Inroduccion Algebra lineal Howard Anton 5ta. Edicion

INTRODUCCI~N
AL ALGEBRA
LINEAL

VERSIóN AUTORIZADA EN ESPAÑOL DE LA OBRA
PUBLICADA EN INGLÉS CON EL TíTULO:
ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA
O JOHNW ILEY& SONSI,N C.
COLABORADEON RLA TRADUCCI~N:
HUGO VILLAG~MEZV ELÁZQUEZ
LA PRESENTACI~N Y DISPOSICI~N EN CONJUNTO DE
INTRODUCCIóN AL ALGEBRA LINEAL
SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNPAAR TE DE ESTA OBRA
PUEDE SER REPRODUCIDA o TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGUN
SISTEMA O MÉTODO, ELECTR6NICOOMECÁNlCO (INCLUYENDO
EL FOTOCOPIADO, LA GRABACIóN O CUALQUIER SISTEMA DE
RECUPERACI~NY ALMACENAMIENTO DE INFORMACI~N)S, IN
CONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR.
DERECHORSES ERVADOS:
O 2001, EDITORIAL LIMUSA, S.A. DE C.V.
GRUPO NORIEGA EDITORES
BALDER9A5S, MÉx l c o , D.F.
C.P. 06040
'-S$. (5) 521 -21 -05
O1 (800) 7-06-91-00
(5) 51 2-29-03
+ limusa@noriega.com.mx www.noriega.com.mx
CANIEM NÚM. 121
,. -? r 1 .; ,. I i. -+; - QUINTAR EIMPRESI~N
.T t4 ;S1 y ! ; o!?
r - HECHO EN M É x l c o
DE LA SEGUNDA EDICIÓN
ISBN 968-1 8-5192-7

I PROLOG0
Así como en la edición anterior. en esta nueva edición se proporciona un tra-tamiento
básico del álgebra lineal, idóneo para estudiantes que están cursando el
primer o segundo años de facultad. Mi objetivo es presentar los fundamentos del
álgebra lineal de la forma más clara posible. por lo que el aspecto pedagógico es
esencial. No se requiere haber estudiado cálculo, aunque se presentan ejerci-cios
y ejemplos para estudiantes que tienen los conocimientos necesarios; estos
ejercicios y ejemplos están claramente indicados y se pueden omitir sin pér-dida
de continuidad.
RESUMEN DE LOS CAMBIOS EN ESTA EDICIóN
Aunque esta edición tiene mucho en común con la edición anterior, se trata de una
revisión sustancial. ge intentado mantener la claridad y el estilo de la edición
previa, y a la vez reflejar las necesidades cambiantes de una nueva generación de
estudiantes. Con esta intención he puesto en práctica varias recomendaciones
hechas por el Linear Algebra Curriculum Study Group. También he hecho algu-nos
cambios de organización que deben facilitar a los instructores cubrir los fun-damentos
de todos los temas esenciales, inclusive con severas restricciones de
tiempo. Posteriormente, en este prólogo se presenta una descripción de los cam-bios
capítulo a capítulo, aunque a continuación se presenta un resumen de los
cambios más importantes:
Mayor énfasis en las relaciones que hay entre los conceptos: Uno de los
objetivos importantes de un curso de álgebra lineal es establecer la trama
7

intrincada de las relaciones que hay entre sistemas de ecuaciones, matrices,
determinantes, veclores. transformaciones lineales y eigenvalores. En esta
edición. la trama de relaciones se desarrolla a través del siguiente
crescendo de teoremas que vinculan cada nueva idea con ideas precedentes:
1.5.3, 1.6.4. 2.3.6, 4.3.4, 63.9. 6.2.7, 6.4.5 y 7.1.5. Estos teoremas no sólo
hacen más coherente el panorama algebraico, sino también sirven como
fuente constante de repaso.
Transición mb suave hacia la abstracción: La transición de R" a es-pacios
vecloriales generales es traumática para casi todos los estudiantes.
de modo que he intentado suavizarla analizando Rn en detalle, recalcando
los conceptos geométricos subyacentes antes de proceder con el estudio de
espacios vectoriales generales.
Exposición temprana de transformaciones lineales y eigenvalores: A fin
de asegurar que el material sobre transformaciones lineales y eigenvalores
no se pierda al final del curso, algunos de los conceptos básicos que se re-lacionan
con tales temas se desarrollan más pronto en el texto y luego se
repasan cuando el tcma se desarrolla con mayor profundidad en la parte
final del texto. Por ejemplo, las ecuaciones características se analizan
brevemente en la sección sobre determinantes. Las transformacioncs linea-les
de H" a R'" se abordan inmediatamente después que se introduce K". y
se analizan más tarde en el contexto de las transformaciones linealcs
gencrales. Estos repasos ayudan a asegurar que los estudiantes se ramiliari-cen
con los fundanlentos de todos los temas más importantes, inclusive
cuando el tiempo apremia.
Mayor énfasis en la conceptualización: Para mantener el interés actual
cn la conceptualización y en las aplicaciones crecientes del álgebra lineal a
las gráficas, he puesto mayor énfasis en los aspectos geométricos de las
rotaciones. proyecciones y reflexiones en y en R3.
Nuevo material sobre mínimos cuadrados y descomposición QR: Se ha
añadido nuevo material sobre mínimos cuadrados y descomposición QH, en
respuesta al interés creciente en estos temas.
Más demostraciones: Se han añadido varias demostraciones que antes
habían sido omitidas. Todas las demostraciones en el texto han sido
escritas en un estilo adecuado para principiantes. y se ha puesto especial
cuidado a fin de asegurar que el carácter accesible y amable del texto no
haya sido afectado de manera adversa por las demostraciones adicionales.
Quienes deseen un curso matemáticamente más forrnal encontrarán que
esta nueva edición es más idónea para tal efecto. y quienes deseen un curso
más conceptual tendrhn mayor elección en las demostraciones.
DETALLES DE LOS CAMBIOS DE ESTA EDICIÓN
La amplia aceptación de la edición anterior ha sido muy gratificante. y apre-cio
las sugerencias constructivas recibidas de parte de los usuarios y revisores. Se
han revisado algunas secciones del testo para presentarlas con más claridad, y se han

erectuando cambios sustanciales ente1 contenido y su OrgallhCiÓn, en rcspuesta a
las sugerencias tanto de los usuarios como de los revisores. así como de las cCO-mendaciones
hechas por el Linear Algebra ('urriculum Study (;roup.
Hay muchas formas en las que es posible ordenar el material en un curso de
algebra lineal: el ordenamiento que he elegido para 10s capítulos refleja m i in-clinación
por el axioma de que es necesario proceder de 10 conocido 21 10 des-conocido
y de lo concreto a lo abstracto.
A continuación se presenta un resumen capítulo a capítulo de 10s cambios
más importantes en esta nueva edición.
Capítulo 1. Se presenta una nueva sección sobre matrices de forma espc-cial:
diagonal, triangular y simétrica. Al modificar ligeramente el material.
no se incrementó el número de secciones de este capítulo.
Capítulo 2. A este capítulo determinante se ha añadido nuevo material
introductorio sobre eigenvalores, eigenvectores y ccuaciones característi-cas.
Este material se repasa y posteriormente se analiza con más detalle en
el capítulo 7. Se ha añadido la demostración de la igualdad det(AR) =
det(A)det(B).
Capítulo 3. Se presenta nueva información sobre ecuaciones vectorialcs
de rectas y planos, y la interpretación geomktrica de los determinantes 2 x
2 ~ 3 x 3 .
Capítulo 4. Este es un nuevo capítulo dedicado exclusivamente a R". Se
desarrollan conceptos fündamentales y se presenta una introducción a las
transformaciones lineales de Rn a R"'. recalcando el aspecto geométrico dc
las proyecciones, rotaciones y reflexiones. A diferencia de la edición
anterior, este material se presenta ahora antes del desarrollo de los espacios
vectoriales generales. El material de este capítulo se analiza más tarde, en
el contesto de espacios ,ectoriales generales.
Capítulo S. Este capítulo corresponde al capítulo 4 de la edición anterior.
Se han añadido muchas de las demostraciones que se habían omitido. Tam-bién
se presenta nuevo material sobre el wronskiano, para quienes han cs-tudiado
Cálculo, y se incluye nuevo material sobre los cuatro espacios fun-damentales
de una matriz.
Capítulo 6. Este capítulo corresponde al capítulo 5 de la edición anterior.
Se presenta nuevo material sobre complementos ortogonalcs. descomposi-ción
QR y mínimos cuadrados.
Se ha repasado el material desarrollado antes sobre eigenvalores y elgen-vectores.
Se incluye nuevo material sobre las multiplicidades geométrica y
algebraica. así como una explicación mejorada sobre los requisitos para la
diagonalización.
Capítulo 8. Este capítulo corresponde al capítulo 7 de la edición an-terior.
El material se ha vuelto a escribir sustancialmente. a fin de reflejar
el hecho de que las transformaciones lineales de Rn a Hm se introduje-ron
en el capítulo 4.
Capítulo 9. Este capítulo corresponde al capítulo 8 y a las secciones 9. I y
9.2 de la edición anterior. Se ha vuelto a escribir la sección sobre la

10 Prólogo
geometría de los operadores lineales sobre R2 para poder fundamentar los
conceptos desarrollados en la sección 4.2.
Los cambios son menores.
ACERCA DE LOS EJERCICIOS
En todos los ejercicios de cada sección se empieza con problemas de rutina, se
avanza hacia problemas más sustanciales y se concluye con problemas teóricos. AI
final de casi todos los capítulos se presenta un conjunto de ejercicios complemen-tarios
que pueden presentar más dificultad y forzar al estudiante a extraer ideas de
todo un capítulo, en vez de hacerlo solamente de unas ección específica.

GUÍA PARA
EL INSTRUCTOR
PROGRAMAS POSIBLES PARA UN CURSO NORMAL
He revisado una gran cantidad de posibilidades para cursos de álgebra lineal. La
variación entre las instituciones es amplia, aunque los cursos tienden a caer en dos
categorías: una que consta de entre 20 y 30 lecciones (excluyendo los exámenes y
los repasos) y otra que consta de entre 35 y 40 lecciones (excluyendo los exámenes
y los repasos). Con base en mi análisis de estas posibilidades. he proporcionado
dos patrones para elaborar un curso propio. Los patrones se deben ajustar a fin de
reflejar los intereses y requisitos propios, aunque deben ser útiles como punto
de partida. En el patrón largo se supone que se cubren todas las secciones del
capítulo, y en el patrón corto se supone que el instructor selecciona material para
ajustarse al tiempo disponible.
Dos cambios en la organización del texto facilitan la construcción de cursos
más cortos: la breve introducción a los eigenvalores y eigenvectores que se pre-senta
en las secciones 2.3 y 4.3 y la colocación previa de las transformaciones
lineales de R" a Rm en el capítulo 4. Estos cambios aseguran que el estudiante se
familiarice un poco con estos conceptos fundamentales, inclusive si el tiempo
disponible para abordar los capítulos 7 y S es limitado. Observé también que los
estudiantes que ya conocen el material pueden omitir el capítulo 3 sin pérdida de
continuidad.

12 Guía para el instructor
Capítulo 1
Capítulo 2
Capítulo 4
Capítulo S
Capítulo 6
Capítulo 7
Capítulo 8
Total
Patrón largo Patrón corto
7 lecciones
6 lecciones
4 lecciones
3 lecciones
3 lecciones
3 lecciones
X lecciones
7 lecciones
6 lecciones
3 lecciones
4 lecciones
3 lecciones
6 lecciones
2 lecciones
38 lecciones
27 lecciones
VARIANTES DEL CURSO NORMAL
Son posibles muchas variantes del curso normal. Por ejemplo. es posible crcar un
patrón largo opcional siguiendo la asignación de tiempo del patrón corto y
dedicando las 11 lecciones restantes a algunos dc los temas de los cdphlOS 9 y 1 0 .
CURSO ORIENTADO A APLICACIONES
El capítulo 9 contiene aplicaciones selectas de álgebra lineal que son esencial-mente
de naturaleza matemática. Los instructores interesados en una variedad más
amplia de aplicaciones pueden considerar la otra versión de este texto, Elementary
Linear Algebra, Aplications Version. de Howard Anton y Chris Rorres. En esc
texto se proporcionan numerosas aplicaciones a los negocios. biología, ingeniería.
economía. ciencias sociales y ciencias físicas.

