立命合宿2016Day3：C問題

1. Lorem Ipsum Dolor
C：成長する点 問題文：栗田和宏
原案：鈴木浩史

2. 問題概要
❖ 番号0である粘菌の拠点が1つとN個の餌が存在する．
❖ 餌には1からNまでの番号が与えられている．
❖ 粘菌はある餌を食べるために，その餌と最も近い拠点の
最短距離を結ぶ管状に成長し，食べた位置に新たに拠点
を形成する．以降では粘菌は複数の線分として考える．
❖ すべての拠点と線分からなる構造を粘菌網と呼ぶ

3. 問題概要
❖ 以下の操作をM回繰り返した後の線分の長さの合計を求め
よ．
1. まだ食べていない餌の中で粘菌網に最も近い餌を選ぶ．
そのような餌が複数存在する場合は番号が最も小さい餌
を選ぶ
2. 選んだ餌と最も近い拠点を選ぶ．そのような拠点が複数
存在する場合は，最も拠点の番号が小さいものから取
る．
3. 選んだ拠点と餌を結ぶ線分を引く．以降ではこのとき選
んだ餌も拠点として扱う．

4. 問題の制約
❖ 0 ≦ N ≦ 5000
❖ 0 ≦ M ≦ N
❖ -5000 ≦ X,Y ≦ 5000
❖ -5000 ≦ pxi, pyi ≦ 5000

5. 例題
餌4
拠点0 餌1
餌2 餌3
1 2 3
1
3
2
M = 4

6. 例題
餌4
拠点0 餌1
餌2 餌3
1 2 3
1
3
2
2
2
√5
2√2
距離2の餌が2つあるが，
番号が小さい餌1が選ばられる．
M = 4

7. 例題
餌4
拠点0 拠点1
餌2 餌3
1 2 3
1
3
2 2
√5
2√2
M = 4

8. 例題
餌4
拠点0 拠点1
餌2 餌3
1 2 3
1
3
2
2 2 2
餌と粘菌網の距離が
更新される．
M = 4

9. 例題
餌4
拠点0 拠点1
拠点2 餌3
1 2 3
1
3
2
2 2 2
M = 4

10. 例題
餌4
拠点0 拠点1
拠点2 餌3
1 2 3
1
3
2
1
r
4
5
拠点0と拠点2間の距離と
拠点1と拠点2間の距離は等しいので，
番号の小さい拠点0と拠点2を結ぶ．
M = 4

11. 例題
拠点4
拠点0 拠点1
拠点2 餌3
1 2 3
1
3
2
1
M = 4

12. 例題
拠点4
拠点0 拠点1
拠点2 拠点3
1 2 3
1
3
2
M = 4

13. 例題
拠点4
拠点0 拠点1
拠点2 拠点3
1 2 3
1
3
2
A.4 + √5
M = 4

14. 想定解法
❖ 最初は拠点0と最も近い餌xを選択する．
❖ 拠点0と餌xを結ぶ線分を加える．
❖ 1つ線分を加えるごとにその線分とそれぞれの餌の距離
を更新をする．
❖ 距離の更新は，加えた線分とそれぞれの餌の距離を計算
し，今までの最短距離とその距離のminを取れば良い．

15. 想定解法
❖ 距離の更新後に最短距離が最も小さい餌を選び，その
餌と最も近い拠点を線分で結ぶ．
❖ この処理をM回繰り返した後の加えた線分の長さの合計
が答えになる．
❖ 1回の距離の更新には点と線分の距離計算をO(N)回行う．
また，点と線分の計算はO(1)で可能である．
❖ この処理をM回繰り返すのでO(NM)で計算できる．

16. 実装のコツ
❖ 今回のような，二次元平面上の距離を求めるような問
題ではベクトルで考えると実装しやすい．
1
2
3
A C
B

17. 点と線分の距離の求め方
1
2
3
ベクトルC - Aと
ベクトルB - Aの内積が
負の場合
A C
B
❖ 点と線分の距離の求め方は内積と外積を使って解ける．

18. 点と線分の距離の求め方
1
2
3
A C
B
3と2を直接つなぐ
❖ 点と線分の距離の求め方は内積と外積を使って解ける．

19. 点と線分の距離の求め方
1
2
3
ベクトルA - Cと
ベクトルB - Cの内積が
負の場合
A C
B
❖ 点と線分の距離の求め方は内積と外積を使って解ける．

20. 点と線分の距離の求め方
1
2
3
1と2を直接つなぐ
A C
B
❖ 点と線分の距離の求め方は内積と外積を使って解ける．

21. 点と線分の距離の求め方
1
2
3
A C
B
それ以外の場合は
線分1,3と点2の距離は，
直線1,3と点2の距離と一致する
直線と点の距離は外積を
使って計算できる．
❖ 点と線分の距離の求め方は内積と外積を使って解ける．

22. writer解
❖ 井上：
❖ 栗田：
❖ 鈴木：

23. 提出状況
❖ First Accept
online:
onsite:
❖ 正答率：