Predstavljanje eTwinning projekta "History of Math" nastavnicima matematike srednjih škola Sisačko-moslavačke županije. U Novskoj 22. travnja 2014.

1. POVIJEST
MATEMATIKE
HISTORY OF MATH
Gordana Divić, prof. mentor
Srednja škola Novska
ŽSV MATEMATIKE
SŠ – SMŽ
22. travnja 2015.

2. History of Math
 eTwinning projekt
 Surađujemo s Grčkom
 Istražujemo:
 razvoj matematičke misli od Sumerana do
modernog doba
 istaknute matematičare od Antičke Grčke do
modernog doba

3. Što smo napravili?
 Prezentacije (.ppt) kojima smo predstavili:
 Sebe
 Školu
 Grad

4. Što smo napravili?
 Izabrali LOGO projekta
13

5. Što smo napravili?
 Posjetili smo izložbu „Volim matematiku”

6. Što smo napravili?
 Organizirali smo „Večer matematike”

7. Što smo napravili?
 Razmijenili čestitke za Božić
Naše čestitke u Grčkoj
Grčke čestitke kod nas

8. Što smo napravili?
 Obilježili Dan broja 𝜋

9. Što smo napravili?
 Kolege iz Grčke posjetili su Tehnički muzej
Antičke Grčke u Solunu

10. Što smo napravili?
 Mjerili opseg Zemlje – Eratostenov pokus
 Izračunali opseg Zemlje (39 635 km)
 Mjerili duljinu sjene škole
 Računali visinu škole

11. ... and our outcome
for Novska school
is 8.322 m !!!
Greek Team

12. … and our outcome for Edessa school is
𝟏𝟏, 𝟗𝟖 ± 𝟎, 𝟏𝟒 𝒎
Croatian Team

13. Što smo napravili?
 Napisali dokumente (.doc i .ppt) o zadanim
temama

14. Što radimo?
 Pišemo na forumu
TwinSpacea rječnik
matematičkih pojmova s
grčkim korijenom na:
 Engleskom
 Grčkom
 Hrvatskom

15. Što radimo?
 Završavamo dokumente (.ppt):
 Spajamo dokumente .doc u knjigu
 Prevodimo sve na engleski jezik
 Slažemo prezentacije na engleskom jeziku u
jedinstvene, koje ćemo objaviti na TwinSpace-u
 TwinSpace projekta:
 http://twinspace.etwinning.net/490/home

16. Antonio Jakubek, 4.g

17.  Naše prvo znanje o matematici dolazi od
Egipćana i Babilonaca
 Babilonska matematika je datirana za 4000
godina prije Krista zajedno sa Sumeranima u
Mezopotamiji

18.  Malo se zna o Sumeranima
 Prvi put je naseljen 4500 i 4000 godina prije
Krista
 Danas se ti ljudi zovu Ubaidiansi
 Još manje se zna o njihovoj matematici

19.  Koristili su klinasto pismo, a pisali su na
glinenim pločicama
 Koristili su preko 2000 znakova
Slika 1. Sumerski zapis
klinastim pismom

20.  Razvili su heksagezimalni brojevni sustav koji
su preuzeli Babilonci
 Babilonci, Asirci i Hiti su naslijedili sumerski
zakon i književnost i važnije njihov način
pisanja
 Ono što smo od Sumerana zadržali do danas je
podjela tjedna na 7 dana, dana na 24 sata, sata
na 60 minuta i minutu na 60 sekundi

21.  Propašću Sumerske civilizacije u Mezopotamiji
razvija se Babilonska
 Od Sumerana su naslijedili klinasto pismo i
heksagezimalni brojevni sustav
Slika 2. Znamenke u
Babilonskom brojevnom
sustavu

22.  Za prikaz brojeva koristili su 2 osnovna oblika:
 Nisu imali sumbol za nulu ili decimalnu točku
pa je bilo teško tumačiti nalaz iz tog doba
Slika 3. Babilonski simbol za
broj 10
Slika 4. Babilonski prikaz za
broj 1 ili 60

23.  40-ih godina prošlog stoljeća
 Njemački povijesničari Otto Neugebauer i
Abraham Sachs
 Primijetili kako reci na pločici zadovoljavaju
zanimljivo svojstvo
 Uređene trojke prirodnih brojeva (a, b, c) koje
zadovoljavaju jednakost a²+b²=c²

