Slide della esercitazione n.7 del Corso di Tecnica delle Costruzioni per Ingegneria Civile tenuto dal Prof. Franco Bontempi alla Sapienza Universita' di Roma - esercitazioni tenute dall'Ing. Stefania Arangio
1. Sapienza Università di Roma
Corso di Tecnica delle Costruzioni – Ingegneria Civile
A.A. 2013 – 2014
ESERCITAZIONE 7
DIMENSIONAMENTO E VERIFICA DELLE COLONNE
Prof. Franco Bontempi, Ing. Stefania Arangio
franco.bontempi@uniroma1.it, stefania.arangio@uniroma1.it
29 Novembre 2013
http://www.francobontempi.org
2. Outline
2/31
Cenni sull’instabilità
Verifiche secondo la CNR10011 – metodo ω
• solo sforzo normale
• presso-flessione
Verifiche secondo le NTC 2008
• solo sforzo normale
• presso-flessione
Esempi:
• Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo CNR10011
• Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo NTC 2008
Progetto di un telaio a traverso rigido
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Prof. Franco Bontempi – Ing. Stefania Arangio
ESERCITAZIONE 7
A.A. 2013 - 2014
3. Outline
3/31
Cenni sull’instabilità
Verifiche secondo la CNR1011 – metodo ω
• solo sforzo normale
• presso-flessione
Verifiche secondo le NTC 2008
• solo sforzo normale
• presso-flessione
Esempi:
• Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo CNR10011
• Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo NTC08
Progetto di un telaio a traverso rigido
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4. Cenni sull’instabilitá
4/31
Un’asta snella soggetta a compressione collassa prima che il carico raggiunga
il valore massimo in base alla resistenza
Interviene il fenomeno dell’instabilità che fa diminuire il carico di rottura
Il carico che procura collasso per instabilità è il carico critico
con l0=βl
l0 = lunghezza libera di inflessione:
distanza tra due punti di flesso
consecutivi della linea elastica
β dipende dallo schema
statico adottato
Snellezza
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5. 5/31
Lunghezza libera di inflessione
Valori di β a seconda dello schema
statico
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6. Outline
6/31
Cenni di instabilità
Verifiche secondo la CNR1011 – metodo ω
• solo sforzo normale
• presso-flessione
Verifiche secondo le NTC 2008
• solo sforzo normale
• presso-flessione
Esempi:
• Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo CNR10011
• Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo NTC08
Progetto di un telaio a traverso rigido
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7. 7/31
Dimensionamento e verifica a sforzo normale CNR 10011 – Metodo ω
METODO ω - § 7.2 CNR 10011/97
1) ANALISI DEI CARICHI
Per aree di influenza
Si considerano:
•
Carichi verticali (permanenti – variabili)
•
Carichi orizzontali (vento)
Nel predimensionamento
si pone 2≤ω≤3
2) PREDIMENSIONAMENTO (scelta del profilo tramite l’area minima)
Deve essere soddisfatta:
quindi invertendo la relazione si ha
3)CALCOLO DELLA SNELLEZZA
λ≤ 200 membrature principali
λ≤ 250 membrature secondarie
4) VALUTAZIONE DI ω VERO (Prospetti 7.II, 7.III, 7.IV – CNR 10011/97)
5) VERIFICA DI STABILITA’
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8. 8/31
Dimensionamento e verifica a sforzo normale CNR 10011 – Metodo ω
Prospetto 7.II CNR 10011 per determinare ω a partire da λ
λ= 72
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ω= 1,49
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9. 9/31
Verifica a presso-flessione secondo CNR 10011 (1/2)
§ 7.4 CNR 10011/97
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10. Verifica a presso-flessione secondo CNR 10011 (2/2)
10/31
VERIFICA A PRESSO-FLESSIONE DELLA COLONNA (§ 7.4 CNR 10011/97)
§
ߖൌ1
ߥൌ1
fattore di forma
per verifiche agli stati limite
ܰ௧ ൌ ߪ௧ ∙ ܣ
ܿߪ ݊௧ ߣ nel prospetto 7.VII CNR 10011
Meq = M
Meq = Momento
equivalente
se M costante
Meq = 0,6MA – 0,4MB
Meq = 1,3 Mm
MA
se M lineare
se M variabile
MB
Sempre: Meq ≥ 0,75Mmax
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11. Outline
11/31
Cenni di instabilità
Verifiche secondo la CNR1011 – metodo ω
