Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

τυπολογιο πραγματικοι αριθμοι !!!!!!

1,105 views

Published on

math

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

τυπολογιο πραγματικοι αριθμοι !!!!!!

  1. 1. ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΕΙΟ: 2ο ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΡΥΔΑΛΛΟΥ ΤΜΗΜΑ: Α1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΚΑΤΩΠΟΔΗ ΦΩΤΕΙΝΗ ΚΑΣΩΤΑΚΗ ΕΙΡΗΝΗ ΚΑΣΩΤΑΚΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΟΚΚΙΝΗΣ ΗΛΙΑΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΙΩΑΝΝΗΣ ΦΙΛΙΠΠΟΥ 1
  2. 2. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΑΞΕΩΝ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛ/ΣΜΟΣ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ α + β = β + α αβ = βα ΠΡΟΣΕΤΑΙΡΙΣΤΙΚΗ α +(β + γ)=(α + β)+ γ α(βγ)=(αβ)γ ΟΥΔΕΤΕΡΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ α + 0 = α α 1= α ΑΝΤΙΘΕΤΟΣ/ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ α + (-α) = 0 ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ α (β+γ)= αβ + αγ )(        1 :  )0(   1 α  = 1, α ≠ 0
  3. 3. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ(ΣΥΝΕΧΕΙΑ) 1. ( α = β και γ = δ ) α + γ = β + δ 2. (α = β και γ = δ ) αγ = βδ 3. α = β α + γ = β + γ 4. Αν γ ≠ 0 , τότε: α = β αγ = βγ 5. α  β = 0 α = 0 ή β = 0 α · β ≠ 0 α ≠ 0 και β ≠ 0 3      
  4. 4. ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: για ν > 1 και για ν = 1 Αν επιπλέον είναι α ≠ 0 , τότε ορίσαμε ότι: 4   ... ν-παράγοντες ,1   10  . 1      και
  5. 5. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΔΥΝΑΜΕΙΣ     5 , ( α ≠ 0 ), ( β ≠ 0 )                         )(   )(
  6. 6. ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ (α + β ) 2 = α 2 + 2αβ + β 2 (α - β) 2 = α 2 - 2αβ + β 2 α 2 - β 2 = ( α +β ) · ( α -β ) (α +β ) 3 = α 3 + 3α 2β + 3αβ 2 + β 3 (α -β)3 = α 3 - 3α 2β + 3αβ 2 - β 3 α 3 + β 3 =(α + β ) · (α 2 - αβ + β 2) α 3 - β 3 =( α - β ) · ( α 2 + αβ + β 2) (α + β + γ ) 2 = α 2 + β 2 + γ 2 + 2αβ + 2βγ + 2γα 6
  7. 7. ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)  2)( 222  7  222)( 2222  ))((3 222333    222333 )()()()( 2 1 3   )...)(( 1221     )(3)( 333  
  8. 8. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ 1. (εφ’ όσον βδ≠0) 2. (εφ’ όσον βγδ≠0) 3. (εφ’ όσον βδ≠0) 4. (εφ’ όσον βδ(β+γ)≠0) 8                                        
  9. 9. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ: Ένας αριθμός α λέμε ότι είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό β , και γράφουμε α > β , όταν η διαφορά α - β είναι θετικός αριθμός. Από τον τρόπο με τον οποίο γίνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού προκύπτει ότι: 9
  10. 10. • (α > 0 και β > 0)⇒ α + β > 0 (α < 0 και β < 0 )⇒ α + β < 0 • α, β ομόσημοι ⇔ α  β > 0 ⇔ > 0 α, β ετερόσημοι ⇔ α  β < 0 ⇔ < 0 • ≥ 0, για κάθε α∊ℝ ( Η ισότητα ισχύει μόνο όταν α = 0 ) Από την τελευταία εύκολα προκύπτουν και οι ισοδυναμίες : ή 10      2 0022   0 0022   0 και
  11. 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ 1. ( α > β και β > γ )⇒ α > γ 2. α > β ⇒ α + γ > β + γ Αν γ > 0 , τότε: α > β ⇔ α  γ > β  γ Α ν γ < 0 , τότε: α> β ⇔ α  γ < β  γ 3. ( α > β και γ > δ ) ⇒ α + γ > β + δ  Για θετικούς αριθμούς α , β , γ , δ ισχύει η συνεπαγωγή : ( α > β και γ > δ )⇒ α  γ > β  δ 4. Για θετικούς αριθμούς α , β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία: α > β ⇔  Για θετικούς αριθμούς α , β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία : α = β ⇔      
  12. 12. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 12
  13. 13. ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ:Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται με και ορίζεται από τον τύπο : α , αν α ≥ 0 -α, αν α < 0 13   
