SlideShare a Scribd company logo

Povijest matematike (History of Math)

•
•
Gordana Divic
Gordana Divic

This is a book that were written for the purposes of an eTwinning project History of Math. It consists of student seminar works on their tasks.

Education
1 of 103
Download to read offline
POVIJEST MATEMATIKE SREDNJA ŠKOLA NOVSKA ŠKOLSKA GODINA 2014./2015. eTwinning projekt „History of Math“ voditelj: Gordana Divić, prof. mentor
1 SADRŽAJ UVOD............................................................................................................................................................... 2 SUMERSKA I BABILONSKA MATEMATIKA........................................................................................................ 3 EGIPATSKA MATEMATIKA ............................................................................................................................... 6 GRČKA MATEMATIKA.................................................................................................................................... 12 KINESKA, INDIJSKA I ARAPSKA MATEMATIKA ............................................................................................... 16 TALES............................................................................................................................................................. 27 PITAGORA...................................................................................................................................................... 31 PLATON ......................................................................................................................................................... 36 EUKLID........................................................................................................................................................... 41 ARHIMED....................................................................................................................................................... 44 DIOFANT........................................................................................................................................................ 47 AL HVARIZMI ................................................................................................................................................. 51 FIBONACCI..................................................................................................................................................... 54 VIÈTE ............................................................................................................................................................. 58 JOHN NAPIER................................................................................................................................................. 62 HENRY BRIGGS .............................................................................................................................................. 65 RENÉ DESCARTES........................................................................................................................................... 67 CAVALIERI...................................................................................................................................................... 71 BLAISE PASCAL .............................................................................................................................................. 75 LEIBNIZ & NEWTON....................................................................................................................................... 78 DE MOIVRE.................................................................................................................................................... 81 EULER ............................................................................................................................................................ 83 GAUSS ........................................................................................................................................................... 88 CAUCHY......................................................................................................................................................... 93 JOHN NASH ................................................................................................................................................... 96 ZAKLJUČAK .................................................................................................................................................... 99 LITERATURA................................................................................................................................................. 100
2 UVOD Povijest matematike djelo (knjiga) je nastalo kroz eTwinning projekt History of Math koji je Srednja škola Novska iz Hrvatske provela u suradnji sa srednjom školom 2ο ΓΕΛ Έδεσσας iz Grčke tijekom 2014./2015. školske godine. Naslovna slika je logo projekta za koji smo se većinskim glasanjem odlučili. U projektu su sudjelovali učenici u dobi od 16 do 19 godina čiji je zadatak bio istražiti dijelove prošlosti u kojima se rađala matematika te pojedine matematičare (koje spominjemo u kurikulu matematike) i njihove doprinose razvoju matematike. Surađivali su i dogovarali se oko svojih zadataka međusobno i sa svojim grčkim kolegama. Učenici Srednje škole Novska koji su sudjelovali u projektu: 1. Antonio Jakubek 2. Ella Cink 3. Doroteja Lukić 4. Ariana Gobac 5. Kornelija Čidić 6. Petra Kalanja 7. Marija Kožarić 8. Stella Moguš 9. Kristina Komljenović 10. Dominik Domitrović 11. Marko Crnojević 12. Barbara Mašunjac 13. Karolina Marenić 14. Laura Iličić 15. Patricia Kujundžić 16. Andrea Pupilo 17. Ivan Jurić 18. Antonio Horaček 19. Stjepan Marijan 20. Iva Ciprijanović 21. Tomislav Cikojević 22. Marta Ćurić 23. Ivan Brtan 24. Lana Matičević i napisali 24 poglavlja ili priče ove knjige. Projekt su zajedničkim snagama vodili nastavnici iz Grčke: 1. Elleni Stogiannou (osnivač) 2. Apostolos Tintinidis te iz Hrvatske: 3. Gordana Divić (osnivač) 4. Tamara Tomić Osim što su sudjelovali u pisanju ovoga djela, učenici su napravili i PowerPoint prezentacije pomoću kojih su projekt predstavili nastavnicima matematike Sisačko-moslavačke županije za koje su priredili i izložbu plakata te također nastavnicima i učenicima Srednje škole Novska povodom Dana eTwinninga. Svi zajedno uređivali su i stranicu projekta: http://twinspace.etwinning.net/490/home.
3 SUMERSKA I BABILONSKA MATEMATIKA Antonio Jakubek, 4.g Naše prvo znanje o matematici dolazi od Egipćana i Babilonaca. Obje su civilizacije razvile matematiku koja je slična po opsegu, ali različita u pojedinostima. Babilonska matematika je datirana za 4000 g. prije Krista sa Sumeranima u Mezopotamiji. Ipak, malo se zna o Sumeranima. Sumer je prvi put naseljen između 4500 i 4000 godina prije Krista od strane ne semitskih ljudi koji ne govore sumerski jezik. Danas se ti ljudi zovu Ubaidiansi, od sela Al-Ubaid gdje su otkriveni njihovi posmrtni ostatci. Još je manje poznato o njihovoj matematici. Sumerani su naselili Mezopotamijsku dolinu gdje su izgradili domove i hramove te ih ukrasili umjetničkim posudama i mozaicima geometrijskih oblika. Raniji Sumerani su imali brojeve, ali zbog nedostatka sredstava su se morali prilagoditi sveprisutnoj glini i razvoju pisma na glinenim pločicama. Ostali narodi poput Babilonaca, Asiraca i Hitija naslijedili su Sumerski zakon i književnost i, što je još važnije, njihov stil pisanja. Mezopotamska civilizacija često se naziva Babilonska, ali to nije točno. Babilon nije bio prvi veliki grad, ali cijela civilizacija se naziva Babilonska. Čak ni tijekom svog postojanja nije bio centar mezopotamske kulture. Babilonska kultura se razvila oko 2000 godina prije Krista propašću sumerske civilizacije u Mezopotamiji, području koje danas dijelom pripada Iraku. Babilonci su od Sumerana naslijedili ideje za heksagezimalni brojevni sustav i klinasto pismo kojim su pisali po glinenim pločicama. Babilonci su koristili brojevni sustav s bazom 60 koji su Sumerani razvili 2500. godine prije Krista. Mnogi kao razlog navode velik broj djelitelja broja 60 (koji je najmanji prirodni broj djeljiv sa 1, 2, 3, 4 i 5). Ono što smo zadržali do danas od Sumerana je podjela tjedna na 7 dana, dana na 24 sata, sata na 60 minuta i minute na 60 sekundi. Slika 1. Znamenke u babilonskom brojevnom sustavu Babilonci su za prikaz brojeva koristili samo dva osnovna oblika; koristili su simbol za broj 10 (slika 1) i simbol za broj 1 ili 60 (slika 2). Slika 2. Babilonski simbol za broj 10 Slika 3. Babilonski simbol za broj 1 ili 60
4 Babilonci nisu imali simbol za nulu niti simbol za decimalnu točku te se sve moralo prosuđivati iz konteksta, što je vrlo kompliciralo tumačenje nalaza iz tog doba. Slika 4. Plimpton 322 Pločica Plimpton 322 veličine je današnjeg džepnog računala te sadrži jedan redak čistog teksta i tablicu brojeva s 4 stupca i 15 redaka. Pločica je djelomična u lijevom gornjem kutu, pa nedostaje dobar dio prvog stupca, dok su drugi, treći i četvrti stupac potpuno vidljivi. U početku se smatralo kako je Plimpton 322 samo još jedan primjer babilonskog zapisa, no, početkom 40-ih godina prošlog stoljeća su povjesničari Otto Neugebauer i Abraham Sachs primijetili kako reci na pločici zadovoljavaju zanimljivo svojstvo, usko vezano uz takozvane Pitagorine trojke. To su uređene trojke prirodnih brojeva (a, b, c) koje zadovoljavaju jednakost 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 . Brojevi u srednja dva stupca su upravo duljine kraće stranice b i hipotenuze c pravokutnog trokuta (gdje je b>a). Autor ove pločice je načinio i nekoliko pogrešaka. Pogrešku u drugom retku možemo lako provjeriti jer pravokutni trokut duljine hipotenuze 11521 i jedne katete 3367 nema drugu katetu cjelobrojne duljine. To ipak ne umanjuje činjenicu kako je Plimpton 322 dokaz da su Pitagorine trojke bile poznate i tisućama godina prije pojave matematičara antičke Grčke. Slika 5. Nalizište u Nipuru Nalazište u Nipuru blizu hrama u obliku stepenaste piramide (tzv. zigurat) je primjer izrazitog matematičkog znanja Babilonaca. Na tom je mjestu nađeno oko 50 000 glinenih tablica koje svjedoče znatnom matematičkom znanju.
5 Slika 6. i 7. Trokutasti, kvadratni i piramidalni nizovi brojeva Babilonci su izgrađivali nizove koji uključuju trokutaste brojeve (1, 3, 6, 10, 15 itd.), kvadratne brojeve (1, 4, 9, 16, 25 itd.) i piramidalne brojeve (1, 5, 14, 30, 50 itd.). Primjer korištenja niza piramidalnih brojeva je slagalište municije u Calcutti sredinom 19. st. Slagali su topovske kugle u piramide da što bolje iskoriste prostor (druga hrpa sa desne strane). Poznavanje piramidalnih brojeva omogućavalo ja lako izračunavanje broja đuladi (topovske kugle). Slika 8. municija u Calcutti
6 EGIPATSKA MATEMATIKA Ella Cink, 4.g Jedna od najranijih velikih civilizacija bila je staroegipatska, stoga kod njih i nalazimo neke od prvih matematičkih ideja. Najstarija egipatska bilješka o broju potječe otprilike oko 3300. godine prije Krista. Staroegipatska matematika jedna je od najranijih epoha te znanosti. Jedna od prvih grana matematike bila je geometrija. O staroegipatskoj matematici najviše doznajemo iz papirusa, a dva najvažnija su Ahmesovo ili Rhindovo i Moskovsko. Moskovski papirus pisan je na hijeratskom pismu, te se temelji na podatcima iz 1800. godine pr.Kr. Autor ovog papirusa nije poznat, a papirus sadrži 25 zadataka. U njemu nalazimo zadatke vezane uz količinu radnika i posla, računanje plovidbe i stvari vezanih za računanje količine hrane. Jedan dio posvećen je geometriji, posebno trokutu, površinama i volumenima piramida. U Moskovskom papirusu nalaze se i najveća dostignuća egipatske geometrije. Dužine je oko pola metra i širine malo manje od 8 centimetara. Moskovski papirus otkrio je 1893. godine V. S. Golenichev. Čuva se u Moskovskom muzeju. Ahmesov ili Rhindov papirus je 1858. otkrio škotski egiptolog Henry Rhind u Luxoru. Napisao ga je pisar Ahmes oko 1650. godine pr.Kr. Ovaj svitak duljine 6 m i širine 30 cm danas se čuva u British Museumu u Londonu. U samom papirusu piše da je to "studija o svim stvarima, pogled u unutrašnjost svega što postoji, saznanje o tamnim tajnama". Ahmesov papirus je zbirka tablica i vježbi sa 87 matematičkih problema. Papirus sadrži vježbe iz aritmetike, algebre, geometrije i raznih mjerenja. Poseban dio posvećen je razlomcima. U njemu se nalazi i najstariji poznati i sačuvani zapis broja π. Stari Egipćani imali su oznake za svoje brojeve i razvijeni decimalni sustav. Koristili su brojevni sustav s bazom 10, a jedna od glavnih razlika između hijeratskih brojeva i našeg brojevnog sustava je taj da hijeratski brojevi nisu bili pisani u sustavu mjesnih vrijednosti. Znamenke se mogu pisati bilo kojim redoslijedom. Hijeratski je sustav adicijski sustav.
7 Pisali su po kamenu, hijeroglifskim znacima s lijeva na desno, ali i obrnuto. Ponekad su pisali odozgo prema dolje. Egipatski način pisanja nije pozicijski. Princip pisanja brojeva je jednostavan, npr. broj 7 je 7 crtica ---> Manji znakovi grupiraju se po dva dok duguljasti stoje sami.  Broj 13  Broj 456  Broj 1339
8 Egipatski brojevni sustav nije bio pogodan za računanje, a trgovina je zahtijevala zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i rad s razlomcima. Kod zbrajanja koristio se ovaj znak koji bi se okrenuo kada se oduzimalo. Zbrajalo se skupljanjem istih simbola zajedno i pretvaranjem njih 10 u jedan simbol sljedeće razine. Oduzimalo se tako što odmicao određeni broj istih simbola. Egipćani su brojeve množili tako što su posjedovali tablice množenja s 2, npr. množenje 35 s 5  34 – 1 68 – 2 136 – 4 Na desnoj strani moramo naći pribrojnike koji će zajedno zbrojeni dati drugi pribrojnik 5 (to su 1 i 4). Ti reci se podebljaju i zbrojimo ono što je s lijeve strane (34 + 136=170).
9 Brojevi su se analogno i dijelili, npr. 54 sa 7. Počnemo pisati s djeliteljem 7, a s druge strane krenemo s 1 i udvostručavamo.  7 – 1 14 – 2 28 – 4 Od djeljenika oduzimamo lijevu stranu dok više ne možemo oduzimati 54 – 28 = 26, 26 – 14 = 12, 12 – 7 = 5. Tako smo dobili i ostatak (5), zatim brojeve koje smo dijelili zacrnimo i zbrojimo desnu stranu. Konačno rješenje je 54 : 7 = 7 cijelih i 5 ostatka RAZLOMCI Egipćani su razlomke označavali na način koji nema sličnosti niti s jednom drugom kulturom. Svaki razlomak pisali su s jediničnim brojnikom, a kada to nije bilo moguće, prikazivali su ga kao zbroj takvih. Poznavali su samo jedinične razlomke, tj. razlomke s brojnikom 1. Iznimka u tome je bio razlomak 2 3 . Razlomci su zapisivani tako da je iznad nazivnika stavljen hijeroglif koji je označavao "otvorena usta".  oko boga Horusa Stari Egipćani vjerovali su da ih simbol „Rx“ štiti od zla. U matematiku su ugradili simboliku pa su razvili i brojevni sustav koji se koristio za prepisivanje lijekova, podjelu zemlje ili sjemenja. Razlomke su tvorili tako što su kombinirali pojedine dijelove simbola oka boga Horusa. Svaki dio imao je različitu vrijednost, cjelokupni simbol oka ima vrijednost 1, a cijeli sustav temelji se na podjeli na polovice.
10 GEOMETRIJA Za izgradnju piramida i hramova Egipćani su morali imati dobro razvijenu geometriju i stereometriju. Znali su računati nagib i obujam piramide, te obujam krnje piramide. Računali su površinu trokuta kao 1 2 umnoška dviju kraćih stranica, također su znali izračunati i površinu pravokutnika kao umnožak duljina njegovih stranica. U Ahmesovom papirusu pronađeno je kako su računali površinu kruga. Suvremenim matematičkim jezikom ta formula glasila bi 𝑃 = ( 8 9 ∙ 𝑑𝑖𝑗𝑎𝑚𝑒𝑡𝑎𝑟) 2 , a kada bi ju usporedili s točnom formulom površine kruga 𝑃 = 𝑟2 𝜋 što znači da su stari Egipćani prije stvarnog otkrića broja π znali njegovu približnu vrijednost (π ≈ 3.1605).
11 ALGEBRA Staroegipatska algebra bila je retorička, problemi i rješenja dani su riječima. Rješavali su jednadžbe prvog stupnja tako da su obavezno provodili analizu i sintezu pri rješavanju. Svako rješenje su uvrštavali u početni problem da se uvjere da je dobro riješen. Stari Egipćani nisu poznavali oznake za množenje, dijeljenje, jednakost, drugi korijen, decimalnu točku, nisu znali ni za obični razlomak. Koristili su se sedmeroznamenkastim brojevima, u svojim računima imali su mješavinu jednostavnosti i kompliciranosti, a taj se koncept prikazuje kao jedinstvena i zatvorena cjelina. Zbog toga se može reći da je egipatska matematika jedini sačuvani primjerak računske tehnike koja je bila vrlo razvijena. U cijelom svom razvoju nije doživjela nikakav diskontinuitet te se u potpunosti temelji na osnovi računanja (brojenju i pojmu razlomka).
12 GRČKA MATEMATIKA Doroteja Lukić, 3.g Izraz „grčka matematika“, koristimo kada govorimo o matematici koja je temeljena na starogrčkim tekstovima te razvijena od 7. stoljeća prije Krista do 4. stoljeća poslije Krista duž istočnih obala Mediterana. Poveznice između grčkih matematičara koji su živjeli u različitim gradovima duž cijelog istočnog Mediterana, od Italije pa sve do Sjeverne Afrike, bili su upravo zajednička kultura i jezik. Također, sam izraz „matematika“ potječe upravo od grčke riječi mathema što znači – znanost. Glavna razlika između grčke matematike i matematika razvijenih u prethodnim civilizacijama je u proučavanju matematike zbog samog proučavanja i korištenju općih matematičkih dokaza i teorija. Kako je grčko carstvo počelo širiti svoju sferu utjecaja na Malu Aziju, Mezopotamiju pa i dalje, Grci su bili dovoljno pametni kako bi prisvojili i preradili korisne elemente naroda koje su pokorili. Ovo se najviše vidi na njihovoj matematici, prisvojili su elemente matematike ne samo od Babilonaca već i od Egipćana. Uskoro su počeli donositi važan doprinos te po prvi put možemo razaznati doprinos pojedinaca. Do Helenističkog vremena, Grci su predsjedali najdramatičnijom i najvažnijom revolucijom u matematici ikad. U početku su se Grci bavili matematikom imajući jedan osnovni cilj – shvaćanje čovjekovog mjesta u svemiru. O vremenu stvaranja grčke matematike možemo zaključiti na osnovi manjih sastavnica, koje se nalaze u kasnijim radovima, kao i na osnovi zapažanja filozofa i drugih
13 znanstvenika koji nisu bili samo matematičari. Ona je u usporedbi sa ostalim znanostima dostigla najviši nivo teorijskog razvitka. U vrijeme pojave prvih zapisa o grčkoj matematici su grčki trgovci već bili naučili od svojih egipatskih kupaca kako je za pisanje korisno upotrebljavati papirus jer se lakše prenosi i čuva nego glinene pločice. Vrijeme tijekom kojega su grčke mediteranske zajednice dale trajan doprinos razvoju matematike može se podijeliti u tri velike faze: prva, koja nije ostavila nikakvih pisanih tragova, proteže se od Talesa i Pitagore do Demokrita, od 600. do 400. godine prije Krista; druga, čiju osnovu predstavlja Platonovo učenje, dolazi do vrhunca u Euklidovom sustavu; za treću ili aleksandrijsku fazu karakteristično je odstupanje od formalizama i jak osjećaj za praktičnu primjenu matematike. Grčka tradicija ističe Talesa kao osnivača grčke matematike. Iako o tome nema dokumentiranih dokaza ranijih od jednog stoljeća nakon Talesove smrti, jer rukopisi koji su se sačuvali pripadaju vremenu Kršćanstva i Islama i samo veoma malo dopunjuju bilješke u egipatskim papirusima, koji su nešto starijeg datuma, klasična filozofija je pomogla da se rekonstruiraju tekstovi iz 4. stoljeća pr. Kr., kao i tekstovi iz bližeg perioda. Zahvaljujući tome imamo solidna izdanja Euklida, Arhimeda, Apolonija i drugih velikih antičkih matematičara. Međutim, ti tekstovi sadrže već potpuno izgrađenu matematičku znanost pa je teško, čak i pomoću kasnijih komentara, pratiti tijek povijesnog razvoja. Prema tome, o razdoblju formiranja grčke matematike možemo zaključivati samo na osnovi manjih sastavnica, koje se nalaze u kasnijim radovima, kao i na osnovi zapažanja filozofa i drugih autora, koji nisu bili samo matematičari. Veoma mnogo pažnje i truda bilo je posvećeno kritici tekstova i na osnovu toga je osvijetljen veliki broj tamnih mjesta iz tog ranog perioda. Radovi raznih istraživača omogućili su nam da steknemo dosta povezanu, iako samo hipotetsku sliku grčke matematike u razdoblju njenog formiranja. Drevni grčki brojevni sustav u potpunosti je razvijen oko 450. godine pr. Kr., a u redovnoj upotrebi vjerojatno već u 7. stoljeću prije Krista. To je sustav sa bazom 10, sličan ranijem egipatskog sustavu (pa čak i sličniji kasnijem rimskom sustavu), sa simbolima za 1, 5, 10, 50, 100, 500 i 1.000 ponavljanim onoliko puta koliko je potrebno za dobivanje željenog broja.
14 Većina Grčke matematike zapravo se temelji na geometriji. Tales se smatra prvim matematičarem koji je postavio smjernice za apstraktni razvoj geometrije, iako se ono što danas znamo o njegovom radu čini poprilično osnovnim. Tales je uspostavio, ono što je danas poznato kao Talesov poučak. On govori da ako je trokut ucrtan u krug s dužom stranom kao promjerom kruga, onda će suprotni kut uvijek biti pravi kut. On je također zaslužan za drugi teorem, također poznat kao Talesov poučak, koji kaže da su kod jednakokračnih trokuta kutovi uz osnovicu jednaki te da ako se jednake prave crte povuku dalje, kutovi pod osnovicom bit će jednaki. Legendarni matematičar iz 6. stoljeća pr.Kr., Pitagora, postao je sinonim rađanja grčke matematike. Vjeruje se da je on izmislio obje riječi, „filozofija“ (ljubav spram mudrosti“) i „matematika“ (ono što se nauči). Pitagora je vjerojatno prvi shvatio da cijeli sustav matematike može biti izgrađen, gdje bi geometrijski elementi predstavljali brojeve. Pitagorin poučak je jedan od najpoznatijih matematičkih poučaka. On postaje kontroverzna figura, ali grčka matematika nipošto nije ograničena na jednog čovjeka. Međutim, sigurno je istina da je Pitagora značajno utjecao na one koji su došli poslije njega, uključujući i Platona, koji je osnovao svoju poznatu Akademiju u Ateni 387. godine prije Krista te njegova štićenika Aristotela, čiji se rad na logici smatrao definitivnim više od dvije tisuće
15 godina. Platon je najpoznatiji po svom opisu pet Platonovih krutih tijela, ali vrijednost njegovog rada kao učitelja i popularizatora matematike ne može biti precijenjena. Možda je najvažniji pojedinačni doprinos Grka ideja dokaza i deduktivna metoda korištenja logičkih koraka za dokazivanje ili opovrgavanje teorija. Starije kulture, poput Egipćana i Babilonaca, oslonile su se na induktivno zaključivanje, koje koristi ponavljano promatranje kako bi se ustvrdila pravila. Upravo je ovaj koncept dokazivanja, ono sto je dalo matematici svoju snagu i osigurava da su dokazane teorije istinite i danas kao što su bile i prije dvije tisuće godina te je postavilo temelje za sustavni pristup matematici Euklidu i onima koji su došli poslije njega. Matematika je doprinijela DA SE UVEDE RED, DA SE IDEJE POVEŽU U LOGIČNE NIZOVE TE DA SE OTKRIJU OSNOVNI PRINCIPI.
16 KINESKA, INDIJSKA I ARAPSKA MATEMATIKA Ariana Gobac, 3.g KINA Matematičari ove zemlje pisali su kineskim znakovljem te je kao takva bila izdvojena od drugih civilizacija koje nisu bile upoznate s tim znakovljem. Kina je ostatku svijeta postala poznata tek zahvaljujući Marku Polu, te raznim drugim misionarima (Isusovcima) koji su putujući svijetom i trgujući došli u kontakt s kineskom civilizacijom i matematikom. Zbog oskudno sačuvanih pisanih dokumenata ne zna se mnogo o matematici drevne Kine, te o njenim začecima, no prilično je sigurno da počeci astronomije i matematike drevne Kine sežu barem u 3. tisućljeće prije naše ere. Naime, u to doba Kinezi su već imali detaljno razrađen kalendar, što dokazuje da je i aritmetika morala biti jako razvijena jer bez nje se ne bi mogli napraviti proračuni potrebni za sastavljane imalo razvijenijeg kalendara. Najstariji sačuvani matematički tekstovi potječu tek iz doba oko 200. pr.Kr., no to je posljedica spaljivanja svih knjiga godine 213. pr.Kr. po naredbi vladajućeg tiranina. Prema starim kronikama ˝Žuti car˝ Huang – Ti (vladao Kinom u 27.st pr. Kr.) dao je naredbe svojim podanicima tj. zadao im je zadatke što moraju istraživati. Tako je trima znanstvenicima dao zadatak da proriču pomoću Sunca, Mjeseca i zvijezda. Četvrtom znanstveniku dao je zadatak da stvori glazbene note, petom znanstveniku Tai – Naou naredio je da konstruira heksagezimalni sustav (Chia – Tsu), šesti znanstvenik Li – Skouu dobio je zadatak da izgradi brojeve i umjetnost aritmetike, a posljednji sedmi znanstvenik dobio je zadatak da regulira svih tih šest vještina te razradi kalendar. Koristili su se heksagezimanim sustavom. To je najstariji kineski sustav numeracije. Baza mu je broj 60, a funkcionirao je tako da su se brojevi od jedan do šezdeset tvorili kombiniranjem elemenata jednog desetočlanog i jednog dvanaestočlanog ciklusa (najmanji zajednički višekratnik od 10 i 12 je 60). Taj su sustav koristili za brojanje dana i godina. Znanstvenici su kasnije ustvrdili da su počeci matematike u Kini imali srodnosti s počecima razvoja matematike u staroj Mezopotamiji i vjeruje se da su na neki način povezani. Prvi dokazi matematičke aktivnosti u Kini pronađeni su u obliku numeričkih simbola zapisanih na tankim kostima stoke i drugih životinja, a procijenjeni su da potječu iz 14.st.pr.Kr.
17 Legenda o Lo Shu Budući da nema drugih konkretnih pisanih dokaza, sve se oslanja na jednu legendu koja govori kako su Kinezi došli na ideju da stvore sustav brojeva i istraživanja koje je dovelo do razvoja matematike: Prema legendi, kralj Yu je primio dva božanska dara. Prvi dar je primio od božanske ˝Kornjače˝ dok je prelazio Žutu rijeku. Na Kornjačinim leđima je bila zacrtana jedna figura, odnosno, dijagram zvan Lo shu, za koji se vjeruje da sadrži osnove kineske matematike. Drugi dar, odnosno figuru, primio je od božanskog konjonogog ˝Zmaja˝ kojemu su kopita ostavljala tragove u blatu. Dijagram Lo Shu Izrazi li se Lo Shu brojevima (na slici gore – koliko na pojedinom mjestu ima u skupinu povezanih točaka) dobiva se taj ˝magični kvadrat˝ sa svojstvom da je zbroj brojeva u bilo kojem njegovom retku, stupcu ili po dijagonalama jednak 15. Taj prvi dijagram, Lo - Shu, kasnije nazvan ˝čarobni kvadrat˝ doveo je do razvoja dualističke teorije Yina i Yanga, odnosno do dualističkog razvoja brojeva. Yang predstavlja neparne brojeve (1, 3, 5, 7, 9, 11...) Yin predstavlja parne brojeve (2, 4, 6, 8, 10...) Kasnije su Kinezi uz parne i neparne brojeve usvojili koncept nule. Znak za nulu je dugo vremena bio nepoznat. U osmom se stoljeću nula označava točkom, a krug ili kvadrat kao simboli za nulu se pojavljuju tek u 13. stoljeću.
18 Kineski brojevi U Kini su ljudi, kao i u većini drugih zemalja, najprije računali ˝na prste˝, a već u 2. tisućljeću prije Krista u Kini su imali simbole za brojeve, a oni su prikazani u tablici: 2000.god. pr. Kr. Kasnije se u Kini računalo pomoću štapića (od bambusa, slonove kosti ili metala). Svi štapići su bili jednake veličine, a trgovci i su ih najčešće nosili stalno sa sobom u torbi. Brojevi od 1 - 5 bili su prikazivani kao horizontalne crtice, odnosno kao polegnuti bambusovi štapići, brojevi od 6 – 9 su prikazivani kao jedan vertikalni štapić te kombinacija od nekoliko horizontalnih štapića. 400.god pr.Kr Nakon uvođenja negativnih brojeva, štapići za računanje su se izrađivali u dvije boje - crveni za pozitivne i crni za negativne brojeve. Mnogo kasnije, tek u 16. stoljeću će se pojaviti abakus. Abakus je preteča današnjih kalkulatora, a sastojao se od drvenog okvira i niza žica po kojima su se mogli micati kamenčići. On se koristio do usvajanja arapskih brojeva, a zanimljivo je to da se ponegdje u Kini trgovci još uvijek njime služe. S vremenom kinesko se pismo malo promijenilo i oblikovalo. U sljedećoj tablici možemo vidjeti suvremene kineske znakove za brojeve. Isti zapis brojeva može se naći i u Japanu i Koreji. Prikaz suvremenih kinesko-japansko-korejskih brojeva Razlomci su se pojavili u upotrebi gotovo istovremeno s prirodnim brojevima. Osnovne računske operacije izvodile su se slično kao i danas, s tim da su množenje i dijeljenje
19 objašnjavali na konkretnim primjerima. Dalje se matematika razvijala iz skupa algoritama za računanje i metoda za rješavanje praktičnih zadataka. Najvažnija dostignuća Kao i indijska, kineska matematika nije deduktivnog tipa, nego orijentirana na nalaženje algoritama za rješavanje konkretnih zadataka. Mnoga od otkrića i postignuća u matematici Kineza očuvana su u nekoliko starih i veoma važnih knjiga pisanih u periodu od 1. do 13.st. Djela: Knjiga o mijenama (I Ching) - jedna od najstarijih očuvanih knjiga. Koristila se za proricanje i gatanje. Sadrži elemente binarne notacije brojeva. Sveta knjiga o aritmetici (Chou – Pei) - nastajala je u periodu od 2. – 12. stoljeća. Sadrži podatke, tvrdnje, razgovore i rasprave o matematici, filozofiji, numerologiji, astronomiji ... U toj knjizi se prvi put spominje tekst koji na indirektan način govori o Pitagorinom poučku, zato neki znanstvenici čak smatraju da je ono što mi smatramo Pitagorinim poučkom zapravo informacija podrijetlom iz Kine. Također u knjizi je navedeno da su Kinezi broj što ga mi označavamo sa π, aproksimirali sa 3. Aritmetika u devet knjiga ( Chiu Chang Suan Shu ) - je najstariji matematički tekst. Njen autor je Chang Tsang. U toj je knjizi niz od 246 zadataka s rješenjima namijenjenih mjeračima, inženjerima, činovnicima i trgovcima. U svakoj od knjiga raspravlja se o jednom matematičkom problemu: 1. daje se postupak izračunavanja površine trokuta, četverokuta, kruga, kružnog odsječka i isječka. Obrađuju se i razlomci; dane su korektne metode za njihovo zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje 2. obrađuju se omjeri i kamatni račun 3. govori se o produženim omjerima i razmjerima 4. obrađuje se vađenje drugog i trećeg korijena, te približni proračun opsega kruga dane površine i promjera kugle danog obujma 5. uči se kako se računa obujam prizme, piramide, valjka, stošca, prikraćene (krnje) piramide i stošca 6. obrađuje se ono što bismo zvali računom smjese 7. obrađuju se problemi sustava od dviju jednadžbi s dvije nepoznanice 8. ispituju se problemi što vode na sustav od više linearnih jednadžbi s više nepoznanica 9. rješava se pravokutni trokut pomoću «Pitagorina» poučka i neke oblike kvadratne jednadžbe
20 Zhang Qiu-Jian (5. st.) – razvija ideje prethodnika i donosi nove matematičke probleme o nizovima brojeva, jednadžbama višeg reda i teoriji brojeva. Dao je formulu za sumu aritmetičkog niza. Tsu Chung – chih (430 – 201) – za točnu vrijednost broja π uzima vrijednost , što daje šest točnih decimalnih mjesta (ista vrijednost u Europi se pojavljuje tek 1600.god, odnosno tisućljeće kasnije) Quin Jiu - Shao (1202 -1261) - rješava sustave kongruencija (Kineski teorem o ostacima), a promatra i algebarske jednadžbe, površine geometrijskih likova i sustave linearnih jednadžbi. Tražio je i rješenja jednadžbi metodom koju nazivamo Hornerova (William Horner, 1819.), iako je u Kini bila poznata 500 godina ranije. Chu Shih - kieh (1270 - 1330.) - napisao je dva važna teksta: Uvod u matematiku za početnike i Dragocjeno ogledalo četiri elementa (1303.) koje je vrhunac kineske matematike i nakon njega dulje vremena nema napretka u matematici. Sadrži metodu transformacija za rješavanje jednadžbi, koju koristi do stupnja 14, te ˝Pascalov˝ trokut binomnih koeficijenata, koji je u Kini poznat četiri stoljeća prije no što ga je Pascal ˝otkrio˝.