• solo sforzo normale
• presso-flessione
Verifiche secondo le NTC 2008
• solo sforzo normale
• presso-flessione
Esempi:
• Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo CNR10011
• Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo NTC08
Progetto di un telaio a traverso rigido
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12. 12/31
Verifica di instabilità a compressione secondo NTC 2008
1) Calcolo della snellezza
2) Calcolo dell’azione di progetto Ned
3) Calcolo del carico critico elastico
4) Calcolo della snellezza adimensionale
5) Calcolo del coefficiente α (Tab. 4.2.VI -NTC)
6) Calcolo del parametro φ
7) Calcolo del fattore di riduzione χ
8) Calcolo dell’azione assiale resistente
9) Verifica
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13. 13/31
Verifica di instabilità a presso-flessione secondo NTC 2008
Le NTC rimandano alla verifica di
instabilità a flessione e compressione
contenuta nell’EC3
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14. Outline
14/31
Cenni di instabilità
Verifiche secondo la CNR1011 – metodo ω
• solo sforzo normale
• presso-flessione
Verifiche secondo le NTC 2008
• solo sforzo normale
• presso-flessione
Esempi:
• Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo NTC08
• Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo CNR10011
Progetto di un telaio a traverso rigido
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15. 15/31
Esempio: dimensionamento e verifica colonna n. 11 – Analisi dei carichi
Schema statico
Tronco superiore
11
Tronco inferiore
Analisi dei carichi
Tronco superiore
Area di influenza
5x6=30 m2
Tronco inferiore
Analisi dei carichi del
tronco superiore per
area di influenza
TRONCO SUPERIORE
PERMANENTI
solaio
travi secondarie (IPE 240)
trave principale (IPE 500)
Totale permanenti
VARIABILI
Qk: vento
Qk: carichi antropici
Qk: neve
3,82
x 30
0,307 kN/m x 5 m x 4 (n°travi)
0,907 kN/m x (2+4) m x 1 (n°travi)
CARICHI [kN]
114,60
6,14
5,44
126,2
(vedi Figura 143)
0,5 kN/m2 x 30 m2
0,48 kN/m2 x 30 m2
21,00
15,00
14,40
kN/m2
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m2
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16. Dimensionamento e verifica colonna n. 11 – Azioni di progetto
16/31
COMBINAZIONE DELLE AZIONI – TRONCO SUPERIORE
Fd ,sup = γ G ⋅ G + γ Q1 ⋅ Qk1 +ψ 02 ⋅ γ Q2 ⋅ Qk 2 +ψ 03 ⋅ γ Q3 ⋅ Qk 3
Fd ,sup−1 = 1,3⋅126,2 +1,5 ⋅ 21,0 + 0,5 ⋅1,5 ⋅14,4 + 0 ⋅1,5 ⋅15 = 206,4KN
COMB1
Vento variabile di base
COMB2
Fd ,sup−2 = 1,3⋅126,2 +1,5 ⋅15+ 0,5 ⋅1,5 ⋅14,4 + 0,6 ⋅1,5 ⋅ 21= 216,3KN
Antropico variabile di base
Fd ,sup−3 = 1,3⋅126,2 +1,5 ⋅14,4 + 0,6 ⋅1,5 ⋅ 21+ 0 ⋅1,5 ⋅15 = 204,6KN
COMB3
Neve variabile di base
NEd,sup = Fd,sup= 216,3 kN
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17. Dimensionamento e verifica colonna n. 11 – Azioni di progetto
17/31
TRONCO INFERIORE
Analisi dei carichi del
tronco inferiore per
area di influenza
PERMANENTI
solaio
travi secondarie (IPE 240)
trave principale (IPE 500)
Totale permanenti
VARIABILI
Qk: vento
Qk: carichi antropici
3,77 kN/m2 x 30 m2
0,307 kN/m x 5 m x 4 (n°travi)
0,907 kN/m x (2+4) m x 1 (n°travi)
CARICHI [kN]
113,10
6,14
5,44
124,7
(vedi Figura 143)
2 kN/m2 x 30 m2
79,5
60,0
PIANO SUPERIORE Fd,sup
216,3
COMBINAZIONE DELLE AZIONI – TRONCO INFERIORE
Fd ,inf = γ G ⋅ G + γ Q1 ⋅ Qk1 +ψ 02 ⋅ γ Q2 ⋅ Qk 2 + Fd ,sup
COMB1
Fd ,inf −1 = 1,3⋅124,7 +1,5 ⋅ 79,5 + 0,7 ⋅1,5 ⋅ 60 + 216,3 = 560,7KN
Vento variabile di base
COMB2
Fd ,inf −2 = 1,3⋅124,7 +1,5 ⋅ 60 + 0,6 ⋅1,5 ⋅ 79,5 + 216,3 = 540KN
Antropico variabile di base
NEd,inf = Fd,inf= 560,7 KN
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18. Esempio NTC 2008: dimensionamento e verifica colonna n. 11
18/31
DIMENSIONAMENTO E VERIFICA DEL TRONCO INFERIORE
Si progetta la colonna del tronco inferiore (più caricato) e si utilizza per entrambi i piani
PREDIMENSIONAMENTO
Si inverte la relazione del carico critico
I min
(
)
3 2
N Ed ⋅ l02 560,7 ⋅103 ⋅ 4 ⋅10
= 2
=
π ⋅E
3,142 ⋅ 210 ⋅103
= 433,3 cm4
HEA 160
A = 38,8 cm2
p.p. = 0,304 kN/m
Ix = 1673 cm4
Iy = 615,6 cm4
VERIFICA
Contributo del p.p.
