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実験計画法入門 Part 4
- 1. © Hajime Mizuyama An Introduction to Design of Experiments (DOE) 青山学院大学 経営システム工学科 水山 元 mizuyama@ise.aoyama.ac.jp
- 2. © Hajime Mizuyama Agenda Part 1 古典的な実験計画法の 基本概念と要因計画 Part 2 直交表と 一部実施要因計画 Part 3 応答曲面法と 最適計画 Part 4 直積実験と ロバスト設計
- 3. © Hajime Mizuyama ロバスト設計における対象システムの捉え方 y 特性 s 信号因子 対象システム x1 x2 xM 制御因子 z1 z2 zL 誤差因子
- 6. © Hajime Mizuyama • 取り上げた因子が特性の値に影響を及ぼしているかどうか，を 判断したい． • 影響を及ぼしていると判断された因子について，その値をどの 水準に設定すればよいか，を判断したい（主に特性値の最大化 や最小化の問題）． • 因子水準を操作することによる影響の大きさや，操作した後の 特性の値を推定したい． 古典的な実験計画法の狙いと役割 これらを，統計的検定や推定の枠組みで実施できるようにする ことが古典的な実験計画法の役割である．
- 7. © Hajime Mizuyama • 数多くの候補の中から，特性のばらつきに有意な影響を与える 制御因子を見出したい． • 影響を及ぼしていると判断された制御因子，その値をどの水準 に設定すればよいか，を判断したい（主に特性のロバスト化の 問題）． • 特性のばらつきを抑えたまま，特性の平均や感度を適切な値に 調整したい． ロバスト設計の狙いと役割 これらを，なるべく効率的な実験に基づいて実施できるように することがロバスト設計の役割である．
- 8. © Hajime Mizuyama • ロバスト設計には，実験の場だけで成り立つ知見には価値がな いという哲学があり，実際の生産や使用の場で役に立つ（下流 再現性のある）知見を得ることが重視される． • 多因子が絡み合う効果よりも，単純な主効果の方が下流再現性 につながりやすいという経験的な仮説がおかれている． • ばらつき低減の効果を得るために，実験では，なるべく多くの 制御因子の候補を取り上げることが望まれる． ロバスト設計と混合系直交表 混合系直交表の利用
- 10. © Hajime Mizuyama 静特性と動特性 静特性 • ある固定された目的値が与え られている特性． • 静特性では，信号因子は考え ない 動特性 • 目的値が信号因子の値に応じ て変化する特性． • 信号因子と特性との間には一 次式や比例式の関係を仮定す ることが多い．
- 11. © Hajime Mizuyama 静特性の実験対象 y 特性 𝑦 = 𝜇 + 𝑒 x1 x2 xM 制御因子 z1 z2 zL 誤差因子 y pdf
- 12. © Hajime Mizuyama a. 間隔尺度のSN比（ばらつきが平均に依存しない） 母SN比：𝜂 = 1 𝜎𝑒 2 標本SN比：𝛾 = 10log(1 𝑉𝑒) b. 比尺度のSN比（ばらつきが平均と共に増大する） 母SN比：𝜂 = 𝜇2 𝜎𝑒 2 標本SN比： ＊どちらも大きければ大きいほど望ましい尺度になっている． 静特性のSN比 𝛾 = 10log 𝑦2 − 𝑉𝑒 𝑁 𝑉𝑒 ≈ 10log 𝑦2 𝑉𝑒
- 13. © Hajime Mizuyama 内側直交表と外側直交表 制御因子 x1, x2, ... 誤差因子 z1, z2, ... x1, x2, ... z1, z2, ... 内側 直交表 外側 直交表 1 2 I 1 2 J ・ ・ ・ ・ ・ ・
- 14. © Hajime Mizuyama 直積実験の計画 I×J 個 の実験点 内側 直交表 1 2 I ・ ・ ・ x1, x2, ... z1,z2,... 外側 直交表 1 2 J ・ ・ ・
