Green function

1. ADVANCED MATHEMATICS
By.Eng. Hamza-Mahmoud-Dahoka 1
GREEN FUNCTION
Example 1:-
𝑥2
𝑦,𝑥𝑥 − 2𝑥𝑦,𝑥 + 2𝑦 = 𝑥3
𝑦(1) = 𝑦,𝑥(1) = 0
Solution
(𝑎 𝑜(𝑥)) = 𝑥2
, (𝑎 𝑜(𝑥)),𝑥
= 2𝑥 , (𝑎1(𝑥)) = −2𝑥
(𝑎 𝑜(𝑥)),𝑥
≠ (𝑎1(𝑥)) ∴ 𝑛𝑜𝑡 𝑠𝑒𝑙𝑓 𝑎𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡
𝑦,𝑥𝑥 −
2
𝑥
𝑦,𝑥 +
2
𝑥2
𝑦 = 𝑥
𝑃(𝑥) = 𝑒∫ −
2
𝑥
𝑑𝑥
=
1
𝑥2
1
𝑥2
𝑦,𝑥𝑥 −
2
𝑥3
𝑦,𝑥 +
2
𝑥4
𝑦 =
1
𝑥
(𝑎 𝑜(𝑥)),𝑥
= (𝑎1(𝑥)) ∴ 𝑠𝑒𝑙𝑓 𝑎𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡
𝑙𝑒𝑡: 𝑥 = 𝑒 𝑡
𝑅(𝑅 − 1) − 2𝑅 + 2 = 0
𝑅2
− 3𝑅 + 2 = 0 ⇒ {
𝑅1 = 1
𝑅2 = 2
𝑦(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑡
+ 𝐵𝑒2𝑡
𝐺(𝑡, 𝑧) = 𝐴(𝑧) 𝑒 𝑡
+ 𝐵(𝑧) 𝑒2𝑡
𝐺(𝑧, 𝑧) = 𝐴(𝑧) 𝑒 𝑧
+ 𝐵(𝑧) 𝑒2𝑧
= 0 ⇒ 𝐴(𝑧) = −𝐵(𝑧) 𝑒 𝑧
𝐺,𝑡(𝑧, 𝑧) = 𝐴(𝑧) 𝑒 𝑧
+ 2𝐵(𝑧) 𝑒2𝑧
= 1 ⇒ − 𝐵(𝑧) 𝑒2𝑧
+ 2𝐵(𝑧) 𝑒2𝑧
= 1
∴ {
𝐴(𝑧) = −𝑒−𝑧
𝐵(𝑧) = 𝑒−2𝑧
𝐺(𝑡, 𝑧) = −𝑒−𝑧
𝑒 𝑡
+ 𝑒−2𝑧
𝑒2𝑡
, 𝑓(𝑧) = 𝑒3𝑧

2. ADVANCED MATHEMATICS
By.Eng. Hamza-Mahmoud-Dahoka 2
𝑦(𝑡) = ∫ 𝐺(𝑡, 𝑧) 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧
𝑡
0
𝑦(𝑡) = −𝑒 𝑡
∫ 𝑒2𝑧
𝑑𝑧
𝑡
0
+ 𝑒2𝑡
∫ 𝑒 𝑧
𝑑𝑧
𝑡
0
𝑦(𝑡) = −
𝑒 𝑡
2
(𝑒2𝑧|0
𝑡 ) + 𝑒2𝑡(𝑒 𝑧|0
𝑡 )
𝑦(𝑡) =
𝑒3𝑡
2
+
𝑒 𝑡
2
− 𝑒2𝑡
𝑙𝑒𝑡: 𝑡 = 𝑙𝑛(𝑥)
𝑦( 𝑥) =
𝑥3
2
+
𝑥
2
− 𝑥2

3. ADVANCED MATHEMATICS
By.Eng. Hamza-Mahmoud-Dahoka 3
Example1-1:-
𝑥2
𝑦,𝑥𝑥 − 2𝑥𝑦,𝑥 + 2𝑦 = 𝑥3
𝑦(1) = 𝑦,𝑥(1) = 0
Solution
(𝑎 𝑜(𝑥)) = 𝑥2
, (𝑎 𝑜(𝑥)),𝑥
= 2𝑥 , (𝑎1(𝑥)) = −2𝑥
(𝑎 𝑜(𝑥)),𝑥
≠ (𝑎1(𝑥)) ∴ 𝑛𝑜𝑡 𝑠𝑒𝑙𝑓 𝑎𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡
𝑦,𝑥𝑥 −
2
𝑥
𝑦,𝑥 +
2
𝑥2
𝑦 = 𝑥
𝑃(𝑥) = 𝑒∫ −
2
𝑥
𝑑𝑥
=
1
𝑥2
1
𝑥2
𝑦,𝑥𝑥 −
2
𝑥3
𝑦,𝑥 +
2
𝑥4
𝑦 =
1
𝑥
(𝑎 𝑜(𝑥)),𝑥
= (𝑎1(𝑥)) ∴ 𝑠𝑒𝑙𝑓 𝑎𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡
𝑙𝑒𝑡: 𝑥 = 𝑒 𝑡
𝑅(𝑅 − 1) − 2𝑅 + 2 = 0
𝑅2
− 3𝑅 + 2 = 0 ⇒ {
𝑅1 = 1
𝑅2 = 2
𝑦(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑡
+ 𝐵𝑒2𝑡
𝑙𝑒𝑡: 𝑡 = 𝑙𝑛(𝑥)
𝑦(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥2
𝐺(𝑥, 𝑧) = 𝐴(𝑧) 𝑥 + 𝐵(𝑧) 𝑥2
𝐺(𝑧, 𝑧) = 𝐴(𝑧) 𝑧 + 𝐵(𝑧) 𝑧2
= 0 ⇒ 𝐴(𝑧) = −𝐵(𝑧) 𝑧
𝐺,𝑥(𝑧, 𝑧) = 𝐴(𝑧) + 2𝐵(𝑧) 𝑧 = 1 ⇒ − 𝐵(𝑧) 𝑧 + 2𝐵(𝑧) 𝑧 = 1
∴ {
𝐴(𝑧) = −1
𝐵(𝑧) =
1
𝑧