I
t AGRADECIMIENTOS
1
Expreso mi aprecio por la útil orientación proporcionada por las siguientes personas:
REVISORES Y COLABORADORES DE EDICIONES ANTERIORES EN INGLÉS
Steven C. Althoen, University of Michigan-Flint
C. S. Ballantine, Oregon State University
Erol Barbut, University of Idaho
William A. Brown, University of Maine
Joseph Buckley, Western Michigan University
Thomas Cairns, University of Tulsa
Douglas E. Cameron, University of Akron
Bomshik Chang, University of British Columbia
Peter Colwell, Iowa State University
Carolyn A. Dean, University of Michigan
Ken Dunn, Dalhousie University
Bruce Edwards, University of Florida
Murray Eisenberg, University of Massachusetts
Harold S. Engelsohn, Kingshorough Comm. College
Garret Etgen, University ofHouston
Marjorie E. Fitting, San Jose State University
Dan Flath, University of South Alabama
David E. Flesner, Gettysburg College
Mathew Gould, Vanderbilt University
Ralph P. Grimaldi, Rose-Hulman Institute
William W. Hager, University of Florida
Collin J. Hightower, University of Colorado
Joseph F. Johnson, Rutgers University
Robert L. Kelley, University of Miami
Arlene Kleinstein
Myren Krom, Calfornia State University
Lawrence D. Kugler, University of Michigan
Charles Livingston, Indiana University
Nicholas Macri, Temple University
Roger H. Marty, Cleveland State University
Patricia T. McAuley, SUNY-Binghamton
Robert M. McConnel, University of Tennessee
Douglas McLeod, Drexel University
Michael R. Meck, Southern Connecticut State Univ.
Craig Miller, University of Pennsylvania
Donald P. Minassian, Butler University
Hal G. Moore, Brigham Young University
Thomas E. Moore, Bridgewater State College
Robert W. Negus, Rio Hondo Junior College
Bart S. Ng, Purdue University
13

I-í I Agradec.citrrientos
James Osterburg, University of Cincinnati William F. Trench, Trinity University
Michael A. Penna, Indiana-Purdue University Joseph L. Ullman, University of Michigan
Gerald J. Porter, University of Pennsylvania W. Vance Underhill, East Texas State University
F. P. J. Rimrott, University qf Toronto James R. Wall, Auburn University
C. Ray Rosentrater, Westmont College Arthur G. Wasserrnan, University of Michigan
Kenneth Schilling, University of Michigan-Flint Evelyn J. Weinstock, Glassboro State College
William Scott, University of Utah Rugang Ye, Stanford University
Donald R. Sherbert, University of Illinois Frank Zorzitto, University of Waterloo
Bruce Solomon, Indiana University Daniel Zwick, University of Vermont
Mary T. Treanor, Valparaiso University
REVISORES Y COLABORADORES DE LA SÉPTIMA EDICIÓN EN INGLÉS,
SEGUNDA EN ESPAÑOL
Mark B. Beintema, Southern Illinois University
Paul Wayne Britt, Louisiana State University
David C. Buchthal, University of Akron
Keith Chavey, University of Wisconsin-River Falls
Stephen L. Davis, Davidson College
Blake DeSesa, Drexel University
Dan Flath, Uniwrsity of South Alabama
Peter Fowler, California State University
Marc Frantz, Indiatza-Purdue University
Sue Friedman, Bernard M. Baruch College, CUNY
William Golightly, College qf Charleston
Hugh Haynsworth, College qf Charleston
Tom Hem, Bow!ling Green State University
J. Hershenov, Queens College. CUNY
Steve Humphries, Brigham Young Universitt3
Steven Kahan, Queens College, CUNY
Andrew S. Kim, Westfield State College
John C. Lawlor, University of Vermont
M. Malek, California State University at Huyward
J. J. Malone, Worcester Polytechnic Institute
William McWorter, Ohio State University
Valerie A. Miller, Georgia State University
Hal G. Moore, Brigham Young University
S. Obaid, San Jose State University
Ira J. Papick, University of Missouri-Columbia
Donald Passman, University of Wisconsin
Robby Robson, Oregon State University
David Ryeburn, Simon Fraser University
Ramesh Sharma, University of New Haven
David A. Sibley, Pennsylvania State University
Donald Story, Universio, of Akron
Michael Tarabek, Southern Illinois University
SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS, LECTURA DE PRUEBAS E INDICE
Michael Dagg, Numerical Solutions, Inc.
Susan L. Friedman, Bernard M. Baruch College, CUNY
Mareen Kelley, Northern Essex Communih. College
Randy Schwartz, Schoolcraft College
Daniel Traster (Student), Yale Universio.
COMPLEMENTOS
Benny Evans, Oklahoma State University
Charles A. Grobe, Jr., Bowdoin College

Agradecimientos / 15
Elizabeth M. Grobe
IntelliPro, Inc.
Jerry Johnson, Oklahoma State University
Randy Schwartz, Schoolcraft College
OTROS COLABORADORES
Un agradecimiento especial a los siguientes profesores, quienes leyeron
profundamente el material del texto e hicieron contribuciones significativas a la
calidad del nivel matemático y de exposición:
Stephen Davis, Davidson College
Blaise DeSesa, Drexel University
Dan Flath, University of South Alabama
Marc Frantz, Indiana-Purdue University
William McWorter, Ohio State University
Donald Passman, University of Wisconsin
David Ryeburn, Simon Fraser University
Lois Craig Stagg, University of Wisconsin-Milwaukee
También deseo expresar mi agradecimiento a:
Barbara Holland, mi editora, quien me ayudó a moldear al concepto de esta
nueva edición y cuyo entusiasmo incluso convirtió en divertido el arduo tra-bajo
(alguna vez).
Ann Berlin, Lucille Buonocore y Nancy Prinz del Departamenro de Produc-ción
de Wiley, por preocuparse tanto por la calidad de este trabajo y propor-cionarme
un apoyo extraordinario.
Lilian Brady, cuyo ojo para los detalles y sentido estético infalible mejoró
grandemente la exactitud del texto y la belleza de la tipografía.
Joan Carafiello y Sharon Prendergagst por su soberbio trabajo en la coordina-ción
de la miríada de detalles que mágicamente produjeron las respuestas y
los complementos a tiempo.
El grupo en Hudson River Studio por tratar con tanto tacto a un autor rigu-roso.
Mildred Jaggard, mi asistente, quien coordinó todos los detalles del texto
desde la lectura de pruebas hasta el índice con pericia consumada, y quien pa-cientemente
toleró mi idiosincrasia.
HOWARADN TON

CAPíTULO 1
CAPíTULO 2
CAPíTULO 3
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES 21
l. l. Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales 2 1
1.2. Eliminación gaussiana 29
1.3. Matrices y operaciones con matrices 47
1.4. Inversas: Reglas de la aritmética de matrices 61
1.5. Matrices elementales y un método para determinarn" 75
1.6. Otros resultados sobre sistemas de ecuaciones e invertibilidad 85
1.7. Matrices diagonales, triangulares y simétricas 94
DETERMINANTES 107
2.1. La función determinante 107
2.2. Evaluación de determinantes por reducción de renglones 115
2.3. Propiedades de la función determinante 121
2.4. Desarrollo por cofactores; Regla de Cramer 13 1
VECTORES EN LOS ESPACIOS BlDlMENSlONAL Y
TRIDIMENSIONAL. 149
3. l. Introducción a los vectores (geométrica) 147
3.2. Norma de un vector; Aritmética vectorial 159
3.3. Producto punto: Proyecciones 165
17

3.4. Producto cruz 175
3.5. Rectas y planos en el espacio tridimensional 189
CAPITULO 4 ESPACIOS VECTORIALES EUCLIDIANOS 203
4. l . Espacio euclidiano n dimensional 203
4.2. Transformaciones lineales de R" a Rm 218
5.3. Propiedades de las transformaciones lineales de R" a Rm 239
CAPíTULO 5 ESPACIOS VECTORIALES GENERALES 257
5. 1. Espacios vectoriales reales 257
5.2. Subespacios 265
5.3. Independencia lineal 277
5.4. Base y dimensión 287
5.5. Espacio renglón. espacio columna y espacio nulo 306
5.6. Rango y nulidad 322
CAPíTULO 6 ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR 339
6.1. Productos interiores 339
6.2. Ángulo y ortogonalidad en espacios con producto interior 353
6.3. Bases ortonormales: Proceso de Gram-Schmidt; Descomposición QR
3 67
6.4. Mejor aproximación: Mínimos cuadrados 384
6.5. Matrices ortogonales: Cambio de base 395
CAPíTULO 7 EIGENVALORES, EIGENVECTORES 41 5
7. l. Eigenvalores y eigenvectores 4 15
7.2. Diagonalización 426
7.3. Diagonalización ortogonal 437
CAPíTULO 8 TRANSFORMACIONES LINEALES 447
8. I , Transformaciones lineales generales 447
8.2. Núcleo y recorrido 461
8.3, Transformaciones lineales inversas 468
8.4. Matrices de transformaciones lineales generales 478
8.5. Semejanza 595

Contenido / 19
CAPíTULO 9 TEMAS COMPLEMENTARIOS 513
9. l. Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales S 13
9.2. Geometría de los operadores lineales sobre R2 521
9.3. Ajuste de datos por mínimos cuadrados 535
9.4. Problemas de aproximación: Series de Fourier 543
9.5. Formas cuadráticas 55 1
9.6. Diagonalización de formas cuadráticas; Secciones cónicas 561
9.7. Superficies cuádricas 574
9.8. Comparación de procedimientos para resolver sistemas lineales S79
9.9. Descomposiciones LU 589
CAPíTULO 10 ESPACIOS VECTORIALES COMPLEJOS 601
10.1. Números complejos 601
10.2. Módulo; Conjugado complejo; División 610
10.3. Forma polar; Teorema de De Moivre 617
10.4. Espacios vectoriales complejos 628
10.5. Espacios complejos con producto interior 637
10.6. Matrices unitarias, normales y hermitianas 647
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS 661
iNDlCE 711

CAPíTULO I
~ SISTEMAS DE
ECUACIONES
LINEALES Y
MATHCES
I .I INTRODUCCIQN A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
El estudio de los sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones es uno de los
temas más importantes del álgebra lineal. En esta sección se introducirá ter-minología
básica y se analizará un metodo para resolver esos sistemas.
ECUACIONES Una recta en el plano xy puede representarse algebraicamente por una ecuación de
LINEALES la forma
u I x + a,y = b
Una ecuación de este tipo se denomina ecuación lineal en las variables x y y. De
manera más general, una ecuacidn lineal en las n variables x,, x2,. . . , xn se
define como una ecuación que se puede expresar en la forma
U , X , + a2x2 + . . . + U,X, = h
donde al, a2, . . . , a,, y b son constantes reaies. Las variables en una ecuación
lineal algunas veces se denominan incógnitas.
Ejemplo 1 Las ecuaciones siguientes son lineales:
x + 3 y = 7 x , - 2x, - 3x, + x, = 7
y=+x+3z+ 1 x , + x * + . . . + x x , = l
21

22 ;' Sistemas de ecuaciones linealesy matrices
Observar que una ecuación lineal no incluye ningún producto o raíz de variables.
Todas las variables están elevadas sólo a la primera potencia y no aparecen como
argumentos de funciones trigonométricas, logarítmicas o exponenciales. Las si-guientes
ecuaciones no son lineales:
Una solución de una ecuación lineal alxl + a2x2 + . . . , + a>,= b es una
sucesión de n números sl, sz, . . . , sn de modo que la ecuación se cumple cuando
se sustituye x1 = sl, x2 = s2, . . . , x, = S,. El conjunto de todas las soluciones
de la ecuación se denomina conjunto solucidn o, algunas veces, solucidn ge-neral
de la ecuación.
Ejemplo 2 Encontrar el conjunto solución de
(a) 4x - 2"v = 1 (b) x1 - 4x, + 7x3 = 5
Solución a). Para encontrar soluciones de a), se asigna un valor cualesquiera a x
y se despeja y, o bien, se elige un valor arbitrario paray y se despeja x. Si se sigue
el primer método y a x se asigna un valora rbitrario t, se obtiene
x = t , y = 2 t - $
Estas expresiones describene l conjunto solución en términos de algún parámetrof.
Las soluciones numéricas particulares se pueden obtener al sustituir valores
específícos de t. Por ejemplo, f = 3 conduce a la solución x 3, y y , y t - 4
= = = produce la solución x = - T 1
, y = - 2 .
Si se sigue el segundo método y a y se asigna el valor arbitrario t, se obtiene
Aunque estas expresiones son diferentes a las que se obtuvieron antes, producen el
mismo conjunto solución cuando t asume todos los números reales posibles. Por
ejemplo, con las expresiones anteriores se obtuvo la solución x = 3, y = y cuando
t = 3, mientras que con las expresiones posteriores se obtuvo esa solución cuando t
-- -11
2 '
Solución b). Para encontrar el conjunto solución de b) es posible asignar valores
arbitrarios a dos variables cualesquiera y despejar la tercera variable. En par-ticular,
si a x2 y ,x3 se asignan los valores arbitrarios s y t, respectivamente, y se
despeja xl, se obtiene
x 1 = 5 + 4 s - 7 t , x2=s, x3=t A

1. I Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales I’ 23
SISTEMAS
LINEALES
Un conjunto finito de ecuaciones lineales en las variables x,, x,, . . ., x,, se de-nomina
sistema de ecuaciones lineales o sistema lineal. Una sucesión de nú-meros
S,, S,,. . . , S, se denomina solución del sistema si x1 = sl, x, = S,, . . . , S,, =
xn es una solución de todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Por ejemplo,
el sistema
4x, -x* + 3x, = - 1
31, + x2 + 9x, = -4
tiene la solución x, = 1, x2 = 2, x3 = - 1, ya que estos valores satisfacen ambas
ecuaciones. Sin embargo, x1 = 1, x, = 8, x3 = 1 no es una solución, ya que estos
valores satisfacen sólo la primera de las dos ecuaciones del sistema.
No todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen solución. Por ejemplo, si
la segunda ecuaciónd el siguiente sistema
x + y = 4
2x+2y=6
se multiplica por i,re sulta evidente que no existen soluciones, ya que el sistema
equivalente obtenido
x +y = 4
x + y = 3
está compuesto por ecuaciones contradictorias.
Se dice que un sistema de ecuaciones que no tiene soluciones es inconsisten-te;
si existe por lo menos una solución del sistema, éste se denomina consistente.
Para ilustrar las posibilidades que pueden ocurrir al resolver sistemas de ecua-ciones
lineales, se considerará un sistema general de dos ecuaciones lineales en las
incógnitas x y y:
u , x + b , y = c , ( a , , b , nosonceroalavez)
a2x + b,y = c2 (az, 6, no son cero a la vez)
Las gráfkas de estas ecuaciones son rectas; por ejemplo I, y I,. Como un punto (x,
y) pertenece a una recta sí y sólo si los números x y y satisfacen la ecuación de la
recta, las soluciones del sistema de ecuaciones corresponden a los puntos de
intersección de 1, y I,. Existen tres posibilidades (figura 1):
Las rectas I, y 1, pueden ser paralelas, en cuyo caso no se cortan y, en
consecuencia, no existe solución del sistema.
Las rectas I, y I, pueden cortarse sólo en un punto, en cuyo caso el sistema
tiene exactamente una solución.
Las rectas I, y 1, pueden coincidir, en cuyo caso hay una infinidad de
puntos de intersección y, por tanto, existen infinidad de soluciones del
sistema.

