蟻本　最短経路問題

1. グラフを扱おう：
最短路問題
北海道大学 情報科学研究科
修士1年 栗田和宏

2. グラフの定義(数学)
グラフとは集合の組であり，G = (V, E)と
表される．ここで E ⊆ (V,V)である．
Vを頂点集合と呼び，Eを辺集合と呼ぶ．

3. グラフの表現法
グラフを表現する方法として2つ考えられる．
1. 隣接行列
2. 隣接リスト

4. グラフの表現法
グラフを表現する方法として2つ考えられる．
1. 隣接行列
2. 隣接リスト メモリ：小 検索：遅
メモリ：大 検索：速

5. 隣接行列
グラフの各頂点間の隣接関係を行列で表す．

6. 隣接行列
グラフの各頂点間の隣接関係を行列で表す．
0 1 0 1
1 0 1 1
0 1 0 0
1 1 0 0
1
2
3
4

7. 隣接行列
隣接行列にはO(V2)のメモリとある2頂点間に辺が
あるかを検索するのにO(1)時間がかかる

8. 隣接リスト
グラフの各頂点の隣接関係をリストで保持する．
1
2
3
4
1 2
31
23
24 1
2
4
4

9. 隣接リスト
隣接リストにはO(V + E)のメモリとある2頂点間に
辺があるかを検索するのにO(E)時間がかかる．

10. 単一始点最短路問題
単一始点最短路問題とは与えられた頂点sから他の
すべての頂点への最短路を求める問題である．

11. 単一始点最短路問題
単一始点最短路問題とは与えられた頂点sから他の
すべての頂点への最短路を求める問題である．
ベルマンフォード法
ダイクストラ法

12. 最短路の性質
最小コストの重要な性質として次のことが言える．
頂点uの最小コストは
uと隣接する頂点の最短路 + uへ移動するコスト
の最小である．
u
v0
v1
v2
s …..
3
5
1
1
3

13. ベルマンフォード法
1. 始点以外のコストをINFに，始点のコストを0に
する．
2. すべての辺を使い，コストを更新する
3. コストの更新ができなかったら終了，更新ができ
たら2に戻る．

14. コストの更新
1
2
3
4
9
7
5
8
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 INF INF INF INF INF INF INF INF
1
1
6
7
5
5
10
3
9
4 2

15. コストの更新
1
2
3
4
9
7
5
8
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 INF 10 INF INF INF INF INF
1
1
6
7
5
5
10
3
9
4 2

16. コストの更新
1
2
3
4
9
7
5
8
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 INF 10 INF INF INF INF INF
1
1
6
7
5
5
10
3
9
4 2

17. コストの更新
1
2
3
4
9
7
5
8
6
1 2 3 4 5 6 7 8
0 1 6 5 13 INF 11 7
1
1
6
7
5
5
10
3
9
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 6 5 13 INF 11 7 INF
2

18. コストの更新
1
2
3
4
9
7
5
8
6
1 2 3 4 5 6 7 8
0 1 6 5 13 INF 11 7
1
1
6
7
5
5
10
3
9
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 6 5 13 INF 11 7 INF
2

19. コストの更新
1
2
3
4
9
7
5
8
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 6 5 8 16 6 7 14
1
1
6
7
5
5
10
3
9
4 2

20. コストの更新
1
2
3
4
9
7
5
8
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 6 5 8 16 6 7 14
1
1
6
7
5
5
10
3
9
4 2

21. コストの更新
1
2
3
4
9
7
5
8
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 6 5 8 11 6 7 14
1
1
6
7
5
5
10
3
9
4 2

22. コストの更新
1
2
3
4
9
7
5
8
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 6 5 8 11 6 7 14
1
1
6
7
5
5
10
3
9
4 2

23. 計算量
時間計算量：O(VE) もしくは O(V3)
空間計算量：O(E) もしくはO(V2)
時間計算量はグラフを隣接リストで持っておくと
O(VE)になり，隣接行列で持っておくとO(V3)と
なる．

24. コードの例：
ベルマンフォード法
https://github.com/kazu0423/procon_example/
blob/master/bellman_ford.cpp

25. 計算量の解析
while文が入っていて，ぱっと見での計算量が
わかりづらい．
このwhile文は最大V - 1回のループをする
→ なぜなら1回のループで少なくとも1つの頂点の
最短コストが決定するからである．

26. 計算量の解析
while文中の計算量はすべての辺についての操作を
しているのでO(E)となる．
全体としてはO(VE)となる．

27. ダイクストラ法
ベルマンフォード法よりももっと高速に最短路を
求めるアルゴリズム．
仮定としてすべての辺のコストを非負とする．

28. ダイクストラ法
ベルマンフォード法よりももっと高速に最短路を
求めるアルゴリズム．
仮定としてすべての辺のコストを非負とする．
ベルマンフォード法では最小コストが決定してい
ない頂点に対しても更新をしていた．
このような更新は無駄である．