4. ADVANCED MATHEMATICS
By.Eng. Hamza-Mahmoud-Dahoka 4
𝐺(𝑡, 𝑧) = −𝑥 +
𝑥2
𝑧
, 𝑓(𝑧) = 𝑧
𝑦(𝑡) = ∫ 𝐺(𝑡, 𝑧) 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧
𝑥
1
𝑦(𝑡) = −𝑥 ∫ 𝑧 𝑑𝑧
𝑥
1
+ 𝑥2
∫ 1 𝑑𝑧
𝑥
1
𝑦(𝑡) = −
𝑥
2
(𝑧2|0
𝑡 ) + 𝑥2(𝑧|0
𝑡 )
𝑦( 𝑥) =
𝑥3
2
+
𝑥
2
− 𝑥2
𝑀𝐴𝑇𝐿𝐴𝐵
|
≫ 𝑦 = 𝑑𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒( ′
𝑥^2 ∗ 𝐷2𝑦 − 2 ∗ 𝑥 ∗ 𝐷𝑦 + 2 ∗ 𝑦 = 𝑥^2′
, ′
𝑦(1) = 0′
, ′
𝐷𝑦(1) = 0′
,′
𝑥′)
≫ 𝑦 = 𝑥^3 2⁄ + 𝑥 2⁄ − 𝑥^2
Example 2:-
𝑥2
𝑦,𝑥𝑥 + 𝑥𝑦,𝑥 − 𝑦 = 𝑥2
𝑦(1) = 𝑦,𝑥(1) = 0
Solution
(𝑎 𝑜(𝑥)) = 𝑥2
, (𝑎 𝑜(𝑥)),𝑥
= 2𝑥 , (𝑎1(𝑥)) = 𝑥
(𝑎 𝑜(𝑥)),𝑥
≠ (𝑎1(𝑥)) ∴ 𝑛𝑜𝑡 𝑠𝑒𝑙𝑓 𝑎𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡
𝑦,𝑥𝑥 +
1
𝑥
𝑦,𝑥 −
1
𝑥2
𝑦 = 1
𝑃(𝑥) = 𝑒∫
1
𝑥
𝑑𝑥
= 𝑥
𝑥𝑦,𝑥𝑥 + 𝑦,𝑥 −
1
𝑥
𝑦 =
1
𝑥

5. ADVANCED MATHEMATICS
By.Eng. Hamza-Mahmoud-Dahoka 5
(𝑎 𝑜(𝑥)),𝑥
= (𝑎1(𝑥)) ∴ 𝑠𝑒𝑙𝑓 𝑎𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡
𝑙𝑒𝑡: 𝑥 = 𝑒 𝑡
𝑅(𝑅 − 1) + 𝑅 − 1 = 0
𝑅2
− 1 = 0 ⇒ {
𝑅1 = 1
𝑅2 = −1
𝑦(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑡
+ 𝐵𝑒−𝑡
𝐺(𝑡, 𝑧) = 𝐴(𝑧) 𝑒 𝑡
+ 𝐵(𝑧) 𝑒−𝑡
𝐺(𝑧, 𝑧) = 𝐴(𝑧) 𝑒 𝑧
+ 𝐵(𝑧) 𝑒−𝑧
= 0 ⇒ 𝐴(𝑧) = −𝐵(𝑧) 𝑒−2𝑧
𝐺,𝑡(𝑧, 𝑧) = 𝐴(𝑧) 𝑒 𝑧
− 𝐵(𝑧) 𝑒−𝑧
= 1 ⇒ − 𝐵(𝑧) 𝑒−𝑧
− 𝐵(𝑧) 𝑒−𝑧
= 1
∴ {
𝐴(𝑧) = 𝑒−𝑧
2⁄
𝐵(𝑧) = −𝑒 𝑧
2⁄
𝐺(𝑡, 𝑧) =
1
2
𝑒−𝑧
𝑒 𝑡
−
1
2
𝑒 𝑧
𝑒−𝑡
, 𝑓(𝑧) = 𝑒2𝑧
𝑦(𝑡) = ∫ 𝐺(𝑡, 𝑧) 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧
𝑡
0
𝑦(𝑡) =
𝑒 𝑡
2
∫ 𝑒 𝑧
𝑑𝑧
𝑡
0
−
𝑒−𝑡
2
∫ 𝑒3𝑧
𝑑𝑧
𝑡
0
𝑦(𝑡) =
𝑒 𝑡
2
(𝑒 𝑧|0
𝑡 ) −
𝑒−𝑡
6
(𝑒3𝑧|0
𝑡 )
𝑦(𝑡) =
𝑒2𝑡
3
−
𝑒 𝑡
2
+
1
6𝑒 𝑡
𝑙𝑒𝑡: 𝑡 = 𝑙𝑛(𝑥)
𝑦(𝑥) =
𝑥2
3
+
1
6𝑥
−
𝑥
2
𝑦( 𝑥) = 𝑥 (
𝑥
3
+
1
6𝑥2
) −
𝑥
2

6. ADVANCED MATHEMATICS
By.Eng. Hamza-Mahmoud-Dahoka 6
Example 2-1:-
𝑥2
𝑦,𝑥𝑥 + 𝑥𝑦,𝑥 − 𝑦 = 𝑥2
𝑦(1) = 𝑦,𝑥(1) = 0
Solution
(𝑎 𝑜(𝑥)) = 𝑥2
, (𝑎 𝑜(𝑥)),𝑥
= 2𝑥 , (𝑎1(𝑥)) = 𝑥
(𝑎 𝑜(𝑥)),𝑥
≠ (𝑎1(𝑥)) ∴ 𝑛𝑜𝑡 𝑠𝑒𝑙𝑓 𝑎𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡
𝑦,𝑥𝑥 +
1
𝑥
𝑦,𝑥 −
1
𝑥2
𝑦 = 1
𝑃(𝑥) = 𝑒∫
1
𝑥
𝑑𝑥
= 𝑥
𝑥𝑦,𝑥𝑥 + 𝑦,𝑥 −
1
𝑥
𝑦 =
1
𝑥
(𝑎 𝑜(𝑥)),𝑥
= (𝑎1(𝑥)) ∴ 𝑠𝑒𝑙𝑓 𝑎𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡
𝑙𝑒𝑡: 𝑥 = 𝑒 𝑡
𝑅(𝑅 − 1) + 𝑅 − 1 = 0
𝑅2
− 1 = 0 ⇒ {
𝑅1 = 1
𝑅2 = −1
𝑦(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑡
+ 𝐵𝑒−𝑡
𝑙𝑒𝑡: 𝑡 = 𝑙𝑛(𝑥)
𝑦(𝑥) = 𝐴𝑥 +
𝐵
𝑥
𝐺(𝑥, 𝑧) = 𝐴(𝑧) 𝑥 +
𝐵(𝑧)
𝑥
𝐺(𝑧, 𝑧) = 𝐴(𝑧) 𝑧 +
𝐵(𝑧)
𝑧
= 0 ⇒ 𝐴(𝑧) = −
𝐵(𝑧)
𝑧2
𝐺,𝑥(𝑧, 𝑧) = 𝐴(𝑧) −
𝐵(𝑧)
𝑧2
= 1 ⇒ −
𝐵(𝑧)
𝑧2
−
𝐵(𝑧)
𝑧2
= 1