21 INDIJA Staroindijska matematika bila je pretežno ˝aritmetičko-algebarski˝ orijentirana, za razliku od starogrčke matematike koja je bila pretežno ˝geometrijski˝ orijentirana. Naravno, grčka matematika nije bila isključivo geometrija, niti je staroindijska matematika bila bez geometrije; riječ je samo o usmjerenju koje je dominiralo. U staroindijskoj literaturi nema velikih djela isključivo posvećenih matematici; matematika je prisutna tek kao dio, kao pojedinačno poglavlje u astronomskim ili astrološkim djelima. Najstariji poznati matematički tekstovi su Sulvasutre (u prijevodu Pravila konopa). Sulvasutre su dodaci vjerskim tekstovima poznatim kao Vede. U njima se nalaze pravila za mjerenje i izgradnju hramova i oltara na razini elementarne geometrije. Sva su pravila dana bez dokaza. Konop rastegnut preko dijagonale kvadrata daje duplu površinu. Konop rastegnut preko dijagonale pravokutnika daje površinu koju čine vodoravna i okomita stranica. Nađi kvadrat koji je jednak zbroju površina danih kvadrata. (rješenje se nalazi u svim Sulvasutrama) Sve Sulvasutre sadrže metodu kvadrature kruga, tj. postoje različite aproksimacije broja  od 3.00444, 2.99, 3, 3.029, itd. Jedan od najzanimljivijih rezultata iz Sulvasutra je aproksimacija √2 točna na pet decimala, a dana je pravilom: Povećaj jediničnu dužinu za trećinu i tu trećinu na njenu četvrtinu umanjenu za trideset četvrtinu te četvrtine, tj: √2  1 + 1 3 + 1 3 ∗ 1 4 − 1 3 ∗ 1 4 ∗ 1 34 = 577 408 = 1.414215686 Nakon zamiranja vedske religije nastaje razdoblje Jaina. O matematici tog doba se malo zna, no sigurno je da u to doba sežu ideje o beskonačnosti i bavljenje velikim brojevima te osnove kombinatorike. Karakteristike indijskih matematičkih tekstova je da su općenito pisani u stihovima. Mnogi tekstovi opisuju algoritme za računanje i pravila za rješavanje konkretnih zadataka, no općenito nema skica, formula ni dokaza. Indijska je matematika osobito značajna zbog razvoja raznih tehnika računanja, dok im je znanstveni doprinos manji. Današnja aritmetika je Indijskog porijekla.
22 Indijci koriste pozicijski dekadski brojevni sustav, sa znamenkama od 1 do 9. Znak za 0 koristi se vjerojatno od 4. stoljeća, a sigurno od 9. stoljeća. Nulu Indijci nazivaju sunya, što znači praznina. Kako su računali? Na primjeru se može ilustrirati kako su stari Indijci na računskim pločama podijeljenim na polja obavljali množenje, ispisujući i brišući brojeve na pijesku kojim bi posipali ploču. Ako je trebalo, recimo, pomnožiti 415 s 327 ispisali bi te brojeve u glavni redak i stupac računske ploče. U svako dijagonalom podijeljeno polje ispisali bi zatim parcijalni produkt odgovarajućih znamenki, npr. u treće polje prvog retka ispisali bi znamenke jedan i pet, jer je pet puta tri jednako petnaest. Kada su tako sva polja bila ispunjena (znak za nulu tu nije potreban jer ga može nadomjestiti prazno polje). Zbrajali su brojeve po ˝dijagonalnim prugama˝ počevši od donjega desnog kuta (uz prijenos u daljnju prugu ulijevo eventualnih desetica – kao i pri našem množenju).
23 Staroindijski matematičari Aryabhatta (476. – 550.), već je među ostalim, znao vaditi drugi i treći korijen podjelom radikanda u grupe s po dvije odnosno tri znamenke (u načelu isto kao što radimo danas), bavi se područjima astronomije, sferne i ravninske trigonometrije, aritmetike i algebre. Dao je točne formule za površinu trokuta i kruga, piše o verižnim razlomcima, kvadratnim jednadžbama, potencijama. Dao je dosta točnu aproksimaciju broja  ≈ 3.14164 i koliko je poznato prvu tablicu sinusa (polutetiva, a ne tetiva kao Ptolomej). Brahmagupta (598. – oko 670.) pisao je važna djela o matematici i astronomiji. Bavio se aritmetičkim nizovima, kvadratnim i diofantskim jednadžbama, teoremima o pravokutnim trokutima, za  koristi aproksimaciju √10 . Prvi je matematičar koji je dao sistematski prikaz pravila za računanje s negativnim brojevima. Pripisuje mu se pravilo oblika (+)*( - ) = ( - ) . Pozitivne brojeve interpretira kao blago, a negativne kao dug. Brahmaguptin teorem: u tetivnom četverokutu s okomitim dijagonalama visine iz sjecišta dijagonala na pojedine stranice prepolavljaju njima nasuprotne. Brahmaguptina formula: poopćenje Heronove formule na tetivne četverokute; 𝑃 = √(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐 )(𝑠 − 𝑑) Mahavira (9. st.) se bavio elementarnom matematikom i prvi je indijski matematičar koji je napisao samo matematici posvećen tekst. Poznavao je svojstva nule (za zbrajanje, oduzimanje, množenje), ali nije znao što bi bio rezultat dijeljenja s nulom. Koristi pozicijski sustav, opisuje rastave razlomka na jedinične razlomke, bavio se linearnim diofantskim jednadžbama, daje pravila za korištenje permutacija i kombinacija, . . . Pravilno navodi pravila: a · 0 = 0, a − 0 = a, ali i nepravilno tvrdi da je a : 0 = a. Bhaskara (1114. – 1185.) najpoznatiji je indijski matematičar do 12. stoljeća. Puno je doprinio razumijevanju brojevnih sustava i rješavanju jednadžbi, dokazivao je Pitagorin poučak i još mnogo toga. Glavna su mu matematička djela Lilavati i Bijaganita. Bavio se ravninskom i sfernom trigonometrijom. Izračunao je 𝑠𝑖𝑛18° i 𝑠𝑖𝑛36°. Dao je i adicijske formule za sinus. Uočio je problem dijeljenja s nulom. Nakon Bhaskare indijska je matematika, općenito uzevši, stagnirala i čak nazadovala sve do novijeg vremena.
24 ARAPI Mnogi smatraju da u razdoblju od kraja grčke antičke znanosti do kasnog srednjeg vijeka u Europi nije bilo važnih događaja u matematici osim prevođenja grčkih tekstova na arapski. No, zapravo je doprinos arapskog područja matematici mnogo veći od samog prevođenja i prijenosa podataka. Današnja matematika zapadnog stila mnogo je sličnija matematici kakvu susrećemo u arapskim doprinosima, nego onoj u starogrčkim. Mnoge ideje koje su pripisane Europljanima kasnog srednjeg vijeka i renesanse pokazale su se zapravo arapskim. Prvi poticatelj znanosti i prevođenja grčkih tekstova na arapski bio je kalif al-Hajjaj, koji je na vlast stupio 786.g. Glavni znanstveni centar postaje Kuća mudrosti, vrsta akademije ili sveučilišta u Bagdadu (koji je osnovan 762.g.), koju je osnovao al-Hajjajev sin kalif al-Ma'mun. Arapski brojevi Indijski način zapisivanja brojki bio je temelj europskom načinu zapisivanja. No, oni nisu odmah preneseni iz Indije u Europu već je njihov medij bio arapski narod. Poprilično različiti brojevni sustavi korišteni su na arapskom poluotoku dugi niz godina. Postojalo je najmanje 3 različita brojevna sustava:  računanje na prste: brojevi se pišu riječima (trgovci, računovođe)  heksagezimalni sustav: brojevi označeni arapskim slovima (astronomija)  indijski dekadski sustav: znamenke su preuzete iz Indije, ali bez standardnog skupa simbola, tako da se u raznim krajevima koristilo donekle različite oblike znamenki (ploče) Posljednji sustav je omogućio napredak numeričkih metoda, npr. računanje korijena (Abu'l- Wafa, Omar Khayyam), otkriće binomnog teorema za prirodne eksponente (al-Karaji), aproksimaciju transcendentnih realnih brojeva i računanje n-tih korijena (al-Kashi).
25 Al-Hvarizmi, prvi veliki arapski matematičar (punim imenom Abu' Abdallah Muhammad ibn Musa al-Magusi al-Khwarizmi al- Choresmi). Živio je oko 780.- 850.g. i bio je učenik u Kući mudrosti, a kasnije ju je i vodio i djelovao pod zaštitom kalifa al-Ma'muna. Pisao je o algebri, geometriji, astronomiji i njemu se pripisuje uvođenje arapskih brojeva u matematiku. No, on je samo zaslužan za prenošenje arapskih brojeva u Europu jer brojčani sustav bilježenja brojeva znamenkama od 0 do 9 vuče korijene iz Indije još oko 500. godine. Donosi odmak od grčke matematike, koja se većim dijelom odnosila na geometriju, prema algebri. Algebra je omogućavala tretiranje racionalnih i iracionalnih brojeva, geometrijskih veličina i drugih kao algebarskih objekata, što je dovelo do potpuno novog razvoja matematike. Glavno djelo mu je udžbenik algebre Hisab al-jabr w'al-muqabala. Iz njegova naziva izvedena je riječ algebra (al-jabr). Al-Hvarizmi svojom knjigom želi olakšati rješavanje svakodnevnih problema (npr. pitanja nasljeđivanja u muslimanskim zakonima), no prvi dio se može smatrati i ozbiljnije algebarskim: bavi se linearnim i kvadratnim jednadžbama. Sastavio je tablice za funkcije sinus i tangens. Dao je opću metodu (Al-Hvarizmijevo rješenje) za nalaženje dva korijena kvadratne jednadžbe: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; pokazao je da su korijeni 𝑥1,2 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 Al-Karaji (punim imenom Abu Bekr Muhammad ibn al-Husayn Al- Karaji, 953.g. - 1029.g.), bagdadski matematičar i inženjer, smatra se prvom osobom koja je potpuno oslobodila algebru od geometrijskih operacija i zamijenila ih aritmetičkim, što je osnova moderne algebre. Tako npr. svođenje na potpun kvadrat provodi čisto algebarski. Prvi je definirao monome 𝑥, 𝑥2 , 𝑥3 , ... i , 1 𝑥 , 1 𝑥2 , 1 𝑥3 ... dao pravila za produkt bilo koja takva dva monoma. Osnovao je utjecajnu algebarsku školu koja će uspješno raditi više stoljeća. Kod njega se mogu naći i začeci matematičke indukcije. Al-Haytham (punim imenom Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham, 965.g. - 1040.g.) je vjerojatno prvi koji je pokušao klasificirati parne savršene brojeve. Također je prva poznata osoba koja je izrekla Wilsonov teorem (Ako je p prost broj, onda p dijeli 1 + (p - 1)!) Nije jasno je li to znao
26 dokazati. A teorem se zove po Johnu Wilsonu jer mu je njegovo poznavanje (ne i dokaz) pripisano 1770.g. Prvi poznati dokaz dao je Lagrange 1771.g. Al-Haytham se bavio i optikom, kvadraturom kruga i sustavima kongruencija. Omar Khayyam (punim imenom Ghiyath al-Din Abu'l-Fath Umar ibn Ibrahim Al-Nisaburi al-Khayyami, 1048.g. – 1131.g.) uz matematiku bavio se astronomijom, filozofijom i poezijom. Glavno djelo mu je Algebra. Dao je potpunu klasifikaciju kubnih jednadžbi (14 tipova) s geometrijskim rješenjima pomoću sjecišta konika i prvi uočio da ne moraju imati jedinstveno rješenje. Poziva na prve dvije Apolonijeve knjige o konikama i daje algebarsku metodu kako druge kubne jednadžbe pretvoriti u kvadratnu ili neki od tipova iz svoje sistematizacije. Nasir al-Din al-Tusi (punim imenom Muhammad ibn Muhammad ibn al- Hasan al-Tusi, 1201.g. - 1274.g) Napisao je važna djela o logici, etici, filozofiji, matematici i astronomiji, a napisao je i mnoge komentare grčkih tekstova. Pisao je i o mineralima, draguljima i parfemima. U komentaru Ptolemejeva Almagesta (1247.g.) uveo je razne trigonometrijske tehnike za izračunavanje tablica sinusa. Najvažniji doprinos mu je stvaranje trigonometrije kao matematičke discipline, a ne sredstva za astronomske proračune, te je dao prvi potpuni prikaz ravninske i sferne trigonometrije. U tom je djelu dao teorem o sinusima za ravninske trokute (danas poznat kao poučak o sinusima): 𝑎 sin 𝛼 = 𝑏 sin 𝛽 = 𝑐 sin 𝛾
27 TALES Kornelija Čidić, 2.g Kod Grka se Talesovo ime oduvijek isticalo s velikim ponosom. Od Herodota do danas se o njemu puno pripovijedalo, no sve ono što bi upućivalo na pomisao da je on utemeljio jonsku filozofijsku školu zapravo je bezazlena Aristotelova tvrdnja. Aristotel je povezao tu tvrdnju s pukim izrazom da je Tales odredio vodu kao supstanciju od koje je sve načinjeno. Taj je „materijalni princip“ opisan pojmovima Aristotelova mišljenja. U svakom slučaju, Aristotel jasno kaže da se oslanja na sekundarne izvore (λέγεται, Met. A, 984a2), ne znajući ništa povrh toga o razložnosti na kojoj se temeljio spomenuti iskaz. Tales je bio zainteresiran za filozofiju, povijest, matematiku … Ništa od njegovih pisanih djela nije sačuvano, no mnogi grčki filozofi ostavili su traga o njemu i njegovom radu. O njegovom životu se općenito se malo zna, a saznajemo najviše od Herodota iz djela „Povijest“. Rođen je 640. godine prije Krista u Miletu u uglednoj i poštovanoj plemićkoj obitelji. Neki tvrde da se nikad nije ženio i da je usvojio sina svoje sestre, dok drugi tvrde da se oženio i imao sina po imenu Kibist. Tales je prvi dobio nadimak filozofa i bio je među sedam drevnih mudraca. Još jedan veliki uspjeh u njegovom životu je otvaranje jonske škole. Osim jonske škole, Talesa možemo svrstati i u miletsku školu zajedno s Anaksimenom i Anaksimandrom. Tales je umro za vrijeme 58. olimpijade oko 547. godine prije Krista. Za njegovu smrt postoje i tvrdnje: „… od vrućine, žeđi i slabosti, već u godinama. I na njegovom je grobu natpis: mali je ovaj grob – ali slava dopire do neba – ovo je mjesto najmudrijeg Talesa.“ Poznato je da je putovao Egiptom. U Egiptu je proučavao matematiku, glazbu i astronomiju. Tamo je naučio osnove egipatske geometrije. Tamošnji su znanstvenici iskušali Talesovo znanje i snalažljivost. Doveli su ga do velike piramide i pitali kako bi izmjerio visinu piramide. Tales je zabio štap u pijesak i rekao: „Kada dužina sjene ovog štapa bude jednaka njegovoj visini, izmjerite dužinu sjene piramide i dobiti ćete njezinu visinu.“
28 Ono najvažnije što matematičari pripisuju Talesu jest to da je prvi dao logičke temelje dokazivanju teorema. Našao je metodu kako izračunati udaljenost brodova od obale. TALESOVA MATEMATIKA U pogledu matematike, za Talesa se općenito vjerovalo da je u Grčku uveo geometriju. Posebno su mu se pripisivale zasluge za sljedeće teoreme: (1) Krug je svojim promjerom podijeljen na dva jednaka dijela. (2) Kutovi uz osnovicu jednakokračnog trokuta su jednaki. (3) Kod pravca koji se sijeku kutovi pri vrhu su jednaki. (4) Kut upisan u polukrug je pravi kut. (5) Trokut je određen ako su mu zadani osnovica i kutovi uz osnovicu. PROMJER Promjer je dužina koja spaja dvije nasuprotne točke kružnice i prolazi središtem kružnice. Dijametar je u geometriji pojam koji označava duljinu promjera. Ako znamo duljinu promjera kružnice, možemo izračunati površinu kruga. d – promjer r – polumjer (polovica promjera) TALESOV POUČAK Talesov poučak govori da ako su A, B i C točke na kružnici, a AC promjer kružnice, onda je trokut ABC pravokutan. Talesov teorem koristi se za konstrukcije tangenta na danu kružnicu kroz zadanu točku. Imamo danu kružnicu k sa središtem O, a mi želimo konstruirati tangente koje prolaze kroz točku P koju smo proizvoljno izabrali. Pretpostavimo da tangenta t dodiruje kružnicu k u točki T. Iz simetrije se jasno vidi da je radijus OT okomit na tangentu. Sada možemo konstruirati simetralu stranice OP te je označiti točkom H. Konstruiramo kružnicu k' sa središtem H kroz O i P. Točke gdje se
29 sijeku kružnica k i k' nazovimo T i T'. Koristeći Talesov teorem vrijedi da je trokut OTP pravokutan s pravim kutom u kutu OTP čime smo uspjeli konstruirati tangente na kružnicu. TALESOV TEOREM O PROPORCIONALNOSTI Ako su točke A,B,C,D na pravcu p′, a točke A′,B′,C′,D′ točke na pravcu p dobivene paralelnom projekcijom, onda će se odgovarajući omjeri duljina sačuvati, tj. . '''' , '' '' DC CD BA AB DC BA CD AB   TALESOV POUČAK O PROPORCIONALNOSTI U PRAMENU PRAVACA Ako se dva pravca a i b sijeku u točki O i ako su oni presječeni paralelnim pravcima 1t i 2t takvima da je ' ' 2 2 1 1 Bta Atb Bta Atb     , onda vrijedi:
30 . '' ' , '' ' , ' ' AB OB BA OB BA OA AB OA OB OA OB OA    TALESOV DOPRINOS U DRUGIM ZNANOSTIMA 1) Astronomija Za predviđanje pomrčine Sunca postoji spis koji tvrdi da je Tales stvarno najavio pomrčinu koja je bila 28. svibnja 585. godine prije Krista, iako točan način na koji je Tales predvidio pomrčinu nije poznat. 2) Filozofija prirode Za početak svijeta Tales je izabrao vodu. Nagađa se da je na tu pretpostavku došao tako što je vidio da je hrana vlažna, da toplina nastaje iz vlage, da sjeme ima sa svih strana vlažnu opnu, itd. Među razlozima je svakako i nužnost vode za rast i ishranu živih bića, važnost u svakodnevnom životu. Od tih pretpostavki kreće i njegova tvrdnja da Zemlja pluta na vodi.
31 PITAGORA Petra Kalanja, 2.g Pitagora je rođen (oko 570. pr. Kr.) na grčkom otoku Samosu. Često se prikazuje kao prvi „pravi“ matematičar. Bio je sin bogatog trgovca s kojim je mnogo putovao. Na tim se putovanjima mladi Pitagora susreo s mnogim učiteljima i misliocima iz onog vremena koji su ga poučavali filozofiji i znanosti. Jedan od tih učitelja bio je i glasoviti Tales iz Mileta. U to je vrijeme Tales bio star čovjek i njegova su otkrića utjecala da se Pitagora još više zainteresira za matematiku i astronomiju, te je savjetovao Pitagoru da otputuje u Egipat gdje će još više naučiti o područjima koja ga zanimaju. Otprilike 535. god. pr. Kr. Pitagora je otputovao u Egipat. Tamo je sudjelovao u mnogim filozofskim raspravama sa svećenicima i učenjacima. Nakon ritualne svečanosti i sam Pitagora je postao hramski svećenik u Diospolisu. 525. god. pr. Kr. Kambiz II., kralj Perzije, napada Egipat i Pitagora je, kao i mnogi njegovi suvremenici, odveden kao rob i ratni zarobljenik u Babilon. Tu se upoznao s babilonskim tajnovitim vjerskim obredima i s njihovim postignućima u matematici. Pitagora Tales iz Mileta
32 518. god. pr. Kr. Pitagora odlazi u Italiju u grad Krotonu i osniva matematičku školu koja je imala mnogo sljedbenika. U njoj su učenici održavali stroga pravila družbe. Školu danas nazivamo Pitagorejskom školom. U Pitagorejskoj školi naglasak je bio na tajnosti i zajedništvu, tako da je danas teško odgonetnuti što je rad samog Pitagore, a što njegovih učenika. Ono što je sigurno je da je njegova škola dala velik doprinos matematici. Uspon Pitagore i njegovih sljedbenika bio je neometan dvadesetak godina, tijekom kojih je Kroton proširio svoj utjecaj na susjedne gradove u kojima su mnoge vodeće položaje zauzimali članovi bratstva Pitagorejaca. Na kraju ovog razdoblja Krotonac Kilon potaknuo je narod na pobunu. U Kilonskoj uroti ubijen je veliki broj Pitagorejaca, a Pitagora je prognan iz Krotona. Pitagorejska škola imala je puno dostignuća, a jedno od tih dostignuća je dokaz za prije poznat poučak: Površina kvadrata nad hipotenuzom jednaka je zbroju površina kvadrata nad katetama. Taj iskaz kasnije je nazvan Pitagorin poučak. PITAGORIN POUČAK a² + b² = c²
33 DOKAZ PITAGORINOG POUČKA: Veliki kvadrat čije su stranice duljine  ba  ima površinu  2 baP  . Površinu velikog kvadrata možemo dobiti i kao zbroj površine malog kvadrata čija je stranica duljine c i površine četiri sukladna pravokutna trokuta s katetama duljine a i b. Prema tome vrijedi     abcP ab cP trokutaPkvadrataPP 2 2 4 4 2 2    Izjednačavanjem površina dobije se   222 222 22 22 2 cba abcbaba abcba   
34 Pitagora je smatrao da je u biti svega broj. Prema tome smatralo se da je ono ideal, koji obično empirijsko znanje ne može pružiti. Na osnovi matematike se pretpostavljalo da je misao iznad čula. Ukoliko se svijet čula ne slaže s matematikom, utoliko gore po svijet čula. Spoznaja postoji samo u matematičkom mišljenju. Pitagora je smatrao kako se numerologija temelji na matematici. Numerologija se danas temelji na dvije teorije, od kojih je jednu utemeljio sam Pitagora. Prva teorija objašnjava i koncentrira se na čovjekovo ime. Čovjekovo ime, po toj teoriji, u sebi sadrži važne pokazatelje njegova karaktera i sudbine. Druga teorija koju je prije više od dva i pol tisućljeća, razvio Pitagora je teorija brojeva. Prema toj teoriji svaki broj između 1 i 9 ima svoje osobito, jedinstveno značenje. Kružnica i kugla za Pitagorejce su najsavršeniji među svim oblicima, pa Zemlja i nebeska tijela moraju nužno biti sferna. Zbog istog razloga i staze nebeskih tijela moraju biti savršene kružnice. Njihova gibanja moraju biti jednolika jer je takvo gibanje najsavršenije među svim gibanjima. GEOCENTRIČNI SUSTAV Pitagora je sanjao samo o svojoj školi, samo o Grčkoj, samo o budućnosti svijeta. Kao mnogi veliki adepti, i on se odrekao žena kako bi se mogao potpuno posvetiti svome djelu.  Onaj koji je upućen u tajne određenog društva ili kruga ljudi; slijepi, vjerni pristaša nekoga
35 Tek u šezdesetoj godini se oženio mladom djevojkom, svojom učenicom Teano, čiji otac je bio Brontinos, stanovnik grada Krotona. Ona je rodila Pitagori troje djece, sinove Arimnesta i Telogesa i kćerku Damo. Umro je 475. god. pr. Kr. O njegovoj smrti ima puno legendi i priča, a najvjerojatnijom se čini ona Dikearhova, prema kojoj je bio prisiljen skloniti se u hramu Muza gdje je gladovao do smrti.
36 PLATON Marija Kožarić, 4.g Obzirom da su o Platonu mnogi pisali i istraživali ga, ima raznih podataka o njegovom rođenju pa se tako najčešće pretpostavlja da je rođen u Ateni 428. Ili 427. godine pr.n.e. te da je umro oko 347. godine pr.n.e. Potječe iz dobrostojeće aristokratske obitelji. Majka Periktiona dolazi iz Solonovog kruga, a otac Ariston iz obitelji posljednjeg atičkog kralja. Pravo ime mu je Aristokle dok mu je Platon bio samo nadimak kojeg je dobio navodno zbog njegove tjelesne građe (platon bi u prijevodu značilo širok) ili zbog širine njegova znanja. Bio je grčki filozof, idealist, Sokratov učenik, Aristotelov učitelj i osnivač Akademije. Kako potječe iz dobrostojeće aristokratske obitelji prošao je dosta opsežno školovanje te se upoznao s djelima mnogih grčkih filozofa što se i vidi kasnije u njegovom radu. Prvo je bio učenik sofista Kratila no mnogo veći utjecaj na njega imao je Sokrat, čiji je učenik postao s 20 godina. Sokrat ga je poučavao posljednjih 9 godina svog života. Kako bi bolje shvatili daljnje Platonovo djelovanje, treba spomenuti to da je Sokrat bio optužen da „uvodi nove bogove i zavodi mladež na krivi put“ te ga je porota od 500 članova proglasila krivim. Platon je navodno bio prisutan na suđenju, ali ne i na njegovu smaknuću. Nakon Sokratove smrti razočarao se u atensku demokraciju te pobjegao iz Atene. Time započinju njegova putovanja koja su trajala nekoliko desetljeća. Kroz svoja putovanja posjetio je Italiju, gdje je upoznao Pitagorejce, Egipat, Siciliju i mnoge druge tada poznate zemlje. Sva ta putovanja utjecala su na Platona pa tako i na njegov rad i djela koja je napisao. U mladosti se zanimao za politiku, što je bilo za očekivati s obzirom da su se u obitelji također bavili politikom, ali presudio je onaj postupak demokratske vlasti prema Sokratu i tako zahvaljujući tome mi sada, kada pričamo o Platonu, govorimo o filozofu, a ne o političaru. Ipak su u njegovom filozofskom razmišljanju ostala neka politička i etička pitanja. Tako je Platonov najpoznatiji i najvažniji dijalog Država. U njemu govori o idealnoj državi koja je zasnovana na ideji pravednosti, te u njoj svaki pripadnik staleža radi posao za koji je sposoban. Ljude je podijelio u tri staleža te u sva tri staleža „dodijelio“ određene vrline. Prvi stalež su proizvođači i njihova vrlina je umjerenost. Drugom staležu pripadaju čuvari kojima je dodijelio vrlinu hrabrosti. Posljednji stalež su vladari kojima je dodijelio mudrost i razum. Kad se te tri vrline spoje, ostvari se ideja pravednosti. Glavni cilj njegove države bila je dobrobit i sreća građana, a glavna funkcija je njihov odgoj. Njegova filozofija ima polazište u učenju o idejama koje su jedina prava zbilja, a svijet osjetilnih stvari samo je slika svijeta ideja. Ideje su vječne i nepromjenjive, a bića su promjenjiva i nesavršena. Platonov idealizam potječe od Pitagorejaca i njihovog razlikovanja pojavnih stvari i brojeva kao nečeg pojmovnog, ali i od Sokratovog shvaćanja pojma kao općeg.
37 Po povratku u Atenu posvećuje se Akademiji čiji je osnivač. Akademija je jedna od prvih škola Zapadne civilizacije. Kako je Akademija postojala davno u prošlosti nisu poznati detalji kako je ona funkcionirala no smatra se da je bila nalik Pitagorejskim školama koje je Platon imao prilike upoznati dok je boravio u Italiji. U njegovoj školi poučavala se aritmetika, planimetrija, trigonometrija, astronomija i glazba. Na ulazu u Akademiju pisalo je: „Neka ne ulazi onaj koji ne zna geometriju.“ Taj natpis pokazuje koliko je Platonu bila bitna matematika. Matematika obilježava ispravljajuće ideje jedinstva, harmonije i proporcionalnosti što su prema Platonu nužni sastojci istinske moralnosti, politike i zdravlja, tj. jednom riječju: odgoja. Cilj Akademije bio je osposobiti učenike za kritičko i razumsko mišljenje, za razliku od sofističkih škola koje su poučavale praktičnim stvarima. I u današnjem školstvu primjećuje se prisustvo Platonove Akademije, ne samo u nazivu znanstvenih ustanova nego i u razumijevanju općih zakonitosti te u razvijanju kritičkog mišljenja kao cilja obrazovnih ustanova. Aritmetika je danas grana matematike koja proučava računske operacije s brojevima. Naziv potječe od grčke riječi arithmetike, što bi se u prijevodu rastavilo na: arithmos (broj) i techne (umijeće). Pojam aritmetike koristi se i za temeljnu teoriju brojeva, tj. osnovni teorem aritmetike i aritmetičke funkcije. Poznajemo 4 osnovne aritmetičke operacije: zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje. Isto tako postoje i napredne aritmetičke operacije, a to su kvadriranje, potenciranje i korjenovanje. Danas, u 21. Stoljeću, da bi izračunali neku aritmetičku operaciju služimo se kalkulatorima i računalima što u Platonovo vrijeme nije postojalo. Prema Platonu, aritmetika nas treba osposobiti za racionalno planiranje. Trigonometrija potječe od dvije grčke riječi: trigonon (trokut) i metron (mjera). Proučava odnose između segmenta pravaca i kutova trokuta na ravnini ili na površini kugle. Pomoću crteža je najjednostavnije objasniti trigonometriju (naravno ukratko): 𝛼
38 Trigonometrijske funkcije: 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑎 ℎ Sinus kuta pri vrhu A jednak je kvocijentu nasuprotne katete i hipotenuze pravokutnog trokuta. 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑏 ℎ Kosinus kuta pri vrhu A jednak je kvocijentu priležeće katete i hipotenuze pravokutnog trokuta. 𝑡𝑔𝛼 = 𝑎 𝑏 Tangens kuta pri vrhu A jednak je kvocijentu nasuprotne i priležeće katete pravokutnog trokuta. 𝑐𝑡𝑔𝛼 = 𝑏 𝑎 Kotangens kuta pri vrhu A jednak je kvocijentu priležeće i nasuprotne katete pravokutnog trokuta. Planimetrija je geometrija likova koju je Platon opisao u djelu Timej. "Znanje kojem teži geometrija je znanje o vječnome“ Platon Bavio se isključivo pravilnim geometrijskim tijelima. Tvrdio je da su geometrijska tijela i brojevi čisti, trajni, neuništivi i nikad vas neće iznevjeriti. Pravilna geometrijska tijela su ona tijela čije su sve plohe međusobno jednaki pravilni mnogokuti, koji se sastaju u vrhovima koje čini uvijek jednak broj ploha, a to su: tetraedar(4 plohe) :
39 Heksaedar (poznatiji kao kocka - 6 ploha): Oktaedar (8 ploha): Dodekaedar (12 ploha): Ikozaedar (20 ploha):
40 Astronomija je znanost o nebeskim tijelima i pojavama u svemiru, kao takva je jedna od najstarijih ljudskih djelatnosti. Za Platona, kad se promatra na pravi način (matematički), ona vodi um do uočavanja ljepote pokreta i relacija apstraktnih objekata. Platon je iza sebe ostavio mnoge dijaloge od kojih su najpoznatiji: Država (O pravednosti), Simpozij (O ljubavi), Fedon (O duši) i Fedar, Parmenid (Dijalog o idejama), Protagora (O vrlini), Teetet i Sofist (O znanju) te Zakoni. Za razliku od Sokrata, on je svoja djela zapisao te mu na tome možemo biti zahvalni, jer da nije bilo njega, matematika danas možda ne bi bila ista. I za kraj, jedan Platonov citat: "Svim ljudima nisu sve stvari potrebne, ali je račun ne samo svima nego i svakome jako potreban. Tko računati ili barem brojiti ne zna, mora se izbrisati iz broja svih ljudi, inače nema prijateljstva među trgovcima, ni ljubavi među susjedima, ni sluge u općini, niti pravednost u pravdi stalno stanovati može!" Platonova tijela i eTwinning kolege iz Grčke:
41 EUKLID Stella Moguš, 2.g Euklid je živio oko 330. - 260. godine prije Krista. Euklid je jedan od najvećih grčkih matematičara starog vijeka. O Euklidovu životu se ne zna gotovo ništa, ne zna se gdje se rodio, gdje je studirao, a ne zna se čak ni gdje je umro. Često se za njega govori da je svjetski misterij. Pretpostavlja se da je studirao kod Platona u Ateni. U Aleksandriji je osnovao matematičku akademiju te se pretpostavlja da je tamo dugo boravio. Najznačajnije Euklidovo remek-djelo o geometriji su Elementi. Elementi su poslije Biblije vjerojatno najcitiranija, najproučavanija i najprevođenija knjiga u povijesti. Geometrijska sinteza Euklid je svoje bogato znanje sabrao u trinaest svezaka. Djelo je toliko uvjerljivo i sveobuhvatno da je kao udžbenik ostalo nepromijenjeno već više od dva tisućljeća. Euklid je sva znanja o geometriji želio sklopiti u jednu cjelinu. Tako su u njima uočljivi rezultati poznatih grčkih matematičara Pitagore, Eudoksa i Teteusa. U prvih šest svezaka obrađena je ravninska geometrija i neka druga matematička ključna načela, kao što je Eudoksova teorija razmjera. U sljedeća četiri sveska bavi se o teorijom brojeva (uključujući dokaz da postoji beskonačan broj prostih brojeva). Zadnja tri dijela su usredotočena na geometriju prostora. Neeuklidski prostori ''Paralelni'' aksiom tvrdi da se kroz točku koja leži izvan pravca može povući samo jedan pravac koji se početnim pravcem ne siječe (tj. paralelni pravac). To je bilo pitanje u dvanaestom stoljeću koji je istraživao mađarski matematičar Janos Bolyai.
42 Janos Bolyai je rođen u današnjem gradu Cluju, u Rumunjskoj. Janos je pokušao dokazati Euklidov ''paralelni'' postulat, što je na kraju otkrio da ga je nemoguće dokazati, te je time započela nova škola matematičkog razmišljanja. Uvjerenje Alberta Einsteina je da je geometrija prostora također neeuklidska, što je kasnije dokazano kao točno. Euklidov algoritam To je postupak kojim se određuje najveća zajednička mjera dvaju cijelih brojeva, dvaju polinoma ili dviju dužina. Za brojeve a i b uz uvjet a ≥ b, verižnim dijeljenjem dobivamo niz brojeva bi, kao ostatke dijeljenja prema jednadžbama:  3221 211 1 bbnb bbnb bnba    dok bk ne bude jednak 0. Posljednji bi različit od 0, je najveća zajednička mjera. Oznaka M. Npr. Za brojeve 70 i 42 vrijedi: 014228 1442142 2842170    Prema tome, slijedi da je M = 14. Euklidovi elementi To je matematički spis objavljen oko 300. g. pr. Kr. u 13 knjiga. Vjekovima je bio nenadmašen uzor stroge znanstvene dedukcije. Sve do XIX.st. oni su bili osnovni udžbenik geometrije, bilo je čak 500 izdanja na mnogim jezicima. Izvorni tekst Euklidovih Elemenata na žalost se nije sačuvao, pa se ne zna točno što je u njima izvorni Euklidov prilog, no svakako je velik. U knjigama od I.-VI. obrađena je planimetrija. Od VII.-X. obrađena je aritmetika i teorija brojeva u geometrijskom obliku.
43 U XI.-XIII. obrađena je stereometrija. Za pitanja geometrijske aksiomatike najvažnija je I. knjiga, jer su u njoj skupljeni svi aksiomi na kojima se zasnivaju Euklidovi elementi. Najveću pozornost privukao je V. postulat: '' Ako pravac siječe dva pravca i čini s njima s iste strane unutrašnje kutove koji su zajedno manji od dva prava, ta se dva pravca sijeku na strani tih kutova.'' Analiza Euklidovih elemenata otkrila je u njima niz nedostataka, a u prvome redu nepotpunost njihove aksiomatike. Euklidovi teoremi Ima pet pretpostavki na kojima se osniva klasična Euklidova geometrija. A to su: 1.) Kroz bilo koje dvije točke moguće je provući jedan i samo jedan pravac 2.) Ako točka B leži između točaka A i C, onda sve tri leže na istom pravcu 3.) Gibanjem točaka prelazi u točku, pravac u pravac a ravnina u ravninu, čuvajući svojstva točke, pravca i ravnine 4.) Svaki po volji veliki odlomak (pravca ili ravnine) moguće je prekriti bilo kojim drugim odlomkom stavljajući ga na prvi dovoljan broj puta 5.) Ako pravac siječe dva pravca i čini s njima s iste strane unutrašnje kutove koji su zajedno manji od dva prava, ta se dva pravca sijeku na strani tih kutova
