Separata de sistema de numeración decimal

1. Construcción del Sistema de
Numeración Decimal

2. El SND
La elección del objeto, el sistema de numeración (en adelante, SN), no es casual. En
el inicio de la formación matemática escolar, cuando niños y niñas se incorporan a
la educación básica o primaria, el SN es el elemento clave. Según Nunes Carraher y
Bryant (1998), el desarrollo del conocimiento y la comprensión matemáticos implica
para los niños tres aspectos: aprender las invariantes lógicas, aprender a dominar y
utilizar los sistemas matemáticos convencionales y aprender a ver los requerimientos
matemáticos de diferentes situaciones. El SN es el primer sistema matemático
convencional con que se enfrentan los niños en la escuela, y constituye el
instrumento de mediación de otros aprendizajes matemáticos, «el aspecto de la
notación matemática más fundamental (el álgebra, por ejemplo, es más compleja y
presupone el conocimiento del sistema numérico)» (Martí, 2003, p. 164). En
consecuencia, la calidad de los aprendizajes que los niños puedan lograr en
relación con este objeto cultural es decisiva para su trayectoria escolar posterior.
…la actividad matemática es una actividad de modelización por medio de la cual
los alumnos aprenden a actuar sobre la realidad valiéndose de un aparato teórico
(Sadovsky, 2005), una enseñanza que no trabaje sobre la formulación de razones, o
que reduzca la actividad matemática a «aplicar una operación», comprometerá las
posibilidades de los alumnos de adquirir dominio sobre el saber matemático, de
apropiarse del conocimiento construido y de afirmarse a sí mismo como aprendiz de
una cultura.
En el campo del SN, limitar el trabajo didáctico a unos pocos números de la serie
presentándolos de uno en uno sin avanzar hasta que no se domine el nombre y el
correcto trazado de cada uno, o mostrar un único modo –el convencional– de
resolver las operaciones, hace imposible que los niños accedan al mundo de
relaciones que supone la notación numérica, y pone en riesgo no sólo sus
aprendizajes sobre el SN sino sus posibilidades futuras de apropiación de nuevos
conocimientos matemáticos.
F. TERIGI, S. WOLMAN
Comenta con tus compañeros sobre el
texto ¿qué importancia tiene el SND en
el aprendizaje de la Matemática?
Para reflexionar

3. ¿Cómo aprenden matemática los niños?
Para propiciar una educación matemática que desarrolle en nuestros niños y niñas
competencias y capacidades matemáticas, necesitamos considerar algunos procesos:
El planteamiento y resolución diversos
problemas, desafíos o retos.
La comprensión del problema.
El diseño y adaptación de diversas
estrategias de resolución.
El uso de diversos materiales:
estructurados y no estructurados, para
favorecer la construcción de nociones
matemáticas.

4. La comunicación oral y escrita usando
diversas representaciones.
La argumentación de los procedimientos
usados.
La formalización de los saberes
matemáticos.
La reflexión sobre los procesos seguidos.

5. El reforzamiento y complementación de lo
aprendido.
En un ambiente afectivo, de respeto y
altas expectativas.
¿Cómo aprenden los niños sobre el SND?
Para reflexionar
Ideas fuerza
• Los niños resuelven problemas que demandan procesos de razonamientos complejos en
actividades que les genera interés, autoconfianza y perseverancia como en el juego, al comprar o
vender algún producto o ubicarse en algún lugar, entre otras acciones.
• Usan diversas estrategias, habilidades, conocimientos y procedimientos al enfrentarse a problemas
o lograr algún propósito y una serie de recursos del entorno para resolver los problemas.
• Descubren nuevas y diferentes estrategias de resolución, nuevas relaciones entre las nociones
matemáticas que intervienen, y reflexionan sobre el sentido y alcance de las propiedades.
• Aprenden sobre los números y sus operaciones, al contar, ordenar, medir y codificar, sobre las
regularidades al hacer patrones, al hallar equivalencias en una balanza y al conocer sobre el
cambio, sobre las formas y el movimiento al construir en el plano y espacio y sobre la incertidumbre
al recoger y procesar datos para tomar decisiones, entre otras.

