Ôn tập phương trình vô tỉ trong Toán THCS ôn thi vào lớp 10

GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO
http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126
------------------***-------------------
Đăng ký học Toán lớp 9 chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 | Tel: 0936.128.126 1
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I. PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA
I-KIẾN THỨC:
1/
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
f x
f x g x g x
f x g x


  
 
2/ 2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
g x
f x g x
f x g x

  

3/
( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( )
f x
f x g x h x g x
f x g x f x g x h x
 

   

  
4/ *2 2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0 ( )
( ) ( )
n n
f x
f x g x g x n N
f x g x


   
 
5/ *2
2
( ) 0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
n
n
g x
f x g x n N
f x g x

  

6/ *2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nf x g x f x g x n N    
7/ 2 1 *2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn f x g x f x g x n N    
II-BÀI TẬP
Bài 1: : x 1 x 1   (1)
HD: (1)  2 2
x 1 0 x 1 x 1
x 3x 1 (x 1) x 3x 0
     
   
      
3x 
Bài 2: : 2 3 0x x  
HD:Ta có: 2 3 0x x   2 3x x   3
3
1
0
032
0
32
0
22
























x
x
x
x
xx
x
xx
x
Bài 3: : 4 1 1 2x x x    

------------------***-------------------
HD: Ta có: 4 1 1 2x x x     4 1 2 1x x x     
1 2 0
1 0
4 1 2 1 2 (1 2 )(1 )
x
x
x x x x x
  

  

       
2
1
2
2 1 2 3 1
x
x x x


 
    
2 2
1
2
2 1 0
(2 1) 2 3 1
x
x
x x x



  
    

2
1 1
1 1
2 2
02 2
0
7 0
7
x
x
x
x
x x
x

    
           
Bài 4: : 2
2 3 4 0x x   
HD:ĐK: 2
2 0
2
4 0
x
x
x
 
 
 
(1)
PT  
 
2 3 ( 2)( 2) 0
2. 1 3 2 0
22 0
(2)17
1 3 2 0
9
x x x
x x
xx
xx
     
    
  
      
 
Kế ợ (1) và (2) a đ ợc:x = 2
Bài 5. : 3 3x x x  
HD:Đk: 0 3x  k đó đ c o đ : 3 2
3 3 0x x x   
3 3
1 10 10 1
3 3 3 3
x x
 
     
 
Bài 6. sau : 2
2 3 9 4x x x   
HD:Đk: 3x   đ :
 
2
2
1
3 1 3
1 3 9 5 97
3 1 3
18
x
x x
x x
xx x
               
Bài 7. sau :    
22 332 3 9 2 2 3 3 2x x x x x    
HD: pt  
3
3 3
2 3 0 1x x x     
Bài 8. và u : 2
x 4 x m  

------------------***-------------------
HD: Ta có: 2
x 4 x m    2 2 2 2
x m x m
x 4 x 4xm m 2mx (m 4) 0
  
 
       
– Nếu = : v
– Nếu :
2
m 4
x
2m

 Đ u k đ có : x 
2
m 4
2m

Nếu : 2
4 2 2
 m2
≤ 4  0 m 2 
Nếu : 2
4 ≤ 2 2
 m2
4  ≤ –2
Tó :– Nếu ≤ –2 o c ≤ 2: có
2
m 4
x
2m


– Nếu –2 ≤ o c 2: v
Bài 9. và u vớ à a số: mxx  32
Bài 10. và u o a số : x x m m  
HD: Đ u k : x
– Nếu : v
– Nếu = : à x( x 1) 0   có a : x1 = 0, x2 = 1
– Nếu : đ c o đ vớ
( x m)( x m 1) 0   
x m 0
x 1 m
  
 
 
Nếu ≤ 1: có a : x1 = m; x2 = 2
(1 m)
Nếu 1: có : x =
III-Bài tập áp dụng:
Bài 1:Gi các sau:
1/ 1 13x x   2/ 3 34 3 3 1x x    3/ 2 5 3 5 2x x   
4/ 2
1 4 1x x x    5/ x 3 5 x 2    6/ x 1 x 7 12 x    
7/ x x 1 x 4 x 9 0       8/ 2 5 0x    9/ 3 = 2
6x x
10/
1
5 1 2 0
2
x    11/
19
3 2 3
6
x   12/
2
8 5 2 0
3
x  
13/ 16 17 8 23x x   14/ 3 1 2 3x x    15/20 3 2 2 3x x   
Bài 2: :
a) 2
1 1x x   b) 2 3 0x x   c) 2
1 1x x  
d) 3 6 3x x    e) 3 2 1 3x x    f) 3 2 1x x   
g) 9 5 2 4x x    h) 3 4 2 1 3x x x     i) 4 3 2x x  

------------------***-------------------
Bài 3: T đ sau có : 2 2
3 2 2x x m x x     
Bài 4: C o : 2
1x x m  
a) k = 1
b) T đ có
Bài 5: Cho : 2
2 3x mx x m   
a) k =3
b) Vớ á ị ào của có
Bài 6: các sau:
a/ 7 3 9 0x x    d/
1 9
1 1 3 1 17
2 2
x x x       g/
2 6
4 7
x x
x x
 

 
b/ 2 1 1x   e/
5 3
3 9 27 4 12 1
3 2
x x x       h/ 5 5 1 0x x   
c/ 3 7 4 0x x   f) 2 2
( 3) 10 12x x x x     i/ 5 7 12 0x x   
II. PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI
I-KIẾN THỨC:
Sử dụ ằ đẳ ức sau: 2 ( ) ( ) ( ( ) 0)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ( ) 0)
f x g x f x
f x g x f x g x
f x g x f x
 
    
  
II-BÀI TẬP:
Bài 1: : 2
x 4x 4 x 8    (1)
HD: (1)  2
(x 2) 8 x    |x – 2| = 8 – x
– Nếu x 2: (1)  2 – x = – x (v )
– Nếu x  2 : (1)  x – 2 = 8 – x  x = 5 ( o ) V y: x = 5
Bài 2: : x 2 2 x 1 x 10 6 x 1 2 x 2 2 x 1           (2)
HD: (2) 
x 1 0
x 1 2 x 1 1 x 1 2.3 x 1 9 2 x 1 2 x 1 1
 

             

x 1
x 1 1 | x 1 3| 2.| x 1 1|
 

       
(*)
Đ y = x 1 (y )  (*) đ c o à : y 1 | y 3| 2| y 1|    
– Nếu ≤ y 1: y 1 3 – y = 2 – 2y  y = –1 ( o )
– Nếu 1 ≤ y ≤ 3: y 1 3 – y = 2y – 2  y = 3
– Nếu y 3: y 1 y – 3 = 2y – 2 (v )
Vớ y = 3  x + 1 = 9  x = 8 (tho ) V y: x =