  14. 14. Από τα προηγούμενα συμπεραίνουμε ότι: 0  14 και    22   Αν θ > 0, τότε:   xx ή x   xx ή x
  15. 15. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΩΝ ΤΙΜΩΝ o o o o 15          ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΔΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ  ),(d
  16. 16. ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ • ΟΡΙΣΜΟΣ: Η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α. Αν α ≥ 0, η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης = α 16   2 x
  17. 17. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ • • • 17  2          , α ≥ 0 , α , β ≥ 0 , β ≠ 0
  18. 18. ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ν-ΟΣΤΗ ΡΙΖΑ • ΟΡΙΣΜΟΣ: Η ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός αριθμός , που όταν υψωθεί στη ν, δίνει τον α. Αν α ≥ 0 , τότε η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης = α 18      x
  19. 19. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Ν-ΟΣΤΗΣ ΡΙΖΑΣ • Αν α ≥ 0, τότε: και • Αν α ≤ 0 και ν άρτιος, τότε: • Αν α, β ≥ 0, τότε: 1.  Η ιδιότητα 1. ισχύει και για περισσότερους από δύο μη αρνητικούς παράγοντες. Συγκεκριμένα, για μη αρνητικούς αριθμούς ισχύει: 19   )(           ,...,, 21        ...... 2121
  20. 20.                     20 2. 3. 4. Αν ισχύει: …και για α, β ≥ 0 έχουμε: 0...21       )(     Για δυνάμεις με ρητό εκθέτη ισχύει πως αν α > 0, μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τότε ορίζουμε:    a , β ≠ 0
  21. 21. Η ΕΞΙΣΩΣΗ: Η εξίσωση , με α > 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό , έχει ακριβώς μια λύση την Η εξίσωση , με α > 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό , έχει ακριβώς δύο λύσεις , τις και Η εξίσωση , με α < 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό ,έχει ακριβώς μια λύση την Η εξίσωση , με α < 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό , είναι αδυνατη. 21  x    x      x    x  x
  22. 22. Η ΕΞΙΣΩΣΗ 2ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση της μορφής λέγεται εξίσωση δευτέρου βαθμού 22 02   xx
  23. 23. ΤΟ ΕΙΔΟΣ ΤΩΝ ΡΙΖΩΝ Η εξίσωση , α≠0 Δ > 0 Έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες τις: Δ = 0 Έχει μια διπλή ρίζα τη: Δ < 0 Είναι αδύνατη στο ℝ 23 . 2 2,1    X   2  X 02   xx 42 
  24. 24. ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ Αν με S συμβολίζουμε το άθροισμα και P το γινόμενο τότε έχουμε τους τύπους και που είναι γνωστοί ως τύποι του Vieta. Η εξίσωση δευτέρου βαθμού, με την βοήθεια των τύπων του Vieta, μετασχηματίζεται ως εξής : 24 21 xx  21 xx     21 xxS    21 xxP 02  PSxx
  25. 25. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ • Για την ανίσωση αx + β > 0 διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: 1. Αν α > 0, τότε: 2. Αν α < 0, τότε: 3. Αν α = 0, τότε η ανίσωση γίνεται 0x > –β, η οποία:  Ισχύει για κάθε x∊ℝ, αν β > 0  Είναι αδύνατη, αν β ≤ 0 25   x   x
  26. 26. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ Η παράσταση με α ≠ 0 λέγεται τριώνυμο δευτέρου βαθμού. Μορφές τριωνυμου: • Αν Δ > 0, τότε: όπου οι ρίζες του τριωνύμου. • Αν Δ = 0, τότε : • Αν Δ < 0, τότε : 26 02   xx   21 2 xxxxxx   21, xx 2 2 2           xxx                 2 2 2 42    xxx
  27. 27. ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΩΝ ΤΙΜΩΝ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ: • Αν Δ > 0, τότε: • Αν Δ = 0, τότε: 27 0,2   xx ))(( 21 2 xxxxxx   X1 Ομόσημο του α X2 Ετερόσημο του α Ομόσημο του α Ο 22 ) 2 (     xxx X1 Ομόσημο του α Ομόσημο του α - ∞ + ∞ - ∞ + ∞ Ο Ο
  28. 28. Συνέχεια… • Αν Δ < 0, τότε: 28         2 22 4 ) 2 (    xxx + ∞- ∞ Ομόσημο του α ⩝ x  ℝ

×