1. Seja P a projeção do movimento da partícula sobre o eixo 0x. A coordenada x de P varia com o tempo segundo a função: x = Acos( ) como = t + 0 temos, x = Acos( t + 0 ) Observe que a função x é periódica, com período T e limitada entre as abcissas -A e A . O movimento descrito pela projeção P é chamado Movimento Harmônico Simples ou M.H.S . Podemos dizer então que uma partícula executa um M.H.S quando sua funçao horária dos espaços x(t) é da forma: x(t) = Acos( t + 0 ), onde: y x A -A x A -A P
2. x(t) = A cos( t + 0 ) A : amplitude do movimento; A t + 0 : fase do movimento; t + 0 : pulsação ou freqüência angular do movimento; 0 : fase inicial do movimento. 0 É importante lembrar que: e Portanto, Unidades No Sistema Internacional de Unidades ( SI ): [x] = metro (m); [t] = segundo (s); [f] = hertz (s -1 ou Hz); [ ] = radiano (rad); [ ] = hertz (s -1 ou Hz) *. * Por uma questão didática, usamos habitualmente [ ] como rad/s ou rad.s -1 .
3. Velocidade e aceleração escalares do M.H.S. Em um dado instante t , a partícula ocupa uma posição angular e possui uma velocidade vetorial de intensidade V dada por: V = A Note que V tem sentido oposto ao do Eixo 0X. Daí o sinal negativo que surge na expressão de V. r P V V Traçamos sobre a partícula, uma reta auxiliar r , paralela ao eixo 0x. O ângulo formado entre V e a perpendicular a r é . Projetando-se V sobre r , obtemos a componente na direção 0x de V . A intensidade V dessa componente é dada por: V = V sen Como, V = A e = t + 0 , temos: V = Asen( t + 0 Observe agora a projeção P da partícula sobre o eixo 0x. Como vimos, P realiza um M.H.S. . A velocidade escalar V de P coincide com a componente em 0x de V . Obtemos assim a função da velocidade escalar V de P : V = - sen( t + 0 ) y x - A A V
4. Velocidade e aceleração escalares do M.H.S. a = a cp cos Como a cp = 2 A e = t + 0 temos: a = a cp cos a = 2 Acos( t + 0 ) Note que a tem sentido oposto ao do Eixo 0X. Daí o sinal negativo que surge na expressão de a. y x - A A Como a partícula executa M.C.U ., ela possui tão somente aceleção centripeta a cp de intensidade: a cp = 2 A a cp r Traçamos a reta auxiliar r pela extremidade de a cp e paralela ao eixo 0x. O ângulo formado entre a cp e r é . Obtemos a componente de a cp na direção 0x fazendo sua progeçao sobre r : a A projeção P da partícula sobre o eixo 0x executa um M.H.S . e sua aceleração escalar coincide com a componente na direção 0x de a cp . Portanto: a= - 2 Acos( t + 0 ) P a Unidades No Sistema Internacional de Unidades ( SI ): [v] = m/s ou m.s -1 ; [a] = m/s 2 ou m.s -2 .
5. Gráficos 0 = 0 x = Acos( t + 0 ) V = -A sen( t + 0 ) a = - 2 Acos( t + 0 ) T/4 T/2 3T/4 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T x t V t a t A -A A A A A
6. Observe na tabela a seguir, alguns valores notáveis para as grandezas escalares estudadas até aqui: abcissa fase velocidade aceleração 0 /2 0 - A A 0 0 - 2 A -A 0 2 A 0 3 /2 0 A A 0 -A 0
7. x = Acos( t + 0 ) Relações paramétricas: (V;x) V = -A sen( t + 0 ) x = Acos( t + 0 ) V = -A sen( t + 0 ) +
8. Relações paramétricas: (a;x) x = Acos( t + 0 ) a = - 2 Acos( t + 0 ) a = - 2 Acos( t + 0 ) a = - 2 x Gráficos a = - 2 Acos( t + 0 ) x = Acos( t + 0 ) y x -A A a -A A 2 A 2 A x V x x y -A A A -A A A
10. Freqüência do sistema massa-mola A força resultante qua atua no sistema é a força elástica. Do Princípio Fundamental da Dinâmica temos, F RES = F EL ma = kx (1) Como o sistema executa um M.H.S .: a = 2 x (2) Substituindo (2) em (1) temos, ma = kx ma = kx m 2 x = kx m 2 x = kx m 2 = k m 2 = k Como = 2 f temos,
11. Energia no sistema massa-mola Sendo o sistema conservativo, a energia mecânica é constante: E MEC = E POT + E CIN Para x = A ou x = -A então V = 0 , assim: Na verdade, para qualquer M.H.S., Unidades No Sistema Internacional de Unidades ( SI ): [E] = joule ou J. J = kgm 2 /s 2 ou kgm 2 .s -2 .