Aplicación de Ecuaciones Diferenciales de Primer Grado en la Ingeniería Industrial

“Año de la Promoción de la Industria Responsable y del Compromiso Climático”
Universidad San Pedro
Facultad de Ingeniería
Escuela Académico Profesional de Ingeniería Industrial
CICLO: IV
ASIGNATURA: CÁLCULOIII
DOCENTE: Lic. María Baila Gemín
TRABAJO: “Aplicación de Ecuaciones Diferenciales de
Primer Orden en la Ingeniería Industrial”
INTEGRANTES: García Burgos Antony
GuimarayHayaEmerson
Torres Roldan Edward
AÑO:
2014

Cálculo III – Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Grado 2
DEDICATORIA
A Dio s po rque enriquec e nuestro s
c o no c im iento s y po dem o s ser así
perso nas de bien.

AGRADECIMIENTO
A todas aquellas personas que nos brindaron su
apoyo en la consecución de este trabajo.

ÍNDICE
CARATULA.…………………………………………………………………..………….……..…..1
DEDICATORIA………………………………………………………………………………...…...2
AGRADECIMIENTO…………………………………….…………………………………..……..3
INDICE…….……………………………………………….……………………………….…….…4
INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………………..….5
MARCO TEORICO…………………………………………………………………………….…..6
PROBLEMATICA…………………………………………………………………………...…..…9
OBJETIVO…………………………………………………………………………………………10
EJEMPLOS APLICADOS ALA INGENIERIA INDUSTRIAL……………………………...….11
CONCLUSIONES………………………………………………………………………….……..22
REFERENCIAS……………………………………………………………………………..…….22

INTRODUCCIÓN
La importancia del Cálculo Integral en el mundo actual es enorme, ya que la ciencia y la
tecnología moderna sencillamente serían imposibles sin él. Las leyes de la naturaleza se
expresan mediante ecuaciones que involucran funciones y sus derivadas e integrales, y el
análisis de estas ecuaciones se realiza mediante las herramientas del cálculo. Por esa
razón los cursos de esta materia aparecen en los planes de estudio de todas las carreras
científicas y técnicas.
El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una
vez construido, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la
aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de
cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de
ideas que hacen posible su nacimiento.
Es muy interesante prestar atención a la cantidad de conocimientos que se acumula,
desarrolla y evoluciona a través de los años para dar lugar, en algún momento en
particular y a través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de
una nueva teoría, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante
para el estado actual de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento. El Cálculo
cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de
veinte siglos.
Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de una u
otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del desarrollo matemático
interactúan constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna.

I. MARCO TEORICO:
APLICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Modelados matemáticos:
Es común y deseable describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno de la vida
real, ya sea físico, sociológico o incluso económico, en términos matemáticos. La
descripción matemática de un sistema o un fenómeno se llama modelado matemático y
se construye con ciertos objetivos.
Por ejemplo que se desee entender los mecanismos de cierto ecosistema al estudiar el
crecimiento de poblaciones animales, se podría fechar fósiles al analizar su
desintegración de sustancias radiactivas
Construcción de un modelo matemático
Identificación de las variables a las que se atribuyen el cambio del sistema. Al principio se
podría elegir no incorporar todas estas variables en el modelo. En este paso se esta
especificando el nivel de resolución del modelo
Se elabora un conjunto de suposiciones razonables, o hipótesis acerca del sistema que se
está intentando describir estas suposiciones también incluirán algunas leyes empíricas
que podrían ser aplicables al sistema.
Nota: el hacer un modelado matemático es como estar realizando una investigación
científica o un método científico aplicando como un algoritmo o una receta más práctica y
sencilla. Porque primero se observa el fenómeno se crea la hipótesis se hacen algunas
predicciones y al final experimentos.

A continuación un diagrama de un modelado matemático:
Importante: un modelado matemático de una sistema físico suele intervenir la variables
tiempo t. entonces una solución del modelado da el estado del sistema; en otras palabras,
los valores de la variable dependiente (o variables) para valores apropiados de t describen
al sistema en el pasado, presente y futuro
Las ecuaciones diferenciales se pueden aplicar en diferentes ramas y aplicaciones
cotidianas y no tan cotidianas o más bien un poco más científicas.
Dinámica de población: la suposición de que la rapidez a la que crece la población de un
país en cierto tiempo es proporcional a la población total del país en ese momento la
ecuación para este modela do es:
𝑑𝑃
𝑑𝑡
∝ 𝑃 𝑜
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝐾𝑃
Desintegración radiactiva: para modelar el fenómeno de desintegración radiactiva se
supone que la rapidez de dA/dt a la que se desintegra los núcleo de una sustancia es
proporcional a la cantidad (con más precisión, el numero de núcleos esta sería su
ecuación diferencial:
Suposiciones Formulación
matemática
Comprobarlas
prediccionescon
hechosconocidos
Obtengasoluciones
Exprese lassuposiciones
entemimosde
ecuacionesdiferenciales
ResuelvalasE.D
Mostrar las
prediccionesdel
modelado
gráficamente
Si es necesario
modifiquelas
suposiciones

𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 𝐾𝐴
Ley de enfriamiento de newton: de acuerdo con la ley de la rapidez que cambian la
temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del medio y
la temperatura del medio circundante esta es la ecuación:
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝐾(𝑇 − 𝑇 𝑚)
Propagación de una enfermedad: una gripe se disemina en una comunidad por medio de
la gente que entra en contacto con otras personas. Sea x(t) el número de personas que se
han contagiado con la enfermedad y y(t) el número de personas que aun no se contagian
esta sería la ecuación:
dx
dt
= Kxy
Reacciones químicas: estas se usan para ver la rapidez de los compuestos cuándo estos
mismos se combinan;
dx
dt
= K(a − x)(β − y)
Circuitos en serie: este circuito contiene resistores, capacitores y un inductor. La corriente
en un circuito después de que se cierra un conmutador se detona mediante i(t) la carga de
un capacitor en el tiempo t se detona por q(t().. ahora de acuerdo con la segunda ley de
kirchhoff el voltaje impreso(t) en un circuito cerrado de ser igual a la suma de sus caídas
de voltaje
L
𝑑2
𝑑𝑡2 + 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑞 = 𝐸(𝑡)

Cables colgantes: sé acuerda examinar solo una parte o elemento de los cables entre un
puto mínimo p1 y algún punto arbitrario p2.
Siempre cuando los cables se ponen en una línea de transmisión que da una curva de
una sistema coordenado rectangular donde se elige que el eje y pase por el punto mínimo
p1 sobre la curva y el eje x elegido a unidades debajo de p1. tres fuerzas están actuando
sobre el cable que son tangentes al cable p1 y p2 respectivamente W de la carga vertical
total entre los punto p1 y p2 se T1=(t1), T2(t2) y w=(w) las magnitudes de esos vectores.
Ahora la tensión de T2 se descompone en los componentes horizontal y vertical, como
resultado del equilibrio estático:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑤
𝑇1
II. Problemática
Mediante la aplicación de ecuaciones diferenciales se pueden resolver muchos problemas
que todo estudiante universitario o investigador pueda enfrentar durante su vida
académica y/o profesional en las investigaciones, desarrollo de aplicaciones, teorías,
experimentos, etc. Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones
algebraicas, en los que aparecen valores conocidos y desconocidos, tiene como uno de
sus objetivos desarrollar un buen nivel de abstracción; El estudio teórico de las
ecuaciones diferenciales comenzó a desarrollarse a finales del siglo XVII
(simultáneamente con la aparición del cálculo diferencial e integral), actualmente las
ecuaciones diferenciales se han convertido en una de las herramientas más poderosas
para la investigación de fenómenos naturales, especialmente sus aplicaciones que son la
base para la solución de muchos problemas de ciencia y tecnología, como lo son varios
del campo de la construcción de maquinaria eléctrica o dispositivos radiotécnicos, el
cálculo de trayectorias de un objeto o partícula, el curso de una reacción química,
fenómenos económicos que se resuelven por medio de ecuaciones diferenciales, etc.
Teniendo este gran espectro de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales y siendo el
acelerado desarrollo tecnológico y el que se vislumbra en un futuro próximo motor de
nuevas exploraciones de la matemática aplicada, se hace necesario que el estudiante de
ingeniería tenga un acertado conocimiento del tema que le permita interactuar con mayor

facilidad en las decisiones empresariales del futuro. Además en los trabajos desarrollados
por estudiantes y especialmente en los proyectos de grado se han detectado deficiencias
relacionadas con el manejo de variables en la modelación de un problema, el manejo e
interpretación adecuados de los datos obtenidos en laboratorios y elaboración de
informes.
Es por ello que el estudiante universitario debe conocer, desarrollar y aplicar las
ecuaciones diferenciales para poder resolver los problemas que se le presentan siendo
importante conocer formas de aplicar en su vida cotidiana en el desarrollo de problemas
directamente relacionados con la carrera de ingeniería industrial
III. OBJETIVOS:
 Desarrollar habilidades para la selección y aplicación de métodos analíticos, cualitativos y
numéricos en la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden.
 Introducir al estudiante en el análisis de la solución de ecuaciones diferenciales de primer
orden.
 Potenciar el desarrollo de competencias para la resolución de problemas propios de la
Ingeniería Industrial.