6. ACERCA DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN
La pregunta por la enseñanza de la numeración escrita requiere «desnaturalizar» nuestro
saber adulto sobre ella. En efecto, los adultos, usuarios habituales del SN, tendemos a
pensar en él como una técnica de traducción de las cantidades a una forma gráfica, y
solemos creer que para su conocimiento alcanza con conocer la regla que rige esta
traducción.
Este modo de entender al SN oscurece la comprensión de los problemas involucrados en
el aprendizaje de este objeto y, desde luego, en su enseñanza. En este módulo,
propondremos a los lectores otras perspectivas sobre el SN que permitirán problematizar la
manera en que se desarrolla usualmente su enseñanza. Nos centraremos en dos
perspectivas de análisis del SN: en cuanto objeto matemático, y en cuanto instrumento
cultural disponible en la cultura.
En cuanto objeto matemático, el SN no es un artilugio de mera traducción de cantidades
en formas gráficas, sino un sistema de representación de las cantidades. La construcción
de cualquier sistema de representación involucra un proceso de diferenciación de los
elementos y relaciones reconocidos en el objeto a ser representado (en nuestro caso, en
las cantidades y en el proceso de cuantificación) y una selección de aquellos elementos y
relaciones que serán retenidos en la representación (en nuestro caso, las reglas del SN).
Para poder representar las cantidades, el sistema de numeración posee ciertas reglas que
permiten organizar la cuantificación para hacerla económica, y estas reglas, lejos de ser
«naturales», son producto de la elaboración histórica de ciertas convenciones.
La elaboración histórica del SN puede entenderse como una búsqueda sostenida de
economía en la representación, que ha desembocado en la elaboración de un sistema
por el cual con un pequeño número de símbolos es posible representar infinidad de cosas
y realizar complejas operaciones. En orden a esta economía de la representación,
quienes han rastreado la génesis del sistema de numeración en la historia humana
consideran que tres han sido las innovaciones más poderosas (Guitel, 1975; Ifrah, 1987):
• La utilización de agrupamientos, que permitió superar la mera notación por
correspondencia uno-a-uno, que es sólo la traducción de una enumeración que
anuncia un grupo de objetos sin implicar para ello el desarrollo de la noción de
cuantificación. La idea de agrupar las cantidades constituyó un primer paso en la
economía de la representación.
• La utilización del principio de la base, que convirtió los agrupamientos en regulares.
Este principio permitió superar la dificultad de tener que recordar, para comprender
cada nivel de agrupamiento, el principio de agrupamiento utilizado. Los sistemas de
base son sistemas de agrupamientos regulares, donde el número de elementos que se
agrupa es igual al número de símbolos utilizados en la escritura.
• El valor posicional de las cifras: esta creación ha sido el principio fundamental para la
economía en la notación numérica, en tanto permitió eliminar en la escritura la
representación de los exponentes de las potencias de la base. Cuando, con nuestro
sistema posicional de base diez, escribimos 4627, estamos diciendo:
(4 x 10³) + (6 x 10²) + (2 x 10¹) + (7 x 100)