24 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Aunque aqui sólo se han considerado dos ecuaciones en dos incógnitas, más tarde
se demostrará que las mismas tres posibilidades se cumplen para sistemas lineales
arbitrarios:
Todo sistema de ecuaciones lineales no tiene soluciones, tiene exactamente
una solución o tiene una injinidad de soluciones.
a)
Figura 1 No existe solución I M í d a d de soluciones I
Un sistema arbitrario de m ecuaciones lineales en n incógnitas se puede escribir
como
umlxl + am2x2 + . . . + amnx, = b,
donde xl, x2,. . . , x, son las incógnitas y las letras a y b con subindices denotan
constantes. Por ejemplo, un sistema general de tres ecuaciones lineales con cuatro
incógnitas se puede escribir como
Los subindices dobles en los coeficientes de las incógnitas constituyen un
mecanismo útil que se utiliza para especificar la ubicación del coeficiente en el
sistema. El primer subíndice ene l coeficiente ay indica la ecuación en quea parece
el coeficiente, y el segundo subíndice indica a qué incógnita multiplica. Así, aI2
está en la primera ecuacióyn multiplica a la incógnita x2.

l. 1 Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales ,I 25
MATRICES Si mentalmente se ubica a los signos +, las letras x y los Signos =, entonces un
AUMENTADAS sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas puede abreviarse al escribir sólo
el arreglo rectangular de números:
a12
a22
am2
. . .
. . .
. . .
a In
a 2"
amn
Este arreglo se denomina mutriz aumentada del sistema. (El término matriz se usa
en matemáticas para denotar un arreglo rectangular de números. Las matrices
surgen en muchos contextos que serán considerados con más detalle en secciones
ulteriores.) Por ejemplo. la matriz aumentadad el sistema de ecuaciones
x1 + x2 + 2x3 = 9
2x, + 4x2 - 3x3 = I
3x1 + 6x2 - 5x3 = O
es
OBSERVACI~N. AI elaborar una matriz aumentada, las incógnitas deben escri-birse
en el mismo orden en cadae cuación.
El método básico para resoiver un sistema de ecuaciones lineales es sustituir
el sistema dado por un nuevo sistema que tenga el mismo conjunto solución, pero
que sea más fácil de resolver. Este nuevo sistema suele obtenerse en una serie de
pasos mediante la aplicación de los tres tipos de operaciones siguientes para eli-minar
incógnitas de manera sistemática.
1. Multiplicar una ecuación por una constante diferente de cero.
2. Intercambiar dos ecuaciones.
3. Sumar un múltiplo de una ecuación a otra ecuación.
Dado que los renglones (líneas horizontales) de una matriz aumentada corres-ponden
a las ecuaciones en el sistema asociado, las tres operaciones mencionadas
corresponden a las siguientes operaciones efectuadas en los renglones de la matriz
aumentada.
1. Multiplicar un renglón por una constante diferente de cero.
2. Intercambiar dos renglones.
3. Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
"

26 / Sistemas de ecuaciones 1ineales.y matrices
OPERACIONES Las tres operaciones anteriores se denominan operaciones elementales en los ren-
ELEMENTALES glones. En el siguiente ejemplo se ilustra cómo se pueden usar estas operaciones
EN LOS para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Como en la siguiente sección se
RENGLONES obtendrá un procedimiento sistemático para determinar soluciones, no es necesario
preocuparse sobre cómo se eligieron los pasos en este ejemplo. El esfuerzo prin-cipal
en este caso debe dedicarse a comprender los cálculos y el análisis.
Ejemplo 3 En la columna izquierda que se muestra a continuación se resuelve un
sistema de ecuaciones lineales operando sobre las ecuaciones del sistema, y en la
columna de la derecha el mismo sistema se resuelve operando sobre los renglones
de la matriz aumentada.
x+ y + 2 z = 9
2X + 4y - 32 = 1
3~ + 6-v - 5~ = O
Sumar -2 veces la primera ecuación a la
segunda para obtener
x+ y + 2 z = 9
2 y - 7 ~-1~7
3~ + 61' - 52 = O
Sumar -3 veces la primera ecuación a la
tercera para obtener
x+ y + 2 z = 9
2 ~ -7Z =- 17
3 ~ I-I z = -27
Multiplicar la segunda ecuación por 1/2 para
obtener
x + y'+ 2z= 9
v - S z = " 17
3~ - 1 IZ = -27
Sumar -3 veces la segunda ecuación a la
tercera para obtener
x + , y + 22= 9
y - $ z = " 17
- 1" 3
2' - 2 "
Multiplicar la tercera ecuación por -2 para
obtener
x +y + 2z = 9
v"? 2 Z "- 7 2
z = 3
[: 4 -3 1 2 '1
3 6 - 5 O
Sumar -2 veces el primer renglón al se-gundo
para obtener
Sumar -3 veces el primer renglón al tercero
para obtener
2
iao 21 - 7 "1' -11 -27
Multiplicar el segundo renglón por 1/2 para
obtener
Sumar -3 veces el segundo renglón al tercero
para obtener
Sumar el tercer renglón por -2 para obtener
[; 1 -2; -;19

1.1 Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales 1 27
Sumar -1 veces la segunda ecuación a la
primera para obtener
x +yz= 35
y - S z = -17
z = 3
Sumar - 1112 veces la tercera ecuación a la
primera y 7/2 veces la tercera ecuación a la
segunda para obtener
X = 1
y = 2
z ='3
Sumar - 1 veces el segundo renglón al
primero para obtener
0 % ~ 35
Sumar - 1112 veces el tercer rengl6n al
primero y 712 veces el tercer renglón al segundo
para obtener
0 0
La solución
x = l , y = 2 , z = 3
es evidente ahora. A
EJERCICIOS DE LA SECCIóN 1.1
1. De las siguientes ecuaciones, ¿cuáles son lineales en x,, xz y x3?
a) xI + 5x2 - d x 3 = 1 b) xI + 3x2 + x,x3 = 2 C) xi = -7x, + Jx,
d ) xF2 +x+2 8x, = 5 e) x:/' - 2x, + x j = 4 f ) m,- f i x 2 + ;x3 = 7'13
2. Dado que k es una constante, p d e s de las siguientes ecuaciones son lineales?
1
k -
a)x,-xx,+x,=senk b) kxi--x,=9 c) 2kx1+7x2-x3=0
3. Encontrar el conjunto solución de cadau na de las siguientes ecuaciones lineales
a) 7x - 5.v = 3 b) 3x, - 5x2 + 4x3 = 7
C) -8x,+2x2-5x3+6x4=1 d ) 3 ~ - 8 ~ + 2 ~ - ~ + 4 ~ = 0
4. Hallar la matnz aumentada de cada uno de los sigwentes sistemas de ecuaciones lineales.
a) 3x, - 2x, = - 1 b) 2x, + 2x3 = 1 c) X, + 2x2 - x4 + x5 = 1 d) XI = 1
4x, +5x2= 3 3x, - x2 + 4x, = 7 3x2 + x3 -x5=2 x2 =2
7x, +3x2 = 2 6x1 + X, - X, O x3 + 7x4 = 1 xj = 3
a) [: -9 81
5. Determinar un sistema de ecuaciones lineales correspondientae la matriz aumentada.
7 2 1 - 3
1 2 4 0 511 [i i g -:I 0 o 1 4
c, [
[: -: o -2 -;]
5
b) O 0 0
6. a) Encontrar una ecuación lineal en las variables x y y que tenga la solución general x
= 5 + 2 t , y = t .

28 Sistemas de ecuaciones lineales .y maírices
b) Demostrar que x = t , y = if-- también es la solución general de la ecuación del
inciso a).
7. La curva y = ax2 + bx + c de la figura 2 pasa por los puntos (x1,y ,), (x2,y ,) y (x3,y J.
Demostrar que los coeficientes a, b y c son una solución del sistema de ecuaciones
lineales cuya matriz aumentada es
8. ¿Para qué valorirs) de la constante k el siguiente sistema de ecuaciones lineales no
tiene soluciones? ¿exactamente una solución'? ¿infinidad de soluciones?
x- y = 3
2~ - 2y = k
9. Considerar el sistema de ecuaciones
ax + b-v = k
cx + dy = I
ex + fy = n:
Analizar las posiciones relativas de las rectas ax + by = k, cx + 4v = 1 y ex +fi = m
cuando el sistema
a) no tiene soluciones.
b) tiene exactamente una solución.
c) tiene infinidad de soluciones.
10. Demostrar que si el sistema de ecuaciones del ejercicio 9 es consistente, entonces del
sistema es posible eliminar por lo menos una ecdación sin modificar el conjunto
solución.
11. Sean k = I = m = O en el ejercicio 9; demostrar que el sistema debe ser consistente.
iQuC se puede decir del punto de intersección de las tres rectas si el sistema tiene
exactamente una solución?
x + v + 2 z = a
x + z = b
2 x + y + 3 z = c
Demostrar que para que este sistemase a consistente, a, b y c deben satisfacer c = a + b
13. Demostrar lo siguiente: Si las ecuaciones lineales x, + kx, = c y x, + Ix, = d tienen el
mismo conjunto solución, entonces las ecuaciones son idénticas.

1.2 Eliminación gaussiana / 29
1.2 ELIMINACIÓN GAUSSIANA
En esta sección se dará un procedimiento sistemútico para resolver sistemas de
ecuaciones lineales; el método se basa en la idea de reducir la matriz aumentada
a una forma sujicientemente simple para que el sistema de ecuaciones se pueda
resolver por inspección.
FORMA En el ejemplo 3 de la sección precedente, el sistema lineal se resolvió al reducir la
ESCALONADA matriz aumentada a
REDUCIDA
a partir de lo cual la solución del sistema era evidente. Este es un ejemplo de una
matriz que está en forma escalonada reducida. Para que una matriz sea de esta
forma. debe tener las siguientes propiedades.
1. Si un renglón no consta completamente de ceros, entonces el primer número
diferente de cero en el renglón es un 1. (Que se denomina 1 principal.)
2. Si hay renglones que constan completamente de ceros, se agrupan en la
parte inferior de la matriz.
3. En dos renglones consecutivos cualesquiera que no consten completamente
de ceros, el I principal del renglón inferior aparece más a la derecha que el
1 principal en el renglón superior.
4. Cada columna que contenga un I principal tiene ceros en todas las demás
posiciones.
Se dice que una matriz con las propiedades 1, 2 y 3 (pero no necesariamente con la
propiedad 4) está en forma escalonada.
Ejemplo 1 Las siguientes matrices están en forma escalonada reducida.
[I O O 41 [I O O] [: A -: y I]
o 1 o 7 , 0 1 0 ,
o o 1 - 1
0 0 0 0 0 ’ [: :] O o l o o o o o
Las siguientes matrices están en forma escalonada

30 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
El lector debe verificar que cada una de las matrices anteriores satisface todos los
requisitos necesarios.
ORSERVACI~N. Según el ejemplo precedente, una matriz en forma escalonada
tiene ceros abajo de cada 1 principal, mientras que una matriz en forma escalo-nada
reducida tiene ceros tanto arriba como abajo de cada 1 principal.
Si, por m d o d e una serie de operaciones elementales elno s renglones, se llega a
la forma escalonada reducida a partir de la matriz aumentada de un sistema de ecua-ciones
lineales, entonces el conjunto solución del sistemseará evidente por inspección o
al cabo de unos cuantos pasos simples. Eshtee cho se ilustra con el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2 Suponer que la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales
se ha reducido por operaciones en los renglones a la forma escalonada reducida
dada. Resolver el sistema.
1 0 0
b) [O 1 0 2
O 0 1 3 2
1 6 o o 4 - 2
c)
O 0 0 1 5 2
o 0 0 0 0 0
Solución a). El sistema de ecuaciones correspondiente es
XI = 5
x2 -- -2
x3 = 4
Por inspección se obtiene que x1 = 5, x2 = -2, x3 = 4
So/ución 6). El sistema de ecuaciones correspondiente es
XI + 4x, = - 1
.x2 + 2x, = 6
x3 + 3X, = 2
Ya que xl, x2 y xj corresponden a unos principales en la matriz aumentada, se
denominan variables principales. Las variables no principales (en este caso
x4) se denominan variables libres. Al expresar las variables principales en tér-minos
de las variables libres se obtiene
XI = - 1 - 4x,
x2 = 6 - 2 ~ ,
X) = 2 - 3s,

221526 1.2 Eliminación gaussiana / 31
A partir de esta forma de las ecuaciones se observa que a la variable libre x4 se le
puede asignar algún valor, por ejemplo t, que luego determina el valor de las va-riables
principales xl, x2 y x3. Por tanto, existe una infinidad de soluciones y la so-lución
general está definida por las fórmulas
Solución c). El sistema de ecuaciones correspondiente es
x, + 6x, + 4x, = -2
x3 + 3x5 = 1
x, + SX, = 2
Aquí las variables principales son x,, x3 y x4, y las variables libres son x2,y x5. Al
expresar las variables principales en términos del as variables libres se obtiene
X, = -2 - 6x2 - 4x5
x3 = 1 - 3x5
x, = 2 - 5x5
Puesto que x5 puede asumir un valor cualesquiera t y x2 puede asignarse un valor
S, entonces existe una infinidad de soluciones. La solución general está definida
por las fórmulas
Solución d). La última ecuación en el sistema de ecuaciones corresponlente es
ox, + ox, + ox, = 1
Como no es posible que esta ecuación se cumpla, entonces el sistema no tiene
solución. A
ELIIMINACI~N Se ha visto cuán fácil es resolver un sistema de ecuaciones lineales una vez que su
GAUSSIANA matriz aumentada se escribe en forma escalonada reducida. A continuación se propor-cionará
un procedimiento paso a paso que puedues arse para expresar cualquierm atriz
en forma escalonada reducida. A medda que se escriba cada paso del prooxhiento, se
ilustmá la idea al expresar la siguiente matriezn forma escalonada reducida.
0 0 - 2 o
2 4 -10 6 12
2 4 -5 6 -5 - 1
Paso 1. Localizar la columna de la izquierda que no conste completamente
de ceros.

