaciones estáticas de este tipo de estructuras.
Curso de Análisis Estructurall
2

3
La historia del análisis estructural comienza mucho antes de la era antigua de los
Egipcios, Romanos y Griegos. Aunque no se consiguen escritos sobre los principios del
análisis de estructuras desde esa época, las ruinas actuales indican que ciertos
principios de la estática y del análisis estructural fueron conocidos por sus constructores.
Por ejemplo, Arqutmedes- (287-212 A.C.) introdujo el concepto de centro de gravedad y
llevó a su más simple expresión los principios fundamentales de la estática y el equilibrio.
Escritos sobre el análisis estructural se han encontrado solamente- después del
RenaCimiento. La tendencia histórica del análisis estructural después del Renacimiento,
puede dividirse en las siguientes etapas o eras:
a) La Era de los Grandes Maestros
Esta es la era de Leonardo de Vinci (1452-1519), Galileo Galilei (1564-1642), Fontana
(1543-1607), y Mimar Sinan (1490-1588), quienes tuvieron gran sentido ñslco acerca de
las estructuras y sus éxitos se basaron en sus talentos innatos. Son dignos de mención
los trabajos de Leonardo (introdujo los conceptos de fuerza y de momento) y el libro de
Galileo "Dos Nuevas Ciencias" acerca de la teorfa de la viga en voladizo.
b) La Era de los Grandes Matemáticos
En esta era los matemáticos, lo mismo que muchos otros, mostraron interés en la
mecánica estructural. Hombres como Hooke (1635-1703), Johann Bernoulli (1667-
1748), Daniel Bernoulli (1700-1782), Euler (1707-1783), y Lagrange (1736-1813)
establecieron los principios fundamentales de energía, la relación entre esfuerzos y
deformaciones, las ecuaciones diferenciales de deformaciones y sus soluciones.
Su interés fue más bien en la teoría matemática de la elasticidad y sus hallazgos, tales
como la ley de esfuerzo - deformación de Hooke, la ecuación de las barras vibrantes de
Bernoulli, el pandeo de columnas de Euler y las ecuaciones de flexión de placas de
Lagrange, contribuyeron sin duda al desarrollo de la teoría de las estructuras.
e) La Era de los Grandes Ingenieros
Esta era puede considerarse como la edad de oro de la ingeniería estructural. Hombres
tales como Navier (1785-1836), Saint-Venant (1797-1886), Clapeyron (1799-1864), Airy
(1801-1892), Maxwell (1831-1879), Castigliano (1847-1884), Mohr (1835-1918), y Muller-
Breslau (1851-1925) utilizaron exitosamente las teorías matemáticas desarrolladas en la
era anterior para la solución de algunos problemas estructurales.
Ellos deben considerarse más como ingenieros que como matemáticos, aunque sus
conocimientos en las ciencias matemáticas fueron sobresalientes. Sus descubrimientos
y teoremas fueron la base para el desarrollo de la teoría de las estructuras en la era
moderna .
1.1 Breve Historia del análisis Estructural
Adaptado de las siguientes referencias:
1) Introducción al Análisis Estructural con Matrices. Hayrettin Kardestuncer. McGraw
HiII.
2) Structural Engineering. White, Gergely¡ Sexsmith. Wiley.
3) Stuctural Analisis. A Unified Classical and Matrix Approach. Ghali, Neville. Intext
Educational Publishers.
4) Métodos Matriciales para Cálculo de Estructuras. R. K. Livesley. Blume.
CAPITULO 1 -Introducción
3
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d) La Era Moderna
A principiosdel sigloXX hombrescomo G.A. Maney,H. Cross,R.W.Southwelly G. Kani
comprendieronque eran necesariosmétodosmás prácticospara analizarlas estructuras
indeterminadas. Ellos introdujeron, respectivamente, los métodos de pendiente -
deflexión (1915), distribución de momentos (1932), relajacióny distribución de fuerza
cortante.
Cada uno de estos métodos parte de un conjuntode hipótesispara obtener soluciones
aproximadas, de los problemas estructurales, que para las herramientas da cálculo
disponiblesen esos años, se considerabancomplejos. Estosmétodos,que simplificanel
cálculo, llegaron a ser muy utilizadosen las oficinas de ingeniarla (aún hoy en dla se
sigue utilizandoel Métodode Crossen las oficinas de diseño)debido a su simplicidady
adaptabilidadpara loscálculosmanuales.
En 1922, K.A. Cafisev publicó un artículo que describia un método de aproximaciones
sucesivas para el análisis de estructuras reticulares, en el que se detennlnan las
rotaciones de los nudos de una estructura por aproximacionessucesivas. De esta
manera los sistemas de numerosas ecuaciones se pueden resolver con cálculos
manuales. Puededecirseque esté métodofue el predecesordel Métodode Cross.
El análisis de las estructuras indeterminadasrecibió un gran impulsoen 1930, año en
que el profesor Hardy Cross de la Universidad de IlIinois, presentó su método de
distribución de momentos. El hecho de que el artículo escrito por Cross constaba de
diez páginas y que iba seguidode una discusiónde 146páginas, Ilustrael gran interés
que produjo dicho artículo. El interés suscitado por el artículo es una indicación del
Impactoque el métodode Crosstuvo en el análisisde lasestructurasindeterminadas.
e) La Era Contemporánea
Hacia la mitad del siglo XX fueron desarrolladospoderososequipos de cálculo, tales
como computadores analógicos y digitales, y los ingenieros fueron impulsados a
establecer métodos que requirieran menos suposiciones y restricciones en el
planteamiento de los problemas, logrando mejores resultados. Fue introducido el
llamado MétodoMatricialde análisisde estructuras.
las ideas en el método matricial no son nuevas; están muy ligadas con los principios
establecidos por Castigliano, Maxwell y Muller-Breslau. La única razón.para que el
método no fuera completamentedesarrolladoy utilizado,se debe a que ésta conlleva la
solución de numerosas ecuaciones simultáneas. Aún para una pequeña y sencilla
estructura, el número de ecuaciones simultáneas podría ser tal que su solución sin
computador,serfasumamentelaboriosa.
Es difícil decir quiénfue el primeroen introducirlos métodosmatricialesen el análisis de
las estructuras. Desdeluego, ningunosurgecon la seguridadde Castiglianoo de Hardy
Cross en otros métodos. Como en otras innovaciones, las mismas ideas parecen
habérseleocurridosimultáneamentea diferentesautores.
Al aparecer los computadoresse crearon de inmediato métodosde análisis adecuados
para el cálculo en computador; el más usado de ellos es el método directo de las
rigideces,creadoen la décadade 1950.
Al princlpio de dichadécada, SamuelLevysugirióalgunas de las ventajasdel métodode
rigidez (desplazamlentos), usando coeficientes de influencia para el análisis de las
estructuras de los aviones. Al mismotiempo,varios investigadoresestaban elaborando
una variedad de métodos para el análisis con base en métodos matriciales, con el
objetivo de aprovecharla capacidadde los computadores. Este confuso conjunto de
métodos se consolidó con el tiempo. En 1954 Turner, Clough, Martin y Topp
presentaron el primertratamientodel métododirecto de las rigideces;demostraronque
4
4