IV. EJEMPLOS:
1. Un producto nuevo de cereal se introduce a través de unas campañas de publicidad a
una población de 1 millón de clientes potenciales. La velocidad a la que la población se
entera del producto se supone que es proporcional al número de personas que todavía
no son conscientes del producto. Al final de un año, la mitad de la población ha oído
hablar del producto. ¿Cuántos han oído hablar de él por el final de 2 años?
SOLUCIÓN
En primer lugar definimos las variables que forman parte del problema:
y : es el número en millones de personas (clientes potenciales).
t : tiempo que han oído hablar del producto.
(1-Y): es el número de personas que no han oído de este.
𝒅𝒚
𝒅𝒕
: la velocidad a la que la población conoce sobre el producto.
En segundo lugar especificamos la expresión diferencial que describe el problema.
𝒅𝒚
𝒅𝒕
= k (1- y) Ecuación Diferencial
Para resolver la ecuación diferencial:
Separamos las variables:
dy = k (1 - y) dt Forma Diferencial
𝒅𝒚
(𝟏−𝒚)
= k dt
Integramos a ambos lados de la igualdad.
ʃ dy = ʃ k dt
(1 - y)
Esta ecuaciónsignificaque latasa
de cambiode y,es proporcional a
la diferenciaentre 1y y.

Y = 1 - C℮^(- kt) Solución General
Y = 1 - ℮^(- 0.693t) Solución Particular
- ln ǀ1 - yǀ = kt + C1
Ln |1 - y | = - kt + C1 Multiplicamos por -1
1 – y = ℮^- kt + C1 Aplicamospropiedadde loslogaritmos yasumimosque y < 1
Y = 1 - C℮^(- kt)
Para el cálculo de la solución particular se debe aplicar las condiciones iniciales del
problema a la solución general, es decir:
y = 0 cuando t = 0, por tanto C = 0
y = 0.5 cuando t = 1, por tanto k = ln 2 = 0.693 0.5 = 1 - ℮^(- k)

En la solución particular reemplazamos t por 2, esto es el número de años que ha
transcurrido desde la publicación del producto y sobre el cual se va a evaluar el total de
personas que lo conocen hasta el momento.
Y = 1 - ℮^(- 0.693(2))
Y = 0.75 o 750000 Personas Respuesta
RTA: Al final de dos años las personas que han oído hablar del producto (nuevo cereal)
son 750000.
GRÁFICA QUE SATISFACE EL PROBLEMA
INTERPRETACIÓN: Notamos que la curva asciende a medida que avanza el tiempo. Esto significa
que los clientes potenciales aumentan cuando pasa el tiempo.
CONCIENCIA PUBLICITARIA
Clientes pot
enciales
(en
millones)
Tiempo (en años)

2. Se sabe que la población de cierto país aumenta de forma proporcional al número
de habitantes actuales. si después de dos años la población se ha duplicado y
después de tres años la población es de 20.000 habitantes, hallar el número de
habitantes que había inicialmente en el país.
Solución:
x(t) = población en el instante t
𝒅𝒙
𝒅𝒕
= 𝒌𝒙 ( 𝒕)
𝒙( 𝟎) = 𝒙 𝒐
X(0) = 𝑥 𝑜 X(0) = C
X(2) = 2𝑥 𝑜 2𝑥 𝑜 = 𝐶𝑒 𝑘𝑡 = 2 = 𝑒 𝑘𝑡= 2k = lnI2I = K = 0.346574
X(3) = 20.000 20.000= 𝐶𝑒 𝑘𝑡
20.000 = 𝑥 𝑜 𝑒0.346574
= 𝑥 𝑜 = 7.07106 = 𝟕. 𝟎𝟕𝟏 𝑯𝑨𝑩𝑰𝑻𝑨𝑵𝑻𝑬𝑺
𝑑𝑥
𝑥(𝑡)
= 𝑘𝑑𝑡 = ln( 𝑥( 𝑡)) = 𝑘𝑡 + 𝐶 = 𝑥( 𝑡) = 𝐶𝑒 𝑘𝑡

