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1. UNIVERSITE PARIS 1 PANTHEON SORBONNE
UFR DE GESTION
MATHEMATIQUES APPLIQUEES
A L’ECONOMIE ET A LA GESTION
PARTIE II- ANALYSE
LICENCE 1° année
Cours de Marion GOFFIN
2° semestre
2012-2013
Cours de Marion Goffin – Année universitaire 2012-2013

2. Mathématiques
Partie II- Analyse
Sommaire
Semaine du 4 mars 1ère semaine: Fiches n°1 et n°2
Semaine du 11 mars 2ème semaine: Fiche n°3
Semaine du 18 mars 3ème semaine: Fiche n°4
Semaine du 25 avril 4ème semaine: Fiches n°5 et n°6
Semaine du 1 avril 5ème semaine: Interrogation écrite
Semaine du 8 avril 6ème semaine: semaine pédagogique
Examens de 1ère session : semaine du 15 avril
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3. Fiche n°1- Ensembles et applications (fonctions)
Notions à réviser :
- ensembles : généralités, opérations sur les ensembles
- relations binaires : relations réflexives, symétriques, antisymétriques,
transitives
- fonctions : généralités, fonctions réciproques, typologie des fonctions
(injections, surjections, bijections), composition des fonctions, ensemble de
définition d’une fonction.
Exercice 1 :
Déterminez à chaque fois l’ensemble de définition Df :
a)
b)
d)
e)
c)
ln
Exercice 2 :
Démontrez que la fonction numérique f de la variable réelle x définie par :
x
, f(x)=
détermine une bijection de
sur
.
Quelles est la bijection réciproque ? (on la notera g)
Exercice 3 :
Soient f(x) = 3x+1 et g(x)=
1- Déterminer l’application réciproque (ou inverse) de la fonction f.
2- Définir les applications composées g f et f g. Que peut-on conclure ?
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4. Fiche n°2- Limites et continuité
Notions à réviser :
- limites en un point, limite à droite, à gauche, limites en + et ,
opérations sur les limites.
- continuité en un point, continuité sur un intervalle, prolongement par
continuité
- fonction puissance, logarithme, exponentielle
Exercice 1 :
Etudiez les limites suivantes :
c)
d)
Exercice 2 : Etude de la continuité d’une fonction numérique réelle
Soit la fonction f telle que f (x)=
1 - Pour quelles valeurs de x, f(x) est-elle définie ?
2 - Calculer
f(x) et
.
3 - Montrer que f est continue sur D =
.
4 – Peut-on prolonger par continuité f en x = 0 et x = 1 ?
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5. Fiche n°3- Dérivées et différentielles
Notions à réviser :
- dérivabilité en un point, dérivée à droite, dérivée à gauche, dérivabilité sur
un intervalle
- calcul de dérivées
- différentielles
Exercice 1 :
Calculez les dérivées suivantes :
4
a) =(2
b) =
d)
=
3
e)
=
c)
f)
=
+
=
Exercice 2 :
Déterminez:
a) L’équation de la tangente à la courbe C d’équation
coordonnées (0 ;+1)
b) L’équation de la tangente à la courbe C d’équation
point de coordonnées (-1 ;0)
=
au point de
=
au
Exercice 3 :
Soit f f( )=
,
Déterminez:
- L’ensemble de définition de f,
- L’étude de la continuité,
- La fonction réciproque,
- Le nombre dérivé de f à un point déterminé,
- Le nombre dérivé de la fonction réciproque.
Exercice 4 :
Soit f f( )=
1- Quelle est l’expression de la différentielle de
2- Quelle est la différentielle de
?
au point 1 ?
Exercice 5 :
Déterminer la différentielle au point x=1 de la fonction
On suppose que l’on a
: déterminez la différentielle de
au point t=2.
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6. Fiche n°4- Etude de fonctions
Plan d’étude d’une fonction :
1. Recherche de l’ensemble de définition
2. Recherche de l’ensemble d’étude
3. Etude des limites et de la continuité (aux points où la fonction est non
définie, aux bornes des intervalles, en + et - )
4. Etude de la dérivabilité et construction du tableau de variations de f (avec
étude des points remarquables : points à tangente horizontale, points pour
lesquels la fonction n’est pas définie, pas dérivable…)
5. Compléments : concavité, convexité…
6. Représentation graphique
Exercice :
Etudiez les fonctions suivantes selon le plan d’étude indiqué ci-dessus :
b)
c)
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7. Fiche n°5- Primitives et intégrales
Exercice 1 :
Considérez la fonction
(étudiée dans la fiche 4, d) de l’exercice).
Calculez l’aire (et et faites la représentation graphique)de la partie définie par :
Exercice 2 :
Calculez les intégrales suivantes :
a)
b)
c)
d)
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8. Fiche n°6- Théorème des accroissements finis et développements
limités
Exercice 1 :
Déterminez, quand x tend vers 0, la partie principale des expressions :
a)
b)
c)
Exercice 2 :
Soit la fonction f définie de la façon suivante :
1. Donnez son développement limité d’ordre 2, au voisinage de 0.
2. En déduire l’équation de la tangente en 0.
Exercice 3 :
Déterminez, au voisinage de
suivantes :
a)
,
=0 et
b)
c)
, le développement limité à l’ordre n des fonctions
et
,
et
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