44 ARHIMED Kristina Komljenović, 4.g Arhimed je rođen 287. pr. Kr. u Sirakuzi na Siciliji. Bio je fizičar, astronom i jedan od najvećih matematičara svih vremena koji su se intenzivno bavili praktičnim problemima. Nazivaju ga vrhuncem helenske matematike i jednim od najvećih fizičara starog vijeka. Za života najviše vremena proveo je u rodnom gradu, iako je jedno vrijeme boravio i u Aleksandriji. Arhimedov otac zvao se Fidija. On je također bio matematičar, astronom, ali i astrolog. Upravo je on taj koji je Arhimeda čitav svoj život učio i prenosio mu sva znanja koja je posjedovao. Arhimed je poginuo od ruke rimskog legionara za vrijeme Drugog punskog rata, 212. godine pr. Kr., unatoč naredbi rimskog vojskovođe Marcela da mu se poštedi život. Legenda kaže da je crtao krugove u pijesku, koje je nagazio rimski legionar, te mu je Arhimed viknuo “Noli turbare circulos meos!“ (u slobodnom prijevodu: ''Ne dirajte moje krugove''), a ljutiti vojnik ga je usmrtio kopljem. Grob mu je, zahvaljujući crtežu lopte i valjka na nadgrobnom spomeniku, pronašao Ciceron. Najvažnija Arhimedova djela koja su sačuvana su: O kugli i valjku; O sferoidima i konoidima; O mjerenju kruga; Metoda; O plivanju tjelesa; O ravnoteži ravnih likova. Najveću slavu stekao je svojim raspravama o zaobljenim geometrijskim likovima čiju je površinu izračunavao složenom metodom bliskom današnjem infinitezimalnom računu. Tako je upisivanjem pravilnih poligona od 6, 12, 24, 38 i 96 stranica u krug i njihovim opisivanjem oko kruga dobio dotad najbolju aproksimaciju broja π. Primjenom te metode na tijela došao je do zaključka da se obujmi valjka, kugle i stošca jednakih polumjera i visina odnose kao 3 : 2 : 1. Arhimedov vijak Od fizikalnih i tehničkih pronalazaka, ističe se i Arhimedov vijak, cijev svinutu kao zavoji vijka koja, okretanjem, služi za dizanje vode; Arhimedov zakon uzgona, nakon pronalaska je navodno gol istrčao na ulicu vičući ''Heureka!''; zakon poluge, legendarna je njegova izjava „Dajte mi oslonac i dovoljno dugačku polugu pa ću pomaknuti Zemlju!“, itd.
45 Slika 1- Arhimedov vijak i eTwinning kolege iz Grčke METODA EKSHAUSTIJE (ISCRPLJIVANJA) Metoda ekshaustije ili iscrpljivanja je metoda pronalaženja površine nekog lika upisivanjem u njega niza poligona čije površine se približavaju ili konvergiraju površini promatranog lika. Ako je niz pravilno konstruiran, razlika površina između n-tog upisanog poligona i promatranog lika postaje po volji malena kako n postaje po volji veliki. Arhimed je pomoću metode ekshaustije riješio čitav niz problema koji se danas rješavaju integralnim računom. Kvadratura parabole Arhimed je koristeći metodu ekshaustije izračunao površinu odsječka parabole dva tisućljeća prije otkrića infinitezimalnog računa. Površinu je najprije izračunao koristeći teoreme iz mehanike, a zatim je dao geometrijski dokaz.
46 Koncept integriranja Često se postavlja pitanje je li Arhimed zapravo izumio integriranje. Naime, osim što je koristio metodu ekshaustije, Arhimed je koristio i metodu upisivanja i opisivanja mnogokuta oko nekih likova tako dugo dok razliku površina nije učinio proizvoljno malom, primjerice, tako je našao površinu kruga, ali i volumen tijela nastalih rotacijom parabole, elipse i hiperbole. Kako nije poznavao pojam limesa, odgovor bi bio negativan, ali se nikako ne može poreći da su njegove metode jako slične onima kojima je Riemann definirao svoj integral. Isto tako, nije tražio poopćenja svojih metoda, što bi isto bilo nužno za definiciju integrala, već najprimjereniji geometrijski postupak za svaki problem posebno. Arhimedova spirala Arhimedova spirala je transcedentalna krivulja koja nastaje kada točka, polazeći iz ishodišta, jednolično obilazi ishodište i jednolično se udaljuje od njega; udaljenost neke točke Arhimedove spirale od ishodišta razmjerna je pripadnom kutu zakreta. Slika 2- Arhimedova spirala Arhimedov aksiom Arhimedov aksiom: za svaka dva realna broja 𝑎 > 0 𝑖 𝑏 > 0 postoji takav prirodni broj 𝑛 da je 𝑛𝑏 > 𝑎.
47 DIOFANT Dominik Domitrović, 2.g Diofant iz Aleksandrije (Dióphantos ho Alexandreús) starogrčki je matematičar koji je otkrio Diofantske jednadžbe. Unatoč tome što je bio istaknuti matematičar svog vremena, vrlo malo je poznato o njegovom životu. Njegov rad je sačuvan u šest poglavlja Aritmetike. Sedmo poglavlje je izgubljeno. Aritmetika je vjerojatno najstariji sistemski traktat o algebri. Diofant je prvenstveno zanimala teorija brojeva i rješavanje jednadžbi. Dao je veliki doprinos napretku algebre uporabom simbola za veličine, matematičke operacije i odnose. Prethodno su ove veličine opisivane riječima. DIOFANTSKE JEDNADŽBE Neka je f polinom s n varijabli i cjelobrojnim koeficijentima. Jednadžba oblika 0),...,,( 21 nxxxf , čija su rješenja cijeli brojevi naziva se diofantska jednadžba. Najjednostavnije jednadžbe su naravno linearne diofantske jednadžbe oblika mxaxa nn ...11 , gdje su naa ,...,1 Z. 1. Linearne diofantske jednadžbe s dvije nepoznanice cbyax  ; cba ,, Z Primjer 1. Riješimo homogenu diofantsku jednadžbu 053  yx Izrazimo jednu nepoznanicu pomoću druge: yx 3 5  Budući da je x cijeli broj, rješenje y mora biti djeljivo s 3, tj. y je oblika ty 3 , gdje je t cijeli broj. No, tada je tx 5 . Dakle, rješenja diofantske jednadžbe 053  yx su parovi (−5t, 3t), t  Z.
48 Primjer 2. Riješimo diofantsku jednadžbu 51231000  yx . Izvršavanjem uzastopnih dijeljenja dobivamo ovaj niz jednakosti: 1000 = 8 · 123 + 16 123 = 7 · 16 + 11 16 = 1 · 11 + 5 11 = 2 · 5 + 1 Kad je ostatak jednak 1 postupak dijeljenja završava. Iz tih jednakosti izražavamo ostatke: 16 = 1000 − 8 · 123 11 = 123 − 7 · 16 5 = 16 − 1 · 11 1 = 11 − 2 · 5 Uvrstimo u posljednju jednakost izraz za broj 5 iz pretposljednje jednakosti: 1 = 11 − 2 · 5 = = 11 − 2 · (16 − 11 · 1) = = 3 · 11 − 2 · 16 = = 3 · (123 − 7 · 16) − 2 · 16 = = 3 · 123 − 23 · 16 = 3 · 123 − 23 · (1000 − 8 · 123) = = −23 · 1000 + 187 · 123. Dakle, 1 = −23 · 1000 + 187 · 123, pa množenjem s 5 dobivamo 5 = −115 · 1000 + 935 · 123. 2. Nelinearne diofantske jednadžbe a) Metoda faktorizacije Primjer 3. Riješimo diofantsku jednadžbu 063  yxxy Lijevu stranu jednadžbe rastavimo na faktore:     3131  yyx    331  xy
49 b) Metoda kvocijenta Primjer 4. Riješimo diofantsku jednadžbu xyxy  2 Izrazimo jednu nepoznanicu, na primjer x x y   2 c) Metoda posljednje znamenke Primjer 5. Riješimo diofantsku jednadžbu 93199519941952  yx Budući da kvadrat cijelog broja završava sa znamenkom 0, 1, 4, 5, 6 ili 9, a broj 5y sa znamenkom 0 ili 5, slijedi da zbroj na lijevoj strani završava s 0,1,4,5,6 ili 9, a nikako s 3. Dakle, zadana diofantska jednadžba nema rješenja. d) Metoda kongruencija Primjer 6. Riješimo diofantsku jednadžbu 199542  yx Budući da je 1995 neparni broj, a 4y parni, tada je x2 neparan, tj. x je neparan. Možemo ga pisati u obliku  kkx ,12 Z. Uvrstimo li to u početnu jednadžbu dobivamo:   1994)(4 19954144 1995412 2 2 2    ykk ykk yk Lijeva strana je djeljiva s 4, dok desna strana nije, pa jednadžba nema rješenja. e) Metoda zbroja potencija s parnim eksponentima Primjer 7. Riješimo diofantsku jednadžbu 084222  yxyx Prikažimo ovu jednadžbu u obliku zbroja kvadrata. Dopunom do potpunih kvadrata dobivamo:     08444112 22  yyxx     1321 22  yx Rješenja su (x, y)    4,25,1
50 f) Metoda nejednakosti Primjer 8. Riješimo diofantsku jednadžbu xxx 543  Očito je x = 2 jedno rješenje ove jednadžbe. Dijeljenjem zadane jednadžbe s x 5 dobivamo 1 5 4 5 3             xx za 2x je 1 5 4 5 3 5 4 5 3 22                         xx , a za 2x je 1 5 4 5 3 5 4 5 3 22                         xx . Prema tome, x = 2 je jedino rješenje ove jednadžbe.
51 AL HVARIZMI Marko Crnojević, 4.g Kada želimo zapisati nečiji broj telefona ili izračunati koliko će nas ukupno koštati neka roba koju namjeravamo kupiti, služimo se arapskim brojkama. Točnije rečeno, služimo se indijsko-arapskim brojevnim sustavom. Naime, temelj suvremenog decimalnog sustava u kojem se koriste znamenke od 0 do 9 razvio se u Indiji te je dospio na Zapad zahvaljujući srednjovjekovnim učenjacima koji su svoja djela pisali na arapskom jeziku. Među njima je najistaknutiji bio Muhamed ibn Musa al-Hvarizmi. On se najvjerojatnije rodio na području današnjeg Uzbekistana oko 780. godine. Hvarizmi je bio od izuzetne važnosti kao jedan od prvih arapskih istaknutih matematičara, koji je napravio odmak od grčkih zapisa i otvorio novu eru u matematici. Mnogi ga smatraju jednim od najvećih arapskih matematičara. Čime je zaslužio tu laskavu titulu? ČUVENI MATEMATIČAR Al-Hvarizmi je pisao o upotrebi decimalnih brojeva te o jednoj metodi rješavanja složenih matematičkih problema. Tu je metodu objasnio u svom djelu Knjiga o uspostavljanju i suprotstavljanju. Time je postavio temelje za razvoj algebre. Naziv algebra nastao je od izraza al-jabr, koji se javlja u arapskom naslovu al-Hvarizmijevog djela. Publicist Ehsan Masood, vrstan poznavatelj povijesti arapske znanosti, smatra da je izum algebre “najvažnije matematičko otkriće svih vremena i temelj svih znanosti”. Koliko je arapski brojevni sustav jednostavniji od rimskog? Za usporedbu recimo samo da se broj 188 rimskim brojkama piše CLXXXVIII “Nebrojeni naraštaji srednjoškolaca baš i nisu presretni zbog tog otkrića”, rekao je u šali jedan pisac. No al-Hvarizmi nije želio ljudima zagorčati život. On je u svojoj knjizi napisao da je samo htio objasniti i pojednostaviti računske radnje koje se primjenjuju u trgovini, podjeli nasljedstva, geodetskim mjerenjima i raznim drugim djelatnostima. Stoljećima kasnije zapadnjački matematičari, među kojima su bili Galileo Galilei i Leonardo Fibonacci, jako su cijenili al-Hvarizmija zbog toga što je na lako razumljiv način objasnio primjenu jednadžbi. Al-Hvarizmi je svojim objašnjenjima utro put daljnjim istraživanjima na području algebre, aritmetike i trigonometrije. Otkrića iz trigonometrije omogućila su
52 bliskoistočnim učenjacima da računaju kutove i duljine stranica različitih trokuta te vrše napredna astronomska istraživanja. Neki su matematičari na temelju al-Hvarizmijevih otkrića kasnije osmislili nove načine korištenja decimalnih razlomaka i nove metode izračunavanja površine i volumena. Graditelji koji su živjeli na Bliskom istoku počeli su koristiti te napredne metode računanja mnogo prije negoli graditelji iz zapadnih zemalja. Oni su se s tim otkrićima upoznali tijekom križarskih ratova te su ih kasnije prenijeli u zapadni svijet. Značajnu ulogu u širenju tih spoznaja odigrali su i učeni muslimanski zarobljenici te doseljenici iz bliskoistočnih zemalja. ALGEBRA Al Hvarizmi je svoj najveći trag ostavio na polju algebre. Njegovo najveće djelo; Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala, što u slobodnom prijevodu znači „Sažeta knjiga o metodama računanja“ ima upravo tu tematiku. Smatra se da je upravo ta knjiga oblikovala i definirala algebru. Štoviše, od naziva njegove metode „al-jabr“, koja se odnosila na operaciju „upotpunjavanja“, odnosno dodavanja brojeva na obje strane jednadžbe u svrhu zbrajanja ili poništavanja vrijednosti, dolazi i današnja riječ „algebra“ te ga se zbog toga smatra njenim ocem. Druga operacija koju je koristio, „al muqabala“, se odnosila na proces skraćivanja pozitivnih članova istog stupnja kada se oni pojavljuju na obje strane jednadžbe. Prema njemu, jednadžbe su sastavljene od jedinica, korijena i kvadrata. Jedinicu predstavlja broj, korijen je 𝑥, a kvadrat 𝑥2 . TRIGONOMETRIJA Al Hvarizmi se je uz algebru i aritmetiku bavio i trigonometrijom. Prvi je napravio tablicu trigonometrijskih funkcija sinusa i kosinusa, što nije opće poznati podatak. Proučavao je i sfernu geometriju, što je bilo značajno za geografska otkrića. ARITMETIKA Drugo najveće djelo Al Hvarizmija bavi se aritmetikom. Točan naziv knjige nije poznat jer su originalni arapski spisi izgubljeni, a za latinski prijevod je poznato da je dosta izmijenjen. Tekst poznajemo po početne dvije riječi „Dixit Algorizmi“ što bi slobodno prevedeno značilo „Hvarizmi je rekao“. Smatra se da je riječ „algoritam“ upravo nastala iz latinizacije njegovog imena. Zna se da je opisao brojevni sustav temeljen na brojevima 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i 0 (danas nam je poznat kao dekadski brojevni sustav). Preuzeo ga je od indijskih matematičara i uveo ga u matematiku Bliskog Istoka i Europe. Također, kao posljedica njegovog učenja navodi se prvo razumijevanje nule kao broja te njena primjena.
53 ZAPAD OTKRIVA DOSTIGNUĆA ARAPSKE MATEMATIKE S vremenom su al-Hvarizmijeva djela bila prevedena na latinski. Općenito se smatra da je talijanski matematičar Fibonacci (oko 1170.-1250.) zaslužan za to što je zapadni svijet prihvatio indijsko-arapski brojevni sustav. Fibonacci se s njime upoznao dok je putovao po Sredozemlju, a kasnije ga je podrobno opisao u svojem djelu Knjiga o abacima. JESTE LI ZNALI? Preteče današnjih brojki koristile su se u Indiji već u 3. stoljeću pr.Kr. Kasnije su indijski učenjaci svoje znanje iz matematike prenijeli podanicima kalifa al-Mansura na njegovom dvoru u Bagdadu. U svom djelu Računanje s indijskim brojevima al-Hvarizmi je zagovarao korištenje decimalnog brojevnog sustava. Podrobno je objasnio i razne pojmove iz starijih izvora, primjerice iz djela grčkih, židovskih i indijskih učenjaka. Iznimno vrijedno nasljeđe “Kad govorimo o brojevima i matematici, neosporno je da su nam [srednjovjekovni bliskoistočni učenjaci] ostavili u nasljeđe veliko i iznimno vrijedno znanje” (Ehsan Masood). “Glavni je doprinos koji su Arapi dali matematici to što su povezali dvije različite matematičke misli, grčku i indijsku… Tako je preko Arapa došla u Europu i indijska matematika, a posebno i indijske brojke, koje su inače poznate kao arapske brojke” (Hrvatska opća enciklopedija). U europskim je zemljama indijsko-arapski brojevni sustav “ušao u širu upotrebu tek tijekom 15. stoljeća”(Encyclopedia of Society and Culture in the Medieval World). Al Hvarizmi je svakako bio jedan od značajnih arapskih matematičara. Zaslužan je za nove ideje u matematici i bez njega ne bi bilo današnje algebre kakvu poznajemo. Zasluženo ga se zove ocem algebre i smatra se da on možda više zaslužuje taj naslov od Diofanta, jer su njegovi principi elementarni i temeljni za današnju algebru, dok se Diofant više bavio teorijom brojeva. Osim što je pridonio i samom matematičkom jeziku, zbog čega danas imamo riječi „algoritam“ i „algebra“, bavio i drugim znanostima gdje je ostavio traga. Napravio je most između matematike Antičke Grčke i Indije s matematikom Europe i Zapada. Al Hvarizmi je svojim radom utjecao na mnoge druge matematičare. Uz njega, poznati arapski matematičari su bili Al Karaji, koji je algebru oslobodio u potpunosti od geometrijskih operacija, Al Haytham, koji se je bavio klasifikacijom parnih savršenih brojeva, Omar Khyyam, koji je dao potpunu klasifikaciju kubnih jednadžbi i Nasir Al Din Al Tusi, koji je pridonio stvaranju trigonometrije kao matematičke discipline. Zaključujemo kako je arapska matematika izuzetno važna u povijesti i da je pridonijela mnogim današnjim granama.
54 FIBONACCI Barbara Mašunjac, 4.g Leonardo od Pise (12. – 13.st.), nama poznatiji kao Leonardo Fibonacci, ili samo Fibonacci, bio je talijanski matematičar, jedan od najpoznatijih matematičara srednjeg vijeka. Već kao dječak putovao je s ocem koji je bio carinik te je tako svoju mladost proveo u Arabiji. Tamo se upoznao s arapskom, te s indijskom matematikom. Stoga je temelj njegove matematike upravo broj. Leonardo je poznate i nepoznate veličine promatrao kao konkretne, nazivajući zadani broj numerus ili denarius, u prijevodu novac, a nepoznati res, što znači stvar. Fibonnaci je iza sebe ostavio čitav niz otkrića, kao što je razlomačka crta i računanje s razlomcima, aritmetički niz, jednadžbe, iracionalne veličine, kvadratne jednadžbe, no dvije stvari u kojima je ostavio najupečatljiviji trag su raširenost uporabe arapskih brojeva u Europi te Fibonaccijev niz. Arapski brojevi su nam svima vrlo bliski te se s njima susrećemo u svakodnevnom životu. To su brojevi 0 (nula), 1 (jedan), 2 (dva), 3 (tri), 4 (četiri), 5 (pet), 6 (šest), 7 (sedam), 8 (osam), 9 (devet). Fibonacci je ovdje ostavio poseban trag iz razloga što je prvi upotrijebio nulu u brojevnom sustavu. Fibonacci je otkrio svoje brojeve tako što je promatrao kako brzo se zečevi mogu razmnožavati u idealnim uvjetima, tj. koliko će se zečeva razmnožiti kroz godinu dana, s tim da zečevi, u ovom slučaju, nikada ne umiru. Pretpostavka je zvučala ovako: prvi mjesec imamo jedan par zečeva (1 muški, 1 ženski). Na kraju drugog mjeseca imamo dva para zečeva, na kraju trećeg mjeseca tri para zečeva, itd. Nakon 12 mjeseci bismo došli do rezultata od 233 para zečeva. Do tog broja smo došli tako što smo zbrajali uvijek dva prethodna broja.
55 Jednostavno pravilo Fibonaccijevog niza je da zbrojimo dva prethodna broja kako bismo dobili sljedeći, odnosno to je kompozicijski zakon u kojem se manji dio odnosi prema većem kao veći dio prema ukupnom. Fibonaccijev niz se često povezuje sa brojem zlatnog reza fi, 𝜑. Taj broj je često nazivan ''Božanskim omjerom''. Fibonaccijeve brojeve pronalazimo svugdje u prirodi. Npr. razmnožavanje pčela, oblik školjke, u oblicima mnogih biljaka, i sl. Jedan od primjera Fibonaccijevog niza imamo u suncokretu: red sjemena u centru suncokreta izgleda kao spiralni uzorak. Ako podijelimo spirale koje idu u lijevo i one koje idu u desno, dobit ćemo dva Fibonaccijeva broja. Fibonaccijev broj ćemo često dobiti ako prebrojimo latice na nekom cvijetu. Nama najzanimljiviji primjer ''Božanskog omjera'' je upravo u ljudskom tijelu. Ljudsko tijelo se u potpunosti sastoji od Fibonaccijevog niza. Naše tijelo se sastoji od brojeva 1, 2, 3 i 5. Imamo jedan nos, dva oka, tri dijela svakog uda te pet prstiju na svakoj ruci. Izmjerimo li cijelu dužinu svoga tijela i podijelimo je s dužinom od pupka do poda, dobit ćemo broj 𝜑. Također, izmjerimo li udaljenost od ramena do vrhova prstiju i podijelimo je s udaljenosti od lakta do vrhova prstiju, dobit ćemo 𝜑, tj. 1,618. Isto tako, udaljenost od kuka do poda podijeljena s udaljenošću koljena do poda daje 1,618.
56 Zlatni rez odnosno broj 𝜑 danas pronalazimo gotovo svugdje pa tako i u umjetnosti i glazbi. Leonardo da Vinci jedan je od prvih umjetnika koji je proučavao proporcije ljudskog tijela i na temelju toga izrađivao svoje portrete. Zbog toga se njegovo djelo ''Mona Lisa'' smatra sinonimom savršenstva. Fibonaccijev niz također često pronalazimo u arhitekturi. Matematika i arhitektura su uvijek bile bliske, ne samo zbog toga što arhitektura ovisi o razvoju matematike, nego i zbog njihove zajedničke težnje redu i ljepoti, odnosno forme u konstrukciji. Jedna od najpoznatijih građevina, građena na principu zlatnog reza, tj. omjera BC : AB = AB : BC, je Partenon. Partenon je antički hram posvećen božici Ateni. Partenon je jedna od najskladnijih građevina iz razloga što su Grci za mjerenje koristili mjere preuzete iz veličine dijelova ljudskog tijela: palac – dlan – pedalj – lakat – ruka – korak. Načelo ˝Čovjek je mjerilo stvari!¨ je realizirano u Partenonu.
57 Školjka puža Nautilus je jedan od najsavršenijih oblika u prirodi. Ona je u obliku spirale čiji su sastavni dijelovi kvadrati, svi dužine jednog od Fibonaccijevih brojeva. Liber Abaci, ili u prijevodu knjiga računanja, je Fibonaccijevo najpoznatije djelo u kojem govori o aritmetici. Liber Abaci je jedna od prvih zapadnih knjiga u kojoj su opisane arapske brojke. Fibonacci je svojom knjigom htio uvjeriti narod o superiornosti novih brojeva. Prvi dio knjige predstavlja novi brojevni sustav, uključujući pretvaranje između različitih sustava. Drugi dio knjige donosi primjere iz trgovine, tj. govori o pretvaranju valuta, te izračunu dobiti i interesa. Treći dio razmatra problem matematičkog niza, u kojem se opisuje rast populacije zečeva, po čemu je Fibonacci i najpoznatiji. Posljednji, četvrti dio je vezan uz iracionalne brojeve, poput korijena. Fibonacci je jedan od najvećih i najznačajnijih matematičara svih vremena i možemo mu zahvaliti na mnogočemu.
58 VIÈTE Karolina Marenić, 2.g François Viète (1540.-1603.) bio je znameniti francuski matematičar, koji to zapravo nije bio. Po struci je bio pravnik i radio je kao pravnik i zastupnik u parlamentu u Francuskoj, a matematikom se bavio iz hobija te je svojim matematičkim znanjem uvelike pomogao svojoj državi. U vrijeme francuskog kralja Henrika IV., španjolski kralj Filip II. 1590. godine šalje zahtjev za francuskim prijestoljem na osnovi rodbinskih veza. Kralj Henrik odbija zahtjev te dolazi do rata. U to doba španjolski su agenti komunicirali koristeći šifre sa oko 500 znakova. Francuzi presreću jednu od španjolskih poruka te ju kralj Henrik IV. daje Viètu da ju dešifrira. 15. ožujka 1590. Viète kralju daje dešifriranu poruku. Španjolci su nakon dvije godine shvatili da Francuzi razumiju njihove poruke te je španjolski kralj Filip II. tužio Francusku papi da se koristi crnom magijom, a Vièta da se osudi da je čarobnjak, u što papa nije povjerovao te je odbio zahtjev španjolskog kralja. François Viète kralj Henrik IV. kralj Filip II. Françoisa Vièta smatramo osnivačem moderne algebre te nakon njega algebru smatramo općom znanosti o algebarskim jednadžbama oslonjenu na simboličke oznake. Viète je također zaslužan i za uvođenje prvog sustavnog označavanja algebarskih veličina. Godine 1591. Viète objavljuje „In artem analyticem isagoge“, knjigu u kojoj je opisao primjenu algebre na geometriju. François Viète nam u svom dijelu prikazuje već neke poznate, ali i svoje nove metode rješavanja jednadžbi do 4. stupnja te daje vezu tj. Viètove formule između koeficijenta i rješenja jednadžbe. Pojam „koeficijent“ uveo je Viète. Za poznate veličine koristio se suglasnicima, a za nepoznanice je koristio samoglasnike.
59 KVADRATNA JEDNADŽBA KUBNA JEDNADŽBA 02  cbxax 023  dcxbxax a c xx a b xx   21 21 a d xxx a c xxxxxx a b xxx    321 133221 321 Godine 1593. Adriaan van Roomen, belgijski matematičar, zadao je zadatak sa jednadžbom 45. stupnja. Iako je tadašnji nizozemski ambasador izjavio da Francuska nema dovoljno dobrih matematičara koji bi riješili van Roomenov problem, kralj Henrik IV. ga daje Viètu. Viète, uočivši da se radi o trigonometrijskoj relaciji, s lakoćom rješava problem te spašava ugled francuskih matematičara. Adriaan van Roomen VAN ROOMENOVA JEDNADŽBA 45. STUPNJA 64 45 8 15 16 5 4 7 4537959563411385007811375 34512074105306075232676280384942375488484125 483841800378658800236030652117679100469557800 1494504037645657404591111501230094545 3579 1113151719 2123252729 3133353739414345     xxxxx xxxxx xxxxx xxxxxxxx
60 Viète je također uspio riješiti problem jednog od najvećih grčkih matematičara-geometra Apolonija, a problem glasi „Konstruiraj kružnicu koja dira tri dane kružnice.“ VIETEOVO RJEŠENJE APOLONIJEVA PROBLEMA r4 r3 r1 S1 S3 S r r5 r2 R S2 1579. godine pokušao je pomoću Arhimedove metode računanja opsega opisanih i upisanih poligona izračunati broj  te je dobio: 3.1415926535 <  < 3.1415926537 VIETEOVO RAČUNANJE BROJA   22222 2 12 
61 1579. godine François Viète u svom dijelu „Canon mathematicus“ objavljuje tablice trigonometrijskih vrijednosti (sinus, kosinus,… ) SINUS I KOSINUS VIŠESTRUKOG ARGUMENTA xxx xxx 22 sincos2cos cossin22sin   DVOSTRUKI ARGUMENT TROSTRUKI ARGUMENT xxx xxx sin3cos43cos sin4sin33sin 3 3  
62 JOHN NAPIER Laura Iličić, 3.g John Napier (Edinburgh, 1550. - Edinburgh 1617. godine) Općenito Godine 1563. John se upisao na sveučilište St. Andrews. Diplomu je vjerojatno stekao u inozemstvu, na sveučilištu u Parizu, a zna se i da je neko vrijeme boravio u Italiji i Nizozemskoj. Napier je relativno slabo poznat izvan matematičkih i inženjerskih krugova, u okviru kojih je napravio ključni pomak u uporabi matematike. Najpoznatiji je kao izumitelj logaritama i Napierovih kostiju, te zbog popularizacije uporabe decimalnog zareza. LOGARITMI Metodu prirodnog logaritma prvi je predložio 1614. John Napier u svojoj knjizi Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Ova metoda doprinijela je napretku znanosti, a posebno astronomiji, čineći neke teške računice mogućim. Sve do uporabe računala u znanosti, ova metoda je korištena u svim granama praktične matematike. Pored svoje uporabe u računima, logaritmi su popunili važno mjesto u višoj, teorijskoj matematici. U početku, Napier je logaritme zvao "umjetnim brojevima", a antilogaritme "prirodnim brojevima". Kasnije, Napier je stvorio riječ logaritam, zvučnu kovanicu koja je trebala označiti odnos: λoγoς (logos) i αριθμoς (arithmos) što predstavlja broj. Termin antilogaritam je uveden pred kraj 17. stoljeća i, iako se nikada nije pretjerano koristio u matematici, postojao je u tablicama dok nije izašao iz uporabe. Po zanimanju je bio teolog, matematičar, fizičar, astronom i astrolog. Nakon što je umro od gihta, Napier je sahranjen u crkvi St. Cuthberta, Edinburghu.
63 LOGARITAMSKE OPERACIJE NAPIEROVE KOSTI Napierove kosti su neka vrsta mehaničkog računala koje služi za množenje, dijeljenje i računanje drugog korijena. Svoj izum je opisao u djelu koje se zove «Rabdology». Knjiga je izdana u Edinburghu krajem 1617. godine. Sastoje se od ploče s okvirom unutar koje se stavljaju štapići s brojevima. Prve verzije Napierovih kostiju su bile izrađene na slonovači po čemu su i dobile ime. Lijevi rub ploče je podijeljen na 9 kvadrata u kojima su brojevi od 1 do 9. Štapići su također podijeljeni na 9 kvadrata tako da su svi osim prvog podijeljeni dijagonalnom crtom. U prvom kvadratu se nalazi neki broj od 1 do 9 dok su ostali kvadrati na štapiću umnošci tog broja s brojem na lijevom rubu ploče u čijem se redu nalazi. DECIMALNI ZAREZ Napier je popularizirao korištenje decimalnoga zareza pri pisanju brojeva.
64 Najpoznatija djela:  Plaine Discovery of the Whole Revelation of St. John, 1593.  Statistical Account  Mirifici logarithmorum canonis descriptio, 1614.  Construction of Logarithms, 1619. Po Johnu Napieru nazvana je alternativna jedinica za decibel kao i Sveučilište Napier, u Edinburghu, Škotska.
65 HENRY BRIGGS Patricia Kujundžić, 3.g Henry Briggs (1561.- 1630.) bio je engleski matemtičar te uzoran profesor, u svoje vrijeme. Poznat je po mijenjanju izvornih logaritama, koje je izmislio John Napier, u logaritme s bazom 10. Sada ih, u njegovu čast, nazivamo Briggsovim ili dekadskim logaritmima. Rođen je u Warleywood-u, u Yorkshireu, u Engleskoj. Učio je grčki i latinski jezik u lokalnoj gimnaziji. Kasnije je studirao u St. John's Collegeu, u Cambridgeu, na kojem je diplomirao 1581. godine. Čitao je matematičku literaturu te se za to vrijeme zanimao za astronomiju, zajedno s Edwardom Wrightom. Od 1596. postaje prvi profesor, tada novoosnovane puritanske škole po imenu Gresham College, u Londonu. (U puritanskim se školama učila geometrija, astronomija i navigacija.) Ondje je predavao gotovo 23 godine i napravio ju je centrom engleske matematike. Podržavao je ideje Johannesa Keplera. Bio je dobar prijatelj Christophera Heydona, pisca o astrologiji, iako je sami Briggs odbacio astrologiju zbog vjerskih razloga. U to je vrijeme dobio kopiju Napierove knjige Mirifici Logarithmorum Cannonis Descriptio, u kojoj je uveo osnovnu ideju logaritama. Iako je knjiga bila pomalo čudna za shvatiti, Briggs se njome služio na svojim predavanjima u Gresham Collegeu te ga je potaknula na vlastite ideje. Briggs kreće od uvjeta log(10) = 1 i konsturira nove pomoću korijena (logaritam drugog korijena broja je pola njegova logaritma); 1624. Briggsova knjiga, Arithmetica Logarithmica – sadrži tablicu logaritama od brojeva od 1 do 20000 i od 90000 do 100000 na po 14 decimala.
66 Dekadski, obični ili Briggsovi logaritmi - logaritmi s bazom 10. Oznaka: 𝑙𝑜𝑔𝑥 ili 𝑙𝑜𝑔10 𝑥 ZANIMLJIVOSTI Mjesečev krater Briggs dobio je ime upravo po Henryju Briggsu. Briggs je imao dva sina, Henryja i Thomasa. Bio je aktivan u astronomiji, navigaciji i mjerenju.
67 RENÉ DESCARTES Andrea Pupilo, 2.g René Descartes rođen je u plemićkoj obitelji 31. ožujka 1596. godine u tadašnjem mjestu La Haye Touraine (danas Descartes) u Francuskoj. Kao dijete bio je boležljiv pa mu je bilo dozvoljeno da do 11 sati ujutro ostane u krevetu ležati, a tu je naviku zadržao i poslije. Obrazovan je na aristokratskom fakultetu koji su tada vodili Isusovci te se tamo počeo ozbiljnije zanimati za matematiku, kao i ostale prirodne znanosti. Švedska kraljica Kristina pozvala ga je 1649. godine da ju poučava matematiku, te je Descartes prihvatio poziv. Kako je kraljica zahtijevala ranojutarnju poduku Descartes je bio prisiljen svakodnevno u pet sati ujutro prolaziti kroz hladan dvorac do kraljice. Zbog svoje navike ležanja do kasnog jutra i svojeg slabog zdravlja hladnoća je uzrokovala upalu pluća te je Descates nakon dva mjeseca provedena u Stockholmu umro. Slika 1. – René Descartes Descartes je, između ostalog, utemeljio vezu između algebre i geometrije. On je shvatio da se geometrija može zabilježiti u obliku algebre, pomoću koordinata koje određuju položaj u odnosu na fiksne, okomite crte (os apscisa i ordinata) i obrnuto (svaka se algebarska jednadžba može prikazati grafom).
68 RAZVOJ KOORDINATNOG SUSTAVA Koordinate su se već tisućama godina prije Descartesa upotrebljavale na kartama, a Descartesovo je otkriće bilo razumijevanje povezivanja geometrije i algebre koordinatama. Descartes je, prema anegdoti, inspiraciju za uvođenje koordinatne ravnine dobio gledajući muhu na stropu gdje su rubovi spajanja zidova i stropa predstavljali koordinatne osi, a muha neku točku koja ima određenu udaljenost od tih ''osi''. U svom djelu La Géométrie iz 1637. Descartes detaljnije govori o korištenju jednadžbe s jednom nepoznanicom u svrhu određivanja bilo koje točke na krivulji prema njenoj udaljenosti od dvije fiksne crte (osi x i y). Drugi naziv za koordinatni sustav je Kartezijev koordinatni sustav u čast Descartesu po latiniziranom prezimenu Cartesius. Descartes je svoju ideju objasnio na način da se svaka točka u nekoj ravnini može opisati pomoću dva realna broja, koja je označio slovima x i y (uređeni par), koja opisuju udaljenost te točke s obzirom na os apscisa i os ordinata. Nakon te tvrdnje došao je do zaključka da se svaki pravac može opisati kao skup točaka (x, y) koje zadovoljavaju jednakost 0 cbyax , a konike kao skupove točaka (x, y) za koje vrijedi 022  feydxcybxyax . Descartes je rekao i da se takvo učenje može primijeniti i u prostoru uvođenjem treće, prostorne osi (z), no tu je ideju ostavio nerazrađenu. Slika 2. – Koordinatni sustav s tri osi Descartes je također uveo i danas općeprihvaćene oznake za nepoznanice (x, y, z...), početna slova abecede koja predstavljaju koeficijente (a, b, c...) te označavanje potencija pomoću eksponenta i baze ( n x ). Također, jedan od njegovih noviteta u matematici je zapisivanje jednadžbe na način da su na jednoj strani jednadžbe članovi, a na drugoj strani nula (npr. 0 cbyax )
69 DESCARTESOV TEOREM Descartes je utvrdio da se za kružnicu koja ima polumjer r njezina zakrivljenost opisuje kao r k 1  . Ako su 1k , 2k , 3k i 4k kružnice u ravnini među kojima se svake dvije dodiruju, tada vrijedi jednakost:    2 4321 2 4 2 3 2 2 2 12 kkkkkkkk  Prema tome Descartes je zaključio da za tri kružnice od kojih se svake dvije dodiruju postoje dvije koje diraju sve tri. OSTALE ZANIMLJIVOSTI Descartes je također poznavao i formulu 2 SBV , gdje je V broj vrhova, B broj bridova, a S broj strana za konveksne poliedre. Tim teoremom započela je teorija grafova. Descartesov list jest naziv algebarske krivulje trećeg reda, a zadana je jednadžbom axyyx 333  . Krivulja se sastoji od čvorne točke koju dodiruju koordinatne osi i asimptote 0 ayx . Slika 3. – Descartesov list
70 Descartesov oval je algebarska krivulja četvrtog reda. Za ovu je krivulju specifično da udaljenost 1r i 2r bilo koje točke P od dviju čvrstih točaka 1F i 2F povezuje jednakost amrr 1 (m i a su konstante). Ako je 1m dobivamo elipsu, a ako je 1m onda je riječ o hiperboli. Slika 4. – Descartesov oval
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)
Povijest matematike (History of Math)