------------------***-------------------
Bài 3: : 2 2 5 2 3 2 5 7 2x x x x       
HD:ĐK:
5
2
x 
PT 2 5 2 2 5 1 2 5 6 2 5 9 14x x x x          
2 5 1 2 5 3 14x x       2 5 5x   15x  (T o ) V y:x = 15
Bài 4: : 2 1 2 1 2x x x x     
HD:ĐK: 1x 
Pt 1 2 1 1 1 2 1 1 2x x x x           1 1 1 1 2x x      
Nếu 2x  pt 1 1 1 1 2x x       2x  (Lo )
Nếu 2x  pt 1 1 1 1 2x x       0 0x  (Lu đú vớ x )
V y của à:  |1 2S x R x   
III-Bài tập áp dụng:
các sau:
1/ 2
2 1 5x x   2/ 4 4 3x x  
3/ 2
6 9 2 1x x x    4/ 4 4 5 2x x x   
5/ 2 2
2 1 4 4 4x x x x      6/ 2 1 4 4 10x x x x     
7/ 2 2 2
6 9 2 8 8 2 1x x x x x x        8/ 2 2
4 4 6 9 1x x x x     
9/ 2 1 2 1 2x x x x      10/ 3 2 4 4 4 1x x x x      
11/ 6 2 2 11 6 2 1x x x x        12/ 2 2 5 2 3 2 5 7 2x x x x       
13/ 2 2
2 2 1 5 0x x x x      14/ 45224252642  xxxx
15/ 2
4 4 2 10x x x    16/ 2
2 1 2 8x x x   
17/
1 1
2
2 4
x x x    
18/
05261
4
1 2
 xx
19/
3
2 1 2 1
2
x
x x x x

      20/ 2
4 4 2x x x   
21/ ( 1) 4 4 1 1 6 1 9 1x x x x          22/ 8 6 1 4x x   
III. PHƯƠNG PHÁP 3: ĐẶT ẨN PHỤ
1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường

------------------***-------------------
 Đố vớ u v v ỉ , đ c ú a có đ  t f x và c ú ý đ u
k của t ếu a đầu à c ứa ế t qua ọ
a có đ ợc đó o t v c đ ụ x “ oà oà ”
Bài 1. : 2 2
1 1 2x x x x     
HD:Điều kiện: 1x 
N xé 2 2
1. 1 1x x x x    
Đ 2
1t x x   có d :
1
2 1t t
t
    . Thay vào đ ợc 1x 
Bài 2. : 2
2 6 1 4 5x x x   
HD:Đ u k :
4
5
x  
Đ 4 5( 0)t x t   thì
2
5
4
t
x

 T ay vào a có sau:
4 2
2 4 210 25 6
2. ( 5) 1 22 8 27 0
16 4
t t
t t t t t
 
        
2 2
( 2 7)( 2 11) 0t t t t     
Ta đ ợc ố à: 1,2 3,41 2 2; 1 2 3t t    
Do 0t  ê c ỉ các á ị 1 31 2 2, 1 2 3t t    
Từ đó đ ợc các của ình l: 1 2 2 3vaøx x   
Cách khác: Ta có a vế của vớ đ u k 2
2 6 1 0x x  
Ta đ ợc: 2 2 2
( 3) ( 1) 0x x x    , ừ đó a đ ợc ứ
Đ ấ à a đ : 2 3 4 5y x   và đ a v đố xứ (Xem phần đặt ẩn phụ đưa về hệ)
Bài 3. sau: 5 1 6x x   
HD:Đ u k : 1 6x 
Đ 1( 0)y x y   à : 2 4 2
5 5 10 20 0y y y y y        (
vớ 5)y  2 2
( 4)( 5) 0y y y y     
1 21 1 17
,
2 2
(loaïi)y y
  
  
Từ đó a đ ợc các á ị của
11 17
2
x


Bài 4. sau :   
2
2004 1 1x x x   

------------------***-------------------
HD: ĐK: 0 1x 
Đ 1y x  ành:    2 2
2 1 1002 0 1 0y y y y x       
Bài 5. sau : 2 1
2 3 1x x x x
x
   
HD:Đ u k : 1 0x  
C a c a vế c o x a đ ợc:
1 1
2 3x x
x x
    . Đ
1
t x
x
  , a đ ợc
Bài 6. : 2 4 23
2 1x x x x   
HD: 0x  k à , C a c a vế c o x a đ ợc: 3
1 1
2x x
x x
 
    
 
Đ = 3
1
x
x
 , Ta có : 3
2 0t t   
1 5
1
2
t x

  
Bài 7. : 2 2
3 21 18 2 7 7 2x x x x     
HD:Đ y = 2
7 7x x  ; 0y 
P có d : 3y2
+ 2y - 5 = 0
5
3
1
y
y




1y 
Vớ y = 1 2
7 7 1x x   
1
6
x
x
 
   
Là của đ c o
Nhận xét : Đố vớ các đ ẩ ụ ê c ú a c ỉ quyế đ ợc ớ à đ
, đ k đố vớ t quá k ó
2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :
 C ú a đ ế các : 2 2
0u uv v    (1) ằ các
Xét 0v  à :
2
0
u u
v v
 
   
     
   
0v  ử ực ế
Các ờ ợ sau cũ đ a v đ ợc (1)
        . .a A x bB x c A x B x 
 2 2
u v mu nv   
C ú a y ay các u ức A(x) , B(x) các u ức v ỉ sẽ đ ợc
v ỉ o d ày
a) . Phương trình dạng :        . . .a A x b B x c A x B x 

------------------***-------------------
N v y nh    Q x P x có ằ á ê ếu:
     
     
.P x A x B x
Q x aA x bB x
 

 
Xuấ á ừ đẳ ức :
  3 2
1 1 1x x x x    
    4 2 4 2 2 2 2
1 2 1 1 1x x x x x x x x x          
  4 2 2
1 2 1 2 1x x x x x     
  4 2 2
4 1 2 2 1 2 2 1x x x x x     
H y o a ữ v ỉ d ê ví dụ : 2 4
4 2 2 4 1x x x   
Đ có đẹ , c ú a c ọ số a, ,c sao c o c a
2
0at bt c   “ đẹ ”
Bài 1. :  2 3
2 2 5 1x x  
HD: Đ 2 3
1 ( 0) ; 1 ( )
2
u x u v x x v      
à :  2 2
2
2 5 1
2
u v
u v uv
u v