29. 不要な更新
1
2
3
4
9
7
5
8
6
1
1
6
7
5
5
10
3
9
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 INF INF INF INF INF INF INF INF
2

30. 不要な更新
1
2
3
4
9
7
5
8
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 INF 10 INF INF INF INF INF
1
1
6
7
5
5
10
3
9
4 2

31. 不要な更新
1
2
3
4
9
7
5
8
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 INF 10 INF INF INF INF INF
1
1
6
7
5
5
10
3
9
4 2

32. なぜ不要か？
背理法で証明する．
仮定として現在最小コストが決まっていない頂点
の中でコスト最小の頂点がもっと小さいコストで
その頂点に行けると別のパスがあると仮定する．
そのようなパスは存在しないことが証明できる．

33. コストの更新
1
2
3
4
9
7
5
8
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 INF INF INF INF INF INF INF INF
1
1
6
7
5
5
10
3
9
4 2

34. コストの更新
1
2
3
4
9
7
5
8
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 INF 10 INF INF INF INF INF
1
1
6
7
5
5
10
3
9
4 2

35. コストの更新
1
2
3
4
9
7
5
8
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 INF 10 INF INF INF INF INF
1
1
6
7
5
5
10
3
9
4 2

36. コストの更新
1
2
3
4
9
7
5
8
6
1 2 3 4 5 6 7 8
0 1 6 5 13 INF 11 7
1
1
6
7
5
5
10
3
9
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 6 5 INF INF INF 7 INF
2

37. コストの更新
1
2
3
4
9
7
5
8
6
1 2 3 4 5 6 7 8
0 1 6 5 13 INF 11 7
1
1
6
7
5
5
10
3
9
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 6 5 INF INF INF 7 INF
2

38. コストの更新
1
2
3
4
9
7
5
8
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 6 5 INF INF INF 7 INF
1
1
6
7
5
5
10
3
9
4 2

39. コストの更新
1
2
3
4
9
7
5
8
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 6 5 8 INF 6 7 INF
1
1
6
7
5
5
10
3
9
4 2

40. コードの例：
ダイクストラ法
https://github.com/kazu0423/procon_example/
blob/master/dijkstra.cpp

41. 全点対最短路問題
全点対最短路問題とは任意の2点間の最短路を
求める問題である．

42. 全点対最短路問題
全点対最短路問題とは任意の2点間の最短路を
求める問題である．
ワーシャルフロイド法

43. ワーシャルフロイド法
dp[i][j]を頂点iから頂点jまでの最小コストを記憶
する変数とする．
dpの初期状態は隣接行列になっており，隣接して
いない頂点同士のコストはINFとする．
dp[i][i] = 0とする．（自分から自分はコスト0）

44. ワーシャルフロイド法
for(int k = 0; k< n; k++)
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < n; j++)
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]);

45. kのループ
kのループを以外の部分では，大体のイメージとし
て任意の2点間の距離について何かの更新をしてい
ることがわかる．

46. kのループ
kのループを以外の部分では，大体のイメージとし
て任意の2点間の距離について何かの更新をしてい
ることがわかる．
kは途中で立ち寄る頂点がどこなのかを
決めている．

47. コストの更新
1 2 3 4 5
1 0 4 INF 10 INF
2 4 0 5 INF 1
3 INF 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0
4 2
3 1
5
1
5
10 4

48. コストの更新：k = 2
1 2 3 4 5
1 0 4 INF 10 INF
2 INF 0 5 4 1
3 INF 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0
4 2
3 1
5
1
5
10 4
1 2 3 4 5
1 0 4 INF 10 INF
2 4 0 5 INF 1
3 INF 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0

49. コストの更新：k = 2
1 2 3 4 5
1 0 4 9 10 INF
2 INF 0 5 4 1
3 INF 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0
4 2
3 1
5
1
5
10 4
1 2 3 4 5
1 0 4 9 10 INF
2 4 0 5 INF 1
3 9 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0

50. コストの更新：k = 2
1 2 3 4 5
1 0 4 9 10 INF
2 INF 0 5 4 1
3 INF 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0
4 2
3 1
5
1
5
10 4
1 2 3 4 5
1 0 4 9 10 INF
2 4 0 5 INF 1
3 9 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0

51. コストの更新：k = 2
1 2 3 4 5
1 0 4 9 10 5
2 INF 0 5 4 1
3 INF 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0
4 2
3 1
5
1
5
10 4
1 2 3 4 5
1 0 4 9 10 5
2 4 0 5 INF 1
3 9 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 5 1 INF INF 0