5
1.3 El Objetivo de los Métodos Matriciales
Excepto en algunas estructuras simples, los valores de los esfuerzos internos y
movimientos de los nudos, no pueden hallarse exclusivamente sustituyendo números en
fórmulas algebraicas conocidas.
Se requieren cálculos más complejos, y en muchos casos el ingeniero se encuentra con
una amplia gama de posibles procedimientos. La elección del método a seguir está
normalmente condicionada, en parte, por el grado de aproximación requerido, y, en
parte, por su práctica y sus preferencias. Cuando compara métodos que son igualmente
precisos, la elección suele basarse en dos consideraciones: el trabajo numérico que
llevan eónsigo y la facilidad con que puedan detectarse y rectificarse los posibles errores.
En general, dará preferencia a un método en el que pueda hacer uso de la experiencia
adquirida en el análisis de estructuras semejantes, especialmente si dicho método le
permite emplear juicio de ingeniero para efectuar aproximaciones y reducir pasos
intermedios.
Otro factor que puede guiar la elección, es la preferencia de muchos ingenieros por
emplear cantidades que presenten un significado fisico directo. Este es uno de los
atractivos de métodos tales como los de distribución de momentos (iterativos); a lo largo
de todo el cálculo, el ingeniero siente que está llevando a cabo un proceso que tiene una
realidad física. En tales métodos los errores pueden a menudo detectarse, más por
aplicación del sentido común que por un estricto criterio matemático, ya que los números
representan términos cuyas magnítudes son conocidas, al menos aproximadamente por
el ingeniero.
Todas estas consideraciones están basadas en el supuesto que todo el trabajo,
incluyendo el análisis numérico, es realizado por el propio ingeniero - normalmente una
persona con conocimientos del comportamiento estructural, pero sin demasiado gusto
por el proceso meramente numérico o matemático -. Sin embargo, si se utiliza un
la matriz de rigideces se puede ensamblar superponiendo las rigideces de los elementos
individuales. .
La dualidad de los métodos de las fuerzas o flexibilidad y de los desplazamientos o
rigidez, fue demostrada por Argyris y Kelsey en 1960 en su tratado de los teoremas de
energía.
1.2 El Análisis Matricial
El empleo de la notación matricial presenta dos ventajas en el cálculo de estructuras.
Desde el punto de vista teórico, permite utilizar métodos de cálculo de una forma
compacta, precisa y, al mismo tiempo, completamente general. Esto facilita el
tratamiento de la teoría de estructuras como unidad, sin que los principios fundamentales
se vean oscurecidos por operaciones de cálculo, por un lado, o diferencias fisicas entre
estructuras, por otro lado. Desde el punto de vista práctico, proporciona un sistema
apropiado de análisis de las estructuras y determina una base muy conveniente para el
desarrollo de programas de computadores.
En contraste con estas ventajas, debe admitirse que los métodos matriciales se
caracterizan por una gran cantidad de cálculo sistemático, y su valor en el cálculo
práctico de estructuras se basa en la adecuación de los computadores para llevar a cabo
el trabajo numérico. Se desprende de esto que el principal campo de aplicación está en
el cálculo de grandes y complejas estructuras, en las que los métodos manuales
tradicionales requieren una dosis excesiva de esfuerzo. En problemas simples, en los
que los métodos existentes son plenamente satisfactorios, no se gana mucho con un
tratamiento matricial.
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1.4 ¿Qué es un Computador?
Un computador es, esencialmente, una máquina de calcular, controlada por una
secuencia de instrucciones previamente preparadas que conducen a efectuar
sucesivamente diferentes pasos del cálculo en orden correcto. El conjunto de
instrucciones se denomina programa y el trabajo de prepararlases conocido como
programación,
Un programa no está ccndicionado a operar con un conjunto fijo de números (esto
llevarla al computadora efectuarlas mismasoperacionescadavez que se emplea),sino
que los números (datos) que forman el material caracterlsticodel cálculo pueden ser
diferentes en cada ocasión, Por tanto, si existe un programapara un determinadotipo
de cálculo, todos los problemaspara los que dicho cálculoproporcionalos mediospara
su solución,pueden considerarse'resueltos".
Decir, en este sentido, que existe una solución, significa considerablementemás que la
mera existencia de una teoria matemática o una técnica numérica. Significa, que
cualquier problema cubierto por el programa, puede ser resuelto completamente en
términos numéricos introduciendo,simplemente, los datos del problema,junto con el
programa, en el computador. los resultados del problema serán correctos, aunque
quien introdujo los datos del problemasea ignorantedel métodomatemático utilizadoen
el programa; es decir, que todo el proceso de análisis se reduce a una operación
rutinaria de relleno de datos.
Los problemas más sencillos de programar son aquéllos en los cuales los datos
numéricos son tratados en forma sistemática. las operacionesde álgebra lineal, por
ejemplo, son fácilmente ejecutadasen un computador,porqueconsistenen secuencias
de pasos relativamentesimples, repetidas muchas veces. Todos los computadoresde
hoy en día están provistoscon secuenciasde instrucciones,llamadasrutinas,para llevar
a cabo operacionestrpicasdel análisisnumérico.incluidasaquéllasdel álgebra lineal,de
forma que, si un cálculo de estructuraspuede ser puestoen forma de una serie de estas
operaciones, la construccióndel programa completo consiste simplementeen disponer
las rutinasapropiadasen el ordencorrecto,
..1.4.1 El Computador y el Análisis Matricial
El desarrollo de los computadores electrónicos durante las últimas décadas ha
estimulado sobremanerael trabajo de investigaciónen muchasramasde la matemática.
La mayor parte de esta actividadha estado, naturalmente,relacionadacon el desarrollo
I
computadorpara llevar a cabo dicho trabajo numérico,los criteriospor los cuales un
métododebejuzgarse si es "bueno"o "malo"deben ser revisados.
la cuestiónahora no es decidirsi a un ser humanole resultaráel cálculotedioso,sino si
el método es adecuado para ser fácilmente adaptado a una máquina. Si esto último
sucede, entonces el método es "bueno", aunque el número total de operaciones
realizadas sea considerablementesuperior al de otro método de menor facilidad de
mecanizar.
De esto se deduce que el desarrollode los métodosde cálculode estructurasen los que
el trabajo numérico puede ser realizado convenientementeen un computador,lleva a
procedimientosa la vez sistemáticosy generales. El objetivoes, no disminuirel número
total de operaciones aritméticas, sino conseguir métodos que puedan aplicarse a
muchos tipos diferentes de estructuras y que utilicen el máximo posible de
procedimientos numéricos tJpicos para los cuales ya existen rutinas en los
computadores. Para llevar a cabo éstos fines, los conceptosde álgebramatricialson
extremadamenteútiles.
6

7
de los procedimientos numéricos apropiados para el uso de los cornputedores, y en el
campo del análisis de estructuras ha conducido al desarrollo de métodos que utilizan las
ideas del álgebra matricial. .
El hecho de que los métodos matriciales estén ligados con los computadores y que se
emplee en los mismos una notación no familiar a algunos ingenieros. ha llevado a la
creencia de que incluyen nuevos difíciles conceptos matemáticos y estructurales. Esto
no es cierto. Un conocimiento de las operaciones básicas del álgebra matricial es todo
cuanto se requiere, y los únicos principios estructurales necesarios son los básicos
tratados en todos los textos de estructuras.
Los métodos clásicos del análisis estructural. desarrollados en las postrimerfas del siglo
XIX. tienen las cualidades de la generalidad. simplicidad lógica y elegancia matemática.
Desgraciadamente. conducían a menudo a cálculos muy laboriosos cuando se aplicaban
a los casos prácticos. y en aquella época, en la que incluso las máquinas de calcular
eran raras. esto entrañaba un serio defecto. Por esta causa. sucesivas generaciones de
ingenieros consagraron gran parte de su esfuerzo a reducir el conjunto de cálculos
precisos.
Muchas técnicas ingeniosas de gran valor práctico fueron apareciendo, pero la mayor
parte de las mismas eran solamente aplicables a tipos determinados de estructuras, e
inevitablemente el incremento en el número de métodos superficialmente diferentes
llevaron a oscurecer la simplicidad de las ideas fundamentales, de las que todos ellos
originalmente provenían. Puede también suponerse que la necesidad de obtener
técnicas prácticas para el análisis de estructuras lineales desvió a muchos
investigadores que pudieron haber contribuido de otra forma a un mejor entendimiento
del comportamiento real de las estructuras, con el resultado que la investigación de
fenómenos tales como la plasticidad y la inestabilidad. fueron pospuestas.
La principal objeción a los primeros métodos de análisis fue que los mismos conducían a
sistemas con gran número de ecuaciones lineales. diffciles de resolver manualmente.
Con los computadores. capaces de realizar el trabajo numérico, esta objeción ya no tiene
fuerza. mientras que las ventajas de la generalidad de los métodos. permanece. Esto
explica por qué los métodos matriciales deben en su tratamiento básico de las
estructuras más al siglo XIX que al XX.
1.5 E/Ingeniero. El Aná/isis Matricial y el Computador
En la actualidad. el ingeniero que se dedique al diseño de estructuras, debe estar
familiarizado con los métodos del análisis matricial de estructuras. porque constituyen
una herramienta poderosa de análisis.
Al mismo tiempo debe estudiar y entender el uso correcto de esta forma automática de
análisis. El resultado de un análisis por computador es sólo tan bueno como los datos y
el modelo de los cuales se parte. El acrónimo "GIGO" en inglés (Garbage In, Garbage
Out) cuya traducción al castellano podrfa ser BEBS se ha acuñado para recordamos
constantemente que "basura que entra, es igual a basura que sale".
Esto significa que el criterio y la habilidad del ingeniero, nunca podrán automatizarse. El
criterio y el entendimiento del comportamiento de las estructuras siempre deberán estar
presentes cuando se idealice la estructura y se hagan las suposiciones acerca de las
cargas y solicitaciones. el comportamiento del material, las condiciones de apoyo, las
conexiones entre los diversos elementos. Lo mismo se aplica a la interpretación y uso
correcto de los resultados de tales análisis.
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1.6.2 Función de una estructura
Existen numerosas funciones, entre ellas:
Salvar un claro (puente vehicular o peatonal).
Encerrar un espacio (los edificios cumplen una función de albergue).
Contener un empuje (muros de contención, tanques, silos, represas).
Infraestructura vial o de transporte (pistas, intercambios viales).
Estética (monumentos).
1.6.3 Los Edificios son el Resultado del Ensamblaje de Diversos Sistemas
Sistema funcional básico.
Sistema estructural.
Sistema sanitario.
Sistema eléctrico.
Sistema de comunicaciones.
Sistema de seguridad.
Sistema de acabados.
Sistemas Electro Mecánicos (Aire acondicionado, calefacción. ascensores,
equipos, maquinarias).
1.6.4 Sistema Estructural de un Edificio de Concreto Armado
La figura a continuación muestra un pequeño edificio típico de concreto armado. Se
indican los principales elementos estructurales verticales (columnas, muros) los
horizontales (vigas, losas) y los elementos estructurales de la cimentación (zapatas
aisladas y corridas). Las columnas y vigas se pueden idealizar como elementos
unidimensionales, mientras que las losas de piso y muros como bidimensionales.
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1.6 Estructuras (algunas definiciones) ~
1.6.1 Definición General de una Estructura )
Una estructura es un sistema, un conjunto de partes o componentes que se combinan en ')
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Modelo de una armadura plana 2-D
1.6.5 Definición de Estructura para un Ingeniero Estructural
Una estructura es un sistema cuya función es transmitir fuerzas (cargas) desde sus
puntos de aplicación al suelo. las fuerzas (cargas) producen en el material de la
estructura:
a) Deformacionesque se manifiestanen distorsionesde la formaoriginal.
b) Esfuerzosinternos.
1.6.6 Definición de Estructura para Análisis Estructural 1
Una estructura es el resultado del ensamblaje de elementos estructuralesdiscretos
conectadosentre si en un númerofinito de puntoso nudos.
Se presentan a continuación, algunos ejemplos de modelos (idealizaciones)
correspondientesa estructurassimples que se ajustan a la definiciónanterior. En las
estructuras mostradas los elementos estructuralesson todos unidimensionales:barras
de armaduraarticuladasen los extremos,vigas, columnas. los elementosestructurales
(barras)se interconectanentre si en los nudosy se conectana "tierra"medianteapoyos
que tambiénson nudos.
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- Lineal
- No Lineal
10
La Respuesta de una estructura hay que entenderla en un sentido amplio y comprende
diversos aspectos, entre ellos la determinación de:
Deformaciones, desplazamientos de determinados puntos.
Esfuerzos (medios continuos).
Fuerzas internas en barras. Axial, cortante, flexión, torsión.
- Vibraciones.
- Estabilidad.
- Carga de Colapso (análisis límite).
Fatiga.
- Comportamiento bajo condiciones de servicio (fisuración, deflexiones).
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- Inelástica
Estructura
Solicitaciones
Cargas Estancas ~
Cargas Dinamicas ~
Asentamientos
Cambios Termtcos
1.7 Objetivo del Análisis Estructural
El objetivo es el estudio del comportamiento o respuesta de la estructura frente a
detenninadas solicitaciones o acciones externas. El Análisis Estructural no es un fin, es
un medio o herramienta. El fin es el Diseno Estructural.
Estructura
Modelo de un pórtico tridimensional
3-D o espacial
10

