1. ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ
Είναι χωρισμός ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ
σε δύο τμήματα, ένα μεγάλο α και ένα
μικρό β, έτσι ώστε να ισχύει:
=φ= 1,618
2. Ο αριθμός φ είναι η θετική ρίζα της
εξίσωσης :
φ² - φ – 1 = 0
Μπορείτε να τη βρείτε;
3. Ακολουθία Φιμπονάτσι και αριθμός φ
Αν διαιρέσουμε δύο οποιουσδήποτε
διαδοχικούς όρους της ακολουθίας Fibonacci
( κάθε όρο προς τον προηγούμενο του ) θα
βρούμε τον αριθμό φ =1,618 .Ο αριθμός
αυτός ονομάζεται χρυσός κανόνας ή χρυσή
αναλογία και πήρε το όνομα του από τον
γλύπτη Φειδία.Ποια άραγε η σχέση τους
4. ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ Fibonacci
(Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη
εγκυκλοπαίδεια)
Στα Μαθηματικά, οι Αριθμοί Φιμπονάτσι είναι
οι αριθμοί της παρακάτω ακέραιης ακολουθίας:
0, 1, 2 ,3 , 5 , 8 ,13 ,21 ,34 ,55 ,89 …………
Εξ ορισμού, οι πρώτοι δύο αριθμοί Φιμπονάτσι
είναι το 0 και το 1, και κάθε επόμενος αριθμός
είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων.
Η Ακολουθία Φιμπονάτσι ονομάστηκε έτσι
από τον Λεονάρντο της Πίζας, γνωστό και ως
Φιμπονάτσι
5. Πότε εμφανίστηκε πρώτη φορά;
Η ακολουθία των αριθμών Fibonacci
εμφανίζεται πρώτη φορά στα μαθηματικά
των Ινδών.
Στη δύση, τους συναντάμε πρώτη φορά
στο βιβλίο Liber Abaci ( το 1202 μ.Χ) ή βιβλίο
των υπολογισμών του Λεονάρντο της Πίζας,
γνωστού και ως Φιμπονάτσι ,όπου είναι
γραμμένο το εξής πρόβλημα:
6. Ακολουθία Fibonacci και κουνέλια
Κάποιος τοποθέτησε σε έναν αποκλεισμένο
τόπο ένα ζευγάρι κουνελιών. Τα κουνέλια
αυτά αναπαράγονται με ρυθμό ένα νέο
ζευγάρι το μήνα και κάθε νέο ζευγάρι γίνεται
γόνιμο δύο μήνες μετά κι αναπαράγεται με
τον ίδιο ρυθμό. Πόσα ζευγάρια κουνελιών
έχουν παραχθεί σε έναν χρόνο από το αρχικό
ζεύγος; ( στο τέλος του 12ου μήνα είναι 466
κουνέλια ,γι΄αυτό και «μάστιγα»)
7. Ο αριθμός ζευγαριών των κουνελιών που υπήρχαν στην έναρξη κάθε μήνα είναι :
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
Αριθμός Ζευγαριών
8. Η φύση γνωρίζει μαθηματικά;
Εκπληκτικός όμως είναι ο τρόπος με τον οποίο οι
αριθμοί Φιμπονάτσι εμφανίζονται στη φύση. Είναι το
αριθμητικό σύστημα της φύσης. Τους συναντάς
παντού, στη διάταξη των φύλλων ενός φυτού,
στο μοτίβο των πετάλων ενός λουλουδιού, στο άνθος
της αγκινάρας, σε ένα κουκουνάρι ή στο φλοιό ενός
ανανά.
Ισχύουν για την ανάπτυξη κάθε
ζωντανού οργανισμού, ενός κυττάρου, ενός κόκκου
σιταριού, μιας κυψέλης μελισσών, ακόμη και για όλη
την ανθρωπότητα.
9. Λουλούδια και Fibonacci
Αν μετρήσει κανείς τα πέταλα ενός
λουλουδιού, θα διαπιστώσει ότι
ο αριθμός τους είναι συχνά 3, 5, 8,
13, 21, 34 ή ακόμα και 55. Σπάνια θα
συναντήσουμε λουλούδι με
δύο πέταλα. Υπάρχουν
εκατοντάδες είδη, τόσο άγρια όσο
και καλλιεργημένα με πέντε πέταλα.
10. Όπως οι μαργαρίτες
Τα πέταλα στις μαργαρίτες συνήθως είναι
13, 21 ,34 ( οι κίτρινες μαργαρίτες του
αγρού έχουν 34 πέταλα)
11.
12. Ηλίανθοι
Οι σπόροι του ηλίανθου κατανέμονται κυκλικά. Η
σπείρα είναι προς τα έξω ενώ έχει διπλή
κατεύθυνση, δηλαδή και όπως κινούνται
οι δείκτες του ρολογιού και αντίστροφα από
το κέντρο του λουλουδιού. Ο αριθμός των
σπειρών στο κάθε φυτό δεν είναι ίδιος.
Γιατί γενικά είναι είτε 21 και 34, είτε 34 και 55,
είτε 55 και 89, ή 89 και 144; Ο αριθμός των
σπειρών ενός ηλίανθου και προς τις δύο
κατευθύνσεις είναι δύο διαδοχικοί αριθμοί στην
ακολουθία Fibonacci.
13.
14. Η ακολουθία Φιμπονάτσι εμφανίζεται
στις βελόνες αρκετών ειδών έλατου ,στα
κουκουνάρια κτλ
20. Ο αριθμός Φ
Αν διαιρέσουμε δύο οποιουσδήποτε
διαδοχικούς όρους της ακολουθίας Fibonacci
( κάθε όρο προς τον προηγούμενο του ) θα
βρούμε τον αριθμό φ =1,618 .Ο αριθμός
αυτός ονομάζεται χρυσός κανόνας ή χρυσή
αναλογία και πήρε το όνομα του από τον
γλύπτη Φειδία.Ποια άραγε η σχέση τους;
21. Χρυσό ορθογώνιο
Ένα ορθογώνιο τετράπλευρο του οποίου ο
λόγος των πλευρών ( μήκος προς πλάτος )
είναι ίσος με φ,δηλαδή που οι διαστάσεις του
είναι διαδοχικοί όροι της ακολουθίας
Fibonacci ονομάζεται Χρυσό Ορθογώνιο.
22. Γιατί χρυσό;
Η αρχαία αρχιτεκτονική είναι γεμάτη
από χρυσά ορθογώνια αλλά εκτός από
την τέχνη, τη γεωμετρία και άλλες
ανθρώπινες ασχολίες, ο χρυσός κανόνας
συναντάται πολύ συχνά και στη
φύση.Παρουσιάζει εξαιρετική αρμονία
όπου εμφανίζεται γι΄αυτό και « χρυσό»
23. Λογαριθμική έλικα και αριθμός Φ
Αν σε κάθε τετράγωνο
του σχήματος
σχεδιάσουμε ένα
τεταρτοκύκλιο θα
δημιουργηθεί μια έλικα
που είναι η
λογαριθμική έλικα.