Recommended

Vreme kroz vreme
Vreme kroz vremeVreme kroz vreme
Vreme kroz vreme
Sanja Bulat
 
kiseline-i-baze.ppt
kiseline-i-baze.pptkiseline-i-baze.ppt
kiseline-i-baze.ppt
isidorarani
 
Prapovijesno doba
Prapovijesno dobaPrapovijesno doba
Prapovijesno doba
Privatna jezično-informatička gimnazija "Svijet"
 
Testovi znanja - podsetnik za nastavnike
Testovi znanja - podsetnik za nastavnikeTestovi znanja - podsetnik za nastavnike
Testovi znanja - podsetnik za nastavnike
Biljana Radović
 
Oblici nastavnog rada
Oblici nastavnog radaOblici nastavnog rada
Oblici nastavnog rada
MarkoMihajlovic15
 
Narodna bajka
Narodna bajkaNarodna bajka
Narodna bajka
Основна школа "Миливоје Боровић" Мачкат
 
функционални стилови
функционални стиловифункционални стилови
функционални стилови
milijana1
 
Bosonogi i nebo
Bosonogi i neboBosonogi i nebo
Bosonogi i nebo
Ristic Radica
 

Recommended

Vreme kroz vreme
Vreme kroz vremeVreme kroz vreme
Vreme kroz vreme
Sanja Bulat
 
kiseline-i-baze.ppt
kiseline-i-baze.pptkiseline-i-baze.ppt
kiseline-i-baze.ppt
isidorarani
 
Prapovijesno doba
Prapovijesno dobaPrapovijesno doba
Prapovijesno doba
Privatna jezično-informatička gimnazija "Svijet"
 
Testovi znanja - podsetnik za nastavnike
Testovi znanja - podsetnik za nastavnikeTestovi znanja - podsetnik za nastavnike
Testovi znanja - podsetnik za nastavnike
Biljana Radović
 
Oblici nastavnog rada
Oblici nastavnog radaOblici nastavnog rada
Oblici nastavnog rada
MarkoMihajlovic15
 
Narodna bajka
Narodna bajkaNarodna bajka
Narodna bajka
Основна школа "Миливоје Боровић" Мачкат
 
функционални стилови
функционални стиловифункционални стилови
функционални стилови
milijana1
 
Bosonogi i nebo
Bosonogi i neboBosonogi i nebo
Bosonogi i nebo
Ristic Radica
 
Paukovic jesen
Paukovic jesenPaukovic jesen
Paukovic jesen
zbornica
 
праисторија
праисторијапраисторија
праисторија
Ucionica istorije
 
Metalno doba 3.0
Metalno doba 3.0Metalno doba 3.0
Metalno doba 3.0
Vale Shau
 
Zemljina.revolucija
Zemljina.revolucijaZemljina.revolucija
Zemljina.revolucija
Miljana Jelenkovic Stefanović
 
Muzika srednjeg veka
Muzika srednjeg vekaMuzika srednjeg veka
Muzika srednjeg veka
MilanIvkovi7
 
Život u feudalnoj državi
Život u feudalnoj državiŽivot u feudalnoj državi
Život u feudalnoj državi
Vale Shau
 
Oblici rada u nastavi (frontalni, individualni, grupni,...)
Oblici rada u nastavi (frontalni, individualni, grupni,...)Oblici rada u nastavi (frontalni, individualni, grupni,...)
Oblici rada u nastavi (frontalni, individualni, grupni,...)
Dragan Djukic
 
Formativno ocenjivanje
Formativno ocenjivanjeFormativno ocenjivanje
Formativno ocenjivanje
Verica Arula
 
Soli
SoliSoli
Soli
jasminalukic
 
Soli
Soli Soli
Soli
Biljana Ristic
 
Povrsina paralelograma
Povrsina paralelogramaPovrsina paralelograma
Povrsina paralelograma
NevenaLjujic
 
Trudnoca
TrudnocaTrudnoca
Trudnoca
Немања Величковић
 
Bakar
BakarBakar
Bakar
vvlivvli
 
Orijentacija u prostoru
Orijentacija u prostoruOrijentacija u prostoru
Orijentacija u prostoru
dusanjerkovic
 
Зависне реченице
Зависне реченицеЗависне реченице
Зависне реченице
Ивана Цекић
 
вукова реформа
вукова реформавукова реформа
вукова реформа
Ивана Цекић
 
SREDNJOVJEKOVNA BOSNA ALISA.ppt
SREDNJOVJEKOVNA BOSNA ALISA.pptSREDNJOVJEKOVNA BOSNA ALISA.ppt
SREDNJOVJEKOVNA BOSNA ALISA.ppt
AlisaGranovBuri
 
Što je bajka?
Što je bajka?Što je bajka?
Što je bajka?
Pogled kroz prozor
 
Uvod u srednji vek
Uvod u srednji vekUvod u srednji vek
Uvod u srednji vek
Ucionica istorije
 
Pitagorina teorema primjena na romb
Pitagorina teorema primjena na rombPitagorina teorema primjena na romb
Pitagorina teorema primjena na romb
NevenaLjujic
 
Matematički projekti
Matematički projektiMatematički projekti
Matematički projekti
Gordana Divic
 
Ljepota kompleksnih brojeva
Ljepota kompleksnih brojevaLjepota kompleksnih brojeva
Ljepota kompleksnih brojeva
Gordana Divic
 

More Related Content

What's hot

Paukovic jesen
Paukovic jesenPaukovic jesen
Paukovic jesen
zbornica
 
Oblici rada u nastavi (frontalni, individualni, grupni,...)
Oblici rada u nastavi (frontalni, individualni, grupni,...)Oblici rada u nastavi (frontalni, individualni, grupni,...)
Oblici rada u nastavi (frontalni, individualni, grupni,...)
Dragan Djukic
 
Orijentacija u prostoru
Orijentacija u prostoruOrijentacija u prostoru
Orijentacija u prostoru
dusanjerkovic
 

What's hot (20)

Paukovic jesen
Paukovic jesenPaukovic jesen
Paukovic jesen
 
праисторија
праисторијапраисторија
праисторија
 
Metalno doba 3.0
Metalno doba 3.0Metalno doba 3.0
Metalno doba 3.0
 
Zemljina.revolucija
Zemljina.revolucijaZemljina.revolucija
Zemljina.revolucija
 
Muzika srednjeg veka
Muzika srednjeg vekaMuzika srednjeg veka
Muzika srednjeg veka
 
Život u feudalnoj državi
Život u feudalnoj državiŽivot u feudalnoj državi
Život u feudalnoj državi
 
Oblici rada u nastavi (frontalni, individualni, grupni,...)
Oblici rada u nastavi (frontalni, individualni, grupni,...)Oblici rada u nastavi (frontalni, individualni, grupni,...)
Oblici rada u nastavi (frontalni, individualni, grupni,...)
 