1.8 Objetivo del Diseño Estructural
El objetivo es lograr una estructura segura, funcional y económica para satisfacer una
, necesidad o función específica.
Por seguridad se entiende la capacidad resistente de la estructura para servir sin fallas
estructurales durante su vida útil.
Además de la seguridad, la estructura debe comportarse adecuadamente bajo
condiciones normales de servicio. Por eso es necesario prestar atención al control de
las deflexiones, vibraciones, agrietamiento (concreto armado), corrosión, durabilidad.
En resumen las Premisas Fundamentales son:
a) La estructura debe soportar las cargas (acciones, solicitaciones) en forma segura.
b) La estructura debe cumplir los requisitos de funcionalidad, factibilidad, durabilidad,
econornta, estética.
1.8.1 Etapas del Proyecto Estructural
a) Concepción (Ingeniería Conceptual). Se parte de la siguiente premisa: La
estructuración que debería prevalecer, es aquella que satisfaciendo las premisas
fundamentales (seguridad, funcionalidad, durabilidad) tenga el menor costo. La etapa
de laconcepcíón comprende:
- Determinación de la forma general.
Selección del material predominante (intervienen criterios de disponibilidad y
economía).
- Selección del tipo estructural y estructuración preliminar.
Selección del sistema constructivo (prefabricado, en obra).
- Investigación de las cargas. Es necesario identificar las diversas solicitaciones a las
cuales estará expuesta la estructura durante su vida útil. Las magnitudes de las
cargas "usuales" están especificadas generalmente en las Normas, en otros casos es
necesario acudir a la experiencia y a la estimación del ingeniero.
Las cargas que pueden obrar sobre una estructura son: muertas, vivas o de uso,
viento, sismo, nieve, cambios térmicos, cargas temporales que pueden presentarse
durante el proceso constructivo, asentamientos de apoyo, cambios volumétricos, etc.
- Predimensionamiento de los elementos estructurales y conexiones (basado en la
experiencia, reglas empíricas, métodos aproximados).
b) Modelado (idealización) de la Estructura.
c) Análisis Estructural. Geometría, material, secciones, comportamiento esperado de la
estructura (lineal, no lineal), solicitaciones (cargas). Selección de los métodos y
herramientas de análisis.
d) Diseno Estructural. Dependerá del material, Normas.
e) Detallado. De las uniones o conexiones, elementos no estructurales, equipos,
instalaciones, etc.
f) Planos. Producto final del análisis y diseño estructural. El diseñador debe transmitir
al que ejecutará la obra, los resuHadosfinales de su diseño, entre ellos: la concepción
estructural, los esquemas resistentes para las diversas cargas que obran sobre la
estructura, -los refuerzos y dimensiones de todos los elementos estructurales, 'la
posible interacción entre elementos estructurales y no estructurales, las calidades de,
los materiales a utilizar (especificaciones), los detalles especiales, los detalles de las
conexiones entre elementos estructurales y no estructurales, las precauciones a
considerar durante la ejecución de la obra, las sobrecargas de diseño, etc.
11
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Costos -
Planos de Detalle
1.8.1.a Ejemplo de un Plano de Estructuras
A manera de ejemplo de presentación de planos estructurales se incluye a continuación
una parte del plano de estructuras correspondiente a la planta típica de un edificio simple
en concreto armado. Se puede apreciar, entre otras cosas, información sobre el espesor
del techo aligerado, la sobrecarga usada en el diseno, las secciones de las vigas, la
ubicación de Josmuros (placas), la junta o separación con un edificio (bloque) vecino, el
acero de refuerzo del aligerado. No se trata de un juego completo de planos. falta el
-plano de ·Ia cimentaclón..da las .columnas y-placas, .de-las vigas, el plano -del encofrado
-de la azotea y se han ·obviado 'diversos' detalles importantes. Para completar el
"expediente" es necesario contar con los planos de arquitectura, los planos completos de
estructuras, los planos de instaraciones eléctricas y sanitarias, los planos de
instalaciones electromecánicas (si las hubiera), el estudio de mecánica de suelos y las
especificaciones técnicas.
Modificación
Re - Estructuración
- Material
- Forma general
- Tipo estructural
- Investigación Cargas
- Predimensionamiento
Re - Análisis
(cambios en
las secciones)
Análisis
Estructural
Cargas
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- Seguridad
- Resistencia
- Servido
Estructuración
La manera como el diseñador suele transmitir al constructor o ejecutor de la obra toda
esta información, es a través de planos de estructuras. Es obvio que si los planos
resumen todo el trabajo de concepción y diseno, debe prestarse especial cuidado en
la presentación de los mismos. Los planos deben ser claros y no ambiguos, con
abundancia de detalles y especificaciones,· deben contener toda la información
necesaria para una correcta ejecución de la obra. Los planos deben transmitir al lector
la información de tal modo que no haya lugar a interpretaciones erróneas.
g) Determinación de los Costos.
El diagrama a continuación resume las etapas del diseno estructural:
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En un punto cualquiera de una estructura, existen seis componentes desconocidas de
los esfuerzos (el tensor de esfuerzos en un punto es simétrico) y solamente tres
ecuaciones de equilibrio (suma de fuerzas en X, Y, Z), por lo tanto el problema es
indeterminado. la solución de las ecuaciones diferenciales sólo es posible en el caso de
geometrfas simples, condiciones simples de contorno. estados simples de carga y
comportamiento del material linealmente elástico.
Nótese que aún en el caso de formular y resolver las ecuaciones diferenciales, siempre
será necesario realizar un modelo de la estructura.
En consecuencia no es posible analizar, con las herramientas actuales de análisis, la
estructura real, solo podemos analizar un modelo de la estructura. Sin, embargo, si
podemos determinar el comportamiento (respuesta) de estructuras reales, mediante
ensayos de laboratorio.
b) Modelo de una estructura: Sobre la estructura real se realiza un proceso de
idealización de los elementos componentes, conexiones entre ellos y cargas
actuantes. Se genera así un modelo matemático (físico) sobre el cual se aplican las
herramientas del análisis estructural.
e) ¿Qué se idealiza?
- La geometrla de la estructura.
- Los elementos constituyentes (por ejemplo barras) y suspropledades.
Las conexiones entre los elementos (nudos).
Las propiedades y comportamiento del material.
Las masas (en los problemas dinámicos).
tascarqas (solicitaciones).
Los apoyos y condiciones de contorno.
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LX q, a vx
Ecuación diferencial del equilibrio de la particula en la dirección X
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1.9 Elementos Estructurales v No Estructurales
Los elementos estructurales aportan resistencia y rigidez a la estructura.
- los elementos no estructurales aportan peso y funcionalidad (tabiques, parapetos,
mamparas. etc). Son necesarios para completar la función de la estructura.
1.10 Modelos (idealización) de las Estructuras
Premisa: La confiabilidad o "calidad" del Análisis Estructural, está directamente
relacionada con la fidelidad del modelo utilizado.
a) ¿Porqué son necesarios los modelos estructurales? Si partimos del hecho que
las estructuras son un medio continuo, con infinitas partfculas, con una variación
también continua en las propiedades del material, en las deformaciones y en el
estado de esfuerzos, el comportamiento de la estructura está gobernado por un
conjunto de ecuaciones diferenciales parciales. Una de las ecuaciones diferenciales
del equilibrio de la partícula se indica a continuación y corresponde al equilibrio en X:
14
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Fuerzas aXiaJes (kg)
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~...... ~-_. .... .- .....-'_ ... - .'. . .., ~-!; : ..
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Deformada
Para formular el modelo necesitamos, por lo menos: Caracterrsticas de los materiales (E,
tipo de comportamiento, en este caso lineal). características de las barras (área,
material), geometría, cargas aplicadas, apoyos, tipo de conexión entre barras. El
resultado, en este caso, es un modelo tipo armadura o de cables.
Resultados del análisis estructural: Desplazamientos de los nudos (configuración
deformada) y fuerzas en las barras.
Modelo de una
armadura plana 2- P
(Se muestran las coordenadas
de los nudos y las cargas en
el Nudo 2)
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1.10.1 Algunos modelos de estructuras"simples
1f9deloContinuo 2-D
(gobernado por ecuaciones en
derivadas parciales)
Modelo Discreto 2-D
(gobernado P9C
ecuaciones algebraicas)
Modelo Continuo 3-D
(gobernado por ecuaciones en
derivadas parciales)
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La interacción entre 'os elementos estructurales y no estructurales,
d) Resultado de la Idealización: Del modelo continuo al discreto.
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Para formular el modelo necesitamos, por lo menos: Caracteristicas de los materiales (E,
tipo de comportamiento. en este caso lineal), caracterlsticas de las barras (área,
momento de inercia, material), geometrfa, cargas aplicadas, apoyos, tipo de conexión
entre barras (nudos rfgidos y rótula al centro de la viga). Se formula, en este caso, un
modelo tipo pórtico plano.
Resultados del análisis estructural: Desplazamientos de los nudos (configuración
deformada) y fue~s en las barras.
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1.10.2 Otro modelo simple de una estructura plana (pórtico triarticulado).
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16