24.  Dokaz postojanja Pitagorine trojke tisućama
godine prije pojave matematičara antičke Grčke
Slika 5. Plimpton 322

25.  Nalazište u Nipuru-nađeno oko 50 000 glinenih
pločica
 Svjedoče znatnom poznavanju matematike
Slika 7. Nalazište u Nipuru

26.  Izgrađivali su nizove koji uključuju trokutaste
brojeve (1, 3, 6, 10 ,15...), kvadratne brojeve (1,
4, 9, 16, 25...) i piramidalne brojeve (1, 5, 14, 30,
50...)
Slike 8. i 9. Prikazuju nizove
brojeva

27.  Primjer korištenja niza piramidalnih brojeva je
slaganje municije u Calcutti i lako
izračunavanje broja đuladi
Slika 10. Složena municija
u Calcutti

28. Egipat
Ella Cink, 4.g

29. Moskovski papirus
- otkriven je 1893., a autor je nepoznat
- najveća dostignuća egipatske geometrije
- dužine je oko pola metra i širine manje od 8 cm
- čuva se u Moskovskom muzeju

30. Moskovski papirus

31. Rhindov papirus
• 1858. otkrio ga je škotski egiptolog Henry Rhind u
Luxoru
• Napisao ga je pisar Ahmes oko 1600. pr. Kr.
• Dug je 6 metara , širok 30 cm, čuva se u British
Museumu u Londonu

32. • Zbirka tablica i vježbi sa
87 matematičkih
problema
• U njemu se nalaze i
najstariji poznati i
sačuvani zapis broja π
Rhindov papirus

33. Brojevi
Egipćani su koristili brojevni sustav s bazom 10
 broj 1339

34. • Zbrajanje
• Oduzimanje
• Množenje
• Dijeljenje

35. Razlomci
• Poznavali su samo jedinične razlomke
• Iznimka je bio 2/3
• Razlomke su tvorili tako što su kombinirali pojedine dijelove
simbola oka boga Horusa.
cjelokupni simbol oka ima vrijednost 1

36. Geometrija
• Za izgradnju piramida i hramova Egipćani su morali imati
dobro razvijenu geometriju i stereometriju
• Znali su računati nagib i obujam piramide, te obujam krnje
piramide

37. Algebra
• Staroegipatska algebra bila je retorička
• problemi i rješenja dani su riječima
• Koristili su se sedmeroznamenkastim brojevima, a u
svojim računima imali su mješavinu jednostavnosti i
kompliciranosti

38. MATEMATIKA
ANTIČKE GRČKE
Doroteja Lukić, 3.g

39.  temeljena na grčkim tekstovima
 razvijena od 7. st. pr. Kr. do 4. st. po.
Kr.
 duž istočnih obala Mediterana
 matematika – grčki mathema –
znanost
 korištenje općih matematičkih dokaza
i teorija

41.  presjedali najvažnijom i
najdramatičnijom revolucijom u
matematici ikad
 osnovni cilj: shvaćanje čovjekova
mjesta u svemiru
 matematika dosegla najviši nivo
razvitka
 počeli upotrebljavati papirus
 grčki doprinos matematike u tri faze:
1. od Talesa i Pitagore do Demokrita
2. Euklidov sustav
3. Aleksandrijska faza

42.  Tales – osnivač grčke matematike
 nema dokumentiranih dokaza
 klasična filozofija pomogla da se
rekonstruiraju tekstovi iz bližeg perioda
 izdanja Euklida, Arhimeda, Apolonija itd.
 teško pratiti tijek povijesnog razvitka
 o grčkoj matematici zaključujemo pomoću:
manjih sastavnica i zapažanja filozofa i
drugih autora

43. Grčki brojevni sustav
(oko 900. pr. Kr. – 200. poslije Kr.)
 prvi zasnovan na početnim slovima imena
brojeva

44.  drugi je upotrebljavao sva slova iz grčkog
alfabeta i tri iz feničkog
 baza – 10