- 15. © Hajime Mizuyama 静特性の直積実験の例 A B C Ｄ E F G 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 630.2 591.6 590.1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 604.3 640.3 675.2 3 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 550.7 557.4 552.1 4 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 651.1 641.9 651.4 5 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 523.3 531.0 531.3 6 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 564.4 572.4 564.6 7 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 641.0 625.9 623.5 8 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 621.1 621.6 582.7 9 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 594.5 607.5 598.3 10 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 601.7 582.7 586.6 11 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 592.0 609.1 581.7 12 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 701.2 716.6 703.0
- 16. © Hajime Mizuyama yi1, yi2, ... ..., yiJ 直積実験の結果の解析 内側 直交表 1 2 I ・ ・ ・ x1, x2, ... z1,z2,... 外側 直交表 1 2 J ・ ・ ・ y11, y12, ... ..., yIJ 行ごとに， 標本SN比と 標本平均を 算出する．
- 17. © Hajime Mizuyama yi1, yi2, ... ..., yiJ 直積実験の結果の解析 内側 直交表 1 2 I ・ ・ ・ x1, x2, ... z1,z2,... 外側 直交表 1 2 J ・ ・ ・ y11, y12, ... ..., yIJ SN比 平均 1 I i ・ ・ ・ ・ ・ ・ 1y Iy iy ・ ・ ・ ・ ・ ・
- 18. © Hajime Mizuyama 直積実験の結果の解析 内側 直交表 1 2 I ・ ・ ・ x1, x2, ... SN比 平均 1 I i ・ ・ ・ ・ ・ ・ 1y Iy iy ・ ・ ・ ・ ・ ・ SN比に関する 分散分析 平均に関する 分散分析
- 19. © Hajime Mizuyama 静特性の直積実験の例 A B C Ｄ E F G 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 𝜂 𝑦 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 28.49 603.9 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 25.12 639.9 3 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 43.92 553.4 4 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 41.54 648.2 5 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 41.33 528.5 6 