17
Conversión de un Modelo 3-D a un Modelo de Pórticos Planos 2-D.
A continuación se muestra un pequeño edificio de un piso compuesto de nueve
columnas y doce tramos de vigas. El edificio es de concreto armado y todos los nudos
son rigidos. La estructura es en esencia un pórtico 3-D conformado por elementos
esbeltos.
Asumiendo que los apoyos son empotramientos. el grado de indeterminación estática del
pórtico 3-D es de 72. ya que es necesario efectuar doce cortes en las vigas (por ejemplo
al centro de cada paño) para lograr una estructura isostática y estable. en cada corte se
remueven seis fuerzas de sección.
En contraste, el grado de indeterminación cinemática es de 54 ya que la estructura
posee nueve nudos libres y cada uno de ellos tiene seis grados de libertad.
A pesar de que la estructura es 3-D, es posible reducirla a un ensamblaje de pórticos
-3 planos cada uno de ellos actuando de manera independiente del resto. Con esta
simplificación se reduce de manera importante la complejidad (más bien la laboriosidad)
del análisis estructural. Sin embargo esta "reducción" a pórticos planos tiene varias
inconsistencias importantes. algunas de ellas:
Las rotaciones en los nudos del 20 no son compatibles con los del 3D. es decir cada
nudo del modelo 20 rota de manera independiente. En la estructura real las
rotaciones de cada nudo son únicas.
- Los desplazamientos verticales de los nudos del modelo 20 no son compatibles con
el 30.
- En el modelo 2-0 se pierde la torsión que podría existir en las vigas y columnas.
Los desplazamientos horizontales del modelo 20 no son compatibles con el 3D.
- Si hubiera un diafragma rígido (losa de piso) conectando los pórticos. ¿qué
sucedería con los desplazamientos horizontales de los pórticos?
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, 1.10.3 Algunos modelos 3-D de Edificios.
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19
Algunas inconsistencias del modelo 20 frente al 3D:
Las mismas del caso anterior (acápite 1.10.4). Adicionalmente la presencia de un
diafragma rígido en su plano (losa de piso) impone restricciones adicionales a los
desplazamientos laterales de los pórticos, es decir los pórticos no pueden desplazarse
lateralmente de manera independiente unos de otros ya que el diafragma de piso
"amarrawlos desplazamientos laterales.
Si hubiera una fuerza lateral actuando en el centro de masas de la losa, ¿cómo se
distribuiría esta fuerza entre los pórticos?
¿El empotramiento de las columnas en la base será perfecto?
¿Los nudos son completamente rígidos?
¿La losa no aporta rigidez a los pórticos?
¿Cómo se comporta la losa, simplemente apoyada en las vigas?
Pórticos 3 Y4Suelo
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Pórticos 1 Y2
(25x40
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1.10.5 Otro caso de Modelo 3-D a un Modelo de Pórticos Planos 2-D
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Segmento de una torre
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Tanque esférico apoyado sobre columnas
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1.10.7 Algunos Modelos 3-D de estructuras
Portico 2-D
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Portieo 3-DPortieo - Losa 3DModelo 3-D
/ Estructura Real
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1.10.6 Otro caso de Modelo 3-D a un modelo de pórticos planos 2-D
20
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21
En el modelo mostrado en la figura anterior se han hecho las siguientes idealizaciones:
a) El muro, que es un elemento bidimensional, se ha transformado a un elemento
unidimensional. Normalmente será necesario incluir las deformaciones por cortante
en la placa o muro (en la figura, Im es el momento de inercia del muro y Acm el área
de corte), además es conveniente incluir las deformaciones axiales en el muro yen las
columnas.
b) Las vigas cercanas a la placa son de sección variable. Tienen un tramo de longitud
"a" de rigidez infinita (El = (0) y otro tramo de longitud 11 con rigidez Elv. El tramo de
rigidez infinita (brazo rfgido) intenta modelar la conexión entre la placa y la viga y
representa la hipótesis de Navier (secciones planas).
c) Se ha supuesto que la placa está empotrada en la cimentación, esta hipótesis puede
ser cuestionable debido a los grandes momentos flectores que suelen presentarse en
la base de los muros ante la acción de cargas laterales.
A continuación se muestran las configuraciones deformadas que se obtienen al analizar
el pórtico bajo la acción de cargas laterales únicamente, utilizando dos modelos. En el
Modelo 1 se ha supuesto que la viga "entra" hasta el eje de la placa conservando su
sección transversal y en el Modelo 2 se ha modelado la viga utilizando un brazo rlgido
(indeformable) entre el eje de la placa yel borde derecho de la misma. Las diferencias
en la configuración deformada del pórtico para los dos modelos son notables, sobre todo
en la zona de conexión viga - placa.
Modelo del pórtico plano.
(Muro modelado como elemento unidimensional)
Pórtico plano. Muro (placa), columnas y vigas.
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1.10.8 P6rtico 2-D fqlano} con muros de corte oplacas de concreto armado.
Es frecuente utilizar, en zonas slsrnlcas, elementos rfgidos de concreto armado para
controlar las deformaciones laterales del edificio, estos elementos rfgidos suelen ser las
placas o muros de corte. Los muros son elementos bidimensionales. Muchas veces el
muro o placa está conectado mediante vigas a columnas fonnando un pórtico "mixto"
como se indica en la figura a continuación.
En estos casos, un modelo que se suele utilizar con frecuencia, consiste en idealizar la
placa como un elemento unidimensional, al igual que las vigas y columnas. El problema
radica en modelar adecuadamente la zona de conexión entre la viga y la placa.
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Modelo 2 -Configuracíón deformada, cargas laterales. Viga rígida en la zona de unión con la placa,
22
Modelo' 1- Configuración deformada, cargas laterales. Viga flexible en la zona de unión con la placa.

23
Modelo 1 - Configuración deformada, cargas verticales. Viga flexible en la zona de unión con la placa.
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A continuación se muestran los resultados del análisis del pórtico, bajo la acción de
cargas verticales únicamente. Se han utilizado tres modelos, los dos primeros son los
mismos descritos anteriormente y el tercero consiste en suponer que las vigas se
encuentran empotradas en el borde de la placa.
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Modelo 3 - Diagrama de momentos, cargas verticales. Vigas empotradas en el borde de la placa
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Modelo 2 - Diagrama de momentos, cargas verticales. Vigas rígidas en la zona de unión con la placa.
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Modelo 1 - Diagrama de momentos (ton-m), cargas verticales. Viga flexible en la zona de unión con la placa.
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MODELO 2D
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No existe un límite claro o preciso a partir del cual los elementos deban considerarse
como tridimensionales, bidimensionales o unidimensionales. La clasificación y en
consecuencla la idealización de los elementos, queda a juicio del ingeniero y será
función de la "fidelidad" que se pretenda lograr. La figura a continuación ilustra esta idea
utilizando un elemento esbelto, que puede idealizarse como unidimensional, y otro para
el cual esta idealización seria cuestionable.
En general todos los elementos son tridimensionaJes, sin embargo, si la longitud del
elemento es "considerablemente" mayor que sus otras dimensiones, el elemento puede
idealizarse como unidimensional. Este suele ser el caso de las vigas y columnas de los
pórticos 3D 6 2D.
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Viga. columna; armadura (1D)
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(3D)
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1.10.9 Clasificación de las Estructuras
Para el curso de Análisis Estructural 1, hemos definido a las estructuras como un
ensamblaje de elementos estructurales discretos, interconectados entre sJen un número
finito de puntos. Bajo esta definición los· elementos, pueden idealizarse,
independientemente del material y su forma, en:
Unidimensionaies
Bidimensionales
Tridimensionales