45. Talesovi poučci

46. Pitagora
 sinonim rođenja grčke matematike
 sustav matematike gdje bi geometrijski
elementi predstavljali brojeve
 Pitagorin poučak – jedan od
najpoznatijih poučaka

47. Pitagorin poučak

48.  ideja dokaza i deduktivna metoda
korištenja logičkih koraka za dokazivanje ili
opovrgavanje teorija
 dalo je matematici snagu
 osigurava da su dokazane teorije istinite
 postavilo temelje za sustavni pristup
matematici
Najvažniji doprinos Grka

49. PLATON (428.-347.god.
p.n.e.)
-živio i djelovao u Ateni
-387.g.p.n.e. osnovao
filozofsku školu
AKADEMIJU u kojoj se
poučavala i matematika
 aritmetika,
trigonometrija i
planimetrija
Slika 1.Platon
Marija
Kožari
ć,
4.g

50.  „Neka ne ulazi onaj koji ne zna
geometriju!”
Slika 2. Natpis na ulazu u Akademiju

51. Platonova geometrijska tijela
 Opisana u djelu Timej
 5 pravilnih poliedara:
Slika 3. Pravilni poliedri

52. TETRAEDAR
 4 vrha
 6 bridova
 4 strane  jednakostra-nični trokuti
Slika 4. tetraedar

53. HEKSAEDAR
 Kocka
 8 vrhova
 12 bridova
 6 stranakvadrati
Slika 5. heksaedar

54. OKTAEDAR
 6 vrhova
 12 bridova
 8 strana jednakostranični trokuti
Slika 6. oktaedar

55. DODEKAEDAR
 20 vrhova
 30 bridova
 12 stranapravilni peterokut
Slika 7. dodekaedar

56. IKOZAEDAR
 12 vrhova
 30 bridova
 20 stranajednakostranični trokuti
Slika 8. ikozaedar

57. Kineska matematika

58. • u 2. tisućljeću pr.Kr. u Kini su imali simbole
za brojeve
• računali su štapićima dok se u
16. st. nije pojavio abakus
Slika 1. kineski brojevi
Slika 2. abakus
• ne zna se mnogo o matematici drevne Kine, no prilično je
sigurno da počeci astronomije i matematike drevne Kine
sežu barem u 2. tisućljeće pr.n.e. ,u to doba Kinezi su već
imali detaljno razrađen kalendar
• najstariji sačuvani matematički tekstovi potječu tek iz doba
oko 200. pr.Kr.

59. • Doprinosi kineskih matematičara:
• Sveta knjiga o aritmetici (2. – 12.st.) – indirektno govori o
Pitagorinom poučku
• Aritmetika u devet knjiga (oko 150. g.pr.Kr.) - postupak
izračunavanja površine trokuta, četverokuta, kruga, kružnog
odsječka i isječka, obujam prizme, piramide, valjka, stošca,
prikraćene (krnje) piramide i stošca
• Knjiga o mijenama (I Ching) - jedna od najstarijih
očuvanih knjiga - koristila se za proricanje i gatanje, sadrži
elemente binarne notacije brojeva

60. • Poznati matematičari:
• Zhang Qiu-Jian (5. st.) - dao je formulu za sumu
aritmetičkog niza
• Tsu Chung – chih (430. – 500.) – za vrijednost broja π
uzima daje šest točnih decimalnih mjesta
• Quin Jiu - Shao (1202. -1261.) - tražio je rješenja
jednadžbi metodom koju nazivamo Hornerova (William
Horner, 1819.), iako je u Kini bila poznata 500 godina
ranije
• Chu Shih - kieh (1270. - 1330.) - napisao je dva važna
teksta koji su vrhunac kineske matematike, tekstovi
sadrže ˝Pascalov˝ trokut binomnih koeficijenata, koji je u
Kini poznat četiri stoljeća prije no što ga je Pascal
˝otkrio˝.