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 41.83 567.1 7 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 36.46 630.1 8 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 28.70 608.5 9 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 39.03 600.1 10 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 35.41 590.3 11 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 32.65 594.3 12 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 38.46 707.0
- 20. © Hajime Mizuyama SN比の分散分析表 要因 平方和 自由度 平均平方 F値 P値 A 11.07 1 11.07 0.919 0.3921 B 72.54 1 72.54 6.022 0.0701 C 41.65 1 41.65 3.458 0.1365 D 119.92 1 119.92 9.955 0.0343 E 90.82 1 90.82 7.54 0.0516 F 20.32 1 20.32 1.687 0.2638 G 6.29 1 6.29 0.523 0.5097 残差 48.18 4 12.05
- 21. © Hajime Mizuyama 平均の分散分析表 要因 平方和 自由度 平均平方 F値 P値 A 2980 1 2980 44.514 0.0026 B 0 1 0 0 0.9845 C 8289 1 8289 123.812 0.0004 D 602 1 602 8.986 0.0400 E 33 1 33 0.493 0.5214 F 3153 1 3153 47.09 0.0024 G 9082 1 9082 135.653 0.0003 残差 268 4 67
- 25. © Hajime Mizuyama ばらつきの制御（制御因子） 1 2 2530354045 B sn 1 2 2530354045 D sn 1 2 2530354045 E sn (B, D, E) = (2, 2, 2)
- 26. © Hajime Mizuyama 平均の調整（調整因子） 1 2 560580600620640 A mean 1 2560580600620640 C mean 1 2 560580600620640 D mean 1 2 560580600620640 F mean 1 2560580600620640 G mean
- 27. © Hajime Mizuyama 複数の誤差因子を，2水準（あるいは3水準）の調合誤差因子にま とめること．負側最悪条件と正側最悪条件（さらにそれらの中間の 標準条件）を用いる． 誤差因子の調合 A1 B1 C3 D1 A2 B2 C2 D2 A3 B3 C1 D3 yN1 N2 N3 調合誤差因子 A B C D 誤差因子
- 28. © Hajime Mizuyama 複数の誤差因子を，2水準（あるいは3水準）の調合誤差因子にま とめること．負側最悪条件と正側最悪条件（さらにそれらの中間の 標準条件）を用いる． 誤差因子の調合 外側 直交表 1 2 J ・ ・ ・ z1, z2, ... N1 A1, B1, C3, D1 N2 A2, B2, C2, D2 N3 A3, B3, C1, D3 A, B, C, D 実験規模の縮小
- 29. © Hajime Mizuyama 静特性と動特性 静特性 • ある固定された目的値が与え られている特性． • 静特性では，信号因子は考え ない 動特性 • 目的値が信号因子の値に応じ て変化する特性． • 信号因子と特性との間には一 次式や比例式の関係を仮定す ることが多い．
