Chuyen de 12 tim gtnngtln tinh dt

Trường THCS Hoàng Hoa Thám -Nam Đàn- Nghệ An
Năm học 2009-2010
PHẦN A ĐẶT VẤN ĐỀ
I/ Cơ sở khoa học của vấn đề nghiên cứu
1/ Cơ sở lý luận
rong chương trình Toán học ở trường trung học cơ sở hiện
nay thì phần lớn hệ thống câu hỏi và bài tập đã được biên
soạn và chọn lọc và sắp xếp có dụng ý sư phạm là phù hợp với
trình độ kiến thức và năng lực của số đông học sinh.Tuy vậy có
một số bài tập đòi hỏi học sinh phải có năng lực học nhất định mới
có thể nắm được ,đó là dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị
lớn nhất của biểu thức nhằm phát triển năng lực trí tuệ như phân
tích tổng hợp ,khái quát hoá ,đồng thời rèn luyện cho học sinh kĩ
năng tính toán ,tính sáng tạo .
T
2/ Cơ sở thực tiễn
Trong quá trình giảng dạy ở lớp 8 và lớp 9 hầu hết khi học sinh
gặp phải dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của
biểu thức thì các em rất lúng túng và bỡ ngỡ vì chương trình Toán
trung học cơ sở sách giáo khoa chưa đề cập nhiều về cách giải ,nên
học sinh chưa có được phương pháp giải những bài toán dạng này
tuy nhiên trong kiểm tra học kì ở khối 8 và khối 9 cũng như thi
cuối cấp và thi học sinh giỏi đều có các dạng toán này.Vì vậy trong
qúa trình dạy học đặc biệt là dạy lớp chọn và ôn thi học sinh giỏi
thì giáo viên cần trang bị cho học sinh nắm vững một số phương
pháp giải thường gặp nhất trong chương trình Toán trung học cơ
sở . Để từ đó mỗi học sinh tự mình giải được các bài toán dạng này
một cách chủ động sáng tạo.Do thời gian có hạn trên lớp nên hầu
như nhiều giáo viên chưa hệ thống được các dạng toán này ,với
mong muốn được đóng góp phần nào giúp các em học sinh .Tôi xin
đưa ra một số phương pháp thường gặp để tìm giá trị nhỏ nhất
,giá trị lớn nhất của biểu thức đại số
II/ Mục đích
Giúp học sinh làm quen và giải quyết các bài tập tìm giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của biểu thức đại số theo các mức độ từ dễ đến
khó
Rèn cho học sinh khả năng dự đoán ,tính sáng tạo, tính tự giác tích
cực
Skkn Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất ,giá trị lớn nhất của biểu thức
trang 1

Năm học 2009-2010
III/ Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Học sinh khối 8 và khối 9 trường THCS Hoàng Hoa Thám
Sách giáo khoa tài liệu tham khảo ,sách nâng cao toán 8 ,toán 9 .
IV/ Kế Hoạch nghiên cứu
Phối hợp cùng đồng nghiệp triển khai sáng kiến trong năm học
2008-2009 ,đánh giá rút ra kết luận.
PHẦN B NỘI DUNG
I/ CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1/Áp dụng hằng đẳng thức a2
±2ab + b2
= (a ±b)2
. để biến đổi
biểu thức về dạng :
* A = a + [ f(x) ] 2
≥ a ,với mọi x ∈R suy ra minA = a khi f(x) = 0
* B = b – [ f(x) ]2
≤ b, với mọi x ∈R suy ra maxB = b khi f(x) = 0
2/ Áp dụng bất đẳng thức baba −≤− (a ≥ b ≥ 0), để tìm giá trị
lớn nhất.
Dấu ‘=’ xảy ra khi b(a – b) = 0 ⇔ b = 0 hoặc a = b
3/ Áp dụng bất đẳng thức baba +≥+ (a,b ≥ 0) , để tìm giá trị nhỏ
nhất
Dấu ‘=’ xảy ra khi a.b = 0 ⇔ a = 0 hoặc b = 0.
4/ Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai là
∆ ≥ 0,(∆′ ≥0)
Dấu ‘=’ xảy ra khi phương trình có nghiệm kép x = - a
b
2
(x = - a
b′
)
5/ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
+ với a ≥ 0 ,b ≥ 0 thì a + b ≥ 2 ab (1)
Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b .
+ Với a1,a2, a3,…….,an ≥ 0 .thì
a1 + a2 +a3 +……..+ an ≥ nn
naaaa ....... 321 (2)
Dấu ‘=’ xảy ra khi a1 = a2 = a3 = …… = an .
Từ đẳng thức (1) ta suy ra .
Nếu a.b = k (không đổi) thì min(a + b) = 2 k ⇔ a = b .
Nếu a + b = k (không đổi) thì max(a . b) = 4
2
k
.
Nếu a1.a2.a3. … .an = k (không đổi) thì
min(a1 + a2 + a3 + … + an) = nn
K
⇔ a1 = a2 = a3 = … = an .
trang 2