  
 

T đ ợc:
5 37
2
x


Bài 2. : 2 4 23
3 1 1
3
x x x x      (*)
HD:Dễ ấy:     4 2 4 2 2 2 2
1 2 1 1 1x x x x x x x x x          
Ta v ế       2 2 2 2
1 1 3 1 1x x x x x x x x           
Đồ ấ vế á vớ (*) a đ ợc :
      2 2 2 2
3 1 6 1 3 1 1x x x x x x x x           
Đ : 2 23 3
1 ; 1
4 4
u x x u v x x v
   
          
   
à :-3u+6v=- 3. uv 3u v  Từ đây a sẽ đ ợc x
Bài 3: sau : 2 3
2 5 1 7 1x x x    (*)
HD:Đk: 1x 

------------------***-------------------
N xé : Ta v ế       2 2
1 1 7 1 1x x x x x x        
Đồ ấ vế á vớ (*) a đ ợc :       2
3 1 2 1 7 1 1x x x x x x       
Đ 2
1 0, 1 0u x v x x       , a đ ợc:
9
3 2 7 1
4
v u
u v uv
v u

  
 

Ta đ ợc : 4 6x  
Bài 4. :  
33 2
3 2 2 6 0x x x x    
HD:N xé : Đ 2y x  a ế ê v pt uầ ấ c 3 đố vớ x và y :
3 2 3 3 2 3
3 2 6 0 3 2 0
2
x y
x x y x x xy y
x y

           
.P có : 2, 2 2 3x x  
Bài 5: :  3 2
10 1 3 2x x  
HD:ĐK: 1x  
Pt 2 2
10 1. 1 3( 2)x x x x      . Đ
2
1
( , 0)
1
u x
u v
v x x
  

  
P à :1 uv = 3(u2
+v2
)    3 3 0u v u v  
3
3
u v
v u

  
Nếu u = 3v 2 2
1 3 1 9 10 8 0x x x x x         (v )
Nếu v = 3u 2 2 5 33
1 3 1 10 8 0
5 33
x
x x x x x
x
  
          
 
à
b).Phương trình dạng : 2 2
u v mu nv   
P c o d ày ờ k ó “ á “ d ê , ếu a
a vế đ a v đ ợc d ê
Bài 1. : 2 2 4 2
3 1 1x x x x    
HD:Ta đ :  
2
2
, 0;
1
u x
u v u v
v x
 
 
 
k đó à : 2 2
3u v u v  
hay: 2(u + v) - (u - v)=   u v u v 
Bài 2. sau : 2 2
2 2 1 3 4 1x x x x x     

------------------***-------------------
HD:Đk
1
2
x  B 2 vế a có :
         2 2 2 2
2 2 1 1 2 2 1 2 2 1x x x x x x x x x x          
Ta có đ :
2
2
2 1
u x x
v x
  

 
k đó a có :
1 5
2
1 5
2
u v
uv u v
u v
 

  
 


Do , 0u v  .  21 5 1 5
2 2 1
2 2
u v x x x
 
    
Bài 3. : 2 2
5 14 9 20 5 1x x x x x      
HD:Đk 5x  C uy vế a đ ợc:   2 2
2 5 2 5 20 1x x x x x     
Nhận xét : K ồ số ,  đ :    2 2
2 5 2 20 1x x x x x       
v y a k đ :
2
20
1
u x x
v x
   

 
.
N ay ắ a có :          2 2
20 1 4 5 1 4 4 5x x x x x x x x x          
Ta v ế :    2 2
2 4 5 3 4 5 ( 4 5)( 4)x x x x x x        Đế đây à oá
đ ợc quyế
3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
 Từ ữ íc   1 1 1 2 0x x x      ,
  2 3 2 3 2 0x x x x     
K a và ú ọ a sẽ đ ợc ữ v ỉ k ầ ờ c ú ào, đ
k ó của d ày ụ u c vào íc à a xuấ á
Từ đó c ú a ớ đ các d ày P á đ ợc
qua các ví dụ sau
Bài 1. :  2 2 2
3 2 1 2 2x x x x     
HD:Đ 2
2t x  ; 2t  , ta có :  2 3
2 3 3 0
1
t
t x t x
t x

        
Bài 2 :   2 2
1 2 3 1x x x x    
HD:Đ : 2
2 3, 2t x x t   

------------------***-------------------
K đó :   2
1 1x t x    2
1 1 0x x t    
Bây ờ a ê ớ , đ đ ợc c 2 o có  c ẵ :
       2 2 2
2 3 1 2 1 0 1 2 1 0
1
t
x x x t x t x t x
t x

                
Bài 3: :  2 2
3 1 3 1x x x x    
HD:Đ 2
1; 1t x t  
P à : 2
- (x + 3)t + 3x = 0  (t - x)(t - 3) = 0
3
t x
t

  
Nếu = x 2
1x x   (Vô lý) -Nếu = 3 2
1 3 2 2x x     
V y: 2 2x  
4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích
 Xuấ á ừ số “đ số “ đẹ c ú a có o a đ ợc ữ v
ỉ à k ó c ú a đ u ẩ ụ và ố qua ữa các ẩ ụ đ đ a
v
Xuấ á ừ đẳ ức      
3 3 3 3
3a b c a b c a b b c c a         , Ta có
     
33 3 3
0a b c a b c a b a c b c         
Từ xé ày a có o a ữ v ỉ có c ứa că c a
2 23 33
7 1 8 8 1 2x x x x x       
3 3 3 3
3 1 5 2 9 4 3 0x x x x       
Bài 1. ng trình : 2 . 3 3 . 5 5 . 2x x x x x x x        
HD:ĐK: 2x 
Đ
2 ; 0
3 ; 1
5 ; 3
u x u
v x v
w x w
   

  

  
, ta có :
  
  
  
2
2
2
22
3 3
5 5
u v u wu uv vw wu
v uv vw wu u v v w
w uv vw wu v w u w
       

        
        
, a
đ ợc:
30 239
60 120
u x  
Bài 2. sau : 2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x         

------------------***-------------------
HD:Ta đ :
2
2
2
2
2 1
3 2
2 2 3
2
a x
b x x
c x x
d x x
  

   

  

  
, k đó a có : 2 2 2 2
2
a b c d
x
a b c d
  
  
  
Bài 3. các sau : 2 2
4 5 1 2 1 9 3x x x x x      
HD:Đ  
2
2
4 5 1
; 0
1
a x x
a b
b x x
   