7. Pero al escribir posicionalmente, evitamos escribir los exponentes de las potencias de la
base (3, 2, 1, 0), sobreentendidos en la posición otorgada a cada coeficiente (4, 6, 2, 7).
Todo esto está presente en algo tan simple como el número «20» que puede figurar en un
billete al que los niños tienen acceso, o como el precio de S/. 79 que ven en un
electrodoméstico que se exhibe en el anaquel de un supermercado. Pero, junto con estos
números, los niños ven otros (como el 79 de un ómnibus o el 4925344 de un teléfono),
donde los numerales no cumplen las mismas funciones de representación que en los casos
del billete o el precio. Esto nos coloca frente a una segunda dimensión de análisis del
sistema de numeración, como instrumento de uso social: esto es, en cuanto objeto que
está presente en la vida cotidiana de todos nosotros –también de los niños–, ofreciendo
informaciones muy diversas, de acuerdo con sus diferentes contextos de utilización
(Sinclair y Sinclair, 1984).
Desde el punto de vista infantil, el sistema de numeración ofrece numerosas
oportunidades de interacción, porque es un objeto cultural que tiene la particularidad de
estar sumamente presente en el mundo social. Para corroborarlo basta con pensar en
algunas de las situaciones cotidianas en las que aparecen numerales: en los casos ya
citados del dinero, los ómnibus, los precios y los teléfonos, pero también en el modo de
señalar las fechas, en avisos de pago de servicios y recibos de cobro; en el número de las
casas y los automóviles; en los relojes, las páginas de los libros y revistas, las tallas de la
ropa, las medidas del calzado, el DNI, las indicaciones de contenido y precio de las
mercaderías, el control remoto de la televisión, etcétera.
Pero ocurre que, en muchos de los casos que hemos mencionado, los números no
funcionan como lo hacen en el sistema de numeración, sino con reglas específicas de la
situación en cuestión. Así, por ejemplo, si en el SN cifras distintas representan cantidades
diferentes, hay usos de los grafismos numéricos en que cifras diferentes no representan
cantidades diferentes, sino clases cuyas diferencias son cualitativas: lo que indica el 79 de
un colectivo con respecto al 21 de otro no es una cantidad mayor (colectivos más
grandes, mayor número de colectivos, etc.), sino que ese colectivo realiza un recorrido
diferente al otro, el numeral funciona aquí como una etiqueta. Por lo tanto, las reglas
construidas históricamente para representar variaciones en la cantidad no estarán
funcionando en estos usos diferentes (Terigi, 1992).
La consideración del SN como instrumento social implica que el análisis de este objeto
que se requiere para diseñar su enseñanza no se agota en el conocimiento de sus
aspectos matemáticos; requiere poner en juego otros saberes que no son los del
especialista en el campo matemático. En la dimensión de análisis en que nos estamos
moviendo, se requiere un análisis de las prácticas sociales que involucran la numeración
escrita y de los intercambios que tienen lugar a propósito de esas prácticas. Ese análisis
nos pone frente a la posibilidad de comprender la clase de problemas que tiene que
resolver un niño para llegar a comprender la naturaleza y funcionamiento del SN como
objeto matemático, apoyándose en la información sobre él con la que cuenta a través
de los usos muy diversos que se dan a la numeración escrita en su entorno social. Puede
decirse que el uso de los números en el medio social es diverso y poco «respetuoso» de las
características del sistema como objeto matemático; pero son precisamente estos usos
los que ponen a los niños tempranamente en contacto con la numeración escrita.