7. ADVANCED MATHEMATICS
By.Eng. Hamza-Mahmoud-Dahoka 7
∴
{
𝐴(𝑧) =
1
2
𝐵(𝑧) = −
𝑧2
2
𝐺(𝑡, 𝑧) =
𝑥
2
−
𝑧2
2𝑥
, 𝑓(𝑧) = 1
𝑦(𝑡) = ∫ 𝐺(𝑡, 𝑧) 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧
𝑥
1
𝑦(𝑡) =
𝑥
2
∫ 1 𝑑𝑧
𝑥
1
−
1
2𝑥
∫ 𝑧2
𝑑𝑧
𝑥
1
𝑦(𝑡) =
𝑥
2
(𝑧|0
𝑡 ) −
1
6𝑥
(𝑧3|0
𝑡 )
𝑦(𝑥) =
𝑥
2
(𝑥 − 1) −
1
6𝑥
(𝑥3
− 1)
𝑦(𝑥) =
𝑥2
3
+
1
6𝑥
−
𝑥
2
𝑦( 𝑥) = 𝑥 (
𝑥
3
+
1
6𝑥2
) −
𝑥
2
𝑀𝐴𝑇𝐿𝐴𝐵
|
≫ 𝑦 = 𝑑𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒( ′
𝑥^2 ∗ 𝐷2𝑦 + 𝑥 ∗ 𝐷𝑦 − 𝑦 = 𝑥^2′
, ′
𝑦(1) = 0′
, ′
𝐷𝑦(1) = 0′
,′
𝑥′)
≫ 𝑦 = 𝑥 ∗ (𝑥 3⁄ + 1 (6 ∗ 𝑥^2)⁄ ) − 𝑥 2⁄

8. ADVANCED MATHEMATICS
By.Eng. Hamza-Mahmoud-Dahoka 8
Example 3:-
𝑥2
𝑦,𝑥𝑥 − 2𝑥𝑦,𝑥 + 2𝑦 = 2
𝑦(1) = 𝑦(2) = 0
Solution
(𝑎 𝑜(𝑥)) = 𝑥2
, (𝑎 𝑜(𝑥)),𝑥
= 2𝑥 , (𝑎1(𝑥)) = −2𝑥
(𝑎 𝑜(𝑥)),𝑥
≠ (𝑎1(𝑥)) ∴ 𝑛𝑜𝑡 𝑠𝑒𝑙𝑓 𝑎𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡
𝑦,𝑥𝑥 −
2
𝑥
𝑦,𝑥 +
2
𝑥2
𝑦 =
2
𝑥2
𝑃(𝑥) = 𝑒∫ −
2
𝑥
𝑑𝑥
=
1
𝑥2
1
𝑥2
𝑦,𝑥𝑥 −
2
𝑥3
𝑦,𝑥 +
2
𝑥4
𝑦 =
1
𝑥4
(𝑎 𝑜(𝑥)),𝑥
= (𝑎1(𝑥)) ∴ 𝑠𝑒𝑙𝑓 𝑎𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡
𝑙𝑒𝑡: 𝑥 = 𝑒 𝑡
𝑅(𝑅 − 1) − 2𝑅 + 2 = 0
𝑅2
− 3𝑅 + 2 = 0 ⇒ {
𝑅1 = 1
𝑅2 = 2
𝑦ℎ(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑡
+ 𝐵𝑒2𝑡
𝐺(𝑡, 𝑧) = 𝐴(𝑧) 𝑒 𝑡
+ 𝐵(𝑧) 𝑒2𝑡
𝐺(𝑧, 𝑧) = 𝐴(𝑧) 𝑒 𝑧
+ 𝐵(𝑧) 𝑒2𝑧
= 0 ⇒ 𝐴(𝑧) = −𝐵(𝑧) 𝑒 𝑧
𝐺,𝑡(𝑧, 𝑧) = 𝐴(𝑧) 𝑒 𝑧
+ 2𝐵(𝑧) 𝑒2𝑧
= 1 ⇒ − 𝐵(𝑧) 𝑒2𝑧
+ 2𝐵(𝑧) 𝑒2𝑧
= 1
∴ {
𝐴(𝑧) = −𝑒−𝑧
𝐵(𝑧) = 𝑒−2𝑧
𝐺(𝑡, 𝑧) = −𝑒−𝑧
𝑒 𝑡
+ 𝑒−2𝑧
𝑒2𝑡
, 𝑓(𝑧) = 2

9. ADVANCED MATHEMATICS
By.Eng. Hamza-Mahmoud-Dahoka 9
𝑦(𝑡) = ∫ 𝐺(𝑡, 𝑧) 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧
𝑡
0
𝑦(𝑡) = −2𝑒 𝑡
∫ 𝑒−𝑧
𝑑𝑧
𝑡
0
+ 2𝑒2𝑡
∫ 𝑒−2𝑧
𝑑𝑧
𝑡
0
𝑦(𝑡) = 2𝑒 𝑡(𝑒−𝑧|0
𝑡 ) − 𝑒2𝑡(𝑒−2𝑧|0
𝑡 )
2𝑒 𝑡(𝑒−𝑡
− 1) − 𝑒2𝑡(𝑒−2𝑡
− 1)
2 − 2𝑒 𝑡
− 1 + 𝑒2𝑡
𝑦𝑝(𝑡) = 𝑒2𝑡
− 2𝑒 𝑡
+ 1
𝑦(𝑡) = 𝑦ℎ(𝑡) + 𝑦𝑝(𝑡)
𝑦(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑡
+ 𝐵𝑒2𝑡
+ 𝑒2𝑡
− 2𝑒 𝑡
+ 1
𝑙𝑒𝑡: 𝑡 = 𝑙𝑛(𝑥)
𝑦(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥2
+ 𝑥2
− 2𝑥 + 1
𝑦(1) = 𝐴 + 𝐵 + 1 − 2 + 1 = 0 ⇒ 𝐴 = −𝐵
𝑦(2) = 2𝐴 + 4𝐵 + 4 − 4 + 1 = 0
−2𝐵 + 4𝐵 = −1 ⇒ 𝐵 = −
1
2
, 𝐴 =
1
2
𝑦(𝑥) =
1
2
𝑥 −
1
2
𝑥2
+ 𝑥2
− 2𝑥 + 1
𝑦( 𝑥) =
𝑥2
2
−
3𝑥
2
+ 1
𝑀𝐴𝑇𝐿𝐴𝐵
|
≫ 𝑦 = 𝑑𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒( ′
𝑥^2 ∗ 𝐷2𝑦 − 2 ∗ 𝑥 ∗ 𝐷𝑦 + 2 ∗ 𝑦 = 2′
, ′
𝑦(1) = 0′
, ′
𝑦(2) = 0′
,′
𝑥′)
≫ 𝑦 = 𝑥2
2⁄ − 3 ∗ 𝑥 2⁄ + 1

