Convolutif

Année 2011 - 2012

Transmission de l’information :

Les codes convolutifs

(A. Migan), S. Argentieri

I. Principe du codage convolutif

 Les codes convolutifs forment une classe extrêmement souple et efficace de
codes correcteurs d’erreur.

 Ce sont les codes les plus utilisés dans les communications fixes et mobiles.

 Les codes convolutifs ont les mêmes caractéristiques que les codes en bloc
sauf qu’ils s’appliquent à des séquences infinies de symboles d’information
et génèrent des séquences infinies de symboles de code.

Transmission de l’Information : les codes convolutifs 2/89

I. 1. Encodeurs

Le codeur qui engendre un code convolutif comporte un effet de mémoire :
Le mot code ne dépend pas que du bloc de k symboles entrant, mais aussi
des m mots de code qui l’ont précédé, stockés dans un registre.

Entrée Registre à (m+1) k étages
Bloc de k
éléments
binaires
Convertisseur
Logique combinatoire Parallèle- Sortie
Bloc de n
Série éléments
binaires


I. 1. Encodeurs
Théorème fondamental du codage de canal
 La complexité du codeur est nécessaire à l’obtention
de bonnes performances

 Pour les codes en bloc : n et k doivent être grands
 Pour les codes convolutifs : il suffit que m soit grand

Entrée Registre à (m+1) k étages
Bloc de k
éléments
binaires
Convertisseur
Logique combinatoire Parallèle- Sortie
Bloc de n
Série éléments
binaires


I. 2. Propriétés
k
 Le rendement du code est : R
n
 La longueur de contrainte du code est : m 1 k
 Linéarité : les mots de code associés à une combinaison linéaire de
séquences d’entrée correspondent à la combinaison linéaire des mots de
code de chacune des ces séquences.
 Stationnarité : Lorsqu’un message source, décalé dans le temps, est
envoyé sur l’encodeur, on doit retrouver à la sortie, le mot de code
correspondant décalé de la même manière dans le temps.
 Code convolutif systématique :
Mot code : C = (X1 Y1 X2 Y2 … Xj Yj …)
1 2 k
Avec Xj = X j X j ... X j Information
Yj = Y1 Yj2 ... Yjk Contrôle
j

I. 3. Exemple

Exemple de codeur convolutif non systématique :
R = 1/2 ; m = 2 ; k = 1 ; n = 2

x1
j sj sj 2

A chaque pas de temps j :
 On combine les valeurs de l’entrée et de
sj e1
j e2
j la mémoire pour calculer les sorties ;
 Chaque registre à décalage est mis à
jour par la valeur qui figure à son entrée.

x2
j sj sj 1 sj 2


I. 4. Les distances dans les codes convolutifs

 La distance libre est la borne inférieure des distances de Hamming
entre toutes les séquences de sortie du codeur.

 La distance minimale est la plus petite distance entre des chemins
partant du même point et y revenant.


II. Représentations des codes convolutifs

 Représentations numériques :
 Transformée en D ;
 Matrice de transfert ;

 Représentations graphiques :
 Diagramme d’état ;
 Arbre ;
 Treillis.


II. 1. Représentations numériques : Transformée en D

 Une séquence de symboles est représentée par une série formelle en
la variable D. Cette variable représente l’opérateur de retard unitaire :
s ( D) s 0 s1.D s 2 .D 2 ... s j .D j ...
x i (D) xi
0 x1.D x i2 .D 2 ... x ij .D j ...
i

 La réponse impulsionnelle du ième module, hi(D), est la séquence de
sortie produite lorsque le message d’entrée est une suite commençant par le
symbole ‘1’ et se terminant par une suite de ‘0’ de longueur infinie :
xi(D) = hi(D).s(D)


x1
j sj sj 2

sj e1
j e2
j

x2
j sj sj 1 sj 2

e1(D) = D.s(D)
e2(D) = D.e1(D) = D2.s(D) HD 1 D2 1 D D2
x1(D) = s(D) + e2(D) = (1 + D2).s(D)
x2(D) = s(D) + e1(D) + e2(D) = (1 + D + D2).s(D)


k=1;n=2;m=3

x1(D) = s(D) + e2(D) + e3(D)
e1(D) = D.s(D)
x1(D) = (1 + D2 + D3).s(D)
e2(D) = D.e1(D) = D2.s(D)
x2(D) = s(D) + e1(D) + e2(D) + e2(D)
e3(D) = D.e2(D) = D3.s(D)
x2(D) = (1 + D + D2 + D3).s(D)