26

27
L
Tienen múltiples aplicaciones, desde las armaduras o "cerchas" de madera que se
emplean en viviendas, tijerales de acero en naves industriales hasta puentes de grandes
luces, antenas y torres de atta tensión. .
Su objetivo es el uso más eficiente del material. Si imaginamos que la armadura trabaja
como una viga, soportando esfuerzos de flexión y cortante, al aumentar la altura (peralte)
de la armadura se reducen los esfuerzos debidos a la flexión y al mismo tiempo no es
necesario disponer de un alma sólida, sino que basta con elementos diagonales y
verticales para resistir el cortante.
Armadura Plana.
poyo
1) Estructuras de Barras o Reticulares
Formadas por el ensamblaje de elementos considerados o modelados como 1D.
1a) Armaduras Planas o Espaciales. (Isostáticas o Hiperestáticas)
1.10.10 Grandes grupos en la clasificación de las estructuras
1) Estructuras de Barras (Reticulares).
2) Estructuras Laminares (bidimensionales). Losas, cáscaras, muros.
¡ . 3) Sólidos (3D).
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Elementos ID
Pórtico 2D
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3 ti---;I'--v---------....4 h =.L, ..L, L~ 11 10 12 14
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En general se suele aceptar que si la longitud del elemento es mayor que cuatro á cinco
veces el peralte del mismo, el elemento puede idealizarse como unidimensional. Este
Hmite está ligado a la validez de ia hipótesis de Navier (secciones planas).
Por ejemplo, las vigas de los pórticos de concreto armado se suelen dimensionar de tal
modo que el peralte esté comprendido entre l/lO y 1/14 de la luz, en consecuencia
pueden clasificarse como unidimensionales.
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Otra ventala de las armaduras es su rigidez ya que por su considerable mayor altura en . '.
cornparaelón con una viga de alma llena; los desplazamientos de los nudos suelen ser 1
pequeños. ' ,
Las, principªles ide~UZaciones (~implifi~ciones) que se suelen hacer en el análisis de ;, I
armaduras'y a partir' de las cuales se gefi~ran los modelos son: . '!
- Los elementos son rectos y están conectados entre sí en nudos artlculadoe.' •.' 1
(artleulacíones sin rozamiento). Los nudos articulados permiten el giro relativo de las ;:.i
barras. En ia práctica diflcllrnente se materializa esta hipótesis ya que las uniones ' ..I
suelen ser soldádas o empernadas. :' '1
j
- Las barras' se .unen en sus. extremos, Esta hipótesis no suele cumplirse en los. ;
cordones (bridas) superior é inferior de. la armadura ya que las bridas suelen Ser ..!
continuas cubriendo varios nudos en vez de ser una serie d~ barras cortas entre nudo !
y nudo. Esta práctica tj~n.e,Iª....x~ntaja de simplifi~r las conexiones en los' nudos ya
que no es necesario.eon~i~Jrelemento contínuc.' . . . . . .
":Las carg~s'{Qoncentradas);s$ '~Jican '$ototenlos nudos." Deben eviWFse')ascargas en
, .puntos int~m)ecfjc;>sde 105' el~.neh.osya que inducen flexión en ello$" $i exístiera una .:
~~-concentrada en un elemento, conviene modificar la geomefri~ de la armadura
"'2:~i~";que dicha CatQ~ coincida con un ·nudo. LaS únicas carqas que no están
/8PUcádas en.' los nudos deberían ser las provenientes del peso propio de los
Equilibrio (corte a-a): Ma == T x h Va = V eos ct.
Otra de las ventaj~s de las armaduras es su vel'$atilic;ladpara adaptarse a diVersa~
formas según ras n~césidad.es. Existen numerosas fÓ·tmas.argunas efelas más comunes
se indican a conñnuacíón. .
Dj~8: CU~1pO
tibre Corte a-a
~o
.'''v',_':_ T
f ~,I J' 1
Corte a-a

28

Detalle de uno de)os apoyos interiores (articulado)
Detalle de uno de los nudosArmadura de un puente (Bridas Paralelas)
Las tres figuras a continuación (Godden), muestran un sector de una de las armaduras
(de bridas paralelas) de un puente de acero de una carretera. Dada la magnitud de las
cargas que debe soportar el puente, los. elementos constituyentes, sobre todo las
diagonales y las bridas, son grandes. A la derecha se muestra el detalle de la conexión
de los elementos que concurren a un nudo inferior, los elementos están unidos por
remaches a las cartelas o planchas de enlace. En este caso es claro que no se trata de
un nudo articulado que permite el giro relativo de las barras que concurren. En la parte
inferior se muestra el detalle del apoyo articulado.
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Fuerzas internas en la barra de
una armadura
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Si se cumplen las hipótesis anteriores, las barras de una armadura trabajan solamente a
carga axial de tracción o compresión sin cortante ni flexión.
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Uniones empernadas

30
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Uniones soldadas
Si se observan las uniones de la figura anterior, se puede concluir que en la práctlca la _;.
hipótesis de nudos articulados es; por lo menos. discutible', Sin embargó en las ;: .
armaduras "normales" la esbeltez dé los elementos suele ser grande, la rigidez a. la' :
flexión pequeña y por lo tanto priman los esfuerzos axiales. Si las cargas están todas ;' i
aplicadas en los nudos, a los esfuerzos que originaria la flexión por la rigidez de la unión. _. I
sel les llama "esfuerzos secundarios" y se suelen ignorar o despreciar en el diseno de los ..' .,1,'
e ementos.
En todo caso si la hipótesis de nudos articulados - para una estructura particular en la -.
cual los perfiles no sean tan esbeltos (caso de armaduras de puentes) y las conexiones ':
no fueran rótulas - no fuera válida. siempre será posibie analizar la estructura dejando de ,i;'
lado esta hipótesis y modelando la rigidez de la conexión. En este caso la'estructura se :;
convierte en un pórtico con cargas en los nudos y lo dificil será modelar la rigidez de la ,:'
conexión.
Finalmente están las armaduras tridimensionales como las empleadas en las torres de,
alta tensión; para las cuales toda la discusión que se ha hecho para las armaduras; -
planas, es aplicable. Una buena parte de estas armaduras puede -analizarse' bajo la '--,.
hipótesis de nudos articulados. sobre .todo. las torres de alta-tensión 'en las cuales las'.,
conexiones suelen ser..empernadas con los pernos colocados en una sola linea. ",
/' ..
-/
I
La figura a continuación muestra algunaS' conexiones "Upicas" de elementos de una 1Iarmadura en los nudos. Nótese que los ejes de los elementos (Uneasde los centroides
de los perfiles) deben coincidir en un'punto, en caso centrarlo se genera excentricidad en l..-/
la unión la que ocasiona un momento que debe ser equilibrado pOJlos perfiles

3

2
Pórtico

1
I ¡;~V V V V¡V Y Y Y V¡V y rJ. 2 3 4 5
w
Los ejes 1-2-3 son ejes locales de la barra y deben ser principales y centrales.
N
1
1b) Pórticos Planos (sistemas planos 2D)
- Formados por el ensamblaje de elementos 1D.
- Elementos conectados entre si en los nudos. Los nudos pueden ser rígidos, semi -
rigidos, o articulados.
- Cargas aplicadas en los nudos y barras. Las cargas están contenidas en el plano del
pórtico.
- Los elementos tienen rigidez axial y por flexión.
- Los apoyos pueden ser de cualquier tipo, inclusive apoyos elásticos.
- Las fuerzas de sección en las barras son: Axial, cortante, momento flector. No existe
momento torsor ya que las cargas están aplicadas en el plano del pórtico.
Elevación cara lateral
Armadura 3D, parte inferior de la Torre Eiffel
Madeja de
Armadura 3D
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Pórtico de acero con arriostres
Pórtico arriostrado
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Pónico con elementos curvos
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Viga Vierendeel
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32
Pértícosde concreto armado,
soporte del tablero de-un puente
Pórtico de concreto armado con
viga prefabricada
Pórtico a dos aguas
2J
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33
I
I
I 1d) Pórticos Tridimensionales (sistemas espaciales 3D)
I - Formados por el ensamblaje de elementos 1D.
¡-Elementos conectados entre sí en los nudos. Los nudos pueden ser rígidos, semi-
'1 rígidos, o articulados.
¡-Cargas aplicadas en los nudos y barras.
i Los elementos tienen rigidez axial, en flexión y en torsión .
! < - los apoyos pueden ser de cualquier tipo, inclusive apoyos elásticos.
- !.:,as-fuerzasde sección en las barras son: Axial, cortante, momento 'ñector y momento
! .... /tersor. En la figura a continuación se muestran las fuerzas de extremo de barra,
: / referidas a sus ejes locales; los que deben ser principales y centrales.
1'" .
l

1 La parrilla está contenida
en el Plano X-Z
Modelo de unaparrilla
12
.~

1
Los ejes 1-2-3 son ejes locales
del elemento y deben ser
principales y centrales
El plano de la parrilla es el 1-3.
1c) Parrillas (sistemas planos 20)
Formadas por el ensamblaje de elementos 1D. ,
Elementos conectados entre si 'en los nudos. Los nudos pueden ser rígidos, semi-
rígidos, o articulados.
- Cargas aplicadas en los nudos y barras. Las cargas son,perpendiculares al plano de
la parrHla.
Los elementos tienen rigidez en flexión y torsión.
Los apoyos pueden ser de cualquier tipo, inclusive apoyos elásticos. "
Las fuerzas de sección en las barras son: Cortante, momento flector y momento
torsor. No existe fuerza axial en las barras ya que las cargas son perpendiculares al
plano de la párrilla. '.,
33
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34
Mzz
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El espesor es mucho menor que las otras ~.
Edificio AICQaen Chicago. Grandes ..
diagonales de arriostre ..
3
1
2
34
2) Estrilcturas Laminares (bidimensionales).
dos dimensiones.
- Losas (cargas perpendiculares a su piano):
. ,i:;" •
Torre. de Control en un Aeropuerto
3
2

35
O'z
Puente masivo
O'x
3) Sólidos (tridimensionales). Represas, cimentaciones masivas, piezas de equipos,
-- puentes de mampostería.
- Bóveda$ o C6scara$
,-E$tados planos de esfuerzos (vigas pared, muros o placas) car9as en su plano:
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Elevación
36
Armadura de vigas y columnas
en un Dudoexterior de una
estructura de concreto armado
Nudo Interior