- 30. © Hajime Mizuyama 動特性の一次式モデル y 特性 s 信号因子 𝑦 = 𝛼 + 𝛽𝑠 + 𝑒 x1 x2 xM 制御因子 z1 z2 zL 誤差因子
- 31. © Hajime Mizuyama 動特性の一次式モデル y s （通常の単回帰モデル） 例） 得られた y の値から s を求める計測器． 校正後の計測誤差は e/βとなる． 𝑦 = 𝛼 + 𝛽𝑠 + 𝑒
- 32. © Hajime Mizuyama 一次式モデルのSN比（特性のばらつきが平均に依存しない） 関係式： 𝑦 = 𝛼 + 𝛽𝑠 + 𝑒 （通常の単回帰モデル） 母SN比： 𝜂 = 𝛽2 𝜎𝑒 2 （校正後の誤差分散の逆数） 標本SN比： ＊大きければ大きいほど望ましい尺度になっている． 動特性のSN比（一次式モデル） 𝛾 = 10log 𝛽2 − 𝑉𝑒 𝑆𝑠𝑠 𝑉𝑒 ≈ 10log 𝛽2 𝑉𝑒
- 33. © Hajime Mizuyama 残差平方和 正規方程式 回帰直線 標本誤差分散 最小2乗法によるパラメータ推定 𝑁𝛼 + 𝛽 𝑠𝑗 𝐽 𝑗=1 = 𝑦𝑗 𝐽 𝑗=1 𝛼 𝑠𝑗 𝐽 𝑗=1 + 𝛽 𝑠𝑗 2 𝐽 𝑗=1 = 𝑠𝑗 𝑦𝑗 𝐽 𝑗=1 𝛼 = 𝑦 − 𝛽 𝑠 𝛽 = (𝑠𝑗 − 𝑠)(𝑦𝑗 − 𝑦) 𝐽 𝑗=1 𝑠𝑗 − 𝑠 2𝐽 𝑗=1 = 𝑆𝑠𝑦 𝑆𝑠𝑠 𝑆 𝑒 = 𝑦𝑗 − 𝛼 + 𝛽 𝑠𝑗 2 𝐽 𝑗=1 𝑦 = 𝑆𝑠𝑦 𝑆𝑠𝑠 𝑠 − 𝑠 + 𝑦 𝑉𝑒 = 𝑆 𝑒 𝐽 − 2 𝑦𝑗 − 𝑆𝑠𝑦 𝑆𝑠𝑠 𝑠𝑗 − 𝑠 − 𝑦 2𝐽 𝑗=1
- 34. © Hajime Mizuyama 動特性の比例式モデル y 特性 s 信号因子 𝑦 = 𝛽𝑠 + 𝑒 x1 x2 xM 制御因子 z1 z2 zL 誤差因子
- 35. © Hajime Mizuyama 動特性の比例式モデル N3 N1 N2 誤差因子によって 傾き β が変動する 交互作用 N×β が 隠れている． 例）入出力関係で表される技術システムの機能性評価． 交互作用N×βによる変動と誤差eの分散とを共に減少させたい． s1 s2 s3 s4 ... y 𝑦 = 𝛽𝑠 + 𝑒 （原点回帰モデル）
- 36. © Hajime Mizuyama 一次式モデルのSN比（特性のばらつきが平均と共に増大） 関係式： 𝑦 = 𝛽𝑠 + 𝑒 （原点回帰モデル） 母SN比： 𝜂 = 𝛽2 𝜎 𝐸 2 標本SN比： ＊大きければ大きいほど望ましい尺度になっている． ＊VE や σE は，純粋な誤差eの分散に加え，交互作用N×βも含む． 動特性のSN比（比例式モデル） 𝛾 = 10log 𝛽2 − 𝑉𝐸 𝑆𝑠𝑠 𝑉𝐸 ≈ 10log 𝛽2 𝑉𝐸
- 37. © Hajime Mizuyama 残差平方和 正規方程式 回帰直線 標本誤差分散 最小2乗法によるパラメータ推定 𝛽 = 𝑠𝑗 𝑦𝑗 𝐽 𝑗=1 𝑠𝑗 2𝐽 𝑗=1 = 𝑆𝑠𝑦 𝑆𝑠𝑠 𝑆 𝐸 = 𝑦𝑗 − 𝛽 𝑠𝑗 2 𝐽 𝑗=1 𝑦 = 𝑆𝑠𝑦 𝑆𝑠𝑠 𝑠 𝑉𝐸 = 𝑆 𝐸 𝐽 − 1 𝑦𝑗 − 𝑆𝑠𝑦 𝑆𝑠𝑠 𝑠𝑗 2𝐽 𝑗=1 𝜕𝑆 𝐸 𝜕𝛽 = −2 𝑠𝑗(𝑦𝑗 − 𝛽 𝑠𝑗) 𝐽 𝑗=1 = 0 𝛽 𝑠𝑗 2 𝐽 𝑗=1 = 𝑠𝑗 𝑦𝑗 𝐽 𝑗=1
- 38. © Hajime Mizuyama 原点まわりの全平方和 全平方和の分解 純粋な誤差分散の推定値 平方和の分解と純粋な誤差分散（参考） 𝑆 𝑇 = 𝑦𝑗 2 𝐽 𝑗=1 = 𝑦𝑢𝑣 2 𝑉 𝑣=1 𝑈 𝑢=1 ただし，信号因子の水準数を U， （調合）誤差因子の水準数を V， 𝐽 = 𝑈 × 𝑉とする． 𝑆 𝑇 = 𝑉𝛽2 𝑠 𝑢 2 𝑈 𝑢=1 + 𝑠 𝑢 2 𝛽𝑣 − 𝛽 2 𝑉 𝑣=1 𝑈 𝑢=1 + 𝑦𝑢𝑣 − 𝛽𝑣 ∙ 𝑠 𝑢 2 𝑉 𝑣=1 𝑈 𝑢=1 残差平方和 Se 回帰平方和 Sβ 交互作用N×β の変動 SN×β SE 𝑉𝑒 = 𝑆 𝑒 𝑉(𝑈 − 1)
- 39. © Hajime Mizuyama 内側直交表と外側直交表 制御因子 x1, x2, ... 信号因子 s （U水準）と（調合） 誤差因子 z1, z2, ... （V水準）の直積 x1, x2, ... s, z1, z2, ... 内側 直交表 外側 直交表 1 2 I 1 2 J = U×V ・ ・ ・ ・ ・ ・
