Aplicaciones del calculo integral

1. APLICACIONES DEL CÁLCULO
INTEGRAL
Ing. Gerardo Valdés Bermudes

2. RESUMEN DE CONTENIDOS
 Notación Sigma
 Sumas de Riemman
 Cálculo de Áreas
 Integral Definida
 Teorema fundamental del Calculo
 Integral Indefinida
 Formulas de Integración
 Métodos de Integración
 Integración Aproximada

3. NOTACIÓN SIGMA
 Notación Sigma
 Necesidad de generalizar el proceso de sumar
 Sumas de Riemman
 Suma de infinitos rectángulos que forman parte del
área bajo una curva
 Definición de Integral Definida
 Teorema Fundamental del Cálculo

4. INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA
APLICACIONES
 Geométricamente, la expresión
 Representa el área bajo la curva f´(x), entre los
limites x=a y x=b.
 Cuando se sustituyen x e y
por variables relacionadas a
situaciones reales, se tiene
una aplicación real de la
integral definida.

5. INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA
APLICACIONES

6. INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA
APLICACIONES

7. INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA
APLICACIONES

8. INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA
APLICACIONES
En términos generales, cualquier producto entre dos
cantidades que tenga un significado real puede tener
aplicación en el cálculo integral.

9. TEOREMA DEL CAMBIO TOTAL
 Teorema fundamental del cálculo
 es la razón de cambio de y=f(x) con respecto
a x.
 f(b)-f(a) es el cambio en y cuando x cambia de a
hacia b

10. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL.
HIDRODINÁMICA
 Si V(t) es el volumen de agua de un deposito, en el
instante t, entonces su derivada V’(t) es la
proporción a la cual fluye el agua hacia el
deposito en el instante t. Por eso:
 Es el cambio en la cantidad de agua en el deposito
entre los instantes t1 y t2.

11. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL.
QUÍMICA
 Si es la concentración del producto de una
reacción química en el instante t, entonces la
velocidad de reacción es la derivada , en el
instante t. Por eso:
 Es el cambio en la concentración de C, desde
el instante t1 hasta el t2.

12. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL.
FÍSICA
 Si la masa de una varilla, medida desde el extremo
izquierdo hasta un punto x, es m(x), entonces la
densidad lineal es p(x)=m’(x). Por consiguiente,
 Es la masa del segmento de varilla entre x=a
y x=b.

13. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL.
SOCIOLOGÍA
 Si la rapidez de crecimiento de una población es
entonces,
 Es el cambio total en la población durante el
periodo desde t1 hasta t2.
 (La población aumenta cuando ocurren
nacimientos y disminuye cuando se suscitan
muertes)

14. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL.
ECONOMÍA
 Si C(x) es el costo de producir x unidades de un
articulo, entonces el costo marginal es la derivada
C´(x). De esa manera,
 Es el incremento en el costo cuando la producción
aumenta de x1 unidades hasta x2 unidades.

15. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL.
FÍSICA
 Si un objeto se mueve a lo largo de una línea recta
con función de posición s(t), entonces su velocidad
es v(t)=s
 es el cambio de la posición o desplazamiento de la
partícula durante el periodo desde t1 hasta t2.

16. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL.
CONDICIONES
 Si una situación de la vida cotidiana en la que se
relacionen dos variables, puede representarse
como una función, entonces puede ser posible
estudiarla con el enfoque del calculo diferencial e
integral aplicando alguna de las formulas o
métodos que estudiamos en el curso.
 Cuando no se tenga una función para representar
algún fenómeno, pero se tiene información de un
grafico o una tabla, podemos hacer el estudio o
análisis empleando la integración aproximada
(Trapecios o Simpson).

17. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL.
EJEMPLO
 Un corredor especialista en los 100 metros planos,
puede desarrollar una velocidad en función del
tiempo desde su arranque (t=0), de acuerdo con la
siguiente formula:
¿Qué distancia recorrerá en los primeros 10
segundos? ¿y en los primeros 20 segundos?

18. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL.
EJEMPLO
 En los primeros 10 segundos el corredor recorrerá:

19. EJEMPLO PRÁCTICO.
CONSUMO DE ENERGÍA ELÉCTRICA
 En la gráfica se muestra el consumo de energía
eléctrica (potencia) en la ciudad de Culiacán un día de
Agosto (P se mide en Megawatts y t en horas, a partir
de la medianoche). Estime la energía que se utilizó ese
día.

20. EJEMPLO PRÁCTICO.
CONSUMO DE ENERGÍA ELÉCTRICA
 Solución: La potencia es la relación de cambio de
la energía: P(t)=E´(t). Por lo tanto, la cantidad de
energía que se usó ese día es:
 Empleando un método de integración aproximada
(Trapecios o Simpson).
 15840 Megawatts-horas.

21. EJEMPLO PRÁCTICO.
DISTANCIA RECORRIDA
 La velocidad de un automóvil se leyó en su
velocímetro a intervalos de 10 segundos y se
registró en una tabla. Usa un método de
integración aproximada para estimar la distancia
recorrida por el vehículo.

22. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL.
DETERMINACIÓN DE FORMULAS
 En todas las disciplinas donde intervienen
relaciones entre variables que pueden
representarse como ecuaciones o funciones, el
Cálculo es una herramienta importante en la
deducción de nuevas formulas a partir de ciertas
condiciones conocidas.

23. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL.
DETERMINACIÓN DE FORMULAS
 ¿Qué formula nos permite calcular el área de una
elipse?
 Condiciones conocidas:
 Ecuación de la elipse con centro en el origen:

24. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL.
DETERMINACIÓN DE FORMULAS
F22