10. ADVANCED MATHEMATICS
By.Eng. Hamza-Mahmoud-Dahoka 10
Example 4:-
𝑥2
𝑦,𝑥𝑥 − 2𝑥𝑦,𝑥 + 2𝑦 = 2𝑥3
𝑦(2) = 0 , 𝑦(3) = 6
Solution
(𝑎 𝑜(𝑥)) = 𝑥2
, (𝑎 𝑜(𝑥)),𝑥
= 2𝑥 , (𝑎1(𝑥)) = −2𝑥
(𝑎 𝑜(𝑥)),𝑥
≠ (𝑎1(𝑥)) ∴ 𝑛𝑜𝑡 𝑠𝑒𝑙𝑓 𝑎𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡
𝑦,𝑥𝑥 −
2
𝑥
𝑦,𝑥 +
2
𝑥2
𝑦 =
2
𝑥2
𝑃(𝑥) = 𝑒∫ −
2
𝑥
𝑑𝑥
=
1
𝑥2
1
𝑥2
𝑦,𝑥𝑥 −
2
𝑥3
𝑦,𝑥 +
2
𝑥4
𝑦 =
1
𝑥4
(𝑎 𝑜(𝑥)),𝑥
= (𝑎1(𝑥)) ∴ 𝑠𝑒𝑙𝑓 𝑎𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡
𝑙𝑒𝑡: 𝑥 = 𝑒 𝑡
𝑅(𝑅 − 1) − 2𝑅 + 2 = 0
𝑅2
− 3𝑅 + 2 = 0 ⇒ {
𝑅1 = 1
𝑅2 = 2
𝑦ℎ(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑡
+ 𝐵𝑒2𝑡
𝐺(𝑡, 𝑧) = 𝐴(𝑧) 𝑒 𝑡
+ 𝐵(𝑧) 𝑒2𝑡
𝐺(𝑧, 𝑧) = 𝐴(𝑧) 𝑒 𝑧
+ 𝐵(𝑧) 𝑒2𝑧
= 0 ⇒ 𝐴(𝑧) = −𝐵(𝑧) 𝑒 𝑧
𝐺,𝑡(𝑧, 𝑧) = 𝐴(𝑧) 𝑒 𝑧
+ 2𝐵(𝑧) 𝑒2𝑧
= 1 ⇒ − 𝐵(𝑧) 𝑒2𝑧
+ 2𝐵(𝑧) 𝑒2𝑧
= 1
∴ {
𝐴(𝑧) = −𝑒−𝑧
𝐵(𝑧) = 𝑒−2𝑧
𝐺(𝑡, 𝑧) = −𝑒−𝑧
𝑒 𝑡
+ 𝑒−2𝑧
𝑒2𝑡
, 𝑓(𝑧) = 2𝑒3𝑧

11. ADVANCED MATHEMATICS
By.Eng. Hamza-Mahmoud-Dahoka 11
𝑦(𝑡) = ∫ 𝐺(𝑡, 𝑧) 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧
𝑡
0
𝑦𝑝(𝑡) = −2𝑒 𝑡
∫ 𝑒2𝑧
𝑑𝑧
𝑡
0
+ 2𝑒2𝑡
∫ 𝑒 𝑧
𝑑𝑧
𝑡
0
𝑦𝑝(𝑡) = −𝑒 𝑡(𝑒2𝑧|0
𝑡 ) + 2𝑒2𝑡(𝑒 𝑧|0
𝑡 )
𝑦𝑝(𝑡) = −𝑒 𝑡(𝑒2𝑡
− 1) + 2𝑒2𝑡(𝑒 𝑡
− 1)
𝑦𝑝(𝑡) = −𝑒3𝑡
+ 𝑒 𝑡
+ 2𝑒3𝑡
− 2𝑒2𝑡
𝑦𝑝(𝑡) = 𝑒3𝑡
− 2𝑒2𝑡
+ 𝑒 𝑡
𝑦(𝑡) = 𝑦ℎ(𝑡) + 𝑦𝑝(𝑡)
𝑦(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑡
+ 𝐵𝑒2𝑡
+ 𝑒3𝑡
− 2𝑒2𝑡
+ 𝑒 𝑡
𝑙𝑒𝑡: 𝑡 = 𝑙𝑛(𝑥)
𝑦(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥2
+ 𝑥3
− 2𝑥2
+ 𝑥
𝑦(2) = 2𝐴 + 4𝐵 + 8 − 8 + 2 = 0 ⇒ 2𝐴 + 4𝐵 = −2 → (1)
𝑦(3) = 3𝐴 + 9𝐵 + 27 − 18 + 3 = 6 ⇒ 3𝐴 + 9𝐵 = −6 → (2)
∴ 𝐴 = 1 , 𝐵 = −1
𝑦(𝑥) = 𝑥 − 𝑥2
+ 𝑥3
− 2𝑥2
+ 𝑥
𝑦( 𝑥) = 𝑥3
− 3𝑥2
+ 2𝑥
𝑀𝐴𝑇𝐿𝐴𝐵
|
≫ 𝑦 = 𝑑𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒( ′
𝑥^2 ∗ 𝐷2𝑦 − 2 ∗ 𝑥 ∗ 𝐷𝑦 + 2 ∗ 𝑦 = 2𝑥^3′
, ′
𝑦(2) = 0′
, ′
𝑦(3) = 6′
,′
𝑥′)
≫ 𝑦 = 𝑥^3 − 3 ∗ 𝑥^2 + 2 ∗ 𝑥

12. ADVANCED MATHEMATICS
By.Eng. Hamza-Mahmoud-Dahoka 12
Example 5:-
𝑥2
𝑦,𝑥𝑥 − 6 = 6𝑥
𝑦(1) = −1 , 𝑦(2) = 29
Solution
𝑙𝑒𝑡: 𝑥 = 𝑒 𝑡
𝑅(𝑅 − 1) − 6 = 0
𝑅2
− 𝑅 − 6 = 0 ⇒ {
𝑅1 = 3
𝑅2 = −2
𝑦ℎ(𝑡) = 𝐴𝑒3𝑡
+ 𝐵𝑒−2𝑡
𝐺(𝑡, 𝑧) = 𝐴(𝑧) 𝑒3𝑡
+ 𝐵(𝑧) 𝑒−2𝑡
𝐺(𝑧, 𝑧) = 𝐴(𝑧) 𝑒3𝑧
+ 𝐵(𝑧) 𝑒−2𝑧
= 0 ⇒ 𝐴(𝑧) = −𝐵(𝑧) 𝑒−5𝑧
𝐺,𝑡(𝑧, 𝑧) = 3𝐴(𝑧) 𝑒3𝑧
− 2𝐵(𝑧) 𝑒−2𝑧
= 1
= −𝐵(𝑧) 𝑒2𝑧
+ 2𝐵(𝑧) 𝑒2𝑧
= 1
∴
{
𝐴(𝑧) =
𝑒−3𝑧
5
𝐵(𝑧) = −
𝑒2𝑧
5
𝐺(𝑡, 𝑧) =
𝑒−3𝑧
5
𝑒3𝑡
−
𝑒2𝑧
5
𝑒−2𝑡
, 𝑓(𝑧) = 6𝑒 𝑧
𝑦(𝑡) = ∫ 𝐺(𝑡, 𝑧) 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧
𝑡
0
𝑦𝑝(𝑡) =
6
5
𝑒3𝑡
∫ 𝑒−2𝑧
𝑑𝑧
𝑡
0
−
6
5
𝑒−2𝑡
∫ 𝑒3𝑧
𝑑𝑧
𝑡
0
𝑦𝑝(𝑡) = −
6
10
𝑒3𝑡(𝑒−2𝑧|0
𝑡 ) −
6
15
𝑒−2𝑡(𝑒3𝑧|0
𝑡 )

