2018/9/21 会津大学プログラミング合宿 Day3 (北大セット) E 問題 ※文字が見えない場合、ダウンロードするかフルスクリーンにしてご覧ください。(フルスクリーンにすると文字が消える問題に対処できるようです)

1. E: 均衡な辺削除
(Balanced Edge Deletion)
原案: tsutaj
問題文: TAB
解答: kazu, tsutaj, tsukasa_diary

2. 問題概要
重み付きグラフG = (V, E)が与えられる。
e ∈ Eを取り除き、Gを二つの連結成分AとBに分割する。
この時、Gが連結ならば、V(B) = øとする。
Aの辺重みの総和とBの辺重みの総和の差の絶対値が最小にな
るような辺eを求めよ。
ただし、複数ある場合は端点の頂点番号が最小になるようなeを求めよ。さらに、端点の頂点番号の最小が同
じ場合は残った端点の番号が小さいものを求めよ。
ざっくりとした問題は次のようになる。
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3. こんな感じで、グラフがあるので、2つの連結成分が持つ重
みの総和が偏らないような辺を見つける問題と言える。
具体例を用いた説明
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4
52
1
6
310
7
1
2
9
8 5
10
9
8
7
8
3
12
1

4. こんな感じで、グラフがあるので、2つの連結成分が持つ重
みの総和が偏らないような辺を見つける問題と言える。
具体例を用いた説明
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A
B
4
52
1
6
310
7
1
2
9
8 5
10
9
8
7
8
3
12
1

5. 方針: 連結成分が2つできるように分けるべき？ =>
常に橋を取り除くのが良い？
想定誤解法
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4
52
1
6
310
7
1
2
9
8 5
10
9
8
7
8
3
12
1

6. 方針: 連結成分が2つできるように分けるべき？
NO！！！
想定誤解法
!6
4
52
1
6
310
7
1
2
9
8 5
10
9
8
7
8
3
12
1

7. 方針: 連結成分が2つできるように分けるべき？
NO！！！
下の例の場合、明らかに99,999を削除するのが良い。
想定誤解法
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4
52
1
6
310
7
1
99,999
9
8 5
10
9
8
7
8
3
12
1

8. 方針
最適解を2種類に分けて考える。
1. 橋以外を取り除いて得られる最適解
2. 橋を取り除いて得られる最適解
橋の列挙がO(n + m)はできるので、1は明らかにO(m)時間で
求まる。
2をどうするか？
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9. 方針
最適解を2種類に分けて考える。
1. 橋以外を取り除いて得られる最適解
2. 橋を取り除いて得られる最適解
橋の列挙がO(n + m)はできるので、1は明らかにO(m)時間で
求まる。
2をどうするか？
ナイーブにはO(m2)時間で計算可能だが，m < 105なので，
TLE．
O(m)でやろう！
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10. 解法: 二重辺連結成分分解
簡単なため，入力グラフが木の場合を考える．
入力グラフに根はないが，適当な1頂点を根とみなして根付
き木にする．
葉の方からDP的に計算すればO(n + m)時間で最適な分割をす
る辺を計算可能．
木なら解けるので，入力グラフを木にしよう！
!10
1 5
2
9
8 4
1
3 7

11. 解法: 二重辺連結成分分解
入力グラフを二重辺連結成分（橋を含まない極大な部分グラ
フ）に分解し，その連結成分を一つの頂点とみなす．
すると頂点と辺に重みがついた木ができる．
この木上でDPをすると木のサイズに対して線形時間，つまり
O(n + m)時間で解ける！！！
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1
5
2
9
8
4
1
3
7
辺の総重み: 20

12. Writer 解
・kazu （C++）92行 （橋列挙に基づくDP解）
・tsutaj（C++）241行（二重辺連結成分分解）
・tsukasa_diary（C++）72行（橋列挙に基づくDP解）
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13. 提出状況
・Accept / Submit: 15/96
・First Acceptance:
- Onsite: acpc_gomatubu (36 min)
- Online: latte0126 (56 min)
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