HD 1 D2 D3 1 D D2 D3


x1(D)

s1(D)

k=2;n=3;m=2
x2(D)

s2(D)
x1(D) = s1(D) + e12(D)
x1(D) = (1 + D2).s1(D) + 0.s2(D) x3(D)

x2(D) = e11(D) + e12(D) + e21(D)
x2(D) = (D + D2).s1(D) + D.s2(D) 1 D2 D D2 D
HD
0 D 1
x3(D) = e11(D) + s2(D)
x3(D) = D.s1(D) + 1.s2(D)

II. 2. Représentations numériques : Matrice de transfert

 La matrice de transfert donne la relation entrée-sortie sous forme
matricielle. On l’écrit pour chaque étage de sortie.

 Pour la kième sortie : j j 1 ...
La ième ligne donne la relation entre x k et s ij
j si ..... ..... .....
La (i + 1) ème ligne donne la relation entre x k et s i 1
j j
si 1
..... ..... .....
La colonne correspond à l’instant j,
1ère
... ..... ..... .....
La 2ème colonne correspond à l’instant (j – 1) …

 La matrice de transfert globale est la concaténation des matrices
précédentes. Elle a k lignes et (m+1) n colonnes.


II. 2. Représentations numériques : Relations entrée/sortie :
Matrice de transfert x1 s1 s1 2
j j j

x2
j s1
j 1 s1
j 2 s2 1
j
x1
j
x3
j s1
j 1 s2
j
s1
j
 Matrices de transfert intermédiaires :
1 0 1 5
x2
j
G1 0 0 0 0
0 1 1 3
s2
j G2 0 1 0 2
x3
j G3 0 1 0 2
1 0 0 4
k = 2, n = 3, m = 2  Matrices de transfert :
T 1 0 1 0 1 1 0 1 0
0 0 0 0 1 0 1 0 0

II. 3. Représentations graphiques
Chaque bloc de n éléments binaires en sortie du codeur dépend :
 Du bloc de k éléments binaires présents à son entrée ;
 Des m blocs de k éléments binaires contenus dans sa mémoire.

Ces m.k éléments binaires définissent l’état du codeur.

x1j s j s j 2

Les quatre états possibles
k=1 du codeur sont :
sj e1j e2
j n=2
m=2 ‘00’ ‘01’
‘10’ ‘11’
x2 s j s j
j 1 sj 2


II. 3. Représentations graphiques : Diagramme d’état

 Les conventions adoptées :
 Lorsque l’élément binaire d’entrée du codeur est égal à ‘0’ (resp. ‘1’),
le couple binaire en sortie du codeur est porté par la branche rouge
(resp. verte).

 Seules deux (q) transitions sont possibles à partir de chacun des états.

 Les étiquettes de chaque branche correspondent aux sorties du codeur.


00
II. 3. Représentations graphiques :
Instant j 0 Diagramme d’état
État a
État
‘00’
0
0 0

État État
0
‘10’ ‘01’
Instant j+1 ?
Instant j+1
j
État
0
0 0 ‘11’


00
État a
État
‘00’
1 11
0 0

État État
1
‘10’ ‘01’

Instant j+1
j
État
1 0 ‘11’


00
État
11 ‘00’ 11
0
0 1

État État
État b
1
‘10’ ‘01’

Instant j+1
j
État
0 0 ‘11’


00
État
11 ‘00’ 11
1
0 1

État 00 État
État b
0
‘10’ ‘01’

Instant j+1
j
État
1 0 ‘11’


II. 3. Représentations graphiques : 00
Diagramme d’état
État
11 ‘00’ 11

10
État État
‘10’ ‘01’
00

10 10
État
‘11’

01

Diagramme d’état
La distance minimale est le poids État
du chemin partant de ‘00’ et y 11 ‘00’ 11
revenant le plus vite possible :

10
Poids = 6 État État
‘10’ ‘01’
00

10 10
État
‘11’