Formativno ocenjivanje
Formativno ocenjivanjeFormativno ocenjivanje
Formativno ocenjivanje
 
Soli
SoliSoli
Soli
 
Soli
Soli Soli
Soli
 
Povrsina paralelograma
Povrsina paralelogramaPovrsina paralelograma
Povrsina paralelograma
 
Trudnoca
TrudnocaTrudnoca
Trudnoca
 
Bakar
BakarBakar
Bakar
 
Orijentacija u prostoru
Orijentacija u prostoruOrijentacija u prostoru
Orijentacija u prostoru
 
Зависне реченице
Зависне реченицеЗависне реченице
Зависне реченице
 
вукова реформа
вукова реформавукова реформа
вукова реформа
 
SREDNJOVJEKOVNA BOSNA ALISA.ppt
SREDNJOVJEKOVNA BOSNA ALISA.pptSREDNJOVJEKOVNA BOSNA ALISA.ppt
SREDNJOVJEKOVNA BOSNA ALISA.ppt
 
Što je bajka?
Što je bajka?Što je bajka?
Što je bajka?
 
Uvod u srednji vek
Uvod u srednji vekUvod u srednji vek
Uvod u srednji vek
 
Pitagorina teorema primjena na romb
Pitagorina teorema primjena na rombPitagorina teorema primjena na romb
Pitagorina teorema primjena na romb
 

Viewers also liked

History of Math
History of MathHistory of Math
History of Math
Gordana Divic
 
Slide share prezentacija
Slide share prezentacijaSlide share prezentacija
Slide share prezentacija
tea5923
 

Viewers also liked (14)

Matematički projekti
Matematički projektiMatematički projekti
Matematički projekti
 
Ljepota kompleksnih brojeva
Ljepota kompleksnih brojevaLjepota kompleksnih brojeva
Ljepota kompleksnih brojeva
 
Zlatni rez
Zlatni rezZlatni rez
Zlatni rez
 
Prezentacija
PrezentacijaPrezentacija
Prezentacija
 
Zlatni rez - matematika
Zlatni rez - matematikaZlatni rez - matematika
Zlatni rez - matematika
 
Ppt matematika
Ppt matematikaPpt matematika
Ppt matematika
 
History of Math
History of MathHistory of Math
History of Math
 
Matematika kroz projekte
Matematika kroz projekteMatematika kroz projekte
Matematika kroz projekte
 
Povijest matematike
Povijest matematikePovijest matematike
Povijest matematike
 
"Moja, a Tvoja - MaTeMaTika" , Pula, 10.11.2017.
"Moja, a Tvoja - MaTeMaTika" , Pula, 10.11.2017."Moja, a Tvoja - MaTeMaTika" , Pula, 10.11.2017.
"Moja, a Tvoja - MaTeMaTika" , Pula, 10.11.2017.
 
History of Math
History of MathHistory of Math
History of Math
 
Slide share prezentacija
Slide share prezentacijaSlide share prezentacija
Slide share prezentacija
 
Sunčev sustav za djecu predškolskog odgoja
Sunčev sustav za djecu predškolskog odgojaSunčev sustav za djecu predškolskog odgoja
Sunčev sustav za djecu predškolskog odgoja
 
Srbija prezentacija
Srbija prezentacijaSrbija prezentacija
Srbija prezentacija
 

More from Gordana Divic

More from Gordana Divic (20)

Clinometer - architectural tool - Photo mARTh
Clinometer - architectural tool - Photo mARThClinometer - architectural tool - Photo mARTh
Clinometer - architectural tool - Photo mARTh
 
131. godišnjica tornada u Novskoj
131. godišnjica tornada u Novskoj131. godišnjica tornada u Novskoj
131. godišnjica tornada u Novskoj
 
Razina intenziteta zvuka
Razina intenziteta zvukaRazina intenziteta zvuka
Razina intenziteta zvuka
 
Svemir i održivost.pdf
Svemir i održivost.pdfSvemir i održivost.pdf
Svemir i održivost.pdf
 
Zakon očuvanja mehaničke energije
Zakon očuvanja mehaničke energijeZakon očuvanja mehaničke energije
Zakon očuvanja mehaničke energije
 
Women in Space - Srednja škola Novska
Women in Space - Srednja škola NovskaWomen in Space - Srednja škola Novska
Women in Space - Srednja škola Novska
 
Geometrican's views - presentig the project, 14/10/2021
Geometrican's views - presentig the project, 14/10/2021Geometrican's views - presentig the project, 14/10/2021
Geometrican's views - presentig the project, 14/10/2021
 
Geometrician's views - presenting project, 14/10/2021
Geometrician's views - presenting project, 14/10/2021Geometrician's views - presenting project, 14/10/2021
Geometrician's views - presenting project, 14/10/2021
 
Predstavljanje erasmus+ projekta geometrician’s views
Predstavljanje erasmus+ projekta geometrician’s viewsPredstavljanje erasmus+ projekta geometrician’s views
Predstavljanje erasmus+ projekta geometrician’s views
 
Pitagora II
Pitagora IIPitagora II
Pitagora II
 
Pitagora I
Pitagora IPitagora I
Pitagora I
 
Nuklearne elektrane
Nuklearne elektraneNuklearne elektrane
Nuklearne elektrane
 
Nuklearne elektane - fuzija
Nuklearne elektane - fuzijaNuklearne elektane - fuzija
Nuklearne elektane - fuzija
 
Fuzija i ITER
Fuzija i ITERFuzija i ITER
Fuzija i ITER
 
Fisija i nuklearne elektrane
Fisija i nuklearne elektraneFisija i nuklearne elektrane
Fisija i nuklearne elektrane
 
ČOKSICE
ČOKSICEČOKSICE
ČOKSICE
 
Fibonacci
Fibonacci Fibonacci
Fibonacci
 
Albert Einstein
Albert EinsteinAlbert Einstein
Albert Einstein
 
Sunce
SunceSunce
Sunce
 
Očuvanje energije
Očuvanje energijeOčuvanje energije
Očuvanje energije
 

Povijest matematike (History of Math)