8. El sentido numérico y su desarrollo
Desde los niveles de preescolar uno de los objetivos básicos de la educación matemática
será el desarrollo progresivo del "sentido numérico", entendido como "una buena intuición
sobre los números y sus relaciones", que debe desarrollarse gradualmente como resultado
de explorar los números, usarlos en una variedad de contextos, y relacionarlos entre sí,
superando el limitado aprendizaje de los algoritmos tradicionales. "El sentido numérico se
concibe como una forma de pensar, por consiguiente no es una "lección" en el currículo
de matemática en Primaria, sino una manera de aproximarse al trabajo con los números
en el aula" (Llinares, 2001, p. 152).
La comprensión y dominio de los números naturales pone en juego muchas ideas,
relaciones y destrezas, por lo que podemos considerarlo como un aprendizaje complejo,
que no se desarrolla de manera simple y automática. Con la expresión ‘sentido numérico’
hacemos referencia al complejo de nociones y relaciones que configuran el ‘sistema de
los números naturales’. Incluye, por tanto, su origen en las actividades humanas de contar
y ordenar colecciones de objetos, los instrumentos materiales inventados para dicha
actividad, las operaciones y relaciones que se establecen entre ellas para la solución de
problemas prácticos, y el propio sistema lógico–deductivo que organiza, justifica y
estructura todos sus elementos.
El dominio intuitivo, flexible y racional de los números que caracteriza la apropiación del
sentido numérico por parte del sujeto se inicia en preescolar, con las actividades de
clasificación y ordenación de colecciones (uso de relaciones “más que”, “menos que”,
“igual”,...), el aprendizaje de la secuencia numérica hasta la decena, y continúa
desarrollándose en los niveles escolares posteriores trabajando con números más grandes,
fracciones, decimales, porcentajes, etc.
El aprendizaje de la sucesión de palabras numéricas
El número natural surge como respuesta a la pregunta, ¿cuántos hay? o ¿qué lugar
ocupa este elemento dentro de un conjunto ordenado? Se construye, por tanto,
alrededor de su significado como cardinal y ordinal y para ello es necesario contar. Pero
esto exige a su vez la memorización de tramos de la sucesión numérica cada vez más
amplios. Además, se necesita también estar en condiciones de recitar cualquier tramo de
la sucesión numérica para saber cuáles son los números anterior y posterior a uno dado y
para desarrollar técnicas orales de suma y resta.
¿Qué hacer para desarrollar el sentido
numérico?
Para reflexionar

9. La memorización de la sucesión de palabras numéricas puede conseguirse por medio de
situaciones de recitado o de recuento. Pero el recuento empieza siempre desde uno y no
permite consolidar tramos altos de la sucesión. Por ejemplo, para aprender que después
del novecientos noventa y nueve viene el mil no podemos contar desde uno, tendremos
que recitar la sucesión numérica desde un novecientos y pico. Hay que tener en cuenta,
además, que las dificultades mayores se encuentran en los cambios de decena, centena,
millar, etc., por lo que es necesario ejercitarse en tramos de la sucesión que contengan
alguno de estos cambios.
El aprendizaje de las palabras numéricas se va haciendo por tramos progresivos que se
suelen consolidar en el siguiente orden: primero las palabras uno, dos y tres, después el
tramo del uno al cinco seguido del tramo del cinco al diez. En fases posteriores los niños
van consolidando los siguientes tramos: del diez al veinte, del veinte al cincuenta, del
cincuenta al cien, del cien al doscientos, del doscientos al quinientos, del quinientos al mil,
del mil al diez mil, del diez mil al cien mil, del cien mil al millón, del millón en adelante.
El aprendizaje del recuento y del significado del número como
cardinal y ordinal
Percepción temprana de cardinales. Los niños pequeños, entre dos y cuatro años, son
capaces de reconocer el cardinal de conjuntos de uno a tres o cuatro elementos sin
necesidad de contar. El cardinal es percibido globalmente por simple inspección visual
del conjunto. En cambio, cuando se trata de cardinales mayores, los niños ya no saben
decirlos correctamente porque eso exige contar y en esta etapa no tienen asumidos los
principios en los que se basa dicha técnica.
Percepción prioritaria de ordinales. Esta etapa corresponde a niños con edades entre tres
y cinco años. Ahora los niños ya asumen algunos de los principios que permiten efectuar
un recuento. En concreto, el principio del orden estable (las palabras numéricas deben
decirse siempre en el mismo orden, empezando por el uno y sin omitir ninguna) y el de la
correspondencia uno a uno (cada objeto del conjunto contado debe recibir una palabra
numérica y sólo una)5. La práctica del recuento pone de manifiesto el sentido ordinal del
número por cuanto la palabra numérica que se adjudica a cada objeto es su ordinal. Sin
embargo, en esta fase no se asume el principio de cardinalidad, es decir, los niños no
¿Qué problemas has encontrado en el
aprendizaje de la secuencia verbal?
Para reflexionar