  
Ta đ ợc :
2 2
4 9 3
2 9 3
a b x
a b x
   

  
Từ đó a có: a2
- 4b2
= a - 2b  (a - 2b)(a + 2b - 1) = 0
2
1 2
a b
a b

   
Nếu a = 2 2 2 1
4 5 1 2 1
3
x x x x x        ( o )
Nếu a = 1 - 2b 2 2
4 5 1 1 2 1x x x x       (*)
Ta có : VT(*) 0 (1)
VP(*) =
2
2 1 3
1 2 1 1 2 1 3 0
2 4
x x x
 
          
 
(2)
Từ (1) và (2) suy a (*) v
V y đ c o có duy ấ
1
3
x 
Bài tập áp dụng: pt:      
3 3 244 44 1 1 1 1x x x x x x x x        
5. Đặt ẩn phụ đưa về hệ:
5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường
 Đ    ,u x v x   và ố qua ữa  x và  x ừ đó đ ợc o
u,v
Bài 1. :  3 33 3
35 35 30x x x x   
HD:Đ 3 3 3 3
35 35y x x y    
K đó c uy v g trình sau: 3 3
( ) 30
35
xy x y
x y
 

 
, ày a
đ ợc ( ; ) (2;3) (3;2)x y   Tức à của à {2;3}x

------------------***-------------------
Bài 2. : 4
4
1
2 1
2
x x   
HD:Đ u k : 0 2 1x  
Đ 4
4
2 1
0 2 1,0 2 1
x u
u v
x v
   
      

Ta đ a v sau:
4
4
2
2 4 4
4
1
1
2
2
1
2 1 2 1
2
u v
u v
u v v v

    
 
           
pt ứ 2:
2
2 2
4
1
( 1) 0
2
v v
 
    
 
, ừ đó a v ồ ay vào của pt.
Bài 3. sau: 5 1 6x x   
HD:Đ u k : 1x 
Đ 1, 5 1( 0, 5)a x b x a b       a đ a v sau:
2
2
5
( )( 1) 0 1 0 1
5
a b
a b a b a b a b
b a
  
           
 
V y
11 17
1 1 5 1 1 5
2
x x x x x

          
Bài 4. :
6 2 6 2 8
35 5
x x
x x
 
 
 
HD:Đ u k : 5 5x  
Đ  5 , 5 0 , 10u x v y u v      .
K đó a đ ợc :
22 2 ( ) 10 210
2 44 4 8
( ) 12( )
33
u v uvu v
u vu v
uvu v
    
 
   
         
  
Bài 5. : 877629 44
 xx
HD:ĐK: 77 629x  
Đ
4
4
629
( ; 0)
77
u x
u v
v x
  

 

------------------***-------------------
706,8 44
 vuvu
Đ t = uv







113
15
016951282
t
t
tt
Vớ = 15  x = 4
Vớ = 113  x = 548
Bài 6. : 3 2 3 2
1 2 3x x x x      (1)
HD:Vớ đ u k : 3 2 3 2
1 0 2 0x x x x      
Đ
3 2
3 2
1
2
u x x
v x x
   

  
Vớ v u
P (1) à u v = 3
Ta có h ph ng trình
2 2
3 2
3 2
3 2
3 2
3
3
3 3 1
( )( ) 3 1 2
1 1
2 2
1 1
2 4
u v
v u
u v u v u
v u v u v u v
x x
x x
x x
x x
 

 
      
    
      
   
 
  
   
 
  
3 2
2
2
2 0
( 1)( 2 2) 0
1 ( 2 2 0 )
x x
x x x
x do x x x
   
    
     
V y ph ng trình đ cho có t p nghi m là S = {1}
Bài 7. :
2
2
3
2
1 





 xx
HD: Đi u ki n:
2
1 11 0
0 1
00
xx
x
xx
     
    
 
(*)
Vớ đi u ki n (*),đ xu  ; xv 
3
2
, vớ u ,
3
2
v

------------------***-------------------
Ta có:












2
2
42
3
2
11
vx
ux
Do dó a có
   
4 44 2
22 22 2 2 2 2 2
2
2 22 2
2 2
3 3
11
22
33
2 . 1 2 . 2 1
2 2
3 3
16 654
2 . . 02 . 2 . 1
9 819
2
3
8 194
.
18
u v u v
u vu v
u vu v
u v u v u v u v u v
u v u v
u v u vu v u v
u v
u v
u v
     
 
     
 
   
  
        
  
      
  
           

 

 


 
2
5
8 194
.
18
u v








  
 u và v là nghi m của ph ng trình












)(0
18
1948
3
2
)(0
18
1948
3
2
2
2
byy
ayy
 (b) vô nghi
 (a) có 2 nghi
3
3
2
97
1
;
2
3
2
97
1
21



 yy

------------------***-------------------
Do đó:











12
22
21
11
yv
yu
yv
yu
V u ên ta chọ
3
3
2
97
1
2

 yu
3
3
2
97
1 
 x
2
3
3
2
97
1















 x
V y ph ng trình đ cho có nghi m duy nhấ
2
3
2
97
1
9
1








x
Bài 8. : 4564518 44
 xx
HD:Vớ đi u ki n

















5
64
5
18
5
64
5
18
0564
0518
x
x
x
x
x
(*)
Đ 44
564,518 xvxu  , vớ u , v
Suy ra





xv
xu
564
518
4
4
Ph ng trình đ cho t ng đ ng vớ h :
 

















0,0
82)(2
4
0,0
82
4
222244
vv
uvvu
vu
vv
vu
vu
Đ A = u + v và P = u.v, ta có:
 


























0
293
4
0
08732
4
0,0
8222
4
2
222
P
PP
S
P
Pp
S
SP
PPS
S
(1) Vớ S = 4, P = 3
u và v là nghi m của ph ng trình:

------------------***-------------------
2 1
4 3 0
3
y
y y
y

     
Do đó a có:











1
3
3
1
v
u
v
u
Suy ra
4 4
4 4
18 5 1 18 5 3
64 5 3 64 5 1
x x
x x
     
 
     
18 5 1 18 5 81
64 5 81 64 5 1
x x
x x
    
  
    
5
63
5
17
 xx o mãn (*)
(2) Vớ S = 4, P = 29  không tồ t u và v
V y ph ng trình đ cho có 2 nghi m là:
1
2
17
5
63
5
x
x

 

 

5.2 Giải phương trình vô tỉ bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II
 Ta y đ uồ ốc của ữ à oá ằ các đ a v đố
xứ o II
 Ta xé đố xứ o II sau :
 