3. El crecimiento de una ciudad, es proporcional al número de habitantes que hay en
un instante cualquiera. Si la población inicial es de 400 000; y al cabo de tres años
es de 450 000. ¿Cuánto tardará en duplicarse? ¿Qué población habrá en 10 años?
Solución:
Este problema de crecimiento poblacional está dado por la expresión:
𝒅𝑷
𝒅𝒕
= 𝑲𝑷 → 𝑷( 𝒕) = 𝑷 𝟎 𝒆 𝑲𝒕
Donde la exponencial es positiva porque el crecimiento poblacional es positivo en el
problema.
P0 = 400 000 habitantes
T = 3 años → P = 450 000 habitantes
a. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse la población?
t =? → P = 800 000 habitantes
Primero debemos calcular la constante K:
450 000 = 400 000 eK(3) (Porque han transcurrido 3 años)
450000/400000 = e3K → 9/8 = e3K
Necesitamos despejar K por eso aplicamos logaritmo natural a ambos lados entonces:
ln(9/8) = ln e3K → ln (1.125) = 3K (porque ln(e) = 1 y es base de los logaritmos naturales)
K = ln(1.125)/3 → K =0.03926
P(t) = 400 000*e0.03926t (Viene a ser la ecuación diferencial que describe el crecimiento
poblacional tal como lo plantea el problema)
800 000 = 400 000 e0.03926t
2 = e0.03926t
→ ln(2) = ln e0.03926t
ln(2) = 0.03926t
t = ln(2)/0.03926 = 17.655 años
Respuesta: La población de la ciudad tardará de duplicarse es decir llegar a los 800
000 habitantes en 17.655 años.

b. ¿Qué población habrá en 10 años?
T = 10 años → P = ?
P(t) = 400 000 e0.03926t
P = 400 000 e0.03926(10)
P = 400 000 e0.3926
P = 400 000(1.4808) → P = 592 330 habitantes
Respuesta: En 10 años alcanzará una población de 592 330 habitantes
4. Una persona solicita un prestamo de 8000 soles para comprar un automovil el
prestamista carga el interes a una tasa anual del 10% si se supone que el interes se
compone de manera continua y que el deudor efectua pagos continuamente con
una cuota anual de contante K, ¿determine la cuota de K necesaria para cubrir el
adeudo en tres años? Y ¿determine el interes que se paga durante el perio de tres
años?
S(t): cantidad de dinero en cualquiere momento t
S(0)= SO = 800cantidad de dinero prestado (en t=0)
K: Cantidad de dinero inyectada anualmente
Esta es la formula separando variables, integrando y aplicando propiedades de los
logaritmos:
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 𝑟𝑠 − 𝐾 ↔ ∫
𝑑𝑠
𝑟𝑠 − 𝑘
= ∫ 𝑑𝑡 ↔
1
𝑟
𝑙𝑛( 𝑟𝑠 − 𝐾) = 𝑟𝑡 + 𝑐𝑟 ↔ 𝑟𝑠 − 𝑘 = 𝑒 𝑟𝑡+𝑐𝑟
𝑠 = 𝑐𝑒 𝑟𝑡 +
𝐾
𝑟
(𝑐 =
𝑒 𝑐𝑟
𝑟
)
Sustituyendo:
8000 = 𝑐𝑒 𝑟(0) +
𝐾
𝑟
↔ 𝑐 = 8000 −
𝐾
𝑟

Sustituyendo:
𝑠 = (8000 −
𝐾
𝑟
) 𝑒 𝑟𝑡 +
𝑘
𝑟
↔ 𝑠 = 8000𝑒 𝑟𝑡 −
𝑘
𝑟
𝑒 𝑟𝑡 +
𝑘
𝑟
→ 𝑠 = 8000𝑒 𝑟𝑡 +
𝑘
𝑟
(1 − 𝑒 𝑟𝑡)
Cuando la deuda se cancela , s= 0 de tal manera que:
8000𝑒 𝑟𝑡 +
𝑘
𝑟
(1 − 𝑒 𝑟𝑡) = 0
Despejamos K de la ecuación de arriba
8000𝑒 𝑟𝑡 +
𝐾
𝑟
(1 − 𝑒 𝑟𝑡) = 0 ↔
𝐾
𝑟
(1 − 𝑒 𝑟𝑡) = −8000𝑒 𝑟𝑡 ↔ 𝐾 =
8000𝑟𝑒 𝑟𝑡
𝑒 𝑟𝑡 − 1
R= 10% ↔0.1
T=3
Sustituyendo
𝐾 =
8000(0.1) 𝑒(0.1)(3)
𝑒(0.1)(3)
− 1
=
8000𝑒0.3
𝑒0.3 − 1
↔ 𝐾 ≈ 3086.64
3(3086.64) − 8000 = 1259.92
Respuesta: La cuota anual seria de 3086.64 y su interés aproximado de 1259.5 soles