10. entienden que el último ordinal sea, al mismo tiempo, el cardinal de todo el conjunto.
Para ellos, la respuesta a la pregunta, ¿cuántos hay?, consiste en la enumeración de
todos los objetos de la colección.
Percepción prioritaria de cardinales. En esta etapa, los niños, entre cuatro y siete años,
asumen el principio de cardinalidad (la última palabra de un recuento indica, no sólo el
ordinal del último elemento señalado, sino también el cardinal del conjunto) con lo que
pueden responder correctamente a la pregunta ¿cuántos hay? después de haber
efectuado un recuento.
Una buena concepción del número como cardinal y ordinal supone asumir la
doble condición de cada palabra de un recuento como ordinal de un elemento y,
a la vez, cardinal de los elementos contados hasta ese momento. Esto permite
interpretar las palabras de un recuento numérico, bien como ordinales, bien como
cardinales, en función del problema que haya que resolver.
El aprendizaje del orden numérico
El orden numérico se construye alrededor de situaciones de comparación: comparación
entre ordinales para decidir quién va antes y comparación entre cardinales para decidir a
qué conjunto le sobran o faltan elementos cuando construimos parejas con un elemento
de cada conjunto. Decimos que cinco es menor que ocho porque si un elemento es el
quinto estará antes o será anterior en el tiempo al octavo (significado del orden entre
ordinales). También decimos que cinco es menor que ocho porque si emparejamos cinco
tazas con ocho platos quedarán platos sin taza (significado del orden entre cardinales).
Esta última definición también lleva implícita la idea de que todos los conjuntos que tienen
el mismo cardinal pueden emparejarse sin que quede ningún elemento sin pareja.
El orden numérico tanto en su sentido ordinal como cardinal es asumido muy pronto por
los niños. En el caso de orden entre ordinales, el éxito a la hora de ordenar dos números va
ligado a la memorización del tramo de la secuencia numérica que los incluye. El niño
capaz de recitar del uno al diez ya puede decir, por ejemplo, que "el seis va antes que el
nueve". Sin embargo, ese mismo niño puede no saber que quince es menor que diecisiete
si no tiene memorizado el tramo del diez al veinte. La memorización de tramos cada vez
más amplios de la sucesión numérica permite a los niños ampliar las parejas de números
susceptibles de ser ordenadas. Finalmente, la familiarización con las reglas de formación
de las palabras numéricas junto con el conocimiento de la escritura del número, conduce
a los niños a asumir las reglas formales del orden numérico:
a) Un número es menor que otro si tiene menos cifras.
b) Si dos números tienen el mismo número de cifras, será menor aquel que
tenga menor la cifra de orden superior.
c) Si las cifras de orden superior coinciden, se examinan las cifras de orden
siguiente hasta encontrar algún caso en que no coincidan y entonces se
aplica la regla b.
En cuanto al sentido cardinal del orden, en un primer momento los niños son capaces de
percibir globalmente si en un conjunto hay más elementos que en otro, siempre que esa

11. diferencia sea apreciable por simple inspección visual. Sin embargo, el establecimiento
del orden entre los cardinales de dos conjuntos por medio del emparejamiento
(construcción de parejas que contengan un elemento de cada conjunto) o del recuento
no es una habilidad temprana; de hecho, hay niños de seis y siete años que, en esas
condiciones, tienen dificultades para decidir qué conjunto tiene más o menos elementos.
A este respecto es esclarecedor el comportamiento de los niños en la llamada
experiencia de la conservación del número propuesta por Jean Piaget. Consiste en lo
siguiente:
• Se le presentan a un niño un número reducido de objetos, por ejemplo, entre seis y
nueve fichas azules puestas en fila. A continuación, el entrevistador le pide al niño
que ponga tantas fichas rojas como fichas azules hay, una ficha roja por cada
ficha azul. Una vez que el niño ha emparejado cada ficha azul con una ficha roja,
el entrevistador le pregunta si hay el mismo número de fichas azules que de fichas
rojas. Si el niño dice que sí, el entrevistador modifica la fila de fichas rojas dejando
una mayor distancia entre dos fichas. De esa manera, la fila de fichas rojas ocupa
más espacio que la de fichas azules.
• Después de eso, se pregunta al niño si ahora sigue habiendo las mismas fichas
azules que rojas.
• En la resolución de esta tarea los niños se comportan de las siguientes maneras:
• Algunos no saben colocar un número de fichas rojas igual al de fichas azules. No
conocen la técnica de emparejamiento ni tampoco se les ocurre contar. Son niños
que pueden tener una percepción global de dónde hay más o menos elementos,
pero que no usan la correspondencia uno a uno para comparar cardinales.
¿Crees que un niño conserve el número?
Realiza la experiencia de Piaget. Explica
los resultados.
Para reflexionar

