1. Απαςχόλθςαν πολλοφσ μακθματικοφσ,
και για τισ ιδιότθτζσ τουσ ζχουν
γραφτεί πολλζσ εικαςίεσ και
κεωριματα .

2. ΠΟΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΝΑΙ ΠΡΩΣΟΙ;
• Είναι οι αρικμοί που διαιροφνται μόνο με τον
εαυτό τουσ και το ζνα.
π.χ 2, 3 , 5 ,7 ,11 ,13 ...............
• Σο 1 δεν είναι πρϊτοσ οφτε ςφνκετοσ.
• Μζχρι τον Οκτϊβριο
του 2012, ο μεγαλφτεροσ γνωςτόσ πρϊτοσ
αρικμόσ είναι ο: 243.112.609 − 1

3. Οι πρϊτοι είναι άπειροι
Θ απόδειξθ ότι οι πρϊτοι είναι
άπειροι ,από τον Ευκλείδθ ,είναι
ίςωσ θ παλαιότερθ απόδειξθ που
ζχει ςωκεί και θ πρϊτθ που ζγινε με
τθ μζκοδο τθσ εισ άτοπον απαγωγισ.

4. ΑΡΣΙΟΙ ΚΑΙ ΠΕΡΙΣΣΟΙ
• ΑΡΣΙΟΙ είναι οι φυςικοί αρικμοί που
διαιροφνται με το 2 .
Παράδειγμα : 26, 38, 2012
• ΠΕΡΙΣΣΟΙ είναι οι φυςικοί αρικμοί που δεν
διαιροφνται με το 2.
Παράδειγμα : 7, 15 , 2013

5. Πρϊτοι αρικμοί και Μπζκαμ
Απόςπαςμα παλαιότερθσ ςυνζντευξθσ του
μακθματικοφ Μάρκουσ Ντι ΢οτόι κακθγθτι ςτο
πανεπιςτιμιο τθσ Οξφόρδθσ ςτθν
Ελευκεροτυπία.
* Να ξεκινιςουμε με τθν επικαιρότθτα. Γιατί ο Μπζκαμ διάλεξε τθ
φανζλα με το Νο 23 όταν μετενεγράφθ ςτθ Ρεάλ Μαδρίτθσ;
- «Κοιτάξτε, οι πρϊτοι αρικμοί είναι τόςο ςθμαντικοί για τουσ
μακθματικοφσ επειδι αποτελοφν τουσ κεμζλιουσ λίκουσ τθσ
επιςτιμθσ. Οταν είδα τθν ομάδα τθσ Ρεάλ Μαδρίτθσ, ξαφνικά
ςυνειδθτοποίθςα ότι μάλλον το γνωρίηουν αυτό αφοφ όλοι οι
παίκτεσ - "κεμζλιοι λίκοι" τθσ Ρεάλ Μαδρίτθσ φοροφν φανζλεσ με
πρϊτουσ αρικμοφσ. Ο Ρομπζρτο Κάρλοσ φορά το 3, ο Ηιντάν το 5, ο
Ραοφλ το 7, ο Ρονάλντο παλιότερα το 11 (τϊρα το 9). Ετςι ο
Μπζκαμ, ωσ "κεμζλιοσ λίκοσ" τθσ μεςαίασ γραμμισ τθσ
ομάδασ, όφειλε να διαλζξει μια φανζλα με πρϊτο αρικμό»

6. ΕΙΚΑΣΙΑ
Μία πρόταςθ με τθν οποία, βάςει λογικϊν
ςκζψεων, εικάηουμε ·
μια απόφανςθ όχι βζβαιθ αλλά πικανι
Εικάηουμε, κζτουμε μία γνϊμθ
αυκαίρετα, γιατί ζτςι μασ φαίνεται, μασ
μοιάηει(εικάηω<είκω=μοιάηω) ότι κάτι
είναι δυνατόν να ςυνζβει.

7. ΓΝΩ΢ΣΕ΢ ΕΙΚΑ΢ΙΕ΢
• ΕΙΚΑ΢ΙΑ ΣΟΤ ΓΚΟΛΝΣΜΠΑΧ
Θ εικαςία του Γκόλντμπαχ είναι ζνα από τα
παλιότερα άλυτα προβλιματα τθσ κεωρίασ
αρικμϊν και γενικότερα των μακθματικϊν.
Σι εκφράηει:
Κάκε άρτιοσ κετικόσ ακζραιοσ μεγαλφτεροσ του 2
μπορεί να γραφεί
ωσ άκροιςμα δφο πρϊτων αρικμϊν.
π.χ 4=2+2 ,12=7+5 6=3+ 3 ,κτλ
ΑΛΥΤΗ ΜΕΧΡΙ ΣΗΜΕΡΑ

