Transformasi Laplace adalah transformasi yang sering digunakan untuk menyelesaikan masalah syarat awal. Metode penyelesaian persamaan diferensial biasa menggunakan transformasi laplace terbukti cukup ampuh digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah nilai awal.
2. Transformasi Laplace
Transformasi Laplace adalah suatu transformasi yang melibatkan operasi
pengintegralan, mengubah fungsi π(π‘) menjadi suatu fungsi baru yang
dinotasikan sebagai
β π π‘ = πΉ(π )
DEFINISI 5.1
Misalkan π(π‘) adalah fungsi yang terdefinisi untuk π‘ β₯ 0, maka transformasi
Laplace dari π adalah fungsi baru dengan variabel bebas π , yaitu πΉ(π ) yang
didefinisikan sebagai berikut
β π π‘ = πΉ π =
0
β
πβπ π‘ π π‘ ππ‘
Untuk semua nilai π yang mengakibatkan integral tak wajar di atas konvergen
3. CONTOH 1 :
Misalkan π π‘ = 1 untuk π‘ β₯ 0 maka
β 1 = 0
β
πβπ π‘ ππ‘
= lim
πββ
β
1
π
πβπ π‘
0
π
= lim
πββ
β
1
π
πβπ π +
1
π
Limit di atas mempunyai nilai berhingga hanya jika π > 0, dengan
demikian
β 1 =
1
π
, untuk π > 0
*Note : Domain dari transformasi Laplace suatu fungsi biasanya berupa
π > π untuk suatu π β β
4. CONTOH 2
Misalkan π bilangan asli dan π π‘ = π‘ π
, maka transformasi Laplacenya adalah
β π‘ π =
0
β
πβπ π‘ π‘ π ππ‘
Substitusikan π’ = π π‘, yang berarti
π‘ =
π’
π
dan ππ‘ =
1
π
ππ’
sehingga dihasilkan
β π‘ π
=
1
π π+1
0
β
πβπ’
π’ π
ππ’
Penerapan beberapa kali teknik integral parsial menghasilkan
β π‘ π =
π!
π π+1 untuk π > 0
5. FungsiGamma
Fungsi gamma didefinisikan sebagai
Ξ π₯ =
0
β
πβπ‘ π‘ π₯β1 ππ‘
Fungsi gamma memiliki sifat-sifat sebagai berikut :
1. Ξ 1 = 1 dan Ξ
1
2
= π
2. Ξ π₯ + 1 = π₯Ξ(π₯) ,untuk π₯ > 0
3. Ξ π + 1 = π! , untuk π bilangan bulat positif
Fungsi gamma dapat dipandang sebagai perumuman dari fungsi faktorial π!
6. CONTOH 3 :
Misalkan π bilangan real dan π π‘ = π‘ π
, maka transformasi Laplace dari
π(π‘) adalah
β π‘ π
=
0
β
πβπ π‘
π‘ π
ππ‘
Ingat definisi fungsi gamma
Ξ π₯ =
0
β
πβπ‘
π‘ π₯β1
ππ‘
Dengan demikian, diperoleh
β π‘ π =
Ξ(π+1)
π π+1 , untuk π > 0
7. Operator Linier
TEOREMA 1:
Transformasi Laplace merupakan operator linier, dengan kata lain
β ππ π‘ + ππ(π‘) = πβ π π‘ + πβ{π(π‘)} untuk setiap π, π β π
Bukti :
Misalkan π(π‘) dan π(π‘) adalah fungsi yang kontinu dan terdefinisi di π .
Misalkan transformasi Laplace dari fungsi π(π‘) dan π(π‘) adalah β π π‘
dan β{π(π‘)}. Ambil sebarang π, π β π , sehingga
β ππ π‘ + ππ(π‘) =
0
β
πβπ π‘
ππ π‘ ππ‘ + πβπ π‘
ππ π‘ ππ‘
= π
0
β
πβπ π‘ π π‘ ππ‘ + π
0
β
πβπ π‘ π π‘ ππ‘ = πβ{π(π‘)} + πβ{π(π‘)}
8. EksistensidanKetunggalan
TEOREMA : (Eksistensi Transformasi Laplace)
Jika fungsi π(π‘) kontinu bagian demi bagian untuk π‘ β₯ 0 dan |π(π‘)| β€
ππ ππ‘
untuk π‘ β₯ π, untuk suatu konstanta tak negatif π, π, dan π, maka
πΉ(π ) ada untuk π > π.