Năm học 2009-2010
Nếu a1 + a2 + a3 + … + an = k (không đổi) thì
max(a1.a2.a3. … .an) =
n
n
k






.
⇔ a1 = a2 = a3 = … = an .
II/ NỘI DUNG
A/Phương pháp 1:
Áp dụng hằng đẳng thức a2
±2ab + b2
= (a ±b)2
. để biến đổi biểu
thức về dạng :
* A = a + [ f(x) ] 2
≥ a ,với mọi x ∈R suy ra minA = a khi f(x) = 0
* B = b - [ f(x) ]2
≤ b, với mọi x ∈R suy ra maxB = b khi f(x) = 0
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
a/ A = 9x2
+ 6x +5
b/ B = ( x - 1)( x +2)( x + 3)( x + 6)
c/ C = 4x + 4x2
+ y2
– 2y + 11
Giải
a/ A = (9x2
+ 6x + 1) + 4 = (3x + 1)2
+ 4 ≥ 4 .
Suy ra minA = 4 khi x = - 3
1
.
b/ B = ( x - 1)( x + 6)( x + 2)( x + 3)
= ( x2
+ 5x - 6)( x2
+ 5x +6)
= ( x2
+ 5x)2
– 36 ≥ - 36.
Suy ra minB = -36 khi x = 0 hoặc x = - 5.
c/ C = (4x2
+ 4x + 1) + ( y2
– 2y + 1) + 9
= (2x + 1)2
+ ( y - 1)2
+ 9 ≥ 9
Suy ra minC = 9 khi x = - 2
1
và y = 1.
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
a/ M = - 24x – 4x2
+ 7
b/ N = 12 – 16x2
– 8x – 4y2
+ 4y
Giải
a/ Ta có M = - ( 4x2
+24x + 36) + 43
= - ( 2x + 6)2
+ 43 ≤ 43
Suy ra maxM = 43 khi x = - 3
b/ Ta có N = - ( 16x2
+ 8x + 1) – ( 4y2
– 4y +1) + 14
= - ( 4x + 1)2
- ( 2y - 1)2
+ 14 ≤ 14
Suy ra maxN = 14 khi x = - 4
1
và y = 2
1
.
trang 3

Năm học 2009-2010
Bài tập
Tìm giá trị nhỏ nhất ,lớn nhất của các biểu thức sau
a/ A = 4x – x2
.
b/ B = x2
– 2xy + 10y2
+ 6y + 5
c/ C = ( x2
- 2x)( x2
- 2x + 2)
d/ D = x2
– 4xy + 5y2
+ 10x -22y +31
e/ E = 4
32
++− xx
f/ F = 9)1()1(44 224
++++− xxxx
Giải
a/ Ta có A = 4x – x2
= 4 – ( x2
-4x + 4) = 4 – (x - 2)2
≤ 4
Suy ra maxA = 4 khi x = 2
b/ Ta có B = (x2
– 2xy + y2
) + (9y2
+ 6y + 1) + 4
= (x – y )2
+ (3y +1)2
+ 4 ≥ 4
Suy ra minB = 4 khi x = y = - 3
1
c/ Ta có ,C = (x2
- 2x)(x2
- 2x + 2)
Đặt t = x2
- 2x khi đó C = t( t + 2) = t2
+ 2t = ( t2
+ 2t + 1) - 1
= ( t +1)2
-1 ≥ - 1
Suy ra minC = - 1 ⇔ t = - 1
Khi t = - 1 ta có x2
– 2x = - 1 ⇔ x2
– 2x + 1 = 0
⇔ (x - 1)2
= 0
⇔ x = 1
Vậy minC = - 1 khi x = 1
d/ Ta có D = (x2
– 4xy + 4y2
) + (y2
– 2y + 1) + 10(x – 2y) + 25 + 5
= (x – 2y)2
+ 2.5.(x – 2y) + 52
+ (y - 1)2
+ 5
= (x – 2y + 5)2
+ (y - 1)2
+ 5 ≥ 5
Suy ra minD = 5 khi



