9. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΟΡΙΣΜΟΣ: Ένας αριθμός α λέμε ότι είναι
μεγαλύτερος από έναν αριθμό β , και
γράφουμε α > β , όταν η διαφορά α - β είναι
θετικός αριθμός.
Από τον τρόπο με τον οποίο γίνονται οι
πράξεις της πρόσθεσης και του
πολλαπλασιασμού προκύπτει ότι:
9
10. • (α > 0 και β > 0)⇒ α + β > 0
(α < 0 και β < 0 )⇒ α + β < 0
• α, β ομόσημοι ⇔ α β > 0 ⇔ > 0
α, β ετερόσημοι ⇔ α β < 0 ⇔ < 0
• ≥ 0, για κάθε α∊ℝ
( Η ισότητα ισχύει μόνο όταν α = 0 )
Από την τελευταία εύκολα προκύπτουν και οι
ισοδυναμίες :
ή
10
2
0022
0
0022
0
και
16. ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ
• ΟΡΙΣΜΟΣ: Η τετραγωνική ρίζα ενός μη
αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με και
είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν
υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α.
Αν α ≥ 0, η παριστάνει τη μη αρνητική
λύση της εξίσωσης = α
16
2
x
18. ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
Ν-ΟΣΤΗ ΡΙΖΑ
• ΟΡΙΣΜΟΣ: Η ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού
αριθμού α συμβολίζεται με και είναι ο
μη αρνητικός αριθμός , που όταν υψωθεί
στη ν, δίνει τον α.
Αν α ≥ 0 , τότε η παριστάνει τη μη
αρνητική λύση της εξίσωσης = α
18
x
19. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Ν-ΟΣΤΗΣ ΡΙΖΑΣ
• Αν α ≥ 0, τότε:
και
• Αν α ≤ 0 και ν άρτιος, τότε:
• Αν α, β ≥ 0, τότε:
1.
Η ιδιότητα 1. ισχύει και για περισσότερους από
δύο μη αρνητικούς παράγοντες. Συγκεκριμένα,
για μη αρνητικούς αριθμούς ισχύει:
19
)(
,...,, 21
...... 2121
20.
20
2.
3.
4.
Αν ισχύει:
…και για α, β ≥ 0 έχουμε:
0...21
)(
Για δυνάμεις με ρητό εκθέτη ισχύει πως αν α > 0, μ ακέραιος
και ν θετικός ακέραιος, τότε ορίζουμε:
a
, β ≠ 0
21. Η ΕΞΙΣΩΣΗ:
Η εξίσωση , με α > 0 και ν περιττό φυσικό
αριθμό , έχει ακριβώς μια λύση την
Η εξίσωση , με α > 0 και ν άρτιο φυσικό
αριθμό , έχει ακριβώς δύο λύσεις , τις και
Η εξίσωση , με α < 0 και ν περιττό
φυσικό αριθμό ,έχει ακριβώς μια λύση την
Η εξίσωση , με α < 0 και ν άρτιο φυσικό
αριθμό , είναι αδυνατη. 21
x
x
x
x
x
22. Η ΕΞΙΣΩΣΗ 2ου ΒΑΘΜΟΥ
Η εξίσωση της μορφής
λέγεται εξίσωση δευτέρου βαθμού
22
02
xx
23. ΤΟ ΕΙΔΟΣ ΤΩΝ ΡΙΖΩΝ
Η εξίσωση , α≠0
Δ > 0 Έχει δύο ρίζες πραγματικές και
άνισες τις:
Δ = 0 Έχει μια διπλή ρίζα τη:
Δ < 0 Είναι αδύνατη στο ℝ
23
.
2
2,1
X
2
X
02
xx 42
24. ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ
Αν με S συμβολίζουμε το άθροισμα και P το
γινόμενο τότε έχουμε τους τύπους
και
που είναι γνωστοί ως τύποι του Vieta. Η εξίσωση
δευτέρου βαθμού, με την βοήθεια των τύπων του
Vieta, μετασχηματίζεται ως εξής :
24
21 xx
21 xx
21 xxS
21 xxP
02
PSxx
25. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ
• Για την ανίσωση αx + β > 0 διακρίνουμε τις
εξής περιπτώσεις:
1. Αν α > 0, τότε:
2. Αν α < 0, τότε:
3. Αν α = 0, τότε η ανίσωση γίνεται 0x > –β,
η οποία:
Ισχύει για κάθε x∊ℝ, αν β > 0
Είναι αδύνατη, αν β ≤ 0 25
x
x
26. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ
Η παράσταση με α ≠ 0 λέγεται
τριώνυμο δευτέρου βαθμού.
Μορφές τριωνυμου:
• Αν Δ > 0, τότε:
όπου οι ρίζες του τριωνύμου.
• Αν Δ = 0, τότε :
• Αν Δ < 0, τότε :
26
02
xx
21
2
xxxxxx
21, xx 2
2
2
xxx
2
2
2
42
xxx
27. ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΩΝ ΤΙΜΩΝ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ:
• Αν Δ > 0, τότε:
• Αν Δ = 0, τότε:
27
0,2
xx
))(( 21
2
xxxxxx
X1
Ομόσημο
του α
X2
Ετερόσημο
του α
Ομόσημο
του α
Ο
22
)
2
(
xxx
X1
Ομόσημο του α Ομόσημο του α
- ∞ + ∞
- ∞ + ∞
Ο
Ο