 
2
2
1 2 (1)
1 2 (2)
x y
y x
   

  
v c ày
đ
Bây ờ a sẽ ế à ằ các đ  y f x sao c o (2) u đú ,
2 1y x   , k đó a có :  
2 2
1 ( 2 1) 1 2 2x x x x x        
V y đ : 2
2 2x x x   a đ ê và đ a v
Bằ các ự xé ổ quá d c 2 :
 
 
2
2
x ay b
y ax b
 
 
   

  
, a sẽ xây dự đ ợc
d sau : đ y ax b    , k đó a có :
 
2 a
x ax b b

 
 
    
T ự c o c cao :  
n na
x ax b b

 
 
    

------------------***-------------------
Tó ờ c o d ớ d k a a v ế v d :
  ' '
n n
x p a x b      đ n
y ax b    đ đ a v , c ú ý v dấu của  ???
V c c ọ ;  ờ c ú a c ỉ cầ v ế d ớ d :  ' '
n n
x p a x b     
à c ọ đ ợc
Bài 1: : 2
2 2 2 1x x x  
HD:Đ u k :
1
2
x 
Ta có đ ợc v ế à: 2
( 1) 1 2 2 1x x   
Đ 1 2 1y x   a đ a v sau:
2
2
2 2( 1)
2 2( 1)
x x y
y y x
   

  
T ừ a vế của a đ ợc ( )( ) 0x y x y  
a a đ ợc của à: 2 2x  
Cách 2: Đ 2 1x t a  
2 2
2 1 2x t at a    
C ọ a = -1 a đ ợc: 2
- 2t = 2x - 2
kế ợ vớ đầu à a có :
2
2
2 2 2
2 2 2
x x t
t t x
   

  
ày a sẽ đ ợc x
Bài 2. : 2
2 6 1 4 5x x x   
HD:Đ u k
5
4
x  
Ta ế đổ sau: 2 2
4 12 2 2 4 5 (2 3) 2 4 5 11x x x x x        
Đ 2 3 4 5y x   a đ ợc sau:
2
2
(2 3) 4 5
( )( 1) 0
(2 3) 4 5
x y
x y x y
y x
   
    
  
Vớ 2 3 4 5 2 3x y x x x       
Vớ 1 0 1 2 1 4 5x y y x x x           (v )
Kế u : N của à 2 3x  
Bài 3: : 2
5 5x x  
HD:ĐK: 5x  
Pt 2
5 5 ; 5x x x     (*)
Đ 2 2
5 5 2x t a x t at a       
C ọ a = a đ ợc: 2
- 5 = x và kế ợ vớ (*) a đ ợc :

------------------***-------------------
2
2
5
5
x t
t x
  

 
ừ đây a sẽ đ ợc
Bài 4: : 7x2
+ 7x =
4 9
( 0)
28
x
x

 .
HD:Đ
4 9
28
x
t a

  2 24 9
2
28
x
t at a

   
C ọ
1
2
a  a đ ợc: 2 24 9 1 1
7 7
28 4 2
x
t t t t x

      
Kế ợ vớ đầu à a đ ợc :
2
2
1
7 7
2
1
7 7
2
x x t
t t x

  

   

ê a đ ợc
Bài tập áp dụng:
: 2
2 2 1 4 1x x x   
IV. PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
I-KIẾN THỨC:
1.Bất đẳng thức Bunhiakôpxki:
C o a số : ( a , ), (x , y) a có: (ax + by)2 2 2 2 2
( )( )a b x y  
Dấu ‘‘=’’ x y a
a b
x y
 
2.Bất đẳng thức côsi:
a) Vớ a số a,  0 thì ta có:
2
a b
ab


Dấu ‘‘=’’ x y a a b 
b) Vớ a số a, b, c  0 thì ta có: 3
3
a b c
abc
 

Dấu ‘‘=’’ x y a a b  = c
c) Vớ ố số a, b, c, d  0 thì ta có: 4
4
a b c d
abcd
  

Dấu ‘‘=’’ x y a a b  = c = d
) Vớ số a1, a2,…, an  0 thì ta có: 1 2
1 2
...
. ....n n
n
a a a
a a a
n
  

Dấu ‘‘=’’ x y a 1 2 ... na a a   
3.GTLN,GTNN của biểu thức:
a/ A = m + f2
(x)  m b/ A = M - g2
(x)  M

------------------***-------------------
A m
MinA m
 
 
Dấu ''='' x y a  f(x) = 0
ax
A M
M A M
 
 
Dấu ''='' x y a  g(x) = 0
4. Dùng hằng đẳng thức :
Từ ữ đá á : 2 2
0A B  , a xây dự d 2 2
0A B 
Từ    
2 2
5 1 2 9 5 2 1 0x x x x       
a k a a có :  2
4 12 1 4 5 1 9 5x x x x x      
5. Dùng bất đẳng thức
M số đ ợc o a ừ dấu ằ của ấ đẳ ức:
(1)
(2)
A m
B m



ếu dấu ằ (1) và (2) cù đ đ ợc 0x thì 0x à của A B
Ta có : 1 1 2x x    Dấu ằ k và c ỉ k 0x  và
1
1 2
1
x
x
  

, dấu ằ
k và c ỉ k x = V y a có :
1
1 2008 1 2008 1
1
x x x
x
     

Đ k số đ ợc o a ừ ý :
 
( )
A f x
B f x
 


k đó :
 
 
A f x
A B
B f x
 
  

 Nếu a đoá ớc đ ợc v c dù ấ đẳ ức dễ dà , có
u à à v ỉ v c đoá k đ ợc, a vẫ dù ấ đẳ ức đ đá
g á đ ợc
II-BÀI TẬP:
Bài 1. :
2 2
9
1
x x
x
  

HD:Đk: 0x 
Ta có :  
2 2
22 2 1
2 2 1 9
11 1
x
x x x
xx x
                         

------------------***-------------------
Dấu ằ
2 2 1 1
71 1
x
x x
   
 
Bài 2. : 2 4 2 4
13 9 16x x x x   
HD:Đk: 1 1x  
B ế đổ a có :  
2
2 2 2
13 1 9 1 256x x x   
Á dụ ấ đẳ ức Bu aco xk :
      
2
2 2 2 2 2
13. 13. 1 3. 3. 3 1 13 27 13 13 3 3 40 16 10x x x x x         
Á dụ ấ đẳ ức C s :  
2
2 2 16
10 16 10 64
2
x x
 
   
 
Dấu ằ
2
2
2 2
2
1
51
3
2
10 16 10
5
xx
x
xx x

   
 