=−
=+−
01
052
y
yx



−=
=
⇔
3
1
x
y
Vậy mind = 5 khi x = - 3 ,y = 1
e/ Ta có E = 1
2
1
1
2
≤





−− x = 1
suy ra maxE = 1 khi x = 2
1
f/ Ta có F = 99)12( 22
≥+−− xx = 3
Suy ra minF = 3 khi 2x2
–x -1 = 0 ⇔ (2x + 1)(x - 1) = 0
trang 4

Năm học 2009-2010
⇔ x = 1 hoặc x = - 2
1
Vậy minF = 3 khi x = 1 hoặc x = - 2
1
B/ Phương pháp 2
Áp dụng bất đẳng thức baba −≤− (a ≥ b ≥ 0), để tìm giá trị
lớn nhất.
Dấu ‘=’ xảy ra khi b(a - b) = 0 ⇔ b = 0 hoặc a = b
Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
a/ A = 20092010 −−+ xx
b/ B = 6425 −−− xx
Giải
a/ ĐKXĐ x ≥ 2009 Ta có
A = 4019)2009()2010(20092010 =−−+≤−−+ xxxx
Dấu ‘=’ xảy ra khi x- 2009 = 0 ⇔ x = 2009
Vậy maxA = 4019 khi x = 2009
b/ ĐKXĐ x ≥ 64 Ta có
B = 39)64)(25(6425 =−−≤−−− xxxx
Dấu ‘=’ xảy ra khi x – 64 = 0 ⇔ x = 64
Vậy maxB = 39 khi x = 64
C/phương pháp 3
Áp dụng bất đẳng thức baba +≥+ (a,b ≥ 0) , để tìm giá trị nhỏ
nhất
Dấu ‘=’ xảy ra khi a.b = 0 ⇔ a = 0 hoặc b = 0.
Ví dụ :Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
a/ A = xx −+− 4225
b/ Cho x + y = 27.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B = 7101 −++ yx
Giải
a/ ĐKXĐ 25 ≤ x ≤ 42.
Ta có A = xx −+− 4225 ≥ )42()25( xx −+− = 17
Dấu ‘=’ xảy ra khi x = 25 hoặc x = 42
Vậy min A = 17 khi x = 25 hoặc x = 42.
b/ ĐKXĐ x ≥ - 101 và y ≥ 7
Ta có B = 7101 −++ yx ≥ 94)7()101( ++=−++ yxyx
trang 5