  • 1. POVIJEST MATEMATIKE SREDNJA ŠKOLA NOVSKA ŠKOLSKA GODINA 2014./2015. eTwinning projekt „History of Math“ voditelj: Gordana Divić, prof. mentor
  • 2. 1 SADRŽAJ UVOD............................................................................................................................................................... 2 SUMERSKA I BABILONSKA MATEMATIKA........................................................................................................ 3 EGIPATSKA MATEMATIKA ............................................................................................................................... 6 GRČKA MATEMATIKA.................................................................................................................................... 12 KINESKA, INDIJSKA I ARAPSKA MATEMATIKA ............................................................................................... 16 TALES............................................................................................................................................................. 27 PITAGORA...................................................................................................................................................... 31 PLATON ......................................................................................................................................................... 36 EUKLID........................................................................................................................................................... 41 ARHIMED....................................................................................................................................................... 44 DIOFANT........................................................................................................................................................ 47 AL HVARIZMI ................................................................................................................................................. 51 FIBONACCI..................................................................................................................................................... 54 VIÈTE ............................................................................................................................................................. 58 JOHN NAPIER................................................................................................................................................. 62 HENRY BRIGGS .............................................................................................................................................. 65 RENÉ DESCARTES........................................................................................................................................... 67 CAVALIERI...................................................................................................................................................... 71 BLAISE PASCAL .............................................................................................................................................. 75 LEIBNIZ & NEWTON....................................................................................................................................... 78 DE MOIVRE.................................................................................................................................................... 81 EULER ............................................................................................................................................................ 83 GAUSS ........................................................................................................................................................... 88 CAUCHY......................................................................................................................................................... 93 JOHN NASH ................................................................................................................................................... 96 ZAKLJUČAK .................................................................................................................................................... 99 LITERATURA................................................................................................................................................. 100
  • 3. 2 UVOD Povijest matematike djelo (knjiga) je nastalo kroz eTwinning projekt History of Math koji je Srednja škola Novska iz Hrvatske provela u suradnji sa srednjom školom 2ο ΓΕΛ Έδεσσας iz Grčke tijekom 2014./2015. školske godine. Naslovna slika je logo projekta za koji smo se većinskim glasanjem odlučili. U projektu su sudjelovali učenici u dobi od 16 do 19 godina čiji je zadatak bio istražiti dijelove prošlosti u kojima se rađala matematika te pojedine matematičare (koje spominjemo u kurikulu matematike) i njihove doprinose razvoju matematike. Surađivali su i dogovarali se oko svojih zadataka međusobno i sa svojim grčkim kolegama. Učenici Srednje škole Novska koji su sudjelovali u projektu: 1. Antonio Jakubek 2. Ella Cink 3. Doroteja Lukić 4. Ariana Gobac 5. Kornelija Čidić 6. Petra Kalanja 7. Marija Kožarić 8. Stella Moguš 9. Kristina Komljenović 10. Dominik Domitrović 11. Marko Crnojević 12. Barbara Mašunjac 13. Karolina Marenić 14. Laura Iličić 15. Patricia Kujundžić 16. Andrea Pupilo 17. Ivan Jurić 18. Antonio Horaček 19. Stjepan Marijan 20. Iva Ciprijanović 21. Tomislav Cikojević 22. Marta Ćurić 23. Ivan Brtan 24. Lana Matičević i napisali 24 poglavlja ili priče ove knjige. Projekt su zajedničkim snagama vodili nastavnici iz Grčke: 1. Elleni Stogiannou (osnivač) 2. Apostolos Tintinidis te iz Hrvatske: 3. Gordana Divić (osnivač) 4. Tamara Tomić Osim što su sudjelovali u pisanju ovoga djela, učenici su napravili i PowerPoint prezentacije pomoću kojih su projekt predstavili nastavnicima matematike Sisačko-moslavačke županije za koje su priredili i izložbu plakata te također nastavnicima i učenicima Srednje škole Novska povodom Dana eTwinninga. Svi zajedno uređivali su i stranicu projekta: http://twinspace.etwinning.net/490/home.
  • 4. 3 SUMERSKA I BABILONSKA MATEMATIKA Antonio Jakubek, 4.g Naše prvo znanje o matematici dolazi od Egipćana i Babilonaca. Obje su civilizacije razvile matematiku koja je slična po opsegu, ali različita u pojedinostima. Babilonska matematika je datirana za 4000 g. prije Krista sa Sumeranima u Mezopotamiji. Ipak, malo se zna o Sumeranima. Sumer je prvi put naseljen između 4500 i 4000 godina prije Krista od strane ne semitskih ljudi koji ne govore sumerski jezik. Danas se ti ljudi zovu Ubaidiansi, od sela Al-Ubaid gdje su otkriveni njihovi posmrtni ostatci. Još je manje poznato o njihovoj matematici. Sumerani su naselili Mezopotamijsku dolinu gdje su izgradili domove i hramove te ih ukrasili umjetničkim posudama i mozaicima geometrijskih oblika. Raniji Sumerani su imali brojeve, ali zbog nedostatka sredstava su se morali prilagoditi sveprisutnoj glini i razvoju pisma na glinenim pločicama. Ostali narodi poput Babilonaca, Asiraca i Hitija naslijedili su Sumerski zakon i književnost i, što je još važnije, njihov stil pisanja. Mezopotamska civilizacija često se naziva Babilonska, ali to nije točno. Babilon nije bio prvi veliki grad, ali cijela civilizacija se naziva Babilonska. Čak ni tijekom svog postojanja nije bio centar mezopotamske kulture. Babilonska kultura se razvila oko 2000 godina prije Krista propašću sumerske civilizacije u Mezopotamiji, području koje danas dijelom pripada Iraku. Babilonci su od Sumerana naslijedili ideje za heksagezimalni brojevni sustav i klinasto pismo kojim su pisali po glinenim pločicama. Babilonci su koristili brojevni sustav s bazom 60 koji su Sumerani razvili 2500. godine prije Krista. Mnogi kao razlog navode velik broj djelitelja broja 60 (koji je najmanji prirodni broj djeljiv sa 1, 2, 3, 4 i 5). Ono što smo zadržali do danas od Sumerana je podjela tjedna na 7 dana, dana na 24 sata, sata na 60 minuta i minute na 60 sekundi. Slika 1. Znamenke u babilonskom brojevnom sustavu Babilonci su za prikaz brojeva koristili samo dva osnovna oblika; koristili su simbol za broj 10 (slika 1) i simbol za broj 1 ili 60 (slika 2). Slika 2. Babilonski simbol za broj 10 Slika 3. Babilonski simbol za broj 1 ili 60
  • 5. 4 Babilonci nisu imali simbol za nulu niti simbol za decimalnu točku te se sve moralo prosuđivati iz konteksta, što je vrlo kompliciralo tumačenje nalaza iz tog doba. Slika 4. Plimpton 322 Pločica Plimpton 322 veličine je današnjeg džepnog računala te sadrži jedan redak čistog teksta i tablicu brojeva s 4 stupca i 15 redaka. Pločica je djelomična u lijevom gornjem kutu, pa nedostaje dobar dio prvog stupca, dok su drugi, treći i četvrti stupac potpuno vidljivi. U početku se smatralo kako je Plimpton 322 samo još jedan primjer babilonskog zapisa, no, početkom 40-ih godina prošlog stoljeća su povjesničari Otto Neugebauer i Abraham Sachs primijetili kako reci na pločici zadovoljavaju zanimljivo svojstvo, usko vezano uz takozvane Pitagorine trojke. To su uređene trojke prirodnih brojeva (a, b, c) koje zadovoljavaju jednakost 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 . Brojevi u srednja dva stupca su upravo duljine kraće stranice b i hipotenuze c pravokutnog trokuta (gdje je b>a). Autor ove pločice je načinio i nekoliko pogrešaka. Pogrešku u drugom retku možemo lako provjeriti jer pravokutni trokut duljine hipotenuze 11521 i jedne katete 3367 nema drugu katetu cjelobrojne duljine. To ipak ne umanjuje činjenicu kako je Plimpton 322 dokaz da su Pitagorine trojke bile poznate i tisućama godina prije pojave matematičara antičke Grčke. Slika 5. Nalizište u Nipuru Nalazište u Nipuru blizu hrama u obliku stepenaste piramide (tzv. zigurat) je primjer izrazitog matematičkog znanja Babilonaca. Na tom je mjestu nađeno oko 50 000 glinenih tablica koje svjedoče znatnom matematičkom znanju.
  • 6. 5 Slika 6. i 7. Trokutasti, kvadratni i piramidalni nizovi brojeva Babilonci su izgrađivali nizove koji uključuju trokutaste brojeve (1, 3, 6, 10, 15 itd.), kvadratne brojeve (1, 4, 9, 16, 25 itd.) i piramidalne brojeve (1, 5, 14, 30, 50 itd.). Primjer korištenja niza piramidalnih brojeva je slagalište municije u Calcutti sredinom 19. st. Slagali su topovske kugle u piramide da što bolje iskoriste prostor (druga hrpa sa desne strane). Poznavanje piramidalnih brojeva omogućavalo ja lako izračunavanje broja đuladi (topovske kugle). Slika 8. municija u Calcutti
  • 7. 6 EGIPATSKA MATEMATIKA Ella Cink, 4.g Jedna od najranijih velikih civilizacija bila je staroegipatska, stoga kod njih i nalazimo neke od prvih matematičkih ideja. Najstarija egipatska bilješka o broju potječe otprilike oko 3300. godine prije Krista. Staroegipatska matematika jedna je od najranijih epoha te znanosti. Jedna od prvih grana matematike bila je geometrija. O staroegipatskoj matematici najviše doznajemo iz papirusa, a dva najvažnija su Ahmesovo ili Rhindovo i Moskovsko. Moskovski papirus pisan je na hijeratskom pismu, te se temelji na podatcima iz 1800. godine pr.Kr. Autor ovog papirusa nije poznat, a papirus sadrži 25 zadataka. U njemu nalazimo zadatke vezane uz količinu radnika i posla, računanje plovidbe i stvari vezanih za računanje količine hrane. Jedan dio posvećen je geometriji, posebno trokutu, površinama i volumenima piramida. U Moskovskom papirusu nalaze se i najveća dostignuća egipatske geometrije. Dužine je oko pola metra i širine malo manje od 8 centimetara. Moskovski papirus otkrio je 1893. godine V. S. Golenichev. Čuva se u Moskovskom muzeju. Ahmesov ili Rhindov papirus je 1858. otkrio škotski egiptolog Henry Rhind u Luxoru. Napisao ga je pisar Ahmes oko 1650. godine pr.Kr. Ovaj svitak duljine 6 m i širine 30 cm danas se čuva u British Museumu u Londonu. U samom papirusu piše da je to "studija o svim stvarima, pogled u unutrašnjost svega što postoji, saznanje o tamnim tajnama". Ahmesov papirus je zbirka tablica i vježbi sa 87 matematičkih problema. Papirus sadrži vježbe iz aritmetike, algebre, geometrije i raznih mjerenja. Poseban dio posvećen je razlomcima. U njemu se nalazi i najstariji poznati i sačuvani zapis broja π. Stari Egipćani imali su oznake za svoje brojeve i razvijeni decimalni sustav. Koristili su brojevni sustav s bazom 10, a jedna od glavnih razlika između hijeratskih brojeva i našeg brojevnog sustava je taj da hijeratski brojevi nisu bili pisani u sustavu mjesnih vrijednosti. Znamenke se mogu pisati bilo kojim redoslijedom. Hijeratski je sustav adicijski sustav.
  • 8. 7 Pisali su po kamenu, hijeroglifskim znacima s lijeva na desno, ali i obrnuto. Ponekad su pisali odozgo prema dolje. Egipatski način pisanja nije pozicijski. Princip pisanja brojeva je jednostavan, npr. broj 7 je 7 crtica ---> Manji znakovi grupiraju se po dva dok duguljasti stoje sami.  Broj 13  Broj 456  Broj 1339
  • 9. 8 Egipatski brojevni sustav nije bio pogodan za računanje, a trgovina je zahtijevala zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i rad s razlomcima. Kod zbrajanja koristio se ovaj znak koji bi se okrenuo kada se oduzimalo. Zbrajalo se skupljanjem istih simbola zajedno i pretvaranjem njih 10 u jedan simbol sljedeće razine. Oduzimalo se tako što odmicao određeni broj istih simbola. Egipćani su brojeve množili tako što su posjedovali tablice množenja s 2, npr. množenje 35 s 5  34 – 1 68 – 2 136 – 4 Na desnoj strani moramo naći pribrojnike koji će zajedno zbrojeni dati drugi pribrojnik 5 (to su 1 i 4). Ti reci se podebljaju i zbrojimo ono što je s lijeve strane (34 + 136=170).
  • 10. 9 Brojevi su se analogno i dijelili, npr. 54 sa 7. Počnemo pisati s djeliteljem 7, a s druge strane krenemo s 1 i udvostručavamo.  7 – 1 14 – 2 28 – 4 Od djeljenika oduzimamo lijevu stranu dok više ne možemo oduzimati 54 – 28 = 26, 26 – 14 = 12, 12 – 7 = 5. Tako smo dobili i ostatak (5), zatim brojeve koje smo dijelili zacrnimo i zbrojimo desnu stranu. Konačno rješenje je 54 : 7 = 7 cijelih i 5 ostatka RAZLOMCI Egipćani su razlomke označavali na način koji nema sličnosti niti s jednom drugom kulturom. Svaki razlomak pisali su s jediničnim brojnikom, a kada to nije bilo moguće, prikazivali su ga kao zbroj takvih. Poznavali su samo jedinične razlomke, tj. razlomke s brojnikom 1. Iznimka u tome je bio razlomak 2 3 . Razlomci su zapisivani tako da je iznad nazivnika stavljen hijeroglif koji je označavao "otvorena usta".  oko boga Horusa Stari Egipćani vjerovali su da ih simbol „Rx“ štiti od zla. U matematiku su ugradili simboliku pa su razvili i brojevni sustav koji se koristio za prepisivanje lijekova, podjelu zemlje ili sjemenja. Razlomke su tvorili tako što su kombinirali pojedine dijelove simbola oka boga Horusa. Svaki dio imao je različitu vrijednost, cjelokupni simbol oka ima vrijednost 1, a cijeli sustav temelji se na podjeli na polovice.
  • 11. 10 GEOMETRIJA Za izgradnju piramida i hramova Egipćani su morali imati dobro razvijenu geometriju i stereometriju. Znali su računati nagib i obujam piramide, te obujam krnje piramide. Računali su površinu trokuta kao 1 2 umnoška dviju kraćih stranica, također su znali izračunati i površinu pravokutnika kao umnožak duljina njegovih stranica. U Ahmesovom papirusu pronađeno je kako su računali površinu kruga. Suvremenim matematičkim jezikom ta formula glasila bi 𝑃 = ( 8 9 ∙ 𝑑𝑖𝑗𝑎𝑚𝑒𝑡𝑎𝑟) 2 , a kada bi ju usporedili s točnom formulom površine kruga 𝑃 = 𝑟2 𝜋 što znači da su stari Egipćani prije stvarnog otkrića broja π znali njegovu približnu vrijednost (π ≈ 3.1605).
  • 12. 11 ALGEBRA Staroegipatska algebra bila je retorička, problemi i rješenja dani su riječima. Rješavali su jednadžbe prvog stupnja tako da su obavezno provodili analizu i sintezu pri rješavanju. Svako rješenje su uvrštavali u početni problem da se uvjere da je dobro riješen. Stari Egipćani nisu poznavali oznake za množenje, dijeljenje, jednakost, drugi korijen, decimalnu točku, nisu znali ni za obični razlomak. Koristili su se sedmeroznamenkastim brojevima, u svojim računima imali su mješavinu jednostavnosti i kompliciranosti, a taj se koncept prikazuje kao jedinstvena i zatvorena cjelina. Zbog toga se može reći da je egipatska matematika jedini sačuvani primjerak računske tehnike koja je bila vrlo razvijena. U cijelom svom razvoju nije doživjela nikakav diskontinuitet te se u potpunosti temelji na osnovi računanja (brojenju i pojmu razlomka).
  • 13. 12 GRČKA MATEMATIKA Doroteja Lukić, 3.g Izraz „grčka matematika“, koristimo kada govorimo o matematici koja je temeljena na starogrčkim tekstovima te razvijena od 7. stoljeća prije Krista do 4. stoljeća poslije Krista duž istočnih obala Mediterana. Poveznice između grčkih matematičara koji su živjeli u različitim gradovima duž cijelog istočnog Mediterana, od Italije pa sve do Sjeverne Afrike, bili su upravo zajednička kultura i jezik. Također, sam izraz „matematika“ potječe upravo od grčke riječi mathema što znači – znanost. Glavna razlika između grčke matematike i matematika razvijenih u prethodnim civilizacijama je u proučavanju matematike zbog samog proučavanja i korištenju općih matematičkih dokaza i teorija. Kako je grčko carstvo počelo širiti svoju sferu utjecaja na Malu Aziju, Mezopotamiju pa i dalje, Grci su bili dovoljno pametni kako bi prisvojili i preradili korisne elemente naroda koje su pokorili. Ovo se najviše vidi na njihovoj matematici, prisvojili su elemente matematike ne samo od Babilonaca već i od Egipćana. Uskoro su počeli donositi važan doprinos te po prvi put možemo razaznati doprinos pojedinaca. Do Helenističkog vremena, Grci su predsjedali najdramatičnijom i najvažnijom revolucijom u matematici ikad. U početku su se Grci bavili matematikom imajući jedan osnovni cilj – shvaćanje čovjekovog mjesta u svemiru. O vremenu stvaranja grčke matematike možemo zaključiti na osnovi manjih sastavnica, koje se nalaze u kasnijim radovima, kao i na osnovi zapažanja filozofa i drugih
  • 14. 13 znanstvenika koji nisu bili samo matematičari. Ona je u usporedbi sa ostalim znanostima dostigla najviši nivo teorijskog razvitka. U vrijeme pojave prvih zapisa o grčkoj matematici su grčki trgovci već bili naučili od svojih egipatskih kupaca kako je za pisanje korisno upotrebljavati papirus jer se lakše prenosi i čuva nego glinene pločice. Vrijeme tijekom kojega su grčke mediteranske zajednice dale trajan doprinos razvoju matematike može se podijeliti u tri velike faze: prva, koja nije ostavila nikakvih pisanih tragova, proteže se od Talesa i Pitagore do Demokrita, od 600. do 400. godine prije Krista; druga, čiju osnovu predstavlja Platonovo učenje, dolazi do vrhunca u Euklidovom sustavu; za treću ili aleksandrijsku fazu karakteristično je odstupanje od formalizama i jak osjećaj za praktičnu primjenu matematike. Grčka tradicija ističe Talesa kao osnivača grčke matematike. Iako o tome nema dokumentiranih dokaza ranijih od jednog stoljeća nakon Talesove smrti, jer rukopisi koji su se sačuvali pripadaju vremenu Kršćanstva i Islama i samo veoma malo dopunjuju bilješke u egipatskim papirusima, koji su nešto starijeg datuma, klasična filozofija je pomogla da se rekonstruiraju tekstovi iz 4. stoljeća pr. Kr., kao i tekstovi iz bližeg perioda. Zahvaljujući tome imamo solidna izdanja Euklida, Arhimeda, Apolonija i drugih velikih antičkih matematičara. Međutim, ti tekstovi sadrže već potpuno izgrađenu matematičku znanost pa je teško, čak i pomoću kasnijih komentara, pratiti tijek povijesnog razvoja. Prema tome, o razdoblju formiranja grčke matematike možemo zaključivati samo na osnovi manjih sastavnica, koje se nalaze u kasnijim radovima, kao i na osnovi zapažanja filozofa i drugih autora, koji nisu bili samo matematičari. Veoma mnogo pažnje i truda bilo je posvećeno kritici tekstova i na osnovu toga je osvijetljen veliki broj tamnih mjesta iz tog ranog perioda. Radovi raznih istraživača omogućili su nam da steknemo dosta povezanu, iako samo hipotetsku sliku grčke matematike u razdoblju njenog formiranja. Drevni grčki brojevni sustav u potpunosti je razvijen oko 450. godine pr. Kr., a u redovnoj upotrebi vjerojatno već u 7. stoljeću prije Krista. To je sustav sa bazom 10, sličan ranijem egipatskog sustavu (pa čak i sličniji kasnijem rimskom sustavu), sa simbolima za 1, 5, 10, 50, 100, 500 i 1.000 ponavljanim onoliko puta koliko je potrebno za dobivanje željenog broja.
  • 15. 14 Većina Grčke matematike zapravo se temelji na geometriji. Tales se smatra prvim matematičarem koji je postavio smjernice za apstraktni razvoj geometrije, iako se ono što danas znamo o njegovom radu čini poprilično osnovnim. Tales je uspostavio, ono što je danas poznato kao Talesov poučak. On govori da ako je trokut ucrtan u krug s dužom stranom kao promjerom kruga, onda će suprotni kut uvijek biti pravi kut. On je također zaslužan za drugi teorem, također poznat kao Talesov poučak, koji kaže da su kod jednakokračnih trokuta kutovi uz osnovicu jednaki te da ako se jednake prave crte povuku dalje, kutovi pod osnovicom bit će jednaki. Legendarni matematičar iz 6. stoljeća pr.Kr., Pitagora, postao je sinonim rađanja grčke matematike. Vjeruje se da je on izmislio obje riječi, „filozofija“ (ljubav spram mudrosti“) i „matematika“ (ono što se nauči). Pitagora je vjerojatno prvi shvatio da cijeli sustav matematike može biti izgrađen, gdje bi geometrijski elementi predstavljali brojeve. Pitagorin poučak je jedan od najpoznatijih matematičkih poučaka. On postaje kontroverzna figura, ali grčka matematika nipošto nije ograničena na jednog čovjeka. Međutim, sigurno je istina da je Pitagora značajno utjecao na one koji su došli poslije njega, uključujući i Platona, koji je osnovao svoju poznatu Akademiju u Ateni 387. godine prije Krista te njegova štićenika Aristotela, čiji se rad na logici smatrao definitivnim više od dvije tisuće
  • 16. 15 godina. Platon je najpoznatiji po svom opisu pet Platonovih krutih tijela, ali vrijednost njegovog rada kao učitelja i popularizatora matematike ne može biti precijenjena. Možda je najvažniji pojedinačni doprinos Grka ideja dokaza i deduktivna metoda korištenja logičkih koraka za dokazivanje ili opovrgavanje teorija. Starije kulture, poput Egipćana i Babilonaca, oslonile su se na induktivno zaključivanje, koje koristi ponavljano promatranje kako bi se ustvrdila pravila. Upravo je ovaj koncept dokazivanja, ono sto je dalo matematici svoju snagu i osigurava da su dokazane teorije istinite i danas kao što su bile i prije dvije tisuće godina te je postavilo temelje za sustavni pristup matematici Euklidu i onima koji su došli poslije njega. Matematika je doprinijela DA SE UVEDE RED, DA SE IDEJE POVEŽU U LOGIČNE NIZOVE TE DA SE OTKRIJU OSNOVNI PRINCIPI.
  • 17. 16 KINESKA, INDIJSKA I ARAPSKA MATEMATIKA Ariana Gobac, 3.g KINA Matematičari ove zemlje pisali su kineskim znakovljem te je kao takva bila izdvojena od drugih civilizacija koje nisu bile upoznate s tim znakovljem. Kina je ostatku svijeta postala poznata tek zahvaljujući Marku Polu, te raznim drugim misionarima (Isusovcima) koji su putujući svijetom i trgujući došli u kontakt s kineskom civilizacijom i matematikom. Zbog oskudno sačuvanih pisanih dokumenata ne zna se mnogo o matematici drevne Kine, te o njenim začecima, no prilično je sigurno da počeci astronomije i matematike drevne Kine sežu barem u 3. tisućljeće prije naše ere. Naime, u to doba Kinezi su već imali detaljno razrađen kalendar, što dokazuje da je i aritmetika morala biti jako razvijena jer bez nje se ne bi mogli napraviti proračuni potrebni za sastavljane imalo razvijenijeg kalendara. Najstariji sačuvani matematički tekstovi potječu tek iz doba oko 200. pr.Kr., no to je posljedica spaljivanja svih knjiga godine 213. pr.Kr. po naredbi vladajućeg tiranina. Prema starim kronikama ˝Žuti car˝ Huang – Ti (vladao Kinom u 27.st pr. Kr.) dao je naredbe svojim podanicima tj. zadao im je zadatke što moraju istraživati. Tako je trima znanstvenicima dao zadatak da proriču pomoću Sunca, Mjeseca i zvijezda. Četvrtom znanstveniku dao je zadatak da stvori glazbene note, petom znanstveniku Tai – Naou naredio je da konstruira heksagezimalni sustav (Chia – Tsu), šesti znanstvenik Li – Skouu dobio je zadatak da izgradi brojeve i umjetnost aritmetike, a posljednji sedmi znanstvenik dobio je zadatak da regulira svih tih šest vještina te razradi kalendar. Koristili su se heksagezimanim sustavom. To je najstariji kineski sustav numeracije. Baza mu je broj 60, a funkcionirao je tako da su se brojevi od jedan do šezdeset tvorili kombiniranjem elemenata jednog desetočlanog i jednog dvanaestočlanog ciklusa (najmanji zajednički višekratnik od 10 i 12 je 60). Taj su sustav koristili za brojanje dana i godina. Znanstvenici su kasnije ustvrdili da su počeci matematike u Kini imali srodnosti s počecima razvoja matematike u staroj Mezopotamiji i vjeruje se da su na neki način povezani. Prvi dokazi matematičke aktivnosti u Kini pronađeni su u obliku numeričkih simbola zapisanih na tankim kostima stoke i drugih životinja, a procijenjeni su da potječu iz 14.st.pr.Kr.
  • 18. 17 Legenda o Lo Shu Budući da nema drugih konkretnih pisanih dokaza, sve se oslanja na jednu legendu koja govori kako su Kinezi došli na ideju da stvore sustav brojeva i istraživanja koje je dovelo do razvoja matematike: Prema legendi, kralj Yu je primio dva božanska dara. Prvi dar je primio od božanske ˝Kornjače˝ dok je prelazio Žutu rijeku. Na Kornjačinim leđima je bila zacrtana jedna figura, odnosno, dijagram zvan Lo shu, za koji se vjeruje da sadrži osnove kineske matematike. Drugi dar, odnosno figuru, primio je od božanskog konjonogog ˝Zmaja˝ kojemu su kopita ostavljala tragove u blatu. Dijagram Lo Shu Izrazi li se Lo Shu brojevima (na slici gore – koliko na pojedinom mjestu ima u skupinu povezanih točaka) dobiva se taj ˝magični kvadrat˝ sa svojstvom da je zbroj brojeva u bilo kojem njegovom retku, stupcu ili po dijagonalama jednak 15. Taj prvi dijagram, Lo - Shu, kasnije nazvan ˝čarobni kvadrat˝ doveo je do razvoja dualističke teorije Yina i Yanga, odnosno do dualističkog razvoja brojeva. Yang predstavlja neparne brojeve (1, 3, 5, 7, 9, 11...) Yin predstavlja parne brojeve (2, 4, 6, 8, 10...) Kasnije su Kinezi uz parne i neparne brojeve usvojili koncept nule. Znak za nulu je dugo vremena bio nepoznat. U osmom se stoljeću nula označava točkom, a krug ili kvadrat kao simboli za nulu se pojavljuju tek u 13. stoljeću.
  • 19. 18 Kineski brojevi U Kini su ljudi, kao i u većini drugih zemalja, najprije računali ˝na prste˝, a već u 2. tisućljeću prije Krista u Kini su imali simbole za brojeve, a oni su prikazani u tablici: 2000.god. pr. Kr. Kasnije se u Kini računalo pomoću štapića (od bambusa, slonove kosti ili metala). Svi štapići su bili jednake veličine, a trgovci i su ih najčešće nosili stalno sa sobom u torbi. Brojevi od 1 - 5 bili su prikazivani kao horizontalne crtice, odnosno kao polegnuti bambusovi štapići, brojevi od 6 – 9 su prikazivani kao jedan vertikalni štapić te kombinacija od nekoliko horizontalnih štapića. 400.god pr.Kr Nakon uvođenja negativnih brojeva, štapići za računanje su se izrađivali u dvije boje - crveni za pozitivne i crni za negativne brojeve. Mnogo kasnije, tek u 16. stoljeću će se pojaviti abakus. Abakus je preteča današnjih kalkulatora, a sastojao se od drvenog okvira i niza žica po kojima su se mogli micati kamenčići. On se koristio do usvajanja arapskih brojeva, a zanimljivo je to da se ponegdje u Kini trgovci još uvijek njime služe. S vremenom kinesko se pismo malo promijenilo i oblikovalo. U sljedećoj tablici možemo vidjeti suvremene kineske znakove za brojeve. Isti zapis brojeva može se naći i u Japanu i Koreji. Prikaz suvremenih kinesko-japansko-korejskih brojeva Razlomci su se pojavili u upotrebi gotovo istovremeno s prirodnim brojevima. Osnovne računske operacije izvodile su se slično kao i danas, s tim da su množenje i dijeljenje
  • 20. 19 objašnjavali na konkretnim primjerima. Dalje se matematika razvijala iz skupa algoritama za računanje i metoda za rješavanje praktičnih zadataka. Najvažnija dostignuća Kao i indijska, kineska matematika nije deduktivnog tipa, nego orijentirana na nalaženje algoritama za rješavanje konkretnih zadataka. Mnoga od otkrića i postignuća u matematici Kineza očuvana su u nekoliko starih i veoma važnih knjiga pisanih u periodu od 1. do 13.st. Djela: Knjiga o mijenama (I Ching) - jedna od najstarijih očuvanih knjiga. Koristila se za proricanje i gatanje. Sadrži elemente binarne notacije brojeva. Sveta knjiga o aritmetici (Chou – Pei) - nastajala je u periodu od 2. – 12. stoljeća. Sadrži podatke, tvrdnje, razgovore i rasprave o matematici, filozofiji, numerologiji, astronomiji ... U toj knjizi se prvi put spominje tekst koji na indirektan način govori o Pitagorinom poučku, zato neki znanstvenici čak smatraju da je ono što mi smatramo Pitagorinim poučkom zapravo informacija podrijetlom iz Kine. Također u knjizi je navedeno da su Kinezi broj što ga mi označavamo sa π, aproksimirali sa 3. Aritmetika u devet knjiga ( Chiu Chang Suan Shu ) - je najstariji matematički tekst. Njen autor je Chang Tsang. U toj je knjizi niz od 246 zadataka s rješenjima namijenjenih mjeračima, inženjerima, činovnicima i trgovcima. U svakoj od knjiga raspravlja se o jednom matematičkom problemu: 1. daje se postupak izračunavanja površine trokuta, četverokuta, kruga, kružnog odsječka i isječka. Obrađuju se i razlomci; dane su korektne metode za njihovo zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje 2. obrađuju se omjeri i kamatni račun 3. govori se o produženim omjerima i razmjerima 4. obrađuje se vađenje drugog i trećeg korijena, te približni proračun opsega kruga dane površine i promjera kugle danog obujma 5. uči se kako se računa obujam prizme, piramide, valjka, stošca, prikraćene (krnje) piramide i stošca 6. obrađuje se ono što bismo zvali računom smjese 7. obrađuju se problemi sustava od dviju jednadžbi s dvije nepoznanice 8. ispituju se problemi što vode na sustav od više linearnih jednadžbi s više nepoznanica 9. rješava se pravokutni trokut pomoću «Pitagorina» poučka i neke oblike kvadratne jednadžbe
  • 21. 20 Zhang Qiu-Jian (5. st.) – razvija ideje prethodnika i donosi nove matematičke probleme o nizovima brojeva, jednadžbama višeg reda i teoriji brojeva. Dao je formulu za sumu aritmetičkog niza. Tsu Chung – chih (430 – 201) – za točnu vrijednost broja π uzima vrijednost , što daje šest točnih decimalnih mjesta (ista vrijednost u Europi se pojavljuje tek 1600.god, odnosno tisućljeće kasnije) Quin Jiu - Shao (1202 -1261) - rješava sustave kongruencija (Kineski teorem o ostacima), a promatra i algebarske jednadžbe, površine geometrijskih likova i sustave linearnih jednadžbi. Tražio je i rješenja jednadžbi metodom koju nazivamo Hornerova (William Horner, 1819.), iako je u Kini bila poznata 500 godina ranije. Chu Shih - kieh (1270 - 1330.) - napisao je dva važna teksta: Uvod u matematiku za početnike i Dragocjeno ogledalo četiri elementa (1303.) koje je vrhunac kineske matematike i nakon njega dulje vremena nema napretka u matematici. Sadrži metodu transformacija za rješavanje jednadžbi, koju koristi do stupnja 14, te ˝Pascalov˝ trokut binomnih koeficijenata, koji je u Kini poznat četiri stoljeća prije no što ga je Pascal ˝otkrio˝.