61. INDIJSKA MATEMATIKA

62. • u staroindijskoj matematici nema velikih djela isključivo
posvećenih matematici; matematika je prisutna tek kao
dio, kao pojedinačno poglavlje u astronomskim ili
astrološkim djelima
• najstariji poznati matematički tekstovi su Sulvasutre,
dodaci vjerskim tekstovima
 u njima se nalaze pravila za mjerenje i izgradnju
hramova i oltara na razini elementarne geometrije
• karakteristike indijskih matematičkih tekstova je da su
općenito pisani u stihovima
Slika 1. indijski brojevi

63. Staroindijskimatematičari:
• Aryabhatta (476. – 550.) - znao je vaditi
drugi i treći korijen podjelom radikanda u
grupe
• dao je točne formule za površinu trokuta i
kruga, piše o, kvadratnim jednadžbama,
potencijama
• Brahmagupta (598. – oko 670.)
• Brahmaguptina formula: poopćenje
Heronove formule na tetivne četverokute;

64. • Mahavira (9. st.) – bavio se elementarnom matematikom
i prvi je indijski matematičar koji je napisao samo
matematici posvećen tekst
• Bhaskara (1114. – 1185.) - najpoznatiji je indijski
matematičar do 12. stoljeća, puno je doprinjeo razumijevanju
brojevnih sustava i rješavanju jednadžbi, dokazivao je i
Pitagorin poučak
• glavna su mu matematička djela Lilavati i Bijaganita,
bavio se ravninskom i sfernom trigonometrijom,

65. Arapska matematika

66. • današnja matematika zapadnog stila mnogo je sličnija
matematici kakvu susrećemo u arapskim doprinosima, nego
onoj u starogrčkim, mnoge ideje koje su pripisane
Europljanima pokazale su se zapravo arapskim
Slika 1. arapski brojevi

67. Arapski matematičari:
• Al-Karaji (953.g. - 1029.g.) - smatra se prvom osobom koja
je potpuno oslobodila algebru od geometrijskih operacija i
zamijenila ih aritmetičkim
• osnovao je utjecajnu algebarsku školu
koja će uspješno raditi više stoljeća

68. • Al-Haytham (965.g. - 1040.g.) je vjerojatno prvi koji je
pokušao klasificirati parne savršene brojeve
• također je prva poznata osoba koja je izrekla Wilsonov
teorem (ako je p prost broj, onda p dijeli 1 + (p - 1)!),
nije jasno je li to znao dokazati
• Omar Khayyam (1048.g. – 1131.g.) uz matematiku bavio se
astronomijom, filozofijom i poezijom
• dao je potpunu klasifikaciju kubnih jednadžbi (14 tipova) i
prvi uočio da ne moraju imati jedinstveno rješenje

69. (12. – 13. stoljeće)
Slika 1. FibonacciBarbara Mašunjac, 4.g

70.  talijanski matematičar
 mladost proveo u Arabiji
 temelj njegove matematike je broj
 iza sebe ostavio niz otkrića

71. FIBONACCIJEV NIZ
Slika 2. Fibonaccijev niz

72. FIBONACCIJEV NIZ U PRIRODI
Slika 3. Fibonaccijev niz u suncokretu
Slika 4. Fibonaccijev niz u školjci puža Nautilus
Slika 5. Fibonaccijev niz u
ljudskom tijelu

73. FIBONACCIJEV NIZ U UMJETNOSTI
Slika 6. Fibonaccijev niz u
portretu Mona Lise Slika 7. Fibonaccijev niz u
Partenonu

74.  ˝Božanski omjer˝ ili omjer Zlatnog reza
𝜑 =
1 + 5
2
≈ 1.618033989

75. Omjer zlatnog reza

76. Omjer zlatnog reza

77. Omjer zlatnog reza

78. Omjer zlatnog reza

79. Omjer zlatnog reza

80. Omjer zlatnog reza

81. LIBER ABACI
 najpoznatije djelo o
aritmetici
 jedna od prvih zapadnih
knjiga u kojoj su opisane
arapske brojke
 četiri dijela
Slika 8. Liber Abaci

82. JOHN
NAPIER Laura Iličić, 3.g

83. OPĆENITO:
• rođen u Edinburghu 1550.god, a umro 4.travnja 1617.god
• Upisao se na sveučilište St. Andrews
• Diplomu je stekao u Parizu, te je nakon toga boravio u
Nizozemskoj i Italiji
• Poznat je u matematičkim i inženjerskim krugovima
• Najpoznatiji je kao izumitelj logaritama, Napierovih kostiju, te
popularizaciji decimalnog zareza
• Radio je na područjima matematike, fizike, astronomije i
astrologije

84. Napierove kosti
Decimalni zarez Logaritmi

85. NAJPOZNATIJA DJELA
• Plaine Discovery of the Whole Revelation of St. John,
1593.
• Statistical Account
• Mirifici logarithmorum canonis descriptio, 1614.
• Construction of Logarithms, 1619.