Năm học 2009-2010
= 121 = 11
Dấu ‘=’ xảy ra khi x = - 101, y = 128 hoặc x = 20 ,y = 7
Vậy min B = 11 khi x = - 101 , y =128 hoặc x = 20 , y = 7
D/Phương pháp 4
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai là
∆ ≥ 0,(∆′ ≥0)
Dấu ‘=’ xảy ra khi phương trình có nghiệm kép x = - a
b
2
(x = - a
b′
)
Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
a/ A = 3x2
– 7x - 1
b/ B = 12
12
2
2
+−
++
xx
xx
Giải
a/ Gọi a là giá trị của biểu thức A.Biểu thức A nhận giá trị a khi và
chỉ khi phương trình 3x2
– 7x – 1 = a có nghiệm
⇔ 3x2
– 7x – 1 – a = 0 (1) có nghiệm
⇔ ∆ = 61 + 12a ≥ 0
⇔ a ≥
12
61−
Vậy minA = 12
61−
⇔ phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = 6
7
b/ ĐKXĐ : x ≠ 1
Gọi a là một giá trị của B ,phương trình 12
12
2
2
+−
++
xx
xx
= a (2) phải có
nghiệm
Phương trình (2) ⇔ (a - 1)x2
– 2(a + 1)x + (a - 1) = 0 (2’
)
+ Nếu a = 1 thì x = 0 là nghiệm
+ Nếu a ≠ 1 thì (2’
) là phương trình bậc hai
∆′ = (a + 1)2
– (a - 1)2
= 4a
Phương trình (2’
) có nghiệm khi 4a ≥ 0 ⇔ a ≥ 0.
Vậy min B = 0 khi phương trình (2’
) có nghiệm kép x = - 1
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất ,giá trị lớn nhất của các biểu thức
sau
a/ M = 1
34
2
+
−
x
x
trang 6

Năm học 2009-2010
b/ N = 32
12
2
2
+−
−+
xx
xx
Giải
a/ ĐKXĐ : x ∈ R
Gọi a là giá trị của M ,khi đó phương trình 1
34
2
+
−
x
x
= a (1) phải có
nghiệm
Phương trình (1) ⇔ ax2
– 4x + a + 3 = 0 (2)
+ Nếu a = 0 thì x = 4
3
là nghiệm
+ Nếu a ≠ 0 thì (2) là phương trình bậc hai
∆′ = 4 – a(a + 3) = – a2
– 3a + 4
Phương trình (2) có nghiệm khi ∆′ = – a2
– 3a + 4 ≥ 0
⇔ – 4 ≤ a ≤ 1
Vậy min M = – 4 khi phương trình (2) có nghiệm kép x = – 2
1
max M = 1 khi phương trình (2) có nghiệm kép x = 2
b/ ĐKXĐ : x ∈ R
Gọi a là một giá trị của N , phương trình 32
12
2
2
+−
−+
xx
xx
= a (3) phải có
nghiệm
Phương trình (3) ⇔ (a - 1)x2
– 2(a + 1)x + 3a + 1 = 0 (4)
+ Nếu a = 1 thì x = 1 là nghiệm
+ Nếu a ≠ 1 thì phương trình (4) là phương trình bậc hai
∆′ = (a + 1)2
– (a – 1)(3a + 1) = – 2a2
+ 4a + 2
Phương trình (4) có nghiệm ⇔ ∆′ = – 2a2
+ 4a + 2 ≥ 0
⇔ 1 - 2 ≤ a ≤ 1 + 2
Vậy min N = 1 - 2 khi phương trình (4) có nghiệm kép x = 1 - 2
maxN = 1 + 2 khi phương trình (4) có nghiệm kép x = 1 +
2
Ví dụ 3 : Tìm cặp số (x , y) thỏa mãn phương trình
3x2
– 6x + y – 2 = 0 (*) sao cho y đạt giá trị lớn nhất .
Giải
Xét phương trình bậc hai , ẩn x tham số y .
Nếu tồn tại cặp số (x , y) thỏa mãn phương trình (*) thì phương
trình (*) phải có nghiệm
Do đó ∆′ ≥ 0 ⇔ 9 – 3(y – 2) ≥ 0 ⇔ y ≤ 5
Vậy max y = 5 khi phương trinh (*) có nghiệm kép x = 1
trang 7

Năm học 2009-2010
Nên cặp số cần tìm là (1 , 5)
E/ Phương pháp 5
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
+ với a ≥ 0 ,b ≥ 0 thì a + b ≥ 2 ab (1)
Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b .
+ Với a1,a2, a3,…….,an ≥ 0 .thì
a1 + a2 +a3 +……..+ an ≥ nn
naaaa ....... 321 (2)
Dấu ‘=’ xảy ra khi a1 = a2 = a3 = …… = an .
Nếu a.b = k (không đổi) thì min(a + b) = 2 k ⇔ a = b .
Nếu a + b = k (không đổi) thì max(a . b) = 4
2
k
.
Nếu a1.a2.a3. … .an = k (không đổi) thì
min(a1 + a2 + a3 + … + an) = nn
K
⇔ a1 = a2 = a3 = … = an .
Nếu a1 + a2 + a3 + … + an = k (không đổi) thì
max(a1.a2.a3. … an) =
n
n
k






