Mecánica de materiales "Esfuerzo normal y cortante"

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Mecánica de materiales
4.2Mecánica de materiales
Esfuerzo normal y cortante en
vigas
Ing. mecatrónica
Asesor: Ing. Eusebio Muñoz Rios
Alumna:Jessica Guadalupe Rodríguez Flores
No. de control: 11041142
Grupo: 4V
Fecha de entrega: 29/abril/2013

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Índice
Introducción…...…………………...….....página 03
Momento flexionante……..……………...página03
Esfuerzo normal…….....…………….…..página 04
Esfuerzo cortante..........…………….…..página 06
Ejemplos……………………………..……página 09
Conclusión…………………………..……página 11
Bibliografía…………….……………...…..página 11

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Introducción
El esfuerzo cortante (o de cizallamiento), es producido por fuerzas que actúan
paralelamente al plano que las resiste, mientras que los de tensión o de
compresión son lo son por fuerzas normales al plano sobre el que actúan. Por esta
razón los esfuerzos de tensión y de compresión se llaman también esfuerzos
normales, mientras que el esfuerzo cortante puede denominarse esfuerzo
tangencial.
Para poder analizar y comprender los esfuerzos normal y cortante que actúan
sobre una viga, debemos conocer primero el concepto de momento flexionante en
vigas, ya que a partir de éste podremos deducir dichos esfuerzos.
Momento flexionante
Definición:
Se le denomina momento flexionante o momento flector, porque tiende a
curvar o flexionar la viga y, es la suma de los momentos de todas las
fuerzasque actúan en la porción de viga a la izquierda o a la derecha de
una sección, respecto al eje perpendicular al plano de las fuerzas y que
pasa por el centro de gravedad centroide de la sección considerada. Así
que la podemos definir como:
Como en un cuerpo actúan fuerzas tanto negativas como positivas, el signo del
momento flexionante sobre una viga se determina con un criterio que dice que si
hay fuerzas que actúan hacia arriba respecto de cualquier sección, producirán
momentos flexionantes positivos y, por el contrario, las fuerzas que actúan hacia
abajo, dan lugar a momentos flexionantes negativos.

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Ahora que conocemos el efecto del momento flexor en una viga, ya podemos
definir la aplicación de los esfuerzos normal y tangencial sobre la viga.
Esfuerzo normal
Los esfuerzos normales producidos por el momento flexionante se llaman
esfuerzos por flexión y las relaciones entre estos esfuerzos y el momento
flexionante se expresa mediante la fórmula de flexión. Para su deducción,
tomaremos en cuenta las deformaciones elásticas junto con la ley de Hooke que
determinarán la forma de distribución de esfuerzos, y mediante las condiciones de
equilibrio se establecerá la relación entre los esfuerzos y las cargas.
La figura a muestra dos secciones adyacentes ab y cd separadas por
una distancia dx. Debido a la flexión producida por la carga P, las
secciones ab y cd giran con respecto a la otra un pequeño ángulo dθ,
pero permanecen planas y sin distorsión.
La fibra ac de la parte superior se acorta y la fibra bd se alarga. En
algún punto entre ellas existe una fibra, tal como ef, cuya longitud no
varía. Trazando la línea c’d’ por f, paralela a ab, se observa que la fibra

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ac se ha acortado una longitud cc’ y está, pues, comprimida, mientras
que la fibra bd se ha alargado la longitud d’d y está sometida a tensión.
El plano que contiene todas las fibras como la ef se llama superficie
neutra, ya que tales fibras no varían de longitud y, por lo tanto, no están
sujetas a esfuerzo alguno. La superficie neutra pasa por los centros de
gravedad de las secciones trasversales de la viga.
En la deformación gh, el alargamiento es hk, que es el arco de
circunferencia de radio y ángulo dθ
La deformación se obtiene dividiendo el alargamiento dentre la longitud
inicial ef
Si p es el radio de la curvatura de la superficie neutra
Suponiendo que el material es homogéneo y obedece a la ley de Hooke (módulo
de elasticidad - E), el esfuerzo en la fibra gh es:
Lo cual indica que el esfuerzo en cualquier fibra es directamente proporcional a su
distancia “y” a la superficie neutra, y el radio de curvatura “p” de la superficie
neutra es independiente de la ordenada “y” de la fibra. Los esfuerzos no deben
sobrepasar el límite de proporcionalidad, pues en caso contrario dejaría de
cumplirse la ley de Hooke.
Ahora para completar la deducción de la fórmula de flexión, se aplicarán las
condiciones de equilibrio. La intersección de la superficie neutra con la sección
que producirá el equilibrio, se llama eje neutro (E.N.).
Para satisfacer la condición de que las fuerzas exteriores no tengan componente
según el ejeX ([ΣX=0]), se tiene
Sabiendo que , sustituyendo por Ey/py, resulta
Haciendo los cálculos, tenemos:

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Así se deduce que la distancia a E.N., el eje de referencia, del centro de gravedad
de la sección debe ser cero, es decir, la línea neutra pasa por el centroide del área
de sección trasversal.
Esfuerzo cortante
Ahora consideraremos la condición ΣMy=0. Las fuerzas exteriores no producen
movimiento con respecto al eje Y, ni tampoco las fuerzas cortantes interiores, por
lo tanto ([ΣMy=0])

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Y ya haciendo las sustituciones y los despejes correctos conforme a al momento
de inercia, obtenemos que el esfuerzo máximo es:
Donde el cociente I/c se llama módulo de resistencia de la sección o simplemente
módulo de sección, y se suele designar por S.
Esta fórmula es muy empleada en vigas de sección constante, y muestra cómo el
esfuerzo máximo se produce en la sección de momento flexionante máximo.
A continuación se darán los valores del módulo de resistencia de las formas más
comunes en una sección recta.

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Dado que la suma de las fuerzas horizontales en la sección debe ser nula, la
fuerza total de compresión C, en la mitad superior de la sección de la recta, ha de
ser igual a la fuerza total de tensión T en la mitad inferior. Por lo tanto, el momento
resistente Mr, está constituido por el par que forman las fuerzas C y T iguales y
opuestas. La magnitud de cada una de estas fuerzas es igual al producto del
esfuerzo medio por el área. Por consiguiente, como el esfuerzo medio en una
distribución lineal es la mitad del esfuerzo máximo se tiene:
Las fuerzas C y T actúan en el centro de gravedad de la carga triangular a una
distancia k de E.N., y como k = 2/3 c = 2/3 (h/2), el brazo del par resistente es
e= 2k = 2/3 h. Igualmente el momento flexionante al momento resistente resulta:
Que coincide con la ecuación de σmax para una sección rectangular.

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Ejemplos
 Una viga de sección rectangular de 150 x 250 mm soporta la carga de
indica la figura. Determinar el máximo esfuerzo por flexión que se produce.
Primero hay que determinar el máximo momento flexionante. El diagrama de
fuerza cortante indica que éste se anula para x = 2m. El momento flexionante en
dicho punto, calculado por el área del diagrama de fuerza cortante, es, para x= 2m
[ΔM = (área)v]
Aplicaremos ahora la fórmula de flexión, cuidando que las unidades empleadas
sean congruentes. Para eso nos vamos a nuestra tabla para obtener el módulo
resistente para sección rectangular, S = bh2
/6

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 Una viga de madera de 100 x 300 mm y 8 m de longitud soporta las cargas
indicadas en la figura. Si el máximo esfuerzo cortante admisible es de 9
MPa, ¿para qué el valor máximo se w se anula la fuerza cortante bajo P y
cuánto vale P?
Para satisfacer las condiciones indicadas en el enunciado el diagrama de fuerza
cortante debe tener la forma que representa la figura. El máximo valor de w que
anula la fuerza cortante bajo P se determina por:
Que proporciona la relación entre P y w, quedando: P=8 w
El máximo momento flexionante tiene lugar bajo P y su valor es
[ΔM = (área)v]

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Aplicando la fórmula de flexión resulta:
Y según P=18w, el valor de P es
Conclusión
De este trabajo podemos concluir que necesitamos conocimientos básicos de
fuerzas que actúan sobre la viga y así poder determinar el esfuerzo, además de
razonar sobre dónde actúan tales esfuerzos y deducir mejor la fórmula, no sólo
usarla, además en estos casos nos es muy útil hacer los diagramas ya que el área
que forman las figuras nos sirve para plantear mejor el problema y solucionar de
manera más fácil y eficiente los problemas.
Bibliografía
Resistencia de Materiales
Andrew Pytel, Ferdinand L. Singer
Editorial Alfaomega