317 I/ Sistemas de ecuaciones lineales-v matrices
0 0 - 2 o 7
2 4 - 10 6 12 If] 2 4 -5 6 -5 -1
! Columna de la orilla izquierda diferente de cero
Paso 2. Intercambiar el renglón superior con otro renglón, en caso de ser ne-cesario,
para que en la parte superior de la columna determinada en
el paso 1 haya un elemento diferente de cero.
2 4 -10
o 0 - 2 o 7 1 2 renglones primero y segundo
Paso 3. Si el elemento que está ahora en la parte superior de la columna de-terminada
en el paso l es a, multiplicar el primer renglón por lla a
fin de introducir un 1 principal.
1 2 - 5 3 6
o 0 - 2 o 7 matriz precedente se
2 4 -5 6 -5 - 1
El primer renglón de la
multiplicó por 1/2.
Paso 4. Sumar mdtiplos adecuados del renglón superior a los renglones inferio-res
para queto dos los elementos abajo de1 principal se vuelvan ceros.
1 2 - 5 3
o 0 - 2 o 7 precedente se sumó -2 veces
0 o 5 o -
El primer renglón de la matriz
Paso 5. A continuación, cubrir el renglón superior de la matriz y comenzar
de nuevo con el paso 1 aplicado a la submatriz restante. Continuar de
esta manera hasta que toda la matriz esté en forma escalonada.
1 2 - 5 3
o 0 - 2 0 7
O O 5 O -17 -29
Columna de la orilla izquierda
diferente de cero en la submatriz

l. 2 Eliminación gaussiana / 33
1 2 - 5 3
0 0 1 0 " 2
O O 5 O -17 -29
1 2 - 5 3 6
o o 1 o -;
0 0 0 0 ~ 1
1 2 - 5 3 6
o o 1 o -; -?I 0 0 0 0 ~ 1
A
El primer renglón de la
submatriz se multiplicó
por - 1/2 para introducir
un 1 principal.
submatriz se sumó - 5 veces '
al segundo renglón de la
submatriz para introducir un
cero abajo del 1 principal.
El renglón superior de la
submatriz se cubrió, y se
volvió nuevamente al paso l .
Columna de la orilla izquierda diferente
de cero en la nueva submatriz
1 2 - 5 3 El primer (y renglón
Único) o o 1
en la nueva submatrlz se
0 0 0 0 1 2 introducir un 1 principal.
Ahora toda la matriz está en forma escalonada. Para determinar la forma escalo-nada
reducida esn ecesario efectuar el siguiente paso adicional.
Paso 6. Empezando con el último renglón diferente de cero y trabajando
hacia arriba, sumar múltiplos adecuados de cada renglón a los ren-glones
de arriba con objeto de introducir ceros arriba de los unos
principales.
1 2 - 5 3 6
0 0 1 0 0 precedente se sumó 712 veces
0 0 0 0 1
1 2 - 5 3 o
0 0 1 0 0 sumó -6 veces al
0 0 0 0 1
1 2 0 3 0
0 0 1 0 0
El segundo renglón se
sumó 5 veces al primer
0 0 0 0 1
renglón.
La última matriz está en forma escalonada reducida
El procedimiento anterior para expresar una matriz en forma escalonadare -
*
ducida se denomina eliminación de Gauss-Jordan (véase la página 34). Si sólo se
efectúan los cinco primeros pasos, el procedimiento se denomina eliminación
gaussiana y produce una forma escalonada.

34 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
OBSERVACI~N. Se puede demostrar que toda matriz tiene una forma esca-lonada
reducida única; es decir, se obtiene la misma forma escalonada reducida
de una matriz dada sin importar cómo se hagan variar las operaciones en los
renglones. (Una demostración de este hecho puede consultarse en el artículo "The
Reduced Row Echelon Form of a Matrix is Unique: A Simple Prooy, de Thomas
Yuster, Mathematics Magazine, Vol. 57, No. 2, 1984, págs. 93 -94.) En contraste,
una forma escalonada de una matriz dada no es única: diferentes secuencias de
operaciones enl os renglones pueden producir formas escalonadasd iferentes.
Ejemplo 3 Resolver por eliminación de Gauss-Jordan
X] + 3x, - 2x, + 2x, = o
2x, + 6x2 - 5x3 - 2x4 + 4x5 - 3x6 = - 1
5x, + lox, + 15x, = 5
2x, + 6x2 + 8x, + 4x, + 18x, = 6
*Karl Friedrich Gauss (1777-1855) fue un matemático y científico alemán. Algunas veces
nombrado "príncipe de los matemáticos", Gauss es considerado junto con Isaac Newton y
Arquimedes como uno de los tres más grandes matemáticos que han existido. En toda la historia de
las matemáticas quizá nunca ha habido un niño tan precoz como Gauss: según cuenta éI mismo, ya
dominaba las bases de las matemáticas aún antes de poder hablar. Un dia, cuando aún no tenia tres
años de edad, su genio se manifestó a sus padres de manera bastante elocuente. Su padre estaba
preparando la nómina semanal de los obreros a su cargo mientras el niño lo observaba en silencio
desde un rincón de la habitación. AI final de los cálculos largos y tediosos, Gauss dijo a su padre
que había un error en el resultado y le dijo la respuesta, a la que había llegado mentalmente. Para
sorpresa de sus padres, jal comprobar los cálculos se dieron cuenta de que Gauss tenía razón!
En su disertación doctoral, Gauss proporcionó la primera demostración completa del teorema
fundamental del álgebra, que establece que toda ecuación polinómica tiene cuando mucho.tantas
soluciones como su grado. A los 19 años de edad resolvió un problema que desconcertó a Euclides:
inscribir un polígono regular de 17 lados en una circunferencia usando sólo regla y transportador; y
en 1801, a los 24 años de edad, publicó su primera obra maestra, Disqursrfrones Anfhrnetrcae,
consrderada por muchos como uno de los logros más brillantes en matemáticas. En este documento,
Gauss sistematizó el estudio de la teoría de números (propiedades de los enteros) y formuló los
conceptos básicos que constituyen los cimientos de ese tema.
Entre la multitud de logros alcanzados, Gauss descubrió la curva "acampanada" o gaussiana que
es fundamental en probabilidad, proporcionó la primera interpretación geométrica de los números
complejos y estableció el papel fundamental de éstos en las matemáticas, desarrolló métodos para
caracterizar superficies intrínsecamentep or medio de las curvas contenidase n aquéllas, desarrolló la
teoría del mapeo conforme (que preserva ángulos) y descubrió la geometría no euclidiana 30 años
antes de que estas ideas fueran publicadas por otros. En fisica realizó contribuciones esenciales a la
teoría de las lentes y a la acción capilar, y junto con Wilhelm Weber realizó trabajo fundamenteanl
electromagnetismo, Gauss inventó el heliotropo, el magnetómetro bifilar y el electrotelegrafo.
Gauss era profundamente religioso y se comportaba como aristócrata. Dominaba fácilmente
otros idiomas, leia bastante y disfrutaba la mineralogia y la botánica como pasatiempos. No le
agradaba dar clases y solía ser frío y poco alentador con otros matemáticos, quizá porque ya había
anticipado el trabajo de éstos. Se hafirmado que si Gauss hubiera publicado todos sus
descubrimientos, el estado actual de las matemáticas habría avanzado 50 años. Sin duda alguna es el
matemático más grande de la epoca moderna.
Wilhelm Jordun (1842-1899) fue un matemático alemán que se especializó en geodesia. Su
contribución a la resolución de sistemas lineales apareció en su libro conocido, Handbuch der
I'errnessungskunde, en 1888.

La matriz aumentada del sistema es
AI sumar -2 veces el primer renglón a los renglones segundo y cuarto se obtiene
1 3 - 2 o 2 o o
o o - 1 -2 o -3 -1
(I O 5 1 0 0 1 5 5
L O O 4 8 O 1 8 6
Al multiplicar el segundo renglón por - 1 y luego sumar -5 veces el nuevo segundo
renglón al tercer renglón y -4 veces el nuevo segundo renglón al cuarto renglón se
obtiene
O 0
O 0 0 6 2
Al sumar -3 veces el tercer renglón al segundo renglón y luego sumar 2 veces el
segundo renglón de la matriz resultante al primer renglón se obtiene la forma
escalonada reducida I 1 3 0 4 2 0 0
0 0 1 2 0 0 0
0 0 0 0 0 1 g
0 0 0 0 0 0 0
El sistema de ecuaciones correspondente es
x, + 3x, 4 4x, + 2x, = o
x3 + 2x4 = o
X6 = Q

(Se ha eliminado la última ecuación. Oxl + Ox, + Oxj + Ox4 -t Ox, + Ox6 = O, ya
que las demris ccuaciones harán que se cumpla de manera automática.) AI despejar
la,; variables principalcs. se obtiene
Si a las variables libres x,. x4. x5 se asignan los valores arbitrarios r. S y t.
respectivamente. entonces la solucion general está dada por las fórmulas
X , = - 3r -- 4s - 2t, X? = Y , .x3 = - 2 ~ , .x4 = S, = t. X, = f A
RETRO- Ejemplo 4 Algunas Yeces es preferible resolver un sistema de ecuaciones lineales
SUSTITUCI~N por medio de la eliminación gaussiana a fin de expresar la matriz aumentada en
forma escalonada sin continuar hasta obtener la forma escalonada reducida.
Cuando se hace lo anterior. el sistema de ecuaciones correspondiente se puede
resolver mediante una técnica denominada retrosustitucidn. Para ilustrar este
método se usarh el sistema de ecuaciones del ejemplo 3.
Con base en los cálculos en el ejemplo 3. una forma escalonada dc la matriz
aumentada es
I 1 3 - 2 o 2 0 0
0 0 1 2 O 3 1
0 0 0 0 0 l g
o 0 0 0 0 0 0
Para resolver el sistema de ccuaciones correspondiente
se procede como sigue:
Paso 1. Despejar las variables principales en las ecuaciones. I
.Yl = -3x, + 2x, - 2x,
xi = 1 - 2.r, - 3x,
x, = f

Paso 2. Empezando con la última ecuación y trabajando hacia atrás, sustituir
consecutivamente cada ecuación elna s ecuaciones anteriores.
Al sustituir x6 = 3 en la segunda ecuación se obtiene
x, = -3x, + 2x, - 2x,
xj = - 2x,
.X6 = $
La sustitución de x3 = -2x, en la primera ecuación da
x, = - 3x, - 4x, - 2x5
x, = -2x,
x6 = $
Paso 3. Asignar valores arbitrarios a las variables libres, si hay alguna.
Si a xz. x4 y x5 se asignan valores cualesquiera r, S y t, respectivamente,
entonces la solución general está definida por las fórmulas
Lo anterior concuerda con la solución obtenida en el ejemplo 3. A
OBSERVACI~N. Los valores que se asignan a las variables libres se llaman
parámetros. Aunque para designar a los parámetros en general se usarán las letras
r, s. t, . . , , es posible usar cualquier letra que no cause problema con los nombres
de las variables.
Ejemplo 5 Resolver
x + y + 2 2 = 9
2x + 4y - 32 = 1
3x + 6 , ~- 5~ = O
por medio de la eliminación gaussianay la retrosustitución.
Solución. Este es el sistema del ejemplo 3 en la sección 1.1. En ese ejemplo se
convirtió la matriz aumentada

38 ,/ Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
a la forma escalonada
[; 1 2 9 -f -y]
El sistema corresponhente eas ta matriz es
x + y + 22= 9
- 2, = -17
2
z = 3
Al despejar las variables principales se obtiene
La sustitución de la ecuacióni nferior en las ecuaciones anteriores da
x = 3 - y
y = 2
z = 3
y la sustitución de la segunda ecuación en la ecuaciósnu perior se obtiene
x= 1
y = 2
z = 3
Esto concuerda con el resultado que se encontró mediante la eliminación de
Gauss-Jordan en el ejemplo 3 de la sección l. l. A
SISTEMAS Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los término:
LINEALES constantes son cero; es decir, el sistema es de la forma
HOMOGÉNEOS
a I l x , + ai2x2 + . . . + a,,x, = O
u2,x, + a22x2 + . . . + u2,x, = O
amlxl + am2x2 + . . . + amnx, = O
Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneo es consistente, ya que UM
solución de todos estos sistemas es x1 = O, xz = O, . . . , xn = O. Esta solución se
denomina solución trivial; en caso de que haya otras soluciones, se denominan
soluciones no triviales.