13. ADVANCED MATHEMATICS
By.Eng. Hamza-Mahmoud-Dahoka 13
𝑦𝑝(𝑡) = −
6
10
𝑒3𝑡(𝑒−2𝑡
− 1) −
6
15
𝑒−2𝑡(𝑒3𝑡
− 1)
𝑦𝑝(𝑡) = −
3
5
𝑒 𝑡
−
3
5
𝑒3𝑡
+
2
5
𝑒 𝑡
+
2
5
𝑒−2𝑡
𝑦𝑝(𝑡) = −𝑒 𝑡
−
3
5
𝑒3𝑡
+
2
5
𝑒−2𝑡
𝑦(𝑡) = 𝑦ℎ(𝑡) + 𝑦𝑝(𝑡)
𝑦(𝑡) = 𝐴𝑒3𝑡
+ 𝐵𝑒−2𝑡
− 𝑒 𝑡
−
3
5
𝑒3𝑡
+
2
5
𝑒−2𝑡
𝑙𝑒𝑡: 𝑡 = 𝑙𝑛(𝑥)
𝑦(𝑥) = 𝐴𝑥3
+
𝐵
𝑥2
− 𝑥 −
3
5
𝑥3
+
2
5𝑥2
𝑦(1) = 𝐴 + 𝐵 − 1 −
3
5
+
2
5
= −1 ⇒ 𝐴 =
1
5
− 𝐵 → (1)
𝑦(2) = 8𝐴 +
𝐵
4
− 2 −
24
5
+
2
20
= 29
= 8 (
1
5
− 𝐵) +
𝐵
4
− 2 −
24
5
+
2
20
= 29 → × 20
∴ 𝐵 = −
682
155
⇒ 𝐴 =
713
155
𝑦(𝑥) =
713
155
𝑥3
−
682
155𝑥2
− 𝑥 −
3
5
𝑥3
+
2
5𝑥2
𝑦( 𝑥) = 4𝑥3
−
4
𝑥2
− 𝑥
𝑀𝐴𝑇𝐿𝐴𝐵
|
≫ 𝑦 = 𝑑𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒( ′
𝑥^2 ∗ 𝐷2𝑦 − 6 ∗ 𝑦 = 6 ∗ 𝑥′
, ′
𝑦(2) = 0′
, ′
𝑦(3) = 6′
,′
𝑥′)
≫ 𝑦 = 4 ∗ 𝑥^3 − 4 𝑥^2⁄ − 𝑥

14. ADVANCED MATHEMATICS
By.Eng. Hamza-Mahmoud-Dahoka 14
Example 6:-
𝑥2
𝑦,𝑥𝑥 − 2𝑥𝑦,𝑥 + 2𝑦 =
6
𝑥
𝑦(1) = 1 , 𝑦(2) =
1
2
Solution
(𝑎 𝑜(𝑥)) = 𝑥2
, (𝑎 𝑜(𝑥)),𝑥
= 2𝑥 , (𝑎1(𝑥)) = −2𝑥
(𝑎 𝑜(𝑥)),𝑥
≠ (𝑎1(𝑥)) ∴ 𝑛𝑜𝑡 𝑠𝑒𝑙𝑓 𝑎𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡
𝑦,𝑥𝑥 −
2
𝑥
𝑦,𝑥 +
2
𝑥2
𝑦 =
2
𝑥2
𝑃(𝑥) = 𝑒∫ −
2
𝑥
𝑑𝑥
=
1
𝑥2
1
𝑥2
𝑦,𝑥𝑥 −
2
𝑥3
𝑦,𝑥 +
2
𝑥4
𝑦 =
1
𝑥4
(𝑎 𝑜(𝑥)),𝑥
= (𝑎1(𝑥)) ∴ 𝑠𝑒𝑙𝑓 𝑎𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡
𝑙𝑒𝑡: 𝑥 = 𝑒 𝑡
𝑅(𝑅 − 1) − 2𝑅 + 2 = 0
𝑅2
− 3𝑅 + 2 = 0 ⇒ {
𝑅1 = 2
𝑅2 = 1
𝑦ℎ(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑡
+ 𝐵𝑒2𝑡
𝐺(𝑡, 𝑧) = 𝐴(𝑧) 𝑒 𝑡
+ 𝐵(𝑧) 𝑒2𝑡
𝐺(𝑧, 𝑧) = 𝐴(𝑧) 𝑒2𝑧
+ 𝐵(𝑧) 𝑒 𝑧
= 0 ⇒ 𝐴(𝑧) = −𝐵(𝑧) 𝑒−𝑧
𝐺,𝑡(𝑧, 𝑧) = 2𝐴(𝑧) 𝑒 𝑧
+ 𝐵(𝑧) 𝑒2𝑧
= 1 ⇒ − 2𝐵(𝑧) 𝑒 𝑧
+ 𝐵(𝑧) 𝑒 𝑧
= 1
∴ {
𝐴(𝑧) = 𝑒−2𝑧
𝐵(𝑧) = −𝑒−𝑧
𝐺(𝑡, 𝑧) = 𝑒−2𝑧
𝑒2𝑡
− 𝑒−𝑧
𝑒 𝑡
, 𝑓(𝑧) = 6𝑒−𝑧

15. ADVANCED MATHEMATICS
By.Eng. Hamza-Mahmoud-Dahoka 15
𝑦(𝑡) = ∫ 𝐺(𝑡, 𝑧) 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧
𝑡
0
𝑦𝑝(𝑡) = 6𝑒2𝑡
∫ 𝑒−3𝑧
𝑑𝑧
𝑡
0
− 6𝑒 𝑡
∫ 𝑒−2𝑧
𝑑𝑧
𝑡
0
𝑦𝑝(𝑡) = −2𝑒2𝑡(𝑒−3𝑧|0
𝑡 ) − 3𝑒 𝑡(𝑒−2𝑧|0
𝑡 )
𝑦𝑝(𝑡) = −2𝑒−2𝑡(𝑒−3𝑡
− 1) + 𝑒 𝑡(𝑒2𝑡
− 1)
𝑦𝑝(𝑡) = −2𝑒−𝑡
+ 2𝑒2𝑡
+ 3𝑒−𝑡
+ 3𝑒 𝑡
𝑦𝑝(𝑡) = 2𝑒2𝑡
+ 𝑒−𝑡
+ 3𝑒 𝑡
𝑦(𝑡) = 𝑦ℎ(𝑡) + 𝑦𝑝(𝑡)
𝑦(𝑡) = 𝐴𝑒2𝑡
+ 𝐵𝑒 𝑡
+ 2𝑒2𝑡
+ 𝑒−𝑡
+ 3𝑒 𝑡
𝑙𝑒𝑡: 𝑡 = 𝑙𝑛(𝑥)
𝑦(𝑥) = 𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑥 + 2𝑥2
+
1
𝑥
+ 3𝑥
𝑦(1) = 𝐴 + 𝐵 + 2 + 1 + 3 = 1 ⇒ 𝐴 + 𝐵 = −5 → (1)
𝑦(2) = 4𝐴 + 2𝐵 + 8 +
1
2
+ 6 = 0 ⇒ 2𝐴 + 4𝐵 = −14 → (2)
∴ 𝐴 = −2 , 𝐵 = −3
𝑦( 𝑥) =
1
𝑥
𝑀𝐴𝑇𝐿𝐴𝐵
|
≫ 𝑦 = 𝑑𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒( ′
𝑥^2 ∗ 𝐷2𝑦 − 2 ∗ 𝑥 ∗ 𝐷𝑦 + 2 ∗ 𝑦 = 6 𝑥⁄ ′
, ′
𝑦(1) = 1′
, ′
𝑦(2) = 0.5′
,′
𝑥′
)
≫ 𝑦 = 1 𝑥⁄