86. • Mirifici logarithmorum canonis descriptio, Statistical Account i Construction of
Logarithms

87. Blaise Pascal
Antonio Horaček, 4.g

88. Životopis
 Blaise Pascal
 Blaise Pascal bio je francuski
matematičar, fizičar, izumitelj, pisac i
kršćanski filozof. Bio je ''čudo od
djeteta'', a školovao ga je otac.
 Pascalovi najraniji poslovi bili su u
primjenjenim i prirodnim znanostima,
gdje je doprinio proučavanju tekućina te
je pojasnio pojmove tlaka i vakuuma
generalizacijom rada Evangelista
Torricellija.

89.  Pascalov prvi stroj za računanje

90. Pascalov doprinos matematici
 Prvi značajan rad, Blaise je napisao sa samo
šesnaest godina, a bio je to osnovni nacrt njegove
čuvene rasprave o presjecima stožca.

91.  Blaise Pascal, također je stvorio i svoj čuveni
mistični heksagram (Pascalov teorem), koji nije
sačuvan.
 U njegovoj ''Raspravi o aritmetičkom trokutu''
(Traité du triangle arithmétique), opisao je zgodan,
praktičan tablični prikaz za binomne koeficijente,
sada nazvan 'Pascalov trokut'.

92. Pascalov doprinos fizici
 Njegov rad na području hidordinamike i hidrostatike bio je
usmjeren na načelima hidrauličkih tekućina.
 Njegovi izumi uključuju hidrauličku prešu (koristi hidraulični
tlak da umnoži snagu) i špricu.
 Hidrostatski tlak povećava se dubinom, djeluje jednako u
svim smjerovima te je jednak na svim mjestima na istoj
dubini.

93.  Pascalov zakon
 Temeljni je zakon hidrostatike:
◦ U tekućini koja se nalazi u zatvorenoj posudi
vanjski tlak p širi se jednako na sve strane,
odnosno čestice tekućine prenose tlak u svim
smjerovima jednako.

94. Povijest infinitezimalnog
računa
Stjepan Marijan, 4.g

95. Gottfried Wilhelm Leibniz
• Leipzig 1.7.1646.
• Filozof, matematičar, fizičar i diplomat
• Preteča Georgea Boolea i simboličke logike
• „diferencijal“ i „integral“
• 1559. Francuska akademija znanosti
• Prvi model računalnog stroja
Slika 1.1.: Gottfried Wilhelm LeibnizSlika 1.2.: Leibnizovo mehaničko računalo

96. Isaac Newton
• Woolsthorpe-by-Colsterworth 4.1.1643.
• Astronom, matematičar i fizičar
• Metode fluksije
• Opći zakon gravitacije
• Zrcalni teleskop
• Kraljevska akademija
Slika 2.1.: Isaac Newton
Slika 2.2.: Zrcalni teleskop

97. Infinitezimalni račun
• Fukcije, derivacije, integralne granične
vrijednosti i limesi funkcije
• Diferencijalni račun
• Integralni račun
Slika 3.1.: Integral
Slika 3.2.: Derivacija

98. Newton – Leibnizova formula
• Ako je 𝐹 po volji odabrana primitivna funkcija
funkcije 𝑓 na intervalu 𝑎, 𝑏 , onda vrijedi:
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)

99. Povijest infinitezimalnog računa
• 5. st. pr. Kr.- Zenon
• 4. st. pr. Kr.- Eudokso
• 225. g. pr. Kr.- Arhimed
• 17. st.- Bonaventura Francesco Cavalieri
Slika 4.1.: Metoda ekshaustije
Slika 4.2.: Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota

100. Sukob Newtona i Leibniza
• Isaac Newton- 1671.- De Methodis Serierum et
Fluxionum (objavljen 60 godina kasnije), fizikalni
pristup
• Gottfried Wilhelm Leibniz- 1684.- prvi objavljeni
rezultati, geometrijski pristup
Slika 5.2.: De Methodis Serierum et Fluxionum
Slika: 5.3.: Transactions of the
Royal Society of London