8. Η εικαςία του Gilbreath!!!!
Σο 1958, εν μζςω καλοκαιρινισ ραςτϊνθσ ο Αμερικανόσ μακθματικόσ και εραςιτζχνθσ
ταχυδακτυλουργόσ Norman L.Gilbreath εμπνεφςτθκε μια εικαςία που αφορά ζνα από τα
μεγαλφτερα μυςτιρια των μακθματικϊν , τουσ πρϊτουσ αρικμοφσ .
Ο Gilbreath ζγραψε ςε ζνα χαρτί διαδοχικοφσ πρϊτουσ αρικμοφσ ξεκινϊντασ από το 2. ΢τθν
ςυνζχεια ζγραψε τισ διαφορζσ των διαδοχικϊν αυτϊν αρικμϊν δθμιουργϊντασ νζεσ ςειρζσ :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, ...
1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, ...
1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, ...
1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, ...
1, 2, 0, 0, 0, 2, ...
1, 2, 0, 0, 2, ...
1, 2, 0, 2, ...
1, 2, 2, ...
1, 0, ...
1,...
Ο Gilbreath λοιπόν ιςχυρίςτθκε ότι ςτθν πρϊτθ ςτιλθ εκτόσ από το πρϊτο ςτοιχείο πάντα κα
προκφπτει ο αρικμόσ 1. Μζχρι ςιμερα κανζνασ δεν κατόρκωςε να βρει μια εξαίρεςθ ( ζνα
αντιπαράδειγμα). Ο μακθματικόσ Richard Guy αναφζρει χαρακτθριςτικά: « Δεν φαίνεται ςτον
ορίηοντα μια απόδειξθ τθσ εικαςίασ του Gilbreath ςτο εγγφσ μζλλον παρ ότι πικανότατα
ιςχφει!!!» Οι μακθματικι κοινότθτα δεν ζχει καν τθν βεβαιότθτα αν θ εικαςία αφορά τουσ
πρϊτουσ αρικμοφσ ι μπορεί να εφαρμοςτεί ςε κάκε ακολουκία αρικμϊν θ οποία αρχίηει με
το 2 και ςυνεχίηει με περιττοφσ αρικμοφσ που αναπτφςςονται με κάποιο τρόπο που δεν
γνωρίηουμε. Ο Πωλ Ζρντοσ πίςτευε ότι θ εικαςία του Gilbreath ιςχφει , αλλά απαιτοφνται
περιςςότερα από 200 χρόνια μζχρι να αποδειχκεί.

9. ΕΚΣΟ΢ ΑΠΟ ΕΙΚΑ΢ΙΕ΢ ΣΙ ;
Μια εικαςία που ζχει αποδειχκεί είναι κεϊρθμα.
΢τοιχειϊδθ κεωριματα είναι οι προτάςεισ.
Αξίωμα είναι μια λογικι πρόταςθ, τθσ οποίασ θ
αλικεια κεωρείται δεδομζνθ και
χρθςιμεφει ωσ αρχικό ςθμείο για τθν ανάπτυξθ
μιασ κεωρίασ.

10. ΟΠΟΣΕ ΢ΣΑ ΜΑΘΘΜΑΣΙΚΑ ΕΧΟΤΜΕ:
ΑΞΙΩΜΑΣΑ
ΘΕΩΡΘΜΑΣΑ
ΠΡΟΣΑ΢ΕΙ΢
ΕΙΚΑ΢ΙΕ΢

11. Αποδεικτικζσ μζκοδοι
Οι πιο ςυχνοί τρόποι απόδειξησ θεωρημάτων
• Ευκεία απόδειξθ
• Απαγωγι ςε άτοπο ( ι άτοποσ απαγωγι)
• Μακθματικι επαγωγι

12. Οι μακθματικοί δρουν ςαν τουσ
δθμιουργοφσ
Μαρτυρία του Α.Wiles που το 1993 απόδειξε το
κεϊρθμα του Fermat μετά από 400 περίπου
χρόνια προςπακειϊν:
«Θ μακθματικι δθμιουργία είναι ζνα ταξίδι ςε
ςκοτεινό και ανεξερεφνθτο αρχοντικό.Μπαίνεισ
ςτο πρϊτο δωμάτιο ,κτυπάσ ςτα ζπιπλα και
ςταδιακά μαντεφεισ ποφ βρίςκονται.Μετά από
μινεσ βρίςκεισ το διακόπτθ και ξαφνικά όλα
φωτίηονται .

13. Βλζπεισ ποφ βρίςκεςαι και ςυνεχίηεισ ςτα
επόμενα δωμάτια .Αυτζσ οι αναλαμπζσ
του φωτόσ ,που απαιτοφν ςτιγμζσ ι
χρόνια είναι θ αποκορφφωςθ τθσ
δθμιουργίασ ».

14. Απλζσ ειςακίεσ
1. Κάκε περιττόσ είναι πρϊτοσ.Ιςχφει;
2. Κάκε πρϊτοσ είναι περιττόσ .Ιςχφει;
3. Κάκε αρικμόσ τθσ μορφισ 2ν+3 είναι
πρϊτοσ.Δοκιμάςτε για ν = 0 , 1 ,2 ,3 ,4 ,5 .
Σι παρατθρείτε;
Διατυπϊςτε δικζσ ςασ εικαςίεσ όχι
απαραίτθτα μακθματικζσ.