  • 22. 21 INDIJA Staroindijska matematika bila je pretežno ˝aritmetičko-algebarski˝ orijentirana, za razliku od starogrčke matematike koja je bila pretežno ˝geometrijski˝ orijentirana. Naravno, grčka matematika nije bila isključivo geometrija, niti je staroindijska matematika bila bez geometrije; riječ je samo o usmjerenju koje je dominiralo. U staroindijskoj literaturi nema velikih djela isključivo posvećenih matematici; matematika je prisutna tek kao dio, kao pojedinačno poglavlje u astronomskim ili astrološkim djelima. Najstariji poznati matematički tekstovi su Sulvasutre (u prijevodu Pravila konopa). Sulvasutre su dodaci vjerskim tekstovima poznatim kao Vede. U njima se nalaze pravila za mjerenje i izgradnju hramova i oltara na razini elementarne geometrije. Sva su pravila dana bez dokaza. Konop rastegnut preko dijagonale kvadrata daje duplu površinu. Konop rastegnut preko dijagonale pravokutnika daje površinu koju čine vodoravna i okomita stranica. Nađi kvadrat koji je jednak zbroju površina danih kvadrata. (rješenje se nalazi u svim Sulvasutrama) Sve Sulvasutre sadrže metodu kvadrature kruga, tj. postoje različite aproksimacije broja  od 3.00444, 2.99, 3, 3.029, itd. Jedan od najzanimljivijih rezultata iz Sulvasutra je aproksimacija √2 točna na pet decimala, a dana je pravilom: Povećaj jediničnu dužinu za trećinu i tu trećinu na njenu četvrtinu umanjenu za trideset četvrtinu te četvrtine, tj: √2  1 + 1 3 + 1 3 ∗ 1 4 − 1 3 ∗ 1 4 ∗ 1 34 = 577 408 = 1.414215686 Nakon zamiranja vedske religije nastaje razdoblje Jaina. O matematici tog doba se malo zna, no sigurno je da u to doba sežu ideje o beskonačnosti i bavljenje velikim brojevima te osnove kombinatorike. Karakteristike indijskih matematičkih tekstova je da su općenito pisani u stihovima. Mnogi tekstovi opisuju algoritme za računanje i pravila za rješavanje konkretnih zadataka, no općenito nema skica, formula ni dokaza. Indijska je matematika osobito značajna zbog razvoja raznih tehnika računanja, dok im je znanstveni doprinos manji. Današnja aritmetika je Indijskog porijekla.
  • 23. 22 Indijci koriste pozicijski dekadski brojevni sustav, sa znamenkama od 1 do 9. Znak za 0 koristi se vjerojatno od 4. stoljeća, a sigurno od 9. stoljeća. Nulu Indijci nazivaju sunya, što znači praznina. Kako su računali? Na primjeru se može ilustrirati kako su stari Indijci na računskim pločama podijeljenim na polja obavljali množenje, ispisujući i brišući brojeve na pijesku kojim bi posipali ploču. Ako je trebalo, recimo, pomnožiti 415 s 327 ispisali bi te brojeve u glavni redak i stupac računske ploče. U svako dijagonalom podijeljeno polje ispisali bi zatim parcijalni produkt odgovarajućih znamenki, npr. u treće polje prvog retka ispisali bi znamenke jedan i pet, jer je pet puta tri jednako petnaest. Kada su tako sva polja bila ispunjena (znak za nulu tu nije potreban jer ga može nadomjestiti prazno polje). Zbrajali su brojeve po ˝dijagonalnim prugama˝ počevši od donjega desnog kuta (uz prijenos u daljnju prugu ulijevo eventualnih desetica – kao i pri našem množenju).
  • 24. 23 Staroindijski matematičari Aryabhatta (476. – 550.), već je među ostalim, znao vaditi drugi i treći korijen podjelom radikanda u grupe s po dvije odnosno tri znamenke (u načelu isto kao što radimo danas), bavi se područjima astronomije, sferne i ravninske trigonometrije, aritmetike i algebre. Dao je točne formule za površinu trokuta i kruga, piše o verižnim razlomcima, kvadratnim jednadžbama, potencijama. Dao je dosta točnu aproksimaciju broja  ≈ 3.14164 i koliko je poznato prvu tablicu sinusa (polutetiva, a ne tetiva kao Ptolomej). Brahmagupta (598. – oko 670.) pisao je važna djela o matematici i astronomiji. Bavio se aritmetičkim nizovima, kvadratnim i diofantskim jednadžbama, teoremima o pravokutnim trokutima, za  koristi aproksimaciju √10 . Prvi je matematičar koji je dao sistematski prikaz pravila za računanje s negativnim brojevima. Pripisuje mu se pravilo oblika (+)*( - ) = ( - ) . Pozitivne brojeve interpretira kao blago, a negativne kao dug. Brahmaguptin teorem: u tetivnom četverokutu s okomitim dijagonalama visine iz sjecišta dijagonala na pojedine stranice prepolavljaju njima nasuprotne. Brahmaguptina formula: poopćenje Heronove formule na tetivne četverokute; 𝑃 = √(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐 )(𝑠 − 𝑑) Mahavira (9. st.) se bavio elementarnom matematikom i prvi je indijski matematičar koji je napisao samo matematici posvećen tekst. Poznavao je svojstva nule (za zbrajanje, oduzimanje, množenje), ali nije znao što bi bio rezultat dijeljenja s nulom. Koristi pozicijski sustav, opisuje rastave razlomka na jedinične razlomke, bavio se linearnim diofantskim jednadžbama, daje pravila za korištenje permutacija i kombinacija, . . . Pravilno navodi pravila: a · 0 = 0, a − 0 = a, ali i nepravilno tvrdi da je a : 0 = a. Bhaskara (1114. – 1185.) najpoznatiji je indijski matematičar do 12. stoljeća. Puno je doprinio razumijevanju brojevnih sustava i rješavanju jednadžbi, dokazivao je Pitagorin poučak i još mnogo toga. Glavna su mu matematička djela Lilavati i Bijaganita. Bavio se ravninskom i sfernom trigonometrijom. Izračunao je 𝑠𝑖𝑛18° i 𝑠𝑖𝑛36°. Dao je i adicijske formule za sinus. Uočio je problem dijeljenja s nulom. Nakon Bhaskare indijska je matematika, općenito uzevši, stagnirala i čak nazadovala sve do novijeg vremena.
  • 25. 24 ARAPI Mnogi smatraju da u razdoblju od kraja grčke antičke znanosti do kasnog srednjeg vijeka u Europi nije bilo važnih događaja u matematici osim prevođenja grčkih tekstova na arapski. No, zapravo je doprinos arapskog područja matematici mnogo veći od samog prevođenja i prijenosa podataka. Današnja matematika zapadnog stila mnogo je sličnija matematici kakvu susrećemo u arapskim doprinosima, nego onoj u starogrčkim. Mnoge ideje koje su pripisane Europljanima kasnog srednjeg vijeka i renesanse pokazale su se zapravo arapskim. Prvi poticatelj znanosti i prevođenja grčkih tekstova na arapski bio je kalif al-Hajjaj, koji je na vlast stupio 786.g. Glavni znanstveni centar postaje Kuća mudrosti, vrsta akademije ili sveučilišta u Bagdadu (koji je osnovan 762.g.), koju je osnovao al-Hajjajev sin kalif al-Ma'mun. Arapski brojevi Indijski način zapisivanja brojki bio je temelj europskom načinu zapisivanja. No, oni nisu odmah preneseni iz Indije u Europu već je njihov medij bio arapski narod. Poprilično različiti brojevni sustavi korišteni su na arapskom poluotoku dugi niz godina. Postojalo je najmanje 3 različita brojevna sustava:  računanje na prste: brojevi se pišu riječima (trgovci, računovođe)  heksagezimalni sustav: brojevi označeni arapskim slovima (astronomija)  indijski dekadski sustav: znamenke su preuzete iz Indije, ali bez standardnog skupa simbola, tako da se u raznim krajevima koristilo donekle različite oblike znamenki (ploče) Posljednji sustav je omogućio napredak numeričkih metoda, npr. računanje korijena (Abu'l- Wafa, Omar Khayyam), otkriće binomnog teorema za prirodne eksponente (al-Karaji), aproksimaciju transcendentnih realnih brojeva i računanje n-tih korijena (al-Kashi).
  • 26. 25 Al-Hvarizmi, prvi veliki arapski matematičar (punim imenom Abu' Abdallah Muhammad ibn Musa al-Magusi al-Khwarizmi al- Choresmi). Živio je oko 780.- 850.g. i bio je učenik u Kući mudrosti, a kasnije ju je i vodio i djelovao pod zaštitom kalifa al-Ma'muna. Pisao je o algebri, geometriji, astronomiji i njemu se pripisuje uvođenje arapskih brojeva u matematiku. No, on je samo zaslužan za prenošenje arapskih brojeva u Europu jer brojčani sustav bilježenja brojeva znamenkama od 0 do 9 vuče korijene iz Indije još oko 500. godine. Donosi odmak od grčke matematike, koja se većim dijelom odnosila na geometriju, prema algebri. Algebra je omogućavala tretiranje racionalnih i iracionalnih brojeva, geometrijskih veličina i drugih kao algebarskih objekata, što je dovelo do potpuno novog razvoja matematike. Glavno djelo mu je udžbenik algebre Hisab al-jabr w'al-muqabala. Iz njegova naziva izvedena je riječ algebra (al-jabr). Al-Hvarizmi svojom knjigom želi olakšati rješavanje svakodnevnih problema (npr. pitanja nasljeđivanja u muslimanskim zakonima), no prvi dio se može smatrati i ozbiljnije algebarskim: bavi se linearnim i kvadratnim jednadžbama. Sastavio je tablice za funkcije sinus i tangens. Dao je opću metodu (Al-Hvarizmijevo rješenje) za nalaženje dva korijena kvadratne jednadžbe: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; pokazao je da su korijeni 𝑥1,2 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 Al-Karaji (punim imenom Abu Bekr Muhammad ibn al-Husayn Al- Karaji, 953.g. - 1029.g.), bagdadski matematičar i inženjer, smatra se prvom osobom koja je potpuno oslobodila algebru od geometrijskih operacija i zamijenila ih aritmetičkim, što je osnova moderne algebre. Tako npr. svođenje na potpun kvadrat provodi čisto algebarski. Prvi je definirao monome 𝑥, 𝑥2 , 𝑥3 , ... i , 1 𝑥 , 1 𝑥2 , 1 𝑥3 ... dao pravila za produkt bilo koja takva dva monoma. Osnovao je utjecajnu algebarsku školu koja će uspješno raditi više stoljeća. Kod njega se mogu naći i začeci matematičke indukcije. Al-Haytham (punim imenom Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham, 965.g. - 1040.g.) je vjerojatno prvi koji je pokušao klasificirati parne savršene brojeve. Također je prva poznata osoba koja je izrekla Wilsonov teorem (Ako je p prost broj, onda p dijeli 1 + (p - 1)!) Nije jasno je li to znao
  • 27. 26 dokazati. A teorem se zove po Johnu Wilsonu jer mu je njegovo poznavanje (ne i dokaz) pripisano 1770.g. Prvi poznati dokaz dao je Lagrange 1771.g. Al-Haytham se bavio i optikom, kvadraturom kruga i sustavima kongruencija. Omar Khayyam (punim imenom Ghiyath al-Din Abu'l-Fath Umar ibn Ibrahim Al-Nisaburi al-Khayyami, 1048.g. – 1131.g.) uz matematiku bavio se astronomijom, filozofijom i poezijom. Glavno djelo mu je Algebra. Dao je potpunu klasifikaciju kubnih jednadžbi (14 tipova) s geometrijskim rješenjima pomoću sjecišta konika i prvi uočio da ne moraju imati jedinstveno rješenje. Poziva na prve dvije Apolonijeve knjige o konikama i daje algebarsku metodu kako druge kubne jednadžbe pretvoriti u kvadratnu ili neki od tipova iz svoje sistematizacije. Nasir al-Din al-Tusi (punim imenom Muhammad ibn Muhammad ibn al- Hasan al-Tusi, 1201.g. - 1274.g) Napisao je važna djela o logici, etici, filozofiji, matematici i astronomiji, a napisao je i mnoge komentare grčkih tekstova. Pisao je i o mineralima, draguljima i parfemima. U komentaru Ptolemejeva Almagesta (1247.g.) uveo je razne trigonometrijske tehnike za izračunavanje tablica sinusa. Najvažniji doprinos mu je stvaranje trigonometrije kao matematičke discipline, a ne sredstva za astronomske proračune, te je dao prvi potpuni prikaz ravninske i sferne trigonometrije. U tom je djelu dao teorem o sinusima za ravninske trokute (danas poznat kao poučak o sinusima): 𝑎 sin 𝛼 = 𝑏 sin 𝛽 = 𝑐 sin 𝛾
  • 28. 27 TALES Kornelija Čidić, 2.g Kod Grka se Talesovo ime oduvijek isticalo s velikim ponosom. Od Herodota do danas se o njemu puno pripovijedalo, no sve ono što bi upućivalo na pomisao da je on utemeljio jonsku filozofijsku školu zapravo je bezazlena Aristotelova tvrdnja. Aristotel je povezao tu tvrdnju s pukim izrazom da je Tales odredio vodu kao supstanciju od koje je sve načinjeno. Taj je „materijalni princip“ opisan pojmovima Aristotelova mišljenja. U svakom slučaju, Aristotel jasno kaže da se oslanja na sekundarne izvore (λέγεται, Met. A, 984a2), ne znajući ništa povrh toga o razložnosti na kojoj se temeljio spomenuti iskaz. Tales je bio zainteresiran za filozofiju, povijest, matematiku … Ništa od njegovih pisanih djela nije sačuvano, no mnogi grčki filozofi ostavili su traga o njemu i njegovom radu. O njegovom životu se općenito se malo zna, a saznajemo najviše od Herodota iz djela „Povijest“. Rođen je 640. godine prije Krista u Miletu u uglednoj i poštovanoj plemićkoj obitelji. Neki tvrde da se nikad nije ženio i da je usvojio sina svoje sestre, dok drugi tvrde da se oženio i imao sina po imenu Kibist. Tales je prvi dobio nadimak filozofa i bio je među sedam drevnih mudraca. Još jedan veliki uspjeh u njegovom životu je otvaranje jonske škole. Osim jonske škole, Talesa možemo svrstati i u miletsku školu zajedno s Anaksimenom i Anaksimandrom. Tales je umro za vrijeme 58. olimpijade oko 547. godine prije Krista. Za njegovu smrt postoje i tvrdnje: „… od vrućine, žeđi i slabosti, već u godinama. I na njegovom je grobu natpis: mali je ovaj grob – ali slava dopire do neba – ovo je mjesto najmudrijeg Talesa.“ Poznato je da je putovao Egiptom. U Egiptu je proučavao matematiku, glazbu i astronomiju. Tamo je naučio osnove egipatske geometrije. Tamošnji su znanstvenici iskušali Talesovo znanje i snalažljivost. Doveli su ga do velike piramide i pitali kako bi izmjerio visinu piramide. Tales je zabio štap u pijesak i rekao: „Kada dužina sjene ovog štapa bude jednaka njegovoj visini, izmjerite dužinu sjene piramide i dobiti ćete njezinu visinu.“
  • 29. 28 Ono najvažnije što matematičari pripisuju Talesu jest to da je prvi dao logičke temelje dokazivanju teorema. Našao je metodu kako izračunati udaljenost brodova od obale. TALESOVA MATEMATIKA U pogledu matematike, za Talesa se općenito vjerovalo da je u Grčku uveo geometriju. Posebno su mu se pripisivale zasluge za sljedeće teoreme: (1) Krug je svojim promjerom podijeljen na dva jednaka dijela. (2) Kutovi uz osnovicu jednakokračnog trokuta su jednaki. (3) Kod pravca koji se sijeku kutovi pri vrhu su jednaki. (4) Kut upisan u polukrug je pravi kut. (5) Trokut je određen ako su mu zadani osnovica i kutovi uz osnovicu. PROMJER Promjer je dužina koja spaja dvije nasuprotne točke kružnice i prolazi središtem kružnice. Dijametar je u geometriji pojam koji označava duljinu promjera. Ako znamo duljinu promjera kružnice, možemo izračunati površinu kruga. d – promjer r – polumjer (polovica promjera) TALESOV POUČAK Talesov poučak govori da ako su A, B i C točke na kružnici, a AC promjer kružnice, onda je trokut ABC pravokutan. Talesov teorem koristi se za konstrukcije tangenta na danu kružnicu kroz zadanu točku. Imamo danu kružnicu k sa središtem O, a mi želimo konstruirati tangente koje prolaze kroz točku P koju smo proizvoljno izabrali. Pretpostavimo da tangenta t dodiruje kružnicu k u točki T. Iz simetrije se jasno vidi da je radijus OT okomit na tangentu. Sada možemo konstruirati simetralu stranice OP te je označiti točkom H. Konstruiramo kružnicu k' sa središtem H kroz O i P. Točke gdje se
  • 30. 29 sijeku kružnica k i k' nazovimo T i T'. Koristeći Talesov teorem vrijedi da je trokut OTP pravokutan s pravim kutom u kutu OTP čime smo uspjeli konstruirati tangente na kružnicu. TALESOV TEOREM O PROPORCIONALNOSTI Ako su točke A,B,C,D na pravcu p′, a točke A′,B′,C′,D′ točke na pravcu p dobivene paralelnom projekcijom, onda će se odgovarajući omjeri duljina sačuvati, tj. . '''' , '' '' DC CD BA AB DC BA CD AB   TALESOV POUČAK O PROPORCIONALNOSTI U PRAMENU PRAVACA Ako se dva pravca a i b sijeku u točki O i ako su oni presječeni paralelnim pravcima 1t i 2t takvima da je ' ' 2 2 1 1 Bta Atb Bta Atb     , onda vrijedi:
  • 31. 30 . '' ' , '' ' , ' ' AB OB BA OB BA OA AB OA OB OA OB OA    TALESOV DOPRINOS U DRUGIM ZNANOSTIMA 1) Astronomija Za predviđanje pomrčine Sunca postoji spis koji tvrdi da je Tales stvarno najavio pomrčinu koja je bila 28. svibnja 585. godine prije Krista, iako točan način na koji je Tales predvidio pomrčinu nije poznat. 2) Filozofija prirode Za početak svijeta Tales je izabrao vodu. Nagađa se da je na tu pretpostavku došao tako što je vidio da je hrana vlažna, da toplina nastaje iz vlage, da sjeme ima sa svih strana vlažnu opnu, itd. Među razlozima je svakako i nužnost vode za rast i ishranu živih bića, važnost u svakodnevnom životu. Od tih pretpostavki kreće i njegova tvrdnja da Zemlja pluta na vodi.
  • 32. 31 PITAGORA Petra Kalanja, 2.g Pitagora je rođen (oko 570. pr. Kr.) na grčkom otoku Samosu. Često se prikazuje kao prvi „pravi“ matematičar. Bio je sin bogatog trgovca s kojim je mnogo putovao. Na tim se putovanjima mladi Pitagora susreo s mnogim učiteljima i misliocima iz onog vremena koji su ga poučavali filozofiji i znanosti. Jedan od tih učitelja bio je i glasoviti Tales iz Mileta. U to je vrijeme Tales bio star čovjek i njegova su otkrića utjecala da se Pitagora još više zainteresira za matematiku i astronomiju, te je savjetovao Pitagoru da otputuje u Egipat gdje će još više naučiti o područjima koja ga zanimaju. Otprilike 535. god. pr. Kr. Pitagora je otputovao u Egipat. Tamo je sudjelovao u mnogim filozofskim raspravama sa svećenicima i učenjacima. Nakon ritualne svečanosti i sam Pitagora je postao hramski svećenik u Diospolisu. 525. god. pr. Kr. Kambiz II., kralj Perzije, napada Egipat i Pitagora je, kao i mnogi njegovi suvremenici, odveden kao rob i ratni zarobljenik u Babilon. Tu se upoznao s babilonskim tajnovitim vjerskim obredima i s njihovim postignućima u matematici. Pitagora Tales iz Mileta
  • 33. 32 518. god. pr. Kr. Pitagora odlazi u Italiju u grad Krotonu i osniva matematičku školu koja je imala mnogo sljedbenika. U njoj su učenici održavali stroga pravila družbe. Školu danas nazivamo Pitagorejskom školom. U Pitagorejskoj školi naglasak je bio na tajnosti i zajedništvu, tako da je danas teško odgonetnuti što je rad samog Pitagore, a što njegovih učenika. Ono što je sigurno je da je njegova škola dala velik doprinos matematici. Uspon Pitagore i njegovih sljedbenika bio je neometan dvadesetak godina, tijekom kojih je Kroton proširio svoj utjecaj na susjedne gradove u kojima su mnoge vodeće položaje zauzimali članovi bratstva Pitagorejaca. Na kraju ovog razdoblja Krotonac Kilon potaknuo je narod na pobunu. U Kilonskoj uroti ubijen je veliki broj Pitagorejaca, a Pitagora je prognan iz Krotona. Pitagorejska škola imala je puno dostignuća, a jedno od tih dostignuća je dokaz za prije poznat poučak: Površina kvadrata nad hipotenuzom jednaka je zbroju površina kvadrata nad katetama. Taj iskaz kasnije je nazvan Pitagorin poučak. PITAGORIN POUČAK a² + b² = c²
  • 34. 33 DOKAZ PITAGORINOG POUČKA: Veliki kvadrat čije su stranice duljine  ba  ima površinu  2 baP  . Površinu velikog kvadrata možemo dobiti i kao zbroj površine malog kvadrata čija je stranica duljine c i površine četiri sukladna pravokutna trokuta s katetama duljine a i b. Prema tome vrijedi     abcP ab cP trokutaPkvadrataPP 2 2 4 4 2 2    Izjednačavanjem površina dobije se   222 222 22 22 2 cba abcbaba abcba   
  • 35. 34 Pitagora je smatrao da je u biti svega broj. Prema tome smatralo se da je ono ideal, koji obično empirijsko znanje ne može pružiti. Na osnovi matematike se pretpostavljalo da je misao iznad čula. Ukoliko se svijet čula ne slaže s matematikom, utoliko gore po svijet čula. Spoznaja postoji samo u matematičkom mišljenju. Pitagora je smatrao kako se numerologija temelji na matematici. Numerologija se danas temelji na dvije teorije, od kojih je jednu utemeljio sam Pitagora. Prva teorija objašnjava i koncentrira se na čovjekovo ime. Čovjekovo ime, po toj teoriji, u sebi sadrži važne pokazatelje njegova karaktera i sudbine. Druga teorija koju je prije više od dva i pol tisućljeća, razvio Pitagora je teorija brojeva. Prema toj teoriji svaki broj između 1 i 9 ima svoje osobito, jedinstveno značenje. Kružnica i kugla za Pitagorejce su najsavršeniji među svim oblicima, pa Zemlja i nebeska tijela moraju nužno biti sferna. Zbog istog razloga i staze nebeskih tijela moraju biti savršene kružnice. Njihova gibanja moraju biti jednolika jer je takvo gibanje najsavršenije među svim gibanjima. GEOCENTRIČNI SUSTAV Pitagora je sanjao samo o svojoj školi, samo o Grčkoj, samo o budućnosti svijeta. Kao mnogi veliki adepti, i on se odrekao žena kako bi se mogao potpuno posvetiti svome djelu.  Onaj koji je upućen u tajne određenog društva ili kruga ljudi; slijepi, vjerni pristaša nekoga
  • 36. 35 Tek u šezdesetoj godini se oženio mladom djevojkom, svojom učenicom Teano, čiji otac je bio Brontinos, stanovnik grada Krotona. Ona je rodila Pitagori troje djece, sinove Arimnesta i Telogesa i kćerku Damo. Umro je 475. god. pr. Kr. O njegovoj smrti ima puno legendi i priča, a najvjerojatnijom se čini ona Dikearhova, prema kojoj je bio prisiljen skloniti se u hramu Muza gdje je gladovao do smrti.
  • 37. 36 PLATON Marija Kožarić, 4.g Obzirom da su o Platonu mnogi pisali i istraživali ga, ima raznih podataka o njegovom rođenju pa se tako najčešće pretpostavlja da je rođen u Ateni 428. Ili 427. godine pr.n.e. te da je umro oko 347. godine pr.n.e. Potječe iz dobrostojeće aristokratske obitelji. Majka Periktiona dolazi iz Solonovog kruga, a otac Ariston iz obitelji posljednjeg atičkog kralja. Pravo ime mu je Aristokle dok mu je Platon bio samo nadimak kojeg je dobio navodno zbog njegove tjelesne građe (platon bi u prijevodu značilo širok) ili zbog širine njegova znanja. Bio je grčki filozof, idealist, Sokratov učenik, Aristotelov učitelj i osnivač Akademije. Kako potječe iz dobrostojeće aristokratske obitelji prošao je dosta opsežno školovanje te se upoznao s djelima mnogih grčkih filozofa što se i vidi kasnije u njegovom radu. Prvo je bio učenik sofista Kratila no mnogo veći utjecaj na njega imao je Sokrat, čiji je učenik postao s 20 godina. Sokrat ga je poučavao posljednjih 9 godina svog života. Kako bi bolje shvatili daljnje Platonovo djelovanje, treba spomenuti to da je Sokrat bio optužen da „uvodi nove bogove i zavodi mladež na krivi put“ te ga je porota od 500 članova proglasila krivim. Platon je navodno bio prisutan na suđenju, ali ne i na njegovu smaknuću. Nakon Sokratove smrti razočarao se u atensku demokraciju te pobjegao iz Atene. Time započinju njegova putovanja koja su trajala nekoliko desetljeća. Kroz svoja putovanja posjetio je Italiju, gdje je upoznao Pitagorejce, Egipat, Siciliju i mnoge druge tada poznate zemlje. Sva ta putovanja utjecala su na Platona pa tako i na njegov rad i djela koja je napisao. U mladosti se zanimao za politiku, što je bilo za očekivati s obzirom da su se u obitelji također bavili politikom, ali presudio je onaj postupak demokratske vlasti prema Sokratu i tako zahvaljujući tome mi sada, kada pričamo o Platonu, govorimo o filozofu, a ne o političaru. Ipak su u njegovom filozofskom razmišljanju ostala neka politička i etička pitanja. Tako je Platonov najpoznatiji i najvažniji dijalog Država. U njemu govori o idealnoj državi koja je zasnovana na ideji pravednosti, te u njoj svaki pripadnik staleža radi posao za koji je sposoban. Ljude je podijelio u tri staleža te u sva tri staleža „dodijelio“ određene vrline. Prvi stalež su proizvođači i njihova vrlina je umjerenost. Drugom staležu pripadaju čuvari kojima je dodijelio vrlinu hrabrosti. Posljednji stalež su vladari kojima je dodijelio mudrost i razum. Kad se te tri vrline spoje, ostvari se ideja pravednosti. Glavni cilj njegove države bila je dobrobit i sreća građana, a glavna funkcija je njihov odgoj. Njegova filozofija ima polazište u učenju o idejama koje su jedina prava zbilja, a svijet osjetilnih stvari samo je slika svijeta ideja. Ideje su vječne i nepromjenjive, a bića su promjenjiva i nesavršena. Platonov idealizam potječe od Pitagorejaca i njihovog razlikovanja pojavnih stvari i brojeva kao nečeg pojmovnog, ali i od Sokratovog shvaćanja pojma kao općeg.
  • 38. 37 Po povratku u Atenu posvećuje se Akademiji čiji je osnivač. Akademija je jedna od prvih škola Zapadne civilizacije. Kako je Akademija postojala davno u prošlosti nisu poznati detalji kako je ona funkcionirala no smatra se da je bila nalik Pitagorejskim školama koje je Platon imao prilike upoznati dok je boravio u Italiji. U njegovoj školi poučavala se aritmetika, planimetrija, trigonometrija, astronomija i glazba. Na ulazu u Akademiju pisalo je: „Neka ne ulazi onaj koji ne zna geometriju.“ Taj natpis pokazuje koliko je Platonu bila bitna matematika. Matematika obilježava ispravljajuće ideje jedinstva, harmonije i proporcionalnosti što su prema Platonu nužni sastojci istinske moralnosti, politike i zdravlja, tj. jednom riječju: odgoja. Cilj Akademije bio je osposobiti učenike za kritičko i razumsko mišljenje, za razliku od sofističkih škola koje su poučavale praktičnim stvarima. I u današnjem školstvu primjećuje se prisustvo Platonove Akademije, ne samo u nazivu znanstvenih ustanova nego i u razumijevanju općih zakonitosti te u razvijanju kritičkog mišljenja kao cilja obrazovnih ustanova. Aritmetika je danas grana matematike koja proučava računske operacije s brojevima. Naziv potječe od grčke riječi arithmetike, što bi se u prijevodu rastavilo na: arithmos (broj) i techne (umijeće). Pojam aritmetike koristi se i za temeljnu teoriju brojeva, tj. osnovni teorem aritmetike i aritmetičke funkcije. Poznajemo 4 osnovne aritmetičke operacije: zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje. Isto tako postoje i napredne aritmetičke operacije, a to su kvadriranje, potenciranje i korjenovanje. Danas, u 21. Stoljeću, da bi izračunali neku aritmetičku operaciju služimo se kalkulatorima i računalima što u Platonovo vrijeme nije postojalo. Prema Platonu, aritmetika nas treba osposobiti za racionalno planiranje. Trigonometrija potječe od dvije grčke riječi: trigonon (trokut) i metron (mjera). Proučava odnose između segmenta pravaca i kutova trokuta na ravnini ili na površini kugle. Pomoću crteža je najjednostavnije objasniti trigonometriju (naravno ukratko): 𝛼
  • 39. 38 Trigonometrijske funkcije: 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑎 ℎ Sinus kuta pri vrhu A jednak je kvocijentu nasuprotne katete i hipotenuze pravokutnog trokuta. 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑏 ℎ Kosinus kuta pri vrhu A jednak je kvocijentu priležeće katete i hipotenuze pravokutnog trokuta. 𝑡𝑔𝛼 = 𝑎 𝑏 Tangens kuta pri vrhu A jednak je kvocijentu nasuprotne i priležeće katete pravokutnog trokuta. 𝑐𝑡𝑔𝛼 = 𝑏 𝑎 Kotangens kuta pri vrhu A jednak je kvocijentu priležeće i nasuprotne katete pravokutnog trokuta. Planimetrija je geometrija likova koju je Platon opisao u djelu Timej. "Znanje kojem teži geometrija je znanje o vječnome“ Platon Bavio se isključivo pravilnim geometrijskim tijelima. Tvrdio je da su geometrijska tijela i brojevi čisti, trajni, neuništivi i nikad vas neće iznevjeriti. Pravilna geometrijska tijela su ona tijela čije su sve plohe međusobno jednaki pravilni mnogokuti, koji se sastaju u vrhovima koje čini uvijek jednak broj ploha, a to su: tetraedar(4 plohe) :
  • 40. 39 Heksaedar (poznatiji kao kocka - 6 ploha): Oktaedar (8 ploha): Dodekaedar (12 ploha): Ikozaedar (20 ploha):
  • 41. 40 Astronomija je znanost o nebeskim tijelima i pojavama u svemiru, kao takva je jedna od najstarijih ljudskih djelatnosti. Za Platona, kad se promatra na pravi način (matematički), ona vodi um do uočavanja ljepote pokreta i relacija apstraktnih objekata. Platon je iza sebe ostavio mnoge dijaloge od kojih su najpoznatiji: Država (O pravednosti), Simpozij (O ljubavi), Fedon (O duši) i Fedar, Parmenid (Dijalog o idejama), Protagora (O vrlini), Teetet i Sofist (O znanju) te Zakoni. Za razliku od Sokrata, on je svoja djela zapisao te mu na tome možemo biti zahvalni, jer da nije bilo njega, matematika danas možda ne bi bila ista. I za kraj, jedan Platonov citat: "Svim ljudima nisu sve stvari potrebne, ali je račun ne samo svima nego i svakome jako potreban. Tko računati ili barem brojiti ne zna, mora se izbrisati iz broja svih ljudi, inače nema prijateljstva među trgovcima, ni ljubavi među susjedima, ni sluge u općini, niti pravednost u pravdi stalno stanovati može!" Platonova tijela i eTwinning kolege iz Grčke:
  • 42. 41 EUKLID Stella Moguš, 2.g Euklid je živio oko 330. - 260. godine prije Krista. Euklid je jedan od najvećih grčkih matematičara starog vijeka. O Euklidovu životu se ne zna gotovo ništa, ne zna se gdje se rodio, gdje je studirao, a ne zna se čak ni gdje je umro. Često se za njega govori da je svjetski misterij. Pretpostavlja se da je studirao kod Platona u Ateni. U Aleksandriji je osnovao matematičku akademiju te se pretpostavlja da je tamo dugo boravio. Najznačajnije Euklidovo remek-djelo o geometriji su Elementi. Elementi su poslije Biblije vjerojatno najcitiranija, najproučavanija i najprevođenija knjiga u povijesti. Geometrijska sinteza Euklid je svoje bogato znanje sabrao u trinaest svezaka. Djelo je toliko uvjerljivo i sveobuhvatno da je kao udžbenik ostalo nepromijenjeno već više od dva tisućljeća. Euklid je sva znanja o geometriji želio sklopiti u jednu cjelinu. Tako su u njima uočljivi rezultati poznatih grčkih matematičara Pitagore, Eudoksa i Teteusa. U prvih šest svezaka obrađena je ravninska geometrija i neka druga matematička ključna načela, kao što je Eudoksova teorija razmjera. U sljedeća četiri sveska bavi se o teorijom brojeva (uključujući dokaz da postoji beskonačan broj prostih brojeva). Zadnja tri dijela su usredotočena na geometriju prostora. Neeuklidski prostori ''Paralelni'' aksiom tvrdi da se kroz točku koja leži izvan pravca može povući samo jedan pravac koji se početnim pravcem ne siječe (tj. paralelni pravac). To je bilo pitanje u dvanaestom stoljeću koji je istraživao mađarski matematičar Janos Bolyai.
  • 43. 42 Janos Bolyai je rođen u današnjem gradu Cluju, u Rumunjskoj. Janos je pokušao dokazati Euklidov ''paralelni'' postulat, što je na kraju otkrio da ga je nemoguće dokazati, te je time započela nova škola matematičkog razmišljanja. Uvjerenje Alberta Einsteina je da je geometrija prostora također neeuklidska, što je kasnije dokazano kao točno. Euklidov algoritam To je postupak kojim se određuje najveća zajednička mjera dvaju cijelih brojeva, dvaju polinoma ili dviju dužina. Za brojeve a i b uz uvjet a ≥ b, verižnim dijeljenjem dobivamo niz brojeva bi, kao ostatke dijeljenja prema jednadžbama:  3221 211 1 bbnb bbnb bnba    dok bk ne bude jednak 0. Posljednji bi različit od 0, je najveća zajednička mjera. Oznaka M. Npr. Za brojeve 70 i 42 vrijedi: 014228 1442142 2842170    Prema tome, slijedi da je M = 14. Euklidovi elementi To je matematički spis objavljen oko 300. g. pr. Kr. u 13 knjiga. Vjekovima je bio nenadmašen uzor stroge znanstvene dedukcije. Sve do XIX.st. oni su bili osnovni udžbenik geometrije, bilo je čak 500 izdanja na mnogim jezicima. Izvorni tekst Euklidovih Elemenata na žalost se nije sačuvao, pa se ne zna točno što je u njima izvorni Euklidov prilog, no svakako je velik. U knjigama od I.-VI. obrađena je planimetrija. Od VII.-X. obrađena je aritmetika i teorija brojeva u geometrijskom obliku.
  • 44. 43 U XI.-XIII. obrađena je stereometrija. Za pitanja geometrijske aksiomatike najvažnija je I. knjiga, jer su u njoj skupljeni svi aksiomi na kojima se zasnivaju Euklidovi elementi. Najveću pozornost privukao je V. postulat: '' Ako pravac siječe dva pravca i čini s njima s iste strane unutrašnje kutove koji su zajedno manji od dva prava, ta se dva pravca sijeku na strani tih kutova.'' Analiza Euklidovih elemenata otkrila je u njima niz nedostataka, a u prvome redu nepotpunost njihove aksiomatike. Euklidovi teoremi Ima pet pretpostavki na kojima se osniva klasična Euklidova geometrija. A to su: 1.) Kroz bilo koje dvije točke moguće je provući jedan i samo jedan pravac 2.) Ako točka B leži između točaka A i C, onda sve tri leže na istom pravcu 3.) Gibanjem točaka prelazi u točku, pravac u pravac a ravnina u ravninu, čuvajući svojstva točke, pravca i ravnine 4.) Svaki po volji veliki odlomak (pravca ili ravnine) moguće je prekriti bilo kojim drugim odlomkom stavljajući ga na prvi dovoljan broj puta 5.) Ako pravac siječe dva pravca i čini s njima s iste strane unutrašnje kutove koji su zajedno manji od dva prava, ta se dva pravca sijeku na strani tih kutova