12. El aprendizaje del sistema escrito de numeración
El aprendizaje del sistema escrito de numeración se desarrolla en dos etapas: la de la
lectura y escritura de las cifras (números del O al 9) y la de la lectura y escritura de
números de dos o más cifras, lo que supone asumir las reglas de representación de
números propias de un sistema posicional de base diez.
En lo que se refiere a las cifras, los niños deben aprender a reconocerlas y a escribirlas
siguiendo el sentido de recorrido oportuno. Para las personas diestras los sentidos de
recorrido más adecuados son los siguientes:
Los errores más frecuentes que se observan en el trabajo de los niños son:
o Errores de inversión de la grafía. Algunos niños confunden el 6 y 9; otros
escriben, en lugar de 2, en lugar de 3, en lugar de 5.
o Errores caligráficos. La mala caligrafía puede llevar a un niño a confundir
sus propias cifras cuando tiene que volver a leerlas. Se puede confundir el 1
con el 2, el 3 con el 5, el 6 o el 9 con el 0, etc.
o Errores de recorrido. Es frecuente que los niños se acostumbren a escribir las
cifras siguiendo recorridos anómalos. Esto contribuye a empeorar la
caligrafía y, además, puede fomentar los errores de inversión ya
comentados y la escritura de derecha a izquierda, en vez de izquierda a
derecha, lo que crea problemas cuando hay que escribir números de
varias cifras.
En cuanto al valor de posición de las cifras, diversas experiencias muestran que la
comprensión que tienen los niños de ese convenio es muy limitada, incluso cuando llevan
ya mucho tiempo escribiendo números de varias cifras. A continuación vamos a describir
dos de esas experiencias.
Experiencia de Kamii sobre reconocimiento de la decena
o El entrevistador presenta a un niño dieciséis fichas y le pide que las cuente,
las dibuje en un papel y escriba el número 16. Una vez hecho eso, el
entrevistador rodea el 6 y le pide al niño que señale en el dibujo de las
fichas lo que corresponde a ese número. Después rodea el 1 y le pide que
señale en el dibujo la parte que corresponde a ese número.
Experiencia de Ross del agrupamiento en decenas
o El entrevistador presenta al niño 48 alubias y 9 tazas. No le dice al niño
cuántas alubias hay ni le pide que las cuente. Lo que le pide es que ponga
diez alubias en cada taza. Una vez acabada la tarea sobre la mesa
quedan 4 tazas llenas y 8 alubias sueltas. Entonces se pregunta al niño
cuántas alubias hay en total.