    
Bài 3. : 3` 2 4
3 8 40 8 4 4 0x x x x     
HD:Ta c ứ : 4
8 4 4 13x x   và    
23 2
3 8 40 0 3 3 13x x x x x x        
Bài 4: : 2
7 5 12 38x x x x     
HD:Ta có :VT2
=( 7 5x x   )2
 (1 + 1).(7- x + x - 5) = 4
Nên : 0 < VT  2
M k ác:VP = x2
- 12x + 38 =2 + (x - 6)2
 2
T o ế dấu ''='' x y a k và c ỉ k :x = 6
V y x = 6 à duy ấ của đ c o
Bài 5: : 2
3 2 1 2x x x     
HD:ĐK:  1;2 (1)x
PT 2
3 2 2 1 (2)x x x      
Từ (2) a có:
2 1 0
1 2
1 2
1 (3)
x
x
x
x
  
  
  
 
Từ (1) và (3) Ta có x = 1 ế vào (2) o V y :x = 1

------------------***-------------------
Bài 6: :
x 4x 1
2
x4x 1

 

HD: Đ u k
1
x
4

Á dụ ấ đẳ ức c s a có:
x 4x 1 x 4x 1
2 2
x x4x 1 4x 1
 
   
 
.
T o ế dấu ằ x y a k và c ỉ k :
x 4x 1
x4x 1



2
2
x 4x 1 0
(x 2) 3
x 2 3
   
  
  
Dấu “=” x y a  2
x 4x 1 x 4x 1 0     
 2 2
x 4x 4 3 0 (x 2) 3 x 2 3 x 2 3              (T o )
V y : 2 3x  
Bài 7: : x 1 5x 1 3x 2    
HD: Các 1 đ u k x 1
Vớ x 1 : Vế á : x 1 5x 1    vế á u â
Vế : 3x 2 1  vế u d
V y: đ c o v
Các 2 Vớ x 1, a có:
x 1 5x 1 3x 2    
 x 1 8x 3 2 (5x 1)(3x 2)     
 2 7x 2 (5x 1)(3x 2)   
Vế á u à số â vớ x 1, vế d vớ x 1  v
Bài 8: : 2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x        (1)
HD: Ta có (1)  2 2 24 9
3 x 2x 1 5 x 2x 1 (x 2x 1) 5
3 5
   
              
   
 2 2 2
3(x 1) 4 5(x 1) 9 5 (x 1)       
Ta có: Vế á 4 9 2 3 5    Dấu “=” x y a  x = –1
Vế ≤ 5 Dấu “=” x y a  x = –1
V y: đ c o có x = –1

------------------***-------------------
Bài 9: : 2x 7
8 2x 2x 1
x 1

   

HD: đ u k x
1
2
Dễ ấy x = 2 à của
– Nếu
1
x 2
2
  : VT =
6
1 8 8 3
x 1
   

. Mà: VP > 8 3
– Nếu x > 2: VP = 2x2
+ 2x 1 > 2.22
+ 3 = 8 3 . VT < 8 3
x 2 x 1 2 1
6 6
1 1 3
x 1 2 1
    
   
 
V y: đ c o có duy ấ à x = 2
Bài 10: :
6 8
6
3 x 2 x
 
 
HD: ĐK: x 2 Bằ các ử, a ấy x =
3
2
à của Ta cầ c ứ
đó à duy ấ T v y:Vớ x
3
2
:
6
2
3 x


và
8
4
2 x



6 8
6
3 x 2 x
 
 
.
T ng tự vớ
3
2
< x < 2:
6 8
6
3 x 2 x
 
 
Bài 11:T uyê d của :
 
1 1 1 1 4 4
1.2 2.3 3.4 . 1 4 5
x
x x x
 
     
  
HD:ĐK: 4x  (1)
Ta có:
1 1
1 1
1 4 5x x
  
  
4 4x x    (*)
Ta có: VP(*) = 4 0 4x x    (2)
Từ (1) và (2) a có:x = 4 à duy ấ
III-BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: các sau :

------------------***-------------------
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
x x
x x
x x
 
    
 
2
2
1 1
2 2 4x x
x x
 
      
 
4 4 4
2 8 4 4 4 4x x x     4 33
16 5 6 4x x x  
3` 2 4
3 8 40 8 4 4 0x x x x      3 3 4 2
8 64 8 28x x x x     
4 4 4
1 1 2 8x x x x       2
3 5 8 18x x x x     
Bài 2: các sau :
1/ 2
x - 2 + 6- x = x - 8x + 24 2/ 2
4 6 10 27x x x x     
3/ 2
6 2 6 13x x x x      4/ 1 4 3x x   
5/ 2
2 3 5 2 3 12 14x x x x      6/ 2
2 10 12 40x x x x     
V. PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Sử dụ các í c ấ của à số đ à d oá k á qu u c
Ta có 3 ớ á dụ sau đây:
Hướng 1: T ực o các ớc:
Bước 1: C uy v d : ( )f x k
Bước 2: Xé à số ( )y f x
Bước 3: N xé :
 Vớ 0 0( ) ( )x x f x f x k    do đó 0x à
 Vớ 0 0( ) ( )x x f x f x k    do đó v
 Vớ 0 0( ) ( )x x f x f x k    do đó v
 V y 0x à duy ấ của
Hướng 2: T ực o các ớc
Bước 1: C uy v d : ( ) ( )f x g x
Bước 2: Dùng u k ẳ đị ằ ( )f x và (x) có ữ í c ấ á ợc au và
xác đị 0x sao cho 0 0( ) ( )f x g x
Bước 3: V y 0x à duy ấ của
Hướng 3: T ực o các ớc:
Bước 1: C uy v d ( ) ( )f u f v
Bước 2: Xé à số ( )y f x , dù u k ẳ đị à số đ đ u
Bước 3: K đó ( ) ( )f u f v u v  
Ví dụ: :     2 2
2 1 2 4 4 4 3 2 9 3 0x x x x x       

------------------***-------------------
HD:pt              
2 2
2 1 2 2 1 3 3 2 3 3 2 1 3x x x x f x f x             
Xé à số    2
2 3f t t t   , à à đồ ế ê R, a có
1
5
x  
Ví Dụ 2: : 3 3 3
6 2 3 0x x x     
HD: ấy x = -2 à của ng trình
Đ   3 3 3
6 2 3f x x x x     
Vớ    1 2 1 2x x f x f x   v y à số f(x) đồ ế ê R
V y x = -2 à duy ấ của
Bài tập áp dụng:
:
a) 2
4 1 4 1 1x x    c) 2
1 3x x x    e) 1 2 3x x   
b) 3
1 4 5x x x     d) 2 3
1 2 2x x x x    f) 2
2 1 3 4x x x    
VI. PHƯƠNG PHÁP 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC
M số v ỉ a có ẩ đ ợc 0x v y u đ a
v đ ợc d íc    0 0x x A x  a có   0A x  o c c ứ
  0A x  v , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía
  0A x  vô nghiệm
Bà 1: :     2
2 1 2x x x x x    (1)
HD: C1: ĐK 2; 1x x  
 