1.2 Eliminación gaussiana i 39
Debido a que un sistema lineal homogéneo siempre tiene la solución trivial,
entonces para sus soluciones sólo hay dos posibilidades:
El sistema sólo tiene la solución trivial.
El sistema tiene infinidad de soluciones además de la solución trivial
En el caso especial de un sistema lineal homogéneo de dos ecuaciones con dos
incógnitas, por ejemplo
a,x+h,y=O ( a , , b , nosonceroalavez)
a2x + h2y = O (az ,h, no son cero a la vez)
las gráfkas de las ecuaciones son rectas que pasan por el origen, y la solución
trivial corresponde al punto de intersección en el origen (figura 1).
S Y Av
Figura 1 I S Ó I ~la solución trivial I I Infinidad de soluciones I
Existe un caso en el cual se asegura que un sistema homogéneo tiene soluciones
no triviales, a saber, siempre que el sistema tengam ás indgnitas que ecuaciones. Para
ver por qué, considerar els iguente ejemplo dec uatro ecuaciones con cinco incógnitas.
Ejemplo 6 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales homogéneo por
eliminación de Gauss-Jordan.
2x1 + 2x2 - x3 + x 5 = o
-x1 - x2 + 2x, - 3x, + x5 = o
x, + x2 - 2x, -x,=o
x3 + xq + x5 = o
Solución. La matriz aumentada del sistema es
2 2 - 1 o 1 o
- 1 - 1 2 - 3 1 o
1 1 - 2 0 - 1 o
0 0 1 1 1 0

40 /' Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Al reducir esta matriz a la forma escalonadrae ducida, se obtiene
[ 1 1 0 0 1 0
0 0 1 0 1 0
o 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
El sistema de ecuaciones correspondientee s
XI +X? + 5 5 = 0
xj + X5 = o
.x4 = o
Al despejar las variables principales se obtiene
x, = -x2 -- X.j
x2 = -x5
-Y4 = o
Par tanto, la solución general es
.x1 = - S - t, .x2 = S, Xj = - t, XJ = 0, xj = 1
Observar que la solución trivial se obtiene cuando S = t = O. A
El ejemplo 6 ilustra dos cuestiones importantes respecto a la solución de
sistemas homogéneos de ecuaciones lineales. Primera, ninguna de las tres
operaciones elementales en los renglones modifica la columna final de ceros
en la matriz aumentada, de modo que el sistema de ecuaciones correspondiente a
la forma escalonada reducida de la matriz aumentada también debe ser un sistema
homogéneo, véase el sistema (2) . Segunda, dependiendo de si la forma escalonada
reducida de la matriz aumentada contiene algún renglón de ceros, el número de
ecuaciones en el sistema reducido es menor o igual que el número de ecuaciones
del sistema original, comparar los sistemas (1) y (2). Por tanto, si el sistema
homogéneo dado contiene m ecuaciones con n incógnitas donde m < n, y si en la
forma escalonada reducida de la matriz aumentada hay r renglones diferentes de
cero, entonces se tendrá r < n. Se concluye que el sistema de ecuaciones
correspondiente a la forma escalonada reducida de la matriz aumentada es de la
forma

SOLUCIONES
POR
COMPUTADORA
DE SISTEMAS
LINEALES
1.2 Eliminación gaussiana 1 41
donde xk,, xk2, . . . , xkr son las variables principales y Z ( ) denota Sumas
(posiblemente todas diferentes) que incluyen a las n - Y variables libres, comparar
el sistema (3) con el sistema (2) . AI despejar las variables principales se obtiene
x k , = -X( 1
Xk2 = -G( 1
Xk, = -C( )
Así como en el ejemplo 6, es posible asignar valores cualesquiera a las variables
libres del miembro derecho y obtener así una infinidad de soluciones del sistema.
En resumen, se tiene el siguiente teorema importante.
Teorema 1.2.1. Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo con más
incógnitas que ecuaciones tiene infinidad de soluciones.
OBSERVACI~N. Se debe notar que el teorema 1.2.1 es válido sólo para sistemas
homogéneos. Un sistema no homogéneo con más incógnitas que ecuaciones no
necesariamente es consistente (ejercicio 34); sin embargo, si el sistema es con-sistente,
entonces tiene infinidad de soluciones. Este hecho se demostrará des-pués.
En las aplicaciones no es raro encontrar grandes sistemas lineales que cs
necesario resolver por computadora. Zasi todos los algoritmos de cómputo para
resolver los sistemas se basan en la eliminación gaussiana o en la eliminación de
Gauss-Jordan, aunque los procedimientos básicos son modificados a menudo para
poder abordar cuestiones como
reducir los errores por redondeo,
disminuir el uso del espacio de memoria de la computadora,
y resolver el sistema a la velocidad máxima.
Algunas de estas cuestiones se considerarán en el capítulo 9. En cálculos
manuales, las fracciones son un inconveniente que a menudo es imposible evitar.
Sin embargo, en algunos casos sí se puede hacer al variar de manera conveniente
las operaciones elementales en los renglones. Por tanto, una vez que el lector
domine los métodos de eliminación gaussiana y eliminación de Gauss-Jordan
puede modificar los pasos en problemas específicos a fin de evitar las fracciones
(véase el ejercicio 18).
EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 1.2
1. De las siguientes matrices 3 x 3, ¿cuáles están en forma escalonada reducida?

a ) O l O [: :] b) 1 "1 c) [: 1 y] d) [A 0" f]
42 / Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
[" "1 O 0 :] 0 [: O 0 0 '1 [: O 0 0
I :]
f ) l O O g)[: hj i) 0 0 0 O 0 0 O 0 0 O 0 0
2. De las siguientes matnces 3 x 3, ¿cuáles están en forma escalonada? a ) [l O l O
:] "1 [i f b)[i O 0 0 c) O 2 0 d)
1 3 4
0 0 1
-0 o o
3. En cada inciso, determinar si la matriz está en forma escalonada, en forma escalonada
reducida, en ambas formaso en ninguna.
1 2 0 3 0
p '1
a )[O O oO O O OI] b ) [ i c j [ 'o 1o 2 4 0 0 0 0 0
[' '1 [' 1 3 0 2 0
* [i i] dl o -71 3 2 e) o O] f) O 0 0 0 1
0 0 0 0 0
4. En cada inciso, suponer que la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales
ha sido reducida mediante operaciones en los renglones a la forma escalonada re-ducida
dada. Resolver el sistema.
1 o 0 - 3 I o 0 - 7 8
,)[O
;] [i -: x 1 - 6 O O 3 - 2
81 O 0 1 0 4 d) O 0 0 1 5
~ 0 0 0 0 0 0
1 O 3 2
o o 1 1 - 5
5. En cada inciso, suponer que la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales
ha sido reducida mediante operaciones en los renglones a la forma escalonada dada.
Resolver el sistema.
01 -31 42 q
0 0 1 s 2

6. Resolver cada uno de los siguientes sistemas aplicando eliminación dGea uss-Jordan.
a) x, + x2 + 2x3 = 8 b) 2x, + 2x, + 2x3 = O
-x1 - 2x2 + 3x3 = 1 -2x, + 5x, + 2x3 = 1
3x, - 7x, + 4x3 = 10 8x, + X, + 4x3 = - 1
c) x - y + 2 z - w = - 1 d) -2b + 3 ~ = 1
2 x + y - 2 2 - 2 w = - 2 3 ~ + 6 b - 3 ~ = - 2
- x + 2 y - 4 2 + w = 1 6a + 66 + 3c = 5
3x - 3w = -3
7. Resolver cada uno de los sistemas del ejercicio 6 aplicando eliminación gaussiana.
8. Resolver cada uno de los siguientes sistemas aplicando eliminación de Gauss-Jordan
a) 2x, - 3x2 = -2 b) 3x, + 2 ~ , - x3 = - 15
2x, + x, = 1 5x, + 3x2 + 2x3 = o
3x, +2x2 = 1 3x, + x, + 3x3 = 11
-6x, - 4x, + 2x3 = 30
C) 4x, - SX, = 12 d) 1oy-4z+ w = 1
3x1 - 6 ~ ,= 9 x + 4y- z + w = 2
-2x, +4x,= - 6 3 x + 2 y + z 2 w = 5
- 2 ~ - 8 y + 2 ~ - 2 ~ -=4
X - 6y+32 = 1
9. Resolver cada uno de los sistemas del ejercicio S aplicando eliminación gaussiana.
10. Resolver cada uno de los siguientes sistemas aplicando eliminación de Gauss-Jordan.
a) 5x, - 2x2 + 6x, = O b) xI - 2x, + x, - 4x, = 1 c) w + 2 x - y = 4
-2x, + x, + 3x3 = 1 XI + 3x2 + 7x3 + 2x, = 2 x - y=3
x1 - I~-x 1, I X-, 16x4 = 5 ~ + 3 ~ - 2 ~ = 7
2 u + 4 v + w + 7 x = 7
11. Resolver cada uno de los sistemas del ejercicio 10 aplicando eliminación gaussiana
12. Sin usar lápiz y papel, determinar cuáles de los siguientes sistemas homogéneos tienen
soluciones no triviales.
a) 2x1 - 3x, + 4x, - x, = O b) x, + 3x2 - x3 = 0
7x, + x, - 8x3 + 9x4 = o x, - SX, = o
2x, + 8x2 + x3 - X, = O 4x3 = o
C) a, ,x, + alzx2 + uI3x3 = O d) 3x1 - 2x2 = 0
aZlXl + a2zx2 + a23x3 = 0 6x, - 4x2 = O
13. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales homogéneos aplicando cual-quier
método.
a) 2x, + X, + 3x3 = O b) 3x1 + x2 + x3 + x, = O c) 2x + 2y + 4z = o
x, + 2x, = O 5x, - x2 + x3 - x, = o W - y-3.?=0
x, + x, = o 2w+3x+ y + z=O
-2w+ ~ + 3 ~ - 2 ~ = 0
14. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales homogéneos aplicando cual-quier
método.

44 1' Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
a) 2.r -- y - 3z = 0 b) u t 3w-2x=o c) x , + 3 x , +x,=o
--x + 2y - 32 = o 2u+ u-4w+3x=o x, t 4x, + 2x, = o
x + , y + 4 z = o 2 ~ + 3 ~ + 2x =~O - - 2x2 - 2x, - x, = o
-414 - 3U + 5W -. 4x = 0 2x, .- 4x, + x, +x, = o
x, - 2x, - xj + .x4 = o
15. KesoIver 10s siguientes sistemas aplicando cualquier método.
a) 21, - I, + 31, + 41, = 9 b) z, + z, + z, = o
4 - 21, + 71, = I1 -z, - z, + 22, - 32, + z, = o
31, - 31, + l3 + 51, = 8 z, +- z2 - 22, -z,=o
21, + I2 t 41, + 41, = 10 22, + 2z2 - z, +z,=o
16. Resolver los siguientes sistemas, donde a, b y c son constantes.
a) 2x + .V = a b) x, + .x2 + x, =u
3x +- 6~ = h 2.r , + 2x, = h
3.Y2 + 3x, = c
17. ¿Para qué valores de a el siguiente sistema no tiene solución? ¿exactamente una
solución'? ¿,intinidadd e soluciones?
.Y i- 21' "~ 3z = 4
31 " J' 4- 5z = 2
4x + v + (U' -- 1 4 ) ~= 0 + 2
18. Expresar
en forma escalonada reducida sin introducir ninguna fracción
1 Y. Encontrar dos formas escalonadas diferentes de
20. Resolver e1 siguiente sistema de ecuaciones no lineales para los ángulos descono-c
i d o s a , y p , d o n d e O ( a ( 2 n , O I P I 2 n , y O s y < : .
2 s e n a - c o s p + 3 t a n y = 3
4sencu+2cosp-2tany=2
6sena-3cosp+ tany=9
21. Resolvcr el siguiente sistema de ecuacionneso lineales para .Y, y y z.
X' + + z2 = 6
x"y'+22=2
2x2 f V 2 - 2 2 = 3

1.2 Eliminación gaussiana 45
22. Demostrar que el siguiente sistema no lineal tiene 18 soluciones si O 5 a 5 2 z, O 5
/ 3 5 2 z , y O I . y < 2 z .
sena+2cosp+3tany=O
2sena+5cosp+3tany=O
-sena-5cosp+5tany=O
23. $ara que valor(es) de y el siguiente sistema de ecuaciones tiene soluciones no
triviales?
(a - 3lX + v = o
x + (a - 3)?, = o
ax + by = O
cx + dy = o
ex + fy = O
Analizar las posiciones relativas de las rectas ax + by = O, cx + dy = O y ex +fi = O
cuando
a) el sistema tiene s3!0 la solución trivial, b) el sistema tiene soluciones no tnviales.
25. En la figura 2 se muestra la gráfica de una ecuación cúbica y = + b? + cx + d.
Encontrar los coeficientes a, b, c y d.
ty
20 -
' I Figura 2
26. Recordar que en geometría plana tres puntos no colineales determinan una circunfe-rencia
de manera única. En geometría analítica se demuestra que la ecuación de una
circunferencia en el planox y es de laf orma
ux2 + uy2 + bx + cy + d = O
Encontrar la ecuación de la circunferencia que se muestra efnig luar a 3
CY