1) Calcolo dell’azione di progetto Ned
NEd = 560,6 +(1,3·0,304·4·2)= 563,8 KN
2) Calcolo del carico critico elastico
π 2 ⋅ E ⋅ I min 3,14 2 ⋅ 210 ⋅103 ⋅ 615,6 ⋅10 4
N cr =
=
= 796,6
2
3 2
l0
(4 ⋅10 )
3) Calcolo della snellezza adimensionale
λ=
A⋅ fy
N cr
=
38,8 ⋅10 2 ⋅ 235
= 1,07
796 ,6 ⋅10 3
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19. Esempio NTC 2008: dimensionamento e verifica colonna n. 11
19/31
4) Calcolo del coefficiente α
Dal Prospetto 4.2.VI delle NTC 2008 α=0,49
5) Calcolo del parametro φ
2
Φ = 0,5[1+ α (λ − 0,2) + λ ] = 0,5[1 + 0,49 (1,07 − 0,2) + 1,07 2 ] = 1,29
6) Calcolo del fattore di riduzione χ
1
1
χ=
=
= 0,5
2
2
2
1,29 + 1,29 − 1,07
Φ + Φ2 − λ
7) Calcolo dell’azione assiale resistente
Nb, Rd
χ ⋅ A ⋅ f y 0,5 ⋅ 38,8 ⋅102 ⋅ 235
=
=
= 434,2KN
γ M1
1,05
8) Verifica
N Ed
563,8
=
= 1,3 > 1
N b , Rd 434 ,2
La verifica non è soddisfatta!
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ESERCITAZIONE 7
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20. 20/31
Esempio NTC 2008: dimensionamento e verifica colonna n. 11
Si sceglie un profilo più grande - HEA 180 - e si applica la stessa procedura.
(I calcolo estesi sono riportati sul libro)
Alla fine:
N Ed
563,8
=
= 0,96 < 1
N b , Rd 587 , 4
La verifica risulta soddisfatta
Ma ATT! Alle dimensioni geometriche dei profili che andranno collegati
(trave – colonna)
Trave: IPE 500 (b=200 mm)
Colonna HEA 180 (b = 180 mm)
E’ necessario utilizzare
almeno un profilo HEA 200
(b=200 mm)
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21. Esempio metodo ω (CNR 10011): dimensionamento colonna n. 11
21/31
1) ANALISI DEI CARICHI
NEd,inf = Fd,inf= 560,7 KN
2) PREDIMENSIONAMENTO
(scelta del profilo tramite l’area minima)
߱ܰாௗ 2 ∙ 560,7 ∙ 10ଷ
≥ܣ
ൌ
ൌ 5011 c݉ଶ
݂௬ௗ
223,8
HEA 200
3) CALCOLO DELLA SNELLEZZA
ଵ∙ସ
ߣൌ బ ൌ
ൌ 80 ൏ 200
ସ,ଽ଼
4) VALUTAZIONE DI ω VERO
λ= 80
(Prospetti 7.II, 7.III, 7.IV – CNR 10011/97)
ω= 1,62
5) VERIFICA DI STABILITA’
ߪൌ
ఠேಶ
A = 53,8 cm2
p.p. = 0,423 kN/m
Jx = 3692 cm4
ix = 8,28 cm
iy = 4,98 cm
ൌ
ଵ,ଶሺହ,ାଵ,ଷ∙,ସଶଷ∙ସ∙ଶ)∙ଵయ
ହଷ଼
Contributo del p.p.
ൌ
ହହ,ଵ∙ଵయ
ହଷ଼
ൌ 104,8
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ே
మ
݂௬ௗ ൌ 223,8
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ே
మ
22. Outline
22/31
Cenni di instabilità
Verifiche secondo la CNR1011 – metodo ω
• solo sforzo normale
• presso-flessione
Verifiche secondo le NTC 2008
• solo sforzo normale
• presso-flessione
Esempi:
• Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo CNR10011
• Dimensionamento e verifica a sforzo normale secondo NTC08
Progetto di un telaio a traverso rigido
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23. Predimensionamento e verifica dei telai a traverso rigido (1/9)
23/31
GENERALITA’
Telaio a traverso infinitamente rigido
k→∞
90°
h
k → ∞ non è ottenibile per le costruzioni
reali.