   
   
 
2 2
2
1 2
1 2
3
2 2
1 2
x x x x
x
x x x x
x
x
x x x x
  
 
  

 
  
Nếu x  1 ta có
   
   
   
3
1 2 32 2 1 2 3
2
1 2 2
x x x x
x x x
x x x x x

    
   
    
G (3) a đ ợc x

------------------***-------------------
Nếu x -2 ta có
   
   
   
3
1 2 32 2 1 2 4
2
1 2 2
x x x x
x x x
x x x x x

   
    
     
(4) a đ ợc x
C2: ĐK: 2; 1x x  
Nếu x  1 a c a c a vế c o x a đ ợc:    2 1 2x x x   
B a vế sau đó a đ ợc x
Nếu x -2 Đ = -x 2t  T ay vào a đ ợc
     
     
2
2
2 1 2
2 1 2
t t t t t
t t t t t
        
    
C a c a vế c o t ta đ ợc    2 1 2t t t   
B a vế đ ợc
Sau đó a x
T o C1 a đ sử dụ k ế ức ê ợ Cò o C2 a v dụ k ế ức xác
đị v ẩ của c u v c v dụ o C2 đ
Bài 2 . sau :  2 2 2 2
3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x         
HD:
Ta ấy :      2 2
3 5 1 3 3 3 2 2x x x x x        v      2 2
2 3 4 3 2x x x x     
Ta có ục că ức 2 vế :
  2 22 2
2 4 3 6
2 3 43 5 1 3 1
x x
x x xx x x x
  

       
D dà ấy x = 2 à duy ấ của trình .
Bài 3. sau: 2 2
12 5 3 5x x x    
HD: Đ có : 2 2 5
12 5 3 5 0
3
x x x x       
Ta ấy : x = 2 à của , v y có â íc v d
   2 0x A x  , đ ực đ ợc đ u đó a ó , ác sau :
 
 
2 2
2 2
2 2
2 2
4 4
12 4 3 6 5 3 3 2
12 4 5 3
2 1
2 3 0 2
12 4 5 3
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
 
          
   
  
       
    

------------------***-------------------
Dễ dà c ứ đ ợc :
2 2
2 2 5
3 0,
312 4 5 3
x x
x
x x
 
    
   
Bài 4. : 2 33
1 1x x x   
HD :Đk 1x 
N ấy x = 3 à của , ê a ế đổ
 
 
  2
2 33
2 32 233
3 3 93
1 2 3 2 5 3 1
2 51 2 1 4
x x xx
x x x x
xx x
 
   
           
      
Ta c ứ :
   
222 2 23 33
3 3
1 1 2
1 2 1 4 1 1 3
x x
x x x
 
   
      
2
3
3 9
2 5
x x
x
 

 
V y có duy ấ x = 3
Bài 5:Giải phương trình sau:
2 2
2 2
3 3
3 3
x x
x
x x x x
 
 
   
HD:ĐK: 2
3x 
N â vớ ợ ê ợ của ừ ẫu số của đ c o a đ ợc:
     2 2 2 2
3 3 3 3 3.x x x x x x x       
   
3 3
2 2
3 3 3 3.x x x    
     
3 3 32 2 4 2
0
3 3 2 3 27
x
x x x x


 
     
 
 
 
2 4
24 3 2 4 4 3 4 4
0 ; 9 2 00
2 ( 3) 9 2 4( 3) 9 2
x x xx
x x x x x x
    
  
       
ê a đ ợc 2x 
Bài 6:Giải phương trình:
 
2
2
2
9
3 9 2
x
x
x
 
 
HD:ĐK:
9
2
0
x
x

 

 

------------------***-------------------
Pt
 
   
2
2
2 2
2 3 9 2
9
3 9 2 3 9 2
x x
x
x x
 
  
   
 2
2
2 18 2 6 9 2
9
4
x x x
x
x
  
  
6 9 2 0x  
9
2
x   là nghiệm
Bài tập vận dụng:
1)     2
3 4 2x x x x x   
2)        
2
3 2 3 1 2 3x x x x x      
Tổ quá :          
2
. .f x g x f x h x f x   
3)
3
3 1 1
3 10
x
x
x
  

BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: T ấ c các số ực x1; x2; …; x2005 o :
 2 2 2
1 2 2005 1 2 2005
1
1 2 2 ... 2005 2005 ...
2
x x x x x x         
Bài 2: T các số ực x, y, z ỏa đ u k :
 
1
1 2
2
x y z x y z      
Bài 3: Giải các phương trình sau:
1 2 3 2x x    2 2
3( 1) ( 1)x x x x     1222 33
 xx
3123
 xx 2
5 5x x  
6
2
4
).2(5)4)(2( 



x
x
xxx
2 2
48 4 3 35x x x       3 4 9x x x    1235 3 46
 xx
2 3
2( 2) 5 1x x   2 2
17 . 17 9x x x x     2 2 1
1 1
2
x x x x     
4 3 10 3 2x x    xxx  3.3
2 2 2
1 1 2x x x x x x       
08645.27 56105
 xx 2 2
3 2 2 1x x x x x     83124 22
 xxx

------------------***-------------------
Bài 4: Giải các phương trình sau:
3x10x25 22
 2 2 2
4 5 4 8 4 9 3 5x x x x x x         
   7 . 7 5 . 5
2
7 5
x x x x
x x
    

  
    
1
3 1 4 3 3 0
3
x
x x x
x

     

  2 2
3 10 12x x x x    
2
9 20 2 3 10x x x   
2 3x x  2
4 5 2 2 3x x x   
1xx2x3x3 22
 5 1 4 20 1x x    
3
7 1 2x x    2 2
3 5 3 5 12 48 5x x x x    
1 1
4 6 0x x
x x
  
       
   
2 2
5 1
5 3 3 1
x x
  
 
5 1
4 20 3 9 45 4
9 3
x
x x

     2 2
5 5
4
5 5x x x x
 
   
2 2
2
2 2 2 2
x x
x x
 
 
   