01

Diagramme d’état
La distance minimale est le poids État
du chemin partant de ‘00’ et y 11 ‘00’ 11
revenant le plus vite possible :

10
État État
‘10’ ‘01’
00
Poids = 5

dmin = 5 10 10
État
‘11’

01

II. Représentation des codes convolutifs
II. 4. Représentations graphiques : Arbre

 Développement du diagramme d’état en fonction du temps discrétisé
 Le temps s’écoule de la gauche vers la droite
le couple binaire en sortie du codeur est porté par la branche supérieure
(resp. inférieure).
 Les branches se séparent en un point appelé nœud. Chaque nœud donne
naissance à 2k (qk) branches.
 Quelque soit l’état initial du codeur, après (m + 1) décalages à l’entrée du
codeur, tous les états du codeur peuvent être atteints.


Instant j

0 0

00

Instant j+1


Instant j 0 00
00

0
0 0

00
0

Instant j+1

0 0

t = j+1

Instant j 1 00
00

1
0 0

00
1

Instant j+1
11
10

1 0

t = j+1

II. 4. Représentations graphiques : Arbre 00
00

Instant j 0 00
00

0 11
0 0 10

00
0

Instant j+1
11
10

0 0

t = j+1 t = j+2

00

Instant j 00
00

11
10

00

01
01
Instant j+1
11
10

10
11

t = j+1 t = j+2

II. Représentation des codes convolutifs 00
00 00
00
11
10
00 01
11 01
10 10
Instant j 00 11
00 11
01 00
01 00
11 10
10 10
10 01
11 01
11
00 00
11 00
00 11
01 10
01 01
Instant j+1 00 01
10 10
11 11
10 11
10 00
01 00
10 10
11 10
01 01
11 01
11
t = j+1 t = j+2 t = j+3 t = j+4

00 00
00
11
10
00 01
11 01
10 10
00 11
Partant de l’état ‘00’ à l’instant t = j, il 00
01
11
00
existe deux chemins pour atteindre 11
01 00
10
l’état ‘00’ à l’instant t = j + 3 10
10
10
01
11 01
11
00 00
11 00
00 00 00 Chemin 1 00 11
01 10
01 01
00 01
10 10
11 11
10 11
10 00
01 00
10 10
11 10
01 01
11 01
11
t=j t = j+1 t = j+2 t = j+3 t = j+4

00 00
00
11
10
00 01
11 01
10 10
00 11
Partant de l’état ‘00’ à l’instant t = j, 00
01
11
00
il existe deux chemins pour atteindre 11
01 00
10
l’état ‘00’ à l’instant t = j + 3 10
10
10
01
11 01
11
00 00
11 00
00 00 00 Chemin 1 00 11
01 10
01 01
11 01 11 Chemin 2 00 01
10 10
11 11
10 11
10 00
01 00
10 10
11 10
01 01
11 01
11
t=j t = j+1 t = j+2 t = j+3 t = j+4

00 00
00
11
10
00 01
11 01
10 10
00 11
00
Distance minimale : dmin = 5 01
11
00
01 00
11 10
10 10
10 01
11 01
11
00 00
11 00
00 00 00 00 11
01 10
01 01
11 01 11 =5 00 01
10 10
11 11
10 11
10 00
01 00
10 10
11 10
01 01
11 01
11
t=j t = j+1 t = j+2 t = j+3 t = j+4

00 00
00
11
10
00 01
11 01
10 10
00 11
Si la séquence d’information est : 00
01
11
00
‘1001’ 11
01 00
10
10 10
10 01
11 01
11
00 00

1 0 0 1 11
11 00
00 11
11
01
01 10
00 10 01 00 10 01 01
00 01
11 01 11 11 11
10 10
11
11
10 11
10 00
01 00
10
Le mot de code associé à ‘1001’ 10
11 10
01
est ‘11011111’
01
11 01
11
t=j t = j+1 t = j+2 t = j+3 t = j+4

II. 5. Représentations graphiques : Treillis

le couple binaire en sortie du codeur est porté par la branche rouge
(resp. verte).

 De chaque nœud partent 2k (qk) branches.

 En chaque nœud convergent 2k (qk) branches.