.
⇔ a1 = a2 = a3 = … = an .
Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức có dạng
A = )(xf + )(xg bậc f(x) bằng bậc của g(x)
Phương pháp giải : Tìm ĐKXĐ bình phương hai vế của biểu
thức ,sau đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy a + b ba.2≥
Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = xx 1371913 −++
Giải
ĐKXĐ 13
7
13
19
≤≤
−
x
Ta có A2
= 13x + 19 + 7 – 13x + 2 )137)(1913( xx −+
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có
A2
≤ 24 + 13x + 19 + 7 – 13x = 48
Dấu ‘=’ xảy ra khi 13x + 19 = 7 – 13x ⇔ x = 13
6−
Vậy max A2
= 48 khi x = 13
6−
Do đó maxA = 48 khi x = 13
6−
Dạng 2 :Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức có dạng
trang 8

Năm học 2009-2010
A= )(
)(
xg
xf
bậc f(x) bằng bậc g(x) .
Phương pháp giải :Nhân và chia f(x) với cùng một số khác 0 ,sau
đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy )(
2
1
. baba +≤
Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a/ A = x
x
7
16−
b/ B = 2
2
2010
252
x
x −
Giải
a/ ĐKXĐ x ≥ 16
Ta có A = x
x
7
16−
=
56
1
14
4
1616
7
)4
4
16
(
2
1
7
4.
4
16
=
+−
=
+
−
≤
−
x
x
x
x
x
x
D ấu ‘=’ xảy ra khi 324
4
16
=⇔=
−
x
x
Vậy maxA = 56
1
khi x = 32
b/ ĐKXĐ x ≥
2
25
và x 2
25
−≤
Ta có B = 2
2
2010
252
x
x −
=
2
2
2
2
2
2
4020
5
25252
2010
)5
5
252
(
2
1
2010
5.
5
252
x
x
x
x
x
x +−
=
+
−
≤
−
= 10050
1
Dấu ‘=’ xảy ra khi 5
5
252 2
=
−x
⇔ x = 5 hoặc x = – 5
Vậy max B = 10050
1
khi x = 5 hoặc x = – 5
Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng A = )(
)(
xg
xf
bậc
của f(x) lớn hơn bậc của g(x).
Phương pháp giải: Biến đổi biểu thức đã cho thành tổng của biểu
thức sao cho tích của chúng là một hằng số ,rồi áp dụng bất đẳng
thức Cauchy.
Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
a/ Cho x > 0 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
( )
x
x
2
2009+
b/ Cho x > 0 ,tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 7
8
2567
x
x +
trang 9

Năm học 2009-2010
c/ Cho x > 0 ,tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = )1(2
1722
+
++
x
xx
Giải
a/ Ta có A = 2009.2
2009
.22009.2
200920092009.2 2222
+≥++=
++
x
x
x
x
x
xx
= 4.2009
Dấu ‘=’ xảy ra khi x = ⇔
x
2
2009
x = 2009
Vậy min A = 8036 khi x = 2009
b/ Ta có B = 7
8
2567
x
x +
= 7x + 7
256
x
= x + x + x + x + x + x + x + 7
256
x
8
7
256
.......8
x
xxxxxxx≥ = 8.2 = 16
Dấu ‘=’ xảy ra khi x = 7
256
x
⇔ x = 2
Vậy min B = 16 khi x = 2
c/ Ta có C = )1(2
1722
+
++
x
xx
=
( )
1
8
.
2
1
2
1
8
2
1
)1(2
161
2
+
+
≥
+
+
+
=
+
++
x
x
x
x
x
x
= 4
Dấu ‘=’ xảy ra khi ⇔
+
=
+
1
8
2
1
x
x
(x + 1)2
= 16 