   7 . 7 5 . 5
2
7 5
x x x x
x x
    

  
1
4 4 2 9 9 4
2
x x     x =
x
x


3
3
.
x4
+ 2
2005 2005x   . 1 1 1a b x a b x      (a , b > 0)
2 2
5 4 5 5 28 0x x x x      64x6
- 112x4
+ 56x2
- 7 = 2 2
1 x .
Bài 5: Ký u [x] à ầ uyê của x
sau: 3 33 3
1 2 ... 1 855x             
Bài 6:C o : 2 2 2 2
.6 6 .6 6x x x x
x x  
  
ọ ổ các của à S, í S15
.
Bài 7: uyê sau:
a/ 1960x y  . b/ 1980x y  . c/ 2 3 48x y  d/ 2000x y 
Bài 8: uyê sau:
1 1 1225
74 2 1 771.
2 1 771
x y z
x y z
        
  
Bài 9:Giải các phương trình sau :
2 2
5 14 9 20 5 1x x x x x      
33
6 1 8 4 1x x x   

------------------***-------------------
1 1 1
2 1 3
x
x x
x x x

        215
30 4 2004 30060 1 1
2
x x x   
  3 3
4 1 1 2 2 1x x x x     2 2
4 4 10 8 6 10x x x x    
   2 2
3 2 1 1 1 3 8 2 1x x x x     
2
12 1 36x x x   
   
2 2233 3
2 1 3 1 1 0x x x     
2
2008 4 3 2007 4 3x x x   
2
(2004 )(1 1 )x x x    ( 3 2)( 9 18) 168x x x x x    
3 2 4
1 1 1 1x x x x x             2 2
4 2 4 16 2 4 16 2 9 16x x x x      
3 244
1 1x x x x    
2
4 3 3 4 3 2 2 1x x x x x     
2 2
2 16 18 1 2 4x x x x      12 2 1 3 9x x x   
2 33
1 3 2 3 2x x x    
2 3
2 11 21 3 4 4 0x x x    
     2 2 5 2 10x x x x x      23
4 1 2 3x x x    
4 5 3 1 2 7 3x x x x        2 2
3 1 3 1x x x x    
33 3
1 1 2x x x    3 3
1 2 1x x x   
 
33 2 2
1 2 2x x x x   
2
2 3 3 2
2
3 1
x x
x x
x
 
  

Bài 10: :
a) 2 2
2 8 12 2x x x x     b) 2 2
2 5 2 3 9 3 3x x x x     
c) 2 2
4 6 2 8 12x x x x     d) 2 2
3 15 2 5 1 2x x x x    
e) 2
( 4)( 1) 3 5 2 6x x x x      f) 2 2
2 5 2 2 2 5 6 1x x x x     
g) 2 2
3 2 2 2 6 2 2x x x x       h) 2 2
11 31x x  
Bài 11: :
   
33 2 2
1 2 1x x x x       
3 32 2
1 1 1 1 2 1x x x x        
  
2
35
121
x
x
x
 

    
1
3 1 4 3 3
3
x
x x x
x

     

2 2
1 2 1 2 1 0x x x x      6 4 2 2
64 112 56 7 2 1x x x x    
Bài 12: C o :   1 8 1 8x x x x m      

------------------***-------------------
a) vớ = 3
b) T đ có
c) T đ có duy ấ
Bài 13: C o : 2
1 1
1
m
x x
 

a) vớ
2
2
3
m  
b) T đ có
Bài 14: C o :  2 2
2 2 2 3 0x x x x m     
a) vớ = 9
b) T đ có
Bài 15: các uyê sau:
y = 2 1 2 1x x x x     x x x x y   
2 2
1 9 4y x x    2 2 1y x x x    
2 2 1 2 1y x x x x      1 2 2 2 4 2y x x x x       
...x x x x y     ếu:
a/ Vế á có 1 dấu că
/ Vế á có dấu că
4 4 ... 4 4 5x x x x x x     
(Vế á có 1 dấu că )
Bài 18:T các số ữu ỉ a và o :
3 2
7 20 3
3 3a b a b
  
 
Bài 19:C o a số x , y o :  2 2
4 4 4x x y y     . Tính x + y
Bài 20: : 3 3
2 1 1x x  
Bài 21:C o các số ực d x,y,z o đ u k :
2 2 2 3
1 1 1
2
x y y z z x      C ứ ằ : 2 2 2 3
2
x y z  
Bài 22:C o các số ực d a, ,c o đ u k : a b c a b c    
C ứ ằ :2010 2010 2010 2010
a b c a b c    

------------------***-------------------
Bài 23: uyê : 2 2
4 2 199 2y x x   
Bài 24:T các số ữu ỉ a và ế : 7 7 11 7 28a b  
Bài 25: :
2
2
1
1
1 2
x x
x
 


Bài 26:T các số uyê k o :
 
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 2009 1
1 1 ... 1
20091 2 2 3 1k k

         

Bài 27: :
1/ 8 3 5 3 5x x     
2/ 2 2
1x x x x x    
3/ 2
2 2 30 2007. 30 4 2007 30. 2007x x x   
4/ 2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x         
5/ 1 4 4 9 9 ..... 100 100 165x x x x        
6/
1 1 1
1
3 2 2 1 1x x x x x x
  
       
7/
2 2
2 21 5 1 25 125
9 45 16 80 3 9
12 16 4 9
x x
x x
 
     
8/ 712671620 52408 26022004 712619213 56406 26022004 1x x x x       
9/ 2 2
2009 2010 1 20 2009 2010 1x x x x       
10/ 2
( 5)(2 ) 3 3x x x x   
Bài 28:Giải các phương trình sau:
2 2
15 2 5 2 15 11x x x x     2
( 5)(2 ) 3 3x x x x   
2
(1 )(2 ) 1 2 2x x x x     2 2
17 17 9x x x x    
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x        2 2
11 31x x  
2 2 2
2 (1 ) 3 1 (1 ) 0nn n
x x x      2
(2004 )(1 1 )x x x   
( 3 2)( 9 18) 168x x x x x     32 2
1 2 1 3x x   

Ôn tập phương trình vô tỉ trong Toán THCS ôn thi vào lớp 10

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Ôn tập phương trình vô tỉ trong Toán THCS ôn thi vào lớp 10

Similar to Ôn tập phương trình vô tỉ trong Toán THCS ôn thi vào lớp 10 (20)

More from Gia sư môn Toán tại nhà Hà Nội Chất Lượng Cao

More from Gia sư môn Toán tại nhà Hà Nội Chất Lượng Cao (6)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Ôn tập phương trình vô tỉ trong Toán THCS ôn thi vào lớp 10