Un telaio in acciaio si può considerare a
traverso rigido se k ≈ 3
l
I vincoli esterni possono essere incastri o
cerniere.
Sarà diversa la lunghezza libera di
inflessione della colonna
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24. 24/31
Predimensionamento e verifica dei telai a traverso rigido (2/9)
GENERALITA’
A cosa serve assegnare un valore a k?
Lo troviamo nelle formule del prontuario per il calcolo delle sollecitazioni
(in fase di predimensionamento non conosciamo i profili di traverso e colonna per calcolarlo, quindi è
necessario fare delle ipotesi).
IMMAGINE PRONTUARIO
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25. 25/31
Predimensionamento e verifica dei telai a traverso rigido (3/9)
GENERALITA’
Nello studio dei telai a traverso rigido si considera l’interazione tra i carichi
orizzontali e i carichi verticali anche per il calcolo delle sollecitazioni agenti sulla
trave
I carichi vengono applicati senza
coefficienti moltiplicativi.
La combinazione viene
effettuata sulle sollecitazioni di
progetto
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26. Predimensionamento e verifica dei telai a traverso rigido (4/9)
26/31
SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI
Qv
Qh
h=4m
G
l=5m
G = 20 KN/m
11,4
45,8
Qv = 5 KN/m
Qh = 7 KN/mv
8,3
v
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27. Predimensionamento e verifica dei telai a traverso rigido (5/9)
27/31
CALCOLO DEL MOMENTO DI PROGETTO del TRAVERSO MEd
≈0
COMB1
x=l/2
MEd = 76,6 KNm
COMB2
x=l
Qv
Var. principale
c
COMB3
x=l
Qh
Var. principale
c
La combinazione viene fatta sulle sollecitazioni.
Le azioni sono state applicate senza coefficienti moltiplicativi
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28. 28/31
Predimensionamento e verifica dei telai a traverso rigido (6/9)
PREDIMENSIONAMENTO TRAVERSO
Wpl = 366,6 cm3
IPE 240
Jx = 3891,6 cm4
p.p. = 0,307 KN/m
VERIFICA AGLI STATI LIMITE ULTIMI
Momento sollecitante con
aggiunta del contributo
dovuto al peso proprio
Momento resistente plastico
(sezione classe 1 a flessione)
Verifica di sicurezza agli SLU
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29. Predimensionamento e verifica dei telai a traverso rigido (7/9)
29/31
VERIFICA AGLI STATI LIMITE DI ESERCIZIO
CALCOLO DEGLI SPOSTAMENTI
Spostamento verticale dovuto
ai carichi permanenti
Spostamento verticale dovuto
ai carichi variabili Qv
Spostamento verticale totale
VERIFICA
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30. Predimensionamento e verifica dei telai a traverso rigido (8/9)
30/31
PREDIMENSIONAMENTO DELLA COLONNA PRESSO-INFLESSA
Vengono scelti profili di tipo HEA e HEB per facilitare l’unione trave-colonna
(l’ala della colonna deve essere almeno pari alla larghezza della trave IPE240 b=120mm)
HEB 140
Wx = 216 cm3
Jx = 1509 cm4
A = 43 cm2
ix= 5,93 cm ; iy = 3,58 cm
CALCOLO DELLA SNELLEZZA
ߣൌ
݈
݅
1 ∙ 400
ൌ
ൌ 112 ൏ 200
3,58
ω = 2,29
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31. Predimensionamento e verifica dei telai a traverso rigido (9/9)
31/31
VERIFICA A PRESSO-FLESSIONE DELLA COLONNA (§ 7.4 CNR 10011/97)
§
fattore di forma
per verifiche agli stati limite
ܰ
ܿߪ ݊௧ ߣ ൌ 162
ൌ ߪ௧ ∙ ܣ
݉݉ଶ
ߖൌ1
ߥൌ1
ܰ௧
Meq = 1,3 Mm
dal prospetto 7.VII CNR 10011
per M variabile
Mmax(piede)=1,3·8,3+1,5·24,7+1,5·0,5·2,1ൌ49,4 KNm
Mmin(testa)=1,3·16,7+1,5·4,2-1,5·0,6·11,6ൌ38,45 KNm
Mm=(Mmax+Mmin)/2= 43,9 KNm
Meq = 1,3 Mm=1,3·43,9ൌ57,1 KNm
·43,9ൌ57,1
Meq ≥ 0,75Mmax=37KNm
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