27. Describir las posibles formas escalonadas rqiucidas de
28. Demostrar que si ad - bc f O, entonces la forma escalonada reducida de
29. Usar el ejercicio 28 para demostrar que si ad - bc = O, entonces el sistema
ux + b ~=, k
CY + dv = I
tiene exactamente una solución
30. tlrsolvzr el sistema
para x,, x2 y xj SI
a) k= 1 b) d = 2
ux + bj. = o
C.Y + 41) = o
a) Demostrar que si x = xo, y = y, es cualquier solución del sistema y k es cualquier
constante, entonces x = kr,, y = 4, también es una solución.
b) Demostrar que si x = xo, y = y, y x = x], y = y, son dos soluciones cualesquiera,
entonces x = x. + x,, y =y o +yta,m bién es una solución.
(1) u .+~ b ,, = k (11) ax + by = O
C.Y + dl) = I cx + 4v = o
a) Demostrar que si x = x,, y = y , y x = x*, y = y, son soluciones de I, entonces x = x1
- x2,y =yI - y, es una solución de I I .
de I I , entonces x = x, + x,, y =y , +yeos una solución deI .
b) Demostrar que si x = x], y = y, es una solución de I y x = x,, y = y, es una solución
33. a) En el sistema de ecuaciones numerado con ( 3 ) , explicar por qué sería incorrecto
denotar a las variables principales por xl, x2, , . . , xr en vez de por xk,, xk2, . . . , xk,
como se hizo.

l. 3 Matrices y operaciones con matrices / 4 7
b) El sistema de ecuaciones numeradoc on (2) es un caso específico de (3). ¿Qué valor
tiene y en este caso? ¿Cuáles son xk,, xk2, . . . , x en este caso? Escribir las sumas
I: k,
denotadas por ( ) en ( 3 ) .
34. Encontrar un sistema lineal inconsistente quete nga más incógnitas que ecuaciones
1.3 MATRICES Y OPERACIONES CON MATRICES
Los arreglos rectangulares de números reales surgen en muchos contextos
distintos a las matrices aumentadas de sistemas de ecuaciones lineales. En esta
sección estos arreglos se considerarán como objetos en sí y se desarrollarán
' algunas de sus propiedades para aplicarlas más tarde.
NOTACI~NY Definición. Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en
TERMINoLoGÍA el arreglo se denominan efementos de la matriz.
DE MATRICES
Ejemplo 1 Algunos ejemplos de matrices son
El tamaiio de una matriz se describe en términos del número de renglones
(líneas horizontales) y de columnas (líneas verticales) que contiene. Por ejemplo,
la primera matriz del ejemplo 1 tiene tres renglones y dos columnas, de modo que
su tamaño es 3 por 2 (que se escribe 3 X 2). En la descripción del tamaño, el
primer número siempre denota el número de renglones y el segundo, el de
columnas. Las demás matrices del ejemplo 1 son de tamaño 1 X 4, 3 x 3, 2 X 1 y
1 X 1, respectivamente. Una matriz conu na sola columna se denomina matriz co-lumna
(o vector columna), y una matriz con un solo renglón se denomina matriz
renglón (o vector renglón). Así, en el ejemplo 1, la matriz 2 X 1 es una matriz
columna, la matriz 1 X 4 es una matriz renglón y la matriz 1 X 1 es tanto una
matriz renglón como una matriz columna. (El término vector tiene otro signi-ficado
que será analizado en capítulos ulteriores.
OBSERVACI~N. Se acostumbra omitir los corchetes en una matriz 1 X 1. Así, se
podría escribir 4 en vez de 4 . Aunque lo anterior imposibilita saber si 4 denota el
número "cuatro1' o la matriz 1 X 1 cuyo elemento es 'Icuatro", excepcionalmente
causa problemas, ya que casi siempre es posible inferir el significado a partir del
contexto en que aparecel símbolo.

48 .Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Para denotar matrices se usarán mayúsculas y para denotar cantidades,
minúsculas; así. se podría escribir
Al estudiar matrices, es común denominar escdares a las cantidades numéricas. A
menos que se establezca otra cosa. los escalares serán nitmeros reales; los
escalares complejos serán considerados en el capítulo 10.
El elemento que aparece en el renglón i y la columna j de una matriz .4 se
denota por a,,.
Así, una matriz general 3 X 4 se puede escribir como
y una matriz general m x n, como
Cuando se desea que la notación sea condensada, la matriz precedente se puede
expresar como
[U,,I,,,X,I 0 [%,I
la primera notación se usa cuando en el análisis es importante conocer el tamaño y
la segunda cuando no es necesario recalcar el tamaño. Por lo general, la letra que
denota una matriz corresponde a la letra que denota sus elementos; así, para una
matriz B en general se usará b,, para denotar el elemento en el renglón i y la
columnaj, y para una matriz C se usará cy.
El elemento en el renglón i y la columna j de una matriz A se denota por el
símbolo (A)q. Así. para la matriz (1) anterior, se tiene
(A),, = a,,
y para la matriz
se tiene (A)11 = 2, (A)12 = -3, (A)2l = 7 , y (A)22 =O.
Las matrices renglón y columna revisten especial importancia y se denotan con
minúsculas negritas en vez de mayúsculas. En estas matrices es innecesario usar
subindices dobles para los elementos. Entonces, una matriz renglón general a 1 X
n y una matriz columna general b m X 1 se escribirán como

1.3 Matrices y operaciones con matrices / 49
Figura 1
Una matriz A con n renglones y n columnas se denomina matriz cuadrada
de orden n,-y se hce que los elementos all, a22, . . . , ann están en la diagonal
principal de A (véanse los elementos en tipo negro en la figura 1).
OPERACIONES Hasta el momento, las matrices se han usado para abreviar el trabajo al resolver
CON MATRICES sistemas de ecuaciones lineales. Para otras aplicaciones, sin embargo, es deseable
desarrollar una "aritmética de matrices" en la que sea posible sumar, restar y mul-tiplicar
matrices de manera útil. El resto de esta sección se dedicará al desarrollo
de esa aritmética.
Definición. Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y sus ele-mentos
correspondientes soni guales.
En notación matricial, si A = [a,] y [B = b, ] son del mismo tamaño, entonces A =
B si y sólo si (A), = (B), o, equivalentemente, a, = bo para todo i y j .
Ejemplo 2 Considerar las matrices
Si x = 5, entonces A = B, pero para los demás valores de x las matrices A y B
no son iguales. ya que no todos sus elementos correspondientes son iguales.
No hay ningún valor de x para el que A = C, ya que los tamaños de A y C son
diferentes. A
correspondientes de A, y la diferencia A - B es la matriz obtenida al restar los
elementos de B de los elementos correspondientes de A. No es posible sumar o
restar matrices de tamaños diferentes.

7 ' P "*I 6 .,*< r : , : 'i - , ~ . . ,
50 Sistemas de ecuaciones lineales v matrices
En notación matricial, si A = [au] y B = [bJ son del mismo tamaño, entonces
2 1 0 -4 3 5
- 1 O 2 '1 B = [ 2 2 O -:] C = [ ' '1
4 - 2 7 o 3 2 - 4 5 2 2
Entonces
11 -5
Las expresiones A + c', B + C', A - C y B - C no están definidas. A
Definición. Si A es cualquier matriz y c es cualquier escalar, entonces el
producto cA es la matriz obtenidaa l multiplicar cada elemento deA por c.
En notación matricial, si A = [a 1, entonces
r/
cA)ij = c(A),, = cui,
Ejemplo 4 Para las matrices
A = [ 1 3 I ] B = [ - 1 3 - 57 1 c=[ : -r, 2 3 4 o 2
se tiene
Es común denotar (- l)B por -B. A
Si A,, A,, . . . , A,, son matrices del mismo tamaño y cl, c,, . . . , c,, son
escalares. entonces una expresión dlea forma
se denomina combinación lineal de A , , A,, . . . , A,, con coeficientes cl, c2, . . . ,
e,,. Por ejemplo, si A, B y C son las matrices del ejemplo 4, entonces

224526 1.3 Matrices y operaciones con matrices I' 51
= [: 1 ;l.+ [: 1: -:I+[; -: :I
= [7 '1 4 3 11
es la combinación lineal de A, B y C con coeficientes escalares 2, - 1 y i.
Hasta el momento se ha definido la multiplicación de una matnz por un
escalar, pero no la multiplicación de dos matrices. Como la suma de matrices se
ejecuta sumando los elementos correspondientes y la resta de matrices se ejecuta
restando los elementos correspondientes, parecería natural definir el producto de
matrices como la multiplicación de los elementos correspondientes. Sin embargo,
resulta que la definición no es de mucha utilidad en la mayor parte de los
problemas. La experiencia ha llevado a los matemáticos a la siguiente definición,
menos natural pero más útil, de producto de matrices.
Definición. Si A es una matriz m x r y B es una matriz r x n, entonces el
producto AB es la matriz m x n cuyos elementos se determinan como sigue.
Para encontrar el elemento en el renglón i y en la columnaj de AB, considerar
sólo el renglón i de la matriz A y la columnaj de lam atriz B. Multiplicar entre
sí los elementos correspondientes del renglón y de la columna mencionados y
luego sumar los productos resultantes.
i
6
, ,
. ', j
Ejemplo 5 Considerar las matrices I ' '
4 1 4 3 -
O -1 3 1
2 7 5 2 - I O
Como A es una matriz 2 x 3 y B es una matriz 3 x 4, el producto AB es una
matriz 2 X 4. Para determinar, por ejemplo, el elemento en el renglón 2 y en la
columna 3 de AB, sólo se consideran el renglón 2 de A y la columna 3 de B.
Luego, como se ilustra a continuación, los elementos correspondientes (en tipo
negro) se multiplican entre sí y se suman los productos obtenidos.

El elemento en el renglón 1 y eyi In columna 4 de AB (en negro) se calcula como sigue.
l(1.3) + (2.1) + (4.2) = 131
Los cálculos para los demás productos son
(1 '4) + (2.0) + (4.2) = 12
( 1 . 1 ) - ( 2 . 1 ) + ( 4 . 7 ) = 27
( 1 . 4 ) + ( 2 . 3 ) + ( 4 . 5 ) = 30 12 27 30
(2.4) + (6.0) +- (0.2) = 8 8 -4 26 12
(2. 1) - (6.1) + (0.7) = -4
(2.3) + (6.1) + (0.2) = 12 A
131
Para formar el producto AB, la definición de multiplicación de matrices
requiere que el número de columnas del primer factor A sea el mismo que el
número de renglones del segundo factor B. Si no se cumple esta condición.
entonces el producto está indefinido. Una manera conveniente para determinar si
el producto de dos matrices está definido es escribir el tamaño del primer factor y,
a la derecha, escribir el tamaño del segundo factor. Si, como se observa en la
figura 2, los números interiores son iguales, entonces el producto está definido.
Los númcros exteriores proporcionan entonces el tamaño del producto.
A H AB - m x r r x n m x n
b A h S
Medios
Figura 2 Extremos
Ejemplo 6 Suponer que A, B y C son matrices con los siguientes tamaños:
A R C
3 x 4 4x7 7 x 3
Entonces AB está definido y se trata de una matriz 3 x 7; CA está definido y se
trata de una matriz 7 X 4; y BC está definido y se trata de una matriz 4 x 3. Los
productos AC, CB y BA están indefinidos.
Si A = [u,] es una matriz general m x r y B = [b,] es una matriz general Y X
n, entonces como se ilustra con tipo negro de la figura 3, el elemento (AB)v en el
renglón i y la columna j de AB está definido por

PARTICI~ND E
MATRICES
AB =
Figura 3
MULTIPLICA-CIóN
DE
MATRICES
POR COLUMNAS
Y POR
RENGLONES
Una matriz se puede subdividir o partir en matrices más pequeñas insertando
rectas horizontales y verticales entre renglones y columnas selectos. Por ejemplo,
a continuación se muestran tres posibles particiones de una matriz general A 3 X
4: la primera es una partición de A en cuatro submatrices A 1, A 12, A, y A,2; la
segunda es una partición de A en sus matrices renglón rl, r2, r3 y r4; y la tercera
es una partición deA en sus matrices columna cl, c,, c3 y c4:
[ ::: ' I 2 '13 ' 1 4
[ii: A = """""""""_ u22 u23 u24=] 'I2]
A22
1: '31 ' 3 2 ' 3 3 ' 3 4
~ [ill """""""_""
a12 u13 '14
A = u22 a23 = _"""""""""
'31 '32 '33 a34
Algunas veces es necesario encontrar un renglón o una columna particulares de
un producto AB de matrices sin calcular todo el producto. Los siguientes
resultados, cuyas demostraciones se dejan como ejercicios, son útiles para este
propósito:
j-ésima matriz columna dAe B = A b-ésima matriz columna deB ] (3 1
1 i-ésima matriz renglón de AB = (i-ésima matriz renglón de1; 3 B
I.".
Ejemplo 7 Si '4 y B son las matrices del ejemplo 5, entrnces por (3) la segunda
matriz columna de AB se puede obtener al calcular