5. Un tanque está lleno de 100 litros de agua en los que se ha disuelto 20 kilogramos
de sal. Otra mezcla que contiene 1 kilogramo de sal por litro es bombeada al tanque
a razón de 7 litros por minuto. La solución mezclada es bombeada hacia el exterior
a razón de 8 litros por minuto. Determinar la función que da la cantidad de sal en
cada instante. ¿Se vaciará totalmente el tanque?
RESOLUCIÓN: Conforme a la notación utilizada en el desarrollo teórico, el enunciado del
problema proporciona los siguientes datos:
Por tanto, la ecuación diferencial que mida la cantidad de sal en el tanque en cualquier
instante viene dada por
La ecuación admite como factor integrante
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por el factor integrante,
Integrando la expresión anterior,

de modo que la solución general de la ecuación diferencial es
Para hallar C tenemos en cuenta que la concentración inicial es A = 20:
En conclusión, la cantidad de sal presente en el tanque en cada instante es
Para averiguar si el tanque se vaciará totalmente, determinaremos el tiempo en que la
concentración se anula, esto es:
La ecuación anterior admite dos soluciones:
La solución negativa carece de sentido en el contexto del problema. Por tanto, la
concentración es cero para

t = 100 min, que es cuando se vaciará el tanque.
Nótese que aunque éste se vacíe siempre seguirá entrando agua salada, de manera que
a partir del instante
t = 100 min la concentración de sal en cada instante será la de la mezcla entrante, a
saber, 1 kg/L
6. Cuando un objeto absorbe calor del medio que lo rodea sigue la Ley de Newton.
Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial es de 20 °C, se deja caer en
un recipiente con agua hirviendo. Calcular el tiempo que dicha barra tardará en
alcanzar los 90 °C, si se sabe que su temperatura aumentó 2 °C en un segundo.
¿Cuánto tardará la barra en alcanzar los 98 °C?
RESOLUCIÓN: La Ley de Newton expresa que la rapidez con que se enfría un objeto es
proporcional a la diferencia entre su temperatura y la temperatura ambiente. La ecuación
diferencial que modela dicho fenómeno es T”(t) = K[T(t)-Ta]; cuya solución es:
La temperatura ambiente en este caso es Ta = 100, mientras que la temperatura inicial es
T (0) = 20. Por tanto,
Como la temperatura aumentó 2 _C en 1 s encontramos que T(1) = 22. Así,
Por tanto, la temperatura en cualquier instante t es
Para calcular el tiempo que tarda la barra en alcanzar 90 _C resolvemos la ecuación T(t) =
90:

Similarmente, para calcular el tiempo que tarda en alcanzar 98 _C resolvemos la ecuación
T(t) = 98:
7. Inicialmente había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas
su masa disminuyó en un 3%. Si en un instante cualquiera la rapidez de
desintegración es proporcional a la cantidad de sustancia presente, determinar la
cantidad que queda después de 24 horas.
RESOLUCIÓN: Inicialmente tenemos 100 mg de sustancia radiactiva. Si C(t) denota la
cantidad de sustanciaradiactiva en el instante t, sabemos que al cabo de t = 6 h quedan
de esta sustancia. La rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad de sustancia
presente, esto es:
Siendo k la constante de proporcionalidad. Como vimos en el desarrollo teórico, tal
ecuación admite por solución ; donde A y k son constantes a determinar. Puesto
que en el instante inicial t = 0 contamos con 100 mg de sustancia,
En el instante t = 6 quedan 97 gr; luego,

En conclusión, la cantidad de sustancia radiactiva en el instante t es
Por tanto, la cantidad remanente transcurridas 24 h es
V. CONCLUSIONES:
 Las ecuaciones diferenciales son una herramienta práctica para el desarrollo de
diversos problemas que se plantean en la ingeniería y las ciencias donde
intervienen la física, la química, la economía, etc.
 Las ecuaciones diferenciales permiten modelar fenómenos de la ciencia y las
soluciones ayudan a predecir el comportamiento de tales fenómenos.
 Las ecuaciones diferenciales posibilitan calcular variaciones de diferentes
magnitudes ya sean escalares y/o vectoriales.
VI. REFERENCIAS:
 http://es.slideshare.net/keyllejimra/ecuaciones-diferenciales-aplicadas-murray-r-spiegel-23265398
 http://wmatem.eis.uva.es/~jesroj/papers_1/joralv.pdf
 http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuación_diferencial_ordinaria
 https://www.youtube.com/watch?v=QbTRVvs5_N4

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