13. Estas experiencias muestran que la noción del valor posicional de las cifras se va
construyendo lentamente y que los niños aprenden a escribir números sin ser enteramente
conscientes del valor que representa cada cifra. De hecho, los niños saben que cuarenta
y dos se escribe con un cuatro y un dos porque los dos números empiezan por la sílaba
"cua". Son las similitudes de los sonidos las que permiten escribir y leer correctamente
números de dos cifras, más que una correcta interpretación del número en términos de
decenas y unidades.
Conocimientos previos a la enseñanza del valor de posición de
las cifras
Para entender que el número treinta y cinco se escribe con un tres y un cinco hay que
"verlo" descompuesto en tres decenas y cinco unidades. Pero eso exige saber que "diez
más diez son veinte, y más diez son treinta", es decir, hay que saber contar de diez en diez
y que cuando a una decena se le suma otra se obtiene la decena siguiente. Una vez
entendido que tres decenas es lo mismo que treinta unidades, hay que estar familiarizado
con el hecho de que treinta más cinco son treinta y cinco.
En otras palabras, para que un niño pueda darle sentido a los razonamientos que se
organizan alrededor del valor de posición de las cifras tiene que estar familiarizado con
determinadas técnicas orales de suma. Esto implica que las situaciones aditivas deben
comenzarse antes de enseñar la escritura de números de dos cifras.
Los conocimientos orales previos a dicha enseñanza son los siguientes:
• Contar de uno en uno y de diez en diez.
• Ser capaz de interpretar como cardinales u ordinales las palabras numéricas
correspondientes a los números de dos cifras.
• Saber que si se suma una unidad se obtiene el número siguiente.
• Saber que si se suma una decena se obtiene la decena siguiente.
• Sumar oralmente decenas con unidades.
El aprendizaje de estos conocimientos puede conseguirse mediante situaciones de
recitado, de recuento, de orden y aditivas. Pero además, se necesitan ciertos
conocimientos de escritura. Son los siguientes:
Experiencia de Kamii y Ross. ¿Cuáles son
tus resultados? Explica.
Para reflexionar

14. • Manejar con bastante soltura el lápiz y el papel.
• Leer y escribir las cifras.
• Saber interpretar como cardinales y ordinales las cifras que aparecen en un
mensaje escrito.
Actividades/tareas para la cardinalidad y ordinalidad.
a) Contar el número de elementos de un conjunto. A ver, ¿cuántas fichas tenemos
aquí?, cuéntalas.
b) Construir un conjunto con un número dado de elementos. Vamos a coger 15
fichas. Venga, empieza, colócalas aquí.
c) Dados dos conjuntos, decir cuál de ellos tiene más o menos elementos. Mira, aquí
tenemos fichas negras y aquí fichas rojas. ¿Dónde hay más fichas?
d) Construir un conjunto que tenga el mismo número de elementos que otro dado.
Mira, aquí tenemos fichas rojas. Vamos a poner un número igual de fichas azules.
¿Cómo lo haremos?
e) Decir el ordinal de un elemento. Vamos a hacer una fila de fichas. Ésta es la
primera, ésta la segunda, ¿y ésta?
f) Colocar un elemento de ordinal dado. Mira, en esta fila hay que colocar esta ficha
para que sea la cuarta, ¿cómo lo haremos?
g) Añadir elementos a un conjunto ya contado (con el conjunto inicial tapado o sin
tapar). Aquí hemos contado 17 fichas, ¿verdad? Si añadimos estas otras, ¿Cuántas
tendremos ahora? Aquí hemos contado 17 fichas, ¿verdad? Si añadimos estas 3,
¿cuántas tendremos ahora?
h) Quitar elementos a un conjunto ya contado (con el conjunto inicial tapado o sin
tapar). Aquí hemos contado 17 fichas, ¿verdad? Si quitamos éstas, ¿cuántas
tendremos ahora? Aquí hemos contado 17 fichas, ¿verdad? Si quitamos 3,
¿cuántas tendremos ahora?
i) Adivinar el cardinal de un conjunto sabiendo su cardinal cuando se le añaden o
suprimen elementos. Mira, aquí tenemos unas fichas escondidas. No sabemos
cuántas hay, pero yo sé que si añadimos 3 más, en total hay ocho. ¿Cuántas
fichas hay escondidas?
j) Modificar el ordinal de un elemento añadiendo o quitando elementos anteriores.
Mira, esta ficha está la quinta. Si ponemos delante estas otras dos, ¿ahora cómo
estará? Mira, esta ficha está la quinta. ¿Cuántas fichas se tienen que ir de la cola
para que quede la tercera?
k) Comparar dos conjuntos y decir cuántos elementos más o menos tiene uno que
otro. Dónde hay más fichas, ¿aquí o aquí?, ¿cuántas más?
l) Comparar dos conjuntos diciendo cuántos elementos hay que añadir a uno de
ellos para que se iguale con el otro. Aquí tenemos 12 fichas azules y aquí 15 rojas.
¿Cuántas fichas azules tenemos que añadir para tener tantas como rojas?
m) Construir un conjunto que tenga un número determinado de elementos de más o
de menos que otro ya dado. Aquí tenemos 23 fichas. Vamos a hacer otro montón
que tenga 4 fichas menos que éste.
n) Comparar dos ordinales, diciendo cuántos elementos hay entre los dos. Si sabemos
que esta ficha es la sexta y ésta la novena, ¿cuántas fichas tendremos que poner
entre las dos?