 Les étiquettes de chaque branche correspondent aux sorties du codeur.


Instant j 0

0 00
0 0 00

01
0
10
Instant j+1
11

0 0 t=j t = j+1


Instant j 1

1 00
0 0 00
11
01
1
10
Instant j+1
11

1 0 t=j t = j+1 t = j+2


Instant j 0

0 00 00
1 0 00
11 11
01
1
01
10
Instant j+1
11

0 1 t=j t = j+1 t = j+2


Instant j 1

1 00 00
1 0 00
11 11
01
0
01
10
Instant j+1 10
11

1 1 t=j t = j+1 t = j+2


00 00 00 00
00
11 11

01 11 11 11 11
00 00
01 01 01
10 10 10
10 10 10
11 01 01

t=j t = j+1 t = j+2 t = j+3 t = j+4

Après (m + 1) décalages, quelque soit l’état
initial du codeur, le motif du treillis se répète



Comme pour le diagramme en arbre,
partant de l’état ‘00’ à l’instant t = j, 00 00 00 00
00
il existe deux chemins pour atteindre 11 11
l’état ‘00’ à l’instant t = j + 3 01 11 11 11 11
00 00
01 01 01
10 10 10
00 00 00 Chemin 1
10 10 10
11 01 11 Chemin 2 ; =5 11 01 01

t=j t = j+1 t = j+2 t = j+3 t = j+4

dmin = 5



La séquence d’information est
‘1001’ 00 00 00 00
00
11 11
11 11 11 11
01 00 00
1 0 0 1 01 01 01
10 10 10
00 10 01 00 10
10 10 10
11 01 11 11 11 01 01

t=j t = j+1 t = j+2 t = j+3 t = j+4
Le mot de code associé à ‘1001’
est ‘11011111’


III. Codes particuliers
III. 1. Les codes systématiques
 Dédier une sortie aux bits d’information :

 Treillis :  Réponse impulsionnelle :
000 000
00 101 101 HD 1 1 D2 D D2
110 110
01 011 011
010 010
 Matrice de transfert :
10 111 111 G = (4 5 3)octal
100 100
001 001
11

III. 2. Les codes récursifs systématiques
 Réponses impulsionnelles :
Boucle de retour :
x1 D sD

x1 sj x2 D sD e1 D
j
e1 D D sD e2 D e1 D
e1 D D sD D.e1 D e1 D
1 D D 2 .e1 D D.s D
D
e1 D 2
sD
s j e2
j e1
j
1 D D
x2
j e2
j sj e2
j e1
j D
x2 D sD sD
x2
j sj e1
j 1 D D 2

1 D2
HD 1
Transmission de l’Information : les codes convolutifs 1 D D2 44/89

III. 2. Les codes récursifs systématiques
 Boucle de retour :
 Réponses impulsionnelles :
1 D2
HD 1
1 D D2

 Treillis :
00 00 00
11 11
11 11
01 00 00
10 10
10 01 01
01 01
10 10
11

III. 3. Les codes catastrophiques

 Un code catastrophique est un code qui génère un nombre infini d’erreurs

 Une séquence d’information de poids infinie est codée par une séquence de
poids fini

 Le décodeur, recevant une séquence de poids fini, estimera que la séquence
d’entrée était constituée d’un mot de poids fini suivi de zéros.


III. 3. Les codes catastrophiques 00

État a
01 ‘00’ 11

10
État c État b
‘10’ ‘01’
10

11 01
État d
‘11’

00

Appliquons à l’entrée de ce codeur
une séquence constituée d’un
nombre infini de ‘1’.
00 00 00 00
00
01 01

01 11 11 11 A la sortie, apparaîtra le mot ‘1101’
00 00
11 suivi d’un nombre infini de ‘0’
10 10 10
10 10 10

01 01 01
11 Le décodeur estimera que l’entrée
00 00
était constitué d’un mot de poids
fini (par exemple ‘1010’) suivi d’un
nombre infini de ‘0’


III. Codes particuliers 00

État a
00
00 00 00 00
01 ‘00’ 11
01 01

01 11 11 11
00 00
11 10
10 10 10 État c État b
10 10 10
‘10’ ‘01’
01 01 01 10
11
00 00
11 01
Tous les codeurs catastrophiques ont : État d
‘11’
 Dans leur représentation en treillis : un arc
horizontal produisant une sortie de poids nul, pour
une entrée de poids non nul 00
 Dans leur diagramme d’état : une boule portant
l’étiquette ‘00’ pour une entrée égale à ‘1’

