Le equazioni di Maxwell

1. Le equazioni di Maxwell e
le onde elettromagnetiche
A cura di Enrica Maragliano
Liceo Classico C.Colombo
Genova

2. Maxwell: un genio in anticipo sul
suo tempo
• Nel 1855 il giovane fisico scozzese James Clerk
Maxwell (1831 - 1879) iniziò ad occuparsi di
elettromagnetismo.
• Egli aveva buone conoscenze di Matematica e di
Fisica ed aveva, naturalmente, ben presente
l'opera di Faraday.
• L'iter lungo cui si sviluppa il complesso della teoria
del campo elettromagnetico di Maxwell è segnato
da 3 memorie fondamentali e dal famoso “Treatise
on Electricity and Magnetism” del 1873.

3. Le “memorie” di Maxwell (I)
La prima delle memorie di Maxwell, “On Faraday's
Lines of Force”, è un riconoscimento di difficoltà che
un ricercatore incontra nel voler formalizzare la
scienza elettrica. Questo ricercatore ha a
disposizione, da una parte, la gran mole di risultati
sperimentali che vengono continuamente sfornati e,
dall'altra, la necessità di familiarizzarsi con una gran
quantità di matematica molto complessa " la cui sola
memorizzazione già di per sé interferisce
materialmente con altre ricerche".

4. Le “memorie” di Maxwell (II)
La seconda memoria di Maxwell, “On Physical Lines of Force”,
presenta un insieme di analogie e modelli meccanici a sostegno
delle idee di Faraday che, quasi certamente, lo stesso Faraday
avrebbe respinto: le linee di forza non sono più una mera
rappresentazione di come le forze del campo sono distribuite ma
assumono un carattere fisico.
Tutti i fenomeni elettromagnetici noti trovano una spiegazione
mediante il modello meccanico sviluppato da Maxwell e gli
permetteranno in seguito di capire che variazioni nel campo
elettrico devono originare un campo magnetico e viceversa.
Questa è, per l’epoca, una teoria azzardata, se si pensa che
nessuna teoria dell'elettricità e del magnetismo fino ad allora
sviluppate prevedeva l'esistenza di perturbazioni (onde)
propagantesi nello spazio.

5. Le “memorie” di Maxwell (III)
La terza memoria di Maxwell “A Dynamical Theory of the
Electromagnetic Field” risale alla fine del 1864. Mentre nella
precedente memoria Maxwell aveva elaborato il modello
meccanico che gli era servito per chiarirsi le idee e per mettere
a punto il calcolo con l'ausilio di analogie fra il campo
elettromagnetico ed i fluidi, ora egli abbandona il modello
meccanico e si occupa esclusivamente dei fenomeni
elettromagnetici. Questo lavoro contiene tutti i principali risultati
che egli aveva precedentemente ottenuto e può essere
considerato come la prima formulazione completa, dal punto di
vista analitico, della teoria del campo elettromagnetico e della
teoria elettromagnetica della luce.

6. Il trattato sull’Elettricità ed il
Magnetismo (I)
A questo punto della sua attività scientifica, Maxwell voleva
ricapitolare e mettere in ordine il complesso dei suoi lavori
elettromagnetici. Si ritirò nella sua casa di campagna (1865)
dove la sua principale occupazione fu la compilazione del
“Treatise on Electricity and Magnetism” che vide la luce nel
1873, sei anni prima della prematura scomparsa dello stesso
Maxwell (aveva 48 anni). Grazie al lavoro sistematico, i
contributi di Maxwell si fondono con gli spunti forniti da altri
matematici e fisici.
Secondo la teoria di Maxwell, una perturbazione
elettromagnetica (ad esempio una carica che acceleri) si
propaga in tutto lo spazio sotto forma di onde
elettromagnetiche.

7. Il trattato sull’Elettricità ed il
Magnetismo (II)
L'esistenza di tali onde rimane un'ipotesi nella teoria: manca la
conferma sperimentale.
Le onde elettromagnetiche si muovono con la velocità della
luce e quindi la luce è un'onda elettromagnetica.
Maxwell scomparve nel 1879. Nel 1880 veniva pubblicata
postuma una sua lettera in cui egli suggeriva un modo per
poter accertare sperimentalmente la presenza del supposto
etere attraverso la misura della velocità della luce in un tragitto
andata-ritorno che la stessa avrebbe dovuto percorrere in
direzione parallela al moto della Terra intorno al Sole.

8. L’accoglienza dei
contemporanei al lavoro di
Maxwell
L'accoglienza a queste teorie non fu della più
entusiaste, tuttavia Maxwell aveva unificato in una
mirabile sintesi i fenomeni dell'elettricità, del
magnetismo e dell'ottica.
Al di là dell'accoglienza dei contemporanei, è
certamente vero che la sua teoria non aveva conferme
sperimentali che, tuttavia, non tardarono venire ad
opera di Hertz e Michelson.

9. Il campo elettrico indotto
• Ogni volta che una carica elettrica accelera, essa è
sottoposta ad un campo elettrico. Quindi, anche nel
caso di correnti indotte deve essere presente un
campo elettrico.
• Il campo elettrico che causa una corrente indotta si
chiama campo elettrico indotto ed è generato da
un campo magnetico che varia nel tempo.
• Un campo magnetico variabile dà origine ad un
campo elettrico indotto con le linee di campo chiuse
su se stesse e poste in un piano perpendicolare al
campo magnetico.

10. L’andamento del campo
elettrico indotto

B

E
• Se aumenta, le linee del campo
hanno tutte lo stesso verso, definito dalla
legge di Lenz.