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1-
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L.
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.
Planta
Nudo Exterior
1.10.11 Nudos de Pórticos
a) Pórticos (estructuras) de concreto armado: Los nudos suelen considerarse rígidos.
En estructuras de concreto armado lograr nudos o uniones articuladas suele ser .
problemático ..
Vigas Ycolumnas,
elementos 1D
Nudo Rígido
O"x
Muro o placa,
elemento 2D
crz
ay
Componente o pieza
de un equipo
4) Estructuras mixtas
I¡)
36
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37
Unión viga - viga
BoltsorLoaded beam
Nudo rígido (planchas de acero y pernos)
Nudo de un tijeral de madera
Unión simple columna - viga
Uniones simples columna - viga
Steel U bracket
welded 10Iopor
ate!!1column
Base de una columna de madera
b) Pórticos (estructuras) de madera: Suele ser complicado lograr uniones rígidas,
salvo las uniones encoladas.
37
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38
Unión rígida empernada
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o o
Uniones simples (de cortante)
Unión empernada con
planchas y cartelas
Unión empernada con cartelas soldadas
e) Pórticos (estructuras) de acero: Existe una gran variedad de conexiones: rígidas, t
semi-rfgidas, simples (conexiones de cortante). Existen en esencia dos métodos para
conectar elementos en una estructura metálica: pernos y soldadura, los remaches han
cardo en desuso.
38
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39
Construcción compuesta. Viga
metálica. deck (plancha de acero
plegada) y losa de concreto.
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Unión rígida empernada
Unión rígida con
soldadura y pernos
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40
2.1 Bases del Análisis Estructural
Los problemas más simples del análisis estructural son los estáticamente determinados,
ya que éstos pueden ser resueltos aplicando únicamente las ecuaciones de equilibrio.
La idea central es que en estos problemas las fuerzas internas en los elementos (barras)
pueden ser calculadas sin considerar las deformaciones de la estructura. Esto significa
que el análisis estructural puede ser realizado sin conocer de antemano las propiedades
y comportamiento del material ni las secciones transversales de las barras.
En una estructura hiperestática, las ecuaciones de equilibrio son insuficientes para
determinar las fuerzas internas en los elementos constituyentes, siendo necesario
formular ecuaciones adicionales. Las condiciones de continuidad o compatibilidad de las
deformaciones en la estructura, conducen a las ecuaciones adicionales necesarias.
Adicionalmente se requiere conocer las relaciones fuerza - deformación (relaciones
constitutivas) de los elementos que componen la estructura. Para estructuras linealmente
elásticas, estas relaciones provienen de la ley Hooke.
Las estructuras indeterminadas, que aparecen con mucha frecuencia en los problemas
de análisis estructural, presentan algunas dificultades adicionales para el ingeniero
estructural. En primer lugar, el análisis es bastante más laborioso y complicado en
comparación con las estructuras estáticamente determinadas. En segundo lugar, el
análisis estructural solo puede ser realizado considerando la geometría de las
deformaciones, esto significa que es necesario conocer de antemano las características
mecánicas del material y de los elementos estructurales. Una selección inicial
inadecuada de las caracterfsticas de las barras, puede ser corregida únicamente
realizando una nueva selección y volviendo a realizar el análisis.
En consecuencia, la mayoría de los problemas estructurales deberán realizarse
aplicando las siguientes tres condiciones o principios básicos:
1) Equilibrio: de la estructura, de las barras o elementos y de los nudos.
2) Compatibilidad y Condiciones de Contorno. También llamada las relaciones
Deformación - Desplazamiento. Los movimientos de los extremos de las barras (o !.
elementos) deben ser compatibles con los desplazamientos de los nudos. Esta
condición puede expresarse mediante la siguiente relación: {d} = [A] {D} donde {d} y •
{D} son los movimientos de los extremos de las barras y de los nudos
respectivamente y [A] es la Matriz de Transformación de Desplazamientos (véase el
Acápite 7.3).
3) Relaciones Constitutivas. También llamadas Relaciones Fuerza - Desplazamiento.
las fuerzas (esfuerzos) en cada barra (elemento) y sus desplazamientos deben
satisfacer las ecuaciones derivadas de los diagramas constitutivos (O' - E) del material. '
Esta condición puede expresarse mediante la siguiente relación: {q} = [k] {d} donde ;, ,
{q} son las fuerzas de extremo de barra y {d} los desplazamientos correspondientes ••, '
y [k] es la Matriz de Rigidez de la Barra (véase el Capitulo 4).
la solución de cualquier problema de análisis estructural deberá cumplir con las tres ' '
condiciones o principios básicos mencionados, independientemente de:
- Del método de análisis utilizado (rigidez, flexibilidad, mixto).
, Del comportamiento de la-estructura: elástica, inelástica, deformaciones pequeñas,
deformaciones grandes.
Del material de la estructura: linealmente elástico, elastoplástico, no lineal, etc.
- De las solicitaciones (cargas) que obran sobre la estructura: estática, dinámica,
asentamientos, cambios de temperatura, etc.
CAPITULO 2 -Bases del Análisis Estructural
40
. _.~--- - ~_.._- .-'- ..;_:__--::_--_...: ~__ .:..._.....- "
·... .
;~~:_ .._...._..~-...

41
Compresión
paralela a la fibra
-+-------3> EIIl
Comportamiento de la madera en compresión
paralela a la fibra, E$luerzo o limite de
proporcionalidad ::ti 300 kglcm2
400
300
Barra 1: Madera, compresión paralela a la fibra. E = 100,000kg/cnr', A = 150cm2 (piezade
4"x 6")
~ ~1f'----3·60----,r1
T2.70
J
{ F }3xl = [ K 13X3 {~hx)
[K] es la Matriz de Rigidez Lateral del pórtico plano
A continuación se presentan tres ejempíos simples de la apücaoíón de los tres principios
básicos mencionados.
Ejemplo 2-1 La armadura plana mostrada a continuación está formada por dos barras
dé'dlferente material, la barra hortzontal es de madera y la iliclim:tda de acero. Nótese
que ¡a estructura es isostática. por lo tanto las eouaciones de eqúilibrio son suficientes
para determinar todas las fuerzas internas y reacciones. Sin emb.argo.para determinar
la configur~ción deformada de la estructura, en este caso el movimiento dei nudo 2, será
nece$ano conocer las propiedades de los materiales de las barras y sus secclones
transversales y utilizar los otros dos principios básicos del análisis estructural.

Columna envolado
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F~
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A.
1 1/
7T
1
Sección de una viga en flexión pura.
Relación Momento- Curvatura
F3 ' ,
~ ~ 3
Resorte
F=kA
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M=EI el>F
Los siguientes son algunO$ ejemplos de Relaciones Constitutivas (Fuerza -
Despl~~miento) para estructuras simples linealmente elásticas:
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42
AH = di = 0.096 cm
d dAv = _2_ + _1- = 0.503 cm
sens tan9
I
/
<, I
.......¿Posición final
2' del Nudo 2

d2 = 0.225 cm

dI =0.096 cm
e) Compatibilidad. Las barras deben moverse de tal modo que permanezcan rectas y ,
sigan estando unidas en el nudo 2. Por ser pequeños los desplazamientos del nudo 2, se ;
han sustituido los arcos por sus tangentes "
c¡ = Ee ~ Al = q
I
EA
-4000 x 360 .
di = S =-0.096 cm [acortamientc)
10 ><150
d - 5000 x 450 - O225 ( I . )2 - -. cm a argamtento
2xl0'x5
3,000
2
9 == 36.87 o
q,= -4,000 kg (compresión)
-4000 2
0',= ~ 27 kglcm
150
q2= 5,000 kg (tracción)
0'2= 5000 = 1,000 kglcm2
5
Nótese que las ecuaciones de equilibrio se han planteado sobre la configuración
indeformada de la estructura, es decir, se ha supuesto que los desplazamientos del nudo
2 serán pequeños. Esta hipótesis deberá verificarse cuando se calculen los
desplazamientos del nudo. Adicionalmente los esfuerzos calculados en las barras,
indican que éstas se encuentran en la zona de comportamiento lineal elástico.
b) Relaciones Fuerza - Desplazamiento (O' - 8): Material linealmente elástico.
a) Equilibrio estático: Nudo 2
Q2
Comportamiento del acero en tracción.
Esfuerzo de fluencia 2,500 kglcml
fY= 2500
Barra 2: Tirante de Acero. E = 2xI06 kglcm2 A = 5 cm2 (barrade diámetro el» = 1")
42
o ,Oo.=: ;0:'0":;- :'0' 'O. _ OO': O ,'O'." " ... ~ •• ,......
.....;~~:..:i.;;.:.;...;:..~,,¡:; .,n;. .." .•~;:~I:"O"~",,,,,: •.., ¡.