IV. Décodage convolutif
 Dans les canaux de communication sans mémoire, les systèmes utilisant
le codage convolutif sont parmi les plus intéressants tant du point de vue
de leurs performances (s’approchant le plus des performances ultimes
prévues par la théorie de Shannon) que du point de vue de leur réalisation
et implantation matérielle.
 Les deux principales techniques de décodage des codes convolutifs sont
le décodage de Viterbi et le décodage séquentiel.
 Chacune de ses techniques consiste à trouver un chemin particulier (le
message transmis), dans un graphe orienté où on assigne aux branches des
métriques ou valeurs de vraisemblance entre les données reçues et les
données qui auraient pu être transmises.
 L’objectif général du décodeur se résume donc à déterminer avec la
plus grande fiabilité et le minimum d’efforts le chemin de métrique
minimale. Ce chemin est la séquence décodée.


IV. 1. Algorithme de Viterbi

 A chaque instant, deux branches appartenant à deux chemins différents,
convergent vers chaque noeud.
 De ces deux chemins, l’un est plus vraisemblable, c’est-à-dire se trouve
à une distance plus petite de la séquence reçue, que l’autre chemin.
 Les distances étant additives, il est possible de ne conserver en chaque
nœud que le chemin le plus vraisemblable, appelé survivant.
 Si deux chemins sont aussi vraisemblables, un seul chemin est
arbitrairement conservé.



 Supposons que la séquence à l’entrée du codeur soit ‘1 0 0 1’.

 Si le codeur est dans l’état ‘00’ à l’instant initial,
la séquence correspondante en sortie du codeur est ’11 01 11 11’.

 Considérons un canal binaire symétrique introduisant une erreur en
position 4.
La séquence reçue à l’entrée du décodeur est ’11 00 11 11’.

 Voici le déroulement de l’algorithme de Viterbi :



00
00 (2)
11  A l’instant t = 0 :
01
Deux branches partent de l’état ‘00’. Elles sont
10 (0)
respectivement à la distance 2 et 0 du premier
couple binaire reçu. Reportons ces deux distances,
11
appelées métriques de branche sur le treillis.
t=0 t=1

Mot reçu : ‘11’



 A l’instant t = 1 :
00 (2) 00
00 (2)
Évaluons la distance entre le deuxième
11 11
(1)
couple binaire reçu et les quatre branches
01
01 qui partent des états ‘00’ et ‘10’, puis
(0)
10 (4) reportons ces quatre métriques sur le treillis.
10 En sommant les métriques de branches
11 (1)
appartenant à un même chemin, nous
obtenons les métriques cumulées.
t=0 t=1 t=2
Nous avons désormais quatre chemins qui
permettent d’accéder, en t = 2, aux quatre
Mot reçu : ‘11’ ‘00’ états possibles du codeur.



00 (2) 00 (2) 00
00 11 Il existe désormais deux chemins qui
11 11 (1)
11 convergent vers chaque nœud du treillis.
01 00
01
(0) (4) 01
10 10
10 10
(1)
11 01

t=0 t=1 t=2 t=3

Mot reçu : ‘11’ ‘00’ ‘11’



00 (2) 00 (2) 00 (4)
00 11 (1) Il existe désormais deux chemins qui
11 11 (1)
11 (5) convergent vers chaque nœud du treillis.
01 00 (2)
01
(0) (4) 01 (2) On va donc :
10 10 (3)
1. Calculer les métriques de branche.
10 10
(1) (5)
11 (2)
2. Calculer les métriques cumulées
01
pour chaque chemin atteignant en
t=0 t=1 t=2 t=3 t = 3, un nœud donné du treillis.