52. コストの更新：k = 2
1 2 3 4 5
1 0 4 INF 10 INF
2 INF 0 5 4 1
3 INF 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0
4 2
3 1
5
1
5
10 4
1 2 3 4 5
1 0 4 9 10 5
2 INF 0 5 4 1
3 INF 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0
1 2 3 4 5
1 0 4 9 10 5
2 4 0 5 INF 1
3 9 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 5 1 INF INF 0

53. コストの更新：k = 2
1 2 3 4 5
1 0 4 INF 10 INF
2 INF 0 5 4 1
3 INF 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0
4 2
3 1
5
1
5
10 4
1 2 3 4 5
1 0 4 9 10 5
2 INF 0 5 4 1
3 INF 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0
1 2 3 4 5
1 0 4 9 10 5
2 INF 0 5 4 1
3 INF 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0
1 2 3 4 5
1 0 4 9 10 5
2 4 0 5 INF 1
3 9 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 5 1 INF INF 0

54. コストの更新：k = 2
1 2 3 4 5
1 0 4 INF 10 INF
2 INF 0 5 4 1
3 INF 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0
4 2
3 1
5
1
5
10 4
1 2 3 4 5
1 0 4 9 10 5
2 INF 0 5 4 1
3 INF 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0
1 2 3 4 5
1 0 4 9 10 5
2 INF 0 5 4 1
3 INF 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0
1 2 3 4 5
1 0 4 9 10 5
2 4 0 5 INF 1
3 9 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 5 1 INF INF 0

55. コストの更新：k = 2
1 2 3 4 5
1 0 4 INF 10 INF
2 INF 0 5 4 1
3 INF 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0
4 2
3 1
5
1
5
10 4
1 2 3 4 5
1 0 4 9 10 5
2 INF 0 5 4 1
3 INF 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0
1 2 3 4 5
1 0 4 9 10 5
2 INF 0 5 4 1
3 INF 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0
1 2 3 4 5
1 0 4 9 10 5
2 4 0 5 INF 1
3 9 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 5 1 INF INF 0

56. コストの更新：k = 2
1 2 3 4 5
1 0 4 INF 10 INF
2 INF 0 5 4 1
3 INF 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0
4 2
3 1
5
1
5
10 4
1 2 3 4 5
1 0 4 9 10 5
2 INF 0 5 4 1
3 INF 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0
1 2 3 4 5
1 0 4 9 10 5
2 INF 0 5 4 1
3 INF 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0
1 2 3 4 5
1 0 4 9 10 5
2 4 0 5 INF 1
3 9 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 5 1 INF INF 0

57. コストの更新：k = 2
1 2 3 4 5
1 0 4 INF 10 INF
2 INF 0 5 4 1
3 INF 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0
4 2
3 1
5
1
5
10 4
1 2 3 4 5
1 0 4 9 10 5
2 INF 0 5 4 1
3 INF 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0
1 2 3 4 5
1 0 4 9 10 5
2 INF 0 5 4 1
3 INF 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0
1 2 3 4 5
1 0 4 INF 10 INF
2 4 0 5 INF 1
3 INF 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0

58. コストの更新：k = 2
1 2 3 4 5
1 0 4 INF 10 INF
2 INF 0 5 4 1
3 INF 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0
4 2
3 1
5
1
5
10 4
1 2 3 4 5
1 0 4 9 10 5
2 INF 0 5 4 1
3 INF 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0
1 2 3 4 5
1 0 4 9 10 5
2 INF 0 5 4 1
3 INF 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0
1 2 3 4 5
1 0 4 INF 10 INF
2 4 0 5 INF 1
3 INF 5 0 INF INF
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0

59. コストの更新：k = 2
1 2 3 4 5
1 0 4 INF 10 INF
2 INF 0 5 4 1
3 INF 5 0 INF 6
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0
4 2
3 1
5
1
5
10 4
1 2 3 4 5
1 0 4 9 10 5
2 INF 0 5 4 1
3 INF 5 0 INF 6
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 INF INF 0
1 2 3 4 5
1 0 4 INF 10 INF
2 4 0 5 INF 1
3 INF 5 0 INF 6
4 10 INF INF 0 INF
5 INF 1 6 INF 0

60. コードの例：
ワーシャルフロイド法
https://github.com/kazu0423/procon_example/
blob/master/warshall-floyed.cpp

61. 計算量
ほぼ自明
時間計算量：O(V3)
空間計算量：O(V2)

62. まとめ
グラフの表現
単一始点最短路問題
ベルマンフォード法
ダイクストラ法
全点対最短路問題
ワーシャルフロイド法