- 40. © Hajime Mizuyama yi1, yi2, ... ..., yiJ 直積実験の結果の解析 内側 直交表 1 2 I ・ ・ ・ x1, x2, ... s,z1,z2,... 外側 直交表 1 2 J=U×V ・ ・ ・ y11, y12, ... ..., yIJ 行ごとに， 回帰分析し 標本SN比と 標本感度を 算出する．
- 41. © Hajime Mizuyama 信号因子 誤差因子 特性値 1 1 y11 1 2 y12 1 3 y13 2 1 y21 2 2 y22 2 3 y23 3 1 y31 3 2 y32 3 3 y33 4 1 y41 4 2 y42 4 3 y43 行ごとの実験データ 信号因子の水準数 U = 4 誤差因子の水準数 V = 3 の場合 これらのデータを図示すると 例えば，下図のようになる． s y
- 42. © Hajime Mizuyama 直積実験の結果の解析 内側 直交表 1 2 I ・ ・ ・ x1, x2, ... s,z1,z2,... 外側 直交表 1 2 J=U×V ・ ・ ・ y11, y12, ... ..., yIJ SN比 感度 1 I i ・ ・ ・ ・ ・ ・ 1 ˆ Iˆ iˆ ・ ・ ・ ・ ・ ・
- 43. © Hajime Mizuyama 直積実験の結果の解析 内側 直交表 1 2 I ・ ・ ・ x1, x2, ... SN比 感度 1 I i ・ ・ ・ ・ ・ ・ SN比に関する 分散分析 感度に関する 分散分析 1 ˆ Iˆ iˆ ・ ・ ・ ・ ・ ・
- 47. © Hajime Mizuyama 内側直交表と外側直交表 制御因子 x1, x2, ... 当該パラメータ（U水準）と （調合）誤差因子（V水準）の直積 x1, x2, ... s, z1, z2, ... 内側 直交表 外側 直交表 1 2 I 1 2 J = U×V ・ ・ ・ ・ ・ ・
- 48. © Hajime Mizuyama 直積実験の計画 各条件でそれぞれ ある回数試行し， エラー発生回数を 記録する． 内側 直交表 1 2 I ・ ・ ・ x1, x2, ... s,z1,z2,... 外側 直交表 1 2 J=U×V ・ ・ ・ 行ごとに 機能窓の SN比を 求める．
- 49. © Hajime Mizuyama パラメータ 誤差因子 下側モード 上側モード 1 1 nL11 nU11 1 2 nL12 nU12 1 3 nL13 nU13 2 1 nL21 nU21 2 2 nL22 nU22 2 3 nL23 nU23 3 1 nL31 nU31 3 2 nL32 nU32 3 3 nL33 nU33 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 行ごとの実験データ パラメータの水準数 U はなるべく多くとる． 左は誤差因子の水準数 V = 3 の場合 所定の試行数のうち， 何回下側，上側の エラーモードが 発生したかを カウントする．
- 50. © Hajime Mizuyama 機能窓のSN比 5 4 3 2 1 0 発 生 回 数 パラメータ 上側エラーモード 下側エラーモード LBv UBv 機能窓のSN比 誤差因子の水準ごとに両モードの境界LB，UBを定義し，それらを 用いて次式で求める（上の例では 5回中2回発生を境界としている）． 𝛾 = −10𝑙𝑜𝑔 1 𝑉 𝐿𝐵𝑣 2 𝑉 𝑣=1 − 10𝑙𝑜𝑔 1 𝑉 1 𝑈𝐵𝑣 2 𝑉 𝑣=1
- 51. © Hajime Mizuyama 直積実験の結果の解析 内側 直交表 1 2 I ・ ・ ・ x1, x2, ... s,z1,z2,... 外側 直交表 1 2 J=U×V ・ ・ ・ y11, y12, ... ..., yIJ SN比 1 I i ・ ・ ・ ・ ・ ・
- 52. © Hajime Mizuyama 直積実験の結果の解析 内側 直交表 1 2 I ・ ・ ・ x1, x2, ... SN比 1 I i ・ ・ ・ ・ ・ ・ SN比に関する 分散分析 SN比ができる だけ大きくなる 設定を採用する