15. o) Hacer torres de 10 elementos a partir de un número dado de elementos. Hemos
contado 25 fichas. ¿Cuántas torres de diez fichas podemos hacer? Vamos a
hacerlas. ¿Cuántas fichas sobran?
p) Realizar acciones de compra-venta de objetos diversos.
q) Contar objetos de dos en dos, de cinco en cinco, de diez en diez, de cien en cien,
de mil en mil. De acuerdo al grado.
r) Recorrer la sucesión numérica escrita saltando de dos en dos, de tres en tres, etc.,
hacia delante y hacia atrás.
s) Reiterar acciones de añadir o quitar. Aquí tenemos 3 fichas. Si añadimos otras 3,
¿cuántas tenemos ahora? ¿Y con 3 más? Si de estas 22 fichas empezamos a quitar
3, y 3, y 3,..., ¿cuántas quedarán al final?
t) Repartir un número dado de objetos entre un número dado de individuos. Vamos
a repartir estas 20 fichas en cuatro montones iguales. ¿Cuántas fichas hay en cada
montón?
u) Repartir un número dado de objetos entre varios individuos de modo que a cada
uno le corresponda un número dado de objetos. Vamos a repartir estas 20 fichas
en grupos de 5. ¿Cuántos grupos podremos hacer?
v) Dado cierto número de individuos, adjudicar a cada uno de ellos un número dado
de objetos. Vamos a hacer 4 montones de 5 fichas cada uno. ¿Cuántas fichas
necesitaremos?
w) Comprar-vender varios objetos de un mismo precio.
x) Construir conjuntos que tengan dos veces, tres veces, etc. más elementos que otro
dado.
y) Formar todas las combinaciones posibles entre varios elementos. Si tengo tres
pantalones y dos camisas, ¿de cuántas maneras distintas me puedo vestir?
z) Medir longitudes, áreas, capacidades, masas con unidades no convencionales.
Materiales para el estudio de la numeración
Las actividades manipulativas con material concreto son esenciales para la comprensión
del valor de posición de las cifras en el sistema de numeración. El uso de materiales
concretos en sus diversas modalidades es una variable de las situaciones. Aquí mostramos
algunos de los materiales más frecuentemente utilizados.

16. En la figura se muestran algunos ejemplos de materiales mediante los cuales se expresa el
número 123. El interés de usar distintos materiales es para que el niño no asocie el valor
posicional con un modelo particular.
Con el uso de materiales concretos diversos no se trata de que los alumnos abstraigan
algo que tuvieran en común dichos modelos, como si los conceptos a construir tuvieran
una naturaleza empírica. El fin esencial será lograr que la comprensión de las reglas del
sistema de numeración posicional decimal sea independiente de los modelos físicos
utilizables.
Referencias:
Aprendizaje fundamental de la matemática
Rutas del aprendizaje en matemática
Juan Godino y Batanero
Delia Lerner
F. Terigi, S. Wolman