TEOREMA : (Ketunggalan Transformasi Laplace)
Andaikan β π π‘ = πΉ(π ) dan β π π‘ = πΊ(π ) . Jika πΉ π = πΊ(π )
untuk semua π > π, maka π π‘ = π(π‘), di mana π dan π kontinu.
9. InverseTransformasiLaplace
DEFINISI : Misalkan πΉ π = β{π(π‘)}, maka π(π‘) disebut inverse
transformasi Laplace dari πΉ π , dinotasikan sebagai
π π‘ = ββ1(πΉ(π ))
PROPOSISI : Invers transformasi Laplace juga memenuhi sifat linier atau
ββ1
ππΉ π + ππΊ π = πββ1
πΉ π + π ββ1
πΊ π
CONTOH :
ββ1 1
π 3 =
1
2
π‘2; ββ1 1
π +2
= πβ2π‘; ββ1 1
π 2+9
=
2
3
sin 3π‘
10. Latihan
1. Tentukan transformasi Laplace untuk π π‘ = π ππ‘
, untuk π β π
2. Hitung dan buktikan β π‘
1
2 =
Ξ(3/2)
π 3/2 untuk π > 0
3. Tentukan transformasi Laplace dari fungsi-fungsi berikut
a. π π‘ = π‘ + 3π‘ β π5π‘
b. π π‘ = πππ 22π‘ + cos 2π‘
c. π π‘ = π ππβ2
3π‘
4. Tentukan invers transformasi Laplace dari fungsi-fungsi berikut
a. πΉ π =
3
π 4 +
2
π 5/2
b. π π =
5β3π
π 4
c. π» π =
3π
π 2βπ β6
d. π π =
π 2
π 4β1
11. Latihan (lanjutan)
5. Dengan menggunakan sifat linear dari transformasi Laplace buktikan bahwa
a. β cosh ππ‘ =
π
π 2βπ2, untuk π > π > 0
b.β sinh ππ‘ =
π
π 2βπ2, untuk π > π > 0
c. β cos ππ‘ =
π
π 2+π2, untuk π > 0
d.β sin ππ‘ =
π
π 2+π2, untuk π > 0
12. MasalahNilaiAwal
Persamaan diferensial linear orde 2 tak homogen berbentuk
ππ₯β²β² π‘ + ππ₯β² π‘ + ππ₯ π‘ = π(π‘) dengan π₯ 0 = π₯0, π₯β² 0 = π£0.
Jika pada persamaan diferensial di atas kita terapkan transformasi
Laplace maka diperoleh
πβ π₯β²β² π‘ + πβ π₯β² π‘ + πβ π₯ π‘ = β(π(π‘))
13. TransformasiTurunanFungsiOrdeTinggi
PROPOSISI :
Jika π(π‘) memenuhi syarat sedemikian sehingga πΉ(π ) ada untuk π > π,
maka
β πβ² = π β π β π 0 = π πΉ π β π(0), untuk π > π
AKIBAT :
Misalkan fungsi-fungsi π, πβ²
, πβ²β²
, β¦ π(πβ1)
masing-masing mempunyai
transformasi Laplace untuk π > π, maka β{π(π)(π‘)} ada dan
β π π π‘ = π π πΉ π β π πβ1 π 0 β β― β π π πβ2 0 β π πβ1 (0), untuk π > π
14. CONTOH : Tentukan masalah nilai awal
π₯β²β² β π₯β² β 6π₯ = 0, π₯ 0 = 2, π₯β² 0 = β1
JAWAB :
Penerapan Transformasi Laplace pada persamaan di atas menghasilkan
β π₯β²β²
π‘ β β π₯β²
π‘ β 6β π₯ π‘ = 0
π 2 π π β 2π + 1 β π π π β 2 β 6π π = 0
π π =
2π β 3
π 2 β π β 6
=
3/5
π β 3
+
7/5
π + 2
Invers Laplacenya menghasilkan
ββ1 π₯ π‘ =
3
5
π3π‘ +
7
5
πβ2π‘
*Note : Transformasi Laplace mengubah persamaan diferensial linier
menjadi persamaan aljabar yang dapat diselesaikan