43
Sección simétrica respecto
del eje y plano de carga
Flexión pura
o-{;$.;-- ...
Ejemplo 2..3 Determinar las relaciones F - 8 (en este caso las relaciones Momento -
curvatura) en una sección sometida a flexión simple.
2 ~=o.225cm
'[:>a::Z::Z::Z:::Z:Z::Z::Z:Z:::¡!:Z:z:::;i!ZZ:z%:z:::r¡q...: ~o 111V
1/
2'~
I Posición final
del Nudo 2
Il = OH
Ilv =..!!.L = 0.375 cm
senü
d2 =0.225 cmdI =0b) Relaciones o- E
c) Compatibilidad
q2 = 5,000 kga) Equilibrio Nudo2: No cambia. ql = - 4,000 kg
6
E=2xlO
A=5 el')
.,'
Se puede apreciar que el desplazamiento del nudo 2 es pequeño comparado con las
dimensiones de la estructura indeformada.
. Ejemplo 2..2 Consideremos la armadura del problema anterior con la diferencia que la
barra 1 es un sólido rlgido (indeformable). Lo interesante de este problema es comprobar
que, dado que la estructura es isostática, las fuerzas en las barras no cambian, sin
embargo el desplazamiento del nudo 2 es dependiente de las propiedades de las barras.
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p
ex= ![crx-U(cry+cr:)]
'crJI = crZ' = O (Supuesto)
a,= E ex
e) Relaciones o - E
EX = IJ - IJ original = (p - y).6.9 - p.6.9
IJ original pA9
:. Ex=-;
Giro relo.tlvo de
elos secciones
veclnQs=M
¿Mz=-M;: = JyO"x dA=O
A
En este caso, las ecuaciones de equilibrio relevantes son:
LFx= IcrxdA=O (1)
A
-Mz = Jy crx dA=O (2)
A
La distribución de los esfuerzos ox debe satisfacer las ecuaciones 1 y 2. El problema
en esencia hiperestático ya que se podría pensar que hay infinitas incógnitas ox en
infinitos puntos de la sección.
b) Compatibilidad. Hipótesis de Navier, las secciones planas permanecen
Pennite reducir la hiperestaticidad a un grado.
¿Fx = J<r;r dA=O (no hay fuerza axial)
JI
¿FY =O~ Automático ya que Txy =O (flexión pura)
¿Fz= O~ Automático asumiendo 't,e =O
¿MX =O~ Automático ya que Txy = T.c =O
¿Ñ6'= JZ<rx dA = O-+ Sección simétrica y esfuerzos simétricos
JI
a) Equilibrio:
44
!
¡
1~
i
¡
r
!!.

45
9'::::: e? - - ~(-
Geometría 2'
Defo nn ada
p2" 9
La ecuación de
equilibrio estático se
fonnuJa sobre la
geometría indeformada
2.2 Hipótesis Básicas del Análisis Estructural
2.2.1 Primera Hipótesis Básica - Desplazamientos Pequeños : También conocida
como Hipótesis de las Dimensiones Iniciales. Plantea que la geometrfa de la estructura
no cambia apreciablemente luego de la aplicación de las cargas.
Supondremos que las barras (elementos) que componen la estructura son lo
suficientemente rrgidas como para no sufrir deformaciones importantes bajo la acci6n de
las cargas (solicitaciones) y la geometrra inicial varia muy poco. Por Jo tanto, las
ecuaciones de equilibrio se pueden plantear a partir de la geometría de la estructura
indeformada.
Dicho de otro modo, supondremos (con cargo a verificar) que los desplazamientos de la
estructura son pequeños y geometrfa inicial no varia significativamente.
Existen diversos métodos de análisis estructural que trabajan sobre la base de las
teorlas de segundo orden (grandes desplazamientos) tomando en cuenta el cambio de la
geometría de la estructura. Estos métodos de análisis, que abordan el comportamiento
de las estructuras con grandes desplazamientos, normalmente trabajan sobre un
esquema iterativo de aproximaciones sucesivas, ya que las ecuaciones de equilibrio no
pueden formularse hasta conocer la configuraci6n deformada de la estructura.
Cuando en una estructura se produce un cambio importante en la geometria, de tal
forma que se afectan las ecuaciones de equilibrio planteadas a partir de la geometria no
deformada, se dice que es una Estructura con No Linealidad Geométrica.
El comportamiento de este tipo de estructuras no lineales, escapa al alcance de estos
apuntes. En consecuencia trabajaremos únicamente con teorfas de primer orden
(desplazamientos pequeños) y siempre será posible verificar, al concluir el análisis, la
validez de esta hipótesis.
A continuación se muestran dos casos simples en los cuales se ilustra el principio de los
desplazamientos pequeños:
Reemplazando ex = -E y Ip en (2)
M=- JyuzdA = E JyldA= E Iz =:> Mz=IElz
A P A P P
Mzy
a =---
x lz
fy dA = O => Eje neutro pasa por el centro de gravedad de la sección
A
JydA=O
A
E
-- IydA=O :::::>
p A
Reemplazando en (1)
45
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-:;)
Para que la superposición sea válida, los desplazamientos deben ser, como
general gruesa. varios órdenes de magnitud menores a la dimensión caracteristica de
estructura. El intervalo en eLcuallos desplazamientos .estáncomprendidos entre 0.01 L .
0.1 L (siendo L la dimensión caracterrstica de la estructura) suele ser una región
transición entre los desplazamientos pequeños y los grandes. Sin embargo
valores son tan solo referenciales y dependen mucho del tipo de estructura y las
actuantes.
Equilibrio en la posición deformada:
MI=P(a+6.)
pero A=f(p)
MI =P a+P (f(P»
:. no hay una relación lineal entre MI y P
Equilibrio en la posición no deformada:
Ml=Pa
:. existe una relación lineal entre MI y P
aJI
Si A « a entonces el momento en la base se puede aproximar, con un
despreciable, mediante MI = Pa. En este caso, ya que el material de la estructura
linealmente elástico, será válido el principio de superposición, por ejemplo, si
duplicara la carga P se duplicarla también el desplazamiento A.
Si no se cumpliera lo anterior, estaríamos frente a un caso de ~~~::!"",!,~.=!,!...J=:"':
debida a una no linealidad geométrica :....recuerde que hemos supuesto que
comportamiento del material es linealmente elástico en todo el rango de repuesta de
estructura - y no seria aplicable el Principio de Superposición. A diferencia del
anterior, si se duplicara la carga, no seria posible afirmar que el desplazamiento tanlDlemjl,/.'
se duplicará.
Conclusión: Cuando una estructura presenta no linealidades geométricas,
aplicable el principio de superposición.
Ejemplo 2-4 Asumimos que el material de la barra es linealmente elástico.
1/ p,¡
/ El," ~ - ~2'
2.2.1.a Algunos ejemplos de No LInealidad Geométrica.
A es Josuficientemente pequefio para poder
despreciar el cambio en la geometría por el
efecto de las cargas aplicadas.
46
9' :::;9

47;
L
_ EA 3 2 2
Pr= I! (A + 3fA +2f A) (B)
La relación no lineal es producto del cambio en la geometría de la estructura por la
acción de la carga P, no es producto del comportamiento del material ya que hemos
supuesto que el material es linealmente elástico para todo el rango de comportamiento.
En este caso el principio o hipótesis de los Desplazamientos Pequeños no es aplicable
ya que para alcanzar el equilibrio es necesario un cambio importante en la geometria de
la estructura, en consecuencia el equilibrio del nudo 3 debe plantearse sobre la
geometría deformada.
En este caso la relación entre la carga y el desplazamiento vertical del nudo 3, es no
lineal (véase ellíbro de White), y viene dada por la ecuación (B).
cr=E&
p
JI
L
- Caso 2: La flecha "f" es pequeña.
L
; I
P=K8
En este caso se puede plantear el equilibrio del nudo 3 en la posición no deformada de la
estructura. la relación entre la carga y el desplazamiento vertical del nudo 3 es del tipo
lineal y viene dada por la ecuación (A).
2EAf2
P= (L2 +f2)3/2 8 (A)
' ¡
,
l : f
j ;
LL
Ejemplo 2-5 Asumimos que el material de las dos barras que conforman la estructura es
linealmente elástico en todo el intervalo de repuesta de la estructura.
- Caso 1: La flecha "f" no es pequeña.
La única repuesta cierta, relativa a cuán pequeños deben ser los desplazamientos, es la
siguiente: Los desplazamientos son pequeños cuando las ecuaciones de equilibrio,
planteadas sobre la geometriá no deformada, dan los mismos resultados que los
obtenidos a partir de las mismas ecuaciones de equilibrio planteadas sobre la geometrla
deformada final.

,,
¡1 I
I I
I :
1 11
I
I~i-)
,,
¡,
?

~___'A
+M:s
Ip :. La relación entre
M y II no es lineal~M
Jb.s>~+ 61
Ms=M+Pb.s
f«pcr ~P
~M E~
.~p-~
Ms=M~
b.s=.f(M.P)
/
EI,EA
; Ejemplo 2-6 los dos ejemplos siguientes, son casos de no - linealidad a los que se les ..
suele llamar Efectos P - A. Asumimos que el material de las barras es linealme IL"·,,·~'l
elástico.
201510
Desplaz ~ (cm)
5o
...----__ !~- _ __.__---~ -_ -- _ ---_ -_ - -
: : ::::variable.................._ - ~ , t- .... .. .. ..
. . -'?"'-----f
..... -- - ; !!"..,~ ..~- !"_ " .. ':.. ~ ; ~ .. - _ ..
. .. .............; - ! .
o~~~~------~:------~;------~
m
Caso 2 - flecha f= 0.05m. Con la ecuación (B) se obtiene:
1 A ~ 7.41 cm (Al f= 1.48)
j
1 K = variable
li' Si se aplicara la ecuación (A) obtendríamos A ~ 32.03 cm, deflexión mucho mayor que la .
f flecha inicial.
Equilibrio en la configuración indeformada: FI = F2 = 40,000kg 0'1 = az = 8,000kglcm2
¡ Equilibrio en la configuración deformada: FI = F2 = 16,150kg (JI = 0'2 =3.230 kg/cm2
1 Por lo tanto no es aplicable el principio de los desplazamientos pequeños. A continuación ·
I se muestra la relación P - Il. para ambos casos. Nótese que, para f (flecha) pequeña; .
11
medida que se incrementa la carga la rigidez tangente del sistema también
incrementa.
20,000 ,-.r------~: - --~:---~:-----,
18,000 . ""'1 ¡ ¡ .
1SJOOD ~ .. -. __••• -._--~-- -- -- ---.- -- - ;-' --_ -- -- _ -- -- -- -_ - ---
f= 1 m : : :.-.. 14,000 .. , : :...............•. : "._.
~ :: ...
.._, 12.000
e,
«1 10,000
co
~ 8,000
6,000
4,000
2,000
Asignemos valores numéricos a esta estructura:
E = 2xl06 kglcm2, A = 5 cm2, L = 2 m, P =2,000kg
Caso 1 - flecha f= 1m. Con la ecuación (A) se obtiene:
A ~ 0.112 cm (6 I f= 0,112%)
K~ 17,890kglcm
Equilibrio configuración indeformada: F, = F2 = 2,236kg 0'1 =0'2 = 447kglcm2
Por Jotanto eS aplicable el principio de los desplazamientos pequeños.
48