L ,"I t
I deB 11 deAB Segunda columna Segunda columna I
y por (4), la primera matriz renglón de AB se puede obtener al calcular
11 2 41 1' 0 -: = [12 27 30 131-,
I L2 7 5 21 I
Primer renglón
1 1 I I
Si al, $, . . . , a, denotan las matrices renglón de A y b,, b,, . . . , b, denotan
las matrices columna deB , entonces por las fórmulas (3) y (4) se concluye que
(AB calculada renglón por rengldn)
OBSERVACI~N. Las fórmulas (5) y (6) son casos especiales de un procedmiento
más general para multiplicar matrices divididas (véanse los ejercicios 15, 16 y 17).
PRODUCTOS Las matrices renglón y columna proporcionan otra manera de concebir la multi-
DE MATRICES plicación de matrices. Por ejemplo, suponer que
COMO
COMBINACIO- a l l a12 " ' al,
NES LINEALES
A = a2a2 2 1. ' . ' a2n
Entonces

En palabras, la fórmula (7) establece que el producto Ax de una matriz A y una
matriz columna x es una combinación lineal de las matrices columna de A con los
coejicientes que provienen de la matriz x. En los ejercicios de la sección se pide al
lector demostrar que el producto yA de una matriz y 1 X m y una matriz A m X n
es una combinación lineal de las matrices renglón de A con coejcientes escalares
que provienen de y.
Ejemplo 8 El producto matricial
se puede escribir como la combinación lineal 2[-i]-1
y el producto matricial
[ I -9 -3][-/ -:] = 1 - 1 6 8 351
-2
se puede escribir como la combinación lineal
1[-1 3 2 1 - 9 [ 1 2 - 3 1 - 3 [ 2 1 - 2 ] = [ - 1 6 - 1 8 351 A
Por (5) y (7) se concluye que la j-ésima matriz columna de un producto AB es
una combinación lineal de las matrices columna de A con los coeficientes que
provienen de la j-ésima columna de B.
Ejemplo 9 En el ejemplo 5 se demostró que
AB= 2 411[
4 1 4 3 -
0 - 1 3 1
2 6 0 2 7 5 2-
Las matrices columna de AB se pueden expresar como combinaciones lineales de las
matrices columna de A en la forma siguiente:
['E] = 4 [ ; ] + 0 [ ; ] + 2 [ $

FORMA La multiplicación de matrices tiene una aplicación importante a los sistemas de
MATRZCIAL DE ecuaciones lineales. Considerar cualquier sistema de rn ecuaciones lineales con n
UN SISTEMA incógnitas.
LINEAL
CI,,Xl + a12.5 + ' ' ' + LI,,J, = h,
aZ,xl + a22x7 + . . . + a2n.x, = b2
Como dos matrices son iguales si y sólo si sus elementos correspondientes son
iguales, es posible sustituir las m ecuaciones lineales en este sistema por la simple
ecuación matricial
La matriz m X 1 en el miembro izquierdo de esta ecuación se puede escribir como
un producto para obtener
Si estas matrices se designpanor A, x y b, respectivamente, entonces el sistemoa riginal
de m ecuaciones con n incbgnitas ha sido reemplazado por la ecuación matricial
A x = b
La matriz A en esta ecuación se denomina matriz de coeficientes del sistema. La
matriz aumentada del sistema se obtiene adjuntando b a A como última columna;
así, la matriz aumentadeas

l. 3 Matrices y operaciones con matrices / 5 7
TRANSPUESTA Esta sección termina con la definición de dos operaciones matriciales que carecen
DE UNA MATRIZ de análogo en los números reales.
Definición. Si A es cualquier matriz m X n, entonces la transpuesta de A,
denotada por AT, se define como la matriz n X m que se obtiene al intercambiar
los renglones y las columnas de A; es decir, la primera columna de AT es el
primer renglón de A, la segunda columna de AT del segundo renglón de A, y así
sucesivamente.
Figura 4
Ejemplo 10 A continuación se presentan algunos ejemplos de matrices y sus
transpuestas.
;;; '12 ;;; '13 ;'14 J:] 2 i] 3
A = [ : ! : B = [ t C=[l 3 51 0 = [ 4 1
Observar no sólo que las columnas de AT son los renglones de A, sino que
los renglones de AT son las columnas de A . Así, el elemento en el renglón i y la
columnaj de A es el elemento en el renglónj y la columna i de A, es decir,
Observar la inversión de los subindices.
En el caso especial en que A es una matriz cuadrada, la transpuesta de A se
puede obtener al intercambiar los elementos simétricos con respecto a la diagonal
principal (figura 4). Planteado de otra forma, AT se puede obtener "reflejando" A
con respecto a su diagonal principal.
1 "2 4 - 1 - -2 4 1 3 -5
>.. ,f
simétricos con respecto a la

58 :' Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
TRAZA DE UNA
MATRIZ
Definición. Si A es una matriz cuadrada, entonces la truzu de A, denotada por
tr(A), se define como la suma de los elementos de la diagonal principal de A. La
CUADRADA traza de A no está definida si A no es una matriz cuadrada.
Ejemplo 11 A continuación se presentan algunos ejemplos de matrices y sus
trazas.
2 7 0
-2 I tr(A)=a,,+a,,+a,, I Itr(B)= - 1 + 5 + 7 + 0 = 1 1 J A
EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 1.3
1. Suponer que A, B, C, D yF son matrices de los tamaiios siguientes:
A B C D E
(4 x 5) (4 x 5 ) (5 x 2) (4 x 2) (5 x 4)
Determinar cuáles de las siguientes expresiones de matnces están definidas. Para las
que estén definidas, proporcionar el tamaño de la matriz resultante.
a) BA bjAC+D c ) . 4 E + B d).4B+B
e) E(A + B) f) E(AC) g) ETA h) (A + E)D
/ 2. Resolver la siguiente ecuación matricial para a, b, c y d.
-[ 3 ad-+b2c a - 4"d c ] = [ ; A] 3. Considerar las matrices.
Calcular lo siguiente (en caso de ser posible)
a) D + E b ) D - E c) 5A d) -7C
e) 2B-C f) 4 E - 2 D g) -3(0 + 2E) h) A - A
i) tr(D) j) tr(D - 3E) k) 4 tr(7B) 1) ' tr(A)
4. Con las matrices del ejercicio3 , calcular lo siguiente (en caso de ser posible)
a) U'+ C b) DT- E' c) (D- E)' d) BT + 5C7
e) $ C ' - ~ A f) B-B' g) 2ET - 30' h) (2ET - 30')'
5. Usar las matrices del ejercicio 3 para calcular lo siguiente (en caso de ser posible).
a) AB b) BA c) (3E)D d) (AWC
e) A W ) f ) cc' g) (DA)' h) (C 'B)A '
i) tr(DD') j) tr(4ET - D) k) tr(CTAT+ 2E')
6 1 3
- 1 1 2
4 1 3

6. Mediante las matrices del ejercicio 3, calcular lo siguiente (en caso de ser posible)
a) (2DT - E)A b) (4B)C + 2B C) ( -AC)T + 5D7
d) (BAT- 2C)T e) BT(CCT-ATA) f) DTET- (ED)'
Con el método del ejemplo 7, encontrar
a) el primer renglón de A B , c) la segunda columna de A B , e) el tercer renglón de AA, y
b) el tercer renglón de AB, d) la primera columna de BA, f) la tercera columna de AA.
8. Sean A y B las matrices del ejercicio 7.
a) Expresar cada matriz columna de AB como una combinación lineal de las matrices
b) Expresar cada matriz columna de BA como una combinación lineal de las matrices
columna de A.
columna de B.
Demostrar que el producto YA se puede expresar como una combinación lineal de las
matrices renglón de A con los coeficientes escalares de y.
10. Sean A y B las matrices del ejercicio 7.
a) Usar el resultado del ejercicio 9 para expresar cada matnz renglón de AB como una
lineal de las matricesr englón de B.
b) Con el resultado del ejercicio 9 expresar cada matnz renglón de BA como una com-combinación
binación lineal de las matnces renglón de A.
11. Sean C, D y E las matrices del ejercicio 3. Efectuando el menor número de cálculos
posible, determinar el elemento en el renglón 2 y en la columna 3 de C(DE).
12. a) Demostrar que si AB y BA están definidos, entonces AB y BA son matnces cua-b)
dradas.
matriz n X m.
Demostrar que si A es una matriz m X n y A(BA) está definido, entonces B es una
13. En cada inciso determinar las matrices A, x y b que expresen el sistema de ecuaciones
lineales dado como una simple ecuación matricial Ax = b.
a) 2x, - 3x2 + 5x3 = 7 b) 4x, - 3x, + x4 = 1
9x, - x2 + x3 = - 1 5x, + x2 - 8x4 = 3
XI + 5x, + 4x3 = o 2x, - 5x2 + 9x, - xj = o
3x2 - x3 + 7x, = 2
14. En cada inciso expresar la ecuación matncial como un sistema de ecuaciones lineales.

15. Si '4 y B se dividen en submatrices, por ejemplo
entonces AB se puede expresacr omo
en el supuesto de que los tamaños de las submatrices A y B sean tales que las
operaciones Indicadas se puedan efectuar. Este método para multiplicar matrices
divididas se denomina mukiplicwidn en bloque. En cada inciso, calcular el producto
por medio de multiplicación en bloque. Comprobar los resultados multiplicando direc-tamente.
2 I '
1 '- 1 2 1 1 5
i 1 5 6 1 1 5=[ p; - 1
"""""""
O j - 3
16. Adaptar el método del ejerciclo 15 para calcular los siguientes productos mediante
multiplicación en bloque.
1 4 1 5 1 5 7 "1
1 4
-2
0 ; - 1 2
17. En cada inciso, determinar si la multiplicación en bloque se puede usar para calcular
AB a partir de las particiones dadas. En caso afmativo, calcular el producto mediante
multiplicación en bloque.

1.4 Inversas; reglas de la aritmética de matrices / 61
18. a) Demostrar que si A contiene un renglón de ceros y B es cualquier matriz para la que
AB está definido, entonces AB también contiene un renglón de ceros.
b) Encontrar un resultado semejante, pero respectoa una columna de ceros.
19. Sea A cualquier matriz m X n y sea O la matriz m X n, cada uno de cuyos elemento es
cero. Demostrar que si kA = O, entonces k = O o A = O.
20. Sea I la matriz n X n cuyo elemento en el renglóni y en la columnaj es
Demostrar que AI = IA = A para toda matriz A n X n
21. En cada inciso, encontrar una matriz [u.] 6 X 6 que cumpla la condición que se
'J
establece. Hacer que las respuestas sean lo más generales posible usando letras en vez
de números específicos para denotarlo s elementos diferentes de cero.
22. Encontrar una matriz A = [ulJ de 4 X 4 cuyos elementos cumplan la condición que se
23. Demostrar lo siguiente: Si A es una matriz m X n, entonces
donde S es la suma de los cuadrados dloes elementos de A
24. Usando el resultado del ejercicio2 3, demostrar lo siguiente.
a) Si A es una matriz m X n tal quemT = O O ATA = O, entonces A = O.
b) Si A es una matriz n X n tal que A = AT y A2 = O, entonces A = O.
I .4 INVERSAS; REGLAS DE LA ARITMÉTICA DE MATRICES
En esta sección se analizarán algunas propiedades de las operaciones aritméticas
sobre matrices. Se verá que muchas de las reglas básicas de la aritmética de los
números reales también se cumplen para matrices, aunque unas cuantnaos.

62 ,/ Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
PROPIEDADES Para números reales a y b siempre se tiene que ab = ba, lo cual se denomina ley
DE LAS conmutativa de la multiplicación. Para matrices, sin embargo, AB y BA no ne-
OPERACIONES cesariamente son iguales. Es posible que la igualdad no se cumpla debido a tres
CON MATRICES razones. Puede suceder, por ejemplo, que AB esté definido pero que BA no. Este es
el caso si A es una matriz 2 x 3 y B es una matriz 3 x 4. También, puede suceder
que AB y BA estén definidos aunque sean de tamaños distintos. Esta es la
situación si A es una matriz 2 X 3 y B es una matriz 3 X 2. Finalmente, como se
muestra en el ejemplo 1, se puede tener AB f BA inclusive si tanto AB como BA4
están definidos y son del mismo tamaño.
Al multiplicar se obtiene
BA = [ - 3 ‘1 o
Así, AB f BA. A
Aunque la ley conmutativa de la multiplicación no es válida en aritmética
matricial, muchas leyes conocidas de la aritmética son válidas para matrices. En el
siguiente teorema se resumen algunas de las más importantes, así como sus deno-minaciones
Teorema 1.4.1. Suponiendo que los tamaños de las matrices son tales que las
operaciones indicadas se pueden efectuar, entonces son válidas las siguientes
reglas de aritmética matricial.
a) A + B = B + A
(Ley condativa de la adición)
h) A f ( B + C ) = ( A + B ) f C
(Ley mociativa de la adición)
c) A(BC) = (AB)C
(Ley asociativa de la mltiplicación)
d ) A(B+C)=AB+AC
(Ley distributiva por la izquierda)
e) (B f C)A = BA + CA
(Ley disfributivapor la derecha)
f ) A ( B - C ) = A B - . 4 C
j ) (a+b)C=uC+bC
g) (B - C)A = BA CA
h) a(B + C ) = aB + -- aC
i ) a(B - C) = nB - aC
k) (U - b)C=uC- bC
I) a(hC) = (ab)C
m) a(BC) = (aB)C = B(aC)
I
Para probar las igualdades de este teorema es necesario demostrar qulea matriz
del miembro izquierdo es del mismo tamaño que la matriz del miembro derecho y
que los elementos correspondientes en ambos miembros son iguales. Con excep-ción
de la ley asociativa del inciso c), todas las demostraciones siguen el mismo

patrón general. Como ilustración, se demostrará el inciso 6). La demostración de
la ley asociativa, que es más complicada, se esboza en los ejercicios.
Demostración de d). Es necesario demostrar que A(B + C) y AB + AC son del
mismo tamaño y que los elementos correspondientes son iguales. Para formar A(B
+ C), las matrices B y C deben ser del mismo tamaño, por ejemplo m x n, y
entonces la matriz A debe tener m columnas, de modo que su tamaño debe ser de
la forma r x m. Con lo anterior, se tiene que A(B + C) es una matriz r X n. Se
concluye que AB + A C también es una matriz r X n y, en consecuencia, A(B + C)
y AB + AC son del mismo tamaño.
Suponer que A = [a,], B = [bu] y C = [c,]. Se quiere demostrar que los
elementos correspondientesd e A(B + C) y AB + AC son iguales; es decir, que
[A(B + C ) ] , = [AB + AC I;,
para todos los valores de i y j . Pero por las definiciones de adición y multiplicación
de matrices se tiene
[A(B+ C)];, = a,,(bl,+ cl,) + a,2(b2j+ c2,) + . . . + aim(bm+j cm,)
= (a,,b,, + a,2b2,+ . . . + aimb,,) + (aj l c ,+, U , ~ C+~ ., . . + a,,cmj)
= [AB],, + [AC,,] = [AB + AC I,, u
OBSERVACI~N. Aunque las operaciones de adición y multiplicación de matrices
se definieron para pares de matrices, las leyes asociativas 6) y c) permiten denotar
sumas y productos de tres matrices como A + B + C y ABC sin introducir ningún
paréntesis. Lo anterior se justifica por el hecho de que sin importar cómo se
introducen paréntesis, las leyes asociativas garantizan la obtención del mismo
resultado final. En general, dados cualquier suma o producto de matrices, en las
expresiones se pueden introducir o eliminar pares de paréntesis sin afectar el
resultadojnal.
Ejemplo 2 Como ilustración de la ley asociativa de la multiplicación de matrices,
considerar
Entonces
. . ..