Mot reçu : ‘11’ ‘00’ ‘11’



00 (2) 00 (2)
00 11
(1)
Il existe désormais deux chemins qui
11 11 (1)
01 00 (2)
01
(0) (4) 01 (2) On va donc :
10 10 (3)
10 10
(1) (5)
11 (2)
01
3. En chaque nœud, ne retenir que le
survivant.
Mot reçu : ‘11’ ‘00’ ‘11’



00 (2) 00 (2)
00 11
(1)
11 11 (1)
01 00
01 On va donc :
(0) (4) (2)
10 10 (3)
10 10
(1) (5)
11 (2)
01
survivant.
Mot reçu : ‘11’ ‘00’ ‘11’



00 (2) 00 (2)
00 11
(1)
11 11 (1)
01
01 On va donc :
(0) (4)
10 (2)
10 1. Calculer les métriques de branche.
10 10
(1) (5)
11 (2)
01
survivant.
Mot reçu : ‘11’ ‘00’ ‘11’



00 (2) 00 (2)
00 11
(1)
11 11 (1)
01
01 On va donc :
(0) (4)
10 (2)
10 1. Calculer les métriques de branche.
10
(1)
11 (2) 2. Calculer les métriques cumulées
01
survivant.
Mot reçu : ‘11’ ‘00’ ‘11’



00 (2) 00 (2) (1)
00 11 11
(2)
11 11 (1)
11 (2) 11 (3)
01
01  A l’instant t = 3 :
(0) (4) (2)
10 01 (1)
10 On procède de la même façon
10
(1) (2)
11 01 01
(3)

t=0 t=1 t=2 t=3 t=4

Mot reçu : ‘11’ ‘00’ ‘11’ ‘11’


Finalement, le chemin le plus
vraisemblable est celui qui
(2) (2) (1)
00
00 00
11 11
(2) arrive en ‘10’.
11 11 (1)
11 (2) 11 (3)
01
01
(0) (4) (2)
10 01 (1)
10
10
(1) (2)
11 01 01
(3)

t=0 t=1 t=2 t=3 t=4


Finalement, le chemin le plus
vraisemblable est celui qui
(2) (2) (1)
00
00 00
11 11
(2) arrive en ‘10’.
11 11 (1)
11 (2) 11 (3) En remontant le treillis de la
01
(0) 01 (4) (2)
droite vers la gauche, on voit
10 01 (1) que la séquence la plus
10
10
(1) (2)
vraisemblable est celle qui part
11 01 01
(3) de ‘00’ à t = 0 et qui arrive à
‘10’ à t = 4. Elle correspond au
t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 code vraisemblablement émis :
‘11 01 11 11’.

Ce code correspond à une séquence sur l’entrée du codeur égale à ‘1001’.
L’erreur en position 4 est donc corrigée.

IV. 2. Décodage séquentiel

 Viterbi : complexité de calcul en 2m
 Amélioration des codes convolutifs si m augmente

→ Décodage séquentiel

 Recherche d’un parcours optimal dans un graphe :
 Viterbi : Evaluer la qualité de tous les chemins
à une profondeur donnée
 Séquentiel : Parcours d’un unique chemin tant
qu’il paraît bon


IV. 2. Décodage séquentiel : Algorithme de Fano

 Dans la structure d’arbre, à chaque nœud, on calcule les distances
correspondantes aux deux successeurs et l’on poursuit dans la direction
de celle qui conduit au chemin le plus court.
 Si on choisit une mauvaise route (la distance observée dépasse un seuil
fixé) : on rebrousse chemin et on reprend dans une autre direction
 Mais cela peut arriver de nouveau
 Jusqu’où faut-il remonter dans l’arbre ?

 Mémoire tampon importante


IV. 2. Décodage séquentiel : Algorithme à piles

 Algorithme de Fano utilisant un système de pile pour gérer plus
efficacement les retours en arrière. Le décodeur consiste en une pile
où sont stockés les chemins explorés :

 Le stockage est effectué par ordre décroissant des valeurs de
leurs métriques.
 Le sommet de la pile contient le chemin de métrique minimale
courant et sera donc prolongé en tous ses descendants sur une
profondeur égale à une branche.


Comparaison des codes
VI. Codes cycliques – Codes convolutifs

Codes cycliques : Codes convolutifs :

 Rendement élevé (0,9)  Rendement faible mais
performances élevées grâce au
décodage à décision souple
 Correction des paquets d’erreurs  Correction des erreurs isolées

Modifications de codes
Associations de codes


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