49

El /
I
h M- Masa concentrada
k- Rigidez lateral
T- Período de vibración
Se reconoce dos tipos de equilibrio, el estático y el dinámico. Supondremos que las
cargas se aplican lentamente sobre la estructura, gradualmente desde cero hasta su
valor final, de tal modo que la estructura queda en reposo en su configuración
deformada. A partir de ese instante la estructura no sufre cambios en su posición ni en
su forma deformada. A ésta se le llama la posición de equilibrio estático de la estructura.
En el equilibrio estático supondremos que no se producen vibraciones ni fuerzas de
inercia significativas.
Por el contrario, si las cargas se aplican súbitamente o si presentan una variación rápida
en el tiempo, entonces estaremos frente a un problema de equilibrio dinámico en el cual
la solución no es única, la respuesta de la estructura será una función, en algunos casos
compleja, del tiempo.
En resumen, en los problemas de equilibrio estático no se desarrollan fuerzas de inercia
significativas. Las fuerzas internas en las barras deben equilibrar únicamente a las
cargas externas. En los problemas de equilibrio dinámico se desarrollan- fuerzas de
inercia significativas y las fuerzas internas en las barras deben equilibrar no solo a las
cargas externas, sino también a las fuerzas de inercia.
En general, en este curso, el equilibrio estático se aplicará a:
La estructura completa debe estar en equilibrio.
Cada una de las barras debe estar en equilibrio.
Cada uno de los nudos debe estar en equilibrio.
Observemos las diferencias entre el Equilibrio Estático y el Dinámico mediante el ejemplo
simple que se presenta a continuación:
A Ys Dependen de F y P
A
M(y)= Fy+P-¡;y+PtS
2.2.2 Segunda Hipótesis Básica - Equilibrio Estático
Pll.y/h

Fb+ PLl
IP«Pcr
+ b. p
M ¡y
l"tLAY
I h
III
~
I
h...1
,
1
¡ )
j
---}
-)
----)
iI
I
i
i¡
! ,t¡
1
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i
I
f
I
I t
I
I j
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1
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J
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---j
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=9
!
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~
-=3
~
l)
-"1
...
i
}

0.4 0.11
Tierripo (seg)
0.2 1.00.80.0
..,' ; rlesPlazamiento• • ¡
j ¡ Bst4tico
O.O.JL-----i-----i-----;-· - --....;-. ----j
.-. 0.8
!
~ o.e
10.4
1.0
F(/) = V(t) + M 2(t)
F(t) =k Z(/) + M 2(/)
k Z(/) = F(/) - M 2(t) {B)
La comparación de las ecuaciones (A) y (B) indica que en el caso dinámico, las
internas (V(t) == k Z(t» deben equilibrar no solo a las cargas externas sino también a
fuerzas de inercia que se generan.
La variación en el tiempo del desplazamiento lateral (Z(t» se muestra a
Para la solución se ha supuesto un amortiguamiento pequeño del tipo viscoso de ~== 1
Carga Din~mica.Rampade Oa 8,000 kg en to =0.02 seg
T = 0.1 s tofT '" 0.2 Amortlg'"1%
1.2
V(t)=kZ(t)
La ecuación de equilibrio, en el caso dinámico y asumiendo que no existe
amortiguamiento (~= 0%) será:
Ft-,M
F(t)"r+-FI(t) =MZ<t)
(J
- Ahora asumamos que la carga lateral se aplica rápidamente (fa ~ O). El equilibrio
horizontal de la masa concentrada en el extremo superior requerirá en este caso, la
presencia de fuerzas de inercia (FI (t»:
Z(t)V(t)
La variación en el tiempo de la fuerza cortante y del desplazamiento lateral, cuando la
carga se aplica lentamente será:
F(t) = V(t) F(/)= k Z(t)
k Z(t) =F(t) (A)
k Zmax= Fa
F(t) )jM
~V(t)
- Asumamos que I~ carga lateral se aplica lentamente (to» T). El equilibrio horizontal I
de la masa concentrada en el extremo superior (M) es:
50

Condicionesde contorno
de desplazamientos
prescritosen losnudos
{DI} = {O,O,O}
{04} = {O,a,O}
51
Condiciones de contorno
de fuerzas en los nudos
{F2} = {lO,O,O}
{F3} ::; {O,-20,O}
2.2.4 Cuarta Hipótesis Básica - Condiciones de Contorno
Si no se.jntroducen las condiciones de contorno, los problemas estructurales no estarían
completamente definidos. Estas condiciones se especifican en función de fuerzas (por
ejemplo en los nudos o en los elementos) y en función de los desplazamientos prescritos
en algunos de los nudos.
En el nudo 3 hay dos giros
independientes, por Jotanto las
rotaciones de las barras 2 y 3 no
son iguales. Sí hay compatibiJidad
de desplazamientos en X e Y
En los nudos 2 y 3 hay
compatibilidad de giros y de
desplazamientos.
p-r-
~ r.-,-...--='==-=~=======:::::-:~
F
2.2.3 Tercera Hipótesis Básica - Compatibilidad
la deformaci6n y el desplazamiento de cualquier punto de la estructura. bajo un sistema
de cargas, son únicos y varian de manera ccntlnua..
Este principio se emplea para compatibilizar los desplazamientos de los extremos de los
elementos (barras) que concurren a un nudo con los desplazamientos del mismo. Esta
condición puede expresarse mediante la siguiente relación: {d} = [Al {D} donde {d} y
{D} son los movimientos de los extremos de las barras y de los nudos respectivamente y
[Al es la Matriz de Transformación de Desplazamientos (véase el Acápite 7.3).
)

._!2!.

~29
Solución B
lJ.2°Okg
13.00
1Solución A
52sT
~ 1
~
~7S
[, 2.00 It 2.00 [,
1 '1 1 .~:
Asumamos que el pórtico de la figura anterior es de sección constante, con la viga y .~;
columna de 0.25xOAOm y módulo de elasticidad E = 200,000 kgl cm2• Despreciemos las 1:
deformaciones axiales y las deformaciones por corte de ambos elementos. .
Ambas soluciones están en equilibrio, sin embargo, solo la solución B es válida o.~ .
correcta, ya que la solución A no satisface las.condiciones de contorno. Para demosfrarJ <
esta aseveración; removamos. de ambas soluciones la restricción horizontal que hay en :- ,
el nudo (apoyo) 2, la estructura se convierte en lsostática además de seguir siendo; _
estable. Si la solución A fuera la correcta, al retirar la restricción hoñzontal en el nudo 2 l
y reemplazarla por el valor de la reacción como si fuera una fuerza externa, deberiamos ~
obtener un desplazamiento horizontal nulo en el nudo 2. <
.~
J
Si se restan las dos configuraciones deformadas de la figura anterior, se obtiene la i
estructura sin cargas externas pero deformada, lo cual no es posible; en consecuencia la "1
configuración deformada es única.
Ejemplo 2-7 Muchas veces solemos verificar 10$ resultados del análisis estructural,
comprobando el equilibrio global de la estructura. Esta comprobación simple, no siempre
garantiza que .los resultados son los correctos. Por ejemplo en la figura a continuación,
se muestra una misma estructura con dos juegos de reacciones y sus diagramas de
momentos, ambos en equilibrio.
"
I
J/

'"

I
------ ~¡
:1
. ¡
I
I
I

------
2.2.5 Quinta Hipótesis Básica - Unicidad de las Soluciones
No son posibles soluciones alternativas a íos problemas de análisis estructural. Para una
estructura sometida a un sistema de cargas, tanto la configuración deformada, las
fuerzas internas y las reacciones (en general la respuesta) tienen un valor único.
Este principio se puede demostrar por la hipótesis del contrario. Supongamos que un
mismo sistema de cargas actuando sobre una estructura, produce dos configuraciones
deformadas en la estructura:
52

Solución
Correcta.

ins.6
53
I
• 17].4
t471.4
171.4.
r
4171
t2:9
En consecuencia a pesar de que ambas soluciones están en equilibrio sólo la B es válida
o correcta ya que la A no satisface las condiciones de contorno (compatibilidad) en los
apoyos. La solución correcta o verdadera es:
I
Solución B en
equilibrio y
compatible.

,

Solución A en equilibrio.
No compatible.

7675
Solución B. El desplazamiento horizontal del nudo 2 resulta nulo
l200

AH :::0.0563 cm 1,200
100 __..~'.__' __:L-_---..._--,
- ---r~ ... 10
lo _ ~
i -----
525
i67l1
El desplazamiento horizontal en el apoyo 2 debería ser cero. Si calculamos el
desplazamiento hortzontal, utilizando por ejemplo el Método de las Fuerzas Unitarias
(Trabajo Virtual), obtendremos un desplazamiento .de 0.0563 cm, valor que no es
consistente con la condición real en el apoyo 2, por lo tanto la solución A, no es válida.
Isostátiea
y estable
52S
.~ Solución A
,
l
)
}
,
)
)
)
)
)
)
t;l,
}
¡ )!
1
)
)
,¡
)
)
)
)
--i
)
)
)
)
} f'

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