Y
.4(BC) =
1 2-
3 4
O 1
de modo que (,dB)(' = A(B(?, como garantiza el teorema 1.4. IC. A
MATRICES Una matriz que tiene todos sus elemento iguales a cero, como
CERO
se denomina matriz cero. Una matriz cero se denotara por O; si es importante
destacar el tamaño, se escribirá Omxn para denotar la matriz cero m x n.
Si A es cualquier matriz y U es la matriz cero del mismo tamaño que A, resulta
evidente que A + O = O + .4 =A. La matriz O desempeña casi la misma función en
estas ecuaciones matriciales que la desempeñada por el número O en las ecua-ciones
numéricas a + O = O + a = a.
Como ya se sabe que algunas de las reglas de la aritmética para los números
reales no se cumplen en la aritmética matricial, sería temerario asumir que todas
las propiedades del número real cero se cumplen para las matrices cero. Por
ejemplo. considerar los dos resultados normales siguientes de la aritmética para
los nlimeros reales.
Si ab = ac y a = O. entonces b = c. (Esto se denomina ley de cancelación.)
Si ad = O entonces por lo menos uno de los factores del miembro izquierdo
es cero.
Como se muestra en el siguiente ejemplo, en general los resultados correspon-dientes
no son ciertos en aritmética matricial.

Aquí
3 4
AB=,AC= [6 8]
Aunque A # O, es incorrecto cancelar la A en ambos miembros de la ecuación AB
= AC y escribir B = C. Así, la ley de cancelación no se cumple para matrices.
También, AD = O, aunqueA # O y D # O. A
A pesar del ejemplo anterior, existen varias propiedades conocidas de número
real O que se cumplen en las matrices cero. Algunas de las más importantes se
resumen en el siguiente teorema. Las demostraciones e dejan como ejercicio.
Teorema 1.4.2. Si se supone que los tamaAos de las matrices son tales que es
posible efectuar las operaciones que se indican, las siguientes reglas de
aritmética matricial son válidas.
a) A + U = O + A = A
6 ) A - A - O
C) O P A = -A
d) AO= O; OA = O
MATRICES De especial interés son las matrices cuadradas que tienen unos en la diagonal
IDENTIDAD principal y ceros fuera de ésta, como
Una matriz de esta forma se denomina matriz identidady se denota por f. Si es
importante recalcar el tamaño, se escribirá In para denotar la matriz identidad n X n .
Si A es una matriz m X n, entonces, como se ilustra en el siguiente ejemplo,
Así, en aritmética matricial la matriz identidad juega un papel bastante semejante
al que desempeña el número 1 en las relaciones numéricas a ' 1 = 1 . a = a.
Ejemplo 4 Considerar la matriz
Entonces

66 5';ste)rra.s de ccuaciones lineales .v matrices
Como se muestra en el siguiente teorema, las matrices identidad surgen de
manera natural en el estudio de formas escalonadas reducidas de matrices
cuadradas.
Teorema 1.43. Si I? es la forma escalonada reducida de una tnatriz A de n X
n, entonces R tiene un renglón de ceros, o bien, R es la matriz identidad ih.
Demostración. Suponer que la forma escalonada reducida de A es
R = [ r ; , I'; " '
t - 1 1 I'IZ ' ' ' Yl?,
y,, I r R z . . "n n
Entonces sucede que el ultimo renglón de esta matriz está integrado comple-tamente
de ceros o no lo está. En caso de que no lo esté, la matriz no contiene
renglones cero y. en consecuencia, cada uno de los n renglones contiene un
elemento principal igual a 1. Como estos unos principales aparecen progresi-vamente
cada vez más lejos hacia la derecha a medida que la matriz se
recorre hacia abajo. cada uno de estos unos debe aparecer en la diagonal prin-cipal.
Ya que los demás elementos en la misma columna de uno de los unos
principales son cero, entonces R debe ser I,,. Así, R tiene un renglón de ceros,
o bien, R = I,,. 0
INVERSA DE UNA
MATRIZ matriz B del mismo tamaño tal que AB = BA = I. entonces se dice que A es
Definición. Si A es una matriz cuadrada y si se puede encontrar una
invertible y R se denomina una inversa de A .
Ejemplo S La matriz

1.4 Inversas; reglas de la aritmética de matrices 1 67
Ejemplo 6 La matriz
no es invertible. Para ver por qué, sea
cualquier matriz 3 X 3. La tercera columna de BA es
Así.
B A # I= [aO 1 :OI A
PROPIEDADES Es razonable preguntar si una matriz invertible puede tener más de una inversa. El
DE LAS siguiente teorema muestra que la respuesta es no: una matriz invertible tiene
INVERSAS exactamente una inversa.
I Teorema 1.4.4. Si By C son, ambas, inversas de la matriz A, entonces B = C. I
Demostración. Ya que B es una inversa de A, se tiene que BA = I. Al multiplicar
ambos miembros por la derecha por C se obtiene (BA)C = IC = C. Pero (BA)C =
B ( A 0 = BI = B, de modo que C = B. u
Como una consecuencia de este importante resultado, ahora es posible hablar
de "la" inversa de una matriz invertible. Si A es invertible, entonces su inversa se
denota por el símbolo A-'. Así,
AA"=/ y A"A-I
t

La inversa de .-1 t i e x cn aritmCtica matricial casi la misma función que cl
recíproco a.-i juega en las relaciones numericas aa-l = 1 y a-"a = 1.
En la siguiente sección se desarrollará m método para determinar inversas de
xnatriccs jnvertibles dc cualquier tamafio; sin embargo, el siguiente teorema
establece condiciones bajo las cuales una matriz 2 X 2 es invertible y proporciona
una fórmula sencilla para cncontrar la inversa.
f O. er? cuyo cuso la Inversa está definida por la
Ud - bc
U
Demostracidn. Se deja para el lector la comprobación de que .M " = I, y A -'A
Teorema 1.4.6. Si A y R son tnatrices invertibles del mismo tamaño, entonces
a) AB es znverlible,
b) (AB)" = 8",4 -1,
Demostración. Si se puede demostrar que (AB)(B"A ") = (N"'A ")(AB) = I,
entonces se habrá demostrado simultáneamente que la matriz AB es invertible y
que (AB) - ] = 5"~". Pero (AR)(B"A-') = A ( B B - ~ ~ "= AIA " =AA" = I.
Con un razonamiento semejante se demuestra que (B"A")(AH) = 1.
Aunque este resultado no se demostrará, se puede extender para incluir tres o
más factores: es decir.
Un producto de cualqurer número de matrices invertibles es invertible, y la
inversa del producto es el producto de las inversas en orden invertido.
Ejemplo 7 Considerar las matnces

Aplicando la fórmula del Teorema 1.4.5, se obtiene
También,
Por consiguiente, ( ~ 1 3 1 - l = B"A" , como garantiza el teorema 1.4.6. A
POTENCIAS DE A continuación se definirán las potencias de una matriz cuadrada y se analizarán
UNA MATRIZ sus propiedades.
Definición. Si A es una matriz cuadrada, entonces las potencias enteras no ne-gativas
de A se definen como - n factores
I Además, si A es invertible, entonces las potencias enteras negativas de A se
definen conlo
n factores
Debido a que esta definición es paralela a la de los números reales, se cumplen las
leyes usuales de los exponentes. (Se omiten los detalles.)
I Teorema 1.4.7. Si A es una matriz cuadrada y r y S son enteros, entonces
El siguiente teorema establece algunas propiedades importantes de los expo-nentes
negativos.

Demostración
a) ComoAKl =d4K1A =f, 1amatrizA" esinvertibley(A")" = A .
b) Este inciso se deja como ejercicio.
c) Si k es cualquier escalar diferente de cero, entonces por los resultados I) y m)
del teorema 1.4.1 es posible escribir
(k 1
De manera semejante, LA" (U) =Ide modo que kA es invertible y (U)" = $A-1.
Ejemplo 8 Sean A y A " ' como en el ejemplo 7; es decir,
Entonces
EXPRESIONES Si A es una matriz cuadrada, por ejemplo m X m, y si
POLIN~MICAS
EN QUE p(x) = a() + a 1x + . . + ' a,,s"
APARECEN
MATRICES cualquier es polinomio,, entonces define
se p(A) = a,,/ + a,A +. . . + a,,A"
donde I es la matriz identidad m X m. En palabras, p(A) es la matriz m X m que
se obtiene cuando A se sustituye por x en (1) y a. se reemplaza por ad.
Ejemplo 9 Si
entonces

1.3 Inversas; reglas de la aritmktica de matrices 71
PROPIEDADES En el siguiente teorema se enumeran las propiedades más importantes de la ope-
DE LA ración de transposición.
TRANSPUESTA
Teorema 1.4.9. Si los tamaños de las matrices son tales que se pueden efictuur
las operaclones planteadas, entonces
u ) ( (A) T ) T= A
b) (A + B ) ~ = A ' + Br y (A - B)'= A'- B'
C ) (kA) ' = kA ', donde k es cualquier escalar
r i ) (AB)'= B ~ A T ~pQ1:-1B -'. 8.'
Considerando que al transponer una matriz se intercambian sus renglones y
sus columnas, los incisos a), b) y c) deben ser evidentes. Por ejemplo. en el inciso
a) se establece que al intercambiar renglones y columnas dos veces la matriz per-manece
sin modificar; en el inciso 6) se afirma que al sumar y luego intercambiar
renglones y columnas se obtiene el mismo resultado que cuando primero se
intercambian renglones y columnas y luego se suma; y en el inciso c) se establece
que al multiplicar por un escalar y luego intercambiar renglones y columnas se ob-tiene
el mismo resultado que si primero se intercambian renglones y columnas y
luego se multiplica por un escalar. El inciso (d) no es tan evidente. por lo que se
demostrará.
Demostracidn de 6). Sean
de modo que es posible formar los dos productos AB y BTAT. Se deja para el lector
comprobar que (AB)T y BTAT son del mismo tamaño; a saber, que son n x m. Así,
queda por demostrar que los elementos correspondientes de (ABjTy BTAT son los
mismos; es decir,
( ( A B ) T )= (BT,4')),, (2)
I,
AI aplicar la fórmula (S) de la sección 1.3 al miembro izquierdo de esta ecuación y
usar la definición de multiplicación de matrices, se obtiene
(('4B)'),, =(AB),, = u, .I b I j + + . . . + u,?h,., (3)
Para evaluar el miembro derecho de (2) es conveniente que atíj y b', denoten los ij-ésimos
elementos de A7 y BT. respectivamente, de modo que

I2 ,/ Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Lo anterior, junto con (3), demuestra (2). 0
Aunque no se demostrara este hecho, el inciso 6) del teorema se puede
extender para incluir tres o más factores; es decir,
I La transpuesta de un producto de cualquier número de matrices es igual al
producto de sus transpuestas en orden invertido.
OBSERVACI~N. Nótese la semejanza entre este resultado y el resultado, que está
a continuación del teorema 1.4.6, respecto a la inversa de un producto de matrices.
INVERTIBILIDAD El siguiente teorema establece una relación entre la inversa de una matriz in-
DE UNA vertible y la inversa de su transpuesta.
TRANSPUESTA 1 Teorema 1.4.10. Si A es una matriz invertible, entonces AT también es inver- I
Demostración. Se puede probar la invertibilidad de AT y obtener (4) al
demostrar que
A 7 ' ( . + - l ) T = ( . + - * ) T A T = ]
Pero por el inciso d) del teorema 1.4.9 y el hecho de que IT = Z, se tiene
con lo que se completa la demostración. 11
Al aplicar el teorema 1.4.5 se obtiene

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