16. ADVANCED MATHEMATICS
By.Eng. Hamza-Mahmoud-Dahoka 16
Use Laplace transform
𝑥2
𝑦,𝑥𝑥 − 2𝑥𝑦,𝑥 + 2𝑦 =
6
𝑥
𝑦(1) = 1 , 𝑦(2) =
1
2
Solution
𝑙𝑒𝑡: 𝑥 = 𝑒 𝑡
𝑅(𝑅 − 1) − 2𝑅 + 2 = 0
𝑅2
− 3𝑅 + 2 = 0 ⇒ {
𝑅1 = 2
𝑅2 = 1
𝑦ℎ(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑡
+ 𝐵𝑒2𝑡
𝑦,𝑡𝑡 − 3𝑦,𝑡 + 2𝑦 = 6𝑒−𝑡
(𝑠2
− 3𝑠 + 2)𝑦(𝑠) =
6
(𝑠 + 1)
𝑦(𝑠) =
6
(𝑠 + 1)(𝑠 − 2)(𝑠 − 1)
6
(𝑠 + 1)(𝑠 − 2)(𝑠 − 1)
=
𝐴
(𝑠 + 1)
+
𝐵
(𝑠 − 2)
+
𝐶
(𝑠 − 1)
𝐴𝑠2
− 3𝐴𝑠 + 2𝐴 + 𝐵𝑠2
− 𝐵 + 𝐶𝑠2
− 𝐶𝑠 − 2𝑐 = 6
𝐴 = 1 , 𝐵 = 2 , 𝐶 = −3
𝑦(𝑠) =
1
(𝑠 + 1)
+
2
(𝑠 − 2)
−
3
(𝑠 − 1)
𝑦(𝑡) = 𝑒−𝑡
+ 2𝑒2𝑡
− 3𝑒 𝑡
𝑙𝑒𝑡: 𝑡 = 𝑙𝑛(𝑥)
𝑦𝑝(𝑥) = 2𝑥2
+
1
𝑥
− 3𝑥

17. ADVANCED MATHEMATICS
By.Eng. Hamza-Mahmoud-Dahoka 17
𝑦(𝑥) = 𝑦ℎ(𝑥) + 𝑦𝑝(𝑥)
𝑦(𝑥) = 𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑥 + 2𝑥2
+
1
𝑥
− 3𝑥
𝑦(1) = 1 ⇒ 𝐴 + 𝐵 = 1
𝑦(2) =
1
2
⇒ 4𝐴 + 2𝐵 = −2
𝐴 = −2 , 𝐵 = 3
𝑦( 𝑥) =
1
𝑥
Use variation of parameter method
𝑥2
𝑦,𝑥𝑥 − 2𝑥𝑦,𝑥 + 2𝑦 =
6
𝑥
𝑦(1) = 1 , 𝑦(2) =
1
2
Solution
𝑙𝑒𝑡: 𝑥 = 𝑒 𝑡
𝑅(𝑅 − 1) − 2𝑅 + 2 = 0
𝑅2
− 3𝑅 + 2 = 0 ⇒ {
𝑅1 = 2
𝑅2 = 1
𝑦ℎ(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑡
+ 𝐵𝑒2𝑡
𝑤 = | 𝑒 𝑡
𝑒2𝑡
𝑒 𝑡
2𝑒2𝑡| = 𝑒3𝑡
𝑢1̀ =
| 0 𝑒2𝑡
6𝑒−𝑡
2𝑒2𝑡|
𝑒3𝑡
= −6𝑒−2𝑡
𝑢1 = ∫ −6𝑒−2𝑡
𝑑𝑡 = 3𝑒−2𝑡

18. ADVANCED MATHEMATICS
By.Eng. Hamza-Mahmoud-Dahoka 18
𝑢2̀ =
| 𝑒 𝑡
0
𝑒 𝑡
6𝑒−𝑡|
𝑒3𝑡
= 6𝑒−3𝑡
𝑢2 = ∫ 6𝑒−3𝑡
𝑑𝑡 = −2𝑒−3𝑡
𝑦𝑝(𝑡) = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 = 𝑒−𝑡
𝑦(𝑡) = 𝑦ℎ(𝑡) + 𝑦𝑝(𝑡)
𝑦(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑡
+ 𝐵𝑒2𝑡
+ 𝑒−𝑡
𝑙𝑒𝑡 𝑡 = ln(𝑥)
𝑦(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥2
+
1
𝑥
𝑦(1) ⇒ 𝐴 = −𝐵
𝑦(2) ⇒ 𝐵 = 0 ∴ 𝐴 = 0
𝑦( 𝑥) =
1
𝑥

19. ADVANCED MATHEMATICS
By.Eng. Hamza-Mahmoud-Dahoka 19
Example 7:-
𝑥2
𝑦,𝑥𝑥 − 2𝑥𝑦,𝑥 + 2𝑦 = 12𝑥5
𝑦(1) = 0 , 𝑦(2) = 0
Solution
(𝑎 𝑜(𝑥)) = 𝑥2
, (𝑎 𝑜(𝑥)),𝑥
= 2𝑥 , (𝑎1(𝑥)) = −2𝑥
(𝑎 𝑜(𝑥)),𝑥
≠ (𝑎1(𝑥)) ∴ 𝑛𝑜𝑡 𝑠𝑒𝑙𝑓 𝑎𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡
𝑦,𝑥𝑥 −
2
𝑥
𝑦,𝑥 +
2
𝑥2
𝑦 =
2
𝑥2
𝑃(𝑥) = 𝑒∫ −
2
𝑥
𝑑𝑥
=
1
𝑥2
1
𝑥2
𝑦,𝑥𝑥 −
2
𝑥3
𝑦,𝑥 +
2
𝑥4
𝑦 =
1
𝑥4
(𝑎 𝑜(𝑥)),𝑥
= (𝑎1(𝑥)) ∴ 𝑠𝑒𝑙𝑓 𝑎𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡
𝑙𝑒𝑡: 𝑥 = 𝑒 𝑡
𝑅(𝑅 − 1) − 2𝑅 + 2 = 0
𝑅2
− 3𝑅 + 2 = 0 ⇒ {
𝑅1 = 1
𝑅2 = 2
𝑦ℎ(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑡
+ 𝐵𝑒2𝑡
𝐺(𝑡, 𝑧) = 𝐴(𝑧) 𝑒 𝑡
+ 𝐵(𝑧) 𝑒2𝑡
𝐺(𝑧, 𝑧) = 𝐴(𝑧) 𝑒 𝑧
+ 𝐵(𝑧) 𝑒2𝑧
= 0 ⇒ 𝐴(𝑧) = −𝐵(𝑧) 𝑒 𝑧
𝐺,𝑡(𝑧, 𝑧) = 𝐴(𝑧) 𝑒 𝑧
+ 2𝐵(𝑧) 𝑒2𝑧
= 1 ⇒ − 𝐵(𝑧) 𝑒2𝑧
+ 2𝐵(𝑧) 𝑒2𝑧
= 1
∴ {
𝐴(𝑧) = −𝑒−𝑧
𝐵(𝑧) = 𝑒−2𝑧
𝐺(𝑡, 𝑧) = −𝑒−𝑧
𝑒 𝑡
+ 𝑒−2𝑧
𝑒2𝑡
, 𝑓(𝑧) = 12𝑒5𝑧