−=
=
⇔


−=+
=+
⇔
5
3
41
41
x
x
x
x
X = - 5 < 0 (loại)
Vậy min C = 4 khi x = 3
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biêu thức sau
a/ H = 1
2
+x
x
b/ K = 2
)2009( +x
x
Giải
Để giải bài toán dạng này ta qui về tìm giá trị nghịch đảo của
chúng rồi rút ra kết luận.
a/ Ta có 4
1
2
2
1
.
2
2
2
1
22
11
=≥+=
+
=
x
x
x
x
x
x
H
= 1
2
1
2
=⇔= x
x
x
Vậy min H
1
= 1 khi x = 1
Do đó max H = 1 khi x = 1
b/ Ta tìm min của K
1
rồi suy ra max K
trang 10

Năm học 2009-2010
Theo ví dụ 1 câu a ta tìm được min K
1
= 8036 khi x = 2009
vậy max K = 8036
1
khi x = 2009
Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
a/ G = x
x 20003
+
b/ I = yx
yx
−
+ 22
biết x.y = 2
c/ R = 3
4
−x
x
(với x > 9)
Giải
Các bài tập dạng này thì ta tách ,thêm bớt hợp lý.
a/ Ta có G = x
x 20003
+
= x2
+ x
2000
= x2
+ xx
10001000
+
3 2 1000
.
1000
.3
xx
x≥ = 3.100
= 300
Dấu ‘=’ xảy ra khi x2
= x
1000
⇔ x = 10
Vậy min G = 300 khi x = 10
b/ Ta có I =
( )
yx
yx
yx
yx
yx
xy
yx
yx
xyyx
−
−≥
−
+−=
−
+−=
−
+− 4
)(2
422
2
= 4
Dấu ‘=’ xảy ra khi x – y = yx −
4
⇔ x – y = 2
Kết hợp với ĐK x.y = 2 ta suy ra đựơc x = 1 + 3 , y = - 1 + 3
hoặc x = 1 - 3 ,y = - 1 - 3
Vậy min I = 4 ,khi x = 1 + 3 , y = - 1 + 3
hoặc x = 1 - 3 ,y = - 1 - 3
c/ Ta có R = 3
4
−x
x
= 3
36
)3(4
3
36)9(4
3
36364
−
++=
−
+−
=
−
+−
x
x
x
x
x
x
=4 x +12 + 24
3
36
)3(424
3
36
124
3
36
+
−
+−=+
−
+−=
− x
x
x
x
x
3
36
).3(42
−
−≥
x
x + 24 = 48
dấu ‘=’ xảy ra khi 4( x - 3) = 


=
=
⇔




−=−
=−
⇔
− 0
36
33
33
3
36
x
x
x
x
x
trang 11

Năm học 2009-2010
Kết hợp với ĐK x > 9 nên x = 0 loại
Vậy min R = 48 khi x = 36
Dạng 4:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức có dạng A = f(x).g(x),
bậc f(x) bằng bậc g(x).
phương pháp giải : Biến đổi f(x) + g(x) = k (k là hằng số)
- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
- a.b
( )
4
2
ba +
≤ , a + b ba.2≥
Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a/ A = 16x3
– x6
.
b/ B = xx
x 2
2
9
+
−
,với 0 < x < 12
Giải
a/ A = 16x3
– x6
= x3
(16 – x3
)
[ ]
4
)16(
233
xx −+
≤ = 64
Dấu ‘=’ xảy ra khi x3
= 16 – x3 ⇔ x3
= 8 ⇔ x = 2
Vậy min A = 64 ,khi x = 2
b/ B = xx
x 2
2
9
+
−
= 71
2
.
2
9
21
2
2
9
=+
−
−
≥+
−
+
− x
x
x
x
x
x
x
x
12
2
9
=⇔
−
=
−
x
x
x
x
x
Vậy min B = 7 khi x = 5
1
Ví dụ 2: Cho ba số a,b,c > 0 biết a + 2b + 3c ≥ 20 .Chứng minh
rằng. S = a + b + c + 13
4
2
93
≥++
cba
Ta có S = ( 4
3a
+ a
3
) + ( 2
b
+ b2
9
) + ( c + c
4
) + 4
3
24
cba
++
≥2 4
324
.
2
9
.
2
2
3
.
4
3 cba
c
c
b
b
a
a ++
+++
= 2. 523
2
3
+++ = 13 đpcm.
III/ Thực trạng vấn đề nghiên cứu
Khi giảng dạy trên lớp và gặp các dạng toán trên vì phần là do
thời gian có hạn ở trên lớp,hoặc do các đối tượng học sinh khác
nhau nên giáo viên chỉ truyền đạt cho học sinh dạng toán liên quan
đến bài toán cụ thể của sách giáo khoa mà chưa đưa ra dạng tổng
quát,nên sau một thời gian ngắn khi gặp lại các bài toán tìm giá trị
trang 12