• Se, al contrario, B
diminuisce, le linee di
hanno verso al precedente.
• Quindi un campo elettrico può essere
generato da:
– cariche elettriche
– campi magnetici variabili

E

11. Quanto vale il campo elettrico
indotto?
Per definizione di campo elettrico sappiamo
che:


F(ie) E
q
=

F(ie)
dove è la forza elettrica legata alla
presenza del campo elettrico indotto che
agisce sulla carica di prova q presente
nell’anello conduttore in cui scorre la
corrente indotta.

12. La f.e.m. e il lavoro
•
Per definizione di forza elettromotrice f sappiamo anche che:
f L
q
=
dove L è il lavoro fatto dalle forze non
elettrostatiche per trasportare la carica q.

13. Il lavoro del campo elettrico
indotto
Per calcolare L compiuto dalla forza elettrica indotta in un
giro completo della spira che rappresenta il circuito dividiamo
il circuito in n tratti abbastanza piccoli da 
poter essere
descritti da spostamenti infinitesimi con 1≤k≤n.
Se è la forza, dovuta al campo elettrico indotto, che
agisce su q nel tratto D l
k dell’anello, allora il lavoro
  elementare compiuto da tale forza è ed il
lavoro totale è dato dalla somma di tutti i lavori elementari è
å n å n
 
= D = ( )
´D L L F l
1 1
ie
k k k
k k
= =
k D l

(ie)
k F
(ie)
k k k D L = F ´D l


14. La circuitazione nel campo
Possiamo, perciò, calcolare
å
=
    
å å
 
Per la legge di Faraday-Neumann
e, quindi,
elettrico indotto
( B)
f
t
D F
= -
D

( )
( )
( )
1
1 1
n
ie
k k n ie n
k k
k k k
k k
F l
f L F l E l C E
q q q
= =
´D
= = = ´D = ´D =
( ) ( B)
C E
t
D F
= -
D



15. Campo elettromagnetico e
campo elettrostatico
Questa relazione non contrasta con quella che
avevamo visto in precedenza relativamente alla
circuitazione del campo elettrostatico. Infatti in
assenza di campo magnetico o nel caso 
di campo
magnetico costante la relazione C( E) = 0
continua
ad essere valida.
Il campo elettrico è conservativo ma il campo
elettromagnetico NON è conservativo.

16. Ricapitolando…

B
• Nel caso dell’elettrostatica caso di correnti continue ( 
( B = 0
) o nel
costante) con
circuiti fissi, la variazione del flusso del
campo magnetico è nulla: in questo caso
ed il campo elettrostatico è

C(E) = 0
conservativo.
• 
Se B
è variabile 
o i circuiti sono in
movimento C(E) ¹ 0
ed il campo elettrico
indotto non è conservativo.

17. È necessario modificare
anche la legge di Ampère

• Maxwell capì che la legge
deve essere modificata.
( 
• Se calcoliamo CB)
nel caso di un
condensatore in fase di carica dobbiamo
considerare 3 casi diversi:
– fuori dal condensatore
– dentro al condensatore
– sul bordo del condensatore
( ) 0 c C B = m i

18. fuori dal condensatore

C( B)
Per la legge di Ampere le circuitazioni
calcolate lungo i due cammini chiusi valgono
μ0i , perché ad essi è concatenata una
corrente i.
i i

19. 
C( B ) dentro al condensatore
Al cammino chiuso non è concatenata
alcuna corrente elettrica, quindi, per 
la
legge di Ampere la circuitazione di
B
lungo il cammino vale 0.
i i

20. sul bordo del condensatore

C( B)
Quanto vale la circuitazione lungo il cammino posto al bordo del
condensatore? La risposta è ambigua se non si conosce la corrente i
concatenata alla linea chiusa.
Quindi, applicando la legge di
Ampère, la circuitazione di deve
diventare improvvisamente uguale
a zero all’interno del
condensatore. Inoltre in
corrispondenza del bordo del
condensatore il valore della
circuitazione di è indeterminato.
i i

B

B

21. Nuova versione della formula
di Ampère
Per evitare questo risultato, Maxwell
corresse la legge di Ampère nella seguente:
( ) ( )
æ D F ö
= ç + ¸
0 çè c 0
D ø¸
E
C B i
t
m e



C( B)
In questo modo nella variazione di non ci sono
interruzioni ed, attraverso questa modifica, ne
consegue anche che un campo elettrico variabile
genera un campo magnetico.

22. La corrente di spostamento
Definiamo corrente di spostamento:
( )
s 0
E
i
t
e
D F
=
D


23. Da cosa può essere generato
un campo magnetico variabile?
Quindi un campo magnetico può essere
generato da:
– correnti elettriche
– campi elettrici variabili

24. Le equazioni di Maxwell nel
vuoto
Caso statico Caso generale

E Q
( )
0
e
F =

C(E) = 0
F ( 
B) = 0
( 
C B ) = m i
0 c 
E Q
( )
0
e
F =
( B
) ( )
C E
t
D F
= -
D



F ( B) = 0
( ) ( )
æ D F ö
= ç + ¸
0 çè c 0
D ø¸
E
C B i
t
m e



25. Considerazioni finali
• Queste equazioni hanno il ruolo di assiomi della
teoria e mettono in relazione campo elettrico e
campo magnetico. Quindi la teoria che si è
sviluppata è quella dell’elettromagnetismo, visto
che i due campi sono così strettamente correlati.
• Il campo elettrostatico ed il campo magnetico
sono casi particolari del campo elettromagnetico
e si ottengono, rispettivamente, se si hanno
cariche ferme e correnti continue.