  • 45. 44 ARHIMED Kristina Komljenović, 4.g Arhimed je rođen 287. pr. Kr. u Sirakuzi na Siciliji. Bio je fizičar, astronom i jedan od najvećih matematičara svih vremena koji su se intenzivno bavili praktičnim problemima. Nazivaju ga vrhuncem helenske matematike i jednim od najvećih fizičara starog vijeka. Za života najviše vremena proveo je u rodnom gradu, iako je jedno vrijeme boravio i u Aleksandriji. Arhimedov otac zvao se Fidija. On je također bio matematičar, astronom, ali i astrolog. Upravo je on taj koji je Arhimeda čitav svoj život učio i prenosio mu sva znanja koja je posjedovao. Arhimed je poginuo od ruke rimskog legionara za vrijeme Drugog punskog rata, 212. godine pr. Kr., unatoč naredbi rimskog vojskovođe Marcela da mu se poštedi život. Legenda kaže da je crtao krugove u pijesku, koje je nagazio rimski legionar, te mu je Arhimed viknuo “Noli turbare circulos meos!“ (u slobodnom prijevodu: ''Ne dirajte moje krugove''), a ljutiti vojnik ga je usmrtio kopljem. Grob mu je, zahvaljujući crtežu lopte i valjka na nadgrobnom spomeniku, pronašao Ciceron. Najvažnija Arhimedova djela koja su sačuvana su: O kugli i valjku; O sferoidima i konoidima; O mjerenju kruga; Metoda; O plivanju tjelesa; O ravnoteži ravnih likova. Najveću slavu stekao je svojim raspravama o zaobljenim geometrijskim likovima čiju je površinu izračunavao složenom metodom bliskom današnjem infinitezimalnom računu. Tako je upisivanjem pravilnih poligona od 6, 12, 24, 38 i 96 stranica u krug i njihovim opisivanjem oko kruga dobio dotad najbolju aproksimaciju broja π. Primjenom te metode na tijela došao je do zaključka da se obujmi valjka, kugle i stošca jednakih polumjera i visina odnose kao 3 : 2 : 1. Arhimedov vijak Od fizikalnih i tehničkih pronalazaka, ističe se i Arhimedov vijak, cijev svinutu kao zavoji vijka koja, okretanjem, služi za dizanje vode; Arhimedov zakon uzgona, nakon pronalaska je navodno gol istrčao na ulicu vičući ''Heureka!''; zakon poluge, legendarna je njegova izjava „Dajte mi oslonac i dovoljno dugačku polugu pa ću pomaknuti Zemlju!“, itd.
  • 46. 45 Slika 1- Arhimedov vijak i eTwinning kolege iz Grčke METODA EKSHAUSTIJE (ISCRPLJIVANJA) Metoda ekshaustije ili iscrpljivanja je metoda pronalaženja površine nekog lika upisivanjem u njega niza poligona čije površine se približavaju ili konvergiraju površini promatranog lika. Ako je niz pravilno konstruiran, razlika površina između n-tog upisanog poligona i promatranog lika postaje po volji malena kako n postaje po volji veliki. Arhimed je pomoću metode ekshaustije riješio čitav niz problema koji se danas rješavaju integralnim računom. Kvadratura parabole Arhimed je koristeći metodu ekshaustije izračunao površinu odsječka parabole dva tisućljeća prije otkrića infinitezimalnog računa. Površinu je najprije izračunao koristeći teoreme iz mehanike, a zatim je dao geometrijski dokaz.
  • 47. 46 Koncept integriranja Često se postavlja pitanje je li Arhimed zapravo izumio integriranje. Naime, osim što je koristio metodu ekshaustije, Arhimed je koristio i metodu upisivanja i opisivanja mnogokuta oko nekih likova tako dugo dok razliku površina nije učinio proizvoljno malom, primjerice, tako je našao površinu kruga, ali i volumen tijela nastalih rotacijom parabole, elipse i hiperbole. Kako nije poznavao pojam limesa, odgovor bi bio negativan, ali se nikako ne može poreći da su njegove metode jako slične onima kojima je Riemann definirao svoj integral. Isto tako, nije tražio poopćenja svojih metoda, što bi isto bilo nužno za definiciju integrala, već najprimjereniji geometrijski postupak za svaki problem posebno. Arhimedova spirala Arhimedova spirala je transcedentalna krivulja koja nastaje kada točka, polazeći iz ishodišta, jednolično obilazi ishodište i jednolično se udaljuje od njega; udaljenost neke točke Arhimedove spirale od ishodišta razmjerna je pripadnom kutu zakreta. Slika 2- Arhimedova spirala Arhimedov aksiom Arhimedov aksiom: za svaka dva realna broja 𝑎 > 0 𝑖 𝑏 > 0 postoji takav prirodni broj 𝑛 da je 𝑛𝑏 > 𝑎.
  • 48. 47 DIOFANT Dominik Domitrović, 2.g Diofant iz Aleksandrije (Dióphantos ho Alexandreús) starogrčki je matematičar koji je otkrio Diofantske jednadžbe. Unatoč tome što je bio istaknuti matematičar svog vremena, vrlo malo je poznato o njegovom životu. Njegov rad je sačuvan u šest poglavlja Aritmetike. Sedmo poglavlje je izgubljeno. Aritmetika je vjerojatno najstariji sistemski traktat o algebri. Diofant je prvenstveno zanimala teorija brojeva i rješavanje jednadžbi. Dao je veliki doprinos napretku algebre uporabom simbola za veličine, matematičke operacije i odnose. Prethodno su ove veličine opisivane riječima. DIOFANTSKE JEDNADŽBE Neka je f polinom s n varijabli i cjelobrojnim koeficijentima. Jednadžba oblika 0),...,,( 21 nxxxf , čija su rješenja cijeli brojevi naziva se diofantska jednadžba. Najjednostavnije jednadžbe su naravno linearne diofantske jednadžbe oblika mxaxa nn ...11 , gdje su naa ,...,1 Z. 1. Linearne diofantske jednadžbe s dvije nepoznanice cbyax  ; cba ,, Z Primjer 1. Riješimo homogenu diofantsku jednadžbu 053  yx Izrazimo jednu nepoznanicu pomoću druge: yx 3 5  Budući da je x cijeli broj, rješenje y mora biti djeljivo s 3, tj. y je oblika ty 3 , gdje je t cijeli broj. No, tada je tx 5 . Dakle, rješenja diofantske jednadžbe 053  yx su parovi (−5t, 3t), t  Z.
  • 49. 48 Primjer 2. Riješimo diofantsku jednadžbu 51231000  yx . Izvršavanjem uzastopnih dijeljenja dobivamo ovaj niz jednakosti: 1000 = 8 · 123 + 16 123 = 7 · 16 + 11 16 = 1 · 11 + 5 11 = 2 · 5 + 1 Kad je ostatak jednak 1 postupak dijeljenja završava. Iz tih jednakosti izražavamo ostatke: 16 = 1000 − 8 · 123 11 = 123 − 7 · 16 5 = 16 − 1 · 11 1 = 11 − 2 · 5 Uvrstimo u posljednju jednakost izraz za broj 5 iz pretposljednje jednakosti: 1 = 11 − 2 · 5 = = 11 − 2 · (16 − 11 · 1) = = 3 · 11 − 2 · 16 = = 3 · (123 − 7 · 16) − 2 · 16 = = 3 · 123 − 23 · 16 = 3 · 123 − 23 · (1000 − 8 · 123) = = −23 · 1000 + 187 · 123. Dakle, 1 = −23 · 1000 + 187 · 123, pa množenjem s 5 dobivamo 5 = −115 · 1000 + 935 · 123. 2. Nelinearne diofantske jednadžbe a) Metoda faktorizacije Primjer 3. Riješimo diofantsku jednadžbu 063  yxxy Lijevu stranu jednadžbe rastavimo na faktore:     3131  yyx    331  xy
  • 50. 49 b) Metoda kvocijenta Primjer 4. Riješimo diofantsku jednadžbu xyxy  2 Izrazimo jednu nepoznanicu, na primjer x x y   2 c) Metoda posljednje znamenke Primjer 5. Riješimo diofantsku jednadžbu 93199519941952  yx Budući da kvadrat cijelog broja završava sa znamenkom 0, 1, 4, 5, 6 ili 9, a broj 5y sa znamenkom 0 ili 5, slijedi da zbroj na lijevoj strani završava s 0,1,4,5,6 ili 9, a nikako s 3. Dakle, zadana diofantska jednadžba nema rješenja. d) Metoda kongruencija Primjer 6. Riješimo diofantsku jednadžbu 199542  yx Budući da je 1995 neparni broj, a 4y parni, tada je x2 neparan, tj. x je neparan. Možemo ga pisati u obliku  kkx ,12 Z. Uvrstimo li to u početnu jednadžbu dobivamo:   1994)(4 19954144 1995412 2 2 2    ykk ykk yk Lijeva strana je djeljiva s 4, dok desna strana nije, pa jednadžba nema rješenja. e) Metoda zbroja potencija s parnim eksponentima Primjer 7. Riješimo diofantsku jednadžbu 084222  yxyx Prikažimo ovu jednadžbu u obliku zbroja kvadrata. Dopunom do potpunih kvadrata dobivamo:     08444112 22  yyxx     1321 22  yx Rješenja su (x, y)    4,25,1
  • 51. 50 f) Metoda nejednakosti Primjer 8. Riješimo diofantsku jednadžbu xxx 543  Očito je x = 2 jedno rješenje ove jednadžbe. Dijeljenjem zadane jednadžbe s x 5 dobivamo 1 5 4 5 3             xx za 2x je 1 5 4 5 3 5 4 5 3 22                         xx , a za 2x je 1 5 4 5 3 5 4 5 3 22                         xx . Prema tome, x = 2 je jedino rješenje ove jednadžbe.
  • 52. 51 AL HVARIZMI Marko Crnojević, 4.g Kada želimo zapisati nečiji broj telefona ili izračunati koliko će nas ukupno koštati neka roba koju namjeravamo kupiti, služimo se arapskim brojkama. Točnije rečeno, služimo se indijsko-arapskim brojevnim sustavom. Naime, temelj suvremenog decimalnog sustava u kojem se koriste znamenke od 0 do 9 razvio se u Indiji te je dospio na Zapad zahvaljujući srednjovjekovnim učenjacima koji su svoja djela pisali na arapskom jeziku. Među njima je najistaknutiji bio Muhamed ibn Musa al-Hvarizmi. On se najvjerojatnije rodio na području današnjeg Uzbekistana oko 780. godine. Hvarizmi je bio od izuzetne važnosti kao jedan od prvih arapskih istaknutih matematičara, koji je napravio odmak od grčkih zapisa i otvorio novu eru u matematici. Mnogi ga smatraju jednim od najvećih arapskih matematičara. Čime je zaslužio tu laskavu titulu? ČUVENI MATEMATIČAR Al-Hvarizmi je pisao o upotrebi decimalnih brojeva te o jednoj metodi rješavanja složenih matematičkih problema. Tu je metodu objasnio u svom djelu Knjiga o uspostavljanju i suprotstavljanju. Time je postavio temelje za razvoj algebre. Naziv algebra nastao je od izraza al-jabr, koji se javlja u arapskom naslovu al-Hvarizmijevog djela. Publicist Ehsan Masood, vrstan poznavatelj povijesti arapske znanosti, smatra da je izum algebre “najvažnije matematičko otkriće svih vremena i temelj svih znanosti”. Koliko je arapski brojevni sustav jednostavniji od rimskog? Za usporedbu recimo samo da se broj 188 rimskim brojkama piše CLXXXVIII “Nebrojeni naraštaji srednjoškolaca baš i nisu presretni zbog tog otkrića”, rekao je u šali jedan pisac. No al-Hvarizmi nije želio ljudima zagorčati život. On je u svojoj knjizi napisao da je samo htio objasniti i pojednostaviti računske radnje koje se primjenjuju u trgovini, podjeli nasljedstva, geodetskim mjerenjima i raznim drugim djelatnostima. Stoljećima kasnije zapadnjački matematičari, među kojima su bili Galileo Galilei i Leonardo Fibonacci, jako su cijenili al-Hvarizmija zbog toga što je na lako razumljiv način objasnio primjenu jednadžbi. Al-Hvarizmi je svojim objašnjenjima utro put daljnjim istraživanjima na području algebre, aritmetike i trigonometrije. Otkrića iz trigonometrije omogućila su
  • 53. 52 bliskoistočnim učenjacima da računaju kutove i duljine stranica različitih trokuta te vrše napredna astronomska istraživanja. Neki su matematičari na temelju al-Hvarizmijevih otkrića kasnije osmislili nove načine korištenja decimalnih razlomaka i nove metode izračunavanja površine i volumena. Graditelji koji su živjeli na Bliskom istoku počeli su koristiti te napredne metode računanja mnogo prije negoli graditelji iz zapadnih zemalja. Oni su se s tim otkrićima upoznali tijekom križarskih ratova te su ih kasnije prenijeli u zapadni svijet. Značajnu ulogu u širenju tih spoznaja odigrali su i učeni muslimanski zarobljenici te doseljenici iz bliskoistočnih zemalja. ALGEBRA Al Hvarizmi je svoj najveći trag ostavio na polju algebre. Njegovo najveće djelo; Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala, što u slobodnom prijevodu znači „Sažeta knjiga o metodama računanja“ ima upravo tu tematiku. Smatra se da je upravo ta knjiga oblikovala i definirala algebru. Štoviše, od naziva njegove metode „al-jabr“, koja se odnosila na operaciju „upotpunjavanja“, odnosno dodavanja brojeva na obje strane jednadžbe u svrhu zbrajanja ili poništavanja vrijednosti, dolazi i današnja riječ „algebra“ te ga se zbog toga smatra njenim ocem. Druga operacija koju je koristio, „al muqabala“, se odnosila na proces skraćivanja pozitivnih članova istog stupnja kada se oni pojavljuju na obje strane jednadžbe. Prema njemu, jednadžbe su sastavljene od jedinica, korijena i kvadrata. Jedinicu predstavlja broj, korijen je 𝑥, a kvadrat 𝑥2 . TRIGONOMETRIJA Al Hvarizmi se je uz algebru i aritmetiku bavio i trigonometrijom. Prvi je napravio tablicu trigonometrijskih funkcija sinusa i kosinusa, što nije opće poznati podatak. Proučavao je i sfernu geometriju, što je bilo značajno za geografska otkrića. ARITMETIKA Drugo najveće djelo Al Hvarizmija bavi se aritmetikom. Točan naziv knjige nije poznat jer su originalni arapski spisi izgubljeni, a za latinski prijevod je poznato da je dosta izmijenjen. Tekst poznajemo po početne dvije riječi „Dixit Algorizmi“ što bi slobodno prevedeno značilo „Hvarizmi je rekao“. Smatra se da je riječ „algoritam“ upravo nastala iz latinizacije njegovog imena. Zna se da je opisao brojevni sustav temeljen na brojevima 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i 0 (danas nam je poznat kao dekadski brojevni sustav). Preuzeo ga je od indijskih matematičara i uveo ga u matematiku Bliskog Istoka i Europe. Također, kao posljedica njegovog učenja navodi se prvo razumijevanje nule kao broja te njena primjena.
  • 54. 53 ZAPAD OTKRIVA DOSTIGNUĆA ARAPSKE MATEMATIKE S vremenom su al-Hvarizmijeva djela bila prevedena na latinski. Općenito se smatra da je talijanski matematičar Fibonacci (oko 1170.-1250.) zaslužan za to što je zapadni svijet prihvatio indijsko-arapski brojevni sustav. Fibonacci se s njime upoznao dok je putovao po Sredozemlju, a kasnije ga je podrobno opisao u svojem djelu Knjiga o abacima. JESTE LI ZNALI? Preteče današnjih brojki koristile su se u Indiji već u 3. stoljeću pr.Kr. Kasnije su indijski učenjaci svoje znanje iz matematike prenijeli podanicima kalifa al-Mansura na njegovom dvoru u Bagdadu. U svom djelu Računanje s indijskim brojevima al-Hvarizmi je zagovarao korištenje decimalnog brojevnog sustava. Podrobno je objasnio i razne pojmove iz starijih izvora, primjerice iz djela grčkih, židovskih i indijskih učenjaka. Iznimno vrijedno nasljeđe “Kad govorimo o brojevima i matematici, neosporno je da su nam [srednjovjekovni bliskoistočni učenjaci] ostavili u nasljeđe veliko i iznimno vrijedno znanje” (Ehsan Masood). “Glavni je doprinos koji su Arapi dali matematici to što su povezali dvije različite matematičke misli, grčku i indijsku… Tako je preko Arapa došla u Europu i indijska matematika, a posebno i indijske brojke, koje su inače poznate kao arapske brojke” (Hrvatska opća enciklopedija). U europskim je zemljama indijsko-arapski brojevni sustav “ušao u širu upotrebu tek tijekom 15. stoljeća”(Encyclopedia of Society and Culture in the Medieval World). Al Hvarizmi je svakako bio jedan od značajnih arapskih matematičara. Zaslužan je za nove ideje u matematici i bez njega ne bi bilo današnje algebre kakvu poznajemo. Zasluženo ga se zove ocem algebre i smatra se da on možda više zaslužuje taj naslov od Diofanta, jer su njegovi principi elementarni i temeljni za današnju algebru, dok se Diofant više bavio teorijom brojeva. Osim što je pridonio i samom matematičkom jeziku, zbog čega danas imamo riječi „algoritam“ i „algebra“, bavio i drugim znanostima gdje je ostavio traga. Napravio je most između matematike Antičke Grčke i Indije s matematikom Europe i Zapada. Al Hvarizmi je svojim radom utjecao na mnoge druge matematičare. Uz njega, poznati arapski matematičari su bili Al Karaji, koji je algebru oslobodio u potpunosti od geometrijskih operacija, Al Haytham, koji se je bavio klasifikacijom parnih savršenih brojeva, Omar Khyyam, koji je dao potpunu klasifikaciju kubnih jednadžbi i Nasir Al Din Al Tusi, koji je pridonio stvaranju trigonometrije kao matematičke discipline. Zaključujemo kako je arapska matematika izuzetno važna u povijesti i da je pridonijela mnogim današnjim granama.
  • 55. 54 FIBONACCI Barbara Mašunjac, 4.g Leonardo od Pise (12. – 13.st.), nama poznatiji kao Leonardo Fibonacci, ili samo Fibonacci, bio je talijanski matematičar, jedan od najpoznatijih matematičara srednjeg vijeka. Već kao dječak putovao je s ocem koji je bio carinik te je tako svoju mladost proveo u Arabiji. Tamo se upoznao s arapskom, te s indijskom matematikom. Stoga je temelj njegove matematike upravo broj. Leonardo je poznate i nepoznate veličine promatrao kao konkretne, nazivajući zadani broj numerus ili denarius, u prijevodu novac, a nepoznati res, što znači stvar. Fibonnaci je iza sebe ostavio čitav niz otkrića, kao što je razlomačka crta i računanje s razlomcima, aritmetički niz, jednadžbe, iracionalne veličine, kvadratne jednadžbe, no dvije stvari u kojima je ostavio najupečatljiviji trag su raširenost uporabe arapskih brojeva u Europi te Fibonaccijev niz. Arapski brojevi su nam svima vrlo bliski te se s njima susrećemo u svakodnevnom životu. To su brojevi 0 (nula), 1 (jedan), 2 (dva), 3 (tri), 4 (četiri), 5 (pet), 6 (šest), 7 (sedam), 8 (osam), 9 (devet). Fibonacci je ovdje ostavio poseban trag iz razloga što je prvi upotrijebio nulu u brojevnom sustavu. Fibonacci je otkrio svoje brojeve tako što je promatrao kako brzo se zečevi mogu razmnožavati u idealnim uvjetima, tj. koliko će se zečeva razmnožiti kroz godinu dana, s tim da zečevi, u ovom slučaju, nikada ne umiru. Pretpostavka je zvučala ovako: prvi mjesec imamo jedan par zečeva (1 muški, 1 ženski). Na kraju drugog mjeseca imamo dva para zečeva, na kraju trećeg mjeseca tri para zečeva, itd. Nakon 12 mjeseci bismo došli do rezultata od 233 para zečeva. Do tog broja smo došli tako što smo zbrajali uvijek dva prethodna broja.
  • 56. 55 Jednostavno pravilo Fibonaccijevog niza je da zbrojimo dva prethodna broja kako bismo dobili sljedeći, odnosno to je kompozicijski zakon u kojem se manji dio odnosi prema većem kao veći dio prema ukupnom. Fibonaccijev niz se često povezuje sa brojem zlatnog reza fi, 𝜑. Taj broj je često nazivan ''Božanskim omjerom''. Fibonaccijeve brojeve pronalazimo svugdje u prirodi. Npr. razmnožavanje pčela, oblik školjke, u oblicima mnogih biljaka, i sl. Jedan od primjera Fibonaccijevog niza imamo u suncokretu: red sjemena u centru suncokreta izgleda kao spiralni uzorak. Ako podijelimo spirale koje idu u lijevo i one koje idu u desno, dobit ćemo dva Fibonaccijeva broja. Fibonaccijev broj ćemo često dobiti ako prebrojimo latice na nekom cvijetu. Nama najzanimljiviji primjer ''Božanskog omjera'' je upravo u ljudskom tijelu. Ljudsko tijelo se u potpunosti sastoji od Fibonaccijevog niza. Naše tijelo se sastoji od brojeva 1, 2, 3 i 5. Imamo jedan nos, dva oka, tri dijela svakog uda te pet prstiju na svakoj ruci. Izmjerimo li cijelu dužinu svoga tijela i podijelimo je s dužinom od pupka do poda, dobit ćemo broj 𝜑. Također, izmjerimo li udaljenost od ramena do vrhova prstiju i podijelimo je s udaljenosti od lakta do vrhova prstiju, dobit ćemo 𝜑, tj. 1,618. Isto tako, udaljenost od kuka do poda podijeljena s udaljenošću koljena do poda daje 1,618.
  • 57. 56 Zlatni rez odnosno broj 𝜑 danas pronalazimo gotovo svugdje pa tako i u umjetnosti i glazbi. Leonardo da Vinci jedan je od prvih umjetnika koji je proučavao proporcije ljudskog tijela i na temelju toga izrađivao svoje portrete. Zbog toga se njegovo djelo ''Mona Lisa'' smatra sinonimom savršenstva. Fibonaccijev niz također često pronalazimo u arhitekturi. Matematika i arhitektura su uvijek bile bliske, ne samo zbog toga što arhitektura ovisi o razvoju matematike, nego i zbog njihove zajedničke težnje redu i ljepoti, odnosno forme u konstrukciji. Jedna od najpoznatijih građevina, građena na principu zlatnog reza, tj. omjera BC : AB = AB : BC, je Partenon. Partenon je antički hram posvećen božici Ateni. Partenon je jedna od najskladnijih građevina iz razloga što su Grci za mjerenje koristili mjere preuzete iz veličine dijelova ljudskog tijela: palac – dlan – pedalj – lakat – ruka – korak. Načelo ˝Čovjek je mjerilo stvari!¨ je realizirano u Partenonu.
  • 58. 57 Školjka puža Nautilus je jedan od najsavršenijih oblika u prirodi. Ona je u obliku spirale čiji su sastavni dijelovi kvadrati, svi dužine jednog od Fibonaccijevih brojeva. Liber Abaci, ili u prijevodu knjiga računanja, je Fibonaccijevo najpoznatije djelo u kojem govori o aritmetici. Liber Abaci je jedna od prvih zapadnih knjiga u kojoj su opisane arapske brojke. Fibonacci je svojom knjigom htio uvjeriti narod o superiornosti novih brojeva. Prvi dio knjige predstavlja novi brojevni sustav, uključujući pretvaranje između različitih sustava. Drugi dio knjige donosi primjere iz trgovine, tj. govori o pretvaranju valuta, te izračunu dobiti i interesa. Treći dio razmatra problem matematičkog niza, u kojem se opisuje rast populacije zečeva, po čemu je Fibonacci i najpoznatiji. Posljednji, četvrti dio je vezan uz iracionalne brojeve, poput korijena. Fibonacci je jedan od najvećih i najznačajnijih matematičara svih vremena i možemo mu zahvaliti na mnogočemu.
  • 59. 58 VIÈTE Karolina Marenić, 2.g François Viète (1540.-1603.) bio je znameniti francuski matematičar, koji to zapravo nije bio. Po struci je bio pravnik i radio je kao pravnik i zastupnik u parlamentu u Francuskoj, a matematikom se bavio iz hobija te je svojim matematičkim znanjem uvelike pomogao svojoj državi. U vrijeme francuskog kralja Henrika IV., španjolski kralj Filip II. 1590. godine šalje zahtjev za francuskim prijestoljem na osnovi rodbinskih veza. Kralj Henrik odbija zahtjev te dolazi do rata. U to doba španjolski su agenti komunicirali koristeći šifre sa oko 500 znakova. Francuzi presreću jednu od španjolskih poruka te ju kralj Henrik IV. daje Viètu da ju dešifrira. 15. ožujka 1590. Viète kralju daje dešifriranu poruku. Španjolci su nakon dvije godine shvatili da Francuzi razumiju njihove poruke te je španjolski kralj Filip II. tužio Francusku papi da se koristi crnom magijom, a Vièta da se osudi da je čarobnjak, u što papa nije povjerovao te je odbio zahtjev španjolskog kralja. François Viète kralj Henrik IV. kralj Filip II. Françoisa Vièta smatramo osnivačem moderne algebre te nakon njega algebru smatramo općom znanosti o algebarskim jednadžbama oslonjenu na simboličke oznake. Viète je također zaslužan i za uvođenje prvog sustavnog označavanja algebarskih veličina. Godine 1591. Viète objavljuje „In artem analyticem isagoge“, knjigu u kojoj je opisao primjenu algebre na geometriju. François Viète nam u svom dijelu prikazuje već neke poznate, ali i svoje nove metode rješavanja jednadžbi do 4. stupnja te daje vezu tj. Viètove formule između koeficijenta i rješenja jednadžbe. Pojam „koeficijent“ uveo je Viète. Za poznate veličine koristio se suglasnicima, a za nepoznanice je koristio samoglasnike.
  • 60. 59 KVADRATNA JEDNADŽBA KUBNA JEDNADŽBA 02  cbxax 023  dcxbxax a c xx a b xx   21 21 a d xxx a c xxxxxx a b xxx    321 133221 321 Godine 1593. Adriaan van Roomen, belgijski matematičar, zadao je zadatak sa jednadžbom 45. stupnja. Iako je tadašnji nizozemski ambasador izjavio da Francuska nema dovoljno dobrih matematičara koji bi riješili van Roomenov problem, kralj Henrik IV. ga daje Viètu. Viète, uočivši da se radi o trigonometrijskoj relaciji, s lakoćom rješava problem te spašava ugled francuskih matematičara. Adriaan van Roomen VAN ROOMENOVA JEDNADŽBA 45. STUPNJA 64 45 8 15 16 5 4 7 4537959563411385007811375 34512074105306075232676280384942375488484125 483841800378658800236030652117679100469557800 1494504037645657404591111501230094545 3579 1113151719 2123252729 3133353739414345     xxxxx xxxxx xxxxx xxxxxxxx
  • 61. 60 Viète je također uspio riješiti problem jednog od najvećih grčkih matematičara-geometra Apolonija, a problem glasi „Konstruiraj kružnicu koja dira tri dane kružnice.“ VIETEOVO RJEŠENJE APOLONIJEVA PROBLEMA r4 r3 r1 S1 S3 S r r5 r2 R S2 1579. godine pokušao je pomoću Arhimedove metode računanja opsega opisanih i upisanih poligona izračunati broj  te je dobio: 3.1415926535 <  < 3.1415926537 VIETEOVO RAČUNANJE BROJA   22222 2 12 
  • 62. 61 1579. godine François Viète u svom dijelu „Canon mathematicus“ objavljuje tablice trigonometrijskih vrijednosti (sinus, kosinus,… ) SINUS I KOSINUS VIŠESTRUKOG ARGUMENTA xxx xxx 22 sincos2cos cossin22sin   DVOSTRUKI ARGUMENT TROSTRUKI ARGUMENT xxx xxx sin3cos43cos sin4sin33sin 3 3  
  • 63. 62 JOHN NAPIER Laura Iličić, 3.g John Napier (Edinburgh, 1550. - Edinburgh 1617. godine) Općenito Godine 1563. John se upisao na sveučilište St. Andrews. Diplomu je vjerojatno stekao u inozemstvu, na sveučilištu u Parizu, a zna se i da je neko vrijeme boravio u Italiji i Nizozemskoj. Napier je relativno slabo poznat izvan matematičkih i inženjerskih krugova, u okviru kojih je napravio ključni pomak u uporabi matematike. Najpoznatiji je kao izumitelj logaritama i Napierovih kostiju, te zbog popularizacije uporabe decimalnog zareza. LOGARITMI Metodu prirodnog logaritma prvi je predložio 1614. John Napier u svojoj knjizi Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Ova metoda doprinijela je napretku znanosti, a posebno astronomiji, čineći neke teške računice mogućim. Sve do uporabe računala u znanosti, ova metoda je korištena u svim granama praktične matematike. Pored svoje uporabe u računima, logaritmi su popunili važno mjesto u višoj, teorijskoj matematici. U početku, Napier je logaritme zvao "umjetnim brojevima", a antilogaritme "prirodnim brojevima". Kasnije, Napier je stvorio riječ logaritam, zvučnu kovanicu koja je trebala označiti odnos: λoγoς (logos) i αριθμoς (arithmos) što predstavlja broj. Termin antilogaritam je uveden pred kraj 17. stoljeća i, iako se nikada nije pretjerano koristio u matematici, postojao je u tablicama dok nije izašao iz uporabe. Po zanimanju je bio teolog, matematičar, fizičar, astronom i astrolog. Nakon što je umro od gihta, Napier je sahranjen u crkvi St. Cuthberta, Edinburghu.
  • 64. 63 LOGARITAMSKE OPERACIJE NAPIEROVE KOSTI Napierove kosti su neka vrsta mehaničkog računala koje služi za množenje, dijeljenje i računanje drugog korijena. Svoj izum je opisao u djelu koje se zove «Rabdology». Knjiga je izdana u Edinburghu krajem 1617. godine. Sastoje se od ploče s okvirom unutar koje se stavljaju štapići s brojevima. Prve verzije Napierovih kostiju su bile izrađene na slonovači po čemu su i dobile ime. Lijevi rub ploče je podijeljen na 9 kvadrata u kojima su brojevi od 1 do 9. Štapići su također podijeljeni na 9 kvadrata tako da su svi osim prvog podijeljeni dijagonalnom crtom. U prvom kvadratu se nalazi neki broj od 1 do 9 dok su ostali kvadrati na štapiću umnošci tog broja s brojem na lijevom rubu ploče u čijem se redu nalazi. DECIMALNI ZAREZ Napier je popularizirao korištenje decimalnoga zareza pri pisanju brojeva.
  • 65. 64 Najpoznatija djela:  Plaine Discovery of the Whole Revelation of St. John, 1593.  Statistical Account  Mirifici logarithmorum canonis descriptio, 1614.  Construction of Logarithms, 1619. Po Johnu Napieru nazvana je alternativna jedinica za decibel kao i Sveučilište Napier, u Edinburghu, Škotska.
  • 66. 65 HENRY BRIGGS Patricia Kujundžić, 3.g Henry Briggs (1561.- 1630.) bio je engleski matemtičar te uzoran profesor, u svoje vrijeme. Poznat je po mijenjanju izvornih logaritama, koje je izmislio John Napier, u logaritme s bazom 10. Sada ih, u njegovu čast, nazivamo Briggsovim ili dekadskim logaritmima. Rođen je u Warleywood-u, u Yorkshireu, u Engleskoj. Učio je grčki i latinski jezik u lokalnoj gimnaziji. Kasnije je studirao u St. John's Collegeu, u Cambridgeu, na kojem je diplomirao 1581. godine. Čitao je matematičku literaturu te se za to vrijeme zanimao za astronomiju, zajedno s Edwardom Wrightom. Od 1596. postaje prvi profesor, tada novoosnovane puritanske škole po imenu Gresham College, u Londonu. (U puritanskim se školama učila geometrija, astronomija i navigacija.) Ondje je predavao gotovo 23 godine i napravio ju je centrom engleske matematike. Podržavao je ideje Johannesa Keplera. Bio je dobar prijatelj Christophera Heydona, pisca o astrologiji, iako je sami Briggs odbacio astrologiju zbog vjerskih razloga. U to je vrijeme dobio kopiju Napierove knjige Mirifici Logarithmorum Cannonis Descriptio, u kojoj je uveo osnovnu ideju logaritama. Iako je knjiga bila pomalo čudna za shvatiti, Briggs se njome služio na svojim predavanjima u Gresham Collegeu te ga je potaknula na vlastite ideje. Briggs kreće od uvjeta log(10) = 1 i konsturira nove pomoću korijena (logaritam drugog korijena broja je pola njegova logaritma); 1624. Briggsova knjiga, Arithmetica Logarithmica – sadrži tablicu logaritama od brojeva od 1 do 20000 i od 90000 do 100000 na po 14 decimala.
  • 67. 66 Dekadski, obični ili Briggsovi logaritmi - logaritmi s bazom 10. Oznaka: 𝑙𝑜𝑔𝑥 ili 𝑙𝑜𝑔10 𝑥 ZANIMLJIVOSTI Mjesečev krater Briggs dobio je ime upravo po Henryju Briggsu. Briggs je imao dva sina, Henryja i Thomasa. Bio je aktivan u astronomiji, navigaciji i mjerenju.
  • 68. 67 RENÉ DESCARTES Andrea Pupilo, 2.g René Descartes rođen je u plemićkoj obitelji 31. ožujka 1596. godine u tadašnjem mjestu La Haye Touraine (danas Descartes) u Francuskoj. Kao dijete bio je boležljiv pa mu je bilo dozvoljeno da do 11 sati ujutro ostane u krevetu ležati, a tu je naviku zadržao i poslije. Obrazovan je na aristokratskom fakultetu koji su tada vodili Isusovci te se tamo počeo ozbiljnije zanimati za matematiku, kao i ostale prirodne znanosti. Švedska kraljica Kristina pozvala ga je 1649. godine da ju poučava matematiku, te je Descartes prihvatio poziv. Kako je kraljica zahtijevala ranojutarnju poduku Descartes je bio prisiljen svakodnevno u pet sati ujutro prolaziti kroz hladan dvorac do kraljice. Zbog svoje navike ležanja do kasnog jutra i svojeg slabog zdravlja hladnoća je uzrokovala upalu pluća te je Descates nakon dva mjeseca provedena u Stockholmu umro. Slika 1. – René Descartes Descartes je, između ostalog, utemeljio vezu između algebre i geometrije. On je shvatio da se geometrija može zabilježiti u obliku algebre, pomoću koordinata koje određuju položaj u odnosu na fiksne, okomite crte (os apscisa i ordinata) i obrnuto (svaka se algebarska jednadžba može prikazati grafom).
  • 69. 68 RAZVOJ KOORDINATNOG SUSTAVA Koordinate su se već tisućama godina prije Descartesa upotrebljavale na kartama, a Descartesovo je otkriće bilo razumijevanje povezivanja geometrije i algebre koordinatama. Descartes je, prema anegdoti, inspiraciju za uvođenje koordinatne ravnine dobio gledajući muhu na stropu gdje su rubovi spajanja zidova i stropa predstavljali koordinatne osi, a muha neku točku koja ima određenu udaljenost od tih ''osi''. U svom djelu La Géométrie iz 1637. Descartes detaljnije govori o korištenju jednadžbe s jednom nepoznanicom u svrhu određivanja bilo koje točke na krivulji prema njenoj udaljenosti od dvije fiksne crte (osi x i y). Drugi naziv za koordinatni sustav je Kartezijev koordinatni sustav u čast Descartesu po latiniziranom prezimenu Cartesius. Descartes je svoju ideju objasnio na način da se svaka točka u nekoj ravnini može opisati pomoću dva realna broja, koja je označio slovima x i y (uređeni par), koja opisuju udaljenost te točke s obzirom na os apscisa i os ordinata. Nakon te tvrdnje došao je do zaključka da se svaki pravac može opisati kao skup točaka (x, y) koje zadovoljavaju jednakost 0 cbyax , a konike kao skupove točaka (x, y) za koje vrijedi 022  feydxcybxyax . Descartes je rekao i da se takvo učenje može primijeniti i u prostoru uvođenjem treće, prostorne osi (z), no tu je ideju ostavio nerazrađenu. Slika 2. – Koordinatni sustav s tri osi Descartes je također uveo i danas općeprihvaćene oznake za nepoznanice (x, y, z...), početna slova abecede koja predstavljaju koeficijente (a, b, c...) te označavanje potencija pomoću eksponenta i baze ( n x ). Također, jedan od njegovih noviteta u matematici je zapisivanje jednadžbe na način da su na jednoj strani jednadžbe članovi, a na drugoj strani nula (npr. 0 cbyax )
  • 70. 69 DESCARTESOV TEOREM Descartes je utvrdio da se za kružnicu koja ima polumjer r njezina zakrivljenost opisuje kao r k 1  . Ako su 1k , 2k , 3k i 4k kružnice u ravnini među kojima se svake dvije dodiruju, tada vrijedi jednakost:    2 4321 2 4 2 3 2 2 2 12 kkkkkkkk  Prema tome Descartes je zaključio da za tri kružnice od kojih se svake dvije dodiruju postoje dvije koje diraju sve tri. OSTALE ZANIMLJIVOSTI Descartes je također poznavao i formulu 2 SBV , gdje je V broj vrhova, B broj bridova, a S broj strana za konveksne poliedre. Tim teoremom započela je teorija grafova. Descartesov list jest naziv algebarske krivulje trećeg reda, a zadana je jednadžbom axyyx 333  . Krivulja se sastoji od čvorne točke koju dodiruju koordinatne osi i asimptote 0 ayx . Slika 3. – Descartesov list
  • 71. 70 Descartesov oval je algebarska krivulja četvrtog reda. Za ovu je krivulju specifično da udaljenost 1r i 2r bilo koje točke P od dviju čvrstih točaka 1F i 2F povezuje jednakost amrr 1 (m i a su konstante). Ako je 1m dobivamo elipsu, a ako je 1m onda je riječ o hiperboli. Slika 4. – Descartesov oval