Năm học 2009-2010
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức thì hầu hết các em đã
quên hoặc ngại giải toán và ít tìm hiểu sâu hơn các dạng toán trên.
Và hầu hết các em khi được hỏi về bất đẳng thức cauchy đều
không biết.
IV/ KẾT QUẢ
Sau khi áp dụng các phương pháp trên ở lớp 8 và lớp 9 trường
THCS Hoàng Hoa Thám thì phần nhiều học sinh từ trung bình trở
lên đã làm được các dạng bài tập từ dễ đến khó , và khi gặp dạng
toán này học sinh không còn bỡ ngỡ mà tỏ ra rất thích thú tìm
hiểu.
Kết quả điều tra cho thấy cứ 10 em học sinh thì đã có 7 em thực
hiện giải toán đúng chính xác các dạng toán trong đó có hơn một
nữa cho kết quả chính xác.Và các em không e ngại khi gặp các
dạng toán trên .
Hạn chế :
Các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của biểu
thức thường rất đa dạng và đặc sắc nhưng cũng rất khó cho học
sinh do tâm lý các em ngại đi sâu và tìm tòi nếu học sinh không
hiểu rõ bản chất dạng toán trên. Và sáng kiến này cũng không thể
đưa ra hết những bài tập đặc sắc của dạng toán này
PHẦN C KẾT LUẬN
Trên đây là một số phương pháp và dạng bài tập mà bản
thân tôi đã tổng hợp được qua quá trình giảng dạy .Thật ra đây là
những bài toán ta có thể bắt gặp ở các sách và đề thi ,tuy nhiên vì
ở địa phương kinh tế còn khó khăn nên việc tiếp cận sách tham
khảo của học sinh rất hạn chế ,việc phân chia các dạng bài tập này
chỉ có tính tương đối để cho dễ tìm .Trong mỗi bài toán tùy theo
cách nhìn ta sẽ có cách giải tương ứng. Để học sinh có được cách
giải tương ứng của mỗi bài toán thì trước tiên học sinh cần nắm
chắc kiến thức cơ bản ,nắm được các phương pháp giải các dạng
bài tập,với suy nghĩ như vậy tôi tin tưởng học sinh sẽ không còn
bỡ ngỡ lúng túng khi gặp các dạng toán như thế này .
Rất mong được sự góp ý của các đồng nghiệm để sáng kiến này
được mở rộng hơn nữa.
trang 13

Năm học 2009-2010
ĐăkRla, ngày15 tháng 11 năm 2009
Người viết
Lê Tấn Việt Cường
PHẦN D TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Toán nâng cao Đại số 8 của Lê Đại Thống , Võ Đại Mau
2. Toán nâng cao Đại số 9 của Lê Hữu Trí , Võ Đại Mau,
Nguyễn Vũ Thanh
3. Đại số sơ cấp ,Một số đề thi học sinh giỏi cấp huyện và đề thi
tuyển sinh vào lớp 10
trang 14

Chuyen de 12 tim gtnngtln tinh dt

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Chuyen de 12 tim gtnngtln tinh dt

Similar to Chuyen de 12 tim gtnngtln tinh dt (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Chuyen de 12 tim gtnngtln tinh dt