2. Ximena Quevedo

3. Verónica Soto

4. Belén Novillo

5. Francisco Carrillo

6. Milton Vargas

7. Karina Vásquez

8. Diana AmayMÓDULO: Octavo “B”

9. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES NO LINEALES. MÉTODO DEL PUNTO FIJOx=f(x) TEMA: Método del punto fijo

10. PUNTO FIJO El método del punto fijo se lo conoce también como método de iteración simple de punto fijo; o, iteración de un punto por sustitución sucesiva, algunos autores e investigadores lo consideran como un método numérico abierto en el cual se utiliza una formula o expresión matemática para predecir la raíz, la misma que puede desarrollarse por una iteración simple, de allí su denominación.

13. Posteriormente, dado un valor inicial para la raíz o al asignar una estimación inicial (x0), del punto fijo xi de “g”, de tal forma que: [xi punto fijo de g si xi= g(xi)]. xn+1 = g(xn). Entonces la ecuación anterior puede usarse para obtener una aproximación, para k=1, 2, 3,… hasta que convergen, y expresada por la formula iterativa xi+1= g(xi) que generalizando se tiene: xn+1 = g(xn). Al realizar las aproximaciones iterativas, es posible establecer el error aproximado, para ello se lo calcula usando el error normalizado ( ) el mismo que se lo sintetiza con la expresión matemática:

14. TEOREMA DEL PUNTO FIJO Sea la función g(x) para el intervalo cerrado [a,b] ->[a,b] continua, entonces se tiene: a) g(x), posee al menos un punto fijo. b) Si además, g’(x) ≤ k<1, ∀x ∈[a,b], entonces el punto fijo es único y si tomamos x0 ∈[a,b], la sucesión xn+1 = g(xn) converge al punto fijo de g(x).

15. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DEL PUNTO FIJO

16. ALGORITMO DE PUNTO FIJO Datos Estimación inicial: x0 Precisión deseada: tol Tope de iteraciones: maxiter Proceso: mientras no hay convergencia repetir Nueva estimación: x = g(x0) Incremento: incr = |x - x0| Actualización: x0 = x Resultado Estimación final: x

17. APLICACIÓN: Resolución de ejercicios Para encontrar las raíces de una ecuación algebraica se debe de analizar cada uno de los pasos, para posteriormente realizar la aplicación en las ecuaciones no lineales para ello se procede de acuerdo a lo señalado en lo anteriormente:

18. EJERCICIO 1: 1. Dada la ecuación a la cual debemos encontrar la raíz, se la plantea de la forma f(x) = 0; es decir debemos conocer: f(x)=0 f(x) = x2 –2x – 3 = 0 2. Se transforma en una ecuación equivalente de punto fijo g(x), de tal forma que al reordenar la ecuación f(x)=0, “x” se ubique al lado izquierdo de la ecuación de manera que se defina la nueva función de x llamada ahora g(x) entonces se tiene: x= g(x).

19. En este método se aplica para resolver ecuaciones de la forma x= g(x). Si la ecuación es f(x)=0, entonces puede despejarse “x” ó bien sumar “x” en ambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adecuada, así tenemos en el caso de las ecuaciones no lineales: a) La ecuación se puede transformar en b) La ecuación se puede transformar en

20. 3. Se procede a especificar un valor inicial para la raíz o al asignar una estimación inicial (x0), del punto fijo xi de “g”, de tal forma que: [xi punto fijo de g si xi= g(xi)]. xn+1 = g(xn) -> -> xo = 4 4. Al realizar las aproximaciones iterativas, se establece el error aproximado, para ello se lo calcula usando el error normalizado ( ) mediante la expresión matemática:

21. Las aproximaciones iterativas se sintetizan en la siguiente tabla, previo el establecimiento de la Precisión deseada o tolerancia del 0,001 (x0 = 4 ; Error = 0.001)

22. La raíz de f(x) = x2 –2x – 3 = 0es aproximadamente de 3.00042332, con un error de 0.001. Para comprobar que el resultado es correcto, se debe graficar la función y verificar que aproximadamente en la coordenada (3.00042332) exista una raíz.

23. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN

24. EJEMPLO 2 1. Dada la ecuación no lineal para encontrar la raíz, se la plantea de la forma f(x) = 0 f(x) = cos(x) = 0 2. Se transforma en una ecuación no lineal equivalente de punto fijo g(x), de manera que se defina la nueva función de x llamada ahora g(x) entonces se tiene: x= g(x); en este caso se debe sumar “x” en ambos lados de la ecuación para expresar la ecuación reordenada de la siguiente manera: x= g(x) -> x + cos (x) = x

25. 3. Se procede a especificar un valor inicial para la raíz o al asignar una estimación inicial (x0), del punto fijo xi de “g”, de tal forma que: [xi punto fijo de g si xi= g(xi)]. xn+1 = g(xn) -> x0 + cos (x0) = x1 -> xo = 0 4. Al analizar el ejemplo, g(x) = cos(x) y claramente se cumple la condición de que Por lo tanto el método sí converge a la raíz.

27. EJEMPLO 3 1.Dada la ecuación no lineal para encontrar la raíz, se la plantea de la forma f(x) = 0 f(x) = sen(x) = 0 2.Se transforma en una ecuación no lineal equivalente de punto fijo g(x), de manera que se defina la nueva función de x llamada ahora g(x) entonces se tiene: x= g(x); en este caso se debe sumar “x” en ambos lados de la ecuación para expresar la ecuación reordenada de la siguiente manera: x= g(x) -> x + sen (x) = x

28. 3. Se procede a especificar un valor inicial para la raíz o al asignar una estimación inicial (x0), del punto fijo xi de “g”, de tal forma que: [xi punto fijo de g si xi= g(xi)]. xn+1 = g(xn) -> x0 + sen (x0) = x1 -> xo = 1 Al analizar el ejemplo: g(x)=sen(x) y claramente se cumple la condición de que<1. Por lo tanto el método sí converge a la raíz.

32. Ejercicios: 1.-Encontrar la raíz de f(x)= ex – 3(x) = 0 que se encuentra en [1.4;1.5] usando xo=1.5 por el método iterativo del punto fijo.2.- Encontrar la raíz de f(x)= x5 + x2 = 9 que se encuentra en [1.4;1.5] usando xo=1.5 por el método Iterativo del punto fijo.

33. A C I R A G S POR SU ATENCIÓN