2. SERIES INFINITAS
Conocimientos Previos Necesarios
Prof. Emma Yendis
Suma y Producto de Fracciones, Métodos de
Integración, Integración Impropia y Cálculo
de Límites en el Infinito. 2
3. SERIES INFINITAS
• Si Un es una sucesión y Sn= u1+ u2+ u3+…+ un
entonces Sn es una sucesión de sumas
parciales denominadas series infinitas.
• Y se denota por:
• Los números
Prof. Emma Yendis
son los términos
de la serie infinita.
3
4. SERIES INFINITAS
• Suma de una serie infinita: Considere que
Denota una serie infinita dada, para la cual
Sn es la sucesión de sumas parciales. Si
existe y es igual a S, la serie es convergente y S
es la suma. De lo contrario, la serie diverge y no
tiene suma.
Prof. Emma Yendis
4
5. SERIES INFINITAS
• Serie Armónica: Es una serie infinita de la
siguiente forma:
• Teorema: La Serie Armónica es divergente.
• Serie Geométrica:
Prof. Emma Yendis
5
6. SERIES INFINITAS
• La serie geométrica es una serie infinita en la
que cada término se obtiene multiplicando el
término anterior por una constante. Donde a
es un número y r es la constante o razón de la
serie.
• Teorema: La serie geométrica converge a la
suma si |r|< 1, y diverge si |r|< 1 o
Prof. Emma Yendis
|r|= 1
6
9. SERIES INFINITAS
Criterios de Convergencia
I. Criterio del término general para la
Divergencia:
Si la Sucesión no converge a 0, la serie
es divergente.
Ejemplos:
(a) Para la serie:
Prof. Emma Yendis
9
10. SERIES INFINITAS
Criterios de Convergencia
(b) Para la serie:
Se puede aplicar regla de L’Hopital
Como la sucesión no converge a 0, entonces, la
Prof. Emma Yendis
serie diverge.
NOTA: En los casos en los que el límite converge a cero, no quiere decir que la
sucesión converge, simplemente el criterio no se aplica en esos casos y hay que usar
otro criterio. 10
11. SERIES INFINITAS
Criterios de Convergencia
II. Criterio de la integral: Condiciones para
aplicar el criterio. La función sucesión debe
ser:
i. Continua.
ii. Decreciente.
iii. De valores positivos.
Prof. Emma Yendis
Entonces, la serie será convergente si existe
, pero si es igual a
diverge. 11
12. SERIES INFINITAS
Criterios de Convergencia
Ejemplos:
(a)Determine si la serie es convergente o
divergente aplicando criterio de la integral:
(*)
0
0
Prof. Emma Yendis
(*) Esta integral se halla por método de integración por partes, y ha sido desarrollada en
12
clase anteriormente, revise sus apuntes.
13. SERIES INFINITAS
Criterios de Convergencia
Ejemplos:
(b)Determine si la serie es convergente o
divergente aplicando criterio de la integral:
(*)
Prof. Emma Yendis
(*) Esta integral se halla usando método de sustitución, donde u=Ln(x) y
du=1/x dx
13
14. SERIES INFINITAS
Criterios de Convergencia
III. Criterio de la Razón o Cociente: Sea una
serie con términos positivos y suponga que
. Entonces:
a) La serie converge si p<1.
b) La serie diverge si p>1 o infinito.
c) El criterio no es concluyente si p=1.
Prof. Emma Yendis
14
15. SERIES INFINITAS
Criterios de Convergencia
Ejemplos: Investigue la convergencia de las
siguientes series aplicando criterio de la razón:
(a)
Prof. Emma Yendis
15
16. SERIES INFINITAS
Criterios de Convergencia
(b)
Prof. Emma Yendis
16
17. SERIES INFINITAS
Tabla Resumen de Criterios de Convergencia
Prof. Emma Yendis
Fuente: Larson y otros.
17
18. SERIES INFINITAS
Tabla Resumen de Criterios de Convergencia
Prof. Emma Yendis
Fuente: Larson y otros. 18
19. BIBLIOGRAFÍA
• Larson, R. y otros. Cálculo y Geometría Analítica.
Volumen I. 6ta. Edición.
– Capítulo 8, Pág. 633-673
• Leithold, L. El Cálculo. 7ma. Edición.
−Capítulo 8, Pág. 659-696
• Thomas, G. Cálculo, Varias Variables. Undécima
Prof. Emma Yendis
Edición.
−Capítulo 11, Pág. 761-792
19