101. ABRAHAM DE MOIVRE
Iva Ciprijanović, 4.g

102. DE MOIVREOVI POČETCI:
 rođen je u mjestu Vitry u Francuskoj,
26.svibnja 1667.godine.
 francuski matematičar poznat po formuli koja
povezuje kompleksne brojeve i trigonometriju
 Bio je protestant, pa je neko vrijeme nakon
edikta iz Nantesa (1685.) proveo u zatvoru, a
nakon toga se odselio u Englesku gdje je
proživio ostatak svog života.

103.  Za život je zarađivao kao privatni učitelj
matematike te je učenike podučavao u
njihovim domovima, ali i u londonskim
kafićima.
 Nadao se da će jednom postati profesor
matematike, ali u svakoj državi je zbog
nečega bio diskriminiran.

104. DE MOIVREOVA ANEGDOTA:
 Njegova poznata anegdota je da je predvidio
dan svoje smrti tako što je utvrdio da svaki
dan spava po 15 minuta dulje te je
sumacijom odgovarajućeg aritmetičkog niza
izračunao da će umrijeti na dan kad
prespava puna 24 sata, i bio je u pravu.

105. THE DOCTRINE OF CHANCE: A METHOD OF
CALCULATING THE PROBABILITIES OF EVENTS IN
PLAY
 Glavno De Moivrevo djelo
 U toj se knjizi može naći definicija statističke
nezavisnosti događaja te niz zadataka
vezanih za razne igre.
Slika 1. De Moivrevo
djelo :The Doctrine
of Chance: A
method of
calculating the
probabilities of
events in play

106. DE MOIVREOVE FORMULE:
Slika 2. Formula
za binomne
koeficijente
Slika 3. Formula kojom je mogao
dokazati sve cjelobrojne brojeve n
Slika 4. Poznata DE
MOIVREOVA formula

107. Slika 1. Johann Carl Friedrich
Gauss
Marta Ćurić, 3.g

108.  njemački matematičar (1777. – 1855.)
 osim matematikom, bavio se astronomijom,
fizikom, geodezijom i topografijom
 osmislio “neeuklidsku geometriju” sa šesnaest
godina
 s dvadeset i četiri godine objavio je majstorsko
djelo Disquisitiones Arithmeticae
 1801. je prema njegovim izračunima otkriven
planetoid Ceres
 otkrio Kirchhoffove zakone
 napravio primitivni telegraf
 stvorio vlastite novine - Magnetischer Verein

109. Slika 2. Disquisitiones Arithmeticae Slika 3. Magnetischer Verein

110.  osmislio brži način rješavanja zadataka zbrajanja
brojeva od 1 do 100:
(1 + 100) + (2 + 99) + ... + (50 + 51) = 50 * 101 =
5050
 spoznao kriterij konstruiranja pravilnog
sedamnaesterokuta
 dokazao osnovni teorem algebre
 stvorio Gaussovu ravninu
 stvorio Gaussovu krivulju koja se koristi u mnogim
znanostima, posebno u psihologiji

111. Slika 4. Gaussova ravnina
Slika 5. Pravilan sedamnaesterokut
Slika 6. Gaussova krivulja

112. John Nash
Lana Matičević, 3.g

113. John Nash (1928.) je
ekonomist i matematičar.
Objavio je nekoliko teorija
koje ste koriste i koje su
doprinjele ekonomiji.
Osvojio je 1994. godine Nobelovu
nagradu za ekonomiju.
Njegova najpoznatija teorija je:
Nash Equilibrium (teorija igara)

114. Što je Nashov Equilibrium?
 Koncept koji je na početku bio
napravljen kao taktika za jednostavne
igre
 Nije najbolja strategija koja se može
iskoristiti, ali je najbolja taktika da se ne
koriste drugi igrači kako bi se došlo do
cilja

115. Zanimljivosti
 Patio od shizofrenije (do 1990.)
 Film Beautiful mind je snimljen o
njegovom životu.

116. Od znastvene racionalnosti do
iluzionističkog kaosa

117. Jednandžba N.E.