20. ADVANCED MATHEMATICS
By.Eng. Hamza-Mahmoud-Dahoka 20
𝑦(𝑡) = ∫ 𝐺(𝑡, 𝑧) 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧
𝑡
0
𝑦𝑝(𝑡) = −12𝑒 𝑡
∫ 𝑒4𝑧
𝑑𝑧
𝑡
0
+ 12𝑒2𝑡
∫ 𝑒3𝑧
𝑑𝑧
𝑡
0
𝑦𝑝(𝑡) = −3𝑒 𝑡(𝑒4𝑧|0
𝑡 ) + 4𝑒2𝑡(𝑒3𝑧|0
𝑡 )
𝑦𝑝(𝑡) = −3𝑒 𝑡(𝑒4𝑡
− 1) + 4𝑒2𝑡(𝑒3𝑡
− 1)
𝑦𝑝(𝑡) = −3𝑒5𝑡
+ 3𝑒 𝑡
+ 4𝑒5𝑡
+ 4𝑒2𝑡
𝑦𝑝(𝑡) = 𝑒5𝑡
+ 4𝑒2𝑡
+ 3𝑒 𝑡
𝑦(𝑡) = 𝑦ℎ(𝑡) + 𝑦𝑝(𝑡)
𝑦(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑡
+ 𝐵𝑒2𝑡
+ 𝑒5𝑡
+ 4𝑒2𝑡
+ 3𝑒 𝑡
𝑙𝑒𝑡: 𝑡 = 𝑙𝑛(𝑥)
𝑦(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥2
+ 𝑥5
+ 4𝑥2
+ 3𝑥
𝑦(1) = 2𝐴 + 4𝐵 + 1 + 4 + 3 = 0 ⇒ 𝐴 + 𝐵 = −8 → (1)
𝑦(2) = 2𝐴 + 4𝐵 + 32 + 16 + 6 = 0 ⇒ 2𝐴 + 4𝐵 = −54 → (2)
∴ 𝐴 = 11 , 𝐵 = −19
𝑦(𝑥) = 11𝑥 − 19𝑥2
+ 𝑥5
+ 4𝑥2
+ 3𝑥
𝑦( 𝑥) = 𝑥5
− 15𝑥2
+ 14𝑥
𝑀𝐴𝑇𝐿𝐴𝐵
|
≫ 𝑦 = 𝑑𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒( ′
𝑥^2 ∗ 𝐷2𝑦 − 2 ∗ 𝑥 ∗ 𝐷𝑦 + 2 ∗ 𝑦 = 2 ∗ 𝑥^3′
, ′
𝑦(2) = 0′
, ′
𝑦(3) = 6′
,′
𝑥′)
≫ 𝑦 = 𝑥^5 − 15 ∗ 𝑥^2 + 14 ∗ 𝑥

21. ADVANCED MATHEMATICS
By.Eng. Hamza-Mahmoud-Dahoka 21
Use Laplace transform
𝑥2
𝑦,𝑥𝑥 − 2𝑥𝑦,𝑥 + 2𝑦 = 12𝑥5
𝑦(1) = 0 , 𝑦(2) = 0
Solution
𝑙𝑒𝑡: 𝑥 = 𝑒 𝑡
𝑅(𝑅 − 1) − 2𝑅 + 2 = 0
𝑅2
− 3𝑅 + 2 = 0 ⇒ {
𝑅1 = 2
𝑅2 = 1
𝑦ℎ(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑡
+ 𝐵𝑒2𝑡
𝑦,𝑡𝑡 − 3𝑦,𝑡 + 2𝑦 = 𝑒5𝑡
(𝑠2
− 3𝑠 + 2)𝑦(𝑠) =
12
(𝑠 − 5)
𝑦(𝑠) =
6
(𝑠 − 5)(𝑠 − 2)(𝑠 − 1)
6
(𝑠 − 5)(𝑠 − 2)(𝑠 − 1)
=
𝐴
(𝑠 − 5)
+
𝐵
(𝑠 − 2)
+
𝐶
(𝑠 − 1)
𝐴𝑠2
− 3𝐴𝑠 + 2𝐴 + 𝐵𝑠2
− 6𝐵𝑠 + 𝐵 + 𝐶𝑠2
− 7𝐶𝑠 + 10𝑐 = 12
𝐴 = 1 , 𝐵 = −4 , 𝐶 = 3
𝑦(𝑠) =
1
(𝑠 − 5)
−
4
(𝑠 − 2)
+
3
(𝑠 − 1)
𝑦(𝑡) = 𝑒5𝑡
− 4𝑒2𝑡
+ 3𝑒 𝑡
𝑙𝑒𝑡: 𝑡 = 𝑙𝑛(𝑥)
𝑦𝑝(𝑥) = 𝑥5
− 4𝑥2
+ 3𝑥
𝑦(𝑥) = 𝑦ℎ(𝑥) + 𝑦𝑝(𝑥)
𝑦(𝑥) = 𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑥 + 𝑥5
− 4𝑥2
+ 3𝑥
𝑦(1) = 0 ⇒ 𝐴 + 𝐵 = 0

22. ADVANCED MATHEMATICS
By.Eng. Hamza-Mahmoud-Dahoka 22
𝑦(2) = 0 ⇒ 4𝐴 + 2𝐵 = −22
𝐴 = −11 , 𝐵 = 11
𝑦( 𝑥) = 𝑥5
− 15𝑥2
+ 14𝑥
Example 8:-
𝑥2
𝑦,𝑥𝑥 − 2𝑥𝑦,𝑥 + 2𝑦 = 6𝑥4
𝑦(1) = 𝑦(2) = 0
Solution
(𝑎 𝑜(𝑥)) = 𝑥2
, (𝑎 𝑜(𝑥)),𝑥
= 2𝑥 , (𝑎1(𝑥)) = −2𝑥
(𝑎 𝑜(𝑥)),𝑥
≠ (𝑎1(𝑥)) ∴ 𝑛𝑜𝑡 𝑠𝑒𝑙𝑓 𝑎𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡
𝑦,𝑥𝑥 −
2
𝑥
𝑦,𝑥 +
2
𝑥2
𝑦 =
2
𝑥2
𝑃(𝑥) = 𝑒∫ −
2
𝑥
𝑑𝑥
=
1
𝑥2
1
𝑥2
𝑦,𝑥𝑥 −
2
𝑥3
𝑦,𝑥 +
2
𝑥4
𝑦 =
1
𝑥4
(𝑎 𝑜(𝑥)),𝑥
= (𝑎1(𝑥)) ∴ 𝑠𝑒𝑙𝑓 𝑎𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡
𝑙𝑒𝑡: 𝑥 = 𝑒 𝑡
𝑅(𝑅 − 1) − 2𝑅 + 2 = 0
𝑅2
− 3𝑅 + 2 = 0 ⇒ {
𝑅1 = 1
𝑅2 = 2
𝑦ℎ(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑡
+ 𝐵𝑒2𝑡
𝐺(𝑡, 𝑧) = 𝐴(𝑧) 𝑒 𝑡
+ 𝐵(𝑧) 𝑒2𝑡
𝐺(𝑧, 𝑧) = 𝐴(𝑧) 𝑒 𝑧
+ 𝐵(𝑧) 𝑒2𝑧
= 0 ⇒ 𝐴(𝑧) = −𝐵(𝑧) 𝑒 𝑧
𝐺,𝑡(𝑧, 𝑧) = 𝐴(𝑧) 𝑒 𝑧
+ 2𝐵(𝑧) 𝑒2𝑧
= 1 ⇒ − 𝐵(𝑧) 𝑒2𝑧
+ 2𝐵(𝑧) 𝑒2𝑧
= 1

23. ADVANCED MATHEMATICS
By.Eng. Hamza-Mahmoud-Dahoka 23
∴ {
𝐴(𝑧) = −𝑒−𝑧
𝐵(𝑧) = 𝑒−2𝑧
𝐺(𝑡, 𝑧) = −𝑒−𝑧
𝑒 𝑡
+ 𝑒−2𝑧
𝑒2𝑡
, 𝑓(𝑧) = 6𝑒4𝑡
𝑦(𝑡) = ∫ 𝐺(𝑡, 𝑧) 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧
𝑡
0
𝑦(𝑡) = −6𝑒 𝑡
∫ 𝑒3𝑧
𝑑𝑧
𝑡
0
+ 6𝑒2𝑡
∫ 𝑒2𝑧
𝑑𝑧
𝑡
0
𝑦(𝑡) = −2𝑒 𝑡(𝑒3𝑧|0
𝑡 ) + 3𝑒2𝑡(𝑒2𝑧|0
𝑡 )
𝑦(𝑡) = −2𝑒 𝑡(𝑒3𝑡
− 1) + 3𝑒2𝑡(𝑒2𝑡
− 1)
𝑦(𝑡) = −2𝑒4𝑡
− 2𝑒 𝑡
+ 3𝑒4𝑡
− 3𝑒2𝑡
𝑦𝑝(𝑡) = 𝑒4𝑡
− 3𝑒2𝑡
− 2𝑒 𝑡
𝑦(𝑡) = 𝑦ℎ(𝑡) + 𝑦𝑝(𝑡)
𝑦(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑡
+ 𝐵𝑒2𝑡
+ 𝑒4𝑡
− 3𝑒2𝑡
− 2𝑒 𝑡
𝑙𝑒𝑡: 𝑡 = 𝑙𝑛(𝑥)
𝑦(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥2
+ 𝑥4
− 3𝑥2
− 2𝑥
𝑦(1) = 0 ⇒ 𝐴 + 𝐵 = 4
𝑦(2) = 0 ⇒ 2𝐵 + 4𝐵 = 0
𝐴 = 8 , 𝐵 = −4
𝑦(𝑥) = 8𝑥 − 4𝑥2
+ 𝑥4
− 3𝑥2
− 2𝑥
𝑦( 𝑥) = 𝑥4
− 7𝑥2
+ 6𝑥
𝑀𝐴𝑇𝐿𝐴𝐵
|
≫ 𝑦 = 𝑑𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒( ′
𝑥^2 ∗ 𝐷2𝑦 − 2 ∗ 𝑥 ∗ 𝐷𝑦 + 2 ∗ 𝑦 = 2′
, ′
𝑦(1) = 0′
, ′
𝑦(2) = 0′
,′
𝑥′)
≫ 𝑦 = 𝑥^2 2⁄ − 3 ∗ 𝑥 2⁄ + 1

24. ADVANCED MATHEMATICS
By.Eng. Hamza-Mahmoud-Dahoka 24
Use Laplace transform
𝑥2
𝑦,𝑥𝑥 − 2𝑥𝑦,𝑥 + 2𝑦 = 6𝑥4
𝑦(1) = 0 , 𝑦(2) = 0
Solution
𝑙𝑒𝑡: 𝑥 = 𝑒 𝑡
𝑅(𝑅 − 1) − 2𝑅 + 2 = 0
𝑅2
− 3𝑅 + 2 = 0 ⇒ {
𝑅1 = 2
𝑅2 = 1
𝑦ℎ(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑡
+ 𝐵𝑒2𝑡
𝑦,𝑡𝑡 − 3𝑦,𝑡 + 2𝑦 = 6𝑒4𝑡
(𝑠2
− 3𝑠 + 2)𝑦(𝑠) =
6
(𝑠 − 4)
𝑦(𝑠) =
6
(𝑠 − 4)(𝑠 − 2)(𝑠 − 1)
6
(𝑠 − 4)(𝑠 − 2)(𝑠 − 1)
=
𝐴
(𝑠 − 4)
+
𝐵
(𝑠 − 2)
+
𝐶
(𝑠 − 1)
𝐴𝑠2
− 3𝐴𝑠 + 2𝐴 + 𝐵𝑠2
− 5𝐵𝑠 + 4𝐵 + 𝐶𝑠2
− 6𝐶𝑠 + 8𝑐 = 6
𝐴 = 1 , 𝐵 = −3 , 𝐶 = 2
𝑦(𝑠) =
1
(𝑠 − 4)
−
3
(𝑠 − 2)
+
2
(𝑠 − 1)
𝑦(𝑡) = 𝑒4𝑡
− 3𝑒2𝑡
+ 2𝑒 𝑡
𝑙𝑒𝑡: 𝑡 = 𝑙𝑛(𝑥)
𝑦𝑝(𝑥) = 𝑥4
− 3𝑥2
+ 2𝑥
𝑦(𝑥) = 𝑦ℎ(𝑥) + 𝑦𝑝(𝑥)
𝑦(𝑥) = 𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑥 + 𝑥4
− 3𝑥2
+ 2𝑥
𝑦(1) = 0 ⇒ 𝐴 + 𝐵 = 0

25. ADVANCED MATHEMATICS
By.Eng. Hamza-Mahmoud-Dahoka 25
𝑦(2) = 0 ⇒ 4𝐴 + 2𝐵 = −8
𝐴 = −4 , 𝐵 = 4
𝑦( 𝑥) = 𝑥4
− 7𝑥2
+ 6𝑥